Загрузил Анастасия Осипова

Задачи МКТ и ТД

Задача № 1-12
До какой температуры Т2 нужно нагреть воздух, содержащийся в открытой
колбе при температуре t1 = 20o С, чтобы плотность воздуха уменьшилась в 2 раза?
Дано: t1 = 20o С, Т1 = 293 К, ρ1/ρ2 = 2. Определить Т2 - ?
Так как воздух находится в открытой колбе объёмом V, то в обоих случаях давление
воздуха в колбе будет одно и тоже: р1 = р2 = р, а массы воздуха, заполняющие колбу m1 и
m2, разные. Запишем для этих случаев два уравнения Клапейрона – Менделеева:
Задача №
1-30
Из баллона объема V = 200 дм3, содержащего гелий при давлении р1 = 2·106 Па и
температуре Т = 273 К, израсходовали часть газа, занявшего при нормальных
условиях объем V1= 1 м3. При повторном измерении давления в баллоне получено
значение р2 =1,4·106 Па. При какой температуре проведено это измерение?
Дано: V = 0,2 м3, р1 = 2·106 Па, Т = 273 К, V1= 1 м3, р2 =1,4·106 Па. Определить Т2 ?
В этой задаче будем трижды пользоваться уравнением Клапейрона – Менделеева.
Сначала найдем массу гелия m в баллоне:
Задача № 2-5
Баллон ёмкостью V1 = 2л, содержащий ν1 = 1 моль газа при температуре t1 =
соединили с другим баллоном ёмкостью V2 = 4 л, содержащим ν2= 2 моля этого
же газа при температуре t2 = 87оС. Определите давление и температуру газа после
установления теплового равновесия. Теплообменом с окружающей средой
пренебречь.
27оС,
Дано: V1 = 2·10-3 м3, ν1 = 1 моль, Т1 = 300 К, V2 = 4·10-3 м3, ν2 = 2 моля, Т2 = 360 К.
Определить Т - ? р - ?
Для нахождения температуры газа после соединения баллонов воспользуемся
законом сохранения энергии: Е = Е1 + Е2 (1). Здесь Е1 = N1 <εк1> и Е2 = N2 <εк2> внутренняя энергия газа в первом и во втором баллонах, соответственно. <εк1> и <εк2> средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа в первом и втором
баллонах, N1 = ν1NА и N2 = ν2NА - число молекул в первом и во втором объёмах (NА =
6,02·1023 моль-1 – постоянная Авогадро)
Задача № 2-11
Открытую стеклянную трубку длиной L = 1 м наполовину погружают в ртуть.
Затем трубку сверху закрывают и вынимают. Какой длины столбик ртути останется
в трубке? Атмосферное давление ро = 750 мм рт. ст.
Дано: L = 1 м, ро = 750 мм рт. ст. Определить х - ?
Рис. 2.6.
При подъёме трубки ртуть будет вытекать из нее до тех пор, пока разность сил
давления воздуха снаружи и внутри трубки не уравновесит силу тяжести столбика ртути,
оставшегося в трубке. В этом случае давление внутри трубки будет
р = po - ρgx (1),
где ρ – плотность ртути, х – длина оставшегося в трубке столбика ртути. Уравнение (1)
имеет два неизвестных: р и х. Для решения задачи строим второе уравнение:
воспользуемся законом Бойля - Мариотта, считая температуру и массу воздуха в трубке
постоянными. Для этого рассмотрим два состояния воздуха в трубке. Первое состояние:
объём воздуха V1 = ½L·S, исходное давление р1 = ро. Второе состояние : объём V2 = (L х)·S, конечное давление р2 = р = po - ρgx. Запишем уравнение закона Бойля - Мариотта:
р1V1 = р2V2 => ½ро LS = р(L – х)S (2), где S – площадь поперечного сечения
трубки. Решаем совместно уравнения (1) и (2). Подставим давление р из (1) в уравнение
(2), получим:
½ро L = (ро – ρgх)(L – х) (3).
