Математика Вестник Нижегородского университета Н.И. Лобачевского, 2007, № 1, с. 162–166 А.А.им. Жидков 162 УДК 517.9 ОЦЕНКИ СКАЛЯРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ 2007 г. А.А. Жидков Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского vestnik_nngu@mail.ru Поступила в редакцию 26.12.2006 Доказываются L2 -оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях в весовых функциональных пространствах. В формулировках широкого класса задач математической физики (например, задачи гидродинамики, электромагнитной теории, теории упругости) присутствуют дифференциальные операции векторного анализа. В обширной математической литературе, посвященной таким задачам, в частности, детально изучаются свой- rot u L p , div u Lq и оценки норм u работах существенно используется ограниченность пространственной области . Однако, нелокальный характер многих физических полей (в частности, электромагнитных полей) приводит к необходимости изучения соответствующих неравенств в неограниченных областях. В настоящей работе устанавливаются L2 оценки для скалярных произведений векторных полей в весовых функциональных пространствах для неограниченных областей. в различных функциональных пространствах Основные результаты ства классов функций u : R3 ( R3 – открытое подмножество), для которых через rot u L p и div u Lq . В списке ли- тературы [1]–[7] приведены лишь некоторые из основополагающих работ в этом направлении. Однако, во многих прикладных задачах, связанных прежде всего с изучением физических явлений в неоднородных средах, естественно возникает необходимость изучения классов Пусть R 3 – некоторое открытое подмножество пространства R 3 (в частности, R 3 ). Через L2 обозначается гильбертово пространство функций u : R , суммируемых с квадратом, со скалярным произведением u v L ux vx dx . функций u : R3 , для которых rot u L p , div u Lq , где – некоторый оператор или, в частном случае, коэффициент, не обладающий достаточной гладкостью. В этом случае нельзя говорить о включении функции u в пространства Соболева. Исследование таких задач проводится, как правило, в предположении кусочной гладкости коэффициентов с дополнительными условиями согласования на границах раздела сред [6]. Один из возможных подходов исследования таких задач предложен в работах [8]–[11] и связан с изучением оценок скалярных произведений u vdx через rot u L p и div v Lq . При доказательстве основных неравенств в этих 2 Через L2 3 пространство обозначается гильбертово u : R3 , вектор-функций ux u1 x , u 2 x , u3 x , таких, что ui L2 ( i 1,2,3 ), со скалярным произведением u v 3 L2 Для каждого 3 u i 1 i vi L . 2 R определяются гильбер- товы пространства функций в R H rot; 3 2 /2 u L2 3 : 1 x rot u L2 3 , Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях H div ; 2 /2 u L2 3 : 1 x div u L2 с соответствующими скалярными произведениями u v u v L2 3 H rot; H div ; Теорема. Пусть 1 , R3 . Тогда существует положительная постоянная C (зависящая только от ) такая, что при всех u L2 R L2 R L2 R 1 x 2 /2 3 3 3 3 v div v 1/ 2 r , , r ux grad u s , s d 0 1r rot u s s d , r0 (3) r ux rot u s s d 0 s 1 2 div u s d . r2 0 (4) Покажем справедливость неравенства (1). Рассмотрим интеграл вида 3 3 2 /2 1 x rotu r x x12 x 22 x32 справедливо u v C L2 R (2) записаны в виде: div u L2 понимаются в смысле теории распределений (см. [11], [12]). Основным результатом работы является s x / x . Тогда тождества (1), (2) могут быть rot u L2 3 , u H rot; R 3 , v H div ; R 3 неравенство 1 ux rot x uz x d 0 Пусть включения (1) z где z x , 0, 1 . 2 /2 2 /2 1 x div u 1 x div v . L2 Здесь rot uz xd , 0 0 u v L2 3 1 + 1 2 /2 2 /2 , 1 x rot u 1 x rot v L2 3 u v 1 ux grad x uz , x d 0 2 x div z uz d , 163 3 3 L2 R 3 R x u x v x dx , (5) R3 (1) . где R x – функция вида 1, R x A1 R, 0, 1 x A2 R, , x 12 R, 1 2 R x R, x R, Доказательство неравенства (1) Для доказательства потребуется следующее утверждение Лемма. (см. [8]) Пусть – открытое множество в R 3 (в частности, R 3 ), звездное относительно точки 0 . Тогда для любого x и всех функций u C тождества: 1 3 справедливы 1 где A1 R, 1 2 , A2 R, 1R2 , – фиксированное положительное число. Пусть B R – замкнутый шар с центром в нуле, с границей B R . В (5) применим представление (2) для вектор-функции v . А.