ИНСТИТУТ if Л ЕН И Н ГРА Д С К И И О РД ЕН А ЛЕН И Н А И Н Ж ЕН Е РО В Ж Е Л Е З Н О Д О Р О Ж Н О Г О ТРАН СПОРТА имени академика В. Н. О Б РА ЗЦ О ВА Кафедра «Эксплуатация железных дорог» В. А. К У Д Р Я В Ц Е В , Е. М. Ж У К О В С К И Й , Ю. И. Е Ф И М Е Н К О , А. П. РОМАН ОВ, В. М. С Е М Е Н О В П Р И М Е Н Е Н И Е МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ В Э К С П Л У А Т А Ц И О Н Н Ы Х РАСЧЕТАХ НА Ж Е Л Е З Н О Д О Р О Ж Н О М ТРАН СП ОРТ Е Методические указания Ч. II Под общей редакцией доцента В. А. К У Д Р Я В Ц Е В А О добр ен о Редакционным советом института Л ЕН И Н ГР А Д 1977 III. МЕТОДЫ Т Е О РИ И ВЕРО Я ТН О С ТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 1. Понятие о случайных явлениях На практике мы часто сталкиваемся с явлениями, данные о которых не можем знать заблаговременно. Так, до получе­ ния точной информации мы не можем точно подсчитать вели­ чину выгрузки вагонов на станции, предсказать размеры дви­ жения поездов, число вагонов определенного назначения в прибывающих поездах и др. Конкретные значения этих ве­ личин зависят от такого большого числа факторов, что их практически невозможно учесть для предварительного под­ счета. Такие явления, которые трудно предусмотреть и стро­ го количественно оценить заранее, принято называть случай­ ными. Однако в массе однородных случайных явлений могут су­ ществовать вполне определенные и устойчивые закономер­ ности. Случайно число вагонов в отдельном отцепе, но сред­ няя величина отцепа является довольно устойчивой величи­ ной. Т а к ж е устойчива средняя величина состава отправляе­ мого поезда, среднесуточные размеры движения на участке, выгрузки вагонов на станции и т. п. Нетрудно заметить, что большие по величине отцепы в расформировываемых поез­ дах встречаются значительно реже, чем маленькие. Теория вероятностей изучает устойчивые закономерности, которым подчиняются случайные явления в общей своей массе. Она позволяет количественно оценить взаимоотноше­ ния между различными характеристиками этих явлений. М е­ тоды теории вероятностей не могут строго описать результат отдельного единичного явления, но зато в состоянии строго определить суммарное воздействие, исход многих случайных событий. Поэтому вполне разумно использование этих мето­ дов при определении параметров мощности различных уст­ ройств, действующих в условиях относительной неопределен1 пости, оценки различных систем управления и автоматизации, нормирования отдельных элементов производственного про7 цесса. Хотя работа железнодорожного транспорта основы­ вается у нас на плановом развитии народного хозяйства, тем не менее объективно существует неравномерность перевозок, которая вносит элемент неопределенности в транспортный процесс. Учесть эту неопределенность и позволяют методы тео­ рии вероятностей и математической статистики. Математи­ ческая статистика позволяет применить методы теории ве­ роятностей к конкретным объектам на основе изучения их работы. где т — число случаев наступления события Л; п -— общее число возможных случаев. Например, три вагона, предназначенные для подачи к гру­ зовым фронтам I, 2, 3, могут стоять на станционном пути в различной последовательности; 1— 2 — 3, 1— 3 — 2, 2— 3— 1, 2— 1— 3, 3— 1— 2, 3 — 2 — 1. Таких комбинаций шесть. Если для подачи необходима их определенная последовательность, на­ пример 1— 2— 3 (считаем такую ситуацию событием А), то ее вероятность будет: Р( А ) = ± - . О 2. Событие и вероятность Под термином «событие» в теории вероятностей пони­ мается любой факт, который в результате опыта может про­ изойти или не произойти. В качестве события мы можем р а с ­ сматривать, например, наличие в очередном отцепе шестиос­ ного вагона, обнаружение неподхода центров автосцепки при формировании поезда. События бывают простые, состоящие из одного факта (как упомянутые), и сложные, состоящие из сочетания нескольких фактов: например, подход двуд поездов с разных направлений к точке пересечения их маршрутов, прибытие в расформирование на сортировочную станцию пач­ ки из трех поездов и др. События, кроме того, могут быть р а в н о в о з м о ж н ы м и и неравновозможными, зависимыми и незави­ симыми, совместимыми и несовместимыми (т. е. не могущими произойти одновременно). Если из ряда событий одно обязательно должно наступить, то такие собы ­ тия образуют п о л н у ю г р у п п у . Частота появления событий оценивается их в е р о я т ­ н о с т ь ю . Вероятность достоверного события, т. е. события, которое не может не произойти, оценивается единицей, вероят­ ность невозможного события — нулем. Вероятность любого со­ бытия может быть оценена правильной дробью в преде­ лах 0 -5“ 1. Если мы производим серию опытов и в результате каждого из них может произойти одно из нескольких событий, кото­ рые являются несовместными, равновозможными и состав­ ляют полную группу, то нетрудно определить вероятность на­ ступления одного из событий (например, события Л ) : Р (А )= ^ -, п 2 (19) Вычисленную таким образом, вероятность называют м а ­ т е м а т и ч е с к о й в е р о я т н о с т ь ю . При ее вычислении не­ обходимо определять число всех возможных ситуаций и число ситуаций, связанных с появлением интересующего нас события. Д ля этого часто используются методы комбинато­ рики, позволяющие рассчитывать число различного рода сое­ динений: размещений, перестановок и сочетаний. Так, в р ас­ смотренном примере число всех возможных ситуаций опреде­ лится числом всех возможных перестановок из 3 элементов по 3: П3 = 3 ! = 6. Общая формула для определения числа перестановок из п элементов будет: П„ = п ! Число сочетаний из п по т элементов (каж дое сочетание отличается от другого самими элементами) ri\ (]Ш_______________ от! (я —от) ! Число размещений из п по т элементов (размещения отли­ чаются друг от друга или самими элементами или их поряд­ ком) : . А™ = п! (п — от)! Если в каждом размещении один или несколько элементов могут повторяться, то число размещений с повторениями из п но т элементов будет: АА'п — пт\ 3 Если рассматриваемые ситуации могут повторяться беско­ нечное число раз, то определить полную группу событий не­ возможно, а поэтому нельзя применить формулу (19) для вы­ числения вероятности. В этом случае часто используют фор­ мулу геометрической вероятности. Число всех возможных случаев интерпретируется как число попаданий точки в плос­ кость S (рис. 20 ), а число случаев, связанных с собы­ тием А — как число попада­ ний точки в плоскость s. При одинаковой возможности по­ паданий точки в разные места плоскости S вероят­ ность попадания на учас­ ток s будет: Р (А) (20) Аналогично геометрическую вероятность можно интер­ претировать и отрезком пря­ мой L, на котором располо­ жен отрезок /. Вероятность попаданий точки на отрезок опре­ делится отношением их длины: Р(А)- I L (21) Например, через железнодорожный переезд проходит в сут­ ки 48 поездов, каждый из которых вы зы вает закрытие пере­ езда для автотранспорта на 5 мин. Определить вероятность того, что переезд будет закрыт, можно, представив суточный бюджет времени 1440 мин. в виде отрезка L, а общее время закрытия переезда 4 8 - 5 = 240 мин. в виде отрезка /. Тогда искомая вероятность будет: Р(А) 1_ L _240 1440 На практике часто приходится сталкиваться с неравновоз­ можными событиями, например, с наличием вагонов того или иного назначения в прибывающем поезде. В таких случаях часто используют статистическую вероятность, или частоту события, т. е. отношение числа проведенных опы­ 4 тов, в которых появилось интересующее нас событие, к обще­ му числу проведенных опытов: р * (Л) = — п* . (22) Таким образом, частота появления событий устанавливает­ ся на основе статистических наблюдений. Если в 100 рассмот­ ренных составах, подлежащих роспуску с горки, обнаружено 10 составов, имеющих вагоны, которые запрещается спускать с горки, то частота появления таких составов будет: Р*(А) Юо = 0 1 v )= - ш При небольшом числе наблюдений частота носит случайный характер, но при увеличении их числа она стабилизируется, приближаясь к некоторой средней постоянной величине. Эта постоянная величина и есть вероятность события. Таким об­ разом, вероятность события равна пределу, к которому .стре­ мится его частота при бесконечном увеличении числа наблю­ дений. Это сближение частоты и вероятности называется схо­ димостью по вероятности. Пользуясь определением вероятности, можно решать сам о­ стоятельные задачи. Рассмотрим, например, такую задачу. На станцию прибывает с направления А и д = 30 поездов, с на­ правления Б пБ —20 поездов в сутки. Маршруты приема этих поездов имеют общую точку пересечения, поэтому при одно­ временном подходе поездов с обоих направлений один из них вынужден задерж аться у входного сигнала. Время занятия маршрутов приема поездами, прибывающими с направлений А и Б, с учетом заблаговременного приготовления и разделки соответственно равно: ^д = 8 мин., /с = 12 мин. Определить средние потери времени в сутки на задержки поездов у вход­ ных сигналов при отсутствии твердого графика движения, т. е. при случайном подходе поездов. Определим вероятность занятия маршрута приема поезда­ ми того и другого направлений, воспользовавшись геометри­ ческим „определением: р <£ > = - г а ! - ; Поезд, прибывающий с направления А, может быть задержан у входного сигнала с вероятностью Р ( Б ) , а поезд с направле­ ния Б — с вероятностью Р ( А ) . Среднее время задержки для поезда с А составит t* = для поезда с Б tll = Число задерж анных поездов, прибывающих с Л, будет « 3А = пАР(Б), прибывающих с Б, — п * = п БР{А). Тогда потеря поездо-мин.. за сутки определится как С — А {А2 . . . Л л = + n^tf — nAP ( E ) - ^ - + nB P ( A ) —± ~ - = Подставив в это выражение значения Р(А) и Р( Б) , получим y nt « А tB I Я 1*3 * Па 1 4 4 0 ' ~ 2 ~ - 40 ■90 2880 Если, например, событие А есть прибытие на станцию поезда одного направления, событие В — прибытие поезда противо­ положного направления, то событие С есть одновременное прибытие этих поездов. Д л я нескольких-событий их произве­ дение обозначает совместное наступление всех событий: п /; ПА1А 1440 2 ПАЛБ_ {£1 + # \ — 2880 Уь (64 + 144) = 43 поездо-мин 3. О сн овн ы е тео р ем ы теории вероятностей Вероятность сложного события можно определить по веро­ ятностям составляющих его простых событий. В, этом случае сложное событие представляют как комбинацию простых. Различают две основные комбинации: сумму и произведение событий. Сумма двух событий есть такое третье событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих двух событий: П /=1 Теория вероятностей рассматривает следующие основные теоремы: 1. