Дифференциальные уравнения для описания

Дифференциальные уравнения для описания
природных геофизических явлений
В.В. Аксенов
Институт Вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, Россия
Геофизические поля в природе представляют собой чрезвычайно сложные объекты.
Они создаются многими природными явлениями и часто одновременно, поэтому их
отделение друг от друга является первой, но весьма сложной задачей. Достаточно сложна
и интерпретация природных геофизических полей.
I. Электромагнитные поля на Земле. Они обычно описываются дифференциальными
уравнениями Максвелла. Однако в экспериментах на Земле встречаются явления, которые
не только не описываются уравнениями Максвелла, но явно противоречат им. Среди
таких явлений можно выделить наблюдаемое в непроводящей атмосфере не
потенциальное магнитное поле, вертикальное к поверхности Земли электрическое поле,
тороидальное магнитное поле и др. Для описания электромагнитных полей с учетом
названных явлений предлагается обобщить уравнения Максвелла, дополнив их динамо
возбуждением, которое возникает при описании магнитных полей с помощью теоремы
Гельмгольца о роторе и дивергенции применительно к трем произвольным скалярным
функциям. Теорема Гельмгольца в этом случае в сферических областях имеет вид:
H  gradF  rot (T  r )  rotrot ( P  r )
(1)
H -векторное магнитное поле, F , T , P – произвольные скалярные математические
функции трех сферических переменных класса C  , теорема единственности разложения
(1) формулируется следующим образом: На всех поверхностях S, охватывающих H ,
должна существовать нормальная компонента векторного поля не равная нулю ( H r ).
Определение тороидальных и полоидальных полей введено в [3,4,5]:
Тороидальное поле: HT  rot (T  r ) . Полоидальное поле: H P  rotrot ( P  r ) . Известно [6]
что:
P   D1 (r  H ), T   D1 (r  rotH ) . Обратный оператор к оператору Лапласа без
радиальных производных D 1 находится следующим образом:
 D 1 f 


n 1
f n ( r ) S n ( ,  ) /( n  1) n, S n ( ,  ) 
n
A
m
n
m0



n 1
n 1
n 1
Pnm (cos  )e im
P   H Pr (r ) S n ( ,  ) /(n  1)n, T   (rotH T ) r (r )S n ( ,  ) /( n  1) n   H Pr (r ) S n ( ,  ) /( n  1) n
При условии:
rotHT  H P
(2)
Условие (2) есть первое уравнение динамо. Второе уравнение динамо следует из:
rotH P  rotrotrot ( P  r )  ( graddiv  )rot ( P  r )  rot ( P  r )  rot (P  r ) 


rot ( P  r )  HT


Тогда пара уравнений динамо будет иметь вид [2]:

(3)
H
 T
Здесь:  - скорость диффузии поля [м/с],  - магнитная вязкость [м2/с]. Граничные
rotHT  H P , rotH P 
условия для скалярных функций вытекают из поведения магнитного поля на границах
раздела сферических областей [2]:
1
1 P, T
P, T
r  R0  0,
r  R0  0
sin  

Обобщенные уравнения Максвелла для постоянного поля будут иметь вид [2]:
P, T
rotH P   ET 
r  R0
 0,

HT  J CT , rotHT  H P , rotET  0, divH P  0, divET  0, divHT  0,

divJ CT  0, BP   H P , BT   H T , divBP  0, divBT  0 DT   ET , divDT  0
(4)
Для переменного электромагнитного поля аналогичные уравнения имеют вид [2]:
H MT
, rotE ET  0
t
MT , ET
 E
, B MT ,ET   H MT ,ET
rotH MT   / E MT   H ET  J CT , rotH ET  H MT , rotE MT   
divH ET  0, divH MT  0, divD MT  0, divD ET  0, D MT , ET
Здесь:   (i / )1/ 2
(5)
Условия на поля:
H MT , ET , E MT , ET
t 0
 0 - начальные данные, H MT , ET , E MT , ET

 0 - условия излучения,
H1  H 2 , Et1  Et 2 ,[ B1  B2 ]  J s ,[n  ( D1  D2 )]   s  граничные условия
Обобщенные уравнения Максвелла позволили:
1.Доказать, что беспотенциальная часть Главного геомагнитного поля (ГГП) и его
вариаций есть тороидальное поле. Оно не потенциально в атмосфере. 2. Доказать
бессиловой характер тороидального поля. 3. Доказать, что вертикально направленное
электрическое поле потенциально и присутствует в атмосфере. 4. Доказать
двумодальность наблюдаемых на Земле естественных электромагнитных полей. 5.
Доказать, что источником ГГП является сферический электрический ток, создающий
полоидальную часть ГГП и небольшое тороидальное поле: -затравка порядка 30 нТ,устойчиво за счет саморегулирования напряженности, -индукционный разгон
сдерживается падением скорости потока, - полюса фокусируются тороидальным полем. 6.
Восстановить «мостик» между теорией генерации ГГП и его морфологическим описанием
за счет обобщения метода сферического анализа Ф. Гаусса на беспотенциальные и
бездивергентные ЭМП. 7. Вычислить расстояние до источника ГГП. Это зона F жидкого
ядра. 8. Определить поперечное сечение контура с током (с помощью кинематического
числа Рейнольдса). 9. Определить уровень «затравки» для индукционного возбуждения
ГГП. 10. Выявить переносчика уровня напряжений из очага землетрясений через
поверхность Земли.
II. Дрейф континентов или расширение Земли. В этой проблеме также можно получить
дифференциальные уравнения для жидкой части ядра Земли и с их помощью решить
главную проблему об инверсии полюсов.
1. Дрейф континентов не возможен: а) из-за отсутствия свободных объемов в
горизонтальных направлениях, б) из-за того, что конвекция в твердых телах не возможна
(ни свободная, ни принудительная [1]). Невозможность инверсий полюсов вытекает из
анализа следующей пары дифференциальных уравнений:


