о введении понятия предела в курсе математического анализа

О ВВЕДЕНИИ ПОНЯТИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В КУРСЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (МАТЕМАТИКИ)
ЭКОНОМИЧЕСКИХ НАПРАВЛЕНИЙ
Павленко А.Н., Пихтилькова О.А.
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Оренбургский государственный университет», Оренбург
Понятие производной относиться
к важнейшим понятиям
математического анализа не только в силу его многочисленных практических
приложений, но и из-за его использования в различных разделах высшей
математики, таких как: интегральное исчисление, методы оптимизации,
дифференциальные уравнения и т.д.
Как известно, общепринятый подход к изучению производной [1-3]
заключается в рассмотрении материала в следующем порядке:
1) задачи, приводящие к понятию производной (задача о касательной
прямой к графику функции, задача о скорости движения материальной точки,
задача о производительности труда и т.д.);
2) теоремы, необходимые для вывода таблицы производных и ее вывод;
3)теоремы,
выражающие
основные
свойства
производной,
обуславливающие ее применение в п. 4-6;
4) правило Лопиталя;
5) формула Тейлора;
6) исследование функций и построение их графиков;
7) задачи на максимум(минимум) и другие практические приложения
производной. Следует отметить, что иногда даже пункт 1) отсутствует при
изучении данного материала.
Очевидно, что при таком изложении (задачи на максимум(минимум)
рассматриваются лишь седьмым пунктом) понятие производной вначале
представляется и искусственно введенным, и не имеющим актуальных
практических приложений. Последнее влечет весьма низкую мотивацию у
студентов к изучению основ дифференциального исчисления.
Предлагается следующий подход к введению понятия производной:
1) решение конкретной задачи на максимум (минимум) с помощью
построения графика функции, выражающей зависимость максимизируемой
(минимизируемой) величины от некоторой переменной (см. задачу 1);
2) формулирование целесообразности возможности решения такого типа
задач в общем виде;
3) констатация, что график гладкой функции локально приближенно
совпадает с отрезком касательной, а нелинейная функция, имеющая гладкий
график, локально может быть приближена линейной функцией;
4) рассмотрение условия (по знаку углового коэффициента), когда
линейная функция возрастает (убывает);
5) получение формулы для углового коэффициента касательной;
6) введение понятия производной с помощью общепринятого
определения, с отмечанием связи данного определения с пунктом 5);
7) опираясь на связь производной с угловым коэффициентом
касательной, получение: условий возрастания (убывания) функций,
необходимого условия локального экстремума, первого достаточного условия
локального экстремума;
8) приведение решения исходной задачи на максимум (минимум) (см.
задачу 2) с использованием производной и акцентирование внимания
студентов, на возможности теперь решать такие задачи в общем виде.
В качестве примера можно рассмотреть следующие задачи.
Задача 1. Дан лист жести в виде прямоугольника со сторонами a  50 см
и b  70 см . Из него требуется изготовить емкость в виде открытого
параллелепипеда максимального объема. С какой стороной требуется для этого
вырезать четыре квадрата по углам листа? Задачу решить с помощью графика
для зависимости объема параллелепипеда от стороны вырезаемых квадратов.
Решение.
1. Сделаем чертеж развертки открытого параллелепипеда (см. рисунок 1).
Рисунок 1
2. Сторону вырезаемых квадратов обозначим за
зависимость объема параллелепипеда от x будет иметь вид
x
(см). Тогда
V x   x70  2 x 50  2 x   4 x 3  240 x 2  3500 x .
3. Из геометрического смысла задачи имеем x  0, 25 .
4. Построим (см. рисунок 2) график функции V  x  при x  0, 25 .
5. Из построенного графика делаем вывод, что объем емкости будет
максимален, если вырезать квадраты со стороной x  9,5 см .
Рисунок 2
Задача 2. Дан лист жести в виде прямоугольника со сторонами a (см) и
b (см) ( a  b ). Из него требуется изготовить емкость в виде открытого
параллелепипеда максимального объема. С какой стороной требуется для этого
вырезать четыре квадрата по углам листа?
Решение.
1. Сделаем чертеж развертки открытого параллелепипеда (см. рисунок 3).
Рисунок 3
2. Сторону вырезаемых квадратов обозначим за
зависимость объема параллелепипеда от x будет иметь вид
x
(см). Тогда
V x   xa  2 x b  2 x   4 x 3  2a  bx 2  abx .
 b
3. Из геометрического смысла задачи имеем x   0,  .
 2
 b
4. Найдем максимальное значение функции V  x  при x   0,  .
 2
V x   12 x 2  4a  bx 2  ab .
Найдем точки, в которых она равна 0.
V  x   0 , 12 x 2  4a  bx 2  ab  0 .
Решив полученное квадратное уравнение, будем иметь
x1 
Таблица 1
0, x1 
x
V  x 

↑
V x 
a  b  a 2  ab  b2
a  b  a 2  ab  b2
, x2 
.
6
6
x1
0
max
x1, x2 
↓
Из таблицы 1 следует, что в точке x1 функция V  x  имеет локальный
максимум, а в точке x2 его быть не может.
Исходя из геометрического смысла задачи, можно сделать вывод, что при
x  x1 объем емкости будет максимальным.
Таким образом, требуется вырезать квадраты со стороной
a  b  a 2  ab  b2
(см).
x
6
Список литературы
1. Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер и др.; под ред.
Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. - М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2006. – 479 с.
2. Кремер, Н.Ш. Математика для экономистов: от арифметики до
эконометрики: учеб.-справоч. пособие / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М.
Тришин; под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2007. – 646 с.
3. Малугин, В.А. Математика для экономистов: Математический
анализ. Курс лекций. – М.: Эксмо, 2005. – 272 с.