DVI7

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В. ЛОМОНОСОВА
ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ДОПОЛНИТЕЛЬНОМУ
ВСТУПИТЕЛЬНОМУ ИСПЫТАНИЮ ПО ФИЗИКЕ
Москва
Физический факультет МГУ
2018
Задачи с решениями
для подготовки к дополнительному
вступительному испытанию по физике
Данный сборник содержит задачи вступительных испытаний по
физике, проводившихся с 2011 по 2017 год. Задачи приведены с
решениями,
содержащими
обоснования
применимости
используемых законов и допущений.
Сборник содержит следующие разделы:




Механика;
Молекулярная физика и термодинамика;
Электродинамика;
Оптика.
По каждому разделу программы предлагаются краткие вопросы по
теории, задачи и решения к ним.
Коллектив авторов:
Боков П.Ю., Буханов В.М., Вишнякова Е.А., Грачев А.В.,
Зотеев А.В., Иванова О.С., Козлов С.Н., Лукашева Е.В.,
Невзоров А.Н., Нетребко Н.В., Никитин С.Ю., Плотников Г.С.,
Погожев В.А., Подымова Н.Б., Полякова М.С., Поляков П.А.,
Склянкин А.А., Чесноков С.С., Чистякова Н.И., Шленов С.А.
Издание осуществлено при финансовой поддержке Фонда Олега
Дерипаска "Вольное Дело".
2
МЕХАНИКА
1. Сформулируйте закон Архимеда. Укажите условия плавания тел.
Задача. Металлическая дробинка, погружаясь в воду, движется с
постоянной скоростью. Найдите работу силы сопротивления воды на
пути S = 20 см. Радиус дробинки r = 3 мм, ее плотность   8 103 кг/м3.
Плотность воды 0  103 кг/м3. Ускорение свободного падения примите
равным g = 10 м/с2.

Решение. На дробинку действуют три силы: сила тяжести mg ,


архимедова сила FА и сила вязкого трения Fтр (рис.1).
Согласно второму закону Ньютона, при равномерном
движении векторная сумма всех сил равна нулю. В проекции
на вертикальную ось, направленную вверх, имеем
4 3
Рис.1
FА  Fтр  mg  0 . По закону Архимеда FA  0 r g . Масса
3
4 3
4 3
дробинки m   r . Следовательно, сила трения Fтр  r (  0 ) g .
3
3
Модуль
работы
силы
трения
на
перемещении
S
4 3
| Aтр |  r (  0 ) gS  1,6 103 Дж. Работа силы трения отрицательна, т.к.
3
направления этой силы и перемещения дробинки противоположны.
4 3
3
Ответ: Aтр   r (  0 ) gS  1,6 10 Дж.
3
2. Что такое сила? Как найти сумму сил, действующих на
материальную точку?
Задача. Брусок массой M  2 кг располагается на неподвижной
наклонной плоскости, образующей с горизонтом
угол   30 . К бруску привязана нить,
перекинутая через два легких блока: неподвижный
1 и подвижный 2 (см. рис.2). Отрезки нити,
идущие к подвижному блоку 2, вертикальны, а
Рис.2
отрезок нити от бруска до неподвижного блока 1
3
параллелен наклонной плоскости. К оси подвижного блока подвешен
груз, масса m которого неизвестна. Когда систему предоставили самой
себе, груз начал двигаться вниз с ускорением a  0,5 м/с2. Какова масса
груза m ? Коэффициент трения между бруском и наклонной плоскостью
  0,2 . Нить считайте невесомой и нерастяжимой, трением в оси блоков
пренебрегите. Ускорение свободного падения примите равным g  10
м/с2.
Решение. Брусок и груз движутся под действием сил, изображенных на
рис.3, где Mg и mg – модули сил тяжести, T – модуль силы
натяжения нити, N – модуль нормальной составляющей силы реакции
опоры, Fтр – модуль силы трения скольжения (
). По второму закону Ньютона
имеем
(для
груза),
ma  mg  2T
Ma  T  Mg sin   Mg cos  (для бруска). Здесь a
– ускорение груза, a  2a – ускорение бруска.
Исключая из этих равенств Т, находим массу
Fтр  Mg cos 
Рис.3
Ответ: m 
груза m 
2Mg (sin    cos )  4Ma
 3,26 кг.
g a
2Mg (sin    cos )  4Ma
 3,26 кг.
g a
3. Сформулируйте второй и третий законы Ньютона.
Задача. Шарик массой m , подвешенный на невесомой нерастяжимой
нити, отклонили от вертикали на угол 0 и отпустили без начальной
скорости. Найдите силу натяжения нити T как функцию угла
отклонения шарика от вертикали  .
Решение. Уравнение движения шарика в проекции на направление нити
имеет вид
mv 2
 T  mg cos  , где l – длина нити, v – скорость шарика,
l
g
– ускорение свободного падения. По закону сохранения энергии
mv 2
, где h0  l  1  cos 0  – начальная высота шарика,
2
h  l  1  cos  – его текущая высота. Отсюда T  mg (3 cos   2 cos 0 ) .
mgh0  mgh 
4
Ответ: T ()  mg(3cos   2 cos 0 ) .
4. Чему равны силы трения покоя
определение коэффициента трения.
и
скольжения?
Дайте
Задача. Олимпийская трасса для соревнований по бобслею в
Лиллехаммере имеет перепад высот от старта до финиша h = 107 м. На
стартовом горизонтальном участке («полоса разгона») спортсмены
разогнали боб до скорости v0 = 6 м/с, с которой пересекли линию старта.
В конце спуска по ледяному жёлобу сразу после финиша используется
специальное тормозное устройство для гашения скорости боба на
горизонтальной поверхности. При этом коэффициент трения на участке
торможения увеличивается пропорционально расстоянию х от линии
финиша по закону (х) = х, где  – некоторый постоянный
коэффициент.
Определите величину , если тормозной путь боба составил s = 42 м.
Примите, что на участке трассы от конца полосы разгона до финиша за
счёт сил трения было потеряно  = 20% механической энергии боба, а
ускорение свободного падения равно g = 10 м/с2.
Решение. Работа переменной силы численно равна площади под кривой,
описывающей зависимость силы от перемещения ее точки приложения.
По условию модуль силы трения, действующей на боб на участке
торможения, зависит от координаты боба по
закону | Fтр ( x) |  xmg , где m – масса боба.
Поскольку
сила
трения
направлена
противоположно перемещения боба, работа этой
силы на этапе торможения боба равна
1
Aтр    s 2 mg .
По
закону
изменения
2
Рис.4
механической
энергии
 mv 02

1

 mgh (1   / 100%)   s 2 mg  0 .
 2

2


имеем
Отсюда находим, что   (v 0  2 gh)(1 2  / 100%)  0,1 м–1.
2
gs
Ответ:   (v 0  2 gh)(1 2  / 100%)  0,1 м–1.
2
gs
5
5. Какие
системы
отсчета
называются
Сформулируйте первый закон Ньютона.
инерциальными?
Задача. На плоскость, образующую с горизонтом угол   30 ,
положили брусок массой M  8 кг и привязанный к нему лёгкой
нерастяжимой нитью брусок массой m  4 кг. При этом тяжёлый брусок
расположили ниже лёгкого так, что нить оказалась слегка натянутой и
расположенной в вертикальной плоскости, проходящей через центры
масс брусков перпендикулярно линии пересечения наклонной плоскости
и горизонтальной поверхности. После этого бруски одновременно
отпустили без начальной скорости. Определите модули ускорений
брусков, если коэффициент трения о плоскость бруска массой М равен
1  0,2 , а бруска массой m – равен 2  0,5 . Модуль ускорения
свободного падения примите равным g  10 м/с2.
Решение. На бруски действуют силы, модули и направления которых
изображены на рис.5, где Mg и mg –
модули сил тяжести, N1 и N 2 – модули
нормальных составляющих сил реакции
наклонной плоскости, Fтр1 и Fтр 2 – модули
сил трения, T1 и T2 – модули сил натяжения
нити.
Поскольку
по
условию
Рис.5
1   2  tg   0,6 , то в отсутствии нити оба
бруска после того, как их отпустили, начали бы поступательно скользить
вниз. По второму закону Ньютона для этого случая имеем следующие
равенства:
в проекции на ось OX: Ma1  Mg sin   1N1 , ma2  mg sin   2 N2 ,
в проекции на ось OY: N1  Mg cos   0 , N2  mg cos   0 .
Из
этих уравнений находим модули ускорений брусков в отсутствии нити:
a1  g (sin   1 cos ) , a2  g (sin   2 cos ) . Поскольку 1  2 , модуль
ускорения нижнего бруска a1 оказался бы больше, чем модуль ускорения
верхнего бруска a2. Поэтому после отпускания брусков нить будет всё
время натянута, и ускорения брусков в силу нерастяжимости нити будут
одинаковыми ( a1  a2  a ). Из невесомости нити следует, что T1  T2  T .
Поэтому уравнения движения брусков, связанных нитью, в проекции на
ось
OХ
имеют
вид: Ma  Mg sin   1Mg cos   T ,
6
ma  mg sin   2mg cos   T . Исключая из этих уравнений T, находим,
что a  g  sin  

1M   2 m

cos   .
M m

Ответ: a  g  sin  

6.
1M   2 m

cos    2,4 м/с2.
M m

Дайте
определение
скорости
материальной
Сформулируйте закон сложения скоростей.
точки.
Задача. На достаточно большой высоте над землей на гладкой
горизонтальной подставке покоятся два тела малых
размеров с массами m1 = 50 г и m2 = 100 г (рис.6).
Между телами расположена сжатая легкая пружина,
связанная нитью. Известно, что энергия упругой
деформации пружины равна Eп = 67,5 Дж. После
пережигания нити пружина полностью распрямляется,
Рис.6
тела разлетаются в разные стороны с горизонтально
направленными скоростями и одновременно начинают
падать с подставки. Определите, через какое время  после начала
падения скорости тел будут перпендикулярными друг другу.
Сопротивлением воздуха можно пренебречь.
Решение. Скорости тел, с которыми они начинают свободное падение,
определяются из законов сохранения энергии и
импульса,
а
m1v10 = m2v20 .
Рис.7
v 20 =

2
m1v10
m v2
+ 2 20  Eп ,
2
2
именно
Отсюда
v10 =
2 Eп  m2
;
(m1 + m2 )  m1
2 Eп  m1
. Спустя время  скорости
(m1 + m2 )  m2






этих тел становятся равными v1  v01  g , v2  v02  g (рис.7). Здесь g –
ускорение свободного падения. Из равенства углов , указанных на
рисунке, следует, что
g v 20
. Отсюда   v10  v 20 . После подстановки
=
v10
g
g
найденных выше значений начальных скоростей получаем,
7
что
=
Ответ:
1
g
=
2 Eп
m1 + m2 
1
g
.
2 Eп
m1 + m2 
= 3 с.
7. Запишите выражения для потенциальной энергии тела вблизи
поверхности Земли и потенциальной энергии упруго
деформируемой пружины.
Задача. На горизонтальную площадку поставили лёгкую пружину
жесткостью k = 100 Н/м, скреплённую с пластинами массами m = 200 г
каждая так, как показано на рис.8. Затем на верхнюю
пластину положили груз массой М так, что ось пружины
осталась вертикальной. После этого резким ударом в
горизонтальном направлении груз сбросили с пластины.
Пренебрегая трением груза о пластину, определите массу
груза М, если в тот момент, когда нижняя пластина
Рис.8
перестала давить на стол, модуль скорости верхней
пластины стал равным v = 2 м/с. Модуль ускорения свободного падения
примите равным g = 10 м/с2.
Решение. Пусть длина недеформированной пружины равна L (рис.9а).
Условие равновесия верхней пластины
с лежащим на ней грузом (рис.9б) имеет
вид (M  m) g  kx1 . Следовательно, под
действием пластины и груза пружина
( M  m) g
Рис.9
сожмётся на величину x1 
.В
k
тот момент, когда нижняя пластина перестает давить на стол (рис.9в),
выполняется равенство mg  kx2 . Следовательно, в этот момент
mg
. Согласно закону
k
сохранения механической энергии, справедливо равенство,
пружина должна быть растянута на величину x2 
имеющее вид
8
kx12
kx 2
mv 2
 mg ( L  x1 )  2  mg ( L  x2 ) 
.
2
2
2
Решая
совместно
M  4m 2 
составленные
уравнения,
получаем,
что
mv 2k
.
g2
Ответ: M  4m 2 
mv 2 k
 0,98 кг.
g2
8. Дайте
определение
скорости
материальной
Сформулируйте закон сложения скоростей.
точки.
Задача. Под каким углом  к горизонту нужно бросить тело, чтобы
прямые, проведенные из точки бросания и точки падения в точку
максимального подъема тела, составляли между собой прямой угол?
Считайте, что точки бросания и падения находятся на одном
горизонтальном уровне, а сопротивление воздуха пренебрежимо мало.
Решение. Поскольку точка максимального подъема тела находится на
равных расстояниях от точек бросания и падения
тела, для выполнения условия задачи дальность
полета тела l должна вдвое превышать высоту
максимального подъема тела h , т.е. l  2h (см.
рис.10). Поскольку дальность полета тела,
Рис.10
брошенного со скоростью v0 под углом  к
2
горизонту, l  2 v 0 sin  cos  , а максимальная высота подъема тела
g
h
v 02
sin 2  , то tg   2 . Отсюда   arctg 2  63 .
2g
Ответ:   arctg 2  63 .
9. Дайте определение силы тяжести. Как сила тяжести зависит от
высоты над поверхностью Земли?
Задача. К потолку комнаты прикреплён конец невесомой нерастяжимой
нити длиной l = 4 м. На другом конце нити закреплён маленький шарик.
Расстояние от потолка до пола равно l/2. Слегка натянув нить, шарик
отклонили так, чтобы нить приняла горизонтальное положение, а затем
отпустили без толчка. В процессе движения шарик совершал с полом
абсолютно упругие соударения. Пренебрегая влиянием воздуха,
9
определите расстояние х между точками первого и третьего соударений
шарика с полом. Числовой ответ выразите в метрах, округлив до
десятых.

