Компьютерная геометрия - вопросы к зачету (весна 2022) 1. Предмет компьютерной геометрии и графики: назначение, применение, основные задачи. 2. Тест ориентации точки относительно прямой на плоскости, в зависимости от вида уравнения прямой: а) в общем виде; б) заданного точкой и нормалью; в) заданного точкой и направляющим вектором: через определитель, параметрическое уравнение, каноническое; г) заданного двумя точками. 3. Модель данных для многоугольника на плоскости. Тест пересечения прямой с многоугольником на плоскости. 4. Тест на выпуклость многоугольника на плоскости. 5. Тест на наличие самопересечения ребер многоугольника на плоскости. 6. Тест ориентации точки относительно многоугольника на плоскости: случай выпуклого многоугольника. 7. Тест ориентации точки относительно многоугольника на плоскости: необходимое условие принадлежности – габаритный тест. 8. Тест ориентации точки относительно многоугольника на плоскости: угловой тест. 9. Тест ориентации точки относительно многоугольника на плоскости: лучевой тест. 10. Использование функции random()[0,1] для генерирования: а) «случайного» числа из отрезка [a,b]; б) единичного вектора «случайного» направления на плоскости R2; в) единичного вектора «случайного» направления в пространстве R3. 11. Генерирование «случайного» многоугольника на плоскости: метод «розы ветров». 12. Генерирование «случайного» многоугольника на плоскости: метод «скачущего кузнечика». 1 13. Пример построения изображения плоской кривой, заданной параметрическим уравнением. 14. Алгоритмические методы простейшей анимации на плоскости: непрерывное автономное движение, пошаговое движение по нажатию клавиш, непрерывное движение под управлением клавиатуры. 15. Аффинные преобразования: основные случаи применения в компьютерной геометрии: а) построение изображений при помощи проекции; б) сложные сцены, включающие несколько объектов и наблюдателей; в) движения объектов и наблюдателей внутри сцены. 16. Пространство Rn как точечное (аффинное) и векторное. Понятия: точка, вектор, операции над векторами. Линейное (векторное) пространство. 17. Линейное и аффинное отображение. Преобразование пространства Rn. Линейные (аффинные) комбинации k векторов (соответственно: точек). Матричное представление линейного и аффинного преобразования пространства. Линейная часть и сдвиг. Однородные координаты: применение для записи аффинных отображений (точек) и соответствующих линейных отображений (векторов). Композиция аффинных отображений в однородных и обычных координатах. Преимущество однородных. 18. Замена линейных координат (репера) как пассивное аффинное преобразование. Метод составления матрицы (в однородных координатах). Отображение аффинных базисов. 19. Пример аффинного преобразования картинного прямоугольника на действительной плоскости R2 в прямоугольник экранных (пиксельных) координат. Формула в координатах и в матричном виде. 20. Элементарные преобразования: параллельный перенос (на плоскости и в пространстве). Формула: в векторной форме, в координатах, в матричной форме (в обычных и однородных координатах). Обратное преобразование. Неподвижные точки. 21. Элементарные преобразования: масштабирование. Формула: в координатах, в матричной форме (в обычных и однородных координатах). Обратное преобразование. Неподвижные точки. Частные случаи: осевая, зеркальная, центральная симметрия; гомотетия. 22. Элементарные преобразования: вращение плоскости R2 относительно начала координат, вращение пространства R3 относительно координатных осей. Формулы в координатах и в матричной форме (обычные и однородные координаты). 23. Пример применения аффинных преобразований: алгоритм построения изображения на экране каркаса многогранника в аксонометрической проекции: объектные (подвижные) координаты Oxоyоzо получены из мировых (неподвижных) координат Oxмyмzм композицией 2-вращений относительно осей Ozм, Oyм. Наблюдатель «бесконечно удален» в направлении оси Oxм. Определение видимых и невидимых ребер выпуклого многогранника. 24. Пример построения каркаса поверхности, состоящего из координатных линий в аксонометрической проекции. 2 25. Классические аффинные преобразования: метод перехода к «приспособленной» системе координат для вычисления матрицы преобразования. 26. Классические аффинные преобразования: масштабирование от точки a (в пространстве и на плоскости). Частные случаи: гомотетия от точки a с коэффициентом k, центральная симметрия с центром a. 27. Классические аффинные преобразования: отражение относительно прямой на плоскости R2 (осевая или зеркальная симметрия). Случаи: 1) прямая задана точкой и направляющим вектором; 2) прямая задана уравнением с угловым коэффициентом, частные случаи. 28. Классические аффинные преобразования: вращение плоскости R2 вокруг точки a. 29. Лемма: вычисление матрицы перехода к приспособленной системе координат в пространстве, выбранной так, что ось Oz’ сонаправлена заданному вектору V=(Vx, Vy, Vz). 30. Классические аффинные преобразования: зеркальная симметрия относительно плоскости, заданной точкой a и вектором нормали N. 31. Классические аффинные преобразования: вращение пространства R3 вокруг оси, заданной точкой a и направляющим вектором N. 32. Классические аффинные преобразования: осевая симметрия пространства R3 или отражение относительно прямой, заданной точкой a и направляющим вектором V. 33. Арифметические операции с использованием однородных координат. 34. Центральная проекция пространства на плоскость Oxy с центром S. Приведение однородных координат к декартовому виду. Критерий расположения точки относительно «наблюдателя» (центра и плоскости проекции). 35. Пример применения центральной проекции для построения изображения каркаса многогранника, заданного в системе координат наблюдателя: абсолютные размеры картинного прямоугольника 36. Построение 3d-изображения (пары стерео-проекций): а) абсолютные размеры картинного прямоугольника, б) относительные размеры. 37. Пример применения центральной проекции: сцена с подвижным объектом и подвижным наблюдателем (каркасные модели объектов). 38. Модели освещенности поверхностей. Относительный и абсолютный цветовой вектор. Вектор коэффициентов отражения. Упрощенные модели освещения: фоновое, от точечного источника, параллельными лучами. Формула отражения фонового освещения. 39. Упрощенные модели отражающих поверхностей: Ламбертова (диффузная) и зеркальная поверхности. Формула отражения света, исходящего из точечного источника: а) от Ламбертовой поверхности; б) от зеркальной поверхности. Итоговая формула отражения, включающая комбинацию моделей света и моделей поверхности. 40. Пример применения моделей освещенности поверхностей. Изображение выпуклого многогранника с непрозрачными гранями в аксонометрической проекции, освещенного комбинацией точечного источника и фонового освещения.