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Так, для двух несовместных со ­ бытий Р(А +В )=Р (А ) +Р(В); (23) для нескольких несовместных событий Р ( | л , ) - (| Р ( Л , ) . (24) Так, если вероятность прибытия по какой-либо нитке графика транзитного поезда составляет Я (Л) = 0 ,5 , разборочного — ( ) то вероятность занятия данной нитки грузовым поездом составит Р ( А + В ) = 0 , 5 + 0,3 = 0,8. Если несколько событий представляют полную группу не­ совместных событий, то сумма их вероятностей С = А + В. Если событие А представляет занятие маршрута на станции поездом, прибывающим с одного направления, события В занятие маршрута поездом, прибывающим с другого направ­ ления, то событие С будет представлять занятие маршрута тем или другим поездом. Сумма нескольких событий есть со­ бытие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий: С = Л [ + Л 2 + . . . ~ЬА„ — > Al. i i 2 Р (Л ,)= = Г . (25) Д в а несовместных события, из которых одно обязательно должно произойти, называют противоположными. Так как они составляют полную группу, то сумма их вероятностей такж е ■ равна 1. Если вероятность наступления события Л обозначим '_) Pi вероятность того, что это событие не произойдет P ( A ) = q , то P(A)+P(A)=p + q= l. (26) Произведение двух событий есть такое третье событие, кото­ рое состоит в одновременном (совместном) появлении, первых двух: Значит, вероятность прямого события всегда можно опреде­ лить через вероятность противоположного: С = АВ. P = \ — q. 6 7 2. Вероятность произведения независимых событий' равна произведению вероятностей этих событий. Д л я двух событий Р(АВ)=Р(А)Р(В); (27) Р ( А ХА 2 . . . Ая) ^ Р ( А { ) Р { А г)' . . . Р(Ап). (28) для нескольких Вероятность произведения нескольких зависящих событий равна произведений вероятностей этих событий, причем ве­ роятность каждого последующего события вычисляется при условии, что все предыдущие события имели место: Р ( / М 2/13 .. Л ) = Р ( Л 1)/3(Л2/Л1) Я ( Л 3/Л1Л 2) . . . Нели, например, вероятность прибытия на станцию за пе­ риод Т поезда одного направления Р(А) =0,6, противополож­ н о го— Р(В) = 0 ,8 , то вероятность одновременного прибытия этих поездов Р(АВ) - 0 , 6 - 0 , 8 = 0,48. 3. Вероятность суммы совместных событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления. Д л я двух событий Р(А + В) = Р ( А ) + Р ( В ) — Р(АВ). (31) На основании этих теорем выведена формула полной ве­ роятности. Если, например, событие А может произойти совместно с одним из событий В\, В 2, . . . , В п, образующих полную группу, и известна вероятность появления события А при наступлении каждого из этих событий, то полную ве­ роятность появления события А можно вычислить по фор­ муле Р ( А ) = ' Я Р ( В 1) Р ( А / В 1), i=i ч (32) (29) 4. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них На условную вероятность другого: Р{АВ)=Р(А)Р(В/А), . . . Р ( А п 1АхА2 . . . А п„х). (30) гд е'Р(В/А) — вероятность события В, вычисленная при усло­ вии, что имело место событие А (условная ве­ роятность события В). Если на станцию юо пяти ниткам графика прибывают три поезда, то вероятность занятия какой-либо нитки будет 3 Р (А) = -р-. Определим вероятность прибытия на станцию по- где P(Bi) — вероятность появления события B t\ Я ( Л / 5 ;) — вероятность появления события Л при условии, что произошло событие B t. Предположим, на грузовую станцию прибывают передачи в адрес трех пунктов с вероятностью Р ( В Х) = 0,3; Р ( В 2) = 0,5; Р ( В 3) = 0,2. В каждой передаче встречаются крытые вагоны с вероятностью P(A/Bi) = 0 ,2 ; P(A/B2) = 0 , 4 ; Р(А/В3) = 0,6. Вероятность наличия крытых вагонов в любой передаче будет: Р(А) = P ( B l) P ( A / B i) + Р ( В 2)Р (А /В 2) + Р ( В 3)Р (А /В з) = = 0,3 •0,2 + 0,5 •0,4 + 0,2 •0,6 = 0,38. О ездов по первой и второй ниткам графика. Эта ситуация скл а­ дывается из двух событий: прибытия поезда по первой нитке 3 графика, имеющего вероятность Р(А) = — и прибытия поез­ да по второй нитке графика при условии, что по первой уже прибыл поезд. Вероятность второго события будет Р(В/А) — 2 1 = — = ~2 ’ Тогда искомая вероятность определится как Р { А В ) ~ - I - •\ 8 = 0,3. 4. Случайные величины и их характеристики Случайной величиной называется переменная величина, которая в результате опыта может принять то или иное зна­ чение, заранее неизвестное. Различают дискретные и непре­ рывные случайные величины. К д и с к р е т н ы м (прерыв­ ным) относят такие величины, которые могут принимать ко­ нечное или счетное число значений (число вагонов, поездов, пассажиров и т. п.). К н е п р е р ы в н ы м относят величины, которые могут принимать любые значения из некоторого ко­ нечного или бесконечного промежутка (вес отправки, интер­ валы времени, тормозной путь, дальность пробега вагона и т. п.). К аждое значение случайной величины можно рас­ сматривать как событие и говорить о вероятности его появ­ ления. Поскольку случайная величина может принимать различ­ ные значения (хи лг2, . • х п), то для ее характеристики доста­ точно привести все эти значения. К аждое значение случайной величины может появляться с определенной 'вероятностью Pi — Р (x l). Все значения х,- составляют полную группу не­ совместных событий, поэтому сумма вероятностей всех воз­ можных значений случайной величины Вероятность того, что случайная величина не выйдет за пределы заданного диапазона, ограниченного значениями а и b, ь Р ( а < л; < b) --= \ f ( x ) d x . Практическое использование этих формул связано с труд­ ностями. Поэтому предложена несколько иная форма выра­ жения закона распределения. Передвигая точки х по оси абсцисс, получим ряд значений: !/ > ■ = 1. * -1 xi Р ( х < x t) == " j f ( x ) d x ~ F (Л;). Эта суммарная вероятность распределяется между вероят­ ностями отдельных значений случайной величины. Соотноше­ ние, устанавливающее зависимость вероятности отдельного значения случайной величины от самого этого значения, на­ зывается законом рас­ пределения случайной величины. Изобразив все возможные значения случай­ ной величины и соответствую­ щие им вероятности на гра­ фике (рис. 21) , получим кри­ вую, выражающую закон рас­ пределения случайной величи­ ны (для дискретных величин это будет ломаная линия). Функция f(x), описывающая эту кривую, называется п л о т ­ ностью р а с п р е д е л е н и я вероятностей (для дискрет­ ных величин 'распределение вероятностей). Т ак как вероят­ ности могут принимать лишь положительные значения, то /(■*)> 0. Полная площадь, ограниченная кривой f(x) и осью абсцисс, всегда равна единице (все значения x-t образуют полную группу собы тий): По этим значениям строим график (рис. 2 2 ). Описывающая данную кривую функция F (х) называется функцией распре­ деления. Это неубывающая функция (т. е. при х 2>Х \, F ( x2) F (х i), которая при х = — оо принимает значе­ ние F ( x ) —0, а при х = о о F(x) = 1. Ее производная равна плотности распреде­ ления: F ' ( x ) = f ( x ) . Поэтому функция F (х) еще имеет на­ звание интегрального закона распределения, а функция }(х) — дифференциального закона распределения. Функцию F(x) удобно использовать для определения ве­ роятности того, что данная случайная величина не выйдет за пределы заданного диапазона. Действительно, Р (а а = ] .f ( x ) d x - ] f{x)dx = F {b )-F {d ). — оо Вероятность того, что данная случайная величина не пре­ высит определенного значения а, можно вычислить, исполь­ зуя имеющуюся зависимость f{x): (37) — оо Несмотря на то, что дискретные и непрерывные случай­ ные величины имеют свои законы распределения, в практиче­ ских задачах часто для описания дискретных случайных в е­ личин используют законы распределения непрерывных слу­ а lf(x )d x . ь х < b) = J / ( х ) d x = (33) — оо Р (х < а ) = (36) — оо + со f f ( x ) d x = 1. (35) а (34) Ю / чайных величин, и наоборот. Это возможно, .поскольку л ом а ­ ную случайной величины, выражающую закон распределения дискретной, плавную кривую, выражающую закон распределе­ ния непрерывной случайной величины, можно приближенно заменить плановой линейно-кусочной. Конкретные вы раж е­ ния F (х) для некоторых законов распределения будут р ас­ смотрены далее. ' Помимо закона распределения, который позволяет пол­ ностью охарактеризовать случайную величину, существуют численные характеристики (параметры), которые выражают наиболее существенные особенности случайной величины. В о многих случаях эти параметры позволяют решать различные вероятностные задачи, не прибегая к использованию закона распределения. Рассмотрим основные параметры: 1. М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е , (среднее значение) случайной величины тх для дискретной случайной величины равна сумме произведений всех возможных ее значений на соответствующие вероятности: ' « t 2 -Р л ; (38) i 1 для непрерывной: оо rnx = J xf(x)dx. (39) — со 2, Д и с п е р с и я случайной величины D* является х арак ­ теристикой ее рассеивания и отраж ает разбросанность слу­ чайной величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ож и­ дания. Д л я дискретной случайной величины •£>*=■ 2 I 1 (*,- -г m S~Pi = 'ZtPtf - тх\ Г-1 ОО • J (х — mx)- f(x)dx — СО (42) Среднеквадратическое отклонение имеет ту ж е размер­ ность, что и случайная величина. 4. К о э ф ф и ц и е н т в а р и а ц и и V относительно харак ­ теризует рассеивание случайной величины по сравнению с ее математическим ожиданием: 5. Задачи математической статистики Методы математической статистики находят применение в теории и практических расчетах по эксплуатации железных дорог. Использование этих методов в основном ведется л двух направлениях: 1) изучение неравномерностей отдельных показателей (вагоно- и поездопотоки, простой подвижного состава на стан­ циях, погонная нагрузка составов поездов и др.); 2) установление функциональной и корреляционной с в я ­ зи между изучаемыми показателями (величиной вагонопотока и количеством прибывших групп вагонов, весом состава и его длиной и д р .) . Обычно решение задачи методами математической стати­ стики производится в следующей последовательности: 1) уста­ новление необходимого объема наблюдений; 2) сбор и обра­ ботка статистических данных; 3) статистическое исследование результатов, наблюдений. 6. Установление необходимого объема наблюдений оо = J х 2/ ( х ) dx — т\. ах = / D~. (40) для непрерывной Dx = 3. С р е д н е к в а д р а т и ч е с к о е (стандартное) ' о т к л о н е н и е ох есть положительное значение квадратного корня из дисперсии: (41) — оо Размерность дисперсии соответствует квадрату размер­ ности случайной величины, поэтому дисперсию не всегда, удобно использовать в расчетах. Совокупность однородных объектов или явлений, объеди­ ненных по какому-нибудь общему признаку, составляет г ен е р а л ь н у ю с о в о к у п н о с т ь . Например, . нас интересует выполнение статической нагрузки определенным типом под­ вижного состава. В се вагоны данного типа образуют генераль­ ную совокупность. Целью наблюдений является изучение интересующих нас свойств объектов генеральной совокупности. Эта задача бы­ 13 Так, например, при принятой надежности наблюдений и требуемой точности в исследовании е = о,05 из табл. 29 находим X = 1,96. При этом ла бы решена, если бы удалось обследовать все объекты ге­ неральной совокупности. Чаще всего такое обследование тру­ доемко или требует больших материальных затрат, если объем совокупности достаточно велик. В этих случаях, используя выборочный метод статистики, случайно отбирают из генеральной совокупности ограниченное число объектов наблюдения и последние подвергают изучению. Совокупность случайно отобранных для наблюдения объектов называют в ы б о р о ч н о й с о в о к у п н о с т ь ю , или в ы б о р к о й . По найденным значениям характеристик выбо­ рочной совокупности судят о значениях характеристик гене­ ральной -совокупности. Д л я обеспечения надежности этих выводов необходимо при производстве наблюдений обеспечить следующие усло­ вия: 1) в выборке должно быть достаточное число объектов наблюдения; 2) объекты наблюдения должны отраж ать генеральную совокупность, т. е. обладать характеристиками,, присущими генеральной совокупности. Например, выборка двух отцепов распускаемого состава для определения среднего веса отцепа не является достаточно надежной, так как в нее могут попасть отцепы либо малого, либо большого веса. С увеличением числа наблюдений (объема выборки) характеристики выбо­ рочной совокупности (среднее значение признака, его диспер­ сия и др.) приближаются к характеристикам генеральной со­ вокупности. При обработке и анализе статистических данных грузовагоно- и поездопотокОв число наблюдений в выборке п мо­ ж е т быть определено по формуле » > -£ r - Р = 0,95 1,962 " > Следовательно, объем выборки должен быть не менее 384 объектов. Д л я того чтобы выборка правильно отражала свойства генеральной совокупности, необходимо каждую единицу на­ блюдения брать н а у г а д , т. е. без какого-либо подбора, со­ вершенно случайно. Если объекты генеральной совокупности подвижны и обес­ печивается их случайное появление, то в выборку включается любая последовательность из п объектов. Например, появле­ ние вагонов какого-либо веса на сортировочной горке являет­ ся случайным, и для определения среднего веса можно взять выборку из п последовательно расположенных вагонов. Если объекты генеральной совокупности неподвижны или их движение производится в определенном по отношению к исследуемому признаку порядке, то отбор объектов в вы­ борку производится с помощью таблицы случайных чисел. В этом случае каждому объекту присваиваются порядковые номера, а объекты в выборку выбираются по номерам, полу­ чаемым из таблицы случайных чисел (приложение, табл. 1). Например, при определении среднего веса угля в полува­ гонах необходимо отобрать 10 полувагонов из 100. Н уме­ руются все полувагоны от 0 до 99. Затем, начиная с любой строки любого столбца таблицы случайных чисел, выписы­ ваем 10 двухзначных чисел. Так, начиная с первой строки первого столбца таблицы, получим следующие номера: 21, 15, 51, 68, 33, 20, 83, 70, 56, 82. Если какое-либо число повторит­ ся, то оно пропускается и выбирается следующее. По полу­ ченным номерам выбираются вагоны для получения среднего веса. (44) где X — величина, которая берется из таблиц значений инте­ грала вероятностей в зависимости от принятой на­ дежности Р = Ф(х) или степени достоверности полу­ ченных результатов (см. табл. 29 ); е.— требуемая точность в данном роде исследований. В практике научных исследований чаще всего принимает­ ся е = 0,05, а Я = 0,95 — 0,99. В тех случаях, когда пронумеровать объекты затруднитель­ но или невозможно, первый объект выбирается по номеру из таблицы случайных чисел, а последующие через определен­ ные интервалы, величина которых определяется отношением числа объектов в генеральной совокупности к выборке. 1,65 1,70 1,76 1,82 1,89 1,96 2,06 2,18 2,33 2,58 0,85 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 О ф (•*) 1,44 00 о Таблица 29 1,29 4 ■о д а - = 3 8 4 - 15 14 i Обычно результаты наблюдений записываются в порядке их поступления и оформляются в виде таблицы с указанием значения исследуемой случайной величины и сколько раз она наблюдалась. В качестве примера в табл. 30 приведены ре­ зультаты обследования величины состава грузовых поездов, прибывающих на сортировочную станцию. Таблица 30 Число наблю­ дений за со­ ставом поезда 44 23 55 45 50 34 51 29 62 36 54 43 67 57 35 56 42 111111111111111 1 1111111111111 111111111111111111 1111111111 . . 11 111 1111111111 . . . . 11 1 111111 11111 1111111111......... 11 1111111111111111 11 11111111 1111 11111111111 1111111111111 Величи­ Всего на со ста ­ на­ ва поез­ блю­ да XI, дений физ. hi вагонов 15 1 13 18 30 3 25 1 6 5 25 16 2 8 4 11 13 I 63 39 60 48 53 40 '5 8 37 65 49 46 38 61 47 59 52 41 Величи­ В сего на со ста ­ наблю­ ва поезда дений, XI, 7. Сбор и обработка статистических данных Величина состава поезда х (, физ. вагонов Таблица 31 Число наблюде­ ний за составом поезда В сего на­ блю­ дений А, 111 1111111 11111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111 1111111111111111 1111111 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .... 11 1111111111111111111 11 11 11111111 ................... 11 11111111111111 11111111111111111111 111111111111 3 7 8 18 18 9 16 7 3 22 19 2 2 26 14 20 12 Полученный ряд значений случайной величины называется с т а т и с т и ч е с к о й с о в о к у п н о с т ь ю . Из него невозмож­ но установить закономерность случайной величины. Поэтому статистическая совокупность подвергается дальнейшей обра­ ботке, которая заключается в следующем; все данные распо­ лагаются в порядке возрастания или убывания значений слу­ чайной величины. Получается вариационный ряд (табл. 3 1 ), в котором просматривается закономерность слу­ чайной величины. ваг. hi 23 29 34 35 36 37 38 39 40 1 1 3 4 Величина состава поезда х /, ваг. В сего наблю­ дений 41 42 43 44 45 46 47 48 49 12 13 '16 15 18 19 26 18 22 с Г) / О / п 1 ' 9 Всего Величина Всего Величина состава на­ на­ состава блю­ поезда блю­ поезда дений дений ■ x t, л ,, ваг. ваг. hi hi hi 50 51 52 53 54 55 56 57 58 30 25 20 18 25 13 11 16 - 16 -59 60 61 62 63 '65 67 14 "8 2 6 3 "3 2 Однако при большом числе наблюдений (порядка сотни и больше) такая форма записи статистического материала становится громоздкой и малонаглядной. В таких случаях со­ ставляется так называемый статистический ряд, общий вид которого приведен в табл. 32. Таблица 32 Ч и с ло н а б лю ­ дений. В е ли ­ чины X Ч и с ле м а р лю д е н и и в да н н о м и н те р в а ле V & e m o rna н а Д / т дений в е ли ч и ­ н ы X $ данном и н те р в а ле Р а з р я д ы . x - x f x , - x 2 h i К В с е го x n -i~ X n * h2 p* ••• h 3 'f h p * = ^ ... 3 , hn П* bn II Например, для обследования направления движения пассажиров из генеральной совокупности в 10 000 пассажиров необходимо выбрать 100. В выборку включается, начиная с любого первого пассажира, каждый сотый из последующих. Z h i i -1 i -1 Д л я построения статистического ряда значения случайной величины,, представленные в .вариационном ряде, объединяют­ ся в разряды. Практика показывает, что в большинстве слу­ чаев рационально выбирать число разрядов k = 10— 12. В ели­ чина разряда с зависит от размаха колебаний случайной ве­ личины (хт[п -*чпах) и может быть определена по формуле -^max с = — -^rnin к----------- (45) Например, для вариационного ряда в табл. 33 с числом раз­ рядов k = 10 67 - 23 16 2. За к. 465 17 Для удобства расчетов величина разряда принимается оди­ наковой. Значения случайных величин, совпадающих с грани­ цами разрядов, можно условно отнести к первым (в порядке расположения) или вторым разрядам. После установления величины разряда подсчитывается число наблюдений, попадающих в тот или иной разряд, случай­ ной величины hi и строится статистический ряд (табл. 33, гр. 1— 4 ) . При этом определяется статистическая вероятность (частота) попадания случайной величины в соответствующий разряд; - ■ (рис. 23 ). Для ее построения по оси абсцисс откладываются разряды, и на каждом из них строится прямоугольник, пло­ щадь которого равна частоте соответствующего разряда. П ол­ ная площадь-гистограммы равна единице. Соединив середи­ ны верхних сторон прямоугольников, получим м н о г о у г о л ь ­ н и к р а с п р е д е л е н и я случайной величины. На рис. -23 (46) 2 А, (=1 где h.i — число наблюдений случайной величины в г-том раз­ ряде; k — общее число наблюдений; /= 1 ‘ i — номер разряда (г — 1, 2, 3, . . . , & ) . Таблица 33 г № п/п 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Среднее Величина значение разряда Xt в раз­ Xi ряде 2 3 2 3 -3 1 31 - 3 5 3 5 —39 ;:э —43 4 3 -4 7 47— 51 51 - 5 5 5 5 -5 9 5 9 -6 3 6 3 -6 7 27 33 37 41 45 49 53 57 61 65 Итого: Число наблю­ дений hi * Р , = - к ‘— hi 2 * ‘ /-1 4 5 2 7 21 50 78 95 76 47 10 5 '400 x iP* —О * 6 7 x iP i 0,0050 0,0175 0,0525 0,1250 0,1950 0,2375 0,1900 0,1175 0,0475 • 0,0125 0,1350 0,5775 1,9495 5,1250 8,7750 11,6375 10,0700 6,6975 2,8975 0,8125 3,6450 19,0575 72,1315 210,1250 394,8750 570,2375 533,7100 381,7575 171,7475 52,8125 1,0000 48,6770 2415,0990 Рис. 23 приведены гистограмма и многоугольник распределения слу­ чайной величины х, построенные по данным статистического ряда, представленного в табл. 33. 8. Статистическое исследование результатов наблюдений Статистический ряд представляет собой эмпирическое рас­ пределение изучаемой случайной величины. Д л я наглядности эмпирическое распределение изучаемой случайной величины изображается в виде г и с т о г р а м м ы 18 Статистическое исследование результатов наблюдений з а ­ ключается в выявлении закономерностей в массовых случай­ ных явлениях. Оно включает в себя 19 — определение числовых характеристик статистического рас­ пределения; ■ — подбор закона, описывающего статистическое распределе­ ние; • — проверку согласованности кривых статистического и тео­ ретического распределений. Числовые характеристики статистического ряда являются аналогами числовых характеристик случайной величины и приближенными оценками исследуемого массового процесса. К основным числовым характеристикам относятся; а) статистическое среднее т*, характеризующее положе­ ние статистического ряда распределения ' т*х = . . 2 x,p*i, После представления опытных данных в виде гистограм­ мы и вычисления числовых характеристик статистического ряда приступают к выравниванию последнего, заключающе­ муся в подборе плавной кривой распределения (закона р ас­ пределения), наиболее полно характеризующей данное рас­ пределение. Соответствующее этой кривой распределение бу­ дем называть т е о р е т и ч е с к и м . ^ Подбор закона, с достаточной точностью описывающего статистическое распределение случайной величины, произво­ дится исходя из физической сущности исследуемого процесса или явления. Дополнительными признаками могут служить внешний вид гистограммы или многоугольника распределения и числовые характеристики статистического ряда. Так, напри­ мер, для нормального закона распределения случайной вели­ чины все рассеивание (с точностью до процента) укладывает­ ся на участке т*. ± Зз*, для пуассоновского распределения характерно примерное равенство т*х и D *, а для экспонен­ циального (показательного) распределения — т*х гг; ах. t* Координаты теоретической кривой распределения рассчи­ тываются путем нахождения вероятности попадания случай­ ной величины в определенный интервал (37 ). Так, для нормального закона распределения случайной величины х (рис. 23) вероятности ее попадания в определен­ ный интервал определяются по формуле (47) /= 1 где x t — среднее значение случайной величины в /-том раз­ ряде; p i — частота попадания случайной величины в г-тый р аз­ ряд; Iг — номер разряда (г = 1 , 2 . . . , /г); б) статистическая дисперсия Д с> характеризующая рассея­ ние ряда распределения, д : = <=1 2 4 * ; - К ) 2; (48) в) статистическое среднеквадратическое характеризующее абсолютное отклонение ряда, P ( x i < x < x !+1) = F ( x i+l) - F ( x t) = Ф (и 1 +, ) - Ф ( а , ) , отклонение з*. статистического 0; = / 5 ! , ■где а'/, л-;+1 ■ — граничные значения случайной величины х; Ф (и) стандартная функция Л ап ласа, значения кото­ рой табулированы в зависимости от аргумента х i — тх и> — — и приведены в табл. 2 прилож. (49) Вычисление статистического среднего т * и статистической дисперсии Й удобно производить, пользуясь табличной схе­ мой расчета (табл. 33, гр. 6 — 7 ) . Так, например, числовые х а ­ рактеристики данного статистического ряда будут следую­ щими: i° 7 m* = '2jXip* = 48,68 ваг.; г= 1 X Например, для первого разряда статистического ряда (табл. 3 4 ), описываемого нормальным законом распределе­ ния с параметрами т* = 4 3 , 6 8 ваг., 0 .x = 6 ,7 4 ваг., вероятность нахождения величины состава грузового поезда в интервале 2 3 А", с 31 будет равна: ю Dx = - « ) 2 = 2415,71 - °.v = ] f D x — 45,36 (50) 4 8 ,6 82 = 45,36 ваг2.; Л (23 < 6 74 Ф ( - 2,62) - ва г . < 3 1 ) - Ф f 3- 1. - 4 8 '6 8 ) V 6,74 ) Ф ( —3 ,48) = - 0 , 4 9 5 6 - Ф <* ~ ^ \ 6,74 ( - 0 , 4 9 9 8 ) = 0,0022. 