Решение. В момент t  0 первого удара шарика о пол его скорость v 0
направлена так, как показано на рис.11, т.е.
под углом   30 к вертикали (т.к.
sin   1 / 2 ), а её модуль равен v 0  gl .
Рис.11
После первого абсолютно упругого удара о

пол скорость шарика станет равной v1 .
При этом модуль скорости не изменится, её горизонтальная
составляющая останется неизменной, а вертикальная – изменит своё
направление на противоположное. В результате шарик начнёт двигаться
по параболе как тело, брошенное под углом  к вертикали со скоростью

v1 . Второй удар шарика о пол произойдёт в момент времени
t1  2
l
cos  
g
3l
g
на расстоянии
s
gl  t1  sin  
l 3
2
от точки
первого удара, т.е. в точке, расположенной прямо под точкой подвеса.
Третий удар произойдёт в точке, находящейся на расстоянии 2s от точки
первого удара. Поэтому искомое расстояние x  2s  l 3 . Ответ:
x  2s  l 3  6,9 м.
10. Дайте определение кинетической энергии материальной точки и
системы материальных точек. Запишите формулу, связывающую
изменение кинетической энергии тела и работу приложенных к
телу сил.
Задача. Шероховатая наклонная плоскость, составляющая с горизонтом
угол , имеет гладкий плавный переход на
гладкую горизонтальную поверхность (см.
рис.12). Небольшой брусок, соскользнувший
по наклонной плоскости с высоты H,
скользит по горизонтальной поверхности.
Рис.12
Навстречу ему движется стальная плита,
масса которой намного превышает массу бруска. С какой по модулю
скоростью V должна двигаться плита, чтобы после абсолютно упругого
10
удара об неё брусок поднялся по наклонной плоскости на ту же высоту
Н? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость равен .
Решение. Пусть u – модуль скорости движения бруска по
горизонтальному участку после соскальзывания с наклонной плоскости.
По закону изменения механической энергии бруска имеем
mu 2
 mgH  Aтр , где Aтр   Fтр s – работа силы трения скольжения,
2
Fтр  mg cos 
– модуль силы трения, а s 
H
– перемещение бруска
sin 
от верхней точки до основания наклонной плоскости. Из записанных
выражений следует, что u  2 gH (1   ctg ) . Аналогично находим, что
модуль минимальной скорости, которую должен иметь брусок, чтобы
подняться по наклонной плоскости на высоту Н, равен
u1  2 gH (1   ctg ) . Учитывая, что после удара о плиту направление
скорости бруска изменится на противоположное, а ее модуль станет
равным
u1  u  2V ,
приходим
к
равенству
2gH (1   ctg ) 
 2 gH (1   ctg )  2V .
Ответ: V 
1
2
 2gH (1   ctg ) 

2 gH (1   ctg ) .
11. Сформулируйте второй и третий законы Ньютона.
Задача. На гранях закрепленной призмы находятся два груза массами
m1 = 2 кг и m2 = 1 кг, соединенные друг с
другом и неподвижной опорой невесомыми и
нерастяжимыми нитями через систему
невесомых блоков (см. рис.13). Правая грань
призмы гладкая, левая − шероховатая с
коэффициентом трения  = 0,6. Определите
Рис.13
модуль ускорения левого груза а1. Углы при
основании призмы  = 60º,  = 30º. Ускорение свободного падения
примите равным g  10 м/с2.
11
Решение. Тела движутся под действием сил, изображенных на рис.14,

где m1, 2 g − силы тяжести, N1,2 −
нормальные составляющие сил реакции


призмы, T1,2 − силы натяжения нитей, Fтр −
сила трения скольжения. По второму закону
Ньютона
имеем:
Рис.14
m1a1  m1g sin   T1  m1g cos  (для левого
груза), m2a2  T2  m2 g sin  (для правого груза). Кроме того, справедливы
равенства, вытекающие из условия, что нити нерастяжимы и невесомы, а
именно a2  2a1 , T1  2T2 . Решая записанную систему уравнений,
находим, что a1 
Ответ: a1 
(m1 sin   2m2 sin   m1 cos )
g.
m1  4m2
(m1 sin   2m2 sin   m1 cos )
g  0,22 м/с2.
m1  4m2
12. Запишите связь между приращением импульса материальной
точки и импульсом силы. Сформулируйте закон сохранения
импульса.
Задача. На горизонтальной поверхности стола лежит доска массой
M  0,5 кг, а на доске сидит лягушка массой m  50 г. В некоторый
момент времени лягушка совершает прыжок, отталкиваясь от доски, и
приобретает скорость v  1 м/с, направленную под углом   45 к
горизонту. Считая, что длительность толчка лягушки о доску равна
  0,1 с, а сила, действующая на лягушку во время толчка, практически
постоянна, определите, при каких значениях коэффициента трения 
доски о стол, доска в момент толчка будет оставаться неподвижной.
Модуль ускорения свободного падения примите равным g  10 м/с2.
Решение. Согласно второму закону Ньютона изменение импульса
лягушки за время  равно импульсу суммы сил, действующих на
лягушку, за это же время. Поскольку на лягушку действуют сила


тяжести m g и сила реакции доски R , то изменение импульса лягушки

 
mv  (mg  R) . Учтем, что до прыжка лягушка покоилась, и разложим

силу реакции доски на две составляющие: нормальную к доске N и

касательную к ней F . Тогда закон изменения импульса лягушки в
12
проекции на вертикальное и горизонтальное направления принимает
вид: mv sin   ( N  mg) , mv cos   F . По третьему закону Ньютона сила,
с которой лягушка действует на доску, равна по модулю и

противоположна по направлению силе реакции доски R . Поскольку по
условию доска остается неподвижной, F  Fтр , где Fтр − модуль силы
трения покоя, удерживающий доску на месте. Сила нормального
давления доски на стол в момент прыжка лягушки равна N0  N  Mg .
По закону сухого трения сила трения покоя удовлетворяет неравенству
Решая
записанную
систему,
находим,
что
Fтр  N 0 .

mv cos 
.
mv sin   M  mg
Ответ:  
mv cos 
 0,06 .
mv sin   M  mg
13. Дайте определение механической работы. Как связано
приращение кинетической энергии тела с работой приложенных
к телу сил?
Задача. По горизонтальному столу скользит слева направо тонкая
однородная линейка длиной
l  20 см. Поверхность стола
состоит из двух панелей,
обработанных с различным
качеством.
Коэффициент
Рис.15
трения между линейкой и левой
панелью равен 1 , а между линейкой и правой панелью −  2 (см.
рис.15). В тот момент, когда расстояние от правого конца линейки до
линии соприкосновения (стыка) панелей равно l, модуль скорости
линейки v = 1 м/с. При каком максимальном значении коэффициента
трения 2  2 max линейка может полностью попасть на правую панель,
если коэффициент трения 1  0,05 , а вектор скорости линейки
направлен перпендикулярно стыку панелей? Модуль ускорения
свободного падения примите равным g  10 м/с2.
Решение. Модуль работы силы трения на всем перемещении линейки
можно представить в виде суммы трех слагаемых: A = A0 + A1 + A2 . Здесь
A0  1mgl − модуль работы силы трения на перемещении линейки по
13
левой панели до стыка с правой панелью (m – масса линейки), A1 −
модуль работы силы трения, действующей со стороны левой панели, на
перемещении линейки с левой панели на правую панель. Обозначив
через x длину той части линейки, которая находится на левой панели,
для модуля силы трения, действующей со стороны левой панели, имеем
mg
F1  1
x . Заметим, что эта сила изменятся в зависимости x линейно в
l
пределах от 1mg до нуля. Поэтому модуль работы силы F1 на
1
перемещении l равен A1  1mgl . Аналогично можно найти модуль
2
работы силы трения F2, действующей со стороны правой панели, на том
1
же перемещении: A2   2 mgl . При этом мы предполагаем, что линейка
2
остановилась, оказавшись целиком в правой панели. Применив теорему
об
изменении
кинетической
энергии,
получим
равенство
mv 2
1
1
= μ1mgl + μ1mgl + μ 2 mgl .
2
2
2
Отсюда
находим
величину коэффициента трения  2 , а именно  2 max 
Ответ:  2 max 
максимальную
v2
 31 .
gl
v2
 31  0,35 .
gl
14. Как определяется импульс системы материальных точек?
Сформулируйте закон сохранения импульса.
Задача. Снаряд массой m = 16 кг вылетел из пушки под углом α = 30 к
горизонту. В верхней точке траектории
снаряд разорвался на две части, причем
осколки
снаряда
упали
на
землю
одновременно. Осколок массой m1 = 4 кг упал
почти на пушку, а другой осколок упал на
землю на расстоянии S = 8 км от пушки.
Рис.16
Пренебрегая сопротивлением воздуха и
массой взрывчатого вещества в снаряде, найдите кинетическую энергию
снаряда Eк в момент вылета из пушки. Ускорение свободного падения
примите равным g = 10 м/с2.
14
Решение. Траектория снаряда до разрыва и траектории осколков после
разрыва изображены на рис.16. Если бы снаряд не разорвался, то
2
дальность его полета была бы равна S1  v0 sin 2 . (см. штриховую линию
g
на рис.16). Здесь v0 – начальная скорость снаряда. Поскольку осколки
упали на землю одновременно, после разрыва снаряда их скорости были
направлены горизонтально. Их центр масс, двигаясь по воображаемой
траектории неразорвавшегося снаряда, упал бы в точке С на расстоянии
S1 от пушки. Обозначим через S2 расстояние от точки падения центра
масс до точки падения второго осколка. В соответствии с определением
центра масс,
2
S1 m2 m  m1


 3 . Следовательно, S  S1  S2  4v 0 sin 2 ,
S 2 m1
m1
3g
3gS
. Начальная кинетическая энергия
4 sin 2
mv 2 3 mgS
снаряда равна Eк  0 
.
8 sin 2
2
2
откуда получаем, что v 0 
Ответ: Eк 
3 mgS
 0,55 МДж
8 sin 2
15. Сформулируйте закон Архимеда. Каковы условия плавания тел?
Задача. В маленьком бассейне с вертикальными стенками плавает
игрушечный плот, на котором лежат одинаковые игрушки. На стенке
бассейна нанесена шкала для измерения высоты уровня воды. Когда
ребенок перенёс с плота на бортик бассейна одну игрушку, высота
уровня воды изменилась на h1  6 см. Он хотел перенести туда же и
вторую игрушку, но уронил ее, и игрушка упала на дно. Высота уровня
воды после этого изменилась еще на h2  1 см. Во сколько раз n
плотность материала игрушки больше, чем плотность воды?
Решение. Когда одна игрушка массой m оказалась на бортике, масса
плота с игрушками стала меньше на величину m , и уровень воды
понизился на h1 
m
, где 0 – плотность воды,
0 S
S – площадь дна
бассейна. Когда вторую игрушку сняли с плота, уровень воды понизился
еще на
m
, а когда после этого игрушка упала в воду, уровень воды
0 S
15
поднялся на
m
, где 
S
образом, h2 
− плотность материала игрушки. Таким
m
m
= m 1  0   h1 1  0  . Отсюда находим, что

0 S S 0 S   
 


1
.

0 1  h2 h1
Ответ: n 
1
 1,2 .
1  h2 h1
16. Дайте определение кинетической энергии материальной точки и
системы материальных точек. Как связано приращение
кинетической энергии тела с работой приложенных к телу сил?
Задача. Брусок массой M = 100 г, прикрепленный посредством пружины
к неподвижной стенке, совершает гармонические колебания на гладком
столе с амплитудой A0 = 5 см. В момент прохождения бруском
положения равновесия на него падает вертикально кусок пластилина
массой m = 56,25 г и сразу прилипает к бруску. Определите
установившуюся амплитуду A1 колебаний бруска с прилипшим к нему
пластилином.
Решение. Обозначим через v0 скорость бруска при прохождении
положения равновесия до прилипания пластилина, а через v1 − скорость
бруска сразу после прилипания к нему пластилина. По закону
сохранения импульса в момент прилипания пластилина к бруску имеем
Mv 0  (M  m)v1 . Следовательно, максимальная скорость бруска с
M  v0
. Из закона сохранения
прилипшим пластилином равна v1 
M m
kA12 ( M  m)v12

, где k −
2
2
M
жесткость пружины. Из этих уравнений находим, что A1  A0
.
M m
энергии следуют уравнения
Ответ: A1  A0
kA02 Mv 02

2
2
и
M
 4 см.
M m
17. Сформулируйте законы сухого трения. Дайте определение
коэффициента трения.
16
Задача. На гладкой горизонтальной поверхности лежит брус массой
m1 = 2 кг и длиной l = 1 м (рис.18). Сверху на
брус положили однородную доску такой же
длины, масса которой m2 = 1 кг. Через время
t0 = 1 с после того, как за привязанную к брусу
Рис.18
веревку начали тянуть в горизонтальном
направлении с силой F = 8 Н, левый конец доски стал опускаться вниз.
Определите коэффициент трения  между доской и брусом. Ускорение
свободного падения примите равным g = 10 м/с2.
Решение. Пусть a1 и a2 − ускорения бруса и доски в неподвижной
системе отсчета. Уравнения движения для бруса и доски имеют вид:
m1a1  F  f , m2a2  f , где f = m2g. Отсюда следует, что a2  g ,
a1 
1
( F  m2 g ) .
m1
aотн  a1  a2 
Модуль ускорения доски относительно бруса
m

F
 g  2  1 . Доска начнет «свешиваться», когда её центр
m1
 m1 
тяжести достигнет конца бруса, т.е. при

aотн t02 l
 . В итоге получаем что
2
2
F  (m1l / t0 2 )
.
(m1  m2 ) g
Ответ:  
F  (m1l / t02 )
 0,2 .
(m1  m2 ) g
18. Дайте определения скорости и ускорения материальной точки.
Задача. Брус массой m1 = 6 кг лежит на гладкой горизонтальной
поверхности (рис.19). Сверху на брус
симметрично относительно него положили
однородную доску массой m2 = 4 кг. Через
время t0 = 2 с после того, как за веревку,
Рис.19
привязанную к брусу, начали тянуть в
горизонтальном направлении с силой F = 36 Н, левый конец доски стал
опускаться вниз. Определите длину бруса l, если коэффициент трения
между доской и брусом  = 0,3. Ускорение свободного падения примите
равным g = 10 м/с2.
17
Решение. Пусть a1 и a2 − ускорения бруса и доски в неподвижной
системе отсчета. Уравнения движения для бруса и доски имеют вид:
m1a1  F  f , m2a2  f , где f = m2g. Отсюда следует, что a2  g ,
a1 
1
( F  m2 g ) .
m1
aотн  a1  a2 
Ускорение
доски
относительно
бруса
m

