Б ИЛЕТ 1
1)многоугольник - геометрическая фигура на плоскости, представляющая собой три или более точек
последовательно соединённые прямыми линиями
Выпуклый многоугольник – многоугольник, лежащий по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две
соседние вершины.
Вершина – общая точка двух смежных сторон.
Сторона – отрезки из которых состоят многоугольник.
Диагональ – отрезок, соединяющий любые 2 не соседние вершины.
Дано: a||b
{A1;A2;A3;A4} э а
A1B1 || A2B2||A3B3 ..
{B1;B2..B4} э b
Док-ть: B1B2=B2B3=B3B4..
Доказательство
1)A1A2B1B2-параллелограмм по определению
2)по сво-ву => A1A2=B1B2
3)аналогично A1A2=B1B2= A2A3= B2B3… =>B1B2 = B2B3..
Дано: a||b
A1A2= A2A3
Док-ть: B1B2 = B2B3
Доказательство
1)проведем через B1 LllL1
2) L ∩A1B2= C; L ∩ A3B3=D
Т.к. A1A2= A2A3 , то B1С=СD
3)Аналогично B2B3 = B3B4
3)Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
4)Средняя линия треугольника парал. Одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Б ИЛЕТ 2
1)Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположенные стороны попарно параллельны.
2)Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники
подобны по I признаку.
Дано: ∆ABC; ∆A1B1C1
A= A1
B= B1
Док-ть: ∆ABC ≈ ∆A1B1C1
Доказательство
1)С=180-B-A
C1=180- B1 - A1 – по теореме о сумме углов в ∆
=>C=C1
2)т.к. A= A1 и С= С1, то
𝑆 ABC
𝑆A1B1C1
=
𝐴𝐵∗𝐴𝐶
A1B1∗A1C1
и
𝑆 ABC
=
𝐶𝐴∗𝐶𝐵
𝑆A1B1C1 C1A1∗C1B1
=>
AB
=
BC
;
BC
A1B1 B1C1 B1C1
=
𝐶𝐴
=> ∆ABC ≈ ∆A1B1C1
C1A1
3)a.углы прилежащие к каждому из оснований равнобедренной трапеции равны
б.диагонали равны
в.если продолжить стороны до пересечения, то вместе с большим основанием они образуют равноб.
треугольник
г.диагонали точкой пересечения делятся пополам
д.ось симметрии параллельна к ее основанию.
4)высоты (или их продолжение) любого треугольника пересекаются в одной точке.
Б ИЛЕТ 3
1)Трапецией называют четырехугольник у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.
Параллельные стороны-основания, две другие - боковые стороны. Трапеция равнобедренна, если ее боковые
стороны равны; трапеция, один из углов которой прямой - прямоугольна.
2)
Дано: ∆ABC
С=90
а,b – катеты
с- гипотенуза
Док-ть: с2=а2+b2
Доказательство
1)достроим до квадрата со стороной a+b
2)S кВ = (а+b)2= а2+2ab + b2
3)Sкв = 4S∆abc + Sкв; S= с2; т.к ∆ равноб. 4S∆ = 4*1/2 ab =2ab
4) а2+2ab + b 2=2ab+ с2
а2+ b 2= с2
3)Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
4)Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на 2 части в отношении 2:1, считая от
вершины. Медиана разбивает треугольник на 2 треуг. одинаковой площадью. Весь треугольник своими медианами
разделяется на 6 равновеликих труугольника.
Б ИЛЕТ 4
1)Прямоугольник-параллелограмм, у которого все углы прямые.
2)если 2 стороны одного ∆ пропорциональны 2 сторонам другого ∆ и угол, заключенный между сторонами равны, то
эти треугольники подобны по II признаку.
Дано: ∆ABC; ∆A1B1C1
AB
A1B1
=
AC
A1C1
A= A1
Док-ть:
Доказательство
1)построим ∆ABC2 : 1=А; 2=B
2) рассмотрим ∆ABC2≈ ∆A1B1C1(I признак)
1=А= A1; 2= B1
3)значит: =
AC2
;
A1C1
Но по условию:
AB
=
BC2
;
A1B1 BC1
AB
A1B1
=
AС
=>
A1С1
AB
=
AC2
A1С1 A1C1
=>AC=AC2
4) ∆ABC=∆ABC2 (AB-общая; AC= AC2; A=1, т.к. A= A1 , 1= A1) => B=2, т.к. B1=2, то В= B1=> ∆ABC ≈ ∆A1B1C1
3) а. если в четырехугольнике две стороны равны и II, то это параллелограмм.