А. Жидков 164 x ux vxdx I1,1 R 1 R x u x rot v x x d dx BR 0 1 R x ux 2 x div v x d dx BR 0 ( I 1 ) ( I 2 ). Используя соотношение div a b a rot b rot a b , и применяя теорему Гаусса – Остроградского, получим I 1 1 R x u x rot v x x d dx BR 0 R x ux v x x d dS BR 0 1 1 rot R x ux v x x d dx. BR 0 Первый интеграл в полученном соотноше- нии равен нулю, так как R x 0 при x R , поэтому I 1 R BR r dS r R r rot u r s v s d dr S 0 R dS r S 0 0 dr 1/ 2 2 r dS 2 v s d S 0 1 / 2 R r r /2 R r 1 r2 rot u r s dr. / 2 2 0 1 r Применяя ко второму интегралу неравенство Коши – Буняковского, получаем следующую оценку: R I1,1 dS 2 v s S 0 1/ 2 R r 2 r R dr 0 2 1 r 2 d 1/ 2 R r 2 1 r 2 0 rotur s dr 2 1/ 2 Из оценки r R2 r R R 1 r dr 1 r dr 2 0 r 2 0 1 1 1 2 1 1 R2 , 1 при 1 , где 1 0 следует 1 rot R x ux v x x d dx BR 0 I 1,1 C1,1 R 1 x 2 /2 R r dS r R r rot u r s v s s d dr S 0 0 где C1,1 R R dS r ( grad R r u r s S r 1/ 2 2 r R r rot u r s 2 v s d 0 3/ 2 0 v s s d )dr ( I1,1 ) ( I1,2 ). 0 Оценим I1,1 . Применяя неравенство Коши r – Буняковского к v s d , получим 0 rot ux v 3, L2 R3 3 L2 R3 1 1 2 . 1 R Теперь оценим интеграл I 1, 2 . Поскольку gradθ R ( r ) 1 2 dθ R ( r ) dr Rβ 1 1 β 1 , RrR β β 2 2 1 r 0, в противном случае , применяя неравенство Коши – Буняковского, получим . Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях R R2 ( r ) r 1/ 2 R 2 I1,2 dS 2 v s d S 0 ( R 1/ 2 . Поскольку d R r dr r dr R/2 2 2 2 R2 R 2 1 dr r 2 1 R/2 2 1 , 2 2 1 1/ 2 R 2 при 0 , и dS r 2 u r s dr 0 при S R/2 R , то I1, 2 0 при R . Получим оценку для интеграла I 2 . Приме- 0 Рассмотрим второй интеграл из правой части полученного неравенства. Здесь, как и при оценке интеграла I 1,1 , положим 1 . Получаем R 2 R 2 div v s d 0 r 0 1 2 r 2 0 2 1 /2 /2 div v s d 1/ 2 d R 1 r d 1 r 2 d dr 2 2 dr 2 r 0 0 1 r 0 1 2 . 00 1 2 div v s d R dS 2 1 2 S 0 2 112 1 1 R 2 div v . , L2 R3 Итак, переходя к пределу при R и пользуясь условием, что R x ux v x dx 1 C max , 2 R r u r s dr 1 1 . 6 2 1 2 Работа выполнена под руководством А.В. Калинина. 1/ 2 2 d 2 /2 Теорема доказана. 1/ 2 2 1 6 L2 R 1 x 3 3 R при R , получаем оценку (1.1) с константой 1/ 2 div v s d R dS 2 1 2 S 0 . . Таким образом, получаем оценку 3 I 2 1 1 1 1 2 6 2 1 2 R ux vx dx u v L2 R3 3 Отсюда следует оценка 2 BR d dr 1 где C 2 R 1 2 r 2 1 2 0 R r 0 2 I 2 C2 R u няковского r r r r2 0 ним к 2 div v s d неравенство Коши – Бу0 ( r 2 u ( rs ) d )1 2 . r 2 ddr)1 / 2 2 0 (1 ) r2 0 2 R R 2 d r dS r R dr r 2 u r s dr S R/2 dr R/2 R 165 1/ 2 div v s d 2 Список литературы 1. Вейль Г. Метод ортогональной проекции в теории потенциала / Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984. 2. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматгиз, 1961. 3. Ладыженская О.А., Солонников В.А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидро- 166 А.А. Жидков динамики вязкой жидкости // Труды МИАН СССР, 1960. Т.59. С. 115–173. 4. Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа // Труды МИАН СССР, 1960. Т. 59. С. 5–36. 5. Масленникова В.Н., Боговский М.Е. Пространства Соболева соленоидальных векторных полей // Сибирский математический журнал, 1981. Т. 22. № 3. С. 91–118. 6. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 7. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численнй анализ. М.: Мир, 1981. 8. Калинин А.В. Некоторые оценки теории векторных полей // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 1997. Т. 20, № 1. С. 32–38. 9. Калинин А.В., Калинкина А.А. Оценки векторных полей и стационарная система уравнений Максвелла // Вестник ННГУ. Серия Математическое моделирование и оптимальное управление, 2002. Вып. 1 (25). С. 95–107. 10. Калинин А.В., Калинкина А.А. L p -оценки векторных полей // Известия вузов. Математика, 2004. № 3. С. 26–35. 11. Калинин А.В., Калинкина А.А. L p -оценки для скалярных произведений векторных полей // Вестник ННГУ. Серия Математика, 2004. Вып. 1(2). С. 104–115. 12. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976. 13. Жидков А.А., Калинин А.В. Оценки скалярных произведений векторных полей в неограниченных областях. Деп. в ВИНИТИ РАН 13.10.06, № 1235-В2006. ESTIMATES OF THE SCALAR PRODUCTS OF VECTOR FIELDS IN UNBOUNDED REGIONS A.A. Zhidkov We prove L2 -estimates of the scalar products of vector fields in unbounded regions of weighted function spaces.