F
 g  2  1 . Левый конец доски начнет опускаться вниз,
m1
 m1 
когда ее центр тяжести достигнет конца бруса, т.е. при
получаем что l  F  (m1  m2 )g 
Ответ: l  F  (m1  m2 )g 
aотн t02 l
 . В итоге
2
2
t02
.
m1
t02
 4 м.
m1
19. Приведите формулы для зависимости от времени координаты и
скорости материальной точки, совершающей прямолинейное
равнопеременное движение.
Задача. По гладкому горизонтальному льду замёрзшего озера скользит
доска массой M = 20 кг со скоростью, модуль которой равен v0 = 2 м/с.
Скорость доски параллельна её длинной стороне. В некоторый момент
времени стоящий на льду человек аккуратно опустил на эту доску
брусок массой m = 1 кг так, чтобы его центр масс оказался на прямой,
проходящей через центр масс доски параллельно её длинной стороне.
Определите коэффициент трения  бруска о доску, если брусок перестал
скользить по доске, переместившись относительно нее на расстояние
l = 95 см. Считайте, что модуль ускорения свободного падения
g = 10 м/с2. Ответ округлите до двух знаков после запятой.
Решение. Поскольку силы сухого трения скольжения, действующие на
доску и брусок по модулю равны mg , то относительно человека брусок
начинает двигаться с ускорением a1  g в направлении движения
m
доски, а доска начинает тормозить с ускорением a2  g ,
M
направленным противоположно ее движению. Брусок и доска после
соприкосновения будут двигаться поступательно прямолинейно со
18
скоростями v1  a1t и v 2  v0  a2t . Скольжение бруска по доске
прекратится, когда скорости этих тел относительно льда станут
равными, т.е. выполнится условие a1t0  v0  a2t0 . Отсюда t0 
Mv 0
.
g (m  M )
Поскольку за это время брусок переместится относительно льда на
g t 02
mg t02
, а доска сместится на расстояние X  v 0t0 
,
2
2M
(m  M ) 

l  X  x   v 0  gt0
t0 . Подставляя сюда найденное выше
2M 

расстояние x 
то
выражение для t0, получаем, что l 
Ответ:  
2
Mv 02
. Отсюда   Mv 0
.
2g (m  M )
2 gl (m  M )
Mv 02
 0,20 .
2 gl (m  M )
20. Дайте определение момента силы относительно оси вращения.
Сформулируйте правило моментов.
Задача. Тонкая однородная пластина П опирается одним ребром на
гладкую горизонтальную поверхность, а
другим – на шероховатую наклонную
плоскость, образующую с горизонтом угол
 = 45° (см. рис.20). Модуль действующей на
пластину силы тяжести P = 10 Н. К середине
верхнего ребра пластины прикреплена
Рис.20
гладкая невесомая нить, переброшенная
через блок. На другом конце нити подвешен груз Q. Отрезок нити между
пластиной П и блоком параллелен наклонной плоскости, а между грузом
Q и блоком – вертикален. Определите вес груза Q, при котором
рассмотренная система будет находиться в равновесии, если
коэффициент трения пластины о наклонную плоскость равен μ = 0,2.
Числовой ответ округлите до двух значащих цифр.
Решение. Пусть ось OХ инерциальной системы отсчета направлена
вдоль наклонной плоскости, а ось OY – перпендикулярно ей (см. рис.21).
Поскольку нить невесомая и гладкая, а груз Q покоится, то условие
отсутствия ускорения у центра масс пластины можно представить в виде
Q  Fтр  R2 sin   P sin   0 ,
R1  R2 cos   P cos   0 ,
а
отсутствие
углового ускорения пластины относительно оси, проходящей через
19
l
точку О, в виде: R2l cos   P cos   0 . Здесь Q – модуль силы,
2
действующей со стороны нити на пластину, R1 и R2 модули нормальных
составляющих
сил
реакции
наклонной
плоскости и горизонтальной поверхности,
Fтр  R1 – модуль силы трения пластины о
наклонную плоскость, l – длина пластины. При
этом изображенное на рис.21 направление силы
трения покоя соответствует минимальному
Рис.21
значению Q. Решая совместно приведённую
P
систему уравнений, находим, что Qmin  (sin    cos ) . Если же
2
значение силы Q максимально, то направление силы трения будет
противоположным показанному на рис.21, а потому проекцию силы
трения следует считать положительной. Решение соответствующей
P
этому случаю системы уравнений дает Qmax  (sin    cos ) .
2
Таким образом, искомая величина удовлетворяет неравенствам
P
P
(sin    cos )  Q  (sin    cos ) .
2
2
P
P
Ответ: (sin    cos )  Q  (sin    cos ) , т.е. 2,8 Н  Q  4,2 Н .
2
2
21. Сформулируйте второй и третий законы Ньютона.
Задача. Тонкая однородная дощечка Д опирается одним ребром на
гладкую горизонтальную поверхность, а
другим – на шероховатую наклонную
плоскость, образующую с горизонтом угол
 = 45° (см. рис.22). Модуль действующей на
дощечку силы тяжести P = 10 Н. К середине
верхнего ребра дощечки прикреплена
Рис.22
гладкая невесомая нить, переброшенная
через блок. На другом конце нити подвешен груз Q. Отрезок нити между
дощечкой Д и блоком параллелен наклонной плоскости, а между грузом
Q и блоком – вертикален. Определите коэффициент трения  дощечки о
наклонную плоскость, зная, что равновесие системы нарушается, если
20
вес груза Q превышает 5 Н. Числовой ответ округлите до двух значащих
цифр.
Решение. Пусть ось OХ инерциальной системы отсчета направлена
вдоль наклонной плоскости, а ось OY – перпендикулярно ей (см. рис.23).
Поскольку нить невесомая и гладкая, а груз Q покоится, то условие
отсутствия ускорения у центра масс дощечки можно представить в виде:
Q  Fтр  R2 sin   P sin   0 ,
R1  R2 cos   P cos   0 ,
а
отсутствие
углового ускорения дощечки относительно оси, проходящей через точку
l
О, в виде: R2l cos   P cos   0 . Здесь Q – модуль силы, действующей со
2
стороны нити на дощечку, R1 и R2 модули нормальных составляющих
сил
реакции
наклонной
плоскости
и
горизонтальной
поверхности,
Fтр  R1
–
модуль силы трения дощечки о наклонную
плоскость, l – длина дощечки. При этом
изображенное на рис.23 направление силы
трения покоя соответствует максимальному
Рис.23
значению
силы
Q.
Решая
совместно
2Q  P sin 
 0,41 .
приведённую систему уравнений, находим, что  
P cos 
2Q  P sin 
 0,41 .
Ответ:  
P cos 
21
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
1. Что такое внутренняя энергия термодинамической системы?
Какими способами можно изменить внутреннюю энергию?
Задача. При расширении одного моля аргона его давление уменьшается
так, как показано на p–V-диаграмме (рис.24).
Определите
максимальное
значение
внутренней энергии U газа в процессе 1 – 2.
Начальные значения объёма и давления газа
равны соответственно V0 = 0,1 м3 и p0 = 5∙104
Па.
Рис.24
Решение. Нетрудно установить, что зависимость давления аргона от
объема в процессе 1 – 2 описывается линейной функцией
p (V )  4 p0 
Рис.25
T (V ) 
p0
V . Из уравнения МенделееваV0
Клапейрона для аргона pV  RT следует,
что его абсолютная температура в этом
процессе изменяется в зависимости от
объема
по
закону

pV 1 
p
 4 p0V  0 V 2  . Здесь

R R 
V0 

– число молей газа, R
–
3
универсальная газовая постоянная. Внутренняя энергия аргона U  RT ,
2
3
p 2
поэтому U (V )   4 p0V  0 V  . График зависимости U (V ) – это
2
V0 
«перевернутая» парабола, пересекающая ось абсцисс в точках V  0 и
V  4V0 (см. рис.25). Поэтому её максимум достигается при объёме газа,
равном 2V0. Максимальное значение внутренней энергии равно
3
U max   4 p0V0  6 p0V0  3 104 Дж.
2
Ответ: U max  6 p0V0  30 кДж.
22
2. Дайте определение идеального газа. Запишите уравнение
состояния идеального газа (уравнение Менделеева–Клапейрона).
Задача. На рисунке 26 представлена pV–диаграмма циклического
процесса, совершаемого над идеальным газом. На
участках 2  3 и 4  1 температура газа постоянна.
Определите объем V3 этого газа в состоянии 3, если
известно, что V1  1 л, V2  1,4 л и V4  2V2 .
Рис.26
Решение. Как следует из приведенной диаграммы, в
процессах 1  2 и 3  4 давление газа изменяется пропорционально его
объему, т.е.
p
p
p1 p2
и 3  4 . Для изотермических процессов

V1 V2
V3 V4
23 и
4  1 имеем p2V2  p3V3 и p4V4  p1V1 . Объединяя полученные выражения,
2
находим V3 
Ответ: V3 
2V2
V2V4
. Учитывая, что V4  2V2 , получаем ответ: V3 
.
V1
V1
2V22
 3,92 л.
V1
3. Какой газ называется идеальным? Запишите основное уравнение
молекулярно-кинетической теории идеального газа и объясните
смысл входящих в это уравнение величин.
Задача. В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде под
тяжелым поршнем, способным перемещаться без трения, находится
идеальный одноатомный газ. Какую работу A совершит газ, если
сообщить ему количество теплоты Q  100 Дж? Теплоемкостью сосуда
можно пренебречь.
Решение. Согласно первому закону термодинамики, Q  U  A , где
3
U  RT – изменение внутренней энергии газа,  – количество газа, R
2
– универсальная газовая постоянная, T – изменение температуры газа.
Поскольку процесс, совершаемый над газом, является изобарным, то
Q  C p T , где C p  5 R – молярная теплоёмкость одноатомного
2
23
идеального газа при постоянном давлении. Из записанных выражений
3
2
следует, что U  Q и A  Q .
5
5
2
Ответ: A  Q  40 Дж.
5
4. Какие виды парообразования вы знаете? Дайте определение
удельной теплоты парообразования.
Задача. Объём сосуда V, содержащего только насыщенный водяной пар
при абсолютной температуре Т, изотермически уменьшили в n = 10 раз.
Определите изменение внутренней энергии системы «пар – вода».
Удельная теплота парообразования воды равна r, молярная масса воды
равна , давление насыщенных паров воды при температуре Т равно рн,
универсальная газовая постоянная равна R. Считайте, что
300 К  T  600 К .
Решение. При изотермическом сжатии насыщенного водяного пара
часть m его массы конденсируется. Поскольку плотность воды во
много раз больше плотности насыщенного пара, объёмом этой воды
можно пренебречь и считать, что согласно уравнению Менделеева –
p V(n  1)
Клапейрона, m  н
. При этом выделяется количество теплоты
nRT
Q  r m . При изотермическом сжатии давление пара не изменяется,
1
поэтому совершённая работа равна A  pнV 1   . Согласно первому

n
закону термодинамики искомая величина равна U  A  Q .
1
r 
r 

Ответ: U  pнV 1  1 
  0,9 pнV 1 
.

n 
RT 

RT 
5. Какой газ называется идеальным? Запишите основное уравнение
молекулярно-кинетической теории идеального газа и объясните
смысл входящих в это уравнение величин.
Задача. В
сосуде под
идеального
вакуум. На
24
вертикально расположенном закрытом цилиндрическом
подвижным поршнем массой m  4 кг находится один моль
одноатомного газа. В пространстве над поршнем создан
какую величину h передвинется поршень при медленной
передаче газу количества теплоты Q  10 Дж? Ускорение свободного
падения примите равным g = 10 м/с2.
Решение. Поскольку расширение газа происходит при постоянном
5
давлении, Q  RT , где T – изменение температуры газа. Из
2
mg
уравнения изобарного процесса следует, что RT  pV , где p 
–
S
давление газа, V  Sh – изменение его объема. Объединяя записанные
выражения, получаем, что h 
Ответ. h 
2Q
 0,1 м.
5mg
2Q
 0,1 м.
5mg
6. Сформулируйте
основные
положения
молекулярнокинетической теории. Каковы по порядку величины масса и
размеры молекул?
Задача. Давление p и объем V идеального газа циклически изменяют в
соответствии с pV-диаграммой, показанной на
рис.27. Известно, что работа газа на участке 1 – 2 в
n = 2 раза больше, чем модуль работы газа на
участке
3 – 1.
Определите
отношение
k
максимальной
и
минимальной
абсолютных
температур газа в этом цикле.
Рис.27
Решение. Пусть р1 и V1 – давление и объём газа в точке 1, а р2 и V2 –
давление и объём газа в точке 2 (см. рис.28).
Работа газа на участке 1 – 2 равна
1
A12  ( p1  p2 )(V2  V1 ) , а на участке 3 – 1 равна
2
Поскольку
по
условию
A31  p1(V1  V2 ) .
p ~ V , то p2  p1 (2n 1) и
A12  n | A31 | и
Рис.28
.
Максимальная
температура в
V2  V1 (2n  1)
цикле достигается в точке 2, а минимальная – в точке 1. Согласно
pV
pV
уравнению Менделеева–Клапейрона: Tmin  T1  1 1 и Tmax  T2  2 2 ,
R
R
25
где  – число молей газа, а R – универсальная газовая постоянная.
Следовательно
Ответ:
Tmax
 (2n  1) 2 .
Tmin
k  (2n  1) 2  9 .
7. Дайте определение идеального газа. Запишите основное
уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа.
Задача. С одним молем идеального одноатомного газа проводят
циклический процесс, pV-диаграмма которого
представлена на рисунке 29, где 2 – 3 –
изотермическое
расширение.
Найдите
количество теплоты Q, которое выделяется на
тех участках процесса, где газ охлаждается. При
расчетах примите p1 = 105 Па, p2 = 2105 Па,
V1 = 0,025 м3.
Рис.29
Решение. Газ будет охлаждаться при изобарном сжатии на участке
цикла 3 – 1. По первому закону термодинамики Q  U  A , где
3
3
U  RT3  T1  = RT2  T1  и A  p1 V3  V1  . Из уравнения Менделеева–
2
2
pV
pV
Клапейрона следует, что T1  1 1 , T2  2 1 . Учитывая, что p2V1  p1V3 ,
R
R
5
окончательно получаем, что Q  V1  p2  p1  .
2
5
Ответ: Q  V1  p2  p1   6,25 кДж.
2
8.
Дайте определение идеального газа. Запишите уравнение
состояния идеального газа, указав смысл входящих в это
уравнение величин.
Задача. С одноатомным идеальным газом проводят процесс, в котором
внутренняя энергия газа пропорциональна квадрату объёма, который он
занимает. Каково изменение U внутренней энергии газа в таком
процессе, если газу сообщили количество теплоты Q = 20 Дж.
26
Решение. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа равна
3
U  RT . По условию U  V 2 , где  – некоторый постоянный
2
коэффициент. В соответствии с уравнением Менделеева–Клапейрона
RT  pV , поэтому в данном процессе p ~ V . Работу, совершённую
газом, можно найти, вычислив площадь под графиком зависимости p от
1
1
V, которая равна A  ( p1  p2 )(V2  V1 )  ( p1V2  p1V1  p2V2  p2V1 ) .
2
2
1
1
Поскольку p ~ V , то p1V2  p2V1 и A  ( p2V2  p1V1 )  RT . Изменение
2
2
3
U  RT .
внутренней энергии
Согласно первому закону
2
U 4
 U .
термодинамики Q  U  A. В данном процессе Q  U 
3
3
3
Отсюда U  Q .
4
3
Ответ: ΔU  Q  15 Дж.
4
9.
Какой пар называют насыщенным?
относительной влажности воздуха.
Дайте
определение
Задача. В закрытом сосуде при температуре t1 находится воздух,
относительная влажность которого 1. Сосуд охлаждают до температуры
t2. При этом часть паров конденсируется и образуется вода массой m.
Определите объём сосуда, если давление насыщенных паров при
начальной температуре равно pн1, а при конечной – pн2. Универсальная
газовая постоянная R, молярная масса воды M.
Решение. Уравнения начального и конечного состояния пара имеют вид:
m
m
1 pн1V  1 RT1 и pн2V  2 RT2 , где m1 и m2 – начальная и конечная
M
M
массы водяного пара, T1  t1  273 , T2  t 2  273 . Учитывая, что масса
образовавшейся воды m  m1  m2 , из записанных равенств находим
V 
mR
.
M 1 pн1 / T1  pн2 / T2 
27
Ответ: V 
mR
  p
pн2 