б. если в четырехугольнике противоположенные стороны попарно равны, то это парал.
в. Если в четыр. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это парал.
4)каждая точка, лежащая внутри угла и равноудал. От сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Б ИЛЕТ 5
1)Ромб-параллелограмм, у которого все стороны равны.
2)
Дано:A1A2A3…An – выпуклый многоугольник
n-кол-во вершин
n>3
Доказать: ∑ A1+ A2+… An=(n-2)*180
Доказательство:
1)проведем диагональ А1А3… А1 An-1
2)значит кол-во ∆ в A1A2A3…An=n-2
3) ∑ углов в ∆ = 180 => углов в A1A2A3…An =(n-2)*180
3)около любого ∆ можно описать окружность
4) биссектриса угла делит противоположенную сторону в отношении равному отношению двух прилежащих сторон.
Б ИЛЕТ 6
1)Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны.
2)отношение площадей подобных ∆ равно квадрату коэф. подобия.
Дано: ∆ABC ≈ ∆A1B1C1
AB
=
BC
AC
=
=k
A1B1 B1C1 A1C1
А= А1; B= B1; C=C1
𝑆
Доказать: =k2
𝑆1
Доказательство:
𝑆
1)т.к. А= А1, то =
𝐴𝐵∗𝐴𝐶
𝑆1 A1B1∗A1C1
, но
AB
= k;
A1B1
AC
=k
A1C1
𝑆
2)значит =k*k= k2
𝑆1
3) средняя линия трапеции параллельна основанию и равна их полусумме.
4)если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольники
прямоугольны.
Б ИЛЕТ 7
1)Фигура симметрична относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно
прямой а также принадлежит этой фигуре.
2) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой,
проходящие через эту точку и центр окружности.
Дано: окр.(o;r)
A э окр(o;r)
AB, AC-касательные
Доказать: AB=AC
3=4
Доказательство:
1)построим ОВ перпенд. АВ; ОС перпенд. АС – по свойству касательной
2) рассмотрим ∆ВОА = ∆СОА (по гипот. и катету)
В=С=90; ОА - гипотенуза; ВО=СО=r – катетыты
3)из равенства ∆: АВ=АС; 3=4
3)диагонали прямоугольника равны.
4) сумма углов треугольника равна 180.
Б ИЛЕТ 8
1.
2.
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей
точка относительно точки О также принадлежит данной фигуре.
Дано: АВСD - ромб
Найти: S ромба
Решение:
1.
2.
3.
SBCD=1/2CO*BD=1/2*d1/2*d2=(d1*d2)/4
SABD=(d1*d2)/4
S ромба = (d1*d2)/2
3.
Равные многоугольники имеют равные площади.
Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих
многоугольников.
4.
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу,
то она является касательной.
Б ИЛЕТ 9
1.
Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.
Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть AB/CD.
Говорят, что отрезки AB и СD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если
2.
AB/A1B1=CD/C1D1
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники
подобны.
Дано: ABC, A1B1C1 – треугольники
AB/A1B1=BC/B1C1=AC/A1C1
Док-ть: ABC = A1B1C1
Доказательство:
1. Рассм. ABC2 A1B1C1
3.
4.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два
треугольника, подобные исходному.
Высота проведенная из прямого угла делит гипотенузу в отношении 1/2.
Б ИЛЕТ 10
1.
2.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного
треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
1 случай.
Дано: ABC – вписанный угол, окр (О,r), ОэBC
Доказать:ABC = 1/2 дуги AC
Доказательство:
1.
2.
Проведем ОА, получим AOC – центр. Угол
Расс. ABO : OB=OA=r => угол1=углу 2 (по признаку равноб. Треуг.)
Угол 3 – внешний для тр ABO; угол 3= угол 1+ угол 2 => 2угла 1; угол 1=1/2 угла 3
Вывод: ABC = 1/2 дуги AC
2 случай.
Дано: окр.(О;r) ABC – вписанный; ОэABC
Доказать: ABC= 1/2 дуги АС
Доказательство:
1.
2.
Достроим OB; OB ∩ окр.(О;r) = Д
ABC = ABD+CBD
ABD = 1/2 дуги AD (случай 1)
DBC = 1/2 дуги DC (случай 1)
ABC = 1/2 дуги AD + 1/2 DC=1/2 AC
3 случай.
Дано: окр (О;r) ABC – вписанный, ОэABC
Доказать: ABC= 1/2 дуги AC
Доказательство:
1.