U U divU  2 U )   U  gradP   ( J  B )  f
 t

 

t B  rot (U  B )  B
(6)
2
Уравнения написаны для 1 м3 среды. Здесь: -плотность, -магнитная проницаемость;
,-кинематическая и магнитная вязкости; Р’=Р-gh - давление, gh -гидростатическое
давление; U-скорость потока; В -вектор магнитной индукции; J- вектор плотности тока;
-вектор скорости углового вращения; f-другие возможные силы;
( J  B) 
 B2 
 -сила
( B   ) B  grad 
 2 



1
Лоренца; U-вязкая сила;

 U
t
-центробежная сила;
 UdivU -сила вязкого переноса импульса; (2xU)-сила Кориолиса.
С помощью системы (6) показано, что инверсии магнитных полюсов не возможны, так как
скорость потока равна:
H 1/ 2
(7)
]
2 L

H
и является устойчивой, как устойчиво само магнитное поле.
2. Расширение Земли возможно: а) В связи с замедлением вращения Земли 0,0023 сек. За
сто лет (интервал времени для вычисления составил 2600 лет). б) При этом увеличение
радиуса Земли составляло 0,052 см за год [7]. в) За 500 мл. лет (при зафиксированных
здесь темпах) -радиус Земли вырос на 260 км. увеличение 4%,-средняя плотность упала на
11% (с (6,175 до 5,51)), -ускорение свободного падения упало на 7% с 10,54 до 9,8, атмосферное давление упало на 7%.
3. Расширение испытало два этапа: 1) Интенсивное до 2 млрд. лет (Заложились
континенты) 2) Медленное до настоящего времени. За 500 мл. лет изменения
незначительны.
III. Дифференциальное уравнение очага в разномодульных средах. Механизм
землетрясения. Напряжения в элементарном объеме очага:
V  [(
P
 gh)
 2U
Div ij ( 
  g (3  2  ) gradT [ Ee H ] Fсц )
t 2
Здесь:  - модуль упругости,  - коэффициент трещиноватости.
 ij   ij ( U kk  (3  2  ) (T  T0 ))  2 U ij
(8)
   1; и   -
Пусть Т-Т0=0, тогда можно записать:
 ij  kU kk  ij  2  (U ij  1 / 3U kk  ij )
k -модуль сжатия. Определим отношение сдвиг/сжатие:
 ij ( ) 
2  (U ij 1/ 3U kk  ij )
KU kk  ij
В элементарном объеме можно воспользоваться давлением Р, : При этом ij=1,2.
1
(  P ij )
2
k=3.После преобразований получим:
U kk  P / 3k ;
Uij 
 ij   P ij
2(   )
3(  /  ) 2(   )
Отношение сдвиг/сжатие. Параметры: μ=109, λ=1010, ν=109.
G ( )3
3

6G( )
4
10
2
13
9
7
11
-2
5
3
1
0
IV. Дифференциальные уравнения для определения предвестников землетрясений:
 2U

 Div ij (3  2  ) gradT  ( E e H )  g  Fсц
t 2
e
H
U
U
U
 H   ( H   )
  (
  ) H   Hdiv
e
e t
e
t
t
t
C
T
U
 T  (3  2  ) T div
 Q
v t
0
t
(9)
  2 U   ( U  (3  2 ) (T  T ))
ij
ij ij
kk
0
Показано, что предвестники землетрясений имеют место только в потенциальном
электрическом поле, возникающем в очаге землетрясений.
V. Сейсмика в разномодульных средах. В разномодульных средах имеет место:
    1;    
Здесь:  ,  - параметры Ламе,  - модуль упругости,  - параметр трещиноватости. Его
можно определить двумя путями:
1 U U j 2
1)   I1 / I 2 ; где I1  U ii ; I 2  [ ( i 
)]
2 j
i
1
3
2)    /  0 ; где    ii ;  0  ( Sij S ji )1/ 2 ;
3
2
1
Sij  ( ij   kk  ij ) - девиатор напряжений.
3
Дифференциальные уравнения для продольных и поперечных волн в разномодульных
средах:
 2U p
 2U s
  2 1/ 2


V

U

0,
 Vs U s  0 при этом: Vp  (
) , Vs  ( )1/ 2 .
p
p
2
2
t
t


4
Литература
1. Анфилогов В.И. Возможна ли свободная конвекция в кристаллической мантии
Земли? ДРАН, 2002.-т. 384, №4.- с. 473-475.
2. Аксенов В.В. Электромагнитное поле Земли. Но-ск: Изд. СОРАН, 2006.- 249 с.
3. Lamb H. On the oscillations of a viscous spheroid//Proc. London Math. Soc.-1881.- Vol.
13.- p. 51-66.
4. Mie G. Beitrage zur Optic truber Medien, speriell kolloidaler Metallosungen//Ann. Phys.
– 1908.-Vol.25.- p. 377-445.
5. Love A.E.H. Notes on the dynamical theory of tides//Proc. London Math. Soc.-1913. Vol.12.-p. 309-314.
6. Backus G.A. Class of self – sustaining dissipative spherical dynamos// Ann. Phys.-1958/Vol.4.-p. 372-447.
7. Иваненко Д.Д., Сагитов М.У. О гипотезе расширяющейся Земли.- М.: Вестник
Моск. у-та.Физика, астрономия, 1961, №6.- С. 83-87.
5