M  1 н1 
t

273
t

273 
2
 1
.
10. Как зависят давление и плотность насыщенного пара от
температуры? При каких условиях происходит кипение
жидкости?
Задача. В цилиндре под поршнем находился влажный воздух с
относительной влажностью  = 60%. При изотермическом уменьшении
объёма воздуха в n = 3 раза сконденсировалось m = 5 г воды. Определите
массу пара m0, первоначально содержавшегося в цилиндре. Числовой
ответ приведите в граммах, округлив до целых.
Решение. Согласно уравнению Менделеева–Клапейрона, до сжатия
парциальное давление пара в цилиндре было равно p0 
m0
RT , где R –
MV
универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура воздуха,
V – его объём, М – молярная масса воды. По определению
относительной влажности  
p0
*100% , где рн – давление насыщенного
pн
пара. После сжатия пар достиг насыщения, и часть его
сконденсировалась. В результате масса пара стала равной m0  m , а его
объём (если пренебречь объёмом сконденсировавшейся воды) –
V
.
n
n(m0  m) RT
. Решая совместно приведённые уравнения,
MV
nm
получаем, что m0 
.
n  1
nm
Ответ: m0 
 11 г.
n  1
Поэтому pн 
11. Что такое идеальный газ? Запишите основное уравнение
молекулярно-кинетической теории идеального газа и укажите
смысл входящих в это уравнение величин.
Задача. Какую работу A надо совершить для сжатия некоторого
количества идеального одноатомного газа в k = 3 раза, если внутренняя
энергия газа U меняется при этом так, как показано на рис.30?
28
Участок 1 – 2 – отрезок параболы с вершиной в начале координат.
Исходное значение внутренней энергии газа
равно U1 = 135 кДж.
Рис.30
3
Решение. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа U   RT ,
2
т.е. U  T. Поскольку участок 1 – 2 – отрезок параболы, то и T  V 2. Из
уравнения состояния газа pV  RT следует, что на этом участке p  V.
Работу по сжатию газа найдём, вычислив
площадь фигуры под графиком p  p(V ) , т.е.
трапеции
(рис.
31).
Имеем
1
1 2
A  (kp2  p2 )(kV2  V2 )  (k  1) p2V2 .
Из
2
2
3
Рис.31
U 2   RT2
сравнения
выражений
и
2
2
p2V2   RT2 следует, что p2V2  U 2 , а значит искомая работа равна
3
1
k 2 1
A
U 2 . Учитывая, что U 2  2 U1 , получаем окончательно, что
3
k
A
k 2 1
U 1.
3k 2
2
Ответ: A  k 2 1 U1  40 кДж.
3k
12. Какие виды парообразования вы знаете? Дайте определение
удельной теплоты парообразования.
Задача. В цилиндре под поршнем при температуре 20 C находятся
воздух, водяные пары и вода. Число молей воздуха равно числу молей
пара, а масса воды в три раза больше массы пара. Объём смеси медленно
увеличивают при постоянной температуре до тех пор, пока
относительная влажность воздуха не уменьшится до 50%. Определите
конечное давление влажного воздуха p, если давление насыщенного
пара при 20 C равно pнас  2,33 кПа.
29
Решение. Поскольку в начальном состоянии пар в цилиндре является
насыщенным, и число молей воздуха равно числу молей пара, то
парциальное давление сухого воздуха в этом состоянии равно
pвозд 0  pнас . При медленном расширении смеси в 4 раза вся вода
испарится, а пар останется насыщенным, т.е. относительная влажность
воздуха сохранится равной 100%. Для того чтобы относительная
влажность воздуха уменьшилась до 50%, нужно увеличить объем смеси
еще в два раза. Таким образом, конечный объем смеси равен восьми
начальным объемам. Следовательно, конечное давление сухого воздуха
p
pвозд к  нас .
Искомое
давление
влажного
воздуха
8
p
p
5
p  pвозд к  pпара к  нас  нас  pнас .
8
2
8
5
Ответ: p  pнас  1,46 кПа.
8
13. Что такое насыщенный пар? Как зависят давление и плотность
насыщенного пара от температуры?
Задача. Герметично закрытый сосуд объемом V  2 л находится при
температуре t1  36 C . При этом половину сосуда занимает вода, а
другую половину – насыщенный водяной пар. На какую величину N
увеличится число молекул водяного пара в сосуде при его нагревании до
температуры t0  100 C ? Давление насыщенного водяного пара при
температуре 36 C составляет pнас  5,9 кПа. Нормальное атмосферное
давление p0  100 кПа. Изменением объема воды за счет изменения ее
плотности и частичного испарения можно пренебречь. Постоянная
Больцмана k  1,38 1023 Дж/К.
Решение. Состояние водяного пара описывается уравнением p  nkT ,
где p – давление пара, n  2 N / V – концентрация молекул пара, N –
pV
число молекул пара, T – его абсолютная температура. Отсюда N 
.
2kT
Таким образом, начальное число молекул пара
N нач 
pнасV
, где
2kT1
T1  273  t1  309 K . Учтем, что при температуре T0  273  t0  373 K
давление насыщенного водяного пара совпадает с нормальным
30
атмосферным давлением p0. Число молекул пара при равно N кон 
Следовательно,
Ответ:
N 
N  N кон  N нач 
p0V
2kT0
p0V
.
2kT0

p
T 
1  нас  0  .
p0 T1 


p0V
p
t  273 
1  нас  0
  1,8 10 22 .
2k (t 0  273) 
p0 t1  273 
14. Сформулируйте
основные
положения
молекулярнокинетической теории. Каковы по порядку величины масса и
размеры молекул?
Задача. U-образную трубку постоянного сечения расположили
вертикально, частично заполнили ртутью и отметили уровень ртути на
ее стенках. Затем левое колено трубки герметично закрыли, а в открытое
правое колено трубки долили некоторое количество ртути, в результате
чего поверхность ртути в коленах сместилась от первоначального
положения. Определите атмосферное давление р0, если отношение
смещений уровней ртути в правом и левом коленах от первоначального
положения равно n = 4, а высота воздушного столба в левом колене
L = 25 см. Ответ дайте в миллиметрах ртутного столба. Температуру
воздуха считайте постоянной.
Решение. Обозначим через H высоту слоя ртути, которую налили в
правое колено, а через h – смещение ртути в левом колене от исходного
уровня. Тогда изменение уровня ртути в правом колене будет H – h, а
давление воздуха в левом колене p  p0  g ( H  2h), где  – плотность
ртути, g – ускорение свободного падения. По закону Бойля-Мариотта
pLS  p0 ( L  h)S , где S – площадь сечения трубки. Из этих уравнений
g ( H  2h) L
H h
n,
находим, что p0 
. Учитывая, что по условию
h
h
получаем окончательно, что p0  gL(n 1) .
Ответ: p0  gL(n 1)  750 мм рт. ст.
15. Сформулируйте первый закон термодинамики. Запишите
формулы для теплоемкости идеального одноатомного газа в
изохорном и изобарном процессах.
31
Задача. Над идеальным газом проводится циклический процесс,
состоящий из двух участков 1 – 2, 3 – 4, на
которых давление пропорционально объему, и
двух адиабат 2 – 3, 4 – 1 (рис.32). Известно, что
изменение температуры газа на участке 1 – 2 равно
T1 = 20 К, а модуль изменения температуры на
участке 3 – 4
равен T2 = 15 К. Найдите
коэффициент полезного действия цикла .
Рис.32
Решение. Газ получает теплоту от нагревателя на участке 1 – 2 и отдает
теплоту холодильнику на участке 3 – 4. КПД цикла по определению
равен  
A
, где A – работа, совершаемая газом за цикл. Поскольку
Q12
изменение внутренней энергии газа в циклическом процессе равно нулю,
из первого закона термодинамики следует, что работа газа равна
алгебраической сумме количеств теплоты, которыми газ обменивается с
окржающими телами. Таким образом, A  Q12  | Q34 | . Кроме того,
Q12  C(T2  T1)  CT1 , Q34  C(T4  T3 )  CT2 , где C – теплоемкость газа в
процессе, в котором давление пропорционально объему. Предлагаем
читателям самостоятельно убедиться в том, что теплоемкость  молей
одноатомного идеального газа в таком процессе равна C  2R , где R –
универсальная газовая постоянная.
 T 
Ответ:   1  2  100%  25% .
 T1 
16. Какие виды парообразования вы знаете? Дайте определение
удельной теплоты парообразования.
Задача. Горизонтально расположенный цилиндр, герметично закрытый
с обоих торцов, разделён поршнем на две равные части, длина каждой из
которых равна l = 30 см. В каждой части цилиндра находится вода и её
пар при температуре t = 100 ºС. При этом масса воды в каждой из частей
в 5 раз меньше массы пара. Площадь поперечного сечения поршня равна
S = 20 см2, а его масса M = 200 г. На какое расстояние h сместится
поршень через достаточно большой промежуток времени, если цилиндр
поставить вертикально, а температуру содержимого цилиндра
поддерживать постоянной? Трение между поршнем и стенками
цилиндра считайте пренебрежимо малым, модуль ускорения свободного
падения примите равным g = 10 м/с2, а нормальное атмосферное
32
давление –
целых.
p0  105 Па.
Ответ приведите в миллиметрах, округлив до
Решение. В горизонтально расположенном цилиндре пар является
насыщенным и его давление равно p0 . Когда цилиндр ставят
вертикально, поршень начинает опускаться, пар в нижней части
цилиндра конденсируется, а вода в верхней части испаряется. Если в
нижней части цилиндра не весь пар сконденсировался, а в верхней части
цилиндра вся вода испарилась, то при равновесии поршня давление
ненасыщенного пара в верхней части цилиндра уменьшилось до
Mg
величины p1  p0 
. Если число молей пара в каждой из частей
S
горизонтально расположенного цилиндра обозначить через  , то число
молей воды в этих частях по условию будет равно  / 5 . Поэтому
согласно уравнению Менделеева–Клапейрона давление в горизонтально
расположенном цилиндре должно удовлетворять соотношению
p0 Sl  RT , а в верхней части вертикального цилиндра установившееся
давление p1 будет удовлетворять соотношению p1S (l  h)  1,2RT . Из
записанных соотношений находим, что h 
Ответ: h 
p0 S / 5  Mg
l .
p0 S  Mg
p0 S / 5  Mg
 l  64 мм.
p0 S  Mg
17. Какие виды парообразования вы знаете? Дайте определение
удельной теплоты парообразования.
Задача. В закрытом с обоих торцов цилиндре при температуре 100 С
находятся пары воды и гелий, отделённые друг от друга гладким
тяжёлым поршнем. Когда ось цилиндра была горизонтальной, объёмы
пара и гелия были равны друг другу, а давление водяного пара было в
n = 3 раза меньше давления насыщенного пара воды при 100 С. После
того, как цилиндр поставили вертикально, через достаточно большой
промежуток времени половина пара сконденсировалась. Определите
установившееся давление p гелия в вертикально расположенном
цилиндре, если температура в обеих частях цилиндра всё время
поддерживалась неизменной. Нормальное атмосферное давление
p0 = 105 Па.
33
Решение. Пусть рн =p0 = 105 Па – давление насыщенного пара воды при
100 С, V – объёмы пара и гелия в исходном состоянии, п – число молей
пара, а г – число молей гелия. Поскольку давления и объемы пара и
pV
гелия в исходном состоянии равны друг другу, то  г   п  0 . Здесь
nRT
T = 373 К. Так как в вертикально стоящем цилиндре часть пара
сконденсировалась при неизменной температуре, то гелий должен
находиться в верхней части цилиндра, а давление в нижней части
цилиндра должно стать равным р0. Поскольку плотность пара во много
раз
меньше
плотности
воды
при
100 С,
то
объёмом
сконденсировавшейся воды можно пренебречь, а потому занятый гелием
V (4n  1)V
объём можно считать равным V1  2V  
. Поэтому согласно
2n
2n
уравнению Менделеева – Клапейрона искомое давление гелия равно
p
 г RT
2 p0
.

V1
4n  1
Ответ: p 
2 p0
2
 p0  18,2 кПа.
4n  1 11
18. Дайте определение идеального газа. Запишите уравнение
состояния идеального газа, указав смысл входящих в это
уравнение величин.
Задача. Над одноатомным идеальным газом совершают процесс, в
котором давление газа линейно уменьшается с ростом его объема. При
этом отношение конечного объема газа к начальному
отношение конечного давления к начальному
V2
m4, а
V1
p2
1
 n  . Найдите, во
p1
2
сколько раз k количество теплоты, полученное газом в этом процессе,
больше изменения его внутренней энергии.
Решение. Работа, совершенная газом в рассматриваемом процессе,
1
А  ( p1  p2 )(V2  V1 ) ,
изменение
внутренней
энергии
газа
2
3
U  ( p2V2  p1V1 ) . Согласно первому закону термодинамики Q 
2
34
1
( p1  p2 )(V2  V1 ) + 3 ( p2V2  p1V1 ) .
2
2
4 p V  4 p1V1  p1V2  p2V1
k 2 2

3( p2V2  p1V1 )
Ответ: k 
4
Искомое
отношение
равно
p2 V2
V
p
 4 2  2
p1 V1
V1 p1 4mn  4  m  n
.

3(mn  1)
 p2 V2 


3
  1
 p1 V1 
4nm  4  m  n 5
 .
3(mn  1)
2
19. Дайте определение коэффициента полезного действия (КПД)
теплового двигателя. Чему равно максимально возможное
значение КПД теплового двигателя?
Задача. Идеальный одноатомный газ совершает в тепловом двигателе
цикл 1–2–3–1, в котором давление p газа изменяется
с изменением его плотности  так, как показано на
рис.33, причём график процесса 2–3 представляет
собой участок гиперболы, описываемой уравнением
p b
Рис.33
после запятой.
k
.