21 20 С Д л я экспоненциального (показательного) распределения (рис. 24) вероятность попадания случайной величины х в определенный интервал определяется по формуле. Р {х , < * < x i+l) = F( XM) - F ( x t) = = 1 — <? X'r,'+1 где x i+l — граничные значения случайной величины; ^ — параметр распределения (величина, статистическому среднем у); е — основание натурального логарифма. обратная 48,68 з* = 6,74; R= 7; Xs = 8'66: Я (y=) = 0,33, Значения функции е~х при различных значениях аргумента табулированы и приведены в табл. 4 приложения. Рис. 24 В табл. 35 приведен статистический ряд распределения интервалов прибытия подвижного состава на грузовую стан­ цию, описываемый показательным законом распределения с параметром к = = 0 , 2 4 . Д л я второго разряда этого 23 ряда вероятность попадания интервала прибытия ного состава в промежуток 2 < ^ < ; 4 будет равна; подвиж­ Р (2 < х < 4) = <Г0’24' 2 - <Г0'24'4 = 0,6190 - 0,3830 = 0,2360. Д ля эрланговского распределения (рис. 25) вероятность попадания случайной величины в определенный интервал равна разности значений интегральной функции распределе- Рис. 25 ния на границах разрядов. Интегральная функция эрлангов­ ского распределения при значении параметра &= 2 будет равна: П А - Ь Ш о 1 де х — • х - (А 0V ' • 1 - (2/.л: -ь 1) dx - J 0 \ (52) случайная величина; k — параметр распределения; ^ — среднее число событий, времени приходящихся на единицу О со Ю Ю О о =r С О о со со — « со со со со о ю о со о ю Г — • — • о о см о г-1 00 СО г-н ю см т— В табл. 36 в графе 12 приводятся значения ^(т/р) инте­ гральной функции распределения интервалов прибытия поез­ дов на станцию на границах разрядов статистического ряда, а в графе 13 — значения вероятностей, определяемые по фор­ муле С П CM o> o' VO a 05 00 о о со ю о •—1 со г—< 05 1 1 + + + 05 СО см ю 00 - * I V ' см со Q ст> со со г—« о о о о ОО о о ОО о о со о со см 1.0 СО СО со ю 00 о о о о о о см СО о о ю со о о см см см о ОО гсм со СО со со о 05 со ОО СО СО Он СО СО 05 см СО о см 1 00 о 1— 1 Ю см 1 1 I СО о ю со СГ5 СО ОО ю о о о CO 05 05 см о о о о о о о со со 05 о со см о о о со 05 о со г-05 о Г 'СО о о о о о Ю см см 1 1 о о о __1 Ю Ю О 05 о 05 05 о со о о о см см о о о о о о о о о о о СО ю ю СО 1— 1 ’— 1 СО см ьСО со rt* ОО t". h- о ОО t 'см ОО со со со со . 05 00 ОО CM о >2 ST Так, для второго разряда статистического ряда, описы­ ваемого законом Эрланга с пйраметром k = 2, вероятность по­ падания интервалов прибытия поездов на станцию в интер­ вале 40 будет равна: Р (2СГ<х< 40) = 0,652 — 0,303 = 0,349. 05 СП о см 05 CM 05 о г-н см 40 i о LO CM CM о 05 о 05 «о oo CM CM о VO со 05 LO CO CO 00 Ю OI LO CM CM CO 05 CM о о о 05 Ю 05 » — * 05 CO LO Ю 00 о CO CO Г+- »— < о Of 00 со ■'f ю о r—t CO CM CO CM см о сч см см 8 ь* 05 Ю ОО -f 06 СО ю ю о 20 ь* /-< см 50 см гр о о CO CM 05 со о о CM T-H r~~' LO LO LO T— < о со CO о о LO CO со CM со oo со со о о о о CM l\\ 7s •Cti о о 8 г_' CM CM CM CO Ю ю 8 r— ' г“* CO CM о гм CM CO 05 CO oo CO CO о о СО СО rN о о о t"QO C.N о со о о о CO CO CO h- oo о о oo CM CM Ю О CO CO о о о о 00 05 05 01 !> ■ Ю * 4 Q 00 C "C N О О oo 1 о о -5 0 Ю о -2 0 CNv о см со ’~~4 г- о о с4 со см 1 8 о LO о о о ОО 8 . о о о ю СО г- СО ( 00 1 05 о О H у S 26 Рис. 26 27 xi+1 ■/X = Р (х > x t) = v Л-= о X ! .Го-*! М еж ду теоретической и статистической кривыми распреде­ ления всегда неизбежны расхождения. Они могут вызываться случайными отклонениями и колебаниями обследуемой вели­ чины или другими факторами, которые не были учтены в тео­ ретическом распределении. Эти отклонения могут быть такж £ вызваны неудачным подбором теоретической кривой распре­ деления. Д ля оценки согласованности теоретического распределе­ ния случайной величины наиболее часто применяют крите­ рий согласия Пирсона. Идея его применения заключается в следующем. Д ля того чтобы принять или опровергнуть теоретическое распределение, определяется величина X2 (хи-квадрат), х а ­ рактеризующая расхождение между статистическим и теоре­ тическим распределениями. Значение может быть определено по одной из следующих формул: 28 S 1 = о о fi о .-Ч СМ о Г-Г СО ю СМ ю ^ Г-н 1 со + ю 4- ю + см + ’—' 't- СО 00 t-СО СО со СО СМ о 05 сч о rf со С М СМ о СО о СМ У— о Ю со Tf о о о> СО СО т-“< t-« i 1 . (5 5 ) О., о h- О О о о С ь см 1V » Cl СО О О о СО О 05 о со 05 05 о 05 05 СО 00 о h- со 05 о СМ Th СМ ио о ю т—< о 00 t'о о О со о со со т— о о о о Г"со СМ о о тгг СО <м о оо СО со * —1 о о Q СО о о о ° (М о о t-со о о о о со о о о о 00 о 00 со см о оо о о о 05 со оо СО о о о о о о со СО о о о о о см о со 05 о си о со 1 <м 00 1 тт* СО СМ со CD cd о rt* СП 1^“ о о о о о со 05 ю о О) о Тр 00 о г—< о о р - СО о ° ю см 05 т—1 ю 05 оо <м 1 о о о о о СО со < о о о о Ю ^ СО 00 о со со СО о 1-0 г—1 О Г-4 о о ю 11 • о о 1^ ю со о fСО Ю о о 2 о о О см см со со 05 о rf ю 05 CO CN ю Г—< O'. со СМ оо О О О ст. (5 4 , Pi V 2 . ------------г ----------- -- i=\ ю СМ со * —< о СО СМ п/п | , о t"г—< о • si* 4 —* а X о о см о •с > —■ ' F(x ,) = 0 ,0 9 9 6 — 0,0137 = 0,0859. (= 1 ю <М 00 (5 3 ) где I*- — параметр пуассоновского распределения, Я= m l . xi *1 Xх Значения функции - V —_ протабулированы в табл. 3 " о а: ! приложения. В табл. 37 приведен статистический ряд распределения поступления вагонов на грузовой пункт, который описывает­ ся законом Пуассона с параметром ^ = 8 ваг./сут. Д л я вто­ рого разряда статистического ряда вероятность того, что на грузовой пункт поступит от 2 до 4 ваг., будет равна: Р ( 2 < х < 4 ) = ( F x hi) - СМ О '—' < Х1 ) X V • «* 1 ■к Р (Xs) = 0,4335 Р ( xi < X < х м ) = Р (х < х м ) VO Q К. о —* о 7,725; оэ а Для пуассоновского распределения случайной величины А' (рис. 26) вероятность ее попадания в определенный интервал определяется по формуле СО ю 00 лсм I о о оо 05 о СМ ^ СО оо 1 о (М 00 1 о CM т* СО оо ю со г- ОС 05 о 29 г д е р*, pi — соответственно статистическая и теоретическая вероятности нахождения случайной величины в /-том разряде; п — общее число наблюдений; h.h f i •— число значений случайной величины в i -том р аз­ ряде соответственно по статистическому и теоре­ тическому распределениям; i — номер разряда статистического ряда (г = = 1 , 2, к). Число значений случайной величины по теоретическому р ас­ пределению определяется по формуле Л Pi b ' i i (56) Величина X2 является случайной. Если гипотеза о теоретическом законе распределения вер­ на, то закон распределения величины X2 определяется зако­ ном распределения величины X и числом наблюдений п. С ле­ довательно, можно вычислить Р (х2) , т. е. вероятность того, что за счет случайных колебаний величина X2 будет не мень­ ше полученной в наблюдениях. Если эта вероятность велика, то можно считать, что гипотеза о теоретическом законе рас­ пределения не противоречит данным наблюдения. Если эта вероятность мала, то гипотезу о теоретическом законе рас­ пределения следует отвергнуть. Величину вероятности, при которой следует отвергать теоретический закон распределе­ ния, нельзя определить из математических соображений. Обычно считают, что при вероятности Р ( х 2) < 0 , 1 теоретичес­ кий закон распределения не отраж ает статистического распре­ деления, и следует проверить новую гипотезу или увеличить число наблюдений. Распределение X2 зависит от параметра R, называемого числом степеней свободы. Число степеней свободы равно числу разрядов k минус число независимых условий, нало­ женных на частоты; R —k — S . Такими условиями могут быть следующие: 1) сумма частот должна равняться единице! ^ р*, = 2 а = 1 1 4=1 i'-l / Выполнение этого требования необходимо во всех случаях; 2) совпадение статистического среднего и математического ожидания случайной величины (яг* = т х); 3) совпадение статистической и теоретической дисперсий ( D \ = D x) И Т. Д. 30 Обычно для нормального закона распределения прини­ мается 5 = 3, для распределений пуассоновского, экспонен­ циального и Эрланга 5 = 2. Д ля распределения X2 составлены специальные таблицы (табл. 5 прилож.). Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения X2 и числа степеней свободы R найти Р(х2), т. е. вероятность того, что величина, распределенная по закону X2, превзойдет это значение. Таким образом, схема применения критерия X2 к оценке согласования теоретического и статистического распределений сводится к следующему: 1) определяется мера расхождения X2 по формуле (54) или (5 5 ); 2) определяется число степеней свободы R по форму­ ле (5 7 ); 3) по R и X2 с помощью табл. 5 прилож. определяет­ ся Я ( х 2). Подсчет значений p-L и х 2 по приведенным выше формулам удобно производить в табличной форме. Во всех рассмотренных примерах Р ( х 2) > 0 , 1. Следователь­ но, гипотезы о принятых законах распределения случайной величины можно признать не противоречащими статистиче­ ским данным. Следует заметить, что при использовании критерия Пир­ сона достаточно большим должно быть не только число на­ блюдений, но и число наблюдений в отдельных разрядах с т а ­ тистического ряда. Д л я каждого разряда статистического ря­ да рекомендуется не менее 6 — 8 наблюдений. Если число на­ блюдений в отдельных разрядах мало (один:д в а ), имеет смысл объединить их. Правило Романовского значительно облегчает применение критерия согласия Пирсона для оценки расхождения между статистическим и теоретическим распределениями. Согласно этому правилу, если V^2R < 3 то расхождение считается случайным и принятый закон рас­ пределения удовлетворительно описывает статистическое р ас­ пределение. В противном случае расхождения считаются су­ щественными, и гипотеза о принятом законе распределения отбрасывается, проверяется другой закон распределения или увеличивается число наблюдений. 31 Например, р. табл. 36, для' статистического Х > _ Я _ ю .9 3 -8 / 2/ ? У 2 • ряда, приведенного /с - mslH+ m j 6 -+- туЧ*р + = а д з < 3 ^ Следовательно, гипотеза о нормальном законе распреде­ ления случайной величины не противоречит данным наблю­ дения. 9. Определение средней весовой нормы грузовых поездов На линиях с прогрессивными видами тяги объективно существуют три категории весовых норм грузовых поездов: • — критическая Q Kp, которая устанавливается по силе тяги локомотива и расчетному подъему; — графиковая (расчетная) Qp, которая принимается в осно­ ву построения, графика и по которой производится определе­ ние перегонных времен хода; — средняя (фактическая) (2ф, которая может быть достигну­ та в конкретных условиях работы направления за период действия графика. При этом соблюдается неравенство Q кр>- Qp > (2ф. Средняя весовая норма, отличная от графиковой, появ­ ляется на линиях с ограниченной длиной приемо-отправочных пу<гей на станциях. Она является важнейшим эксплуатацион­ ным показателем работы дорог и сети в целом. Эта норма устанавливается как качественный показатель работы диспет­ черского аппарата и сортировочных и участковых станций формирования поездов. Д л я направлений, имеющих ограничение веса поездов по длине станционных путей, графиковая весовая норма опреде­ ляется по формуле Qp = (А:т где 1. На основе итоговой таблицы натурного листа опреде­ ляются: длина состава Lл) Яр1 (58) /ст — полезная-длина приемо-отправочных путей, м; /л— длина локомотива с учетом расстояния на его установку в пределах полезной длины пути, м; <7Р— расчетная погонная нагрузка состава брутто, т/км. Каждому значению Q p соответствует строго определенная величина среднего веса поезда Q(}). Значение средней весовой нормы устанавливается на осно­ ве статистической обработки натурных листов поездов в с л е­ дующей последовательности: (59) где т 8, т 6, т*р, . . . — количество физических восьмиосных, шестиосных, крытых четырехосных и прочих вагонов в составе; l&, Ч9, . . . — длина соответствующего вагона, м. В табл. 38 приведена длина единиц подвижного состава. Таблица 38 Род подвижного состава Длина, м В агоны п ассаж и рского парка Четырехосные цельнометаллические Остальные ч е т ы р е х о с н ы е ........................................... 