Первый шаг в науку

ISSN 2311-4568 (Print) ISSN 2617-2623 (Online) ЦЕНТР МОЛОДЕЖНЫХ ИННОВАЦИЙ ЛАБОРАТОРИЯ ИНТЕЛЛЕКТА ПЕРВЫЙ ШАГ В НАУКУ Сборник научных статей учащейся молодежи Основан в 2012 году ВЫПУСК №16 В трех частях Часть 3 Минск «Лаборатория интеллекта» 2019 УДК 001.3 (045) ББК 72я43 П26 Сборник содержит научные статьи, отражающие результаты научных исследований учащейся молодежи Республики Беларусь. Все материалы представлены в авторской редакции. © ООО «Лаборатория интеллекта», 2019 АВСИЕВИЧ А. С. СОЗДАНИЕ AI В ИГРАХ С ПОМОЩЬЮ BLENDER 3D .................................................. 6 АЛЕТУРОВИЧ Е. В. ЗАЧЕМ НУЖНА «ЙЦУКЕН»? ................................................................................................. 8 САВОСТИКОВА Е. Д. НАНОТЕХНОЛОГИИ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ В БЕЛАРУСИ ................................................................ 12 ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА БИНДЕЙ Д. В. МОДЕЛЬ ВЕТРОГЕНЕРАТОРА . ......................................................................................... 16 ВОЛЧКЕВИЧ А. А. КРЕДИТЫ ГЛАЗАМИ ШЕСТИКЛАССНИКА, ИЛИ ЗАВИСИМОСТЬ БЮДЖЕТА СЕМЬИ ОТ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ БАНКОВСКОГО КРЕДИТА ............................................ 20 ГОРБАТЕНКО А. А. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ . ....................... 22 ГОРОЩИК В. А. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКОВ .............................................................. 24 ДОРОНКИН МЕХИЯ Н. И., ЖУЛЬЯНОВ Р. С. ИНВЕРСИЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ОКРУЖНОСТЬ» .................................................. 27 ДОРОШЕНКО В. В. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ ВАРИНЬОНА ................................................................................... 35 ЗОНТОВА Н. В. АНАЛИЗ ЭКОНОМНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭНЕРГОРЕСУРСОВ ПРИ ЕЖЕНЕДЕЛЬНОЙ УБОРКЕ В КВАРТИРЕ ............................................................. 39 КОРОТКЕВИЧ М. Д. ИЗУЧАЕМ PASCALABC.NET: РОБОТ . .............................................................................. 43 ЛОЙКО М. А. МОДЕЛЬ ДВИГАТЕЛЯ СТИРЛИНГА ................................................................................ 48 МИХАСЁВ Р. Н. ПЛОЩАДКА ДЛЯ УСТНОГО СЧЕТА В ЭЛЕКТРОННОЙ ТАБЛИЦЕ EXCEL ................................................................................ 51 ОЛЕХНОВИЧ К. С. ГАЛЬВАНИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ . ........................................................................................ 56 СЕМАШКО С. А. «КЛЕЙ «LE COLLE»» ............................................................................................................. 59 СКОРАЯ К. В. ЭКОНОМИЯ СВЕТОДИОДНЫХ ЛАМП: ПРАВДА ИЛИ МИФ? .................................. 64 ТРОФИМОВИЧ Т. А. ИЗУЧЕНИЕ ФОТОМЕТРИИ .................................................................................................. 67 ХОМЕНКО М. А. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НЕСТАНДАРТНОГО ХАРАКТЕРА . ..................................... 76 ШАВЛИНСКИЙ Д. А., ДРУГАКОВ А. Е. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ АРХИМЕДОВОЙ СИЛЫ ........................................ 85 3 СОДЕРЖАНИЕ │ CONTENT │ ЗМЕСТ ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ │ TECHNICAL SCIENCES │ ТЭХНІЧНЫЯ НАВУКІ │ ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ │ TECHNICAL SCIENCES │ ТЭХНІЧНЫЯ НАВУКІ ТЭХНІЧНЫЯ НАВУКІ │ TECHNICAL SCIENCES │ ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ го. для исследований. AI в играх может принимать разные формы в зависимости от потребностей создаваемой игры – от простых наборов правил для управляемых компьютером объектов до более совершенных адаптивных систем. Применение принципов AI в играх необходимо для повышения правдоподобности АВСИЕВИЧ А. С. виртуальных персонажей, созданных в электронной развлекательной Государственное учреждение образования «Средняя школа № 21 г. Витебска» программе. Научный руководитель – Михалочкина О. М., учитель информатики СОЗДАНИЕдесятилетия AI В ИГРАХ С компьютерные ПОМОЩЬЮ BLENDER Последние игры 3D сделали гигантский скачок в развитии. При создании игр сегодня используют управляемый компьютером Аннотация. Искусственный интеллект (AI) – многогранная и сложная область для исследований. AI винтеллект играх может принимать разные формы в зависимости потребностей соз- задача, искусственный (AI). Создать хороший AI в от играх сложная даваемой игры – от простых наборов правил для управляемых компьютером объектов до ведь AIболее должен заставлять играть совершенно. В нашей работе рассмотрены совершенных адаптивных систем. Применение принципов AI в играх необходимо для повышения правдоподобности виртуальных персонажей,AI созданных в электронной развлеосновные принципы AI, а также этапы создания с помощью Blender 3D. кательной программе. На простейшем уровне «искусственный интеллект» заключается в моделировании или имитации поведения других игроков или объектов (то есть Последние десятилетия компьютерные игры сделали гигантский скачок в развивсех элементов игры,игркоторые могут действовать или с которыми тии. При создании сегодня используют управляемый компьютером искусствен- может ный интеллект (AI). Создать хороший AI в играх сложная задача, ведь AI задействовать игрок, – от ракет до аптечек), представляемых должен искусственным ставлять играть совершенно. В нашей работе рассмотрены основные принципы AI, интеллектом. Основной принцип состоит в том, что это поведение а также этапы создания AI с помощью Blender 3D. имитируется. Другими уровне словами, AI для игр является более в«искусственным», На простейшем «искусственный интеллект» заключается моделировании или имитации поведения других игроков или объектов (то есть всех нежели «интеллектом». Система AI может быть крайне проста элементов и представлять игры, которые могут действовать или с которыми может действовать игрок, – от ракет собой набор правил или же может быть довольно сложной и выполнять роль до аптечек), представляемых искусственным интеллектом. Основной принцип состопротивника, с которым предстоит сражаться игроку. ит в том, что это поведение имитируется. Другими словами, AI для игр является более «искусственным», нежели «интеллектом». Система AI может быть крайне проста Результатом проделанной работы является игра, которая была создана в и представлять собой набор правил или же может быть довольно сложной и выполBlender нять 3D.роль Данным проектом тестируется AI в играх. Создана карта для AI, по противника, с которым предстоит сражаться игроку. которой онРезультатом может ориентироваться и передвигаться в нужную проделанной работы является игра, которая была создана в точку. Blender Далее 3D. Данным проектом тестируется AI в играх. Создана карта для AI, по которой он обводится преградой для игрока в виде стен. Игрок может двигаться в 4 может ориентироваться и передвигаться в нужную точку. Далее обводится преградой направлениях. цель достичь «Желтойв 4зоны», не попадаясь AI, который для игрокаЕго в виде стен.–Игрок может двигаться направлениях. Его цель – достичь «Желтой зоны»,игрока. не попадаясь который будет«Желтой преследовать игрока. При достибудет преследовать ПриAI, достижении зоны» уровень считается жении «Желтой зоны» уровень считается пройденным. Игрок представлен зелёной пройденным. Игрок представлен зелёной сферой, AI - красным кубом. сферой, AI – красным кубом. Этапы работы надпроектом. проектом. Первоначально был создан небольшой Этапы работы над Первоначально был создан небольшой лабиринт. лабиринт. Рис.1 Лабиринт Лабиринт Далее реализация самого игрокаРис.в1 виде зеленоватой сферы и логика Далее реализация самого игрока в виде зеленоватой сферы и логика для него. Рис. 2. Игрок Рис. 2. Игрок Затем был добавлен противник (AI) 6и логика для него. Как элемент и ыла придумана «Жёлтая зона», которая нужна для прохождения уровня. Затем был добавлен противник (AI) и логика для него. Как элемент игры была придумана «Жёлтая зона», которая нужна для прохождения уровня. Следующим этапом было создание навигационной сетки, которая необходима для ориентирования AI (противника). Разноцветные полигоны нужны для визуального определения наличия ошибок, в случае искривления или сжатия проблема будет видна сразу же. Позже в игру было добавлено стартовое меню и «проигрышный Экран». Заключительным этапом было создание платформы для логичного завершения уровня. При достижении «Жёлтой зоны» игрок поднимается на платформе вверх, скрываясь из вида. Интерфейс игры Управление: W – движение вперёд; A – движение налево; S – движение назад; D – движение направо; R – рестарт; Esc – выход. Данной работой тестируется AI в играх. На простом примере показана реализация AI c помощью программы Blender 3D. AI в играх – это набор программных методик, которые используются в компьютерных играх для создания иллюзии интеллекта в поведении персонажей, управляемых компьютером. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Хронистер, Дж. Основы Blender. – 4-е издание / HighSchool. – 2011. 2. Прахов, А. Самоучитель Blender 2.6 / BHV. – 2012. – 400 c. 3. Иванов, В. П., Батраков, А. С. Трёхмерная компьютерная графика / Под ред. Г. М. Полищука. – М.: 1995. – 224 с. AVSIEVICH A. S. State Educational Establishment «Secondary school № 21, Vitebsk» CREATING AI IN BLENDER 3D GAMES Summary. Artificial Intelligence (AI) is a multifaceted and complex field of research. AI in games can take different forms depending on the needs of the game being created – from simple rule settings for computer-controlled objects to more advanced adaptive systems. Application of the principles of AI in games is necessary to increase the credibility of virtual characters created in electronic entertainment programmes. 7 ТЭХНІЧНЫЯ НАВУКІ │ TECHNICAL SCIENCES │ ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ АЛЕТУРОВИЧ Е. В. Государственное учреждение образования «Средняя школа № 16 г. Лиды» Научный руководитель – Шелевер Л. В., учитель информатики ЗАЧЕМ НУЖНА «ЙЦУКЕН»? Аннотация. При работе с клавиатурой для ввода текста обычно пользуются так называемый слепым десятипальцевым методом. В работе описано создание клавиатуры с альтернативной русской раскладкой; произведены замеры скорости набора русского текста на клавиатурах с различными раскладками и проанализированы результаты, на основании которых можно сделать вывод о том, что скорость набора зависит не от возраста пользователя, а от частоты использования компьютера для набора текстов. Введение В настоящее время персональный компьютер всё больше и больше входит в жизнь людей. Сотни миллионов людей каждый день пишут письма, служебные записки, статьи, романы, общаются в Интернете при помощи компьютера. При этом ввод текстовой информации в компьютер осуществляется с помощью клавиатуры. При работе с клавиатурой для ввода текста обычно пользуются так называемым слепым десятипальцевым методом, т.е. каждая клавиша на клавиатуре закреплена за определенным пальцем руки, тем самым пользователь набирает текст, не глядя на клавиатуру. Когда в первый раз я сел за компьютер и начал вводить текст, то столкнулся с тем, что мне было трудно найти нужную букву на клавиатуре. Однако я заметил, что со временем мои пальцы немного привыкли к такому странному расположению букв. Но всё-таки я продолжал думать над тем, почему же буквы на клавиатуре расположены не по алфавиту, а разбросаны в беспорядке. Цель исследования: найти ответ на вопрос: «Зачем понадобилось так неудобно устраивать клавиатуру?» Гипотеза: расположение букв на клавиатуре зависит от частоты их употребления в разных текстах. Цель и гипотеза исследования определили постановку следующих задач: 1. Изучить историю возникновения современной раскладки клавиатуры. 2. Изучить принципы расположения букв на существующих вариантах раскладок клавиатур. 3. Создать клавиатуры с альтернативной русской раскладкой. 4. Произвести замеры скорости набора русского текста на клавиатурах с различными раскладками и проанализировать результаты. 5. Сформулировать рекомендации при работе на клавиатуре компьютера. Методы исследования: сбор, изучение, анализ, обобщение экспериментального и теоретического материала. Основная часть Для проведения эксперимента необходимо определить состав участников и набор необходимых инструментов. В качестве участников эксперимента мы выбрали представителей различных возрастных групп с различным опытом работы с клавиатурой. Условно всех участников можно разделить на три группы: ученики 6 классов (5 чел.), ученики 8 классов (5 чел.), взрослые, профессия которых связана с работой на компьютере (2 чел.). В качестве инструмента нам необходимы были нестандартные клавиатуры. Таких в продаже в нашем городе, конечно же, нет. Тогда мы решили изготовить их сами, переставив клавиши на обычных клавиатурах в нужном нам порядке (рис. 1). Но здесь мы столкнулись с такой проблемой: изображение буквы на клавише не соответствовало изображению буквы на экране монитора. Это затрудняло отслеживание правильности набора текста. Тогда мы выяснили, что существует бесплатная программа Microsoft Keyboard Layout Creator 1.4 [3] компании Microsoft, которая позволяет создать любую раскладку и установить ее на компьютер (рис. 2). 8 клавиатуры. Таких в продаже в нашем городе, конечно же, нет. Тогда мы решили изготовить их сами, переставив клавиши на обычных клавиатурах в нужном нам порядке (рис.1). 1 Создание экспериментальных клавиатур Рис. 1Рис. Создание экспериментальных клавиатур Но здесь мы столкнулись с такой проблемой: изображение буквы на клавише не соответствовало изображению буквы на экране монитора. Это затрудняло отслеживание правильности набора текста. Тогда мы выяснили, что существует бесплатная программа Microsoft Keyboard Layout Creator 1.4 [3] компании Microsoft, которая позволяет создать любую раскладку и установить ее на компьютер (рис. 2). Рис. 2 Программа Microsoft Keyboard Layout Creator 2 Программа Microsoft Keyboard Layout Creator Рис. 2 Рис. Программа Microsoft Keyboard Layout Creator В качестве образца текста выбрали отрывок из специальной книги по В качестве образца текста выбрали отрывок из специальной книги по обучению В качестве образца текста выбрали отрывок из специальной книги по обучению десятипальцевому методу печати на компьютере [1, с. 26]. Мы десятипальцевому методу печати на компьютере [1, с. 26]. Мы проанализировали проанализировали этот текст с точки зрения средней частоты встречаемости обучениюэтот десятипальцевому методучастоты печати на компьютере [1, с. 26]. текст с точки зрения средней встречаемости букв. Как выяснилось из Мы букв. Как выяснилось из соответствующей литературы [4], в разных видах соответствующей [4], в разных видах текста частота встречаемости тех проанализировали этот литературы текст с точки частоты встречаемости текста частота встречаемости тех зрения или иныхсредней букв может отличаться. В или иных букв может отличаться. В подобранном нами тексте мы подсчитали частоты букв. Каквстречаемости выяснилось из тексте соответствующей литературы [4], вбукв. разных подобранном нами мы подсчитали частоты встречаемости Они видах букв. Они оказались близки к средним показателям. Таким образом, оказались близки к средним показателям. Таким образом, данный текст стал текста частота встречаемости тех иныхэксперимента. букв может отличаться. В данный текст стал подходящим для или проведения подходящим для проведения эксперимента. участнику эксперимента было предложено набрать один и тот же текст Они подобранномКаждому нами тексте мы подсчитали частоты встречаемости букв. Каждому участнику эксперимента было предложено набрать один и тот на клавиатурах с разной раскладкой: с традиционной ЙЦУКЕН, с раскладкой по алоказалисьфавиту близки показателям. Такимс традиционной образом, данный стал же тексткнасредним клавиатурах с разной раскладкой: ЙЦУКЕН,текст с АБВГД и с раскладкой Диктор. Набор текста на разных раскладках один и тот раскладкой по алфавиту АБВГД и с раскладкой Диктор. Набор текста на подходящим для проведения эксперимента. же участник выполнял с определенным промежутком времени (в разные дни). Кажразных раскладках один и тот же участник выполнял с определенным дый раз участнику мы засекали время набора текста. Скорость набора мы набрать определяли следу-и тот Каждому эксперимента один промежутком времени (в разные дни). было Каждыйпредложено раз мы засекали время набора ющим способом: подсчитывали количество символов в отрывке текста, разделив его текста. Скорость набора мы определяли следующим способом: подсчитывали же текст на навремя клавиатурах с разной раскладкой: с традиционной ЙЦУКЕН, с набора в секундах и умножил на 60. В итоге получилась скорость набора количество символов в отрывке текста, разделив его на время набора в раскладкой по алфавиту в симв/мин (рис. 3). АБВГД и с раскладкой Диктор. Набор текста на секундах и умножил на 60. В итоге получилась скорость набора в симв/мин разных раскладках один и тот же участник выполнял с определенным (рис. 3). промежутком времени (в разные дни). Каждый раз мы засекали время набора текста. Скорость набора мы определяли следующим способом: подсчитывали количество символов в отрывке текста, разделив его на время набора в секундах и умножил на 60. В итоге получилась скорость набора в симв/мин (рис. 3). 6 класс 8класс взрослые Рис. 3 Анализ скорости набора текста Рис. 3 Анализ скорости набора текста Сравнивая данные, полученные в ходе эксперимента, мы пришли к следующим выводам:  самая высокая скорость набора у всех участников была достигнута, 9 конечно, при использовании традиционной раскладки ЙЦУКЕН. Это Сравнивая данные, полученные в ходе эксперимента, мы пришли к следующим выводам: • самая высокая скорость набора у всех участников была достигнута, конечно, при использовании традиционной раскладки ЙЦУКЕН. Это объясняется нашей привычкой к такому расположению букв и определенной степенью удобства; • самая низкая скорость набора у большинства участников была достигнута при использовании раскладки АБВГД. Несмотря на то, что алфавитный порядок знаком нам с детства, в повседневной жизни мы им редко пользуемся. Поэтому нет смысла располагать буквы на клавиатуре таким образом. Тем более участники эксперимента отмечали, что набирать текст с помощью такой клавиатуры сложнее: больше устает левая рука. Действительно, большинство часто встречающихся букв в этом случае расположено слева; • скорость набора на раскладке Диктор тоже низкая, но в большинстве случаев выше, чем на раскладке АБВГД. Значит, имеет смысл учитывать частоту встречаемости букв и их сочетаний при создании клавиатурной раскладки. Таким образом, скорость набора текста зависит не только от привычки, но и от расположения клавиш на клавиатуре. В принципе каждый пользователь может разработать свою раскладку клавиатуры. Но для удобства работы с таким устройством необходимо учитывать частоту встречаемости букв и их сочетаний в тексте. Это не так-то просто и необходимы серьезные исследования. Саму клавиатуру сделать не сложно. Программное обеспечение для такой клавиатуры можно разработать с помощью программы Microsoft Keyboard Layout Creator. Клавиши можно переставить или использовать наклейки на клавиши. При работе на компьютере необходимо соблюдать определенный ритм, равномерно выполнять удары по клавишам. Лишь в этом случае можно добиться высокой скорости печати. Заключение В результате проведенного исследования было подтверждено предположение о том, что скорость набора текста зависит от удобного расположения клавиш на клавиатуре и выработки привычки использования определенной раскладки. Цель исследования была достигнута в процессе решения поставленных нами задач. Выполнение первой и второй задачи позволило нам узнать о существующих раскладках и истории их возникновения. Мы выяснили, что при создании клавиатурной раскладки учитывается не только частота встречаемости отдельных букв в тексте, но и частота встречаемости сочетаний двух и более букв. Также для ускорения набора текста должны быть задействованы все пальцы. При этом каждый палец должен «отвечать» за определенную группу клавиш клавиатуры. При выполнении третьей задачи были созданы две непривычные для большинства пользователей клавиатуры. Мы не просто переставили клавиши, но и подготовили специальное программное обеспечение работы этих клавиатур. На этом этапе мы пришли к выводу, что каждый в состоянии переоборудовать клавиатуру компьютера по своему усмотрению. При тестировании экспериментальных клавиатур нам удалось выяснить, что скорость набора текста хотя бы немного, но все-таки выше при использовании клавиатуры, кнопки которой расположены с учетом частоты встречаемости букв и их сочетаний. Также важную роль играет привычка. В ходе эксперимента мы выяснили, что скорость набора зависит не от возраста пользователя, а от частоты использования компьютера для набора текстов. Значит, для увеличения скорости печати необходимы постоянные тренировки. Результатом выполнения пятой задачи стали советы по работе с компьютерной клавиатурой. Все они сводятся к соблюдению правильной посадки при работе и освоению десятипальцевого метода печати. Кроме того, в процессе мы познакомились с новыми для нас программами: Microsoft Excel, которая позволяет производить вычисления и строить диаграммы и графики; Microsoft Keyboard Layout Creator, которая служит для создания клавиатурных раскладок. 