Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого Институт машиностроения, материалов и транспорта Высшая школа машиностроения Отчёт по лабораторной работе №5 Дисциплина: вычислительная математика Тема: численное дифференцирование функций Студент гр. 3331506/00002 Чанчиков Д. В. Преподаватель Ситкин Д. С. Санкт-Петербург 2022 Цель работы – закрепление знаний, полученных в лекционном курсе «Вычислительная математика» по разделу «Численное дифференцирование», приобретение навыков использования соответствующих численных методов с применением программных средств автоматизации вычислений. Задание: Найти приближенные значения производных первого и второго порядка от заданной функции y(x) на промежутке a, b с шагом 𝒉 = 𝒃−𝒂 𝟏𝟎 в Excel, MathCAD и MATLAB и сравнить их с точными значениями. При выполнении работы в MATLAB составить файл-программу. Определить в MathCAD оптимальное значение шага, обеспечивающее минимальную погрешность приближенных расчетов производной первого порядка в середине заданного промежутка. 𝒚(𝒙) = 𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟒 [𝟎, 𝟐; 𝟎, 𝟔] Результаты расчетов в Excel Результаты расчетов представлены на рисунках 1 – 5. Рисунок 1 – Расчет конечных разностей 2 Точные значения производных: 𝒚′(𝒙) = 𝟓𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟑 𝒚′′(𝒙) = 𝟐𝟎𝒙𝟑 + 𝟐𝟒𝒙𝟐 Рисунок 2 – Определение погрешностей вычисления первой производной Рисунок 3 – Определение погрешностей вычисления второй производной 3 Первая производная 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 Точное значение 0,36 0,40 0,44 0,48 Первая конечная разность 0,52 0,56 0,60 0,64 Трехточечная схема Рисунок 4 – Графики точных и приближенных значений первой производной Вторая производная 14 12 10 8 6 4 2 0 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36 Точное значение 0,40 0,44 0,48 0,52 0,56 0,60 0,64 Прибл. значение Рисунок 5 – Графики точных и приближенных значений второй производной 4 Погрешности определения первой производной с помощью первой конечной разности и второй производной достаточно велики. Для их снижения необходимо уменьшить шаг h. Вычисление первой производной по трехточечной схеме дает более точный результат. Результаты расчетов в MathCAD Результаты расчетов представлены на рисунках 6 – 12. Рисунок 6 – Начальные данные для расчета Рисунок 7 – Вычисление производных Рисунок 8 – Вычисление узловых значений 5 Рисунок 9 – Вычисление первой производной с помощью первой конечной разности и по трехточечной схеме Рисунок 10 – Вычисление второй производной с помощью конечной разности второго порядка 6 2.5 2 y1 ( xi)1.5 P1j PT 1k 1 0.5 0 0.16 0.2 0.24 0.28 0.32 0.36 0.4 0.44 0.48 0.52 0.56 0.6 0.64 xi a+ h j a+ h k Рисунок 11 – Сравнительный график для первой производной 14 12 10 y2 ( xi) 8 P2j 6 4 2 0 0.16 0.2 0.24 0.28 0.32 0.36 0.4 0.44 0.48 0.52 0.56 0.6 0.64 xi a+ h j Рисунок 12 – Сравнительный график для второй производной Результаты расчетов в MATLAB Результаты расчетов представлены на рисунках 13 – 19. 7 Рисунок 13 – Начальные данные для расчета Рисунок 14 – Задание исходной функции, ее первой и второй производной Рисунок 15 – Вычисление узловых значений 8 Рисунок 16 – Вычисление первой производной с помощью первой конечной разности и по трехточечной схеме Рисунок 17 – Вычисление второй производной с помощью конечной разности второго порядка 9 Рисунок 18 – Сравнительный график для первой производной Рисунок 19 – Сравнительный график для второй производной 10 На рисунке 20 представлен текст файл программы. Рисунок 20 – Текст файл-программы Расчет в Mathcad зависимости погрешности вычисления первой производной от величины шага h в середине промежутка Результаты расчетов представлены на рисунках 21 – 22. 11 Рисунок 21 – Расчет зависимости погрешности вычисления первой производной от величины шага h в середине промежутка 2 1 0 −1 −2 −3 −4 log( ( i) ) − 5 −6 −7 −8 −9 − 10 − 11 − 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i Рисунок 22 – График зависимости в логарифмическом виде Из графика видно, что производная заданной функции в середине промежутка может быть определена по формуле первой конечной разности с максимальной точностью 10-10 при шаге h = 10-6 или h = 10-7. Вывод – были приобретены навыки использования численных методов дифференцирования с применением программных средств автоматизации вычислений. 12