25 20 В агоны гр у зового парка Восьмиоеные . . . . . . . Ш естиосные . . . ......................................... Четырехосные крытые и изотермические Четырехосные крытые для перевозки скота (специальные) Четырехосные полувагоны и платформы Четырехосные цистерны, цементовозы, думпкары 12-вагонной секции . . . . •5-вагонной „ . . . . . . а в т о н о м н ы е ......................................... Двухосные платформы и изотермические Двухосные крытые цистерны 20 17 15 18 14 12 19 22 20 10 8 вес вагона брутто т (60) где Q 6p — вес состава брутто, т; т — число вагонов,в составе; — длина вагона L I (61) погонная нагрузка состава q= ■ 3. Зак. 465 Qtip т (62) 33 со qm\a, <7тах— минимальное и максимальное значения по­ гонной нагрузки из статистического ряда распределения. Средний состав поезда можно подсчитать по выражениям: /с тф= - р г ■ сч - (66) Номера интервалов <3ф /Яф=— s— ; Чб (67) В Из формул (64) и (65) следует, что на уменьшение сред­ ней весовой нормы по отношению к графиковой, в условиях ограничения их по длине станционных путей, оказываю т влияS4 3* Г ,0 2 1,000 0,005 0,015 0,037 0,065 0,092 0,162 0,205 0,155 0,113 0,085 400 о 6 37 65 82 62 45 4,6 4,4 4,2 4,0 26 15 5,6 5,4 5,2 5,0 4,8 5,7 5,5 5,3 5,1 4,9 4,7 5 ,5 1 - со ^ соLQ СО со” со g -Z* ° 0,010 0,018 (65) Статистическая вероятность собы ­ тия р* • 34 J 7 ?р 4 \ соб ы ­ ^тах Частота тия hi Чр \ 1 - 3,8 41 / 3,4 где Ч Г) + 3,71 ^тах п I It- ю 3,2 ю Середина интер­ валов q h т/пог. м ^min где q t —-значение погонной нагрузки из ряда распределения, имеющее вероятность р*, т/пог. м. Средняя (фактическая) длина состава определяется по формуле 4,5 С'-~ (64) 4,3 00 4,1 ст> —3,9 о 3,91 — 4,11— 4,31 — 4,51 — 4,71 — 4 , 9 1 - 5,11 — 5,31 — г— * (63) I* Сумма 2 где q H— математическое ожидание погонной нагрузки соста­ ва для средней весовой нормы, т/пог. м. Величина q n вы раж ает среднюю (условную) погонную на­ грузку, приходящуюся на 1 м расчетной длины состава / р = / ст — /л, и может быть определена по выражению <7„ = 2 фР 1 + qv\ 1 ^min со Г раницы интер­ 3,11 — 3,31 — валов (от . . . до) т/пог. м 3,3 3,5 Qcj, = (/„ - I,) <7„, Таблица 39 Для обеспечения высокой достоверности расчета по к а ж ­ дому направлению движения и рассматриваемой категории поездов объем выборки должен быть не менее 4 00— 500 на­ турных листов. 2. Полученные значения q 6p, l B, q сводятся в статистиче­ ские ряды распределения. Форма статистического ряда рас­ пределения для величины q приведена в табл. 39. На основе статистических данных подсчитываются средние значения q*. и С 3. Д л я расчетной погонной нагрузки qp, по которой на основе формулы (58) установлена графиковая весовая норма, средний вес поезда составит: 35 ние те составы, для которых фактическая погонная нагрузка меньше расчетной q < q v- И наоборот, средняя длина будет меньше расчетной у тех составов, для которых q > q v. В качестве примера приведен статистический ряд распре­ деления для рассматриваемой категории поездов при /ст :== = 850 м, /л = 5 0 м (табл. 3 9). На основе статистической обработки натурных листов определено: q*6p = 6 4 , 8 т/ваг.; /* = 14,8 м. Графиковая весовая норма установлена по расчетной погонной нагрузке qp — = 5 т/пог. м и по формуле (58) составляет: Qp = = (850 — 5 0 )5 ,0 = 4000 т. В соответствии с формулой (64) величина q n будет: q H= 3,2 -0,01 + 3 , 4 -0,018 + 3,6 - 0 , 0 3 8 + . . . + 4 , 8 - 0 , 0 9 2 + Под термином «требование» понимается запрос на удовлетво­ рение какой-либо потребности или выполнение определенной технологической операции. Последовательность требований, поступающих на обслуживание в какие-то моменты времени, составляет поток требований. Сущность обслуживания за к л ю ­ чается в удовлетворении потребности и зависит от назначе­ ния и типа системы. Примеры характерных для транспорта потоков требований, сущности обслуживания и обслуживающих устройств приве­ дены в табл. 40. Таблица 40 Поток требований 1 1 Сущность обслуживания Обслуживающие устройства + 5 ,0 - 0 ,0 6 5 + 5,0(1 — 0,943) = 4 , 3 6 т/пог. м. Поезда По формуле (63) имеем: Отправление Q(t, = (850 — 5 0 )4 ,36 = 3488 т, что составляет 87% к расчет­ ному весу. Средняя длина состава (65) будет: /? = 0 ,065 + 0 ,0 3 7 + ' 4000 0,0 05 + 1 5,6 ’ 1 5,0 Технический и коммер­ ■ Бригады осмотрщиков ческий осмотр Расформирование и Сортировочные устрой­ формирование ства и маневровые ло­ комотивы Группы вагонов Подача (уборка) на Маневровый локомо­ грузовые фронты тив Выполнение грузовых Погрузочно - разгру­ операций зочные устройства Ремонт Ремонтные бригады Средний состав поезда (66) и (6 7 ): m* = Q,|, 3488 < 7 “ « ж С 14,8 ~ 5 4 м г -: Л окомотивы ; 54 ваг. Технический осмотр Экипировка Ремонт IV. О С Н О ВН Ы Е ПОЛО Ж ЕНИЯ Т ЕО РИ И МАССОВОГО О БС Л У Ж И ВАН И Я Приемо - отправочные пути Перегон (блок-уча­ сток) Составы 0 ,0 1 5 + (1 - 0 , 1 2 2 ) = 797 м. Прием на станцию П ассаж иры П родажа билетов Локомотивные или спе­ циальные бригады Экипировочные уст­ ройства Ремонтные стойла и бригады Билетные кассы и ав­ томаты 1. Общие понятия Под системой массового обслуживания обычно понимают совокупность взаимодействующих между собой в процессе об­ служивания потока требований и обслуживающих устройств*. * В некоторых литературных источниках вместо «требование» упот­ ребляют термины «заявки», «вызовы», а вместо обслуживающего устрой­ ства — приборы, каналы обслуживания. 36 Установлением зависимостей между потоком требований. обслуживанием и обслуживающими устройствами занимается теория массового обслуживания, целью которой является раз­ работка математических методов для отыскания основных характеристик процессов массового обслуживания и оценки 37 качества функционирования обслуживающих систем. Наибо­ л е е распространенная практическая задача теории массового обслуживания —•выбор оптимального количества обслужи­ вающих устройств. 2. Элементы систем массового обслуживания и их основные характеристики Основными элементами системы массового обслуживания (рис. 27) являются входящий поток требований, обслуж иваю ­ щие устройства и выходящий поток. Входящий Обслуживающие поток устройства ч о ы — ---------------------□ = \ — п Выходящий поток ■ - p= ty>i (69) и в значительной степени определяет эффективность функцио­ нирования. 3. Классификация систем массового обслуживания / • ------------------------------------------------------- Рис. 27 В х о . д я щ и й п о т о к в общем случае представляет собой поток случайных событий и характеризуется интенсивностью ^ и законом распределения. Под интенсивностью (плотностью) потока А, понимают среднее число требований, поступающих р^систему в единицу времени. Закон распределения входящего потока может характе­ ризовать распределение числа требований, поступающих за определенные периоды времени, или распределение интерва­ лов между последовательными поступлениями требований. Основные виды потоков событий: простейший (пуассоновский), Эрланга, биномиальный, регулярный. При помощи о б с л у ж и в а ю щ и х у с т р о й с т в произ­ водится обслуживание требований вводящего потока, которое характеризуется интенсивностью обслуживания м- и средним значением времени обслуживания Хер = 4 - . В транспортных системах встречается время обслужива­ ния постоянное, произвольное и распределенное по показатель­ ному или эрланговскому закону. В ы х о д я щ и й п о т о к требований характеризуется таки­ ми ж е параметрами, что и входящий. Отношение интенсив­ ности входящего потока ^ к интенсивности обслуживания I* называется коэффициентом использования, или загрузкой си­ стемы: (68) а такж е законом распределения этого времени. Интенсивность обслуживания ц представляет собой сред­ нее число требований, которые могут быть обслужены в еди­ ницу времени. Она является величиной, обратной среднему времени обслуживания. Системы массового обслуживания классифицируются по ряду признаков. В зависимости от поведения требования, по­ ступившего в систему в момент занятости всех обслуживаю­ щих устройств; различают системы с ожиданием, с потерями и смешанные. В системах с ожиданием требования при заня­ тости всех каналов становятся в очередь и ж дут обслуж ива­ ния. В системах с потерями при получении отказа требова­ ния покидают систему, не ожидая обслуживания. В смешан­ ных системах требования при соблюдении определенных усло­ вий (ограничений) ожидают обслуживания, в противном слу­ чае —• покидают систему. На железнодорожном транспорте чаще всего встречаются системы массового обслуживания с ожиданием и смешанные. По числу обслуживающих устройств системы делятся на одноканальные и многоканальные, а по числу фаз обслужива­ ния — однофазные и многофазные. Примером многофазной системы массового обслуживания может служить сортировоч­ ная станция, где входящий поток, обслуженный в одном пар­ ке, направляется в другой. По дисциплине обслуживания различают системы с прио­ ритетами я системы с обслуживанием в порядке поступления „требований. Приоритеты, т. е. преимущества в обслуживании одной категории требований перед другими, могут быть абсолютны­ ми или относительными. При поступлении требования с абсо­ лютным приоритетом и занятости всех обслуживающих уст­ ройств прекращается обслуживание одного из «рядовых» тре­ бований п немедленно начинается обслуживание приоритет­ ного требования. При поступлении требования с относитель­ ным приоритетом обслуживание других требований пе пре­ кращается, но они становятся на первое место в очереди. 39 ■ Чаще всего обслуживание в транспортных системах ве­ дется в порядке поступления требований, а приоритеты при­ меняются как мера улучшения определенных показателей. Например, для ускорения накопления составов на горках не­ редко дается относительный приоритет в обслуживании соста­ вов с замыкающими группами вагонов. Кроме того, разли­ чают замкнутые и разомкнутые (открытые) системы, а также полнодоступные и неполнодоступные системы. В замкнутых системах обращается некоторое постоянное число требований, а в разомкнутых число требований, кото­ рые могут поступать в данную систему, практически не огра­ ничено. Замкнутой можно считать систему обслуживания (на­ пример, ремонта) локомотивов, приписанных к депо и обра­ щающихся на данном участке, а разомкнутой — систему рас • формирования вагонов на горке. Полнодоступными считаются системы, в которых все об­ служивающие устройства всегда готовы к обслуживанию по­ ступающих требований, а неполнодоступными — системы, в которых часть обслуживающих устройств в определенные периоды выключается из процесса обслуживания. Полнодо­ ступной является, например, система -продажи билетов в не­ скольких кассах (автом атах), поскольку пассажир может з а ­ нимать очередь в любую из касс. Примером неполнодоступ­ ной системы является система формирования поездов в хво­ стовой горловине сортировочного парка, где взаимопомощь маневровых локомотивов ограничивается конструкцией гор­ ловины (враждебностью маршрутов). 