10 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Андрианов, В. И. Десятипальцевый метод печати на компьютере / В. И. Андрианов. – СПб.: Питер, 2008. – 64 с. 2. http://ru.wikipedia.org/wiki/Раскладка_клавиатуры. 3. http://www.microsoft.com/downloads/en/confirmation.aspx?FamilyId=8BE579AA-780D-42539E0A-E17E51DB2223&displaylang=en – Microsoft Keyboard Layout Creator 1.4 4. http://www.statsoft.ru/home/portal/exchange/textanalysis.htm – Анализ текстов 5. http://klavogonki.ru/profile/161570/blog/post221 – Разработка оптимальной раскладки. ALETUROVICH E. State educational institution «Secondary school № 16 of Lida» Scientific supervisor – Shelever L., IT-teacher WHY DO I NEED «QWERTY»? Summary. When working with a keyboard, the so-called blind ten-finger method is usually used to enter text. The paper describes the creation of a keyboard with an alternative Russian layout; measurements were made of the speed of typing Russian text on keyboards with different layouts and the results were analyzed, based on which we can conclude that typing speed does not depend on the age of the user, but on the frequency of use of the computer for typing. 11 ТЭХНІЧНЫЯ НАВУКІ │ TECHNICAL SCIENCES │ ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ САВОСТИКОВА Е. Д. Государственное учреждение образования «Средняя школа № 2 г. Быхова» Научный руководитель – Богомаз Т. В., учитель информатики и математики НАНОТЕХНОЛОГИИ НА СОВРЕМЕННОМ ЭТАПЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ В БЕЛАРУСИ Аннотация. В данной работе представлено исследование нанотехнологий на современном этапе, а также перспективы развития этой науки в Беларуси. Рассмотрены возможности применения наночастиц, их эффективность использования в медицине, дактилоскопии, промышленности. Представлены отечественные исследования лауреатов Государственной премии Республики Беларусь в области науки и техники, а также ученых ведущих ВУЗов страны. Введение. В настоящее время термин «нанотехнология» очень популярен. Нанотехнологии оперируют величинами порядка нанометра. Нанометр – это величина, которая очень мала, ее размер можно сравнить с атомом. Таким образом, нанотехнологии работают уже не с самим веществом, а с его составными частицами – атомами. Современные ученые научились не только их видеть, но и управлять ими. Нанотехнология – достаточно молодая наука и поэтому основные открытия, предсказываемые в этой области, пока не сделаны. Вместе с тем, активно проводятся исследования, которые уже дают практические результаты. В будущем нанотехнологии приведут к сокращению материало- и энергозатрат. Наглядным примером служит развитие электроники, в частности развитие электронно-вычислительных машин. Первые ЭВМ были настолько велики, что занимали целые здания. Вскоре они стали помещаться в одной комнате. На сегодняшний день компьютер умещается на столе пользователя и даже в его руке. Нанотехнологии позволят продолжить процесс миниатюризации материального мира, доведя его до уровня атома и молекулы. Основная часть. Основателем наночастиц можно считать древнегреческого философа Демокрита Абдерского. Именно он около 400 г. до н.э. впервые использовал слово «атом», что в переводе с греческого языка означает «нераскалываемый», описывая при этом самую малую частицу вещества. Первое упоминание о методах, которые впоследствии будут названы нанотехнологией, было сделано в 1959 году американским физиком Ричардом Фейнманом в его лекции в Калифорнийском технологическом институте «Там, внизу, полно места». Он говорил «о проблеме управления и контроля за телами в малых масштабах», предположил, что возможно перемещать атомы отдельно, механически, при помощи манипулятора соответствующих размеров [1]. Одним из основных вопросов, решаемых нанотехнологией, является разработка способов самоорганизации молекул, с целью получения новых веществ, материалов, устройств. Самой гуманной областью применения нанотехнологий является медицина. Уже созданы и успешно используются импланты искусственных клапанов сердца, качество которых значительно превосходит качество и ресурсы обычных сердечных клапанов. Их внедрение пациенту не несет отрицательных последствий со стороны иммунной системы, в связи с чем человеку не нужно постоянно принимать препараты, подавляющие иммунитет. Нанотехнологии также широко используются в качестве протезов костных тканей и суставов. Такое протезирование превосходит обычные протезы по качеству, их ресурсу работы, прочности. Качество жизни пациентов значительно улучшается, после установки таких суставов практически не происходит их отторжения в связи с высокой биологической совместимостью [2]. Внедрение нанотехнологий в медицинскую диагностику позволяет выявлять заболевания на ранней стадии и своевременно приступить к лечению пациентов. Уже 12 сегодня белорусскими учеными-нанотехнологами создан противоопухолевый медицинский препарат на основе наночастиц благородных металлов. Лауреаты Государственной премии Республики Беларусь разработали технологию использования нанокристаллов для иммунного анализа, который позволяет диагностировать каждую клетку организма, определять здорова она или больна. Для быстрого анализа клеток используются различные цвета нанокристаллов. С целью диагностики клеток в онкологии используют различные органические красители, которые отличаются нестабильностью. В отличие от них, нанокристаллы могут светиться часами, что позволяет видеть зараженные клетки и их распространение в организме. Это способствует развитию технологии сверхчувствительной диагностики, позволяющей выявлять заболевания на ранних стадиях, увеличивая тем самым шансы пациентов на выздоровление. Маленькие частицы кремния, так называемые «золотые наночастицы», после введения их в злокачественную опухоль и воздействия лазера, способны определять и разрушать раковые клетки. Успешно проведенные тесты при карциноме демонстрируют главное преимущество новой технологии при лечении раковых опухолей без хирургических операций, а только с помощью лазерного излучения. Наночастицы не наносят вреда здоровым органам и тканям человека. И именно благодаря этому появится возможность лечить онкологические заболевания, а также метастазы, которые трудно определимы обычной диагностикой. Анатолий Лесникович, Михаил Артемьев, Олег Ивашкевич – лауреаты Государственной премии Республики Беларусь в области науки и техники. На основе микрои наночастиц эти ученые создали более ста неорганических соединений, которые широко применяются в различных областях науки и техники. Под руководством академика Анатолия Лесниковича в ходе научных исследований была разработана специальная технология получения нанопорошков, которые широко используются в дактилоскопии при работе экспертов-криминалистов. Кроме этого на основе наноматериалов, были созданы антифрикционные присадки к маслам, которые способствуют существенному уменьшению износа трущихся деталей, используемых на предприятиях. В Беларуси активно ведутся работы в области нанотехнологий в высших учебных заведениях страны: Белорусский Государственный университет, Белорусский национальный технический университет, Белорусский Государственный университет информатики и радиоэлектроники, Гродненский Государственный университет. В будущем в результате изобретения новых типов двигателей, транспорта, топливных элементов, наноэнергетика сделает более чистой экологическую ситуацию. Будет сформирована новая экономика на основе нанотехнологий и нанопродуктов. Нанотехнологические устройства заменят электронно-вычислительные машины, нанопромышленность займет лидирующие позиции [3]. Именно благодаря работе с атомами и молекулами уже в ближайшее время нанотехнологии будут способствовать жизни людей во всех сферах деятельности. Нанотехнологии изменят медицину, электронику, энергетику, промышленность и другие отрасли. Воздействие нанотехнологий на жизнь всего человечества приобретет всеобщий характер, изменит не только экономику, но и затронет все стороны жизни людей: быт, работу, социальные отношений. Благодаря нанотехнологиям появится возможность получать больше благ с наименьшими финансовыми затратами, постоянно повышать уровень и качество жизни. Заключение. Подводя итоги проведенной работы, можно сделать выводы, что результаты развития нанотехнологий изменят окружающий мир до неузнаваемости, будут применяться во всех отраслях: от производства лекарств, одежды, предметов быта до авиа- и ракетостроения. Уделяя значительное внимание отрасли нанотехнологий как приоритетному направлению в развитии науки и техники, будет происходить сохранение и развитие человеческого капитала – основного носителя генетического, культурного и технологического наследия человечества. 13 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Лучинин В. В. Введение в индустрию наносистем // «Нано- и микросистемная техника». – 2005. – № 5. – С. 2–10. 2. Нанометр. Нанотехнологическое сообщество [Электронный ресурс]. Режим доступа : http://www.nanometer.ru/. Дата доступа : 23.09.2019. 3. Методолог. Изобретательские задачи и методы их решения [Электронный ресурс]. Режим доступа : https://metodolog.ru/node/862/. Дата доступа : 23.09.2019. SAVOSTIKOVA E. D. State institution of education «Secondary school No. 2 of Bykhov» Scientific supervisor – Bogomaz T., teacher of computer science and mathematics NANOTECHNOLOGIES AT THE PRESENT STAGE AND DEVELOPMENT PROSPECTS IN BELARUS Summary. This paper presents a study of nanotechnology at the present stage, as well as the prospects for the development of this science in Belarus. The possibilities of using nanoparticles, their effectiveness in medicine, fingerprinting, and industry are examined. Domestic studies of the laureates of the State Prize of the Republic of Belarus in the field of science and technology, as well as scientists from leading universities of the country are presented. 14 │ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА БИНДЕЙ Д. В. ГУО «Средняя школа № 38 г. Гродно» Научный руководитель – Дягель А. Н., учитель физики МОДЕЛЬ ВЕТРОГЕНЕРАТОРА Аннотация. Статья посвящена рассмотрению альтернативных источников энергии. В статье рассматривается создание и определение характеристик мини-модели ветрогенератора. Выводы и содержание работы могут быть использованы на уроках физики, во внеклассной работе, при написании научных работ учащихся. Введение. Наша планета обладает ограниченными запасами не возобновляемых источников энергии. Кроме того, выброс вредных веществ при преобразовании ископаемых энергоносителей привел к мировому экологическому кризису. Технологии будущего ученые очень тесно связывают с альтернативными, экологически чистыми источниками энергии. Одним из таких неисчерпаемым источником является ветер. Тема использования альтернативных источников энергии актуальна и отражена в ряде работ [1, 2] и Интернет-ресурсов [3]. Актуальность темы заключается в проблеме исчерпаемости природных ресурсов и ухудшении экологии Земли. Размышляя над тем, какой источник энергии выбрать для создания модели вырабатывающей электроэнергию, мы пришли к выводу, что это будет ветер. Энергия ветра – это возобновляемый и экологически чистый источник энергии. Цель проекта: создание модели ветрогенератора. Для достижения поставленной цели предполагается решить следующие задачи: 1. изучить литературу по теме; 2. изучить различные виды ветрогенераторов; 3. создать модель ветрогенератора. Объект исследования: энергия – её источники и потребители. Предмет исследования: неисчерпаемый источник энергии – ветер. При написании работы использовались следующие методы: метод анализа, сравнения, моделирования и измерения.  Контроллер оценивает силу тока и напряжения, сравнивая её с Основная часть. аналогичными показателями батареи аккумулятора, на которые поступает Ветрогенератор – это устройство, которое преобразовывает кинетическую энергию ветраэнергия. в электрическую. Конструктивно ветрогенератор представляет собой: геневыработанная ратор, лопасти и поворотное устройство.  Накопленная проходит через инвертор, который Ветрогенераторыэнергия бывают: вертикальные, парусные, горизонтальные. преобразует ток до нужных показателей локальной сети [4]. Рисунок 1 – Принцип работы ветряной турбины Рисунок 1 – Принцип работы ветряной турбины К основным компонентам системы, без которых работа ветряка невозможна, относят следующие элементы:1) Двигатель – необходим для 16 выработки переменного тока. Сила тока и напряжение генератора зависит от скорости и стабильности ветра. 2) Лопасти – приводят в движение вал Механизм генерации преобразования выглядит следующим образом: • Вращающиеся под силой ветра лопасти, приводят в движение ротор электродвигателя. • Двигатель вырабатывает переменный ток, поступающий на контроллер. Рисунок 1 – Принцип работы ветряной турбины • Контроллер оценивает силу тока и напряжения, сравнивая её с аналогичными К основным системы, которых работа ветряка показателями компонентам батареи аккумулятора, на которые без поступает выработанная энергия. • Накопленная энергия проходит через инвертор, который преобразует ток до для невозможна, относят следующие элементы:1) Двигатель – необходим нужных показателей локальной сети [4]. выработки переменного тока. Сила тока и напряжение генератора зависит от К основным компонентам системы, без которых работа ветряка невозможна, отскорости иносят стабильности ветра.1) Двигатель 2) Лопасти – приводят в переменного движение вал следующие элементы: – необходим для выработки тока. Сила тока и напряжение генератора зависит от скорости и стабильности ветра. генератора благодаря кинетической энергии ветра [5]. Лопасти можно делать 2) Лопасти – приводят в движение вал генератора благодаря кинетической энергии различной ветра формы. Я можно создала используются [5]. Лопасти делатьконструкцию, различной формы. где Я создала конструкцию, гделопасти искрыльчатого типа с горизонтальной осью вращения. Именно этот Именно тип ветряного пользуются лопасти крыльчатого типа с горизонтальной осью вращения. этот ветряного двигателя имеет максимальный коэффициент использования ветра при двигателя тип имеет максимальный коэффициент использования ветра при минимальном расходе материалов. минимальномНа расходе материалов. первом этапе работы была разработана схема макета ветрогенератора. На первом этапе работы была разработана схема макета ветрогенератора. Рисунок 2 –2 –Схема макетаветрогенератора ветрогенератора Рисунок Схема макета Затем приступила непосредственно к разработке самого ветрогенератора Затем приступила непосредственно к разработке самоговетрогенератора ветрогенератора и со-были и составных частей макета. Для создания корпуса ставных частей макета. Для создания корпуса ветрогенератора были разработаны разработаны модели составных 3D3D модели составных частей: частей: Рисунок 1 – лопасти ветрогенератора; Рисунок 1 – лопасти ветрогенератора; Рисунок 2 – соединительная муфта; РисунокРисунок 2 – соединительная муфта; 3 – корпус двигателя; РисунокРисунок 3 – корпус двигателя; 4 – стойка ветрогенератора; Рисунок 5 – флюгер; Рисунок 4 –5 стойка ветрогенератора; Рисунок – флюгер; Рисунок 6 – макет станции. Рисунок 6 – макет станции. Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3 Рисунок 4 Рисунок 5 Рисунок 6 Рисунок 3Dмодели модели составных частей Рисунок 3 3– –3D составных частей Все составляющие были распечатаны на 3D принтере и в последующем собраны. 17 Рисунок Рисунок 5 5 Рисунок Рисунок 6 6 Рисунок – 3D модели составных частей Рисунок 3 –3 3D модели составных частей Все составляющие были распечатаны на принтере в последующем Все составляющие были распечатаны напринтере 3D3D принтере и ви последующем Все составляющие были распечатаны на 3D и в последующем собраны. собраны. собраны. Рисунок 4 – Модель ветрогенератора Рисунок – Модель ветрогенератора Рисунок 4 –4 Модель ветрогенератора Рисунок 5 – Преобразование энергии Рисунок энергии Рисунок 55 –– Преобразование Преобразование энергии ветра в электрическую ветра в электрическую ветра в электрическую Созданная ветрогенератора вырабатывает напряжение Созданнаямной мноймини-модель мини-модель ветрогенератора вырабатывает напряжение 1,5 В и мощность станции составляет 0,22 Вт. Эти значения малы 1,5 В и мощность станции составляет 0,22 Вт. Эти значения малыдлядля применения в вмной быту, нонопараметры модели увеличить. В Вчастности, Созданная мини-модель ветрогенератора вырабатывает напряжение 1,5 В применения быту, параметры моделиможно можно увеличить. частности, можно увеличить диаметр площадь лопастей, материал из из которого иможно мощность станции составляет 0,22 Вт. Эти значения малы для применения в быту, увеличить диаметрротора, ротора, площадь лопастей, материал которого но параметры модели можно увеличить. В частности, можномачту, увеличить диаметр росделаны лопасти, установить ветрогенератор нана высокую чтобы поток сделаны лопасти, установить ветрогенератор высокую мачту, чтобы поток тора, площадь лопастей, материал из которого сделаны лопасти, установить ветровоздуха и его скорость были больше, тем самым увеличить мощность воздуха и его скорость были больше, тем самым увеличить мощность генератор на высокую мачту, чтобы поток воздуха и его скорость были больше, тем установки. установки. самым увеличить мощность установки. Заключение. Заключение. Заключение. ВВ результате работы было что размеры результате быловыявлено, выявлено, чтоветрогенератора размерыветрогенератора ветрогенератора В результате работыработы было выявлено, что размеры необязательнеобязательно должны поражать воображение своей грандиозностью. необязательно должны поражать воображение своей грандиозностью. но должны поражать воображение своей грандиозностью. Вырабатывать ток может и небольшая установка, созданная из мелких деталей. Данная установка может стать наглядным учебным пособием на уроках физики при изучении темы «Альтернативные источники энергии». Также при выполнении работы были определены преимущества и недостатки данной мини-модели: Преимущества: 1. Отсутствие загрязнения окружающей среды – производство энергии из ветра не приводит к выбросам вредных веществ в атмосферу или образованию отходов. 2. Использование возобновляемого, неисчерпаемого источника энергии, экономия на топливе, на процессе его добычи и транспортировки. 3. Практически бесшумна. Недостатки: 1. Низкая производительность. 2. Производство электроэнергии зависит от силы ветра, на которую человек не может повлиять. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Германович, В. Е., Альтернативные источники энергии и энергосбережение. Практические конструкции по использованию энергии ветра, солнца, воды, земли, биомассы / В. Е. Германович, А. И. Турилин. – СПб: Наука и Техника, 2014. – 320 с. 2. Власов, С. И., Нетрадиционные источники энергии / С. И. Власов, Д. А. Толипов. – Ташкент. НУУз., 2013. – 294 с. 3. Виды электродвигателей. [Электронный ресурс] // Альтернативная энергия. – режим доступа: https://engineering-solutions.ru › motorcontrol › motor . – Дата доступа: 11.09.2019. 4. Харитонов, В. П. Автономные ветроэлектрические установки / В. П. Харитонов. – Москва, 2006. – 275 с. 5. Руденко Б. П. Подбирающие ветер / Б. П. Руденко // Наука и жизнь. – Москва, 2005. – Вып. 11 – С. 12–15. 18 BINDEY D. Secondary school № 38 of Grodno Scientific supervisor – Diagel A. N., teacher of physics WIND TURBINE MODEL Summary. The article is devoted to the current topic: alternative energy sources. The author writes about the problem of exhaustion of natural resources and the deterioration of ecology on the Earth. The work is of undoubted interest, as it shows that the use of alternative energy sources can help replace the use of non-renewable resources. The work is able to stimulate students ‘ interest in studying the prospects of using renewable alternative energy sources. The conclusions and content of the work can be used in physics lessons, in extracurricular activities, when writing scientific papers of students. 