Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обобщение уравнений Максвелла на случай описания электромагнитных полей, наблюдаемых на Земле В.В. Аксенов ИВМиМГ СО РАН пр. Ак. Лаврентьева, 6, 630090 Новосибирск, Россия E-mail: aksenov@omzg.sscc.ru 1. На протяжении почти двух столетий в наблюдаемых электромагнитных полях (ЭМП) на Земле замечались необычные проявления. К наиболее ярким из них можно отнести: - Обнаружение Van Vleuten в 1902 г. беспотенциальной составляющей ЭМП в воздухе. Аналогичное открытие было сделано Н.П. Беньковой в 1941 г. при обработке и интерпретации солнечно-суточных вариаций ЭМП, наблюденных в первый Международный геофизический год (1933 г.). - Обнаружение Д.Н. Четаевым в 1973 г. большой по напряженности вертикальной составляющей электрического поля в воздухе в короткопериодических вариациях ЭМП. 2. Кроме того, в описании ЭМП на Земле имеют место существенные нестыковки теории с экспериментом. В частности выводы динамо-теории возбуждения ЭМП не подтверждаются экспериментом на Мировой сети магнитных обсерваторий. По динамо-теории тороидального поля в атмосфере быть не должно. Тем не менее, оно успешно наблюдается в эксперименте. 3. Следствия из теоремы Гельмгольца (1880 г.) о воспроизведении любого векторного поля с помощью трех скалярных произвольных функций (потенциалов) не удовлетворяют стандартным уравнениям Максвелла из-за присутствия динамо возбуждения ЭМП в этих разложениях.. Для преодоления выше перечисленных проблем стандартных уравнений Максвелла оказалось недостаточно. Требовалось найти более общее описание ЭМП на Земле. Это более общее описание ЭМП не должно противоречить уравнениям Максвелла, а существенно дополнять их. Более общее описание ЭМП на Земле восходит к известной теореме Гельмгольца о представлении любого векторного поля, содержащего в себе части с нулевыми ротором и дивергенцией, с помощью трех произвольных скалярных функций (потенциалов). Существенной в этом описании ЭМП является также теорема единственности такого разложения. Теорема Гельмгольца в сферических областях записывается следующим образом: H gradF rot (T r ) rotrot ( P r ) (1) Здесь: H - векторное магнитное поле, F , T , P - произвольные скалярные функции (потенциалы) трех сферических переменных ( r , , ). Теорема единственности такого разложения требует на всех поверхностях S , охватывающих область задания векторного поля H , существования не равной нулю нормальной компоненты этого поля H r 0 . В конце позапрошлого и начале прошлого века усилиями многих ученых Lamb (1881 г.), Mie (1908 г.), Love (1913 г.) и др. слагаемым из (1) был придан свой физический смысл. Выражение HT (T r ) было названо тороидальным магнитным полем, выражение H P rotrot ( P r ) - соответственно полоидальным магнитным полем. Бэкусом (Backus 1958 г.) были найдены следующие формулы: (2) P D2 (r H ), T D2 (r rotH ) В (2) обратный оператор D 2 имеет следующий смысл: D 2 f f n (r ) S n ( , ) / n(n 1) (3) n 1 Здесь: S n ( , ) n A m 0 P (cos )eim , f - произвольная функция класса C . Формулы (2) позволяют m m n n найти первое уравнение динамо возбуждения: Sn ( , ) S ( , ) S ( , ) ; T (rotH T ) r (r ) n H Pr (r ) n (4) n(n 1) n(n 1) n 1 n(n 1) n 1 n 1 Формулы (4) справедливы при условии rotHT H P . Это и есть первое уравнение динамо возбуждения. P H Pr (r ) Второе уравнение, замыкающее принцип динамо, находится следующим образом: rotH P rotrotrot ( P r ) ( graddiv )rot ( P r ) rot (P r ) rot ( P r ) HT (5) 1 Таким образом, пара уравнений динамо будет иметь вид (Аксенов 1968-2007 гг.): rotHT H P , rotH P H T (6) Здесь: - скорость диффузии поля, - магнитная вязкость. Граничные условия для потенциалов можно записать следующим образом: P, T 0, r R0 1 P, T sin r R0 0, P, T r R0 0 (7) Тогда обобщенные уравнения Максвелла для наблюдаемых на Земле ЭМП следует записать так. Постоянное поле: rotH P ET HT J CT , rotHT H P , rotET 0 divH P 0, divET 0, divH T 0, divJ CT 0, divBP 0, divDT =0, divBT 0 BP H P , BT HT , DT ET (8) Переменное поле: rotH MT E MT H ET J CT , rotH ET H MT H MT , rotE ET 0 t 0, divH MT 0, divD MT 0, divD ET 0 rotE MT divH ET (9) D MT , ET E MT , ET , B MT , ET H MT , ET Здесь: (i )1/ 2 . При H T 0 и H ET 0 уравнения (8) и (9) автоматически переходят в стандартные уравнения Максвелла. Начальные данные есть: H MT , ET , E MT , ET t0 0. Условия излучения стандартны: H MT , ET , E MT , ET Граничные условия: 0. H1 H 2 , Et1 Et 2 ,[ B1 B2 ] J S ,[n ( D1 D2 )] S Применение (8) и (9) к наблюденным данным Мировой сети магнитных обсерваторий позволило обнаружить в ЭМП на Земле ряд новых физических явлений, о которых будет подробно освещено в докладе. Литература 1. Van Vleuten A. Over de dagelijksche variatie van het Ardmagnetismc.-Utrecht: Koninklijk Ned. Meteor. Instit., 1917.-P. 25-30. 2. Бенькова Н.П. Спокойные солнечно-суточные вариации земного магнетизма. -М., Л.: Гидрометиоиздат, 1941. – 73 с. 3. Четаев Д.Н. Дирекционный анализ магнитотеллурических наблюдений. – М.: Изд ИФЗ АН СССР, 1985. – 256 с. 4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Определения, теоремы, формулы. – М.: Наука, 1970. –720 с. 5. Lamb H. On the oscillations of a viscous spheroid// Proc. London. Math. Soc. – 1881. – Vol. 13. - P. 51-66. 6. Mie G. Beitrage zur Optic truber Medien, speziell Kolloidaler Metallosungen// Ann. Phys. – 1908. – Vol. 25. – P. 377-445. 7. Love A.E.N. Notes on the dynamical theory of tides// Proc. London Math. Soc. – 1913. – Vol. 12. – P.309314. 8. Backus G. A class of self-sustaining dissipative spherical dynamos// Ann. Phys. – 1958. Vol. 4. – P. 372447. 9. Аксенов В.В. Электромагнитное поле Земли. – Новосибирск: Изд. СО РАН, 2006. – 249 с. 2