Для упрощения решения уравнения (3) выразим атмосферное давление ро как ро =
ρgН, где Н = 750 мм. После упрощения получим квадратное уравнение
Второй корень этого уравнения превышает длину трубки и нам не подходит.
Задача № 2-29
Цилиндрический сосуд длиной L =1,5 м, разделенный теплонепроницаемым
легким поршнем, заполнен идеальным газом. В начальном состоянии объем левой
части сосуда вдвое больше правой,. а температура в обоих частях одинакова На
сколько переместится поршень, если температуру в правой части увеличить вдвое?
Температура в левой части поддерживается постоянной.
Дано: L =1,5 м, V1 = 2V2 , Т2 = 2Т1. Определить х - ?
Рис. 14.
Так как объём левой части цилиндра в 2 раза больше объёма правой части, то,
соответственно, длина левой части цилиндра в два раза больше длины правой части (см
рис.14): L1 =2L2. Вся длина цилиндра – L, следовательно, L1 = 2L/3 и L2 = L/3.
Запишем два уравнения Клапейрона для газа в левой и правой частях цилиндра
(рис.14):
Задача № 1-3.
Гелий нагревается при постоянном давлении. При этом ему
сообщено Q = 20 кДж теплоты. Определить изменение внутренней
энергии газа и совершенную им работу.
Дано: Q = 20·103 Дж. Определить ΔU - ? A - ?
Так как по условию задачи процесс изобарный (р = соnst), то
совершаемая при этом работа газом будет А = νRΔT, где ν – число молей
гелия, ΔT - изменение температуры гелия..
Гелий - одноатомный газ, формула расчета его внутренняя энергия будет
U = 3νRT/2, а изменение энергии ΔU = 3νRΔT/2. Сравнивая формулу работы
А и формулу изменения внутренней энергии ΔU, получаем, что ΔU = 3А/2.
Тогда, на основании уравнения первого закона термодинамики Q = A +
ΔU , получим
Q = 3А/2 + А = 5А/2.
Отсюда, работа газа А = 2Q/5 = 8 кДж, изменение внутренней энергии
ΔU = 3А/2 = 12 кДж.
Задача № 1-26
Один моль одноатомного идеального газа совершает процесс 1-2-3 (
рис. 5), где То = 100 К). На участке 2-3 к газу подводят Q23 = 2,5 кДж
теплоты. Найдите отношение работы А, совершаемой газом в ходе
процесса, к количеству поглощенной газом теплоты Q.
Дано: ν = 1, Т1 = То = 100 К, Q23 = 2,5·103 Дж. Определить А/Q - ?
Рис. 5.
На графике приведен процесс, состоящий из двух частей:
изохорического процесса (1-2) (прямая линия, продолжение линии проходит
через начало координат) и изотермического процесса (2-3).
В
соответствии с первым законом термодинамики уравнение данного процесса:
Q = A + ΔU (1), где А = А12 + А 23 и ΔU = ΔU12 +
ΔU12.
В изохорном процессе (1-2) работа А12 = 0, а в изотермическом процессе
(2-3) ΔU23 = 0, следовательно, Q = А 23 + ΔU12, а работа А = А23 , а так как
ΔU23 = 0, то А23 = Q23, откуда работа газа в процессе равна А = Q23 .
Изменение внутренней энергии газа на участке 1-2:
Тогда из уравнения (1) получаем: Q = Q23 + 3νRTо.
Задача № 2-9
Над молем идеального газа совершают цикл (замкнутый процесс),
состоящий из двух изохор и двух изобар (рис. 5). Температуры в точках 1
и З равны соответственно Т1 и Т3. Определить работу, совершенную
газом за цикл, если точки 2 и 4 лежат на одной изотерме.
Дано: Т1, Т3. Определить А - ?
Рис. 5.
Работа, совершаемая газом численно равна площади прямоугольника
1,2,3,4, изображающего цикл. Работа равна
А = (p2 – p1)(V4 – V1) = p2V4 – p1V4 – p2V1 + p1V1 (1).