19 ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА ВОЛЧКЕВИЧ А. А. Государственное учреждение образования «Средняя школа № 4 г. Волковыска» Научный руководитель – Маринина А. В., учитель математики КРЕДИТЫ ГЛАЗАМИ ШЕСТИКЛАССНИКА, ИЛИ ЗАВИСИМОСТЬ БЮДЖЕТА СЕМЬИ ОТ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ БАНКОВСКОГО КРЕДИТА Аннотация. В данной статье рассматривается понятие «кредит», влияние его на семейный бюджет, на возможность получения дополнительных средств для расширения своего дела или приобретения чего-либо дорогостоящего. Введение. Первые формы кредитов и процентов имели натуральный характер. Крестьянин занимал один мешок зерна, а возвращал полтора или два. Таким образом, кредит опередил появление и денег, и рыночного хозяйства. Цель работы: определить отношение шестиклассников к осознанию понятия «Кредит», выяснить, как влечёт за собой изменение процентной ставки по кредиту на семейный бюджет. Гипотеза: семейный бюджет зависит от процентной ставки по кредиту. Объект исследования: процентная ставка. Основная часть. Кредит происходит от латинского «kreditum» (ссуда, долг), с другой стороны «kreditum» переводится как «доверяю», «верую». Кредит – это сделка, договор между физическими или юридическими лицами о займе, или ссуде. Как правило, первые кредиты в истории человечества вызывались нуждой, а не возможностью получить дополнительную прибыль. Потребительский кредит принадлежит к числу дорогих, что означает высокую процентную ставку. Обычно она колеблется в пределах 15–30%, но может быть и выше. Главными причинами увеличения процентной ставки потребительского кредита является относительно высокие затраты на его предоставление и большой риск неплатежеспособности потребителя. Бюджет семьи – роспись денежных расходов и доходов семьи, составляемая обычно на месячный срок. Бюджет делится на две части – расходную и доходную. В доходную часть входят все доходы, которые планирует получить семья за определенное время, в расходную часть, соответственно, попадают все предполагаемые расходы. Попробуем составить формулу семейного бюджета. Пусть доходную часть бюджета обозначают буквой «Д». Сюда входят заработная плата, а также дополнительный заработок (приработок, средства от продажи какого-либо имущества и др.). Расходы нефиксированные, так что подсчитывают их примерную стоимость. Обязательные расходы (квартплата и коммунальные услуги, транспорт, покупка гигиенических средств) фигурируют под буквой «О». Питание – это особая расходная статья, для обозначения которой используют букву «П». Расходы на предметы гардероба обозначают буквой «Г». Для обозначения кредита примем букву «К». Резерв, или запас, который необходим для накопления денежной суммы, предназначенной для других каких-то нужд (например, поездка на отдых за границу), обозначают буквой «Р». В итоге получается достаточно простая формула: Д = О + П + Г + К + Р... Пользоваться данной формулой очень легко: вместо букв подставляют цифры, при этом в правой (расходной) части указывают суммы всех желаемых приобретений. Расходная часть может значительно превысить доходную. Заключение. Гипотеза подтвердилась. Если процентная ставка по кредиту с 14% повысится, например, до 20% или более, то плата в месяц вырастет и при расчете семейного бюджета семье придётся брать дополнительно деньги из резерва, может даже его и не хватить. За 5 лет семья переплатит приличную сумму. Семейный бюджет зависит от процентной ставки банковского кредита. Если процентная ставка по кредиту снизится, увеличится резерв семейного бюджета. Нельзя экономить на здоровье, питании, образовании, но все же что экономия должна быть. Обдумывайте и планируйте свои расходы и доходы. Если своевременно вносить некоторые корректировки и наводить порядок в своём бюджете, то со временем выработается грамотный подход к планированию бюджета. 20 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Захарова А. Е. Несколько задач «про цены» // Журнал «Математика в школе». – 2002. – № 8. 2. Савицкая Е. В., Серегина С. Ф. Уроки экономики в школе. – М.: Вита-Пресс, 1999. 3. Терюкова Т. С. Экономика: Моя школа: Учебное пособие для 6 класса / Т. С. Терюкова, Е. А. Артемьева, М. В. Головин; под ред. И. А. Сасовой. – 9-е изд. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2014. – 96 с. 4. Скоробогатов А. «Семейный бюджет на компьютере», М., изд-во «РидГрупп», 2012 г., 320 с. 5. Новожилова Н. В. Экономика: Моя семья: Учебное пособие для 5 класса общеобразоват. учр. / Н. В. Новожилова; под ред. И. А. Сасовой. – 9-е изд. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2013. – 128 с. 6. Методика анализа кредитов с помощью факторных индексов // Банкаўскi веснiк, МАЙ 2010. 7. Информатика, 10 класс, Заборовский Г. А., Пупцев А. Е., 2011. VOLCHKEVICH A. A. State Establishment of Education «Secondary school № 4 Volkovysk» Scientific supervisor – Marinina A. V., a teacher of Mathematics LOANS THROUGH THE EYES OF A SIXTH-GRADER, OR FAMILY BUDGET DEPENDENCE ON THE INTEREST RATE OF A BANK LOAN Summary. The article is concerned with the concept of «credit», its impact on family budget, the possibility of obtaining additional funds for branching out or purchasing something expensive. 21 ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА ЧИСЛАХ ЧИСЛАХ Государственное учреждение образования Государственное учреждение образования «Средняя школа № 27№г.27 Могилева» «Средняя школа г. Могилева» Научный руководитель – М.–А.М.Кириленко, учитель математики Научный руководитель А. Кириленко, учитель математики ГОРБАТЕНКО А.Работа А. Аннотация. Аннотация. Работаисследовательского исследовательскогохарактера характерапосвящена посвящена Государственное учреждениенекоторых образованиявидов «Средняя школа № 27 г. уравнений Могилева» в рассмотрению и исследованию алгебраических рассмотрению и исследованию некоторых видов алгебраических уравнений в целых числах. В данной работе представлены основные методы и способы Научный руководитель – Кириленко М. А., учитель математики целых числах. В данной работе представлены основные методы и способы решения диофантовых уравнений. Кроме того,того, теоретически обоснована и и решения диофантовых уравнений. Кроме теоретически обоснована РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ практически подтверждена целесообразность использования алгебраических практически подтверждена целесообразность использования алгебраических уравнений в целых числах при при решении некоторых олимпиадных задач. уравнений в целых числах решении некоторых олимпиадных задач. Аннотация. Работа исследовательского характера посвящена рассмотрению и исследо- ванию некоторых видов алгебраических уравнений в целых числах. В данной работе пред- Решение алгебраических сегодня — это область, которой ставлены основные методыуравнений и способы решения диофантовых уравнений. Кроме того, Решение алгебраических уравнений сегодня — это область, которой теоретически обоснована и научная практическилитература. подтверждена Алгоритм целесообразность использования посвящена многочисленная решения посвящена многочисленная научная литература. Алгоритм решения алгебраических уравненийвв целых числах при решении некоторых задач. алгебраических уравнений числах разработан дляолимпиадных линейных алгебраических уравнений целых в целых числах разработан для линейных уравнений. Анализ дажедаже простейшего нелинейного диофантова уравнения уравнений. Анализ простейшего нелинейного диофантова уравнения Решение алгебраических уравнений сегодня – это область, которой посвящена может представить огромные трудности. Такое уравнение может вообще не может представить огромные трудности. Такое уравнение может вообще не многочисленная научная литература. Алгоритм решения алгебраических уравнений иметь решения, может иметь бесконечное множество решений, может обладать иметь решения, может иметь бесконечное множество решений, может обладать в целых конечным числах разработан длярешений. линейных уравнений. Анализ даже простейшего непроизвольным числом решений. произвольным конечным числом линейного диофантова уравнения может представить огромные трудности. Такое Целью моей работы было изучение некоторых видов алгебраических Целью моей работы было изучение некоторых видов алгебраических уравнение может вообще не иметь решения, может иметь бесконечное множество уравнений в целых числах, методов их решения, теоретическое обоснование и и уравнений в целых числах, методов их решения, теоретическое обоснование решений, может обладать произвольным конечным числом решений. практическое подтверждение целесообразности использования алгебраических практическое подтверждение целесообразности использования алгебраических Целью моей работы было изучение некоторых видов алгебраических уравнений уравнений при решении некоторых олимпиадных задач. уравнений решении некоторых олимпиадных задач. обоснование и практическое в целых при числах, методов их решения, теоретическое Объект исследования: алгебраические уравнения в целых числах Объект исследования: алгебраические уравнения в целых числах подтверждение целесообразности использования алгебраических уравнений при ре(диофантовы уравнения). (диофантовы уравнения). шении некоторых олимпиадных задач. Предмет исследования: методы решения диофантовых уравнений. Предмет исследования: методы решения диофантовых уравнений. Объект исследования: алгебраические уравнения в целых числах (диофантоБыли поставлены следующие задачи: поставлены следующие задачи: вы Были уравнения).   проанализировать имеющуюся по теме исследования; Предмет исследования: методылитературу решения диофантовых уравнений. проанализировать имеющуюся литературу по теме исследования;   рассмотреть основные наиболее встречающиеся виды диофантовых Были рассмотреть поставлены следующие задачи: встречающиеся виды основные наиболее диофантовых уравнений; • проанализировать имеющуюся литературу по теме исследования; уравнений; • рассмотреть основные наиболее встречающиеся виды диофантовых   изучить методы решения некоторых диофантовых уравнений; изучить методы решения некоторых диофантовых уравнений; уравнений; • изучить методы решения некоторых диофантовых уравнений;   применить приобретенные знания при решении конкретных применить приобретенные знания при решении конкретных • применить приобретенные знания при решении конкретных алгебраических алгебраических уравнений в целых числах. алгебраических уравнений и систем числах. алгебраических уравнений и систем алгебраических уравнений в целых уравнений и систем алгебраических уравнений в целых числах. Методы исследования: Методы исследования: Методы исследования:  анализ литературы по теме исследования;  анализ литературы потеме теме исследования; • анализ литературы пополученных исследования;  сравнение и обобщение результатов.  сравнение и обобщение полученных результатов. • сравнение и обобщение полученных результатов. Мною были проанализированы учебники, учебные пособия, имеющиеся Мною былипроанализированы проанализированыучебники, учебники, учебные пособия, имеющиеся Мною были учебные пособия, имеющиеся сборнисборники задач, методическая литература по теме исследования. В работе сборники задач, методическая литература по теме исследования. работе ки задач, методическая литература по теме исследования. В работеВ рассмотрены рассмотрены основные видывиды диофантовых уравнений и методы их решения. рассмотрены основные диофантовых методы их решения. основные виды диофантовых уравнений иуравнений методы ихирешения. Линейное диофантово уравнение – это уравнение вида ܽ‫ݔ‬ ൅ ܾ‫ݕ‬ ൌܾ‫ܿݕ‬.ൌ ܿ.. Линейное диофантово уравнение – это уравнение вида ܽ‫ݔ‬ ൅ Линейное Наиболее часто встречающиеся в литературе виды нелинейных Наиболее часто в литературе виды нелинейных диофантовых Наиболее частовстречающиеся встречающиеся в литературе виды нелинейных диофантовых уравнений: уравнений: диофантовых уравнений: ଶ ଶ ൌଶ Пелля  • уравнение ‫ ݔ‬ଶ െ‫ݕܽݔ‬ െ ܽ‫;;ͳ ݕ‬ൌ ͳ; уравнение Пелля  • уравнение уравнение вида вида ‫ ݔ‬ଶ ൅ ‫ ݕ‬ଶ ൌ ‫ ݖ‬ଶ ;;  • уравнение уравнение ܽ‫ ݕݔ‬െ ܾሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൌ ܿ;;  • уравнение уравнение Туэ. Туэ. Также существуют уравнения, которыененеотносятся относятся ни ни кк одному Также существуют уравнения, которые одномуизизвидов. Их относят к уравнениям повышенной сложности. видов. Их относят к уравнениям повышенной сложности. решениидиофантовых диофантовых уравнений всеговсего используются следующие меПри При решении уравненийчаще чаще используются тоды: следующие методы: • метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих •вметод уравнение; разложения на множители;  метод разложения на на множители; • метод, основанный выражении одной переменной через другую и выделении целой метод, основанный на выражении одной переменной через другую и части дроби; методы, основанные выделении• целой части дроби; на выделении полного квадрата; • метод решения уравнения с двумяполного переменными как квадратного относительно  методы, основанные на выделении квадрата; одной из переменных;  метод решения уравнения с двумя переменными как квадратного • метод, основанный на алгоритме Евклида; относительно одной из переменных; • метод, основанный на теории цепных дробей;  метод, основанный на алгоритме Евклида; • метод, основанный на теории сравнений.  метод, основанный на теории цепных дробей;  метод, основанный на теории сравнений. В теоретической части работы дается общая характеристика 22 алгебраических уравнений в целых числах и основных методов их решений в общем виде, а также представления рациональных и иррациональных чисел цепными дробями. Необходимость рассмотрения вопросов представления В теоретической части работы дается общая характеристика алгебраических уравнений в целых числах и основных методов их решений в общем виде, а также представления рациональных и иррациональных чисел цепными дробями. Необходимость рассмотрения вопросов представления действительных чисел цепными дробями обусловлена тем, что в основных методах решения алгебраических уравнений применяются квадратические иррациональности, а так же используются свойства подходящих дробей. Проблема решения алгебраических уравнений в целых числах решена до конца для уравнений первой степени и для некоторых уравнений второй степени. В этой части работы приведены наиболее часто встречающиеся в литературе виды диофантовых уравнений. Практическая часть работы посвящена решению конкретных алгебраических уравнений и систем алгебраических уравнений различными методами. Также мной были рассмотрены, проанализированы и решены некоторые олимпиадные задачи с помощью диофантовых уравнений. Результаты данной работы могут быть использованы при изучении разделов математики, связанных с решением диофантовых уравнений, а также при подготовке к олимпиадам по математике. Данный материал не претендует на законченность и в дальнейшем может совершенствоваться. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Бабинская, И. Л. Задачи математических олимпиад / И. Л. Бабинская. – Москва : Наука, 1975. – 112 с. 2. Базылев, Д. Ф. Справочное пособие к решению задач: Диофантовы уравнения / Д. Ф. Базылев. – Минск : НТЦ «АПИ», 1999. – 160 с. 3. Бугаенко, В. О. Уравнения Пелля / В. О. Бугаенко. – Москва : МЦНМО, 2001. – 32 с. 4. Бухштаб, А. А. Теория чисел / А. А. Бухштаб. – 2-е изд., исправленное – Москва : Просвещение, 1966. – 384 с. 5. Гельфонд, А. О. Решение уравнений в целых числах / А. О. Гельфонд. – Москва : Наука, 1989. – 63 с. 6. Гринько, Е. П. Методы решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам / Е. П. Гринько, А. Г. Головач. – Брест : БрГУ им. А. С. Пушкина, 2013. – 181 с. 7. Шнеперман, Л. Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел / Л. Б. Шнеперман. – Минск : Выш. школа, 1982. – 223 с. GORBATENKO A. A. State Educational Establishment «Mogilev Secondary School № 40» Scientific supervisor – Kirilenko M. A., the teacher of Maths SOLVING OF ALGEBRAIC EQUATIONS IN INTEGERS Summary. The research work is devoted to the consideration and the study of some types of algebraic equations in integers. The basic methods and ways of solving of diophantine equations are represented in the article. Furthermore, the use fullness of algebraic equations in integers has been proved theoretically and confirm in practice in order to solve olympiad problems. 23 ГОРОЩИК В.А. ГОРОЩИК В.А. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКОВ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА Государственное учреждение образования «Средняя школа №40 г. Гродно» МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ МАЯТНИКОВ ГОРОЩИК В. А. учреждение образования «Средняя школа №40 г. Гродно» Государственное Научный руководитель - Соколовская Г.Г. учитель физики Государственное учреждение образования Научный руководитель - Соколовская Г.Г. учитель физики школа № 40 г. движения Гродно» Аннотация. «Средняя Колебательные широко распространены в окружающейНаучный жизни. Данная статья посвящена изучению механических руководитель – Соколовская Г. движения Г., учитель физики Аннотация. Колебательные широко распространены в колебаний на окружающей примере математического и пружинного их систем.механических жизни. Данная статья маятников посвящена и изучению КОЛЕБАНИЯ РассмотренаМЕХАНИЧЕСКИЕ зависимость периода колебанийМАЯТНИКОВ маятников и их систем от и их систем. колебаний на примере математического и пружинного маятников различных параметров и построены графики этой зависимости. Работа в систем Рассмотрена зависимость периода колебаний маятников и их Аннотация. Колебательные движения широко распространены в окружающей жизни.от Данвыбранном направлении может быть продолжена и усовершенствована. различных параметров и построены графики этойназависимости. Работа в ная статья посвящена изучению механических колебаний примере математического ивыбранном пружинногонаправлении маятников и может их систем. Рассмотрена зависимость периода колебаний мапродолжена Введение. Колебательные движения широкобыть распространены ви усовершенствована. окружающей ятников и их систем от различных параметров и построены графики этой зависимости. жизни. Каждое тело порождает своюдвижения собственную уникальную частоту. Введение. Колебательные широко распространены в окружающей Работа в выбранном направлении может быть продолжена и усовершенствована. Колеблются высотные здания итело высоковольтные провода под действием ветра, жизни. Каждое порождает свою собственную уникальную частоту. маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, Колеблются высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, Введение. Колебательные движения широко распространены в окружающей уровень рекижизни. в течение года и температура человеческого тела при болезни. маятник заведенных часов и автомобиль на рессорах во время движения, Каждое тело порождает свою собственную уникальную частоту. Колеблются Свободно колеблющиеся тела всегдагода взаимодействуют счеловеческого другими телами и при болезни. уровень реки в течение и температура теламаятник высотные здания и высоковольтные провода под действием ветра, заведенвместе образуют систему тел, которая получила название колебательной Свободно всегдавовзаимодействуют с другими и ных часов иколеблющиеся автомобиль натела рессорах время движения, уровень рекителами в течение системы. Мы будем рассматривать системы, называемые вместе образуют системуколебательные тел, тела которая получилаСвободно название колебательной года и температура человеческого при болезни. колеблющиеся тела маятниками. всегда взаимодействуют другими теламиколебательные и вместе образуют систему тел, которая системы. Мы будем срассматривать системы, называемые получила название колебательной системы. Мы будем рассматривать колебательмаятниками. Под словом «маятник» понимают твердое тело, совершающее под действием ные системы, называемые маятниками. приложенныхПод сил словом колебания около неподвижной точки или вокруг оси. [5] «маятник» понимают тело, совершающее под Под словом «маятник» понимаюттвердое твердое тело, совершающее поддействием действием Существует приложенных несколько типов маятников, я рассмотрю наиболее приложенныхсил силколебания колебанияоколо околонеподвижной неподвижной точки вокруг точки илиили вокруг оси.оси. [5] [5] распространённые и интересные. Существует несколько типов маятников, я наиболее рассмотрюраспространённаиболее Существует несколько типов маятников, я рассмотрю Математическим – это материальная точка, висящая на невесомой распространённые и интересные. ные имаятником интересные. нерастяжимойМатематическим нити. [7] маятником это материальная точка, висящая на невесомой Математический маятник – – это материальная точка, висящая на невесомой нераПериод колебаний математического стяжимой нити. нити. [7] нерастяжимой [7] маятника определяется по формуле Период колебаний математическогомаятника маятникаопределяется определяется по формуле l Период математического . Мы видим, колебаний что период прямо пропорционален длине маятника ипо формуле T  2 g l . Мы чточто период прямо пропорционален длинедлине маятника и обратно Мывидим, видим, период прямо пропорционален маятника и ускорению свободного падения. обратно пропорционален g пропорционален свободного падения. Следующий маятник, которымускорению мы изучаем в школе, это пружинный. обратно пропорционален ускорению свободного падения. Следующий маятник, которым мы изучаем в школе, этопружинный. пружинный. Следующий маятник, которым мы изучаем в школе, это Это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь. [2] Это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь. [2] Прумаятник характеризуется массой тела и которой жесткостью пружины, поэтому[2] пеПружинный жинный маятник характеризуется массой теламассой и жесткостью пружины, Это груз, прикрепленный к пружине, можно пренебречь. m Пружинный маятник характеризуется массой тела и жесткостью пружины, риод для такогомаятника маятниканаходиться находится по поэтому период для такого по формуле: формуле: T  2 .. k m T  2 поэтому для такого маятника находиться по формуле: . Цель период исследования: свободных механических колебаний Цель исследования: изучение изучение свободных механических колебаний на k на примере математического и пружинного маятников их и их систем. примере математического и пружинного маятников систем. Цель исследования: изучение исвободных механических колебаний на Задачи исследования: Задачи примере исследования : математического и пружинного маятников и их систем. • Определить период и частоту свободных механических колебаний различных  Определить период и частоту свободных механических колебаний различных Задачи исследования : колебательных систем и экспериментальное их подтверждение. колебательных систем и экспериментальное их подтверждение.  