4. Простейший поток Аналитические методы теории массового обслуживания наиболее полно разработаны для так называемых простейших потоков. Изобразим на числовой оси поток однородных событий (требований), различающихся моментами появления. Имеем последовательность точек t\, t2, . . . , tn, . . . , соответствующих: моментам появления событий (рис. 28). t ; £& Сз -f---- С)—о-- ---оо Поток событий называется с т а ц и о н а р н ы м , если ве­ роятность попадания того или иного числа событий на уча­ сток времени длиной т зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси расположен этот участок. Стационарность потока вы раж ает собой неизменность его ве­ роятностного режима во времени. Поток событий назы вается потоком б е з п о с л е д е й с т ­ в и я , если для любых непересекающихся промежутков време­ ни число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. Условие отсутствия последействия, означает, что заявки поступают в систему неза­ висимо друг от друга. Поток событий называется о р д и н а р н ы м , если вероят­ ность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Иными словами, ординарность по­ тока вы раж ает собой практическую невозможность совмеще­ ния двух или более событий в один и тот ж е момент времени. Если поток событий обладает всеми тремя свойствами, т е. стационарен, не имеет последействий и ординарен, то он является простейшим или стационарным пуассоновским по­ током. Его особенность заключается в том, что число требова­ ний /г, поступающих за период времени t, имеет пуассоновское распределение: Рк ( 0 (И )* ,, —£-|- е ~ и {к = 0,1, . . . п ), (70) а интервал времени t между последовательно поступающими требованиями — показательное распределение: P t = le ~ u - (71) Известно, что для закона Пуассона математическое ож и­ дание случайной величины равно его параметру, т. е. в дан­ ном случае M t {k]=U, а для t= 1 M[k\ = ^. Значит, параметр ^ представляет собой математическое ожидание числа требований, поступающих в единицу времени, или интенсивность потока. Таким обра­ зом, для описания простейшего потока необходимо з г т т ь только одну величину — интенсивность потока требований. 41 5. Показатели качества функционирования систем массового обслуживания Качество функционирования систем массового обслужи­ вания может быть оценено целым рядом показателей, выбор которых зависит от характера решаемой задачи и типа си­ стемы. Основными показателями являются: — загрузка системы р; — среднее время ожидания обслуживания w; —■ средняя длина очереди v, т. е. количество требований, ожидающих обслуживания; — среднее ч и с л о , занятых обслуживающих устройств (сред­ нее число требований, находящихся в процессе обслужи­ вания) . Кроме того, в ряде случаев используются и такие показа­ тели, как среднее время обслуживания, средняя продолжи­ тельность нахождения требования в системе (в очереди и в процессе обслуживания), среднее число требований в си­ стеме, вероятность отказа в обслуживании и др. Для определения требуемых показателей системы массо­ вого обслуживания необходимо предварительно установить: • — характеристики входящего потока; — характеристики процесса обслуживания; — дисциплину обслуживания. Д ля открытых систем, с ожиданием, которые чаще всего встречаются в практике эксплуатационной работы, сущест­ вуют следующие зависимости между показателями. Среднее число требований L, находящихся в системе, опре­ деляется по формуле L = ^ u = v w = >~i y w = 4 ffi’ + T cp)> ( 7 2 )' где ^ — интенсивность потока требований в системе; j a _ интенсивность обслуживания; ш — среднее время ожидания обслуживания; и — средняя продолжительность пребывания требования в системе, причем « = т ср + W - (7 3 ) Среднее число требований в узле обслуживания / = р М , ( 7 4 ) 43 42 11 ’ ., -- - ' тде М — число обслуживающих устройств; р— коэффициент использования системы. Среднее число требований, находящихся в очереди, v =^ w . / (75) Среднее время ожидания обслуживания для всех посту­ пающих требований — ^ L то = 4 - - = ------ • Л щения простоя составов в сортировочном паркер Приведен­ ные затраты на дополнительные локомотивы и вытяжные пути могут быть определены по существующим нормам. При­ веденные расходы на маневровый локомотив и вытяжной путь для формирования составов в сортировочном парке, руб./сут. (полная длина пути — 600 м,' нормативный срок оку­ паемости Тп = 1-0 лет), даны в табл. 42. Таблица 42 (76) (X Тип локомо­ тива Приведенные расходы на ма­ невровый локо­ мотив Приведенные расходы на вы ­ тяж ной путь ТЭМ-1 ТЭЗ (1 секция) Т Э 2 (1 секция) ТГМ З В Л 22М 115,0 122,86 91,68 103,90 97,82 3 5 —45 3 5 -4 5 3 5 —45 3 5 —45 35— 45 Среднее время пребывания требования в системе _ L и = хсР + w = - у - ' (77) Расчетные формулы для определения основных показате­ лей открытых систем массового обслуживания с ожиданием в зависимости от распределения времени обслуживания при простейшем входящем потоке* и обслуживании в порядке по­ ступления требований даны в табл. 41. После получения значений показателей исследуемой си­ стемы при начальных исходных параметрах может возник­ нуть необходимость в изменении этих параметров (увеличе­ ние числа обслуживающих устройств или их производитель­ ности, регулирование входящего потока и др.) с целью улуч­ шения или отыскания оптимальных значений показателей. 6. Расчет оптимального числа маневровых локомотивов и вытяжек формирования в сортировочном парке В связи с неравномерностью процесса накопления в сор­ тировочном парке возникают непроизводительные простои составов в ожидании окончания формирования, что вызывает задерж ку в продвижении вагонопотока и связанные с этим потери. Увеличивая число вытяжных путей и маневровых ло­ комотивов, можно снизить величину непроизводительных про­ стоев. Таким образом возникает типичная задача отыскания оптимального решения, которая в рассматриваемом случае сводится к сопоставлению затрат на дополнительные вы тя ж ­ ные пути и маневровые локомотивы с экономией от сокра­ * При входящ их потоках, отличных от простейшего, установление аналитических выражений для основных показателей систем представляет значительную трудность; эти показатели целесообразно определять мето­ дом моделирования. 41 Общие приве- . денные расходы 1 5 0 ,0 0 -1 6 0 ,0 0 1 5 7 ,8 6 -1 6 7 ,8 6 1 2 6 ,6 8 -1 3 6 ,6 8 1 3 8 ,9 0 -1 4 8 ,9 0 132,82— 142,82 Приведенные расходы на 1 ч простоя состава грузового поезда с учетом стоимости груза, руб., приведены в табл. 43. Таблица 43 В ес состава 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Стоимость 1 т груза, руб. 0 50 100 190 3,18 6,36 1,88 3,77 5,66 7,55 9,43 11,32 2,26 4,53 6,80 9,07 11,33 13,60 2,99 5,99 8,99 11,99 14,98 17,98 — — _ .— | 300 3,85 7,71 11,57 15,43 •19,29 23,14 | 500 1000 5,44 10,89 16,34 .2 1 ,7 9 27,23 32,68 9,40 18.81 28,22 37,63 47,03 56,44 Простои составов в ожидании формирования могут быть определены по формулам теории массового обслуживания, для чего необходимо знать характер входящего потока соста­ вов и распределение времени обслуживания. Исследованиями последних лет установлено, что поток составов, накапливаю­ щихся в отдельном маневровом районе н 'в сортировочном парке в целом, можно считать простейшим, а время, затрачи­ ваемое на окончание формирования и перестановку составов в парк отправления, имеет произвольное распределение или ж е в ряде случаев описывается распределением Эрланга с па­ раметром k = 6 н- 3. 45 При закреплении маневровых локомотивов за вытяжными путями сортировочный парк и вытяжки формирования с ра­ ботающими на них локомотивами будут представлять собой ряд одноканальных (по числу локомотивов) систем массового обслуживания. Следовательно, среднее время -ожидания окончания формирования с учетом равномерного распределе­ ния работы между локомотивами может быть определено по следующим формулам: — при произвольном распределении времени обслуживания с коэффициентом вариации V; ,ср Р ( 1+ ^ ) ож 8000 - 0,54 м ________ исФ ____________ [____ М min - m(24 _ £пост) — 100 (24 _ 2) 2(1. (1 — р) X где р = —•— загрузка одного маневрового локомотива; Iх А — число составов, накапливающихся в одном манев­ ровом районе за час; М - — число составов, которое может быть сформирова­ но и переставлено за час из сортировочного в от­ правочный парк одним маневровым локомоти­ вом; — при эрланговском распределении времени обслуживания с параметром k : /ср = ■“ k+ 1 Р 2|*(1 — р) ' Рассмотрим пример. Необходимо определить оптимальное число вы тяж ек формирования и маневровых локомотивов при следующих исходных данных: гг = 8000 ваг.; среднее число в а ­ гонов в составе /и = 100 ваг.; вес состава. 3000 ш , стоимость 1 т груза — 190 руб.; среднее время, затрачиваемое на окон­ чание формирования, перестановку состава и возвращение локомотива, <фр = 0 ,5 4 ; коэффициент вариации величины вре­ мени /ф— у = 0,4; маневровый локомотив — Т Э М 1 . 1. Определяем минимально необходимое число маневро­ вых локомотивов: 2. Определяем средний простой в ожидании окончания формирования при двух маневровых локомотивах (M min): 8000 (78) 1 | *= -ад ~ ,, ож2 9 г 1,67 с = ^ - ; 0 ,8 3 ( 1 + 0 .4 ') 2-2(1 - 0 , 8 3 ) пяч= 0 -8 3 ' 0 ,8 3 -1 ,1 6 0 ,6 8 3. Определяем величину t ож мотивах и вытяжных путях: ' 8000 100-24-3 ,ср (79) где и — суточный перерабатываемый вагонопоток; т — средняя величина накапливаемых составов, вагонов; М — число маневровых локомотивов и вы тяж ек формиро­ вания; ^фР-^среднее время, затрачиваемое на окончание формиро­ вания состава, перестановку его в отправочный парк и возвращение локомотива обратно в сортировочный парк. -16 . „7 1,67; 1 0 0 -2 4 -2 1 1 2АтМ ’ • k Необходимые для расчета значения ^ и м- могут быть под­ считаны по следующим формулам: Х — 0Жз 1 , ’ ^ ^ _ _ М при трех маневровых локо­ , ’ Р 1 -1 __ л 2 ’ ’ 6 _ = 0 )3 5 ч _ 2 -2 (1 -0 ,5 5 ) 4. Определяем значение г^ж при четырех маневровых л о ­ комотивах и вытяжных путях: 8000 100-24-4 пй о 0,83 =0,83; р = — о— = О.4 1 ! ’ ’ 1 2 /ср — --Р’^ ‘ .1.—- — = 0 204 2- 2( 1 — 0,41) ’ 47 ( 5. Определяем суточную экономию от сокращения простоя составов при введении третьего Э2._3 и четвертого Э3_4 локо­ мотивов: ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица I Случайные числа Э2- 8 = Э3- 4 = - * * , ) Сеч = 8000(1,41 - 0,35)8,99 = 762,35 руб.; Сс-ч = 8 0 00(0 ,35 - 0 , 2 ) 8 , 9 9 = 1 0 7 ,8 8 руб. З десь сс_ч — приведенные расходы на 1 ч простоя соста­ ва, принимаемые по табл. 43. Сравнивая значения Э2_3 и Э3_4 с суточными приведен­ ными расходами на дополнительный маневровый локомотив ТЭМ1 и вытяжку формирования, которые равны 150— 160 руб. (см. табл. 4 2 ), видим, что введение третьего маневрового л о ­ комотива экономически целесообразно, а четвертого — нет. Таким образом, при принятых исходных данных на станции необходимо иметь три вытяжки формирования с работающи­ ми на них тремя локомотивами. Литература 1. В. М. А к у л и н и ч е в , В. А. К у д р я в ц е в , П. А. Ш у л ьж е н к о . Применение математических методов и вычислительной техники и эксплуатации железных дорог. М., «Транспорт», 1973. 2. И. В. Б е л о в , А. Б. К а п л а н . Математические методы в пла­ нировании на железнодорожном транспорте. М., «Транспорт», 1972. 3. Е. С. В е н т ц е л ь . Теория вероятностей. М., Физматгиз, 1969. 4. В. П. К а з а н ц е в , В. П. Я р о ш е в и ч . Применение матем ати­ ческих методов в инженерных и экономических расчетах. Гомель, БслИ И Ж Т, 1971. 5. Ф. И. К а р п е л е в и ч , Л. Е. С а д о в с к и й . Элементы линей­ ной алгебры и линейного программирования. М., «Наука», 1967. 6. Методика применения систем сетевого планирования и управления на железнодорожном транспорте. М., «Транспорт», 1968. 7. Е. П. Н е с т е р о в. Транспортные задачи линейного программиро­ вания. М., «Транспорт», 1971. 