Обозначим температуры точек 2 и 4 цикла Т2 = Т4 = Т. Запишем для
каждой точки цикла уравнение состояния:
р1V1 = RT1 (2), p2V2 = RT (3), p3V3 = RT3 (4), p4V4 = RT
(5).
Воспользуемся также законом Гей-Люссака для процессов 4-1 и 2-3:
Рассмотрим по порядку слагаемые в правой части уравнения (1):
Учитывая, что р2 = р3 и V4 =V3, получим p2V4 = p3V3 = RT3 .
Учитывая, что р1 = р4 , получим p1V4 = p4V4 = RT.
Учитывая, что V1 =V2, получим p2V1 = p2V2 = RT и последний член
р1V1 = RT1.
Задача № 2-16
В длинной закрытой трубке между двумя поршнями массой М
каждый находится идеальный газ, масса которого много меньше массы
поршней, в остальном пространстве трубы - вакуум. В начальный
момент правый поршень имеет скорость 2u, левый - 4u. Найдите
максимальную температуру газа, если стенки трубки и поршня
теплонепроницаемы. Температура газа в начальный момент То.
Внутренняя энергия массы газа U = CТ.
Дано: М, 2u, 4u, То , U = CТ. Определить ТМ -?
Рис. 2.9.
Система, состоящая из трубки, двух поршней и некоторой массы
идеального газа, теплоизолирована, трение отсутствует, то эту систему
можно считать изолированной, а полную энергию системы считать
постоянной E = const. Система в начальный момент времени обладает
энергией, равной сумме кинетических энергий поршней и внутренней
энергии газа СТо:
Начальный импульс системы направлен вправо и его модуль равен
Р1 = 4Mu + 2Mu = 6Mu
(импульс газа не учитываем из-за малости его массы по сравнению с
массами поршней).
Так как начальная скорость левого поршня больше, чем правого, то газ
между поршнями подвергается сжатию. При этом скорость правого поршня
возрастает, а скорость левого - убывает. Так как система теплоизолирована,
то сжатие газа приводит к росту его температуры. Температура перестает
расти и достигает максимума Тм в тот момент, когда прекращается сжатие, а
это соответствует равенству скоростей поршней. Обозначим равную
скорость поршней в этот момент буквой V. Тогда импульс системы в этот
момент будет
Р2 = MV + MV = 2MV и также направлен
вправо.
По условию задачи данная система
выполняется закон сохранения импульса:
замкнутая,
следовательно
Р1 = Р2
=>
6Mu = 2MV, откуда скорость поршней V =
3u.
Энергия системы при равенстве скоростей:
Задача № 2-30
С одноатомным идеальным газом происходит циклический процесс
1 – 2 – 3 , график которого в координатах P-V приведен на рисунке 2.18.
Найти коэффициент полезного действия η этого процесса. Все
необходимые величины даны на рисунке.
Дано: процесс 1 – 2 – 3. Определить η - ?
Рис. 2.18.
КПД представленного цикла найдем с помощью формулы: η = A/Q1,
где А – полезная работа газа за цикл, Q1 – количество теплоты, переданное
газу нагревателем за цикл. Работа А численно равна площади треугольника
Δ1,2,3 (рис. 2.18)
Рассмотрим на каких участках цикла газ получает тепло. Участок (1-2) –
линейная зависимость давления от объёма, объём уменьшается, газ тепло
отдает; участок (2-3)– изобара, газ расширяется, приобретая тепло у
нагревателя; участок (3-1) изохора, у газа уменьшается давление, газ тепло
отдает охладителю. Следовательно, на участке (2-3) газ совершает работу А23
и у него увеличивается внутренняя энергия ΔU23
По первому закону термодинамики Q1 = А23 + ΔU23,
где А23 = р2(V3 – V2) = 2poVo;
Тогда количество теплоты, переданное газу, будет Q1 = 5 роVо.
Коэффициент полезного действия этого цикла равен
η = A/Q1 = 0,5 роVо/5 роVо = 0,10 или 10 %.