Определить период и частоту свободных механических колебаний • Установить межпредметные связи в курсе физики и математики по различных теме: «Коле Установить бательные межпредметные связи в курсе физики и математики по теме: колебательных систем и экспериментальное их подтверждение. движения». «Колебательные  Установить связи в курсе и математики по теме: •движения». Повыситьмежпредметные практическую значимость, путемфизики рассмотрения определённых физических явлений или технических проблем, возникших в различных областях деятель«Колебательные движения». ности человека, то есть определить период и частоту свободных механических колебаний различных колебательных систем и экспериментальное их подтверждение. Объектом исследования является физическое приложение дифференциального исчисления, а именно свободные механические колебания. В качестве предмета исследования выступают характеристики колебательного движения – период, частота колебаний. Гипотеза исследования: возможно существует единое математическое описание различных колебательных систем и, зная законы колебаний, можно вывести формулы периода и частоты свободных механических колебаний различных колебательных систем и проверить их справедливость путем эксперимента в лабораторных условиях. Основная часть. Движение, при котором состояния движущегося тела с течением времени повторяются, причём тело проходит через положение своего устойчивого равновесия поочерёдно в противоположных направлениях, называется механичеT  2 24 п/ п различных колебательных систем ии проверить их справедливость путем различных колебательных эксперимента лабораторныхсистем условиях. проверить их справедливость путем эксперимента вввлабораторных условиях. эксперимента лабораторных условиях. эксперимента в лабораторных Основная часть. часть. Движение,условиях. при котором состояния состояния движущегося движущегося тела тела сс Основная Движение, при Основная часть. Движение, при котором котором состояния движущегося тела сс Основная часть. Движение, котором состояния движущегося тела течениемвремени времениповторяются, повторяются,при причём телопроходит проходит через положениесвоего своего течением причём тело через положение течением времени повторяются, причём тело проходит через положение своего течением времени повторяются, причём тело проходит через положение своего устойчивого равновесия поочерёдно противоположных направлениях, устойчивого равновесия поочерёдно ввв противоположных направлениях, устойчивого равновесия поочерёдно противоположных направлениях, устойчивого равновесия колебательным поочерёдно вдвижением[5] противоположных направлениях, называется механическим колебательным движением[5] Каждый законченныйдвиназывается механическим Каждый законченный ским колебательным движением [5] Каждый законченный цикл колебательного называется механическим колебательным движением[5] Каждый законченный называется механическим колебательным движением[5] Каждый законченный цикл колебательного движения, после которого оно вновь повторяется томже же цикл колебательного движения, после которого повторяется вввтом жения, после которого оно вновь повторяется воно томвновь же порядке, называется полным цикл колебательного движения, после которого оно вновь повторяется том же цикл колебательного движения, после которого оно вновь повторяется в том же порядке, называется полнымколебанием колебаниемтела тела[6]. [6]. порядке, называется полным колебанием тела [6]. порядке, называется полным колебанием тела [6]. порядке, называется полным колебанием тела [6]. Гармонические колебания— это колебания, происходящиепод под действием Гармонические колебания – это колебания, происходящие действием силы, Гармонические колебания— это колебания, происходящие под действием Гармонические колебания— это колебания, происходящие под действием Гармонические колебания— это колебания, происходящие под действием силы, пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной пропорциональной смещению колеблющейся точки и направленной противоположно силы, пропорциональной колеблющейся силы, пропорциональной смещению смещению колеблющейся точки точки ии направленной направленной силы, смещению противоположно этому смещению [6]. колеблющейся точки и направленной этомупропорциональной смещению [6]. смещению противоположно этому [6]. противоположно этому смещению [6]. противоположно смещению [6]. Постоянные величины: Постоянныеэтому величины: Постоянные величины: Постоянные величины: Постоянные величины: 1. Т-период – это время 1.Т-период период–это –этовремя времяодного одногополного полногоколебания. колебания. 1.Тодного полного колебания. 1.Тпериод –это время одного полного колебания. � 1.Тпериод –это время одного полного колебания. � Т�� [Т] [Т] = c; Т� � [Т] == c; Т� � �� Т� � [Т] = c; c;колебаний; [t] = c; —время время всех � –— всех колебаний; [t][t] === c;c; ttt— время всех колебаний; время всех колебаний; [t] tN— время всех колебаний; [t] = c; c; — число колебаний; [N] = 1. N – число колебаний; [N] = 1 . — число колебаний; [N] = 1. N — число колебаний; [N] = 1. N число колебаний; = 1. колебаний 2.ν— ν–частота колебаний[N] число колебанийвввсекунду секунду 2. ––частота частота колебаний колебаний секунду 2. колебаний -–--число 2. колебаний число колебаний вв секунду � 2.ν νν=�–частота –частота колебаний число колебаний секунду [ν]===Гц. Гц. [ν] Гц. νν== � �; ; [ν] ν = �� ;; [ν] [ν] = = Гц. Гц. � �� 3.� �� 3.� � 3. ω� –� циклическая частота – число колебаний за 2π секунд 3.� � � �� 3.� � �� =2�� =2�� =2�� ТТТ =2�� Т ν=�� 4.Связьпериода периодаиичастоты: частоты:Т= Т=�� ν= 4.Связь � Т 4.Связь �� ν= 4. Связь периода периода и частоты: Т= Т= ν=ТТ величины при колебаниях: 4.Связь периода ии частоты: 5.Амплитуда Амплитуда –наибольшее наибольшее значение � Т величины при колебаниях: 5. – значение 5. Амплитуда ––наибольшее наибольшее значение величины при колебаниях: 5. Амплитуда наибольшее значение величиныпри приколебаниях: колебаниях: 5. Амплитуда – значение величины Х � �м�� -амплитуда скорости, -амплитуда ХХмм� �м�� мм-амплитуда скорости, aaaмм-амплитуда � �м�� -амплитуда скорости, -амплитуда м м м Х – амплитуда координаты, V – амплитуда скорости, a – амплитуда ускорения, Х � �м�� -амплитуда скорости, a -амплитуда м м м � �м�� ускорения, � м м м �м�� ускорения, ��мм� � �м�� ускорения, м Fм – Переменными амплитуда силы. � �м�� ускорения, � м величинами при при колебаниях колебаниях являются: являются: координата, координата, Переменными величинами Переменными величинами при колебаниях являются: координата, Переменными величинами при колебаниях являются: координата, скорость, ускоПеременными величинами при колебаниях являются: координата, скорость, ускорение и сила. скорость, ускорение ии сила. скорость, ускорение сила. рение и сила. скорость, ускорение и сила.этап Исследовательский этап Исследовательский Исследовательский этап Исследовательский этап 1. Исследование периода колебаний математического математического маятника маятника от от 1. Исследование периода Исследовательский этап колебаний 1. Исследование периода колебаний математического маятника от 1. Исследование периода колебаний математического маятника от длины нити длины 1.нити Исследование периода колебаний математического маятника от длидлины длины нити нити ны нити � � Время всех Период Длина нити Число � � � Время всех Период Длина нити Число колебаний колебаний, колебаний, ��,м �� Период Время всех Длина нити Число � � Период Время всех Длина нити Число колебаний колебаний, колебаний, ��,м Период колебаний Время всехвсех Длина Число � �� Период Время всех Длина нити Число Период Время Длина нити Число t,c N N п/ � �� ,c колебаний колебаний, колебаний, ��,м колебаний � �� колебаний, колебаний, � �� ,м �� нити колебаний, колебаний, � � t,c N п/ � � c � � ,c колебаний колебаний, колебаний, колебаний колебаний, колебаний, п/пп ��,м��,м � � �� t,c N l , м N t , c t,c N п/ � � ,c �� ,c �� t,c NN п/ пп/ � t,c � �,c� ,c �� п � � п п1 0,25 20 20 19,73 0,9865 0,25 19,73 0,9865 0,25 20 19,73 0,9865 2 20 20 27,65 1,3825 2 1.4 0,5 27,65 1,3825 2 1.4 1.41.4 0,25 20 0,5 19,73 0,9865 0,25 20 19,73 0,9865 0,5 20 27,65 1,3825 2 1.4 1.4 0,25 20 19,73 0,9865 0,25 20 19,73 0,9865 20 40,36 2 2,018 2 2 2 3 20 0,5 11 20 20 40,36 2,018 21.4 0,5 27,65 1,3825 1.4 1.4 244 27,65 1,3825 40,36 2,018 21.4 1.41.4 21.4 20 27,65 1,3825 0,510,5 2020 27,65 1,3825 2 266 1.4 1.5 20 48,24 2,412 2,445 4 20 1.5 20 48,24 2,412 2,445 2,449 1 40,36 2,018 4 2 2 1 20 40,36 2,018 4 2 22,449 48,24 2,412 12 20 40,36 2,018 22,84 2 2,449 22,83 1 1.5 2020 40,36 2,018 4 648 2 2,445 20 56,11 2,8 1.5 20 48,24 2,412 6 2,445 2,449 1.5 48,24 2,412 68 2,445 2,449 5 20 20 56,11 2,8 2,84 2,83 2 20 56,11 2,8 2,84 2,83 20 48,24 нити 2,412 2,4452,449 2,449 48,24 2,412 6 86 2,445 Вывод: С 20 увеличением длины период математического маятника 2 201.521.5 56,11 2,8 8 2,84 2,83 20 56,11 2,8 8 2,84 2,83 увеличением длины математического маятника 20 56,11 нити2,8период 2,8 2,84 2,83 2,83 2 2Вывод: С 20 56,11 8 8 2,84 возрастает подчиняется зависимости: T~√� Вывод: С увеличением длины нити длины период математического маятника Вывод: С увеличением длины нитиT~√� период математического Вывод: С иувеличением нити период математического маятникамаятника возрастает возрастает иСподчиняется зависимости: Вывод: С увеличением длины нити период математического маятника Вывод: увеличением длины нити период математического маятника и подчиняется зависимости: возрастает и подчиняется зависимости: T~√� возрастает и подчиняется зависимости: T~√� возрастает и подчиняется зависимости: T~√� возрастает и подчиняется T~√� Период, Время всех Длина нити Число зависимости: Период, п/ п Время всех Период, Длина нити Число Период, измеренный колебаний, колебаний, вычисленный по ��,м нити Период, вычисленный Период, Время Число всех Число Период, Время всех Период, Длина Период, Период, измеренный колебаний, колебаний, вычисленный по ��,м Период, Время всех Длина нити Число Период, Период, Время всех Длина нити Число Период, � по формуле: � эксперименt,c N формуле: п/ Период Время всех Длина нити Число измеренный колебаний, вычисленный измеренный по вычисленный Число Время всех измеренный колебаний, колебаний, по � ��,м нити колебаний, эксперименt,c N формуле: Длина Nп/ измеренный колебаний, колебаний, вычисленный ��,м ��,м t,c колебаний, измеренный колебаний, колебаний, по по ��,м тально п колебаний вычисленный колебаний, колебаний, экспериментально колебаний, � � � эксперименN формуле: � эксперименt,c N формуле: п/ � � тально пп/ п/п � � �� эксперименформуле: эксперименt,c t,c t, t,c N NN N тально формуле: п/ c п/l, м � � �� ,c� ,cc тально п � � � � �� ,c � тально тально п п п � � � � �� ,c � � �� ,c �� ,c � � �� ,c 0,25 20 19,73 0,9865 1 1 0,25 0,25 20 19,73 � �0,9865 20 19,73 0,9865 1 1� � 0,5 20 27,65 1,3825 1,4 0,25 2 20 19,73 0,9865 1 0,25 19,73 0,9865 11,4 0,25 2020 19,73 0,9865 0,50,25 20 20 27,65 1,3825 1,4 0,5 20 27,65 1,3825 0,25 20 19,73 0,9865 1 19,73 0,9865 1 1 20 40,36 2,018 2,0 0,5 20 0,5 27,652020 1,3825 1,4 0,5 27,65 1,3825 1,4 27,65 1,3825 2 1.4 1.4 1 20 40,36 2,018 2,0 3 1 0,5 20 40,36 2,018 2,0 20 27,65 1,3825 27,65 1,3825 1,41,4 1.5 20 48,24 2,412 2,46 1 200,5 40,3620 2,018 2,0 20 40,36 2,018 2,0 1 11.5 20 40,36 2,018 4 2 2 20 48,24 2,412 2,46 12 40,36 2,018 40,36 2,018 2,02,0 4 1.5 20 20 20 48,24 2,412 2,46 20 56,11 2,8 2,84 1.5 2011.5 48,24 2,412 2,46 1.5 48,24 2,412 2,46 2020 48,24 2,412 6 2,445 2,449 21.5 20 56,11 2,8 2,84 20 48,24 2,412 2,46 1.5 20 48,24 2,412 2,46 Вывод: периоды, по формуле и экспериментально, 5 2 22 20 20 2,8 2,84 2 20 56,11 2,856,11 2,84 20 вычисленные 56,11 по 2,8 2,84 56,11 2,8 2,84 2,83 Вывод: периоды, формуле и 8экспериментально, 56,11 погрешность 2,84 2 2 20 20вычисленные 56,11 2,82,8 2,84 приблизительно совпадают. Основную в измерение вносит Длина нити ��,м Вывод: периоды, вычисленные по вычисленные формуле и нити экспериментально, Вывод: периоды, по формуле и измерение экспериментально, Вывод: С увеличением длины период математического маятника приблизительно совпадают. Основную погрешность вносит Вывод: периоды, вычисленные формуле экспериментально, Вывод: периоды, вычисленные попо формуле и виэкспериментально, Вывод: периоды, вычисленные по формуле и экспериментально, приблизительзначение ускорения свободного падения. приблизительно совпадают. Основную погрешность в измерение вносит приблизительно совпадают. Основную погрешность в измерение вносит возрастает исовпадают. подчиняется зависимости: T~√� значение ускорения свободного падения. приблизительно совпадают. Основную погрешность измерение вносит приблизительно Основную погрешность в визмерение вносит но совпадают. Основную погрешность в измерение вносит значение ускорения сво3ускорения начение ускорения свободного падения. значение свободного падения. 3 ускорения значение свободного падения. значение ускорения свободного падения. бодного падения. 2,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 3Длина нити 32,532 2,52��,м 2,5 2,5 1,5 п/21,522 1 п1,51,5 1 1,5 0,5 1 10,510 0,50 1 0,5 0,5 2 Период, измеренный Время всех Период,Период, Число Период, измеренный экспериментально измеренный колебаний, колебаний, вычисленный по Период, измеренный Период, измеренный экспериментально T=t/N,c Период, измеренный Период, измеренный экспериментально T=t/N,c эксперименt,cэкспериментально N формуле: экспериментально экспериментально Период, вычисленный T=t/N,c 25 T=t/N,c тально Период, вычисленный T=t/N,c T=t/N,c по формуле: T= 2π√(l/g) � Период, вычисленный� Период, вычисленный формуле: T= 2π√(l/g) � � �� Период, ,cпо Период, вычисленный вычисленный � по по формуле: T= 2π√(l/g) � формуле: T= 2π√(l/g) 3 4 5 по формуле: T= 2π√(l/g) по формуле: T= 2π√(l/g) 1.5 2 20 20 48,24 56,11 2,412 2,8 2,46 2,84 Вывод: периоды, вычисленные по формуле и экспериментально, приблизительно совпадают. Основную погрешность в измерение вносит значение ускорения свободного падения. 3 2,5 Период, измеренный экспериментально T=t/N,c 2 1,5 1 Период, вычисленный по формуле: T= 2π√(l/g) 0,5 0 1 2 3 4 5 2. Исследование зависимости периода колебания пружинного маятника от его параметров �� ЧислоПериод Время��всех Период Коэффициен Масса Время Число всех Число Длина нити Коэффициен Масса � �� Коэффициент � � Время всех Период Период колебаний, колебаний колебаний, т упругости груза, � � «Исследование зависимости периода колебания пружинного маятника от�� Масса Число Время всех упругости колебаний, колебаний колебаний, т упругости груза, � Время всех Период Число Коэффициен Масса Число �� Период � колебаний колебаний, колебаний, ��,мМасса �� колебаний Время всех Коэффициен � � � � � � � � N t,c пружины, m, кг п/ � груза, колебаний, колебаний, пружины, п/п � � � ,c � �� Nп/ t,c m, параметров» кг п/ пружины, N его колебаний, упругости груза, � � колебаний, ,cколебаний, колебаний t,c NN тпт упругости груза, Н �� колебаний � �,cc � m, кг колебаний, � t, c Н K, � � п пружины, K, пм t,ct,c m,m, кгкг N N п/п/ пружины, � �� ,c�,c м � Н Н п1 п K,K, 10 0,2 20 17,2 0,86 м м 10 0,2 20 17,2 0,86 10 20 2 0,2 15 14,4 0,72 1,19 1,2 0,25 0,217,2 2020 0,86 19,73 0,9865 15 0,2 20 14,4 0,72 1,19 1,2 15 0,2 20 14,4 0,72 1,19 1,2 10 0,2 20 17,2 0,86 0,50,2 0,2 20 2020 27,65 1,3825 2 1.4 1.4 10 0,86 3 25 10,2 0,51 1,68 0,2 20 0,51 17,2 1,681.61.6 25 0,2 1515 25 20 1.6 0,51 14,410,2 1,68 0,72 0,72 1 0,20,2 10,2202020 40,36 2,018 41,19 1,21,2 2 2 14,4 1,19 Вывод: период колебания груза от на жесткости пружине 0,51 зависит жесткости этой Вывод: периодВывод: колебания груза на пружине зависит этой отэтой 2020 на 10,2 пружине зависит от жесткости 1.5колебания 48,24 2,412 61,68пружины, 2,445 2,449 2525 период 0,20,2 20груза 10,2 0,51 1,68 1.61.6 пружины, т.е. чем выше жесткость пружины, тем период колебаний меньше. пружины, т.е. чем жесткость тем период колебаний меньше. Вывод: период колебания груза пружине зависит жесткости этой т.е.выше чем выше жесткость пружины, тем период колебаний меньше. Зависимость пе- 2,83 2 пружины, 20груза 56,11 2,8 8 2,84 Вывод: период колебания нанапружине зависит ототжесткости этой � пружины, т.е.чем чем вышежесткость пружины, тем колебаний меньше. �период Вывод: Сжесткость увеличением длины нити период математического маятника пружины, т.е. выше пружины, тем период колебаний меньше. Зависимость периода от жесткости пружины подчиняется закону �� риода отжесткости жесткости пружины подчиняется закону Зависимость периода от пружины подчиняется закону �� возрастает и подчиняется зависимости: T~√� закону �� Зависимость периода от жесткости пружины подчиняется основе проведённых опытов можно сделать вывод: Зависимость периода жесткости пружины подчиняется закону �� НаНа основе проведённых опытов можно сделать вывод: На основе проведённых опытов можноотсделать вывод: � 1.1.математического Период колебания математического маятника зависит от длины Период колебания математического маятника зависит отс длины нити: снити: уве- с 1. Период колебания зависит от длины нити: основе проведённых опытов можносделать сделать вывод: Период, Время всех Длинамаятника нити Число Период, НаНаоснове проведённых опытов можно вывод: увеличением длины нити период колебания уменьшается, но не зависит от по личением длины нити период колебания уменьшается, но не зависит от амплитуды увеличением длины нитиколебания период колебания уменьшается, но независит зависит Период колебания математического маятника от длины длины нити: нити: измеренный колебаний, колебаний, вычисленный ��,м 1.1.Период математического маятника отот сс амплитуды колебания и массы груза. колебания и массы груза. амплитуды колебания и массып/груза. увеличением длинынити нитипериод период колебания уменьшается, зависит эксперименt,c уменьшается, N колебания формуле: увеличением длины нононенезависит отот 2.Период Периодпколебания колебания пружинного маятника зависит от тально жёсткости пружины и мас- и 2.пружинного колебания пружинного маятника зависит от и жёсткости пружины 2. Период колебания маятника зависит от жёсткости пружины амплитуды и массы груза. амплитуды колебания и жёсткости массы груза. сы груза: с увеличением период колебания уменьшается, с увеличениема с � массы груза: с увеличением жёсткости период колебания массы груза: 2. с 2.увеличением жёсткости период колебания уменьшается, а� ,cс ауменьшается, � и�и�� Период колебания пружинного маятника зависит жёсткости пружины � Период колебания пружинного маятника зависит отот�жёсткости пружины � массыувеличением груза – увеличивается, но не зависит от амплитуды колебания груза. � массы грузаувеличивается, но не зависит от амплитуды увеличением массы грузаувеличивается, но не зависит от колебания амплитуды массы груза: увеличением жёсткости период колебания уменьшается, массы груза: с сувеличением жёсткости период уменьшается, а ас с колебания груза. 0,25 20 19,73 0,9865 1 колебания груза. увеличением увеличением массы грузагруза- увеличивается, увеличивается, зависит амплитуды массы ноно нене зависит отот амплитуды СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 0,5 20 27,65 1,3825 1,4 колебания груза. колебания груза. использованной литературы: 1. Список Вибрации в технике 1 / Под ред. В. Н. Челомей. – М:40,36 Машиностроение, 20 2,0181981. – 256 с. 2,0 Список использованной литературы: 2. 1. Горелик Г. С. Колебания. –/Под М.: Государственное издательство технико-теоретическое Вибрации в технике. ред. В. Н. Челомей. - М: Машиностроение. 1981.1.5 20 48,24 2,412 2,46 1. Вибрации в технике. /Под ред. В. Н.551. Челомей. - М: Машиностроение. 1981.Список использованной литературы: Список использованной литературы: издательство, 1950. – С. 256 с. 2 20 56,11 2,8 2,84 256 с. технике. /Подред. ред.В.В.Н.Н.Челомей. Челомей.- М: - М:Машиностроение. Машиностроение.1981.1981.1.1.Вибрации в втехнике. /Под 3.Вибрации Живая механика http://mirgorodsky.ru/mirgorodskiyal_statya/page08.html 2. Горелик Г.С. Колебания. М.: Государственное издательство техникоВывод: периоды, вычисленные по формуле и экспериментально, 2. Горелик Г.С. 256 Колебания. - М.: Государственное издательство технико256 с. 4.с.История изучения колебаний http://wiki.pskovedu.ru/index.php теоретическое издательство, 1950. -ядерная С. Основную 551.физика. –погрешность приблизительно совпадают. в техникоизмерение вносит 5. Колебания и волны. Оптика. Атомная и М.: Наука. Физматлит, 1995. – теоретическое издательство, 1950. С. 551. 2. Горелик Г.С. Колебания. М.: Государственное издательство 2. Горелик Г.С. Колебания. - М.: Государственное издательство техникомеханика http://mirgorodsky.ru/mirgorodskiyal_statya/page08.html значение ускорения свободного 656 с. 3. Живая 3. Живая механика http://mirgorodsky.ru/mirgorodskiyal_statya/page08.html теоретическое издательство, 1950. - С.551. 551. падения. теоретическое издательство, 1950. - С. 6. 4.Механические колебания и волныhttp://wiki.pskovedu.ru/index.php http://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter2/ История изучения колебаний 3 4. История изучения колебаний http://wiki.pskovedu.ru/index.php Живаямеханика механика http://mirgorodsky.ru/mirgorodskiyal_statya/page08.html 3.3.