Решение задания С4 на ЕГЭ по математике. Планиметрическая

Предлагаю Вам попробовать решить задачи аналогичные заданию С4 из единого
государственного экзамена. Напомню, что задача считается решенной, если найдены все её решения
и даны обоснования всех использованных утверждений. Обратите внимание, что многие из задач
имеют более одного решения.
В конце текста приводятся различные интересные и полезные факты элементарной геометрии.
На первое время их можно использовать в качестве шпаргалки, ну а дальнейшем стоит выучить и
просто знать.
Для первого раза предлагаю Вам самостоятельно решить несколько задач. В дальнейшем
обсудим решение этих задач. Удачи.
4 блок.
Планиметрические задачи
1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна c и ABC = α. Найдите все медианы в
этом треугольнике.
sin 𝑨𝑩𝑴
1
𝑩𝑪
2. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что
= . Найдите отношение .
sin 𝑪𝑩𝑴
2
𝑨𝑩
3. В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон,
пересекаются по углом 600, а их длины относятся как 1:3. Чему равна меньшая диагональ
четырехугольника ABCD, если большая сторона равна √39?
4. Найдите площадь трапеции с основаниями 13 и 18 и боковыми сторонами 3 и 4.
5. Стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен 60 0. Найдите биссектрису
треугольника, проведенную из вершины этого угла.
6. В треугольнике ABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F.
Известно, что площадь треугольника DEF равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.
7. Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке C. Прямая касается этих
окружностей в различных точках A и B соответственно. Найдите угол AO2B, если известно, что
1
𝒕𝒈𝑨𝑩𝑪 = 2.
8. На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их
общую хорду, если катеты равны 3 и 4.
С п и с о к
п о л е з н ы х
ф а к т о в