8. В . А. П а д н я. Применение теории массового обслуживания на транспорте. М., «Транспорт», 1968. 9. Н. В. С м и р н о в , И. ’ В. Д у н и н-Б а р к о в с к и й . Курс теории вероятностей и математической статистики. М., «Наука», 1969. , 10. Н. И. Ф е д о т о в , А. В. Б ы к а д о р о в . Применение теории ве­ роятностей в транспортных расчетах. Новосибирск, НИ ИЖ Т, 1969. 11. К. Д . X у г а е в. Элементы теории массового обслуживания. Учеб­ ное пособие. Л И И Ж Т, 1973. 12. А. К. У г р ю м о в. Неравномерность движения поездов. М., «Транспорт», 1968. ’ 2182 1549 5118 6848 3309 2050 6817 8310 7050 5637 8251 6129 1311 5151 4245 3395 6542 8063 3370 9306 21 6 6 6844 1479 6342 0485 3603 6736 3044 7670 5325 3537 7391 2066 5120 4058 0079 5609 7070 4748 1093 9818 5690 0943 2166 6702 3208 9692 1211 3230 5969 1666 8441 4796 3420 4853 3603 6736 3044 7670 5325 3537 7391 4847 2477 42897157 9575 1543 3763 0691 2583 3518 7233 6329 7584 9141 5786 9355 6721 7972 8129 3452 3343 2905 0542 8768 9172 3543 0896 8312 4719 7934 8798 5084 2902 4252 1021 1918 7073 3070 Т 4 . Зак. 465 7373 J 3351 7035 6583 4021 1812 4591 0433 1848 9367 5139 0429 2317 3250 9301 1084 7896 2019 4713 3221 6878 1638 3827 1364 6030 3778 4356 5064 2387 3664 6485 6919 8506 3163 7260 8409 4284 3812 3758 0310 8187 8875 6149 9117 6365 1361 2415 0260 1890 6557 Л 4982 3079 2010 7520 8644 4020 9037 1322 5173 5939 5050 2836 3561 7859 4788 0561 7029 3678 4726 ЗОЮ 3080 7438 9134 1015 2040 1939 9390 6508 4220 8187 3472 3520 9336 6449 9652 29-19 2793 8478 6368 1512 6589 9796 5385 0199 7014 ■8838 6337 7193 4899 9925 'И 2368 0026 3449 4809 3980 6573 2949 7664 2146 3191 1516 5284 4533 1764 3937 8388 4986 9248 7010 5948 6318 6106 1023 3892 8568 2596 7245 6771 9357 2040 3915 1417 8366 2833 0310 4751 1333 3696 9968 0178 8807 0520 2884 7127 6121 6770 6060 7603 6533 1969 2613 4161 7061 1575 5318 0312 7406 3310 1289 5930 8792 5485 6655 1590 9122 7575 6632 2452 3736 5659 6494 2268 6356 5611 3539 5841 7645 2173 2070 3668 2040 7784 9748 2971 5901 5945 2760 80.15 6245 6667 2195 7012 1816 4378 5108 9128 5803 8314 4839 4212 4 2836 9025 4184 6224 3847 ' 9508 9070 3209 1959 4783 9374 7739 4279 4238 3926 2487 0911 8504 6743 3361 5583 5513 4035 2643 1903 7354 2555 3309 4741 9301 0431 7513 7080 8145 0260 1224 9066 2412 2452 4145 7173 8057 7008 6361 3033 5108 2421 7390 9450 6208 4948 0528 1022 6476 7104 0511 9126 8506 9203 4930 8415 4353 7174 0734 4961 9925 4915 3390 9443 5420 7475 6473 6593 8276 1574 4970 3108 ; 9344 0873 2966 4756 1160 5557 6355 8893 5453 2861 2940 7804 7369 8966 7183 2398 8205 9541 2891 0938 2512 4238 3052 > * 8493 2633 4528 0644 1810 4788 6206 2233 2001 5995 6103 3089 6909 9334 0683 9659 3287 4158 8663 3340 5753 7995 3546 9873 7613 3849 3393 6753 4729 0248 4506 2648 6179 8231 8654 9696 2346 1636 4513 .0582 6503 2070 3695 4690 6732 8292 5607 2529 0233 4210 8207 2736 1226 3614 2020 4350 1699 8260 5804 4194 9872 4991 9776 3869 0253 8204 3336 3735 5408 5540 3592 8010 0827 9796 4591 4894 5062 6486 1798 8489 3644 6464 0922 6403 5492 2861 7244 6966 0218 7541 1341 5013 4625 5711 3310 9768 0046 6572 7302 6860 49 ■Л "л Знамение функции и 0 1 2 3 Ф (и) = —у —- 4 У I J 5 6 е Таблица 2 du 7 8 9 Значения функции ( Р х 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 50 0,00000 03983 07926 11791 15542 19146 225?5 25804 28814 31594 34134 36433 38493 40320 41924 43319 44520 45543 46407 47128 - 47725 48214 48610 48928 49180 49379 49534 49653. 49744 49813 00399 04380 08317 12172 15910 19497 22907 26115 29103 31859 34375 36650 38686 40490 42073 43448 44630 45637 46485 47193 47778 48257 48645 48956 49202 49396 49547 49664 49752 49819 0,49865 49977499968 499997 49999997 00798 04776 08706 12552 16276 19847 23237 26424 29389 32121 34614 36864 38877 40658 42220 43574 44738 45728 46562 47257 47831 48300 48679 48983 49224 49413 49560 49674 49760 49825 01197 05172 09095 12930 16640 20194 23565 26730 29673 32381 34850 37076 39065 40824 43264 43699 44845 45818 46638 47320 47882 48341 48713 49010 49245 49430 49573 49683 49767 49831 3,1 49903 ' 49984 3,6 ■ 01595 05567 09483 13307 17003 20540 23891 27035 29955 32639 35083 37286 39251 40988 42507 43822 44950 45907 46712 47381 47932 48382 48745 49036 49266 49446 49585 49693 49774 49836 01994 05962 09871 13683 17364 20884 24215 27337 30234 32894 35314 37493 39435 41149 42647 43943 45050 45994 46784 47441 47982 48422 48778 49061 49286 49461 49598 49702 49781 49841 3,2 • 49931 3,7 49989 02392 06356 10257 14058 17724 21226 24537 27637 30511 33147 35543 37698 39617 41309 42786 44062 45154 46080 46856 47500 48030 48461 48809 49086 49305 49477 49609 49711 49788 49846 3,3 3,8 02790 06749 10642 14431 18082 21566 24857 27935 30785 33398 35769 37900 39796 41466 42922 44179 45254 46164 46926 47558 48077 48500 48840 49111 49324 49492 49621 49720 49795 49851 03188 07142 11026 14803 18439 21904 25175 ■28230 31057 33646 35993 38100 39973 41621 43056 44295 45352 46246 46995 47615 48124 49537 48870 49134 49343 49506 49632 49728 49801 49856 49952 49993 ■ 3,9 3,4 03586 07535 11409 15173 18793 22240 25490 28524 31327 33891 36214 38298 40147 41774 43189 44408 45449 46327 47062 47670 48169 48574 48899 49158 49361 49520 49643 49736 49807 49861 49966 49995 0,2 0,1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,904837 ■ 0,995321 0,999845 0,999996 1,000000 1,000000 1,000000 ] ,000000 1,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 17 18 !9 20 21 0,367879 0,735759 0,919699 0,981012 0,996340 0,999406 0,999958 ' 0,999990 0,999999 1,000000 0,818731 0,982477 0,998852 ' 0,999943 0,999998 1,000000 1,000000 1,000000 0,3 0,740818 0,963063 0,996390 0,999724 0,999974 0,999999 1,000000 1,000000 0,4 й) 0,5 0,670320 0,938448 0,992074 0,999224 0,999939 0,999996 1,000000 0,606531 0,909796 0,985612 0,998248 0,999828 0,999986 0,999999 1.000000 1,000000 - 1,5 2,0 2,5 3,0 0,223130 0,337825 0,808847 0,934358 0,981424 0,995544 0,999074 0,999820 0,999972 0,999996 0,999999 1,000000 0,135335 0,406006 0,676677 0,857124 0,947348 0,983437 0,995467 0,998904 0,999763 0,999954 0,999992 0,999999 1,000000 0,082085 0,287097 0,543823 0,757576 0,891178 0,957979 0,985813 0,995753 0,998860 0,999723 0,999938 0,999987 0,999998 1,000000 0,049787 0,199148 0,423190 0,647232 0,815263 0,916082 0,966491 0,988095 0,996196 0,998897 0,999707 0,999928 0,999983 0,999996 0,999999 1,000000 "Л е Таблица 2 <1и Т аблица 3 » 4 02392 1 06356 10257 14058 17724 21226 24537 27637 30511 33147 35543 37698 39617 41309 42786 44062 45154 46080 46856 47500 48030 48401 48809 49086 49305 ■19477 49609 49711 49786 49816 3,3 3,8 02790 03188 03586 06749 07142 07535 10642 11026 11409 14431 14803 15173 18082 18439 18793 21566 21904 22240 24857 25175 25490 27935 ■28230 28524 30785 31057 31327 33398 33646 33891 35769 35993 36214 37900 38100 38298 39796 39973 40147 41466 41621 41774 42922 43056 43189 44179 44295 44408 45254 45352 45449 46164 46246 46327 46926 46995 47062 47558 47615 47670 48077 48124 48169 48500 49537 48574 48840 48870 48899 49111 49134 49158 49324 49343 49361 49492 49506 49520 49621 49632 49643 49720 49728 49736 49795 49801 49807 49851 49856 49861 49952 49993 3,4 3,9 49966 49995 Значения функции (Р х k) = v ,v >• X 0 * 1 ' \ Х k 0,1 0,2 0,3 0,818731 0,982477 0,998852 0,999943 0,999998 1,000000 1.000000 1,000000 0,740818 0,963063 0,996390 0,999724 0,999974 0,999999 ' 1,000000 1,000000 0,4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 \ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,904837 • 0,995321 0,999845 0,999996 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,0 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 !9 20 21 0,367879 0,735759 0,919699 0,981012 0,996340 0,999406 0,999958 0,999990 0,999999 1,000000 0,670320 0,938448 0,992074 0,999224 0,999939 0,999996 1,000000 1,000000 0,606531 0,909796 0,985612 0,998248 0,999828 0,999986 0,999999 1,000000 1,5 2,0 2,5 3,0 0,223130 0,337825 0,808847 0,934358 0,981424 0,995544 0,999074 0,999820 0,999972 0,999996 0,999999 1,000000 0,135335 0,406006 0,676677 0,857124 0,947348 0,983437 0,995467 0,998904 0,999763 0,999954 0,999992 0,999999 1,000000 0,082085 0,287097 0,543823 0,757576 0,891178 0,957979 0,985813 0,995753 0,998860 0,999723 0,999938 0,999987 0,999998 1,000000 0,049787 0,199148 0,423190 0,647232 0,815263 0,916082 0,966491 0,988095 0,996196 0,998897 0,999707 0,999928 0,999983 0,999996 0,999999 1,000000 0,548812 0,878099 0,977885 0,997642 0,999606 0,999962 0,999997 1,000000 3,5 0,030197 0,135888 0,320847 0,536633 0,725445 0,857614 0,934712 0,973261 0,991226 0,996685 0,998981 0,999711 0,999924 0,999981 0,999996 0,999999 1,000000 0,496585 0,844195 0,965858 0,994246 0,999214 0,999909 0,999990 0,999998 1,000000 4,0 0,018316 0,091579 0,238105 0,433472 0,628839 0,785132 0,889326 0,818866 0,978636 0,991867 0,997159 0,999084 0,999726 0,999923 0,999979 0,999994 0,999998 0,999999 0,999999 0,999999 1,000000 0,449329 0,808792 0,952577 0,990920 0,998589 0,999816 0,999980 0,999999 1,000000 4,5 0,011109 0,061099 0,173578 0,342296 0,532104 0,702030 0,831051 0,913414 0,959743 0,982907 0,993331 0,991596 0,999195 0,999748 0,999926 0,999980 0,999995 0,999999 0,999999 0,999999 1,000000 0,406570 0,772483 0,937144 0,988542 0,997657 0,9999658 0,999958 0,999997 1,000000 5,0 0,006738 0,040428 0,124652 0,265026 0,440493 0,615960 0,762183 0,866628 0,931806 0,968172 0,986205 0,994547 0,997981 0,999202 0,999774 0,999931 0,999980 0,999994 0,999998 0,99999» 0,999999 1,000000 Продолжение табл. Таблица 2 и lO сп CN2?,OOC\|CDO^OOO^iOOOOOt^^COCOg?OOt'-'^CDC4CO^§<C72Cr>0^0 о сп 0,0 0,000 038 0,1 0,2 079 117 0,3 0,4 155 0,5 191 0,6 225 0,7 258 0,8 288 0,9 315 3 4 1; 1,0 364: 1,1 1,2 384! 4031 1,3 1,4 4191 1,5 4331 1,6 4451 4554 1,7 4640 1,8 4712 1,9 2,0 - 4772 4821 2,1 2,2 4861 2,3 4892 2,4 49181 2,5 4937! 2,6 4953' 2,7 4965; 2,8 4974' 2,9 4981; : г ^ с м с ч о с о ^ с о с о ^ с п о ^ — ю с п о о с о ю о ю о о о о а э с п о з с п о сл °? О О 0 СЧЮ - O t N i O O O O O N N l O N O O O C J J C n c n ^ S S . n i О р о о о — (М w ю г^- оо оог О ) сп q с л q q сп а з сп О ) o i ° ; а )к О ) q о _ o ' О o ' o ' О о " o ' о ” o ' CD о " CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD О О О o ' О О — о - ^ о —^юосоюг-юсоюооог-со^м^соазо 50 0,49865 49977 49996 49999 49999 Я? Я го с 0 С 0 О ^ О 0 0 Г - - Ю ' ^ ‘ С М С М С 0 а > Ю Г - 1 > - 0 0 С 0 Ю С П * - - - , ^ ^ О О X C O o o O tO O N O O N tD cD C O O O N C C lC O O O O O O W N ^ ^ O jO Й О )(М -с О Ю -'Ю - О С 0С 0О Ю Ю --;С 0С П Г^^^О О С П С П а5О ^^спо^спсоюсосчсооослоосмсососососпоазспспспстэо SOocON^iOGOC^intDTfO'tNCOCDOiaiCnaiOjOJ^^^O 2 о_ о о о - w со ю to 1^- 00 о сп сл сп сп о^сп сл р сп сл сп сп о^о^ 0 ~ CD о ' CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD О О О О — 1Па5-^ОСМСО^ —OOiONN'tO^OrtN'-OONN^^^OjO i G ’- l O C O C O C O r - c O ' ^ C M O O l ' - O C M ^ bGU - CоO O O wiO т ^оO C ШO O O ^ O^O aU^' X i 2 O N C 0 C D C 4 C 0 ________ C m r ) ' X 1 0_0 O ( M 0 0 N N<M C^ 4 r Jс о- C 0 N 5 ^СП 0 JО№ О^ CСП ^O О )a СП о C'j г. о- ~-v -T% __. /vs /-*,41 c г гd iI o ^ or r\ “41 —< сГ(“1о ГХ1 . _/ _~. 1 / w. . 3 5o 4i c o cr n o li n o c< 4 — о оГГЧ с пfTl с лг-т«,а ГТ1 5 с £T5 л оCD ^ O) ^ а fTi з с 2 S o —. т р е п е л — L O C H —' — О О С О С О О О С П С П О ^ О С П С П О О О ^ ^ О О § p _ o О О —1 СО - г Ю 1>- 0 0^ 00^ 0^ 05 СП СП 0 5 СП СП СП СП СП СП СП СП о о CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD О О О о —« ^ -N iC C JC D lO C nr-C O C JO C n 'tLO O C N -’ O iq t -Г N Q - N O ^ ^ O ^ о ю ^ о этю —< сосп осо ю со со^ оз^ - с п о о с о ^ о ^ о о ^ N ( M —■ О 0 O )^ !N N C O ^ N C O O (N O C O O 3 O 3 ® ^ ^ O S^OOXN-OO’t-H.