Живая http://mirgorodsky.ru/mirgorodskiyal_statya/page08.html section/paragraph1/theory.ht 5. Колебания и колебаний волны. Оптика. Атомная– иМ.: ядерная – измеренный М.: Наука. 2,5 Период, 5. Колебания и 4.волны. Оптика. Атомная и ядерная физика. Наука.физика. 4.История История изучения http://wiki.pskovedu.ru/index.php изучения колебаний http://wiki.pskovedu.ru/index.php 2 - 656 с. Физматлит, 1995. экспериментально Физматлит, 1995. 5. - 656 с. 5.Колебания Колебания волны.Оптика. Оптика.Атомная Атомнаяи иядерная ядернаяфизика. физика.– –М.: М.: Наука. и иволны. T=t/N,c Наука. 1,5 6.Механические колебания и волны 6.Механические Физматлит, колебания и волны Физматлит, 1995. 656 с. 1995. - 656 с. 1 Период, вычисленный http://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter2/section/paragraph1/theory.ht http://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter2/section/paragraph1/theory.ht 6.Механические колебания волны 6.Механические колебания ии волны по формуле: T= 2π√(l/g) 0,5 http://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter2/section/paragraph1/theory.ht HOROSHCHIK V. A. http://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter2/section/paragraph1/theory.ht 0 HOROSHCHIK V.A. HOROSHCHIK V.A. State institution of education «Secondary 1 2school No. 3 40 of Grodno» 4 5 MECHANICAL OSCILLATIONS OF PENDULARS MECHANICAL OSCILLATIONS OF PENDULARS HOROSHCHIK V.A. HOROSHCHIK V.A. OSCILLATIONS OF PENDULARS State institution ofschool education "Secondary school No. 40 of Grodno" State institution ofMECHANICAL education "Secondary No. 40 of Grodno" MECHANICAL OSCILLATIONS OF PENDULARS MECHANICAL OSCILLATIONS OF PENDULARS Stateinstitution institution education"Secondary "Secondary school No. Grodno" State ofofeducation school No. 4040ofofGrodno" Summary. Oscillatory movements are widespread in the surrounding life. This article is devoted to Summary. Oscillatory movements are widespread in thearticle surrounding life. This article Summary. Oscillatory movements are widespread in thethe surrounding This the study of mechanical vibrations using example of life. mathematical and spring pendulums and is devoted to the study of mechanical vibrations using the example of mathematical their systems. The dependence ofusing the oscillation periodof ofinmathematical pendulums and theirlife. systems on various is devoted to the study of mechanical vibrations the example Summary. Oscillatory movements arewidespread widespread inthe the surrounding life.This This article Summary. Oscillatory movements are surrounding article «Исследование зависимости периода колебания пружинного маятника от and spring pendulums and their systems. The dependence of the oscillation period of parameters is considered and graphs of this dependence are constructed. and spring pendulums and their systems. The dependence of the oscillation period of is devoted to the study of mechanical vibrations using the example of mathematical is devoted to the study of mechanical vibrations using the example of mathematical егоand параметров» pendulums systems on various parameters considered and graphs ofofthis pendulums and their systems onpendulums varioustheir parameters is considered and graphsisofof this and springpendulums and theirsystems. systems. Thedependence dependence ofthe theoscillation oscillation periodof and spring and their The period dependence are constructed. dependence are constructed. pendulumsand andtheir theirsystems systemsononvarious variousparameters parametersis isconsidered consideredand andgraphs graphsofofthis this pendulums dependence are constructed. dependence are constructed. 26 Государственное учреждение образования «Гимназия № 2 г. Барановичи» Научный руководитель – Ольховик А. Н., учитель математики высшей категории ИНВЕРСИЯ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ОКРУЖНОСТЬ» Аннотация. В исследовательской работе рассмотрены свойства инверсии, показано применение свойств инверсии при решении задач по теме «Окружность», приведено сравнение решения этих задач традиционным способом и с помощью инверсии. ВВЕДЕНИЕ. При решении задач по теме «Окружность» школьники часто сталкиваются с трудностями. Особенно, если это задачи повышенной трудности, олимпиадного характера. Одним из математических инструментов рационализирующим путь решения задач такого вида является объект нашего исследования – инверсия как преобразование плоскости. Геометрические построения вызывали интерес во все времена. В школьном курсе ранее рассматривались такие виды преобразований плоскости, как центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия. Важной особенностью этих преобразований является то, что отрезки преобразуются в отрезки, окружности в окружности, т.е. они сохраняют природу простейших геометрических образов. В 30-е годы XIX века начали изучать инверсию, как новое преобразование плоскости, отличающееся от других не прямолинейностью, т.е. преобразованием окружности в прямую, и наоборот. Она была введена немецким математиком Л. Магнустом однако встречается и в трудах выдающегося древнегреческого геометра Аполлония из Перги, например, в сочинении «О плоских геометрических местах». Предметом исследования стали свойства инверсии и их практическое применение при решении задач по теме «Окружность». Исследование проводилось с целью выявить эффективность применения метода инверсии. Для этого решались следующие задачи: 1) раскрыть основные свойства инверсии; 2) продемонстрировать применение инверсии при решении задач по теме «Окружность»; 3) сравнить стандартный способ решения и метод инверсии. В качестве методов исследования были использованы: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия. Гипотеза: знание свойств инверсии значительно упрощает (эффективно) при решении многих задач по теме «Окружность». В первой главе работы вводится понятие преобразования плоскости инверсия, рассматривается доказательство основных ее свойств. Вторая глава содержит задачи с богатой историей, решенные двумя способами: традиционным и применяя инверсию. Рассмотренные задачи на доказательство ценны тем, что положили начало многочисленным исследованиям в математике. ИНВЕРСИЯ И ЕЁ СВОЙСТВА плоскости α заданаПусть окружность С радиуса R сокружность центром вСточке на плоскости α задана радиуса R с центром в точке О. Инверплоскости αсией относительно этой окружности называется плоскости α относительно этой окружности называется отображение, при котори котором каждой точке Аточке плоскости α, за исключением точки точки О, ставится в соответствие ром каждой А плоскости α, за исключением оответствие лежащая нана луче ОА ОАточка точкаА' А’такая, такая,что что ОА '  лежащая луче R2 .. Такое преобразование также наOA зывают симметрией относительно окружности. Точка О называется центром симмеование также называют симметрией относительно окружности. трии, а число R2 –астепенью инверсии. ывается центром симметрии, число или R2 –коэффициентом степенью или Из определения видно, что при инверсии точки А и А’ меняются местами, отобрам инверсии. жаясь на друга. Точки остаются на месте и других неподвижных еления видно, что придруг инверсии точки А и окружности А' меняютсяСместами, точек нет. Можно отметить, что если точка А выбирается все ближе к точке О, то ОА’ уг на друга. Точки окружности С остаются на месте и других будет неограниченно возрастать. Тогда можно сделать вывод, что инверсия как бы очек нет. Можно отметить, что если точка А выбирается все выворачивает внутренность круга на его внешность и, соответственно, внешность О, то ОА' будетна неограниченно возрастать. Тогда можно сделать внутренность. Это наблюдение наводит на мысль добавить к плоскости не прирсия как бы выворачивает круга на его внешность надлежащуювнутренность ей «бесконечно удаленную точку» ∞ и считать, что при инверсии центр нно, внешность на внутренность. Это наблюдение наводит на ь к плоскости не принадлежащую ей «бесконечно удаленную тать, что при инверсии центр О переходит в ∞, а ∞ - в точку О. 27 проходящая через центр инверсии, переходит в себя. При этом О местами. Прямая как бы проворачивается по плоскости: часть ее, не окружности переходит в диаметр окружности, а диаметр ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА ДОРОНКИН МЕХИЯ Н. И., ЖУЛЬЯНОВ Р. С. отображаясь друг отображаясь наТочки друга.окружности друг Точки наокружности друга. Точки окружности остаются С месте остаются и других на месте и других отображаясь другнет. на местами, друга. С точка остаются на местена ивсе других неподвижных точек Можно отметить, что если АС выбирается и инверсии точки А и А' меняются и, соответственно, внешность на внутренность. Это наблюдение на все неподвижных точек неподвижных нет. Можно точек отметить, нет. Можно что если отметить, точка что А выбирается если точка все Анаводит выбирается неподвижных точек нет. Можно отметить, что если точка А выбирается все ближе к точке О,натоместе ОА' будет неограниченно возрастать. Тогда можно сделать окружности С остаются и других добавить к плоскости принадлежащую ей «бесконечно удаленную ближе ккак точке ближе то кнеограниченно точке будет О,неограниченно тоне ОА' будет неограниченно возрастать. Тогда возрастать. можно сделать Тогда можно сделать ближе к мысль точке О, то бы ОА'О, будет возрастать. Тогда можно сделать вывод, чтоточка инверсия выворачивает внутренность круга на его внешность тметить, что если А выбирается всеОА' вывод, что инверсия вывод, как что бы инверсия выворачивает как бы внутренность выворачивает круга внутренность на его внешность круга на его внешность точку» ∞ икак считать, что при инверсии центр О на переходит О. вывод, что инверсия бына выворачивает внутренность круга его внешность соответственно, внешность внутренность. Это наблюдение наводит нав ∞, а ∞ - в точку раниченнои,возрастать. Тогда можно сделать и, соответственно, и, соответственно, внешность на внешность внутренность. на Это внутренность. наблюдение Это наводит наблюдение на наводит и, соответственно, внешность на внутренность. Это наблюдение наводит на Тогда прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя. При этом О на мысль добавить к плоскости не принадлежащую ей «бесконечно удаленную чивает внутренность круга на его внешность О переходит в ∞ , а ∞ – в точку О . Тогда прямая, проходящая через центр инверсии, мысль добавить мысль к плоскости добавить не к принадлежащую плоскости не принадлежащую ей «бесконечно ей удаленную «бесконечно удаленную мысль добавить к плоскости не принадлежащую ей «бесконечно удаленную точку» ∞ инаблюдение считать, чтонаводит при инверсии центр О переходит в ∞, а ∞ - в точку по О. плоскости: часть ее, и ∞ меняются местами. Прямая как бы проворачивается нутренность. Это на переходит вточку» себя. При этом О и ∞что проворачиваетточку» ∞ иудаленную считать, что ∞ при иинверсии, считать, инверсии центр при инверсии Оместами. Оточку переходит акак в точку в ∞,О.а ∞ - в точку О. точку» ∞находящаяся ипроходящая считать, что при инверсии центр Оменяются переходит в диаметр ∞, центр а Прямая ∞ в-этом в∞, О. Тогда прямая, через центр переходит впереходит себя. При О∞ -бы ринадлежащую ей «бесконечно вне окружности переходит в окружности, а диаметр ся по плоскости: часть ее, находящаяся вне окружности переходит в диаметр Тогда прямая, проходящая Тогда прямая, через проходящая центр инверсии, через центр переходит инверсии, в себя. переходит При этом в себя. О окружПри этом О Тогда прямая, проходящая через центр инверсии, переходит в себя.часть При ее, этом О меняются местами. Прямая как бы проворачивается по плоскости: ии центр иО∞переходит в ∞, а ∞ в точку О. переходит вместами. два луча вне окружности, причем точкаточка О переходит в ее, ности, а диаметр переходит в два луча вне как окружности, причем О переходит и ∞ меняются и ∞ меняются Прямая местами. как бы Прямая проворачивается бы проворачивается по плоскости: часть по плоскости: ее, часть ипереходит ∞ меняются местами. Прямая как бы впроворачивается по плоскости: часть ее, находящаяся вне окружности переходит диаметр окружности, а диаметр нтр инверсии, в себя. При этом О в бесконечность, как бы соединяющую эти лучи. бесконечность, как бы соединяющую эти лучи. вне находящаяся окружности внепереходит окружности в диаметр переходит окружности, в адиаметр а окружности, диаметр а диаметр находящаяся окружности переходит в диаметр окружности, диаметр О переходит в точке переходит в находящаяся два вне луча вне окружности, причем точка бы проворачивается по плоскости: часть ее, Покажем способ построения точкиточки А’ , симметричной данной А относительПокажем способ построения А', симметричной данной точке О переходит О в переходит в переходит в два переходит луча вне в два окружности, луча вне причем окружности, точка причем точка О переходит в переходит в два луча вне окружности, причем точка как соединяющую эти лучи. случай, когда точка А находится вне окружности. Про- А еходит в бесконечность, диаметр окружности, а диаметр нобы окружности С. Рассмотрим относительно окружности С. Рассмотрим случай, когда точка А находится вне бесконечность, бесконечность, как бы соединяющую как бы эти соединяющую лучи. эти лучи. бесконечность, бы соединяющую Покажем построения А', симметричной данной точке А на ОА. Основание О как переходит в точки ужности, причем точка способ водим касательную АМ иэти излучи. точки М опускаем перпендикуляр Покажем способ Покажем построения способ точки построения А', симметричной точки А', симметричной данной А данной точке А окружности. Проводим касательную АМ и из точки М опускаем перпендикуляр Покажем способ построения точки А', симметричной данной точке относительно окружности С. Рассмотрим случай, когда точка А находится вне А точке ю эти лучи. перпендикуляра – искомая точка А’. относительно окружности относительно Рассмотрим С. случай, Рассмотрим когда точка случай, когда А находится вне относительно окружности С.Аперпендикуляра Рассмотрим случай, когда точка А находится вне точкавне окружности. Проводим касательную АМС.и окружности из точки М опускаем перпендикуляр на ОА. Основание – искомая точка А'. А находится точки А', симметричной данной точке окружности. Проводим окружности. касательную Проводим АМ касательную и из точки АМ М опускаем и из точки перпендикуляр М опускаем перпендикуляр окружности. Проводим касательную АМ и из точки М опускаем перпендикуляр на ОА. Основание отрим случай, когда точка Аперпендикуляра находится вне – искомая точка А'. на ОА. Основание на ОА. перпендикуляра Основание перпендикуляра – искомая точка – А'. искомая точка А'. на ОА. Основание перпендикуляра – искомая точка А'. ю АМ и из точки М опускаем перпендикуляр – искомая точка А'. Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 1.1Рисунок Рисунок Рисунок 1.1 Действительно, получим подобные ∆ ОМА и ∆ОА'М (∠ О –1.1общий, Действительно, Действительно, получим подобные получим ∆ ОМА подобные ии (∠ ∆ОА'М ∆и ОМА (∠ общий, О – общий, Действительно, получим подобные ∆ОМА ∆ОА’М ( ООи– –∆ОА'М общий, Действительно, получим подобные ∆ ОМА и ∆ОА'М О –∆ОА'М общий, Действительно, получим подобные ∆ (∠ О (∠ – ОМА общий, исунок 1.1 ∠ОМА и ∠ОА'М равны по 90 ). Поэтому ОА  ОМ . ОтсюдаОМА следует, ОА что ОМ ОА ОМ ОА ОМ 2 ОМ что ОА обные ∆ ОМА и ∆ОА'М Оравны – равны общий,  ОА .следует, следует, Отсюда . 2Отсюда что следует, ∠ОМА ии ∠ОА'М ∠ОМА и90˚). поПоэтому 90 90 ).ОМ равны Поэтому по' 90 . ).Отсюда Поэтому по Поэтому ОМ =R =ОА∙ОА’ и(∠ОА’М Отсюда что ∠ОМА и∠ОМА ∠ОА'М поравны 90 ).∠ОА'М следует, . Отсюда следует, что что ∠ОА'М равны по ).ОМПоэтому 2 ОМ ОА ' ОМ ОА ' ОА ' R 2 2ОМ ОА ' ОМ ОА ' и ОАследует,   =ОА·ОА' . Отсюда Поэтому ОМ =R .. 2что '2 R 2 2 и R2 2 ' 2 ОМ2=R2=ОА·ОА' OA' Rи2.=R ОМОМОА .R и ОА '  . ОА =ОА·ОА' ' =R =ОА·ОА' 2 2 и ОА ОМ OA OA =ОА·ОА' и ОА . внутриокружности,  внутри OA А находится окружности, тотоможно воспользоваться следуЕсли же Если ОМ же =R точка А точка находится можно OA Еслиточка же способом Если Апостроения: женаходится точка Апрямую внутри находится окружности, внутри окружности, то можно Если следующим же Аточка находится внутрипроводим окружности, тоОА можно ющим способом построения: проводим ОА и проходящую черезможно точку А прявоспользоваться прямую и то Если же точка А находится внутри окружности, то можно воспользоваться воспользоваться следующим способом следующим построения: способом проводим построения: прямую проводим ОА и прямую мую следующим а,то перпендикулярную . Точку пересечения прямой а с окружностью обозначим проводим прямую ОА и ОА. проходящую через точку ОА Апостроения: прямую а, перпендикулярную Точку ОА и дится внутривоспользоваться окружности, можно способом воспользоваться следующим способом построения: проводим прямую ОА и М.прямую Через точку касательную b к окружности. Точкаточку пересечения b и ОА пересечения прямой, с окружностью обозначим М. Через М проводим бом построения: проводим ОА М и апроводим есть искомая точка А’. касательную b к окружности. Точка пересечения b и ОА есть искомая точка А'. Рисунок 1.2 Рисунок 1.2 Свойства инверсии. Свойства инверсии. 1. Прямая, нене проходящая центринверсии инверсии переходит в окружность, 1. Прямая, проходящая через через центр переходит в окружность, проходящую через инверсии. проходящую черезцентр центр инверсии. 2. Окружность, проходящая черезчерез центр инверсии инверсии в пря2. Окружность, проходящая центр переходит инверсииприпереходит при мую, не проходящую через точку О. инверсии 3. в прямую, не проходящую через точку О. Окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит при инверсии 3.в окружность, Окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит при не проходящую через центр инверсии. инверсии в окружность, не проходящую через центр инверсии. 4. Если две окружности или прямая и окружность касаются в точке отличной от центра инверсии, то их образы также касаются; если же точка 28 касания совпадает с центром инверсии, то они переходят в параллельные прямые. сии в прямую, не проходящую через точку О. кости принадлежащую не принадлежащую ейпроходящая «бесконечно ей «бесконечно удаленную точку» ∞точку» ипроходящая считать, ∞ удаленную и считать, что при инверсии что приинверсии, инверсии центр Опереходит центр переходит Оэтом переходит ∞, аПри ∞ в- этом ∞, в точку а ∞О - О. в точку О. Тогда прямая, Тогда проходящая прямая, через центр инверсии, через центр переходит в себя. При в всебя. О 3. Окружность, не через центр инверсии, переходит при ерсии при инверсии центр О центр переходит О переходит в ∞, а ∞ в ∞, в точку а ∞ О. в точку О. прямая, Тогда проходящая прямая, проходящая через центр через инверсии, центр инверсии, переходит переходит При в себя. этом О этом О и ∞ вменяются иместами. ∞Тогда меняются Прямая местами. как быПрямая проворачивается как бы проворачивается по плоскости: по часть плоскости: ее,в себя. часть ее, При сии окружность, не проходящую через центр инверсии. ая центр через инверсии, центр инверсии, переходит переходит в себя. При в себя. этом При О этом О и ∞ меняются и ∞ меняются местами. местами. Прямая как Прямая бы проворачивается как бы проворачивается по плоскости: по плоскости: часть ее, часть ее, находящаяся вне находящаяся окружности вне переходит окружности в диаметр переходит окружности, в диаметр а окружности, диаметр а диаметр 4. Если две окружности или прямая и окружность касаются в точке как Прямая бы проворачивается как бы проворачивается по плоскости: по плоскости: часть ее, часть ее, находящаяся находящаяся вне окружности вне окружности переходит переходит в диаметр в диаметр окружности, окружности, а диаметр а диаметр О переходит О в переходит в переходит в переходит два луча в вне два окружности, луча вне окружности, причем точка причем точка ной от центра инверсии, то их образы также касаются; если же точка жности переходит переходит в диаметр в диаметр окружности, окружности, а диаметр а диаметр О переходит О переходит в в переходит переходит в два луча в два вне луча окружности, вне окружности, причем причем точка точка 4. Если две окружности или прямая и окружность касаются в точке отличной от бесконечность, как бы соединяющую как бы соединяющую этиони лучи.переходят эти лучи. ия совпадает сбесконечность, центром инверсии, то в параллельные О переходит О переходит в в а кружности, вне окружности, причем причем точка точка центра инверсии, то их образы также касаются; если же точка касания совпадает бесконечность, бесконечность, какточки бы соединяющую как соединяющую лучи. эти лучи. Покажем способ Покажем построения способ построения А',бысимметричной точкиэтиА', симметричной данной точке данной А точке А ые. с центром инверсии, то ониС. переходят в параллельные прямые. оединяющую щую эти лучи. эти лучи. Покажем Покажем способ построения способ построения точки А', точки симметричной А', симметричной данной точке данной относительно окружности относительно С. окружности Рассмотрим случай, Рассмотрим когда случай, точка А когда находится точка вне А находится вне А точке А 5. Инверсия между иСпрямыми. Пусть плоскости наПусть плоскости αсохраняет задана на Пусть плоскости окружность α углы задана наотносительно плоскости αокружность задана С окружностями радиуса окружность αданной задана Сиз RС. радиуса сточке окружность центром радиуса R сРассмотрим виз центром точке С Rрадиуса сперпендикуляр центром ви когда точке R с точка вцентром точке в точке 5. Инверсия сохраняет углы между окружностями прямыми. построения ия точки А', точки симметричной А', симметричной данной точке А А относительно окружности окружности Рассмотрим С. случай, случай, когда А точка находится А находится вне вне окружности. Проводим окружности. касательную Проводим АМ касательную и точки АМ М опускаем и точки М опускаем перпендикуляр (Углом между окружностями называется угол между касательными к ним Инверсией плоскости О. Инверсией плоскости О.