Определите
КПД
цикла
.
Ответ
приведите в процентах, округлив до одного знака
Решение. Согласно условию, на участке 2–3 зависимость давления газа
от его плотности описывается законом вида
k
k
. Из системы уравнений p0  b 
,
2 0

k
находим, что b   p0 , k  4 p00 и
3 p0  b 
0
p b

 


p  p0   1  4 0  , или p  p0   1  4 V  , где V0 –

Рис.34
V


0 

объем газа в состояниях 1 и 3. Таким образом, pV-диаграмма цикла
имеет вид, изображенный на рис34. . Работа газа за один цикл
A
1
 1 p V
2 p0V0 1    0 0 . Газ получает теплоту на участке 2–3, а отдает
2
2
 2
теплоту на участках 3–1 и 1–2. Следовательно, полученное от
нагревателя
количество
теплоты
Qн 
3
1
 1
R (T3  T2 )  4 p0V0 1   .
2
2
 2
35
Учитывая,
что
согласно
уравнению
Менделеева–Клапейрона,
V0
19 p0V0
RT2  p0 , RT3  3 p0V0 , находим, что Qн 
. КПД цикла равен
2
4

A
2
 .
Qн 19
Ответ:  
2
100%  10,5% .
19
20. Что такое внутренняя энергия термодинамической системы?
Какими способами можно изменить внутреннюю энергию
системы?
Задача. Идеальный одноатомный газ совершает в тепловом двигателе
цикл 1–2–3–1, в котором давление p газа изменяется
с изменением его плотности  так, как показано на
рис.35, причём график процесса 1–2 представляет
собой участок гиперболы, описываемой уравнением
p b
Рис.35
k
.

Определите
коэффициент
полезного
действия (КПД) цикла . Ответ приведите в
процентах, округлив до одного знака после запятой.
Решение. Согласно условию, на участке 1–2 зависимость давления газа
от его плотности описывается законом вида
p b
k
.

3 p0  b 
Рис.36
k
0
Из системы уравнений
p0  b 
k
,
2 0
находим, что b   p0 , k  4 p00


p  p0   1  4 0



 , или


V
p  p0   1  4
V0


 ,

и
где V0 –
объем газа в состоянии 1. Таким образом, pV-диаграмма цикла имеет
вид, изображенный на рис.36. Работа газа за один цикл
A
1
 1 p V
2 p0V0 1    0 0 . Газ получает теплоту на участках 2–3 и 3–1, а
2
2
 2
отдает
теплоту
на
участке
1–2. Следовательно, полученное от нагревателя количество теплоты
3
5
Qн  R(T3  T2 )  R(T1  T3 ) . Учитывая, что согласно уравнению
2
2
36
Менделеева–Клапейрона,
находим, что Qн 
Ответ:  
RT1  3 p0V0 ,
RT2  p0
V0
,
2
RT3  3 p0
V0
,
2
21 p0V0
A
2
. КПД цикла равен  
 .
4
Qн 21
2
100%  9,5% .
21
21. Сформулируйте первый закон термодинамики. Запишите
формулы для теплоемкости идеального одноатомного газа при
изохорном и изобарном процессах.
Задача. Идеальный одноатомный газ совершает в тепловом двигателе
цикл 1–2–3–4–1, в котором давление p газа
изменяется с изменением его плотности  так, как
показано на рис.37, причём графики процессов 2–3
и 4–1 представляют собой участки гипербол.
Определите коэффициент полезного действия
(КПД) цикла . Ответ приведите в процентах,
округлив до одного знака после запятой.
Рис.37
Решение. Согласно условию, на участке 2–3 зависимость давления газа
от его плотности описывается законом вида p 
Из уравнения 2 p0 
p  2 p0
Рис.38
k
0
k
.

находим, что k  2 p00 и
0
V
, или p  2 p0 , где V0 – объем газа в
V0

состояниях 1 и 2. Рассуждая аналогично, находим,
что на участке 4–1 давление зависит от объема по закону p  3 p0
V
.
V0
Таким образом, pV-диаграмма цикла имеет вид, изображенный на
рис.38.
Работу газа за один цикл, численно равную площади S1234 фигуры 1–2–3–
4, удобно рассчитать по формуле
A  S154  S 253 
5p V
1
1  1
 1
2 p0 1  V0  p0 1  V0  0 0 .
2
3
2
2
12




Газ получает теплоту на участке 4–1 и отдает теплоту на участках 1–2,
2–3 и 3–4. Следовательно, полученное от нагревателя количество
37
теплоты
Qн 
3
1
 1
R (T1  T4 )  4 p0 1  V0 .
2
2
 3
Учитывая,
что
уравнению Менделеева–Клапейрона RT1  3 p0V0 , RT4  p0
16 p0V0
A
5
. КПД цикла  
.

3
Qн 64
5
Ответ:   100%  7,8% .
64
что Qн 
38
согласно
V0
, находим,
3
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
1. Дайте определение магнитного потока. Сформулируйте закон
электромагнитной индукции.
Задача. Проволочная квадратная рамка массой m падает, оставаясь в
вертикальном положении, в неоднородном магнитном поле, вектор
индукции которого перпендикулярен плоскости рамки
(см. рис. 39). Через некоторое время скорость рамки
перестает изменяться. Определите установившуюся
скорость рамки vуст, если известно, что индукция
магнитного поля нарастает по линейному закону:
B( z)  B0  kz , где k – постоянный коэффициент, а
Рис.39
координатная ось OZ направлена вертикально вниз.
Сопротивление проволоки, из которой изготовлена рамка, R, сторона
рамки b, ускорение свободного падения g.
Решение. При движении рамки со скоростью v на концах отрезков AC и
DE возникают ЭДС индукции, обусловленные
действием силы Лоренца на свободные заряды в
движущихся
проводниках.
Направления
сил
Лоренца в обоих отрезках одинаковы: от A к C и от
D к E, а величины создаваемых ими ЭДС индукции
различны:
EAC  B( z)vb  [ B0  kz]vb ,
Рис.40
EDE  B( z  b)vb  [ B0  k ( z  b)]vb .
Очевидно, что EDE  EAC , поэтому суммарная работа сил Лоренца
положительна при обходе контура против часовой стрелки. В этом же
направлении будет течь индукционный ток, сила которого
I
EDE  E AC
kv b 2

. Результирующая сила Ампера
R
R
k 2b 4
v
R
направлена вверх (рис.40). По второму закону Ньютона ma  mg  FA .
FA  F2  F1  I  b  [( B0  k  ( z  b)]  ( B0  k  z )] 
Движение рамки происходит равномерно с установившейся скоростью
vуст, если ускорение а равно нулю.
Из последнего равенства получаем ответ.
39
Ответ: v уст 
mgR
k 2b 4
.
2. Дайте определение напряженности электрического поля. Что
такое линии напряженности электрического поля (силовые
линии)?
Задача. Два шарика массой m каждый подвешены в одной и той же
точке на нитях длиной L . Шарики соединены друг с другом нитью
длиной l и несут одинаковые электрические заряды. Определите
величину заряда q каждого из шариков, если известно, что в состоянии
равновесия силы натяжения всех трех нитей одинаковы. Нити считайте
невесомыми и непроводящими. Электрическая постоянная 0 ,
ускорение свободного падения g .
Решение. Пусть  – угол, который составляют нити длиной L с
вертикалью (см. рис.41). Тогда условия равновесия
F  T  T sin   0 ,
шариков
имеют
вид
T cos   mg  0 , где T – сила натяжения нити, g –
ускорение свободного падения, F – сила
кулоновского
взаимодействия
шариков,
2
l
Рис.41
определяемая формулой F  1  q2 , sin   ,
2L
40 l
cos  
4 L2  l 2
. Отсюда q  2l 0 mg
2L
Ответ: q  2l 0 mg
2L  l
4 L2  l 2
2L  l
4 L2  l 2
.
.
3. Что такое электродвижущая сила (ЭДС) источника?
Сформулируйте условия существования постоянного тока в
цепи.
Задача. При подключении к источнику поочередно двух сопротивлений
нагрузки R1  4 Ом и R2  1 Ом выделяющаяся в них мощность оказалась
одинаковой и равной N  9 Вт. Чему равна ЭДС E источника?
40
Решение. Обозначив через r внутреннее сопротивление источника,
запишем мощности, выделяющиеся в нагрузке в первом и во втором
E2
E2
R
N

R2 . По условию N1  N 2 ,
случаях, а именно N1 
,
1
2
( R1  r ) 2
( R2  r ) 2
откуда следует, что R1 ( R2  r ) 2  R2 ( R1  r ) 2 , или R1 ( R2  r )  R2 ( R1  r ) .
Из последнего уравнения легко найти внутреннее сопротивление
E2 R1
E2 R2

источника: r  R1R2 . Следовательно, N 
.
( R1  R1R2 ) 2 ( R2  R1R2 ) 2
Выражая из одного из этих равенств ЭДС источника E, получаем, что


E  N R1  R2 .
Ответ: E  N
 R  R  9 В.
1
2
4. Дайте определение потенциала электростатического поля.
Запишите
связь
между
разностью
потенциалов
и
напряженностью электростатического поля.
Задача. В схеме, показанной на рис.42 ключ К длительное время был
замкнут. В момент времени t = 0 ключ размыкают.
Определите закон изменения во времени заряда
пластины конденсатора, подключенной при
замкнутом ключе к положительному полюсу
батареи. ЭДС батареи E, ее внутреннее
Рис.42
сопротивление r, емкость конденсатора С.
Индуктивность катушки L, её сопротивление пренебрежимо мало.
Решение. Т.к. ключ был длительное время замкнут, сила тока через
E
катушку установилась равной I 0  , а конденсатор был полностью
r
разряжен. Поэтому в момент размыкания ключа энергия LC–контура
была равна
LI 02
.
2
Пренебрегая потерями в LC–контуре, можно
утверждать, что после размыкания в контуре будут происходить
гармонические колебания с частотой  
1
LC
. При этом амплитуда q0
колебаний заряда конденсатора определяется из равенства
q02 LI 02

.
2C
2
41
Учитывая, что сразу после размыкания направление тока через катушку
не изменяется, получаем искомую зависимость: q(t )  q0 sin t .
Ответ: q(t )   E LC sin
r
t
.
LC
5. Что такое элементарный электрический заряд? Сформулируйте
закон сохранения электрического заряда.
Задача. В вершинах правильного шестиугольника расположены шесть
одинаковых маленьких шариков, имеющих заряд q каждый. Какой
точечный заряд Q нужно поместить в центр шестиугольника, чтобы вся
система заряженных тел находилась в равновесии?
Решение. В положении равновесия сумма сил, действующих на каждый
заряд системы, равна нулю. Обозначим через a длину
стороны шестиугольника и рассмотрим заряд,
расположенный в точке A (см. рис.43). Расстояния от
этого заряда до остальных зарядов системы таковы:
AO  a ,
AB  AF  a ,
AD  2a .
AC  AE  l  a 3 ,
Согласно закону Кулона и принципу суперпозиции,
Рис.43
модуль силы, действующей на заряд q, находящийся в
точке A, равен
F
1  q 2
q2
q 2 qQ 
2
cos
60


2
cos
30



0.
40  a 2
l2
4a 2 a 2 
Ответ:
 1
5
Q  
 q  1,8q.
 3 4
6. Дайте определение потенциала электростатического поля. Как
связана разность потенциалов с напряженностью однородного
электростатического поля?
Задача. Схема, изображенная на рисунке 44, состоит из
четырех
конденсаторов,
источника
постоянного
напряжения и ключа K. Найдите отношение n
электростатической энергии, запасенной в конденсаторах
после замыкания ключа K, к энергии, запасенной в
конденсаторах до замыкания ключа, если С2 = 2С1.
42
Рис.44
Решение. На рис. 45а и 45б изображены эквивалентные схемы цепи: до
замыкания ключа – рис.45а, после замыкания ключа – рис.45б. До
замыкания ключа имеем параллельное соединение конденсаторов
одинаковых
электроёмкостей
C3 =
C1C 2
2
= C1 . Полная электроёмкость
C1 + C 2 3
4
системы до замыкания ключа C  = C1 .
3
После
замыкания
имеем
последовательное
Рис.45
соединение
двух
конденсаторов
с
электроёмкостью C4 = C1 + C2 = 3  C1 . Полная электроёмкость системы
C
3
после замыкания ключа C = 4 = C1 . Отношение энергий заряженных
2 2


W
9
батарей конденсаторов n  = .
W 8
9
Ответ: n = .
8
7.
Дайте определение электрического сопротивления проводника.
Чему равно сопротивление последовательно и параллельно
соединенных проводников?
Задача. Квадратная рамка АСDE из тонкого медного провода помещена
в сильное однородное магнитное поле, индукция

которого B перпендикулярна плоскости рамки. В точках
А и С к рамке подключён источник постоянного тока с
ЭДС E (см. рис.46). Во сколько раз n изменится модуль
силы Ампера, действующей на рамку, если подключить
её к этому же источнику в точках А и D? Внутренним
Рис.46
сопротивлением
источника
и
сопротивлением
подводящих проводов можно пренебречь. Силу Ампера, действующую
на источник и подводящие провода, не учитывайте.
Решение. В первом случае сумма сил Ампера, действующих на стороны
АЕ и CD равна нулю. Силы Ампера, действующие на стороны АС и ЕD,
сонаправлены. Пусть сопротивление каждой стороны рамки равно R, а
E
её длина l. Тогда сила тока в участке АЕDС равна I1 
, а в участке АС
3R
43
E
. Поэтому сумма сил Ампера в первом случае равна
R
4EBl
F1  I1 Bl  I 2 Bl 
. Во втором случае токи через участки
3R
E
АСD и АЕD одинаковы и равны I 
, а силы Ампера, действующие
2R
на противоположные стороны рамки складываются. Сумма сил Ампера в
– равна I 2 
этом

случае
EBl
R
Ответ: n 
равна
2 . Следовательно,
F2 
2 FAE 2  2FED 2  2FED
2  2 IBL 2 
F2 3 2

.
F1
4
3 2
 1,06 .
4
8. Что такое электродвижущая сила (ЭДС) источника?
Сформулируйте условия существования постоянного тока в
цепи.
Задача. Нагревательный элемент, подключенный к аккумулятору с
внутренним сопротивлением r  2 Ом, развивает мощность N1  50 Вт.
При подключении нагревательного элемента к двум таким
аккумуляторам, соединенным последовательно, выделяемая в
нагревателе мощность составила N2  72 Вт. Найдите сопротивление R
нагревателя.
Решение. Мощность, развиваемая нагревательным элементом
сопротивлением R , подключенным к аккумулятору с ЭДС E и
E2 R
внутренним сопротивлением
. При подключении
(r  R) 2
этого же элемента к двум одинаковым аккумуляторам, соединенным
последовательно, значения ЭДС и внутреннего сопротивления
удваиваются. В этом случае нагреватель развивает мощность
4E2 R
N 2 4(r  R) 2
N 2 2( r  R )
N2 