2.
Достроим ОВ, ОВ ∩ окр. ( О, r ) = D
ABC = ABD+DBC
ABD= 1/2 дуги AD (случай 1)
Dbc= 1/2 дуги DC (случай 1)
ABC=1/2 дуги AD – 1/2 дуги DC = 1/2 дуги AC
3. Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. В любом вписанном четырехугольнике
сумма противоположных углов 180. Если сумма противоположенных углов четырехугольника равна 180, то
около него можно описать окружность.
4. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
Б ИЛЕТ 11
1.
2.
Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Дано: S – площадь ABC, AB – основание.
CH – высота
Доказать: S = 1/2 AB*CH
Доказательство:
1.
2.
Достроим ABC до параллелограмма ABDC.
ABC = DCB (по 3 признаку)
BC – общая
AB = CD, AC = BD (Противопол. стороны пар-ма)
3.
Из рав-ва треугольников, следует S ABC = S DCB
Значит, S = 1/2 AB*CH
3. В любой треугольник можно вписать окружность.
4. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то
прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180, то прямые параллельны.
Б ИЛЕТ 12
1.
2.
Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Дано: ABCD – пар-м. AD – основание.
BH, CK – высоты
Доказать: S = AD*BH
Доказательство:
1.
2.
ABCD = S
S ABCK = S ABCD+S DCK , но S ABCK = S HBCK+S ABH
DCK=ABH (по гипотенузе и острому углу)
AB=CD, как противоположенные стороны пар-ма
Угол 1 =углу 2, как соответст. углы при пересеч. параллельных прямых AB и CD секущей AD
Значит, S DCK=S ABH
3.
Следовательно, S ABCD = S HBCK, то есть HBCK = S, но S прям. = BC*BH
Т.к BC=AD, то S=AD*BH
3. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать
окружность.
4.
а
30
45
60
sin
0.5
√2/2
√3/2
cos
√3/2
√2/2
0.5
tg
√3/3
1
√3
Б ИЛЕТ 13
1.
Синус острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к
гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к
гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к
прилежащему.
2.
1: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:
Дано: ABC – равноб. треугольник, BC – основание
Доказать: угол B = углу C
Доказательство:
1.AD – биссектриса ABC
2.ABD=ACD(по первому признаку)
AB=AC, по условию
AD – общая сторона
Угол 1= углу 2, по определению биссектриса
3. Из рав-ва треугольников:
угол B= углу C
2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Дано: ABC – равноб. треугольник, BC – основание
AD – биссектриса
Доказать: AD – медиана и высота
Доказательство:
1. ABD=ACD(по первому признаку)
AB=AC, по условию
AD – общая сторона
Угол 1= углу 2, по определению биссектриса
2. Из рав-ва треугольников:
BD=DC, следовательно AD - медиана
Угол 3= углу 4, т.к углы смежные и равны друг другу, следовательно они прямые
Значит AD - высота
3.
4.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Б ИЛЕТ 14
1.
2.
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их
общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Дано: ABCD – трапеция, AD, BC – основания, BH -
высота.
Доказать: S = 1/2 (AD + BC)*BH
Доказательство:
1.
2.
3.
Строим диагональ BD
S ABCD= S ABD+ S BCD
S ABD= 1/2 AD*BH, S BCD= 1/2 BC*DH1
DH1=BH, то S BCD = 1/2 BC*BH
4.
Значит, S = 1/2 AD*BH+1/2 BC*BH=1/2 (AD+BC)*BH
3. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка, перпендикулярен к нему и любая точка,
взятая на нем равноудалена от концов отрезка, через который проходит этот перпендикуляр.
4. В любом треугольники биссектрисы пересекаются в одной точке. В равнобедренном треугольнике
биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Б ИЛЕТ 15
1.
Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности и сторонами пересекающими ее.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.
2.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Дано: ABC – равноб. треугольник, BC – основание
AD – биссектриса
Доказать: AD – медиана и высота
Доказательство:
1. ABD=ACD(по первому признаку)
AB=AC, по условию
AD – общая сторона
Угол 1= углу 2, по определению биссектриса
2. Из рав-ва треугольников:
BD=DC, следовательно AD - медиана
Угол 3= углу 4, т.к углы смежные и равны друг другу, следовательно они прямые
Значит AD – высота
3.
4.
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. В любом вписанном четырехугольнике
сумма противоположных углов 180. Если сумма противоположенных углов четырехугольника равна 180, то
около него можно описать окружность.
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