αна Инверсией относительно плоскости αточка относительно плоскости αточка этой относительно окружности αкасательную этой относительно окружности этой называется окружности этой называется окружности называется называется (Углом между окружностями называется угол между касательными к ним вперпендикуляр точке ти смотрим С. Рассмотрим случай, когда случай, когда А находится А находится вне вне окружности. окружности. Проводим Проводим касательную АМ и из АМ точки и из М точки опускаем М опускаем перпендикуляр на ОА. Основание ОА. перпендикуляра Основание перпендикуляра – искомая точка – искомая А'. точка А'. ке пересечения. Углом между прямой и за окружностью называется угол пересечения. Углом между прямой называется угол прямой ажение, риотображение, котором отображение, каждой котором при точке котором каждой при А точке каждой котором Аперпендикуляра точке плоскости каждой α, Аисключением плоскости точке α,изаокружностью исключением плоскости α,точки за –исключением α,точки за точки точки касательную ную АМ при ии из АМ точки ина из М точки опускаем опускаем перпендикуляр перпендикуляр ОА. Основание наМплоскости ОА. Основание перпендикуляра –А искомая искомая точка А'.исключением точка А'.2 между прямой касательной к этой окружности в их общей точке). 2 2 2 и касательной к этой окружности в их общей точке). R R R R ' ра ндикуляра – искомая –иО, искомая точка А'.точка А'. лежащая .инверсии . ' относительно . авится оответствие О, ставится вА' соответствие лежащая вставится соответствие на лежащая влуче соответствие на точка луче на лежащая ОА А' такая, точка ОА наА' что точка луче такая, А' такая, точка что что. ОА '  окружОА ОА ОА ' А' ОА  что  такая, Пусть В' образы А иточек В,луче полученные при В’ОА образы А и В, полученные при инверсии Пусть А’ иточек 2 OA OA OA OA R  AB ование преобразование Такоетакже преобразование Такое называют также преобразование симметрией также называют также относительно относительно симметрией окружности. окружности. окружности. А' окружности.  относительно В' С сназывают центром в симметрией точке Оназывают .симметрией Тогда . относительно ности 2 2 2 OA OB2. ительно окружности центром О.аRТогда ывается О Точка называется центром О Точка называется центром симметрии, ОС сназывается центром симметрии, ав точке число центром симметрии, число симметрии, а Rчисло аRили число Rили – степенью –  степенью – степенью – степенью или или ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ фициентом м инверсии. коэффициентом инверсии. коэффициентом инверсии.инверсии. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ задач, Рассмотрим решение нескольких применив еления Из определения видно, Из определения что видно, Из приопределения инверсии что видно, при что инверсии точки видно, приАинверсии инепростых что точки А' при меняются Аинверсии точки и А' меняются местами, А иточки А' меняются местами, А и А' меняются местами, местами, Рассмотрим решение нескольких непростых задач, применив традиционные меционные методы и способ инверсии. руг ажаясь отображаясь на друга. друготображаясь на Точки друг друга. окружности на Точки друга. друг окружности на Точки С друга. остаются окружности Точки С остаются на окружности месте С остаются на и других месте С остаются на и месте других на и других месте и других тоды и способ инверсии. 1. Теорема Птолемея. точек вижных неподвижных нет.точек Можно неподвижных нет. точек отметить, Можно нет.точек Можно отметить, что нет. если отметить, Можно что точка если А отметить, что выбирается точка еслиАчто точка выбирается все если А выбирается точка всеА выбирается все все 1. Теорема Птолемея. Докажите, что в любом вписанном четырехугольнике АВСD еО,кближе то точке ОА'О, кбудет точке ближе то ОА' неограниченно О,кбудет то точке ОА'неограниченно О, будет товозрастать. ОА' неограниченно будет возрастать. неограниченно Тогда возрастать. можно Тогда сделать возрастать. можно Тогдасделать можно Тогда сделать можно сделать АВСD произведение Докажите, в любом вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений длин д, ерсия что вывод, инверсия как бы чтовывод, выворачивает инверсия какдлин бы чтовыворачивает инверсия как внутренность бычто выворачивает как внутренность бы выворачивает круга внутренность на его круга внешность внутренность накруга его внешность на его круга внешность на его внешность длин диагоналей равно сумме произведений длин противолежащих сторон: противолежащих сторон: АС·BD =AB·CD+BC·AD. нно, ответственно, и, внешность соответственно, и, внешность соответственно, на внутренность. внешность на внутренность. внешность на Это внутренность. наблюдение на Это внутренность. наблюдение Это наводит наблюдение на Это наводит наблюдение наводит на на наводит на АС∙BD =AB∙CD+BC∙AD. ьДоказательство. ь добавить кмысль плоскости добавить кмысль плоскости не принадлежащую добавить к плоскости не принадлежащую к плоскости неРисунок принадлежащую ей «бесконечно не принадлежащую ей «бесконечно удаленную ей «бесконечно удаленную ей «бесконечно удаленную удаленную 1.1 Рисунок 1.1 Доказательство. 1»тать, способ. Вточку» четырехугольнике ABCD построим ∠АВЕ равный ∠DBC ∞ точку» ичто считать, при ∞ и инверсии считать, что при ∞ и что инверсии считать, центр при О инверсии что переходит центр при О инверсии центр переходит в ∞, О а ∞ переходит центр в в ∞, точку О а ∞ переходит в О. ∞, в точку а ∞ в в О. ∞, точку а ∞ О. вОточку О. Е леРисунок Рисунок Действительно, Действительно, получим подобные получим ∆ ОМА подобные и построим ∆ОА'М ∆ 1.1 ОМА (∠АВЕ иО1.1 ∆ОА'М –равный общий, (∠DBC –(точка общий, 1 способ. В четырехугольнике ABCD Е лежит на диагонали АС). Тогда ∆АВЕ и ∆DBC будут подобны, так как проходящая прямая, Тогда прямая, проходящая Тогда через проходящая центр прямая, инверсии, проходящая центр через инверсии, переходит центр через инверсии, переходит центр в себя. переходит При этом переходит При О вОМА себя. этом в∆ОА'М себя. этомкак О(∠ этом Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 ОА ОМв себя. ОМ∆При Действительно, Действительно, получим получим подобные подобные ∆ОА иО ОМА иПри ∆ОА'М О –=О (∠ общий, О – общий, жит на через диагонали АС ). Тогда ∆АВЕ иинверсии, ∆DBC будут подобны, так АВЕ DBC ∠АВЕ=∠DBC по90 построению и90 ∠BAC=∠BDC как вписанные, опирающиеся на вписанные, . Отсюда следует, .ее, Отсюда что следует, что ∠ОМА иПрямая ∠ОА'М равны и проворачивается ∠ОА'М по равны ). Поэтому по ). Поэтому ∠АВЕ=∠DBC по построению и ∠BAC=∠BDC как опирающиеся на местами. еняются и ∞ меняются местами. ∞∠ОМА меняются как местами. Прямая бы Прямая как местами. бы проворачивается как Прямая бы по проворачивается как плоскости: бы по проворачивается плоскости: часть по ее, плоскости: часть по плоскости: часть ее, часть ее, ∠АВЕ=∠DBC по построению и ∠BAC=∠BDC как вписанные, опирающиеся на ОА ОМ ОА ОМ олучим подобные подобные ∆иОМА ∆ и ОМА ∆ОА'М и ∆ОА'М (∠ О – (∠ общий, О – общий, по построению и BAC = BDC как опирающиеся одну и ту же дугу. ОМвписанные, ОА ' ОА ' а диаметр  а .диаметр одну ии ту жеже дугу. . на Отсюда Отсюда следует, следует, что что ∠ОМА ивне ∠ОМА ∠ОА'М и равны ∠ОА'М по равны ).по Поэтому ). ОМ Поэтому одну ту 2 дугу. 2 не ящаяся находящаяся окружности вне находящаяся окружности вне переходит окружности переходит вОМ диаметр окружности переходит в Rокружности, диаметр переходит в 90 диаметр окружности, а в90 диаметр окружности, диаметр а ОМ диаметр окружности, ОА ОМ ОА одну и ту же дугу. ОА ОМ ' ОА' R 2 2 2 2 ' . Отсюда '   . Отсюда следует, следует, что что ыдва ). по Поэтому 90 ). Поэтому =R и=R =ОА·ОА' .ОА илуча . окружности, ОМ ОМ ОА ОА  окружности, вне переходит Оточка переходит в О точка переходит в О переходит в в одит переходит луча в =ОА·ОА' два вне переходит влуча окружности, два вне луча два вне причем окружности, точка причем точка причем ОМ ОА ' вOA R 2 Опричем R2 2 ОМ 2 2' 2 OA ' ' =R =ОА·ОА' =R =ОА·ОА' и и . . ОМ ОМ ОА ОА   2 нечность, как бы соединяющую как бесконечность, бы соединяющую как бы этисоединяющую лучи. бы эти соединяющую лучи.эти лучи. эти лучи.внутри окружности, R бесконечность, OAокружности, же точка Если Акак же находится точка А OA внутри находится то можно то можно . Если Покажем способ Покажем построения способ Покажем построения способ точки построения способ А', точки симметричной построения А', точки симметричной А', данной точки симметричной А', точке данной симметричной А прямую данной точке Аточке данной А точке Аможно OA Если способом же Еслиточка же А точка находится Апроводим находится внутри внутри окружности, окружности, тоОА воспользоваться воспользоваться следующим следующим построения: способом построения: проводим ОА ипрямую и то можно ительно кружности относительно окружности С. относительно Рассмотрим окружности С. Рассмотрим окружности случай, С. Рассмотрим когда случай, С. точка Рассмотрим случай, когда А находится точка когда случай, А точка находится вне когда А находится точка вне А находится вне вне аходится А находится внутри воспользоваться внутри окружности, окружности, то можно то можно способом воспользоваться следующим следующим способом построения: построения: проводимпроводим прямую прямую ОА и ОА и жности. роводим окружности. Проводим касательную окружности. Проводим касательную АМПроводим икасательную изпроводим точки АМ икасательную М изАМ опускаем точки АМ опускаем перпендикуляр изопускаем точки перпендикуляр М опускаем перпендикуляр перпендикуляр особом щим способом построения: построения: проводим прямую прямую ОАи из иМточки ОА ииМ А. ниеОснование на перпендикуляра ОА. Основание на перпендикуляра ОА. Основание –перпендикуляра искомая–точка перпендикуляра искомая А'. – искомая точка А'. –точка искомая А'. точка А'. Рисунок 2.1 Рисунок Рисунок 2.1 Рисунок2.1 2.1 АВ AE АВ  AE АВ Следовательно, то есть Следовательно, ,, то есть  AE Следовательно, ,, то Следовательно, то есть есть BD DC BD DC BD DC AB·DC=AE·BD. (1)(1) AB∙DC=AE∙BD. (1) AB·DC=AE·BD. AB·DC=AE·BD. Рисунок 1.1Рисунок 1.1 Рисунок 1.1Рисунок 1.1 ИзИзподобия ∆ВСЕ и ∆BDA (∠��∠��, ∠��∠��) следует, что ∆ВСЕ ии ∆BDA (∠��∠��, ∠��∠��) Из подобия подобия ∆ВСЕ ∆BDA (∠��∠��, ∠��∠��) ельно, Действительно, получим Действительно, подобные Действительно, получим подобные ∆ ОМА получим подобные и∆и ∆ОА'М ОМА подобные ∆и ОМА (∠ О –и∆=общий, ∆ОА'М ОМА (∠DBA О –и, (∠ общий, ∆ОА'М О – =общий, (∠ADB О –следует, Из ∆ВСЕ ∆BDA ( ∆ОА'М СВЕ ECB ) общий, следует,что что ВС получим ЕС подобия ВС  ЕС ВС ЕС или ОА ОМ ОА ОМ ОА ОМ ОА ОМ  или ипо или  по  Поэтому   . Отсюда . следует, Отсюда . Отсюда что следует, . следует, Отсюда что что следует, что А 'Ми ∠ОМА равны ∠ОА'М ипо∠ОМА ∠ОА'М равны 90 ).АD Поэтому равны ∠ОА'М 90 ).поПоэтому равны 90 ). Поэтому 90 ). BD или BD BD АD АD ОМ ОА' ОМ ОАОМ ' ОА' ОМ ОА' ВС·АD=EС·BD. (2)(2) 2 2 ВС·АD=EС·BD. R2 R2 RВС·АD=EС·BD. 2' 2R ВС∙АD=EС∙BD. (2) ' Сложим Получим А' R2ОМ и =ОА·ОА' =R2=ОА·ОА' и. 2=R и =ОА·ОА' . ' равенства и. ' (1). и (2). ОМ ОА  OA ОА  ОА  ОА  Сложим Сложим равенства (1) ии (2). (2). Получим Получим OA OAравенства OA (1) АВ·DC+BC·AD = AE·BD+EC·BD = (AE+EC)·BD = AC·BD. Сложим равенства (1) и (2). Получим АВ·DC+BC·AD == AE·BD+EC·BD (AE+EC)·BD =то AC·BD. АВ·DC+BC·AD AE·BD+EC·BD (AE+EC)·BD еЕсли точкаже Если Аточка же находится Если точка А же находится внутри Аточка находится окружности, внутри А находится внутри окружности, то==окружности, внутри можно то окружности, можно можно то можно Итак, АВ·DC+BC·AD = AC·BD, что и требовалось доказать. Итак, АВ·DC+BC·AD = AC·BD, что и требовалось доказать. Итак, АВ·DC+BC·AD = AC·BD, что и требовалось яльзоваться следующим воспользоваться следующим воспользоваться способом следующим способом построения: следующим способом проводим способом построения: проводим прямую проводим ОА прямую и = проводим прямую ОА и ОА прямую и ОА и АВ∙DC+BC∙AD =построения: AE∙BD+EC∙BD = построения: (AE+EC)∙BD AC∙BD. Итак, АВ∙DC+BC∙AD = AC∙BD, что и требовалось доказать. 2 способ. 22 способ. способ. Выполним инверсию с центром в вершине А. Тогда описанная около Выполним инверсию Выполним инверсию сс центром центром вв вершине вершине А. Тогда описанная около способ. ABCD2 окружность Т перейдет в прямую Т'. Вершины B, C, D – соответственно ABCD окружность Т перейдет в прямую Т'. Вершины B, C, D – соответственно ABCD окружность Т перейдет в прямую Т'. Вершины Выполним описанная около ABCD в B', C', D' точки инверсию на прямойсТ',центром а точка вА вершине перейдет А в .∞.Тогда Следовательно, вокружность B', C', D' точки на прямой Т', а точка А перейдет в ∞. Следовательно, в B', C', D' точки на прямой Т', а точка А перейдет вD∞.– соответственно в B’, C’, D’ Т перейдет в прямую Т’ . Вершины B, C, В'D' = B'C'+C'D'. (3) В'D' B'C'+C'D'. (3) В'D'А==перейдет B'C'+C'D'. ∞. Следовательно, точки на прямой Т’, а точка инверсии.вТогда Пусть R2 –22коэффициент Пусть коэффициент инверсии. инверсии. Тогда Тогда Пусть RR –– коэффициент В’D’ = B’C’+C’D’. (3) 29 Рисунок 2.2 2.2 Рисунок 2.2 РисунокРисунок 2.2 Пусть R2 – коэффициент инверсии. Тогда R 2  BC , R 2  BC В ' С'   BC RВ2' С' ,  ,   AC В ' С'AB R 2 AB BD ACAB2  AC В ' D'  2 , R  BD  BD RAB ,  , ' D' 2  В В ' D'AD AD R  AD CD  AB 2  AB C ' D'  R  CD 2 . AC  RAD CD .  AD . C ' D'  C ' D'  AC AC  AD (4) (4) (4) (4) Подставим равенства Подставим равенства (4) (4) вв (3). (3). Имеем Имеем Подставим 2 2 2 равенства (4) в (3). Имеем R Подставим R  CD  BD R 2 BC равенства Имеем , Rв2 (3).  R  BD  R 2  BC,(4)  CD 2 2 ADR 2AB , AC RAD   BD AB RAC  BC  CD ,  AD AD  доказать.   AC AC AB AB Что иЧто требовалось и требовалось доказать. AD  AB AB  AC AC  AD Что и требовалось доказать. Что и требовалось доказать. 2. Формула Формула Эйлера. Эйлера. Пусть r и R – радиусы вписанной Т1 и описанной Т2 2. Формула Эйлера. Пусть rи R – радиусы вписанной Т1 и, аописанной r и R – радиусы вписанной Т1 и описанной Т2этих окружностей ∆АВС d – рас- Т2 Пусть окружностей ∆АВС, аЭйлера. d – расстояние между центрами окружностей. и описанной 2.окружностей Формула Пусть r и R – радиусы вписанной Т 1 2 2 а окружностей. d – расстояние между центрами этих окружностей. Т2 стояние междучто центрами Доказать, d =∆АВС, Rd ––этих 2·r·R. 2 окружностей ∆АВС, а расстояние между центрами этих окружностей. 2 2 что2d = R2 – 2·r·R. Доказать, Доказать, что d = R 2 – 2∙r∙R. Доказательство. Доказать, что d = R – 2·r·R. 1Доказательство. способ. Доказательство. Доказательство. 1 способ. 1 способ. 1 способ. Рисунок 2.3 Рисунок 2.3 Пусть О и О1 – центры описанной и вписанной окружностей. Биссектриса ВО1 пересекает описанную окружность в30точке Т, которая является серединой дуги АС (∠АВТ и ∠СВТ равны α). Продлим ОО1 до пересечения с описанной окружностью. VL – диаметр описанной окружности. нутренность. сть. ть етственно, но, наЭто внешность внутренность. наблюдение внешность Это нанаблюдение внутренность. Это наводит на наблюдение внутренность. напереходит Это на наводит на на щую ей «бесконечно удаленную тать, при инверсии что при инверсии центр О переходит центр Онаводит в ∞, наблюдение анаводит ∞Это в- в∞,наблюдение точку ана∞ -наводит О. в точку О. Точки окружности Точки окружности С остаются С Тогда остаются на месте на и сделать месте других исделать других но ить, отметить, что если что точка А выбирается Авнешность выбирается все все ОА' ниченно тщую иже очке неограниченно будет кО, точке то возрастать. неограниченно ОА' О, то будет возрастать. ОА' будет возрастать. можно неограниченно сделать можно возрастать. можно возрастать. Тогда Тогда можно сделать сделать вает внутренность круга на круга его внешность на его нутренность. сть. ьдруга. на Это внутренность. наблюдение Это наводит наблюдение наводит на наводит на на инадлежащую ьитренность обавить кпереходит не плоскости принадлежащую ей кнаблюдение «бесконечно плоскости ей не «бесконечно принадлежащую не удаленную ей принадлежащую «бесконечно удаленную ей «бесконечно удаленную ей удаленную удаленную О вЭто ∞, аесли ∞Тогда -неограниченно вточка точку О. щая проходящая через центр через инверсии, центр инверсии, переходит переходит вТогда себя. При в «бесконечно себя. этом При Оможно этом О жно нет. Можно отметить, отметить, что если что точка если А точка выбирается А выбирается все все неограниченно ченно возрастать. возрастать. Тогда можно Тогда сделать можно сделать ывод, как ыворачивает о ает инверсия бы внутренность что выворачивает инверсия как внутренность бы круга выворачивает как внутренность бы на выворачивает круга его внешность на внутренность круга его внешность внутренность на его круга внешность на круга его внешность на его внешность утренность. сть. Это наблюдение Это наблюдение наводит на и инадлежащую щую не принадлежащую ейкак «бесконечно ей ей удаленную «бесконечно удаленную удаленную ∞ О тать, иии, инверсии ипереходит центр считать, что О при центр переходит что винверсии ∞, при О а«бесконечно переходит ∞бы инверсии -вПри вцентр ∞, точку аэтом ∞О внаводит -центр О. ∞, впереходит аплоскости: ∞О -на переходит О. впо точку в плоскости: ∞,часть аО.∞в -∞, в аточку ∞ - вО. точку О. переходит впроворачивается себя. О местами. Прямая Прямая бы как проворачивается поточку ее, часть ее, ОА' тьтственно, неограниченно будет неограниченно возрастать. возрастать. Тогда можно Тогда сделать можно сделать ет орачивает внутренность внутренность круга на круга его внешность на его внешность нешность тренность. соответственно, на внутренность. на внешность Это внутренность. наблюдение внешность Это на наблюдение внутренность. Это на наводит внутренность. наблюдение наводит на Это наблюдение наводит на Это наблюдение на наводит наводит наО на надлежащую щую ей «бесконечно ей «бесконечно удаленную удаленную О инверсии и переходит центр О центр переходит в ∞, О а переходит ∞ в в ∞, точку а ∞ в О. ∞, точку а ∞ в О. точку О. рямая, тр ерез ии, роходящая инверсии, переходит центр проходящая инверсии, через переходит в себя. центр через переходит При в инверсии, центр себя. этом При инверсии, О в себя. переходит этом При О переходит этом в себя. О в При себя. этом При О ачивается по плоскости: часть ее, жности не окружности переходит переходит в диаметр в диаметр окружности, окружности, а диаметр а диаметрэтом как ыворачивает бы выворачивает внутренность внутренность круга на круга его внешность на его внешность ренность. на внутренность. Это наблюдение Это наблюдение наводит наводит на на лоскости ысль надлежащую бавить не принадлежащую добавить к не плоскости принадлежащую ей к «бесконечно плоскости не ей принадлежащую «бесконечно не ей удаленную принадлежащую «бесконечно удаленную ей «бесконечно удаленную ей «бесконечно удаленную удаленную О центр переходит О переходит в ∞, а ∞ в ∞, в точку а ∞ в О. точку О. тр рез ии, инверсии, центр переходит инверсии, переходит в себя. переходит При в себя. этом При в О себя. этом При О этом О местами. мая яются ы ачивается проворачивается как местами. бы Прямая по проворачивается плоскости: Прямая как по быпричем плоскости: проворачивается часть бы по плоскости: ее, проворачивается частьОее, почасть плоскости: по переходит плоскости: ее, часть ее, диаметр окружности, акак диаметр переходит Оее, вчасть в адва вне луча окружности, вне окружности, причем точка точка Рисунок 2.3 нешность ьдиаметр на внутренность. на внутренность. Это Это наблюдение наводит на на не длежащую принадлежащую ей ей инверсии чку» то ицентр считать, при ∞ О инверсии идиаметр переходит центр считать, что при Опереходит центр переходит что инверсии впереходит ∞, при Осебя. анаблюдение переходит ∞ инверсии в-О центр вее, ∞, ацентры Оцентр вудаленную -переходит О. ∞, вее, аописанной О ∞ переходит - наводит вее, О. вточку ∞, иаа вписанной О. ∞ в -∞,вааточку ∞ - окружностей. вО. точку О. Биссектриса ВО рне ии, инверсии, переходит переходит в«бесконечно себя. При ва«бесконечно этом При О–точку этом Оаточку ы ая ачивается проворачивается как проворачивается по плоскости: по плоскости: часть по плоскости: часть часть Пусть О ивудаленную Рисунок 2.3 ходит ти аяся окружности переходит вне вбы окружности, окружности диаметр окружности, переходит диаметр окружности, диаметр в∞ диаметр окружности, диаметр окружности, диаметр диаметр О причем точка оединяющую как бы соединяющую эти лучи. эти лучи. 1 ав диаметр 1 Рисунок 2.3 лоскости не принадлежащую не принадлежащую ей «бесконечно ей «бесконечно удаленную удаленную ентр версии О переходит центр О переходит в ∞, а ∞ в в ∞, точку а ∞ О. в точку О. ок 1.1 р огда ямая, рез ящая инверсии, центр прямая, проходящая через инверсии, центр переходит проходящая через инверсии, переходит в центр себя. через переходит При инверсии, центр в себя. этом инверсии, При в О переходит себя. этом При переходит О этом в себя. О в При себя. этом При О этом О серединой дуги АС ы ачивается проворачивается по плоскости: по плоскости: часть ее, часть ее, описанную окружность ввпереходит точке Тпереходит , которая является ходит диаметр переходит вдва диаметр окружности, впересекает диаметр окружности, асимметричной диаметр окружности, а диаметр а диаметр Опричем переходит О переходит в О переходит в О О в в не жности, два ит причем окружности, влуча причем точка вне луча окружности, вне точка окружности, точка причем причем точка точка .