.
Составим
отношение:
.
2
2 , или
N1
2r  R
N1 (2r  R)
( 2r  R )
r,
Выражая
44
из
последнего
равна N1 
соотношения
R,
получаем,
что
R  2r
N 2 / N1  1
2  N 2 / N1
Ответ. R  2r
.
N 2 / N1  1
2  N 2 / N1
 1 Ом.
9. Что такое омическое сопротивление проводника? Запишите
формулу для расчёта сопротивления однородной проволоки и
укажите смысл входящих в эту формулу величин.
Задача. Две одинаковые лампы накаливания мощностью N1 = 25 Вт
каждая, рассчитанные на напряжение U = 10 В, подключены
параллельно к аккумулятору с внутренним сопротивлением r = 1 Ом.
После того, как одна из ламп перегорела, её заменили лампой
мощностью N2 = 75 Вт, рассчитанной на то же напряжение. Пренебрегая
зависимостью сопротивления нити накала ламп от температуры,
определите отношение n коэффициента полезного действия
аккумулятора во втором случае к коэффициенту полезного действия
аккумулятора в первом случае.
Решение. По условию сопротивление нити накала лампы можно считать
постоянным, поэтому оно равно
аккумулятору
подключены
U2
. В первом случае, когда к
N
параллельно
две
мощностью N1, сопротивление цепи равно R1 
одинаковые
лампы
2
U
 r , а во втором
2 N1
случае, когда к аккумулятору подключены параллельно две разные
лампы мощностями N1 и N2, сопротивление цепи равно R2 
U2
r .
N1  N 2
КПД  любого источника по определению равен отношению мощности
Wн, выделяющейся на нагрузке, к мощности Wи, развиваемой
источником, т.е.  
Wн
. Нетрудно установить, что это отношение
Wи
мощностей равно отношению сопротивления нагрузки Rн к полному
45
сопротивлению цепи
быть
вычислен
Rц  Rн  r
по формуле
отношение КПД равно n 
Ответ: n 
. Таким образом, КПД источника может

Rн
.
Rн  r
Следовательно,
искомое
 2 ( R2  r ) R1
U 2  2 N1r

 2
.
1 ( R1  r ) R2 U  ( N1  N 2 )r
U 2  2 N1r
 0,75 .
U 2  ( N1  N 2 )r
10. Запишите закон Ома для полной цепи. Какие соединения
источников вы знаете?
Задача. Прямолинейный проводник согнут под углом 2 = 60º и
помещен в однородное магнитное поле с индукцией
В = 10–2 Тл,
направленной
перпендикулярной
плоскости проводника на нас. Перпендикулярно
биссектрисе угла по изогнутому проводнику двигают
с постоянной скоростью v = 1 м/с проводящую
перемычку (см. рис.47). Каковы величина и
направление тока I, текущего по образовавшемуся
Рис.47
контуру, если перемычка начала движение от
вершины угла? Сопротивление единицы длины проводника и перемычки
 = 1 Ом/м.
Решение.
Площадь,
ограниченная
контуром,
образованным
неподвижным проводником и движущейся перемычкой, в момент
1
времени t равна S (t )  v t  2v t tg   v 2t 2 tg  , а в момент времени t  t
2
равна
S (t  t )  v 2 (t  t ) 2 tg   v 2 (t 2  2tt  t 2 ) tg   v 2 (t 2  2tt ) tg  .
Следовательно, за малое время t площадь, ограниченная контуром,
увеличивается на S  S (t  t )  S (t )  2v t tg   t . По закону
электромагнитной индукции Фарадея в контуре возникает ЭДС
2
индукции, модуль которой E 
46
BS
 2v 2 Bt tg  . Сопротивление контура
t
определяется выражением R 
текущий в контуре, I 
2v t
1  sin   . По закону Ома ток,
cos 
E
Bv sin 
. Используя правило Ленца,

R 1  sin  
находим, что индукционный ток течет по часовой стрелке.
Ответ: I 
Bv sin 
 3,3 мА. Ток течет по часовой стрелке.
1  sin  
11. Что такое потенциал электростатического поля? Как связана
разность потенциалов с напряженностью однородного
электростатического поля?
Задача. Конденсатор емкостью С1 = 10 мкФ зарядили от источника
постоянного напряжения с ЭДС E. Отключив конденсатор от источника,
его соединили с незаряженным конденсатором емкостью С2 = 2С1. После
установления напряжения на конденсаторах их обкладки замкнули
проводником c достаточно большим сопротивлением, в котором
выделилось количество теплоты Q = 0,3 Дж. Определите ЭДС источника
E.
Решение. После соединения конденсаторов напряжения на них
установятся одинаковыми, а их суммарный заряд останется равным
первоначальному заряду первого конденсатора, т.е. U 2  U1 ,
(С1  C2 )U1  C1E .
Следовательно,
U1 
С1E
.
С1  С2
После
замыкания
конденсаторов проводником с большим сопротивлением они полностью
разрядятся, а выделившееся при этом количество теплоты практически
будет равно электрической энергии, которой обладали конденсаторы до
замыкания, а именно, Q 
следует, что E 
Ответ: E 
2Q(C1  C2 )
C1
2Q(C1  C2 )
C1
(С1  C2 )U12
. Из написанных соотношений
2
.
 424 В.
12. Дайте определение электроемкости. Запишите формулу для
электроемкости плоского конденсатора.
47
Задача. В приведенной на рис.48 схеме электроёмкость конденсатора
С = 6 мкФ, ЭДС источника E = 5 В, а ключ К
замкнут. Какое максимальное количество
теплоты Q может выделиться на резисторе 2R
после
размыкания
ключа?
Внутреннее
сопротивление
источника
считайте
Рис.48
пренебрежимо малым.
5R
Решение. Сопротивление цепи при замкнутом ключе К равно
.
3
Поэтому до размыкания ключа сила тока, протекающего через источник,
3E
2
2E
равна I 
, а напряжение на конденсаторе равно U  RI 
.
5R
3
5
Запасённая в конденсаторе энергия W 
CU 2 2CE 2

выделится в виде
2
25
теплоты на резисторах R и 2R после размыкания ключа в количествах,
обратно пропорциональных их сопротивлениям, т.е. на резисторе 2R
выделится 1/3 часть этой энергии. Отсюда получаем, что Q 
Ответ: Q 
2CE 2
.
75
2CE 2
 4 10  6 Дж, или 4 мкДж.
75
13. Чему равна работа электрического тока? Сформулируйте закон
Джоуля–Ленца.
Задача. В цепи, схема которой изображена на рис.49, ключ К сначала
достаточно долго удерживали в положении 1. Затем
ключ перевели в положение 2. Известно, что после
этого на сопротивлении R1 выделилось количество
теплоты Q1 = 1 мДж. Определите ЭДС E источника.
При расчетах примите R1 = 100 Ом; R2 = 200 Ом;
R3 = 300 Ом; С = 120 мкФ.
Рис.49
Решение. В исходном состоянии конденсатор зарядится до разности
потенциалов E. После перебрасывания ключа К в положение 2
конденсатор полностью разрядится и в цепи, состоящей из резисторов
R1, R2 и R3, выделится количество теплоты Q 
CE 2
. Поскольку в
2
последовательной
выделяющиеся
48
цепи
количества
теплоты,
на
отдельных резисторах, пропорциональны их сопротивлениям, то
Q1 
CE2
R1
2Q1 R1  R2  R3

. Отсюда E 
.
C
R1
2 R1  R2  R3
Ответ: E 
2Q1 R1  R2  R3

= 10 В.
C
R1
14. Что такое элементарный электрический заряд? Сформулируйте
закон сохранения электрического заряда.
Задача. Три одинаковых точечных заряда q = 10−8 Кл удерживают на
одной прямой так, что расстояние между первым и вторым зарядами
равно 3а, а между первым и третьим зарядами равно 7а, где а = 10 см.
Определите минимальную работу, которую нужно совершить, чтобы
переместить эти заряды в вершины прямоугольного треугольника с
катетами длиной 3а и 4а, преодолевая действие только
электростатических сил, создаваемых этими зарядами. Электрическая
постоянная 0 = 8,85∙10−12 Ф/м.
Решение. Потенциал точки, находящейся на расстоянии r от точечного
заряда q, относительно бесконечно удалённой от него точки равен

q
.
40 r
Согласно
принципу
суперпозиции
электростатических
полей
потенциал,
создаваемый первым и вторым зарядами в точке 3,
где
удерживают
третий
заряд,
равен
Рис.50
1 
q
40
1 
q
11
 1
,




7
a
4
a
4

28
a


0
а
потенциал
вершины прямоугольного треугольника с длиной основания 3а и
высотой 4а (точки 3 на рис.50), в крайних точках основания которого
находятся точечные заряды q, равен 3  1   1  1   1  9 .
40  4a
Поэтому искомая работа равна A  q(3  1 ) 
Ответ: A 
5a 
40 20a
q 2  9 11 
q2
   
.
40a  20 28  700a
q2
 5,1107 Дж.
700 a
49
15. Дайте определение электроемкости. Запишите формулу для
электроемкости плоского конденсатора.
Задача. В электрической схеме, представленной
на
рис.51,
сопротивления
резисторов
R1 = R2 = R3 = 10 Ом,
электроемкость
конденсатора C = 2 мкФ, ЭДС источников
E1 = 10 В, E2 = 8 В, E3 = 5 В, их внутренние
сопротивления пренебрежимо малы. Найдите
заряд q на пластинах конденсатора.
Рис.51
Решение. По цепи течет постоянный ток I, направление которого
указано на рис52. стрелкой. По закону Ома для
полной цепи I 
Рис.52
обкладками
Следовательно,
E1  E3
. Разность потенциалов
R1  R3
между точками 1 и 2 находим из закона Ома для
неоднородного участка цепи, согласно которому
2  1  E1  IR1 , а разность потенциалов между
конденсатора
a  b  1  E2  2  IR1  E1  E2 .
заряд на конденсаторе равен q  C  (a  b ) 
 E  E3

 C   1
R1  E1  E2  .
 R1  R3

 E1  E3

R1  E1  E2   10  6 Кл, или 1 мкКл.
Ответ: q  C  
 R1  R3

16. Сформулируйте закон Ома для участка цепи. Дайте определение
омического сопротивления проводника.
Задача. Ученик собрал электрическую цепь, состоящую из источника и
подключенного к нему нагрузочного резистора. При этом сопротивление
резистора ученик подобрал таким, чтобы в резисторе выделялась
максимально возможная мощность. Во сколько раз n изменится
коэффициент полезного действия (КПД) цепи, если к источнику вместо
одного подключить два таких резистора, соединенных параллельно?
Решение. Используя закон Ома для полной цепи и закон Джоуля–Ленца,
находим, что мощность, выделяющаяся в резисторе сопротивлением R,
50
E2 R
, где E – ЭДС источника, r – его внутреннее
(R  r)2
сопротивление. Анализ этого выражения показывает, что оно достигает
максимума при R  r . Например, находя производную от N по R, а
равна N 
именно, N  
E2[( R  r )2  2( R  r ) R]
, и приравнивая ее нулю, приходим к
( R  r )4
записанному выше условию. КПД цепи, определяемый как  
N полн 
E2
Rr
N
, где
N полн
– мощность, развиваемая источником, равен  
Поэтому в первом случае КПД 1 
R
.
Rr
r
1
 , а во втором случае
rr 2
r/2
1
 . Искомое отношение равно n  2  2 .
r/2r 3
1 3
2
Ответ: n  , т.е. КПД уменьшится в полтора раза.
3
2 
17. Сформулируйте
заряд?
закон
Кулона.
Что
такое
элементарный
Задача. Заряженная частица массой m = 1 мг находится в вакууме в
электрическом поле неподвижного равномерно заряженного шара.
Частицу удерживают в состоянии покоя на некотором расстоянии от
центра шара, действуя на нее силой F = 1 мН. Затем частицу отпускают,
и она начинает двигаться. Пройдя от исходного положения расстояние
s = 1 м, частица приобретает скорость v = 1 м/с. Каково ускорение a
частицы в этот момент времени? Частица и шар заряжены одноименно.
Решение. Пусть q – заряд частицы, Q – заряд шара, r – начальное
расстояние между частицей и центром шара. По закону Кулона
F
1 qQ
, где

40 r 2
0 – электрическая постоянная. Учитывая, что
потенциальная энергия электростатического отталкивания зарядов q и Q,
находящихся на расстоянии x друг от друга, равна
qQ
, по закону
40 x
сохранения энергии имеем
51
mv 2
1 qQ
1
qQ
1
qQs
sr






F
.
2
40 r 40 r  s 40 r r  s 
rs
2
По второму закону Ньютона ma 
1
qQ
 r 

 F
 . Объединяя
2
40 r  s 
rs
4
записанные выражения, получаем, что a  mv 2 .
4Fs
4
Ответ: a  mv 2  0,25 м/с2.
4 Fs
18. Что такое потенциал и разность потенциалов? Какова связь
между разностью потенциалов и напряженностью однородного
электростатического поля?
Задача. Заряженную частицу массой m = 1 мг удерживают в состоянии
покоя в вакууме на некотором расстоянии от центра неподвижного
равномерно заряженного шара, действуя на нее силой F = 1 мН. Когда
частицу отпускают, она, пройдя от исходного положения расстояние
s = 1 м, движется с ускорением a = 0,25 м/с2. Какова скорость v частицы
в этот момент времени? Частица и шар заряжены одноименно.
Решение. Пусть q – заряд частицы, Q – заряд шара, r – начальное
расстояние между частицей и центром шара. По закону Кулона
F
1 qQ
, где

40 r 2
0 – электрическая постоянная. Учитывая, что
потенциальная энергия электростатического отталкивания зарядов q и Q,
находящихся на расстоянии x друг от друга, равна
сохранения энергии имеем
mv 2
1 qQ
1
qQ
1
qQs
sr






F
.
2
40 r 40 r  s 40 r r  s 
rs
По
qQ
, по закону
40 x
второму
2
Ньютона ma 
1
qQ
 r 

 F
 .
40 r  s 2
rs
Объединяя записанные выражения, получаем, что v  4
52
4aFs 2
.
m
закону
Ответ: v  4
4aFs 2
 1 м/с.
m
19. Сформулируйте
закон
Кулона
и
закон
сохранения
электрического заряда. Поясните смысл входящих в эти законы
величин.
Задача. Два одинаковых точечных заряда q = 10–7 Кл
находятся на расстояниях a = 1 м от центра заземлённой
проводящей сферы радиуса R = 5 см (рис.53). Отрезки,
проведённые из центра сферы к зарядам, взаимно
перпендикулярны. Расстояния от зарядов и сферы до
Рис.53
окружающих тел достаточно велики. Определите модуль
F силы, с которой заряды действуют на сферу. Электрическая
постоянная 0 = 8,85·10–12 Ф/м.
Решение. Потенциал изолированной незаряженной сферы, центр
которой находится на расстоянии a от точечного заряда q, равен

q
. Поскольку сфера заземлена и находится в поле двух зарядов,
40 a
то справедливо равенство
2q
Q

 0 . Отсюда следует, что заряд
40 a 40 R
2qR
. Учитывая,
a
что R  a , можно считать, что этот заряд эквивалентен точечному
заряду Q, находящемуся в центре сферы. Следовательно, модуль
Q, индуцированный на поверхности сферы, равен Q  
искомой силы F  F12  F22 , где, в соответствии с законом Кулона,
2
q R 2
qQ
F
.
Из
записанных
выражений
получаем,
что
.
F1  F2 
20 a 3
40 a 2
Ответ: F 
q2R 2
 1,3 10 5 Н.
3
20 a
20. Сформулируйте закон Ома для участка цепи. Чему равны
сопротивления последовательно и параллельно соединенных
проводников?
53
Задача. Резистор сопротивлением R = 8 Ом подключен к источнику
постоянного тока с внутренним сопротивлением r = 4 Ом. Резистор с
каким сопротивлением Rx надо подсоединить параллельно резистору R,
чтобы мощность, выделяющаяся во внешней цепи, не изменилась?
Решение. Условие равенства мощностей, выделяющихся во внешней
цепи при разных сопротивлениях нагрузки R1 и R2, можно записать в
E 2 R1
E 2 R2

виде N 
, где E – ЭДС источника. Из этого равенства
R1  r 2 R2  r 2
находим, что r  R1R2 . Следовательно:
Ответ: Rx 
2
Rx R 2
 r и Rx  2Rr 2 .
Rx  R
R r
Rr 2
 2,7 Ом.
R  r2
2
21. Как определяется работа и мощность электрического тока?
Сформулируйте закон Джоуля–Ленца.
Задача. При поочередном подключении резисторов с сопротивлениями
R1 = 9 Ом и R2 = 4 Ом к источнику постоянного тока с ЭДС E = 10 В во
внешней цепи выделяется одинаковая мощность. Определите величину
этой мощности N.
Решение. Условие равенства мощностей, выделяющихся во внешней
цепи при разных сопротивлениях нагрузки R1 и R2, можно записать в
E 2 R1
E 2 R2

виде N 
, где E – ЭДС источника. Отсюда следует,
R1  r 2 R2  r 2
что r  R1R2 , а выделяющаяся мощность равна N 
Ответ: N 
54

E2
R1  R2

2
 4 Вт.