^tMONOOCniOCOOiCnOlOlOjOJ^WO SOcqLOCOTtNiMtONCDiMiONOOCnOO^CTigjcnOjOl^^O § p _ o о -и см со iq со h oo q q q q cn 0)r q q q q q q 0 1 w o^ 0 ~ CD o ' O CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD-CD CD CD CD CD CD CD CD О О О — О Ю со" r\ j Ю CO lO * 0 0 *—« ■'З* —* CD О О О СО СМ СО - —1 t"~ СП Ю lO Ю СО О О О -J СПСОСООО — — СПСЛГ^тОООСОСП-^СОСОЮ сОСПСПОд^О O t M c O N C оi Nо N O с Oо -г ^^ L^ O O з Cс O S ^ ^ ^ ^ с ч о о сN л O о ^' '—t о ^ оO с Cл о ^ с^ л Cо nс лg сj ^л Sс пS р > < 0 ( М О О Г - О ^ С П ( М С О О ^ - Г - О О С П С П С П С П С П С П СП СЛ СП СП 0 5 О о О О О — 1 C O - r f L O t ' ' - 00^ СП О ^ СП О СП СП^ О СП СП СЛ^ СП СП СП СП с п р _ ,—Г о o ' CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD •—< fO C D C D O < N -^ 0 0 C 0 i--O C 0 O ^ O O C )C n 0 3 i0 C n ® O C N c f H Q N ' t C 4 L 0 N 0 0 c 0 C 4 l ' ' O ' ^ ,t N M , v 0 0 C n a 3 q C l o C M O O O C O O i O t ^ i O C O — ■— с л с л о о о ю с о с п с л с л с л с л с э - H - n - i c o a c D w - - N « c D c o i M N c o a ) 0 3 G ) o a ) 0 ) 5 0 Q —, ^ + - _ o i c o < M r ^ c n t ^ c o c o G O c n o c n c n o c n c n o o o o о О о — CN СО Ю CO_ 00 О СП СП 0 5 СП СП СП СП СП СП СП^ СП СП о ^ о ' CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD CD C D —’ аз< м ою оо — ^ — с п г - о о 5сосм о — ЮСОСЧ^-СОООО о «О N iO N O iO O O O O O C O N O O O N N O C n cM ^O O C n cn gjgO ^tHC005CMOC0C005<MOCvDCn — C O C 0 ^ 0 0 0 5 C n g 5 0 0 5 0 5 0 СЧ1Г'------- - ---- Ю Ю С О С О Ь С О Ь О З - —' С О С 0 0 5 0 5 С П С П С П 0 5 0 3 0 5 0 o * — c o i o o o ’t o ’t ' t — ю ь с п с п с п с п а з с з с п о з с п а з д з о O O O ' - ' O l ' t c D N O O О С Л СП с леп СП СП СП СП^СП 03^ СП 05_.cn р о " CD о 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 S lO ю О о " о " о " О о " О О О О О О О CD CD CD CD CD CD CD ' 1 N .^ c o c j)o o c n c m o N c o o 3 (M a )io -O N N L o a o OOCDNC3 — '-С О О О Ю С М ^ — ' t ' - , O O C C )C 0 0 5 C n O О ю с о с о ю с п о ^ - с о с м 1^ о ю с о ^ о о с п с п с п с п о CD 00 — N O O ( D 0 5 t C D t c n i n G 0 0 5 C n 0 5 C n c n a ) 0 0(MOOOW(N00005^N00 05 a50)0505050)050 о о о CM CO LO СО 00 ОО^ 05 СП р СП СП СП СП СП СЛ_ 05^ СП CDr о ' О О о o ' CD О О о " О о CD CD CD CD CD CD CD CD CD —• ’ n -(NCO^lCCDhC0 05 0 - WCO^lOCON00030--WCO^in(0r400 ■■■■■■■■■■■к. Таблица 4 П р одолж ен и е табл. 3 10 k 12 14 . 16 Значение функции 18 к 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 £0 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 0,000045 0,000499 0,002769 0,010336 0,029253 ' 0,067086 0,130141 0,220221 0,332820 0,457930 0,583040 0,696776 0,791556 0,864464 0,916542 0,951260 0,972958 0,985722 0,992813 0,996546 0,998412 0,999300 0,999704 0,999880 0,999953 0,999982 0,99999.4 0,999998 0,999999 1,000000 0,000004 0,000080 0,000522 0,002292 0,007600 0,020341 0,045822 0,089504 0,155028 0,242392 0,347229 0,461597 0,575965 0,681536 0,772025 0,844416 0,898709 0,937034 0,962583 0,978720 0,988402 0,993935 0,996953 0,998527 0,999314 0,999692 0,999867 0,999944 0,999973 0,999991 0,999997 0,999999 1,000000 0,000001 0,000012 0,000094 0,000474 0,001805 0,005532 0,014228 0,031620 0,062055 0,109399 0,175681 0,260040 0,358458 0,464448 0,570437 0,669460 0,755918 0,827201 0,882643 0,923495 0,952092 0,971156 0,983288 0,990672 0,994980 0,997392 0,998691 0,999365 0,999702 0,999864 0,999940 0,999974 0,999989 0,999996 0,999998 0,999999 1,000000 ' 0,000000 0,000002 0,000016 0,000093 0,000400 0,001384 0,004006 0,010000 0,021987 0,053298 0,077396 0,126993 0,193122 0,274511 0,367527 0,466745 0,565962 0,659344 0,743349 0,812249 0,868168 0,910773 0,941759 0,963314 0,977685 0,986881 0,992541 0,995895 0,997811 0,998869 0,999433 0,999724 0,999869 0,999940 0,999973 0,999988 0,999995 0,999998 0,999999 1,0.00000 е~х 0,000000 0,000000 0,000003 0,000018 0,000084 0,000324 0,001043 0,002893 0,007056 0,015381 0,030366 0,054887 0,091669 0,142598 0,208077 0,286653 0,375050 0,468648 0,562245 0,650916 0,730720 0,799124 0,855090 0,898890 0,931740 0,955392 0,971766 0,982682 0,989700 0,994056 0,996667 0,998187 0,999040 0,999506 0,999752 0,999872 0,999942 0,999973 0,999988 0,999995 0,999998 0,999999 1,000000 0,00 0,01 02 03 04 05 06 07 08 09 0,10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0,20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 0,30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 е-х X 1,000 0,990 980 970 961 951 942 932 923 914 0,905 896 887 878 869 861 852 844 835 827 0,819 811 803 795 787 779 771 763 756 748 0,741 733 726 719 712 705 698 691 684 677 0,40 0,41 42 43 44 45 46 47 48 49 0,50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 0,60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 0,70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 52 X е~х 0,670 0,664 657 650 644 638 631 625 619 613 0,606 600 595 589 583 577 571 565 560 554 0,549 543 538 533 527 522 517 512 507 502 0,497 492 487 482 477 472 468 463 458 454 X 0,80 0,81 82 83 84 85 86 87 88 89 0,90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 е~х X 3,00 0,449 3,10 0,445 3,20 440 3,30 436 432 3,40 3,50 427 3,60 423 3,70 419 3,80 415 3,90 411 4,00 0,407 403 . 4,10 399 4,20 4,30 395 4,40 391 387 4,50 4,60 383 4,70 379 4,80 375 4,90 372 ■ 5,00 0,368 5,10 333 5,20 302 5,30 273 5,40 247 5,50 223 5,60 202 5,70 183 5,80 165 5,90 150 6,00 0,135 6,10 122 6,20 111 6,30 100 6,40 0,091 6,50 82 6,60 74 6,70 67 6,80 61 6,90 55 7,00 е~х 0,050 0,045 41 37 33 30 27 25 22 20 0,0183 166 150 136 123 111 101 0,0091 " 82 74 0,0067 61 55 50 45 41 37 33 30 27 0,0025 22 20 18 17 15 14 12 11 10 0,0009 00 СЧ1^- со ] 00, 00 СЧ^гр^ СО— СПСОСОСП«XX—,Г- ^ 00 СО^ООСО00 СОГ^СЧ^СО■ —1ЮСПСОt'— О СОСО00 о <МгР CD of — of t"~ С ПО of СО*o' СОоо СП—ГСЧгр**lO со" 00 оГ О о сГ — ,— -‘04C4C4C4C4C4COCOCOCOCOcO'^'':PrprprprpTpLoioiOLOLOiDiO гр—гр00 С П— «00 -Я. СО,СЧО СХ>гр — СЧ СЧN —^С£) о ^ оо (NСОО) СО.СОО СОсо о СОЮО) СПСП— COlDCOOOO-— ' СО’t С Оh- O ')О Сч"СОгр СОГ"-О С То " '— *со"гр^lo"h-Гоо"сгГо" ' *“•— — — CV| С^| см СЧСОСОСОСОСОСОСОгргргргргртргргГЮ о о С Ч о о — СЧг р Г ^ . СПСОСЧС' - ОО °Ч°Ч'’"Я-°Я. ^ — „f'C L ^ > DС ПС О С £>Осо NОСО^ОСОР^СП—rpt^O ЮNО ) С ОЮС О00^оГ— "С Ч *грдсГсОоо"С Г)—С ч"со"ю"со"|>ГСГ)"о"— < "сч"гр"1о"со"оо" •СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСОСОСОСОСОСОСО^^Г+.Т^^ТГ’^ грспсчо>р'- спь- ■ — ' сч — - оо соС ПO O ^ -^ fОIDО L DО ^ С О ^ С О0,гр Г^О ^СОС О С П—гр С ПС ЧгрР'- С П С О«О00 со Iо сп — •сч счгрlld d"с со ооо" оооГ• — " 1с сч" ч"со" сою"с со" сГt!> -■ -""о со" с"о"— "'с сч" ч"со" со"lo ю"со" со"tC Р «-"о оо" оо"— i''"сч"со’ —I —«—' —« —<—I — СЧСЧсч СЧСЧСЧСЧСОСОСОСОСОггл С О^ со ^ С Огргргргр —"ОСЧООгрт^сЧСОООСПООЮ- о о* NOlflNPj ООС О ,С ОС ПС Ч ^> D00—С О ^ Ю 00^0 С ЧгрС О00 ОС Ч*3“С ОГ ~ ~ -С П• — 1С О С ЧгрС Оt-»С 7 >ОС ЧС ОгрlOС -."ооС П—сч"со"гр"со"Г-"оо"С По"сч'со" ю"со"Г-"С По" о С Ч о" со^СЧ_СОСП^СЧЮ00, О СЧ^гр^СОоо, СП—^COLOCOOOO>OC4COrpCDt''-00050—СЧ — СОгр LOР-Г00 СП— сч"со" гр"ю" со" оо"СПО —" сч"со"ю" со"1^гО ССп"о " —" сч"Гр"щ"со" — — — ^<CV| СЧ| CVI CNI CNI с м ССЧ| CNI со с о со 00 с о с о — -> — — — — - —'СЧ СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСОСОСОСОСОСОСОСОгр г Р С Ч г Р С П С П С О О С О г Р г Р С О — ' оо ю — . С О Д Е Р Ж А НИЕ Стр. III. Методы теории вероятностей и математической статистики. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Понятие о случайных явлениях . . . . . Событие и в е р о я т н о с т ь ............................................................... Основные теоремы теории вероятностей Случайные величины и их характеристики Задачи математической статистики . . . . Установление необходимого объема наблюдений Сбор и обработка статистических данных Статистическое исследование результатов наблюдений Определение средней весовой нормы грузовых поездов IV. Основные положения теории массового обслуживания 1 2 6 9 13 16 19 32 36 •-Г г-. — со оо со со оо сч со оо о —' СЧСЧСЧСЧ'—1 о, ^ со, с» о СЧ,,сою со СПо - •СЧ.СОГР LOСОГ- 00 СПСПО —1сч сч со ^ ю ю —СЧСОгрсо" Р- 00 СПо"— сч" Гр"LOсо" Р-"оо"СПо"— "сч" со" Гр"со" I---"оо"СПо"—сч" со" —— — — — — _ о о СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСОСОСОСО ю со lOOONCOiniOiOrprp’t-sprfTfrpTfT+'TpTf^Tt ^СО^СОСО'СОСОСОСОСО.СОСОСОСОСОСОСОСО,СОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСОСО о —' сч со1rj< ю '.о n х л о" —" сч*4со" гр"lo" со"t-'-"со" сп" о" —" сч"со" гр "ю" со" р^-"оо" оГ ,—, — I ,—, — , — cvj o q O-l CV| CM CM Osl CNI ОС СО гр ГГ —(MOOCONCOCnNLOCOCOO.|iMC4COrpLONOOOC4^P ^ сч^О, оо^COLOСО,СЧ,—^о OV00 СОLO^Гр СОСЧ•——' О СПа 00 СОСОю о• — •сч со со грlq" со с^ -"оо"сп"сп"о" — Гсч" со" гр"ю"со" h-Tсо" сп"сп" о" сч" со гр"ю" 1. Общие п о н я т и я ................................................................................. 2. Элементы систем массового обслуживания и их основные характеристики ................................................................................. 3. Классификация систем массового обслуживания 4. Простейший п о т о к ......................................................................... 5. Показатели качества функционирования систем массового обслуживания ........................................... ........ . . , 6. Расчет оптимального числа маневровых локомотивов и вы ­ тяж ек формирования в сортировочном парке Литература ^ с о Ю СП О ^ О гРгРГ'-СЧСП О О О О СП — ^ ' CO :N- ЮО С ОС ЧО 0 —СП СО гРСЧ ^ о,С О ,со,С5 00^L O ,С О ,—С П00^С О ,гр_СО,— ^ 00^ грС О ^ —О ^С ПО0 N С ОЮТ о —— ГС Чсосо"гр“ю"со"со" со" С По"— "С ЧС ч"со"Гр"iОсо"Г"-~О ОООоГо"—Сч"со' о С П o' ю С П о" 00 05 о" 2 — 1гргро O^°2S2'7!^322cr5t^c0000 гР-С ПLO-iOOCOlOrprprplOCONO^-'rpt^ ^C^lOО СО^СЧ^ООгр— ^ооL OСО<D:t^LOСОО 00СОгрС М О 00 СОгрСЧ— . СПГ- СО ° О О — —Гсч"СЧ*4со" Гр"гр"ю" со" Г-" t^-"оо" СПо " о " — сч"со" Гр" Гр"ю" со" fC оо"оо" СПСО Q с о СЧ ’—I ю ю 0 ° Ь 2 Г ЧТ,,С2 Г^ 0^ СЧ,ГРООСОСП1>-СОСОГ-.СП — LOOTrpcnLO—'ООЮСО—<05 ^^.СО t^CO 05 ID сч^оо^ю^сч^сп со^со —^00^Юсо, CDоо^СО^со • —|СП гр ° о о о —’ —сч сч"со" со" гр"ю" lo" со* г^-"t^-"оо" СПо"о"—<"СЧ*4со" со" Гр"lo" со"со" оо" Q О ЮСПСЧГр ГР S ^ 00 СЧ.о СОСОСОСОСО—.00 СОГ^- 00 — СО— Г-гРСЧОСПСПО — СЧЮ^----- Q-0, — „rp„t>—L Dо IDC D C D ^ — ^1^(0 СПСО^СЧ^0)^10СЧСПУ ЭСЧ.СПt^rP —00 ЮС О О О О О —— СЧСЧсо со" Гр"Гр"LDld" со"t"-"t^-"00* СПСП"о"—— "Сч"С Огр"гр"ю"со" § О ID Р- Гр СЧО) СО О ^ ’-2 ^ S ^5 1° ^---- '-со СО— — СЧСОС Оо Г р О ODСЧО 00 С Осо ID см ЮОО^СЧсо.О ЮОЮ.— ЮСЧ^ОО^гр о СО.СЧ0 5 ^ СЧ^00^LD^СЧ00 ЮСЧСП ° О О О о" О —— "cvf сч" со" со" гр"гр"ю"ю"СО"Г^Т1^ -"со" оо" СПо" о" — "Сч"Сч"со" гр"гр" СЧ СО Г р I о с о 00 СП О - -C4C0rpLDC0r-~00cnO—С ЧСОГРЮ СОГ— ОО СП О 4 ’— ' -— 1’— 1 ' ’— 1'— ■’— •C SJсмсмС М < М смС М смС М С М со Приложения 38 39 40 42 44 ................................................................................................ 48 ........................................................................................................ 49 . Владимир Александрович Кудрявцев, Евгений Макарович Жуковский, Юрий Иванович Ефименко, Анатолий Павлович Романов, Владимир Михайлович Семенов П Р И МЕ Н Е Н И Е МАТ Е МА Т ИЧ Е СК ИХ МЕ Т О Д О В В Э КСПЛУАТ АЦИОННЫХ РАСЧЕТАХ НА Ж Е Л Е З Н О Д О Р О Ж Н О М Т Р А Н С ПО Р Т Е Редактор Т. Н. Г у сева Сдано в набор 8 -V II 1976 г. Уел. печ. л. 3,3. Уч.-изд. л. 2,7. Бумага для мцож. апп. Корректор Т. В. Г р ач ева Подписано к печати 2 1 -IX 1977 г. Заказ 465. Тираж 400. Цена 9 коп. Формат бумаги 60x84'/i6- Типография Л И И Ж Та. Ленинград, Московский пр., 9