и построения способ построения точки А', точки А', симметричной данной точке данной А точке А Пусть Оа и∞При О центры описанной и вписанной окружностей. Биссектриса 1∞, что инверсии инверсии центр центр переходит Оточке переходит ∞, вαО -ее, в–Продлим аописанной ∞ -Опо О. в вчасть точку О.плоскости: МА ые ∆при ибы ∆ОА'М илучи. (∠ ∆ОА'М О –плоскости: общий, О –как общий, з.кружности нверсии, центр инверсии, переходит впереходит себя. При себя. этом этом ются ая ∞ проворачивается меняются Прямая как местами. бы проворачивается как местами. бы Прямая проворачивается по Прямая бы по проворачивается плоскости: бы по проворачивается плоскости: часть ее, плоскости: по ее, частьокружностей. ее, часть ее, Биссектриса ( ОО АВТ икак СВТ равны ).А ОО до пересечения с описанной окружностью. одит диаметр вОМА диаметр окружности, окружности, а(∠ диаметр а1А диаметр О вчасть О переходит вточку жности, еи. причем окружности, причем точка причем точка точка Пусть ивпереходит О –лучи. центры чность, няющую как эти лучи. соединяющую как эти бы соединяющую эти лучи. эти симметричной данной 1и вписанной ти С. Рассмотрим С. Рассмотрим случай, когда случай, точка когда находится точка А находится вне вне пересекает описанную окружность в точке Т, которая Биссектриса является серединой ВО 1 по Пусть О иплоскости: О –себя. центры описанной ив вписанной окружностей. А ОМ ОА ОМ рез ящая центр через инверсии, центр инверсии, переходит переходит в При в себя. этом При О этом О 1в роворачивается как бы проворачивается по плоскости: часть ее, часть ее, VL – диаметр описанной окружности. одит ружности и ходящаяся яся переходит вне в диаметр окружности переходит вне в диаметр окружности окружности, в переходит диаметр окружности, переходит а диаметр окружности, в диаметр а в диаметр диаметр окружности, а диаметр окружности, а диаметр а диаметр О переходит О переходит в ности, причем причем точка точка няющую . эти лучи. эти лучи. пересекает описанную окружность точке Т, которая является серединой ВО окажем точки роения способ симметричной А', способ точки построения симметричной А', построения данной симметричной точки точке данной А', точки симметричной А точке данной А', симметричной А точке данной А данной точке А точке А чай, точка находится вне  когда  АМ.1А роводим касательную ипересекает из АМ точки иАС из Мописанную точки опускаем Ми опускаем перпендикуляр перпендикуляр . касательную Отсюда Отсюда следует, следует, что что тому пересечения с описанной дуги (∠АВТ ∠СВТ равны α). Продлим ОО1 доявляется окружность в ее, точке Т, переходит которая серединой ВО ая и. как Прямая бы проворачивается как бы проворачивается по плоскости: понаходится часть ее, М ОА ОМ ' точки ' 1причем ит переходит диаметр вОА диаметр окружности, окружности, аокружности, диаметр аплоскости: диаметр О переходит О переходит вА О переходит в=часть О впереходит О в в с описанной еельно ности, туча реходит окружности, ввлучи. вне два причем всимметричной окружности, луча два точка вне луча окружности, вне причем точка точка причем причем точка точка эти .ндикуляра роения точки симметричной А', А', данной симметричной точке данной А данной точке точке А дуги АС (∠АВТ и ∠СВТ равны α). Продлим ОО трим чай, кружности Рассмотрим когда случай, окружности точка когда случай, Рассмотрим А С. находится точка Рассмотрим когда А случай, точка находится вне случай, А когда вне точка когда А вне точка находится АLO находится вне вне точки М опускаем перпендикуляр 1 до пересечения VO R+d, =окружности. R-d. (5) ние перпендикуляра –С. искомая – точка искомая А'. точка А'. окружностью. VL – диаметр 1 описанной 1ОО до пересечения с описанной дуги АС (∠АВТ и ∠СВТ равны α). Продлим ружности и переходит переходит виз диаметр вОМ диаметр окружности, окружности, аА диаметр а перпендикуляр диаметр 1 переходит О переходит ввне ввне сти, окружности, причем причем точка точка ы ность, сконечность, яющую ти соединяющую лучи. как эти бы лучи. соединяющую как эти бы лучи. соединяющую эти лучи. эти лучи. очки симметричной А', симметричной данной данной точке трим чай, Рассмотрим случай, точка когда А находится точка когда точка находится вне А находится окружностью. VL –А диаметр описанной окружности. роводим точки АМ ельную сти. икогда Проводим из М касательную АМ точки опускаем ислучай, М касательную точки опускаем перпендикуляр АМ иА опускаем из перпендикуляр АМ точки иточке из перпендикуляр Мточки опускаем М опускаем перпендикуляр точка А'. LO =имеем R-d. (5) VO1 =в R+d, Используя свойство пересекающихся хорд, окружностью. VL – точке диаметр описанной окружности. О переходит О еточка окружности, вне окружности, причем причем точка точка ющую и лучи. эти лучи. очки кажем буча оения построения Покажем А', точки симметричной А', способ построения точки симметричной А', построения симметричной данной А', точки симметричной А1 = А', данной точке симметричной Аточке данной Ав 1 данной точке Аточке А рим чай, когда точка Аопускаем точка находится А находится вне вне ельную АМ точки ислучай, из М АМ точки опускаем икогда из Мточки перпендикуляр М опускаем перпендикуляр перпендикуляр R+d, LO (5) VO Основание куляра искомая ие перпендикуляра А'. –способ искомая точка перпендикуляра А'. точка – искомая А'.данной –точки искомая точка А'. точка А'.переходит 1 = R-d. Используя свойство пересекающихся хорд, имеем = LO (5) VO ы яющую соединяющую эти лучи. эти лучи. 1случай, 1 =АR-d. ри яискомая окружности, окружности, то можно то можно ения ки А', точки симметричной А', симметричной данной точке данной А точке А рим льно носительно ости Рассмотрим случай, окружности С. Рассмотрим когда окружности случай, С. точка Рассмотрим случай, когда А С.перпендикуляр находится точка Рассмотрим когда случай, Аточка находится вне когда А R+d, находится вне точка когда точка вне находится А1имеем находится вне вне VO ∙LO = BO ∙O T. (6) АМ точки ивнутри из точки опускаем М опускаем перпендикуляр точка уляра А'. –М искомая точка А'. точка А'. Используя свойство пересекающихся хорд, 1 1 BO 1 T. VO ·LO = ·O (6) 1 1 1 1 Используя свойство пересекающихся хорд, имеем об оения построения точки А', точки симметричной А', симметричной данной данной точке А точке А ния: построения: проводим проводим прямую прямую ОА иМА ОА ии1из ассмотрим м случай, когда случай, точка когда А находится точка находится вне вне ельную м ружности. М ти. касательную иПроводим из точки Проводим и из М касательную АМ точки опускаем и из касательную М точки опускаем перпендикуляр АМ и опускаем из АМ перпендикуляр точки М перпендикуляр точки опускаем М опускаем перпендикуляр перпендикуляр точка скомая А'.АМ точка А'. VO ·LO = BO ·O T. (6) 1 М1 (М ∆ВО·LO М 1(М – точка касания вписанной стороной со Из прямоугольного – точка касанияокружности вписанной окружности Изкогда прямоугольного VO =∆ВО BO (6)со ности Рассмотрим С. Рассмотрим когда случай, Аискомая точка находится находится вне вне 1 1А 1М 1–1·O 1T. ьную и из Основание АМ точки и из Мслучай, опускаем М опускаем перпендикуляр рпендикуляра уляра снование скомая ОА. – точка искомая перпендикуляра А'. –точки искомая точка перпендикуляра А'. точка – точка искомая А'. –перпендикуляр точка А'. точка А'. (М точка касания вписанной окружности со прямоугольного ∆ВО 1 АВ ) Из получим стороной АВ) получим Из прямоугольного ∆ВОперпендикуляр им ельную касательную АМ А'. и стороной из АМ точки иА'. из М точки опускаем М опускаем перпендикуляр 1М (М – точка касания вписанной окружности со яра омая – точка искомая точка АВ) получим ОМ r стороной АВ) получим уляра рпендикуляра – искомая – искомая точка А'. точка А'. ВО1  1 , rВО1  . (7) (7) ОМ sin1  r . sin  ВО1  О11М , ВО (7) ВО1описанная  sin  , ВОоколо . (7)и около ∆ТВС. 1  sin  Окружность, является описанной sin  ∆АВС ∆АВС, Окружность, описанная около , sin является описанной и около ∆ТВС . Тогда из Окружность, описанная около ∆АВС, является описанной и около ∆ТВС. из ∆ТВС, используя следствие из теоремы синусов и имеем Окружность, описанная около ∆АВС, является описанной около ∆ТВС. ∆ТВС ,Тогда используя следствие из теоремы синусов имеем Тогда из ∆ТВС, следствие из теоремы синусов имеем TCиспользуя следствие Тогда из  2  R , TC  2  R  sin из . теоремы синусов имеем TC∆ТВС, используя  R ,TC  2  R  sin  . TC  2 sin sin   2Покажем,  R , TC  2 что R  sin  .= ТО = АТ (задача о трилистнике). ТС sin  Покажем, что ТС = ТО = АТ (задача о трилистнике). Рисунок 1.1 РисунокДокажем 1.1 Покажем, что (задача о отрилистнике). что ∠О1АТ=∠АО 1Т. Покажем, чтоТС ТС=вначале, =ТО ТО=∠О =АТ АТ (задача трилистнике). АТ=∠АО Т. Докажем вначале, что 1 – =(∠ олучим ельно, получим подобныеподобные ∆ ОМА∠АО ∆ивначале, ОМА ∆ОА'М ичто (∠ ∆ОА'М общий, О 1Т1–1Т. Докажем вначале, что ОО АТ АО .В.общий, угол ∆АО Тогда 1Т – внешний 1 1АТ=∠АО Докажем ∠О 1 Т–общий, –внешний внешний угол ∆АО В. Тогда ∠АО сунок Рисунок 1.1 (∠Рисунок Рисунок 1.1 1.1угол ОМ ОА ОМ ОМА1.1 и ∆ОА'М О 1ОА АО Т–1Т ∆АО В.1ВА Тогда = +∠О = 0,5·(∠АВС+∠ВАС). ∠АО 1 1В. 1Т 1∆АО  внешний ∠ВАО . Отсюда . следует, Отсюда следует, что что ысунок 'МОА поравны 90 ). по Поэтому 90 ). Поэтому – угол Тогда ∠АО 1 1 1.1 Рисунок 1.1 =∆ВАО ∠ВАО +∠О = ∆ОА'М 0,5·(∠АВС+∠ВАС). ∠АО ельно, им ОМА бные йствительно, подобные ∆иОМ получим ОМА ∆ОА'М получим ∆иподобные ОМА (∠ ∆ОА'М О ОМ –1Т=∆ОА'М общий, (∠ О ОМА –1+=(∠ ∆ и О ∆ОА'М – =общий, и0,5∙( (∠АВС О –+(∠общий, О –). общий, АО Типодобные ООМА ВА ВАС 1общий, 1' ВА ОА 'ОМ ОА 1 Т ∠О 11АС+∠САТ. АТ ∠О  . Отсюда следует, что 1 = ∠ВАО +∠О ВА = 0,5·(∠АВС+∠ВАС). ∠АО 1 1 1 2подобные 2 унок 1.1∆и ОА ОМ ОА ОА ОА ОМ ОМ им бные ОМА ОМА ∆ОА'М ∆иОМ ОМА (∠ ∆ОА'М О и–ОМ (∠ общий, О –+(∠ общий, ООА.– общий, =Поэтому ∠О ∠О АТ =∆ОА'М О АС САТ ОМ ОА 'R R 1АТ 1АС+∠САТ. ' 1 1что  по ∠ САТ =∠СВТ (вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Значит, . Отсюда .О следует, Отсюда .∠О Отсюда следует, следует, что . Отсюда что . Отсюда следует, следует, что что Поэтому иА' М 90 ∠ОА'М равны ).Рисунок Поэтому по равны 90 ).ОА Поэтому 90 ).Рисунок и . . ОА  ∆ОА'М АТ = АС+∠САТ. ∠О 1 1 унок 1.1 1.1 Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 1.1 ОА ОМ ОА ОМ ОМ ОМА ные ∆ и ОМА и ∆ОА'М (∠ О – (∠ общий, О – общий, САТ = СВТ (вписанные, опирающиеся на одну и ту и жетудугу). ОМ ОА'ОМ ОАОМ '∠ ОА= ' . ∠СВТ ОМ (вписанные, ОА ОМ ' ОА ' опирающиеся САТ на одну же дугу). Значит, OA ). Поэтому OA   . Отсюда . следует, Отсюда Отсюда следует, что следует, что что Поэтому 90 АТ =∠О АС+∠СВТ = 0,5·(∠АВС+∠ВАС). ∠О 1 1 САТ = ∠СВТ (вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу). Значит, 2 получим 2 ∠получим ок 1.1 Рисунок 1.1 ОА ОМ ОА ОМ ные м ствительно, получим подобные Действительно, ∆ ОМА подобные ∆ и ОМА ∆ОА'М ∆ подобные и ОМА (∠ ∆ОА'М О подобные и – ∆ОА'М ∆ (∠ общий, ОМА О – ∆ (∠ общий, и ОМА О ∆ОА'М – и общий, ∆ОА'М (∠ О – (∠ общий, О – общий, Значит, О АТ = О АС + СВТ = 0,5∙( АВС + ВАС ). ОМ ОА ' ОМ ОА ОМ ' ОА ' R R АТ =∠О АС+∠СВТ = 0,5·(∠АВС+∠ВАС). ∠О е А точка находится А находится внутри внутри окружности, окружности, то можно то можно ' ' 1 1 1 1   и .ОА ∠О Отсюда . .Отсюда следует, следует, что что оэтому А' =ОА·ОА' и∆ОА  1АТ ∠АО ∆О1АТ – равнобедренный. Тогда Итак, ∠О 1АТ 1Т, то =∠О АС+∠СВТ =ОА 0,5·(∠АВС+∠ВАС). Рисунок Рисунок 1.1 ОА ОМ ОМ ОА ОМ ОМ ОА ые подобные ОМА ∆и.1.1 ОМА ∆ОА'М ито (∠ ∆ОА'М О –проводим (∠ общий, О общий, 1О Итак, АТ = АО Т–проводим ,1= то ∆О АТ –ОМ равнобедренный. Тогда АТ = ТО . АТ = ТО1. ОМ ОА ОМ ' ). ОА 'ОА OA OA утри окружности, можно АТ = ∠АО Т, то ∆О АТ – равнобедренный. Тогда АТ = Итак, ∠О 190 1следует, 1что 1 ТО1. ющим яэтому следующим способом способом построения: построения: прямую прямую ОА и ОА и 1следует, 1  Поэтому  по   . Отсюда . Отсюда . Отсюда что следует, . Отсюда . что Отсюда следует, следует, что что вны ОМА 90 ∠ОА'М ).поиПоэтому 90 ∠ОА'М равны по равны 90 ). Поэтому ). Поэтому АТ =и ТС, так как ∠АВТ =∠СВТ. Следовательно, ОА ОМ ОА ОМ мполучим подобные подобные ∆внутри ОМА ∆находится иОА ОМА ∆ОА'М (∠ О –=(∠ общий, О общий, =∆ОА'М то ∆О –' равнобедренный. Итак, ∠О АТ = ТС так как АВТ СВТ Следовательно, 1АТ 1Т, ОМ ' ,следует, ОА ' ∠АО ОМ ОА ОМ ' 1–.АТ ОА еится утри ли точка жевнутри окружности, точка находится окружности, А окружности, можно внутри внутри можно окружности, то можно окружности, то можно то можно Тогда АТ = ТО1. роения: проводим прямую ОА икак АТ = ТС, такто ∠АВТ =∠СВТ. Следовательно, А ОА  то . 2'ОМ Отсюда .ОМ Отсюда следует, что что ому ).находится Поэтому 2 2 ОА ТО=ТС=2·R·sinα. (8) ОА ОМ ОМ АТ = ТС, так как ∠АВТ =∠СВТ. Следовательно, ОМ ОА 'ОМ ОА ' проводим R Rпроводим Rокружности, 2 Поэтому ится утри находится внутри то можно то и можно ' 2 ' внутри '  мроения: зоваться я90 ом способом построения: проводим построения: способом прямую построения: ОА построения: прямую ОА проводим ОА проводим и прямую ОА и ОА и  тои . прямую Отсюда .можно Отсюда следует, следует, чтопрямую что вны ). по 90 ТО=ТС=2·R·sinα. (8) ТО=ТС=2∙R∙sinα. (8) ОА·ОА' =R =ОА·ОА' .окружности, иследующим иокружности, . . М А ОА). ОА следующим Поэтому способом Подставим выражения (5), (7), (8) в равенство (6). ОМ ОА ОМ ' можно ОА ' можно ТО=ТС=2·R·sinα. (8) OA OA OA тся утри внутри окружности, окружности, то то роения: ом способом построения: проводим построения: проводим прямую проводим прямую ОА и прямую ОА и ОА и Подставим выражения (5), (7), (8) в равенство (6). 2 rможно выражения (5), (7), (8) окружности, в равенство RА Подставим выражения (5), в равенство (6). тся ка Если же внутри точка находится же внутри окружности, точка АПодставим находится внутри окружности, А прямую находится можно окружности, то можно можно то можно ' находится роения: м проводим прямую ОА (R то dокружности, )и (внутри R  d то ) ивнутри (7), 2  R(8)  sin . то (6). rОА . проводим Аи построения: sin  ( R  d )  ( R  d )   2  R  sin  . r топостроения: OA следующим находится ям внутри внутри окружности, окружности, то можно можно оваться спользоваться ующим способом построения: способом построения: следующим проводим построения: способом проводим прямую способом построения: проводим прямую ОА и прямую ОА проводим и проводим ОА прямую и прямую ОА и ОА и ( R  d )  ( R  d )  sin   2  R  sin  . чка находится А построения: находится внутри внутри окружности, можно то можно sin  ито ОА пособом построения: проводим проводим прямуюокружности, прямую ОА и дующим способомспособом построения: построения: проводим проводим прямую прямую ОА и ОА и R2 – d2 =R22∙r∙R, – d2 = 2·r·R, d2 = R2 –2∙r∙R. d2 = R2 –2·r·R. Формула Эйлера доказана. Формула Эйлера доказана. 2 способ. 2 способ. Обозначим K – точки касания вписаннойокружности окружности со со сторонами Обозначим M, N, M, K –N,точки касания вписанной сторонами ∆АВС. ∆АВС. Сделаем инверсию относительно вписанной окружности Т1. Тогда из Сделаем инверсию относительно вписанной окружности Т1. Тогда из способа построспособа построения точки симметричной заданной точке относительно ения точки симметричной заданной точке относительно окружности следует, окружности следует, что А, В, С треугольника АВС отобразятся на середине Р, что А, В, АВС отобразятся на середине Р, Q, R сторон ∆MNK . С треугольника Q, R сторон ∆MNK. Рисунок 2.42.4 Рисунок Тогда описанная окружность Т2 перейдет в окружность Т3, описанную около ∆PQR. Сама окружность Т1, описанная около∆MNK, останется на месте. ∆PQR и ∆NKM подобны с коэффициентом, 31 равным Поэтому радиус окружности Т3 равен 1  PQ 1 QR 1 PR 1   ,  ,  .  2  NK 2 MK 2 MN 2  1 r , а диаметр тогда r. Проведем диаметр 2 GF окружности Т2, проходящей через центр О1 вписанной окружности Т1. При ффициентом иентом коэффициентом коэффициентом инверсии. инверсии. инверсии. инверсии. определения Из определения Из определения Извидно, определения видно, чтовидно, при чтовидно, инверсии при чтоинверсии при чтоинверсии точки при инверсии точки А иточки А' А меняются иточки А' А меняются и А' А меняются иместами, А' меняются местами, местами, местами, Тогда описанная окружнос ясь ражаясь отображаясь друг отображаясь друг на друга. друг на друга. друг на Точки друга. на Точки окружности друга. Точки окружности Точки окружности С окружности остаются С остаются С остаются наСместе остаются на месте и на других месте и на других месте и других и других около ∆PQR. Сама окружность Т Рисунок 2.4 Рисунок Рисунок 2.42.4 жных движных неподвижных неподвижных точекточек нет.точек нет. Можно точек нет. Можно отметить, нет. Можно отметить, Можно отметить, что отметить, если что если что точка если что точка А если выбирается точка А выбирается точка А выбирается А все выбирается все все все Рисунок 2.4 Тогда описанная окружность Т перейдет окружность описанную Тогда описанная окружность в вокружность ,3,иописанную Тогда описанная окружность Т2 Тперейдет в окружность Т3,ТТ 2 2перейдет 3описанную Рисунок 2.4 ∆PQR ∆NKM подобны с коэфф же точке ближе к точке ближе О,кто точке О, ОА' кто точке О, будет ОА' тоО, будет ОА' неограниченно то будет ОА' неограниченно будет неограниченно неограниченно возрастать. возрастать. возрастать. Тогда возрастать. Тогда Тогда можно сделать Тогда можно сделать можно сделать сделать Тогда описанная окружность Т перейдет в окружность Т 2можно 3, описанную около ∆PQR. Сама окружность Т , описанная около∆MNK, останется наместе. месте. около ∆PQR. Сама окружность Т , описанная около∆MNK, останется на около ∆PQR. Сама окружность Т , описанная около∆MNK, останется на месте. 1 1 1 Т2 перейдет в окружность , описанную около описанная окружность ТогдаТогда описанная окружность Т2 перейдет в окружность Т3, Тописанную 3 од, овывод, инверсия чтовывод, инверсия что как инверсия чтобы как инверсия выворачивает бы как∆PQR. выворачивает бы как выворачивает бы внутренность выворачивает внутренность внутренность круга внутренность круга на его круга на внешность его круга на внешность его на внешность его внешность около Сама окружность Т , описанная около∆MNK, останется на месте. 1 1 PQ 1 QR PR 1 1 PQ 1 QR PR 1 1 PQ 1 QR PR 1 1     1 1  ∆PQR . Сама Сама окружность ,сописанная около ∆MNK , останется месте. около ∆PQR. окружность ТТ около∆MNK, останется Поэтому Т3 р ,месте. ,  ∆PQR ∆PQR ∆NKM подобны сописанная коэффициентом, равным , на PR , , радиус . окружности иина ∆NKM подобны коэффициентом, равным . . ,на  ∆PQR подобны с11,коэффициентом,   на оответственно, тственно, и, соответственно, и, соответственно, внешность внешность внешность на внешность внутренность. на∆PQR внутренность. наи ∆NKM внутренность. внутренность. Это наблюдение Это наблюдение Это наблюдение Это наводит наблюдение наводит на наводит наводит на 1равным PQ 1 2QR 1 1  на  2 NK 2 MK MN 2 2 NK 2 MK MN 2  ,21 MK QR PR  , 1 NK  21. MN 2  2 2  ∆PQR и ∆NKM подобны с коэффициентом, равным  1  PQ , , GF 2окружности   . Поэтому ине подобны и ∆NKM ∆NKM подобны коэффициентом, равным обавить ль мысль добавить мысль добавить к плоскости добавить к плоскости к ∆PQR плоскости не к плоскости принадлежащую принадлежащую не принадлежащую не принадлежащую ей с«бесконечно ей «бесконечно ей «бесконечно ей удаленную «бесконечно удаленную удаленную  2  NK 2 MK 2 MN Т2, проходящей 1 1 1удаленную NK тогда 2 MK MN 2 диаметр диаметр r ,О. Поэтому радиус равен ,аточку а2О. тогда Проведем диаметр Поэтому окружности равен r.2r.Проведем диаметр Поэтому радиус диаметр r. Проведем 3в3∞ у» точку» и считать, ∞ точку» и считать, ∞ ичто считать, ∞ ипри что считать, инверсии при что инверсии при что инверсии центр при инверсии центр О радиус переходит центр О окружности переходит центр Оокружности переходит в О∞,переходит ав Т ∞,3 Т -равен авТ ∞, точку -авв2∞ ∞, точку -2а2rав,r∞ -диаметр в точку О. тогда О. 1∞ инверсии Т1 точки 1, аадиаметр окружности ТТ33 равен диаметртогда тогдаr.r.Проведем Проведемдиаметр диаметр GFотносительно окружПоэтому радиус окружности равен да ямая, Тогда прямая, Тогда проходящая прямая, проходящая прямая, проходящая через проходящая через центр через центр инверсии, через центр инверсии, центр инверсии, переходит переходит вравен себя. переходит вrсебя. При себя. этом При в центр себя. этом При О этом При ООвписанной этом О О окружности r ,вчерез Поэтому радиус окружности Тпроходящей ачерез диаметр тогда r. Проведем диаметрТ окружности 3переходит 2 диаметра Т , проходя 3 GF окружности Т , центр О вписанной окружности Т . При GF окружности , проходящей вписанной окружности Т . При GF окружности Т2инверсии, ,Т проходящей через центр О . При 22 1 11 1 11 2 плоскости: ются меняются и ∞ меняются местами. и ∞ меняются местами. Прямая местами. местами. как Прямая бы как Прямая проворачивается бы как проворачивается бы как проворачивается бы проворачивается по плоскости: по плоскости: по часть по плоскости: часть ее, часть ее, часть ее, ее, GFПрямая окружности Т , проходящей через центр О вписанной окружности Т . При ности Т , проходящей через центр О вписанной окружности Т . При инверсии отноСледовательно, 2 1 1 инверсии относительно Т точки Fперейдут перейдут F', лежащие наконцах концах инверсии относительно Fвписанной в вG' ииF', инверсии Т1 Тточки G 1G иGО Fии1перейдут в G' иG'F', лежащие нана концах 2 Тотносительно 1 лежащие 1 1точки GF переходит окружности центр окружности Т1. При 2, проходящей через аяся дящаяся находящаяся вне находящаяся окружности вне окружности внеинверсии окружности вне окружности переходит переходит в Токружности диаметр переходит вокружности диаметр окружности, диаметр вперейдут окружности, диаметр окружности, диаметр а точку диаметр аточку диаметр сительно точки G и FТ ваокружности, G’диаметр иаF’ лежащие наО концах диаметра относительно Т точки G и3проходящего Fпроходящего перейдут в,через G' и точку F', лежащие на концах окружности 1в диаметра Т , через О . диаметра Т , . диаметра , проходящего через О . 