E2
R1  R2

2
.
ОПТИКА
1. Дайте определения фокусного расстояния и оптической силы
тонкой линзы.
Задача. Оптическая система состоит из двух линз – собирающей с
фокусным расстоянием F1  30 см и рассеивающей с фокусным
расстоянием F2  10 см. Главные оптические оси линз совпадают, а
расстояние между линзами L  20 см. Позади рассеивающей линзы на
расстоянии l  1 м от нее установлен экран, перпендикулярный главным
оптическим осям линз. На собирающую линзу падает параллельный
пучок света диаметром d1  15 мм. Ось пучка совпадает с главной
оптической осью линз. Определите диаметр d 2 светового пятна на
экране.
Решение. Ход одного из лучей, ограничивающих световой пучок,
изображен на рис.54. Точка пересечения продолжения луча,
преломленного собирающей линзой,
с оптической осью системы, дает
положение источника света для
рассеивающей линзы, находящегося
на расстоянии F1  L справа от нее.
По формуле тонкой рассеивающей
1
1
1
линзы имеем 
.
 
F1  L F
| F2 |
Рис.54
Отсюда расстояние от рассеивающей линзы до точки, где фокусируется
пучок,
прошедший
систему
линз,
F
| F2 | ( F1  L)
.
| F2 |  L  F1
Из
подобных
треугольников (рис.54) следуют равенства:
r
r
r1
r
 2 . Исключая из этих
,

F F l
F1 F1  L
Рис.55
Подставляя
сюда
 L  l 
равенств r , находим r2  r1  1    1   .
 F1   F 
найденное выше F , получаем окончательно
55
 L   l (| F2 |  L  F1 ) 
  5 мм.
d 2  d1  1    1 
| F2 | ( F1  L) 
 F1  
Замечание. Задача допускает гораздо более простое решение, если,
исходя из числовых данных, сразу учесть, что задние фокусы обеих линз
совмещены. Рассматриваемая система линз представляет собой телескоп,
после прохождения которого падающий параллельный пучок вновь будет
параллельным. Соответствующий ход луча изображен на рис.55. Из
рисунка 55 видно, что
Ответ: d 2  d1
r1
r
|F |
 2 . Отсюда следует, что d 2  d1 2  5 мм.
F1 F2
F1
| F2 |
 5 мм.
F1
2. Дайте определение светового луча. Сформулируйте законы
преломления света.
Задача. Отрезок АВ, параллельный главной оси собирающей тонкой
линзы, расположен на расстоянии d от оси так, что
его концы удалены от плоскости линзы на
расстояния a и b соответственно (рис.56).
Найдите длину l изображения отрезка, если
Рис.56
фокусное расстояние линзы F и b  a  F .
Решение. Изображение AB отрезка AB располагается на прямой,
проходящей через правый фокус линзы и через точку пересечения
линии, на которой находится отрезок, с
преломляющей плоскостью линзы (см.
рис.57). Из подобия  FA1 A и OCF
следует,
что
откуда
Рис.57
тонкой линзы имеем:
AF 
A1F OF


AF CF
длина
F d
F
2
2
A1F .
F
F d2
,
2
отрезка
По
формуле
1
1
1

 . Учитывая, что AO  a , A1O  F  A1F ,


A O A1O F
2
2
находим длину отрезка AF  F F  d . Аналогично получаем, что
aF
56
длина отрезка
BF 
F F2 d2
.
bF
Поскольку искомая длина равна
l  AF  BF , ответ имеет вид: l  F F 2  d 2 
1
1 

.
aF bF 
Ответ: l  F F 2  d 2 
1
aF

1 
.
bF 
3. Какие линзы называются тонкими? Дайте определения
фокусного расстояния и оптической силы тонкой линзы.
Задача. С помощью тонкой собирающей линзы получили увеличенное в
k = 5 раз мнимое изображение предмета, расположенного вблизи
главной оптической оси линзы. Если расстояние между линзой и
предметом увеличить на L = 10 см, то размер изображения предмета
уменьшится в n = 2 раза. Определите фокусное расстояние f линзы.
Решение. Построение двух изображений предмета, находящегося в двух
положениях относительно линзы,
показано на рисунке 58. При этом
учтено, что по условию при
отдалении предмета от линзы
размер изображения уменьшается.
Это возможно только тогда, когда
Рис.58
при втором положении предмета
его изображение является действительным. Из рисунка 58 видно, что
l1 b1
l
b
l
l k
k

и 2  2 . Поскольку 1  k и 2  , то b1  ka и b2  (a  L) .
n
l a
l aL
l
l n
Применяя формулу тонкой линзы и учитывая, что при первом
положении предмета его изображение является мнимым, имеем:
1 1 1
  ,
a ka f
1
n
1

 . Исключая из этих соотношений a,
a  L k ( a  L) f
находим, что f 
Ответ: f 
kL
.
n 1
kL
 16,7 см.
n 1
4. Запишите формулу тонкой линзы. Чему равно увеличение,
даваемое линзой?
57
Задача. Оптическая система состоит из двух тонких линз, главные
оптические оси которых совпадают. Первая линза – собирающая, а
вторая – рассеивающая. Фокусное расстояние собирающей линзы F.
Расстояние между линзами равно F/2. Точечный источник света S
расположен на главной оптической оси системы на расстоянии а = 1,5 F
перед собирающей линзой. Его изображение S1, создаваемое системой,
является действительным и находится на расстоянии b =5 F за
рассеивающей линзой. Определите отношение n оптической силы
собирающей линзы к модулю оптической силы рассеивающей линзы.
Решение. Ход одного из световых лучей, испущенных источником,
показан на рисунке 59. При этом
изображение S1 источника S,
формируемое
собирающей
линзой, находится за этой линзой
на
расстоянии
х,
Рис.59
удовлетворяющем
формуле
1 1 1
aF
   D . Отсюда x 
 3F . Это
тонкой линзы, а именно
a x F
aF
расстояние превышает на величину l  x  0,5F  2,5F расстояние между
линзами. Поэтому изображение S1 является мнимым источником для
рассеивающей линзы. Применяя для рассеивающей линзы формулу
1 1
1
D
тонкой линзы    D1 , находим, что D1  
и n
5.
l b
5F
| D1 |
Ответ: n  5 .
5. Сформулируйте законы отражения света. Приведите пример
построения изображения предмета в плоском зеркале.
Задача. Стеклянная тарелка имеет дно сферической формы радиуса
R  20 см . В тарелку налили воду. На поверхность воды по нормали к
ней направили луч света так, что точка падения луча оказалась на
расстоянии a  5 мм от центра водной поверхности. Показатель
преломления воды n  1,33. Под каким углом  к вертикали выйдет из
воды в воздух отраженный от дна тарелки луч света? При расчетах
учтите, что для малых значений аргумента , заданного в радианной
мере, справедливо приближенное равенство arcsin    .
58
Решение. Угол падения луча

на дно тарелки определяется формулой
sin   a / R . По закону отражения света луч,
отраженный от дна тарелки, составит с вертикалью
угол   2 (см. рис.60). Таким же будет угол
падения луча на поверхность воды. По закону
преломления
света
Отсюда
sin   n  sin  .

a 
a

  arcsin n  sin  2 arcsin   2n .
R 
R




Ответ:   arcsin n  sin  2 arcsin a   2n a  0,067 рад  3,8 .
R 
R


Рис.60
6. Какие линзы называют тонкими? Дайте определения
фокусного расстояния и оптической силы тонкой линзы.
Задача. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы на
расстоянии d = 20 см от линзы слева от нее расположен точечный
источник света. Справа от линзы помещена посеребренная сфера
радиуса R = 10 см. Центр сферы находится на расстоянии f = 30 см от
линзы на её главной оптической оси. Определите фокусное расстояние
линзы F, при котором изображение источника, создаваемое этой
оптической системой, будет совпадать с самим источником.
Решение. При решении задачи нужно рассмотреть два случая.
а) Изображение источника, создаваемое линзой, находится на
поверхности сферы (рис.61а). Тогда, записав формулу для тонкой линзы,
имеем:
d  f  R
1
1
1
.

 . Отсюда получаем, что F1 
d f  R F1
d  f R
Рис.61
б) Изображение источника, создаваемое линзой, находится в центре
сферы (рис.61б).
В этом случае имеем
d f
1 1 1
  . Отсюда F2 
.
d f F2
d f
59
Ответ: F  F1 
d  f  R
d f
 10 cм; F  F2 
 12 cм.
d  f R
d f
7. Сформулируйте закон прямолинейного распространения света.
Дайте определение светового луча.
Задача. В круглое отверстие в непрозрачной ширме вставлена тонкая
рассеивающая линза, радиус которой совпадает с радиусом отверстия
R = 1 см. Если перед линзой на её главной оптической оси поместить
точечный источник света, то на экране, находящемся по другую стороны
от линзы на расстоянии b  20 см, появится светлое пятно радиуса r1  4
см. Если же, не трогая экран и источник, убрать линзу, то радиус пятна
станет равным r2  2 см. Определите оптическую силу D линзы.
Решение. На верхней половине рис.62
показано положение
изображения S1 источника S в линзе Л, а на нижней половине ход
крайнего луча от источника S через отверстие в
ширме Ш. Поскольку изображение источника
является мнимым, по формуле тонкой линзы
1 1
  D . Из подобия
имеем равенство
a c
треугольников
с
учетом
обозначений,
Рис.62
приведенных на рисунке 62, следует, что
1 r2 1 1 r1 1
R
a
R
c

 ,

 . Подставляя эти
,
. Отсюда


a bR b c bR b
r2 a  b
r1 c  b
соотношения в формулу линзы, находим D 
Ответ: D 
r2  r1
bR
r2  r1
bR
.
 10 дптр.
8. Сформулируйте законы преломления света. Дайте определения
абсолютного и относительного показателя преломления.
Задача. На плоскую поверхность находящегося в воздухе прозрачного
полушара, радиус которого R, падает перпендикулярно к ней
параллельный пучок света радиуса r << R (см. рис.63). На расстоянии 2R
от плоской поверхности полушара (т.е. при х = 2R) радиус светового
пучка становится равным r/2.
60
Определите показатель преломления материала, из
которого сделан полушар. При расчетах учтите, что
для малых значений аргумента , заданного в
радианной мере, справедливо приближенное
равенство sin   tg    .
Рис.63
Решение. Ход одного их крайних лучей, образующих световой пучок,
показан на рис.64. Плоскую поверхность
полушара
луч
пересекает
без
преломления, а при выходе из полушара
в воздух преломляется на сферической
Рис.64
поверхности,
причем
по
закону
Снеллиуса sin   n sin  . Из рис.64
видно, что условие задачи
выполняется, если пучок фокусируется в точке с координатой
х = 3R.Учитывая, что пучок узкий и, следовательно, α и β – малые углы,
r
r
,
    . Исключая из
имеем приближенные равенства:   n ,
R
2R
этих равенств  и  , находим, что n  1,5 .
Ответ: n = 1,5.
9. Какие линзы называются тонкими? Приведите примеры
построения изображения предмета в собирающей и
рассеивающей линзах.
Задача. Расстояние от предмета до переднего фокуса собирающей
линзы в k = 4 раза меньше, чем расстояние от заднего фокуса линзы до
изображения. Определите увеличение , даваемое линзой.
Решение. Обозначив расстояние от предмета до переднего фокуса через
x, получаем, что расстояние от предмета до линзы a  f  x , а расстояние
от линзы до изображения b  f  kx (см. рис.65).
По формуле линзы имеем
Рис.65
1
1
1

 , где
f  x f  kx f
f – фокусное расстояние линзы. Упростив это
выражение,
получаем,
L f
Увеличение, даваемое линзой,     k .
l x
что
f  k x .
61
Ответ:   k  2 .
10. Запишите формулу тонкой линзы. Чему равно увеличение,
даваемое линзой?
Задача. Точечный источник света S расположен на расстоянии a  2
см от фокуса собирающей линзы на прямой,
образующей угол   60 с главной
оптической осью. На каком расстоянии l от
второго фокуса находится изображение S1
источника? Фокусное расстояние линзы
f  5 см.
Рис.66
Решение. Построение изображения источника приведено на рис.67.
Используя
формулу
тонкой
1
1 1
  ,
f  a cos  b f
линзы:
расстояние
от
линзы
до
находим
изображения
f


b  f 1 
 . Из подобия OAf1 и  BCf1
a cos  

Рис.67
Ответ: l 
f
a cos 
a 2 sin 2   f 2
l

следует равенство
.
f
b f
Решая записанные уравнения, получаем, что
f
l
f 2  a 2 sin 2  .
a cos 
f 2  a 2 sin 2   10 7 см  24,6 см.
11. Сформулируйте законы отражения света. Приведите пример
построения изображения предмета в плоском зеркале.
Задача. Параллельный пучок света падает по нормали
на грань стеклянной призмы. Угол при вершине
призмы равен   0,1 рад, показатель преломления
стекла n  1,5 . За призмой установлена тонкая
собирающая линза Л с фокусным расстоянием F  1 м
так,
что
главная
оптическая
ось
линзы
перпендикулярна входной грани призмы (см. рис.68).
62
Рис.68
На каком расстоянии x от главной оптической оси линзы будет
сфокусирован световой пучок, преломленный призмой?
Указание. Для упрощения расчетов воспользуйтесь приближенной
формулой sin x  tg x  x , справедливой для малых значений аргумента x,
заданного в радианах.
Решение. Угол  , на который призма отклоняет падающий на нее
пучок света, определяется формулой      (см
рис.69). Здесь  – угол преломления, определяемый
законом Снеллиуса n sin   sin  , или n   . Отсюда
  (n  1) . Параллельный пучок лучей линза собирает
в побочном фокусе. При этом луч, идущий через центр
линзы,
не
преломляется.
Отсюда
Рис.69
.
x  F  tg   F    F  (n  1)
Ответ: x  (n 1)F  5 см.
12. Запишите формулу линзы и поясните смысл входящих в нее
величин. Чему равно увеличение, даваемое линзой?
Задача. Действительное изображение предмета, находящегося на
расстоянии a = 8 см от тонкой собирающей линзы, получается с
некоторым увеличением. После перемещения линзы вдоль ее главной
оптической оси на расстояние l = 4 см линза дает мнимое изображение
предмета с таким же увеличением. Определите фокусное расстояние
линзы F.
Решение. Построение действительного изображения И и мнимого
изображения И1 предмета П показано на рис.70. Для исходного
положения
линзы
использованы
сплошные линии, для смещенного −
штриховые. Используя обозначения,
приведенные на рис.70, по формуле
1 1 1
 
тонкой линзы имеем:
(для
a b F
Рис.70
исходного
положения
линзы),
1 1 1
 
a1 b1 F
(для смещенного ее положения). Увеличение предмета в
63
b
F
первом случае определяется выражением   
, а во втором
a aF
случае 1 
b1
F

. Учитывая, что по условию 1   , из этих
a1 F  a  l
выражений получаем, что F  a 
l
.
2
l
Ответ: F  a   6 см.
2
13. Какие линзы называют тонкими? Дайте определения
фокусного расстояния и оптической силы тонкой линзы.
Задача. Две тонкие линзы с одинаковыми по модулю фокусными
расстояниями расположены так, что их главные оптические оси
совпадают. Первая линза является рассеивающей, а вторая –
собирающей. Расстояние между линзами равно модулю их фокусного
расстояния. Предмет расположен перпендикулярно главной оптической
оси перед рассеивающей линзой в ее левом фокусе. Определите
увеличение Г, даваемое этой системой линз.
Решение. Построение изображения И предмета П, которое дает система
линз, показано на рисунке 71. Видно, что
размер
изображения
совпадает
с


1
размером предмета, т.е.
. Этот же
результат можно получить путем расчета.
Рассеивающая линза формирует мнимое
Рис.71
изображение предмета И1. Расстояние b1
от рассеивающей линзы до этого изображения согласно формуле тонкой
F
1 1
1
линзы
равно b1  , а увеличение этого изображения
 
2
F b1
F
b 1
1  1  . Изображение И1 играет роль предмета для собирающей
F 2
3
линзы и находится на расстоянии F  b1  F от нее. По формуле
2
2
1
1


3F b2 F
64
находим, что расстояние от линзы до даваемого ею
изображения b2  3F , а увеличение этого изображения 2 
b2
 2.
1,5F
Увеличение, даваемое системой линз,   1  2  1 .
Ответ:   1 .
14. Изобразите ход лучей в призме. В чем состоит явление
полного внутреннего отражения?
Задача. Плоское зеркало З движется поступательно с некоторой
постоянной скоростью, вектор которой направлен
перпендикулярно плоскости зеркала. Предмет П
движется со скоростью v1 = 1 см/с под углом  = 30° к
плоскости зеркала, а его изображение И движется под
углом  = 60° к плоскости зеркала (см. рис.72).
Рис.72
Найдите модуль u скорости зеркала.
Решение. Поскольку проекции скоростей предмета и изображения на
направление, параллельное зеркалу, равны, то v1 cos   v 2 cos  , откуда
v 2  v1
cos 
. Введем неподвижную координатную систему, направив ось
cos 
OY перпендикулярно зеркалу, а начало координат совместив с
плоскостью зеркала в некоторый момент времени t = 0. Если l –
расстояние от предмета до зеркала при t = 0, то в момент времени t
координаты предмета и изображения станут равными соответственно
yп  l  v1t sin  и
yи  l  v 2t sin  . Поскольку зеркало находится
посередине между предметом и изображением, то его координата в
y y
момент времени t составит величину yз  п и . Следовательно,
2
yз v 2 sin   v1 sin 
проекция скорости зеркала на ось OY равна u y  
.
t
2
v (cos  tg   sin )
 0,5 см/с.
Ответ: u  1
2
15. Сформулируйте законы преломления света. Дайте определения
абсолютного и относительного показателей преломления.
65
Задача. Источник света S, испускающий тонкий
луч, движется горизонтально над поверхностью
воды в бассейне, приближаясь к его стенке с
постоянной скоростью v1 = 0,5 м/с, вектор которой
перпендикулярен стенке. Луч направлен в воду так,
что угол падения равен  = 30. С какой скоростью
Рис.73
v2 движется под водой по вертикальной стенке
бассейна световое пятно от луча? Показатель преломления воды n = 1,33.
Решение. Ход луча, преломленного на границе раздела воздуха и воды,
изображен на рис.74 при двух положениях источника. Видно, что
горизонтальное перемещение x источника и вертикальное перемещение
y светлого пятна на стенке бассейна связаны
соотношением y 
закону
tg  
x
, где  – угол преломления. По
tg 
преломления
sin 

cos 
sin 
sin 
.
Следовательно,
n
. При равномерном движении за
sin  
Рис.74
n  sin 2 
время t источник сместится на x  v1t , а светлое пятно на стенке
2
2
2
бассейна − на y  v 2t . Окончательно v 2  n  sin   v1 . Пятно
sin 
движется по стенке вверх.
2
2
Ответ: v 2  n  sin   v1  1,2 м/с.
sin 
16. Какие линзы называют тонкими? Дайте определения
фокусного расстояния и оптической силы тонкой линзы.
Задача. На поверхность тонкой рассеивающей линзы падает луч света
на расстоянии a = 1 см от центра линзы под углом
 = 0,1 рад к ее главной оптической оси. Найдите
модуль фокусного расстояния линзы f, если вышедший
из линзы луч отклоняется от первоначального
направления на угол  = 0,05 рад. Учтите, что для
Рис.75
малых значений аргумента x, заданного в радианной
мере, справедлива приближенная формула tg x  x .
66
Решение. Ход лучей изображен на рис.76. При
построении преломленного в линзе луча
использован
вспомогательный
луч
FO,
параллельный падающему и проходящий через
оптический центр линзы O без преломления.
Согласно
известному
свойству
тонкой
рассеивающей
линзы,
продолжения
всех
Рис.76
параллельных лучей, падающих на нее,
пересекаются в точке F фокальной плоскости. С учетом того, что
фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно, из
треугольников AOF и BCF находим, что f tg   a  f tg(   ) , откуда
f 
a
a
a
. Ответ: f 
  20 см.
tg   tg(   )
tg   tg(   ) 
17. Постройте ход световых лучей в призме. В чем состоит
явление полного внутреннего отражения.
Задача. Стеклянная призма, поперечное сечение которой представляет
собой равносторонний треугольник, плотно заделана
в отверстие в вертикальной стенке аквариума (см.
рис.77). На боковую грань призмы пускают световой
луч так, что внутри призмы он распространяется
параллельно ее основанию. Первоначально пустой
аквариум заполняют водой. На какой угол 
повернется при этом луч, идущий в аквариуме?
Рис.77
nпр  1,41 ,
Показатель
преломления
призмы
показатель преломления воды nв  1,33 . Ответ приведите в градусах,
округлив до целых.
Решение. Ход лучей изображен на рис.78. Штриховой линией справа от
призмы показан луч, выходящий из призмы в
воздух, а сплошной линией – тот же луч,
выходящий из призмы в воду. По закону
преломления имеем: на границе «стекло – воздух»
Рис.78
sin 
n
 nпр ,а на границе «стекло – вода» sin 1  пр .
sin 
sin 
nв
67


 nпр

sin   , причем   30 и
Отсюда   arcsin nпр sin  , 1  arcsin 
 nв

1
sin   . Искомый угол, на который повернется луч,     1 .
2
 nпр 
n 
  arcsin  пр   13 .
Ответ:   arcsin 

 2n 
 2 
 в
18. Дайте определения фокусного расстояния и оптической силы
тонкой линзы.
Задача. В отверстие в вертикальной стенке аквариума плотно заделана
тонкая плоско-выпуклая линза с фокусным
расстоянием F  20 см (см. рис.79). На выпуклую
поверхность линзы падает параллельно ее главной
оптической оси узкий пучок света, который
фокусируется
внутри
первоначально
пустого
аквариума. Если аквариум заполнить некоторой
жидкостью, то точка, в которой фокусируются лучи,
Рис. 79
сместится на расстояние l  4 см. Определите
показатель преломления жидкости n . Углы падения и преломления
лучей считайте малыми. Учтите, что для малых значений арумента x,
заданного в радианах, справедлтвы приближенные формулы
sin x  tg x  x .
Решение. На рис.80а показан ход лучей, преломляющихся на плоской
поверхности,
ограничивающей
линзу. Пусть один из лучей, идущих
в толще линзы, падает на эту
поверхность под углом  . Тогда в
случае выхода луча из линзы в
воздух (штриховая линия на рисунке
Рис.80
80а) по закону преломления имеем
nст sin   sin  , а в случае выхода луча из линзы в жидкость (сплошная
линия на рисунке 80а) имеем nст sin   n sin  . Здесь nст – показатель
преломления стекла. Из этих равенств получаем, что
68
sin 
 n . Ход лучей,
sin 
покинувших линзу, изображен на рис.80б. Видно, что
tg  
a
,
F
a
. Поскольку падающий на линзу пучок света по условию
F  l
является узким, то   1 ,   1 . Следовательно, справедливы
a
a

 n . Отсюда находим, что
приближенные равенства   ,  
,
F  l 
F
l
n  1 .
F
l
Ответ: n  1   1,2 .
F
tg  
19. Сформулируйте
законы
преломления
света.
Дайте
определения абсолютного и относительного показателей
преломления.
Задача. На сферическую поверхность прозрачного полушара радиуса
R = 10 см c показателем преломления n =1,5 падает
луч света, параллельный оси, перпендикулярной
основанию полушара и проходящей через его центр
(см. рис.81). Точка падения луча находится на
расстоянии a = 1 см от этой оси. Какой угол  образует
луч, вышедший из полушара, с нормалью к его
Рис.81
основанию? При расчетах учтите, что a  R , а для
малых значений аргумента x, заданного в радианах, справедливо
приближенное равенство sin x  x .
Решение. Ход луча изображен на рис.82, где  − угол падения луча на
сферическую поверхность полушара, а  − угол
преломления на этой поверхности. По закону
1

преломления sin   sin  , или приближенно   .
n
n
a
a
Поскольку   , то  
. Из рисунка 82 видно,
Рис.82
R
nR
что угол падения луча на плоскую поверхность
a n 1
полушара равен     
. Поэтому по закону преломления на этой
R n
a
поверхности   n(  ) . Следовательно, искомый угол   (n  1) .
R
69
Ответ:  
a
(n  1)  0,05 рад.
R
20. Какие линзы называют тонкими? Запишите формулу тонкой
линзы и поясните смысл входящих в нее величин.
Задача. На расстоянии f = 15 м от объектива проекционного аппарата
расположен экран с размерами 2 3 м. На экране получено четкое
изображение диапозитива, имеющего размеры 24 36 мм. При этом
изображение занимает половину площади экрана. Рассчитайте
оптическую силу D тонкой линзы, которую следует вплотную
приставить к объективу проекционного аппарата, не меняя его
положения, чтобы четкое изображение точно уложилось в размеры
экрана. Объектив проекционного аппарата считайте тонкой линзой.
Ответ приведите в диоптриях, округлив до одного знака после запятой
Решение. По условию взаимное расположение объектива и экрана не
изменяется, а формирование резкого изображения на
экране достигается в результате изменения
расстояния от диапозитива до объектива (см.
рисунок 83). Как известно, линейное увеличение ,
даваемое линзой, может быть рассчитано по
f
формуле   , где d – расстояние от диапозитива
d
Рис.83
до линзы (объектива), а f – расстояние от линзы до
экрана, которое не изменяется. Из формулы тонкой линзы следует, что
оптическая сила линзы D 
1 1 1
  (  1) . При сдвинутых вплотную
d f
f
тонких линзах их оптические силы складываются. Обозначив через D0
оптическую силу объектива диапроектора, а через D – оптическую силу
добавочной линзы, имеем:
D0 
1
(0  1) ,
f
D  D0 
1
(  0 ) . Учитывая, что конечное увеличение  
f

 58,9 , находим, что D  1,6 дптр.
а начальное 0 
2
2000
1
 83,3 ; 0 
Ответ: D  (  0 )  1,6 дптр, где  
24
f
D
70
1
(  1) , откуда
f
2000 3000

 83,3 ,
24
36

2
 58,9 .
21. Приведите примеры построения изображений, формируемых
собирающей и рассеивающей линзами. Чему равно
увеличение, даваемое линзой?
Задача. На расстоянии f = 10 м от объектива проекционного аппарата
расположен экран с размерами 2 3 м. На экране получено четкое
изображение диапозитива, имеющего размеры 24 36 мм. При этом
изображение занимает половину площади экрана. На какое расстояние
f следует переместить проекционный аппарат, чтобы чёткое
изображение заняло всю площадь экрана? Объектив проекционного
аппарата считайте тонкой линзой.
f

, откуда d  .
d
f
Здесь d – расстояние от диапозитива до линзы, а f – расстояние от линзы
до экрана. Из формулы тонкой линзы оптическая
Решение. Линейное увеличение, даваемое линзой,  
сила
линзы
D
1 1 1
  (  1) .
d f
f
По
условию,
оптическая сила остается неизменной, но изменяется
расстояние между линзой и экраном. Поэтому
Рис.84
1
1
(1  1) 
(2  1) . Диапроектор следует удалить
f1
f2
от экрана на расстояние f  f 2  f1  f1 
2  1
. Конечное увеличение
1  1
2000 3000


 83,3, начальное увеличение 1  2 = 58,8.
24
32
2
2000

 
 83,3 ; 1 
 58,9 .
Ответ: f  f1  2 1  4 м, где 2 
24
1  1
2
равно 2 
71
Содержание
Механика………………………………………………………………..…3
Молекулярная физика и термодинамика………………………………..22
Электродинамика………………………………………………………....39
Оптика……………………………………………………………………..55
72