1 окружности 1 3 1 3 1 инверсии относительно Т точки G и F перейдут в G' и F', лежащие на концах 1в точке O1G'O1 F '  r (диаметр окружност адана атходит αпереходит окружность задана окружность радиуса С радиуса Свне радиуса Rлуча свне Rпроходящего свне Rцентром сСледовательно, центром в Тточке впроходящего точке ООточка О точка переходит О переходит Ов1. переходит в в в в переходит два в окружность два луча в С два луча ввне два луча окружности, окружности, окружности, причем окружности, точка причем точка причем Токружности ,центром через точку .переходит диаметра 3,причем 3 1через точку Следовательно, Следовательно, диаметра окружности Т , проходящего через точку О . 3 1 αтносительно относительно α бесконечность, относительно этой этой окружности этой окружности окружности называется называется называется Следовательно, ность, онечность, бесконечность, как бы каксоединяющую бы как соединяющую бы как соединяющую бы эти лучи. эти лучи. эти лучи. 2 2 2 2 Следовательно, аи окружность С радиуса Пусть RСледовательно, на ссоединяющую центром плоскости вэти точке αлучи. задана окружность С радиуса R с центром в rточке r 2rr2 2 r2 r r r 2 как 2 O G 'F А', O F точки O G1O '1исключением O 'А', r r точки окружности равен r). Так как ' , ' O G O F O G 'O '1F1точки r' симметричной (диаметр окружности равен r). Так ' , ' , ,тото O G O F (диаметр окружности равен r).rточке как ' , ' , O G F (диаметр окружности равен ).Так Так как,   r . то Очевидно, что О1G йждой каждой точке точке А точке плоскости А плоскости А плоскости α, за α, исключением за исключением за точки точки кажем Покажем Покажем способ Покажем способ построения способ построения способ построения точки построения точки симметричной А', симметричной А', симметричной данной данной точке данной точке данной А А точке А А 1 1 1 1 1 1α, 1 1 r 2 называется rO 2 тносительно этой О. OИнверсией окружности плоскости называется α относительно этой окружности O1 FOO O1 F r ,вне r1G 1G 1F 1G 1F 'O ' С. r (диаметр O1 F O окружности '1GOO , то 2 2 2 равен r). Так как O1G ' 1G 1 FРассмотрим R R R льно сительно относительно окружности относительно окружности окружности С. окружности Рассмотрим С. Рассмотрим С. случай, Рассмотрим случай, когда случай, когда точка случай, когда точка А когда находится точка А находится точка А находится вне А находится вне вне O 'точка Oтакая, F при ' такая, r 2 что (диаметр окружности равен r). Такα,как O1GO '1G , O1 Fточки '1 F 2 , то 2 ' O 1А' 2 2 ' точки 2 что йежащая точке А α,1GА' за исключением котором каждой плоскости за исключением . ' .точке . А щая лежащая на луче наплоскости луче на ОАотображение, луче точка ОА ОА точка такая, что ОА ОА  rи2АМ rиАМ rА' rОА r 2касательную rиз O1G O1rF r сти. жности. окружности. Проводим Проводим Проводим Проводим касательную касательную точки из точки и АМ М опускаем точки и М из опускаем точки М опускаем перпендикуляр М опускаем перпендикуляр перпендикуляр перпендикуляр OA OA OA 2из αасти задана окружность αокружности. задана окружность окружность Скасательную радиуса R радиуса центром R с центром R в с точке центром в точке в точке 2 С радиуса 2 СсАМ   r . Очевидно, что О G = R+d, O F = R-d. Тогда имеем,   r . Очевидно, что О G = R+d, O F = R-d. Тогда имеем,   r . Очевидно, что G = R+d, O F = R-d. Тогда имеем, О G = R+d, O F = R-d. Тогда имеем,   r. 1 1 1 1 1 1 R R2 r 2 r O 1 1 ' ' 2 G O G O F O G O F O F   d) ( R d ) ( R . . щая на луче ОА О, точка ставится А' такая, в соответствие что лежащая на луче ОА точка А' такая, что ОА ОА   r r 1окружности 1искомая 1точка 1r . 1– 1называется  относительно окружности Очевидно, что О R+d,А'. O1F = R-d. Тогда имеем, называют же вают называют симметрией симметрией симметрией относительно относительно окружности. окружности. окружности. снование А. наαОснование ОА. на Основание ОА. перпендикуляра Основание перпендикуляра перпендикуляра перпендикуляра – искомая искомая – – точка искомая А'. точка А'. точка А'. 1G = кости тносительно относительно α относительно этой окружности этой этой называется называется . (R Тогда  rс .2R что О1G = R+d, O1F( R=( R OA аαдана окружность задана окружность окружность С радиуса С1Gрадиуса СOрадиуса центром центром в точке в точке O F 2 с центром 2 2OA 2в точке d)d )( R R-d.  d)d ) имеем, 2 с R 2Очевидно, 1R rисключением r или rR rобе r22за rисключением O Gза O ом симметрии, нтром симметрии, симметрии, а число а число а R число R – степенью – степенью – степенью или или Умножим части равенства на . й ором каждой точке каждой А точке плоскости точке А плоскости А α, исключением α, α, за точки точки точки 1плоскости 1F 2преобразование 2 rчасти r вают Такое относительно окружности. симметрией относительно  также называется обе rназывают αтносительно и относительно α симметрией относительно этой этой этой окружности называется называется Умножим равенства r r 2 . . окружности. rокружности rокружности 2 R 2 2 равенства нана а окружность С радиуса точке R(d'Rобе (Умножим ) dr d)( )R (в 2 (сRцентром rR(2dR ) dRd) 2)части r R R  2 '. . симметрии, '2 . симметрии, а Точка число О R называется центром а число R – степенью или – степенью или 2R . 2d йждой каждой точке Аточке плоскости А плоскости А плоскости α,dА' α,такая, α,dА' исключением точки  (исключением R  (R ) ОА  щая ствие лежащая наточке лежащая луче на ОА луче на точка луче ОА точка ОА такая, А' что r( R точки за R (R окружности )за (исключением точка )за rменяются rА' (что R  drОА )dтакая, ) что rточки ОА d.)d R  d OA ,. тносительно этой называется что но, ри что при инверсии при инверсии инверсии точки точки А точки и А' А и меняются А А' и меняются местами, местами, местами, . , OA OA 2 2 2 R d R d (  ) (  ) коэффициентом инверсии. окружность С радиуса Rисключением с центром точке . вR' точки R'R Rr'  d R 2 2 йиаеа. точке А плоскости α, заточка rОА щая жащая лежащая на окружности луче на луче на ОА луче точка ОА точка А' такая, А' А' такая, что ОА ОА  .  очки окружности Точки окружности СОА остаются С остаются на такая, месте на на и иrRдругих иr.окружности. же вают также называют симметрией называют симметрией относительно относительно относительно R Rчто rокружности. rместе rчто Rместе других rокружности. что других dпри R 2Rинверсии . d2d, , ри инверсии точки А Из иС определения А'остаются меняются видно, местами, точки А и А' меняются местами, тносительно этойсимметрией окружности называется OA OA OA 2 2 2 2 2 R 2 2 2 ' – или жно Можно отметить, отметить, отметить, что что если что если точка если точка А точка выбирается А выбирается все 2R 2d 2d все 2Rвсе 2rчто на rRвыбирается –А R   2rили rR R . нтром симметрии, центром симметрии, симметрии, а число а число R а число R R – степенью степенью степенью или . щая на луче ОА точка А' такая, ОА  2   R  d d  R  2 иназывают окружности отображаясь С остаются на друг месте друга. и других Точки окружности С остаются на месте и других й точке А плоскости α, за исключением точки же вают называют симметрией симметрией симметрией относительно относительно относительно окружности. окружности. окружности. . OA ограниченно тудет неограниченно неограниченно возрастать. возрастать. возрастать. Тогда Тогда Тогда сделать можно сделать сделать 2 2 можно 2 можно сии. 2 Что и требовалось доказать. отметить, что неподвижных если точка А точек выбирается нет. Можно все отметить, что если точка А выбирается все R или ом нтром симметрии, симметрии, симметрии, а точка число а относительно число а А'R число R –R Что степенью –что –требовалось степенью или или иистепенью доказать. ' Что требовалось доказать. вают симметрией окружности. . окружности щая на луче ОА такая, ОА  внешность ыворачивает ы ачивает выворачивает внутренность внутренность внутренность круга круга на круга его на внешность его на его внешность о, видно, ри что инверсии при что инверсии при точки инверсии А точки и А' точки меняются А и А' А меняются и А' местами, меняются местами, местами, 3. Четыре касаются друг друга внешним образом.Докажите, Докажите, ограниченно возрастать. ближе к точке Тогда О,можно то ОА' будет возрастать. Тогда можно сделать 2 OA неограниченно 3. сделать Четыре окружности касаются друг друга внешним образом. симметрии, аокружности число R – наблюдение степенью или ьдруга. ость внутренность. на внутренность. на внутренность. Это Это наблюдение Это наблюдение наводит наводит наводит на на на и . окружности Точки Точки окружности С остаются С остаются С на остаются месте на и месте других на месте и других и других что точки касания лежатна на однойокружности. окружности. ачивает внутренность вывод, что начто его внешность как бы выворачивает внутренность его внешность вают симметрией относительно окружности. но, ри то что при инверсии при инверсии инверсии точки точки Аточки икруга А А'инверсия именяются А А' и3. меняются А'Четыре меняются местами, местами, местами, окружности касаются другкруга друганавнешним образом. точки касания лежат одной принадлежащую сти не принадлежащую не отметить, принадлежащую ей «бесконечно ей «бесконечно «бесконечно удаленную удаленную удаленную 2ейА Можно отметить, ет. Можно что отметить, если что точка если что если точка выбирается точка А выбирается Аичто выбирается все все все лежат Это Доказательство. внутренность. и, Это соответственно, наблюдение наводит внешность на на внутренность. наблюдение наводит на Докажите, точки касания на одной окружности. симметрии, а число R – степенью или иа. очки окружности Точки окружности окружности С остаются С остаются С остаются на месте на месте на и месте других других и других Доказательство. ри инверсии точки А и А' местами, рсии ри нверсии инверсии центр центр Овозрастать. центр переходит О ей переходит О переходит в меняются ∞, ваДоказательство. ∞, ∞ в-аплоскости ∞, в∞1Тогда точку а-можно ∞ в точку - можно вО.точку О. О. ограниченно А' дет будет неограниченно неограниченно возрастать. Тогда возрастать. можно Тогда сделать сделать сделать способ. принадлежащую мысль «бесконечно добавить к удаленную не принадлежащую ей «бесконечно удаленную жно отметить, отметить, отметить, что Счто если что если точка если точка Аточка выбирается А выбирается выбирается все все все 1Аи способ. иМожно окружности остаются месте других рез ентр через центр инверсии, центр инверсии, инверсии, переходит переходит переходит внана себя. вего себя. ввнешность себя. При этом При этом О этом О4 –Оцентры ы ак ачивает выворачивает бы выворачивает внутренность внутренность внутренность круга круга круга его внешность , на О ,его О ,внешность О окружностей. О центр Овозрастать. переходит точку» ∞ иТогда в считать, ∞, а1можно ∞способ. -При что вна точку при О. инверсии центр Озаданных переходит в ∞, а ∞ - вТочки точку О О.1, В, О2, точки О1, 1О 2О 3О ри инверсии точки А и А' меняются местами, ограниченно трсии удет неограниченно неограниченно возрастать. возрастать. Тогда Тогда можно сделать можно сделать , , О 1 2 3, сделать 4 – центры заданных окружностей. Точки О1, В, О2, точки О1, отметить, что если точка А выбирается все рямая к я бы как проворачивается как бы проворачивается бы проворачивается по плоскости: по плоскости: по плоскости: часть часть ее, часть ее, ее, ость ешность внутренность. на внутренность. на внутренность. Это наблюдение Это наблюдение Это наблюдение наводит наводит на наводит на на О , О , О , О – центры заданных окружностей. Точки О , В, О ,Она точки О1прямой. , прямой. А, О4, А, , точки О , D, О , точки О , C, О лежат соответственно одной ентр инверсии, Тогда прямая, внана себя. проходящая этом в себя. При 4 центр3 инверсии, 2 переходит 3 и окружности Спереходит остаются месте и сделать других ыворачивает ыачивает выворачивает внутренность внутренность внутренность круга круга круга его его внешность внешность 1на 24на 3 через 4О 1 этом2на А, ОПри ,его точки О одной 4внешность 4, D, О3, точки О2, C, О3 лежат соответственно ограниченно возрастать. Тогда можно иоскости ости реходит переходит переходит в диаметр в диаметр в диаметр окружности, окружности, окружности, а диаметр а диаметр а диаметр Рисунок Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 1.1 сти принадлежащую не принадлежащую не принадлежащую ей «бесконечно ей «бесконечно ей «бесконечно удаленную удаленную удаленную точки О , D, О , точки О , C, О лежат соответственно на одной прямой. О О О О – О выпуклый четырехугольник и∠О ∠О О котметить, бы внутренность. проворачивается ∞ меняются поЭто плоскости: местами. часть ее, проворачивается плоскости: часть ее, 1О 2О 3Прямая 4 –наводит 1+∠О2+∠О 3+∠О 4=360. 4О 3 что иесли точка Ана выбирается все ьость внутренность. на на внутренность внутренность. Это Это наблюдение наблюдение наблюдение на как на 2бы начетырехугольник и–по О 1О2наводит 3Онаводит 4 –3 выпуклый 1+∠О2+∠О3+∠О4=360. 1 2 3 4 ачивает круга его внешность йствительно, Действительно, Действительно, Действительно, получим получим получим подобные получим подобные подобные ∆ ОМА подобные ∆ ОМА и ∆ ∆ОА'М ОМА и ∆ ∆ОА'М ОМА и (∠ ∆ОА'М О и (∠ ∆ОА'М – О общий, (∠ – О общий, (∠ О общий, – общий, О переходит О переходит О переходит в в в ружности, вне окружности, окружности, причем причем причем точка точка точка выпуклый четырехугольник и О + О + О + О =360˚. рсии то и инверсии при центр инверсии О центр переходит центр О переходит О в переходит ∞, а ∞ в ∞, в а в точку ∞ ∞, а в ∞ О. точку в точку О. О. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Проведем касательныечерез черезточки точки 2 3 окружности, 4 реходит в диаметр находящаяся окружности, окружности аРассмотрим диаметр переходит в1 диаметр акасательные диаметр ограниченно возрастать. можно сделать принадлежащую сти не принадлежащую не принадлежащую ей наблюдение «бесконечно ей Тогда «бесконечно ей вне «бесконечно удаленную удаленную удаленную четырехугольник ABCD. Проведем внутренность. Это наводит на ОА ОА ОМ ОА ОМ ОА ОМО ОМ яющую диняющую ую эти лучи. эти эти лучи. лучи. ящая через ентр через инверсии, центр центр инверсии, переходит инверсии, переходит в переходит себя. в При себя. этом в себя. При О этом При этом О А и С. О переходит в О переходит в ружности, причем переходит точка в два луча вне окружности, причем точка     . Отсюда .следует, Отсюда .следует, Отсюда что следует, что следует, что что МА ∠ОМА ∠ОА'М ицентр ∠ОМА ∠ОА'М ицентр равны ∠ОА'М ипереходит равны ∠ОА'М по равны 90 по равны ).в90 по Поэтому 90 по Поэтому ).∞, 90 Поэтому ачивает внутренность круга на его внешность рсии ри нверсии инверсии Оцентр О переходит О переходит ∞, в).аА ∞, ∞ а-С. в∞Поэтому точку а- ). ∞ в точку - вО.точку О. О.. Отсюда ивданной принадлежащую ей «бесконечно удаленную оения ястроения точки точки А', точки симметричной А', А', симметричной симметричной данной данной точке А точке АОА ОМ точке ОМ ОА ' ОМ 'А ОМ ОА ' ОА' и. ямая кую бы Прямая как проворачивается бы как проворачивается бы проворачивается по плоскости: по плоскости: по часть плоскости: ее, часть часть ее, ее, ∠А=∠1+∠2. эти лучи. бесконечность, как бы соединяющую эти лучи. внутренность. Это наблюдение наводит на рез ентр через центр инверсии, центр инверсии, инверсии, переходит переходит переходит в себя. в себя. При в себя. При этом При этом О этом О О ∠А=∠1+∠2. 2 2 2 2 рсии О в R)∞, - ав�находится точку О.диаметр R R R∞ Рассмотрим мотрим С.точки случай, случай, когда точка когда точка Ааспособ точка находится А А находится вне вне вне 2Рассмотрим 2центр 2случай, 2впереходит 2' переходит реходит сти переходит диаметр вей вRпо окружности, диаметр аее, а диаметр 'dдиаметр ' ' окружности, (окружности, (R  d )  (R d ) данной когда хордой), � �точке я=R А', симметричной точке построения Ачасть точки А', симметричной А ОА·ОА' =ОА·ОА' =R =R и=ОА·ОА' и.)Покажем идиаметр .dОА .данной .�При ОМ ОМ принадлежащую «бесконечно удаленную ОА ОА ОА ( R кужности ямая бы как проворачивается как быи=ОА·ОА' проворачивается бы проворачивается плоскости: по плоскости: по плоскости: часть ее, ее, .∠О (как угол между касательной ихордой), ∠2= ·∠О ∠1= 1 часть 4. .∠О (как угол между касательной и ∠2= ·∠О ∠1= ентр инверсии, переходит в себя. этом О 1 переходит 4. �� ую сательную льную АМ АМ и из АМ и точки из и точки из М точки опускаем М опускаем М опускаем перпендикуляр перпендикуляр перпендикуляр OA OA OA OA О переходит О О переходит в в в уча вне ружности, вне окружности, окружности, причем причем точка причем точка точка r окружности, r точка. А находится �� мотрим случай, относительно когда точка А находится С. вне Рассмотрим случай, вне равенства на . окружности Умножим обе части равенства на когда центр О переходит в ∞, а ∞ в точку О. ирсии ости реходит переходит переходит в диаметр в диаметр в диаметр окружности, окружности, а диаметр а диаметр а диаметр бы проворачивается поточка плоскости: часть ее, Значит, исоединяющую же точка Если же точка А же точка находится А находится А rЗначит, находится Авнутри находится внутри окружности, внутри окружности, внутри окружности, окружности, то можно то можно то можно то можно дикуляра аRкую ляра –2Если искомая –Если искомая –же искомая точка точка А'. точка А'. А'. иняющую эти эти лучи. эти лучи. ую илучи. из точки окружности. М опускаем касательную АМ d 2инверсии, перпендикуляр ( Rпереходит d�)переходит r переходит ( R О dв)  Rв2 АМ dв 2 , и из точки М опускаем перпендикуляр ентр переходит вПроводим себя. этом О ОПри Одиаметр ружности, вне окружности, окружности, причем причем причем точка точка точка , реходит в диаметр окружности, а � ( R d ) ( R d )    оваться ользоваться воспользоваться воспользоваться следующим следующим следующим способом следующим способом способом построения: способом построения: построения: проводим построения: проводим проводим прямую проводим прямую ОА прямую и ОА прямую иОА иОА и ·(∠О ∠А= строения б я–бы построения точки А', точки симметричной точки А', А', данной данной точке данной А точке А точка А'. 1+∠О 4), точке 2искомая 2 лучи. 2 точка на ОА. А'. симметричной Основание перпендикуляра – 2А искомая ·(∠О ∠А= кую проворачивается по симметричной плоскости: ее, диняющую эти эти эти лучи. лучи. 1+∠О 4), �Rчасть аяющую R  d R  r  r   r  R  r d  R  d � О переходит в ружности, причем точка , , r ости С. мотрим Рассмотрим С.точки Рассмотрим случай, когда случай, точка когда.когда А точка находится точка находится А вне находится и равенства на ∠С=∠3+∠4, реходит вточки диаметр окружности, аАданной диаметр оения строения А', симметричной А',случай, А', симметричной симметричной данной данной точке точке Аточке АвнеА вне 2я 2 точки 2 ую эти касательную 2АМ dr2 Rилучи. 2∠С=∠3+∠4,  r опускаем R��Rперпендикуляр  d 2 перпендикуляр d 2  R2  2  r  R . ую м ательную из АМ точки и АМ из М точки и опускаем из точки М опускаем М перпендикуляр R  . , случай, ружности, причем О переходит Рассмотрим мотрим С.точки Рассмотрим случай, когда А точка находится А ·∠О находится А находится вне ·∠О ∠3= ( Rслучай, (точка Rточка d )точка  d ) когда когда 2 ,вне ∠3= яоказать. А',точка данной Ав вне 2, � точке 2 2 – искомая асательную икуляра –R АМ искомая –симметричной искомая А'. точка точка А'. А'. Что и�перпендикуляр требовалось доказать. ую эти лучи. пендикуляра  d ую льную АМ и из АМ и точки из и точки из М точки опускаем М опускаем М опускаем перпендикуляр перпендикуляр ,случай, r точка. А ∠4= � �·∠О вне мотрим находится равенства на ( Rкогда ружности касаются внешним 3. Четыре Докажите, касаются друг друга внешним образом. Докажите, 3образом. dдруг )  (А'. R друга dА'. ) данной А'. ·∠О . . окружности ∠4= 2– 3 я А', симметричной а ляра икуляра искомая искомая – искомая точка точка точка 2 точки 2– R 2  r  R � � точке А ую и из точки М опускаем перпендикуляр Rежат АМ d на . � одной окружности. что точки касания лежат на одной окружности. , � r мотрим случай, равенства на ·(∠О Тогда,вне ∠С=·(∠О 2 +∠О3). Тогда, ∠С= 2 адоказать. –2 2искомая точкакогда А'. точка. А находится 2 +∠О3). � 2 во. Доказательство.  R  d � , из точки М опускаем перпендикуляр ую R АМ d ,и � �·(∠О +∠О +∠О +∠О )= � �·360 ̊=180 ̊, ружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, Следовательно, ∠А+∠С= 1 2 3 4 2 1Следовательно, способ. ·(∠О ̊=180 ̊, аа ∠А+∠С= 1+∠О2+∠О3+∠О4)= ·360 �   r  22 2R . а – искомая точка А'. � �� лежат  dна, одной окружности. О –Rцентры заданных окружностей. Точки , О О , О , В, , О О – , центры точки О заданных , окружностей. Точки О , В, О , точки О , ∠В+∠D=360 1801̊. ̊. 1 2 1̊-(∠А+∠С) 3̊-(∠А+∠С) 4 2 1 2 1 ∠В+∠D=360 = =180 2оказать. во.  r  R . О2, C, О3 лежат соответственно А, О О3,2 точки , точки О на , одной D, О , прямой. точки О , C, О лежат соответственно на одной прямой. Так как суммы противолежащих углов четырехугольника равны 180 , ̊ то этот 4 4 3 2 3 как суммы противолежащих углов 2.5 четырехугольника равны 180 ̊, то этот ружности касаются друг другаТак внешним образом. Докажите, Рисунок ый четырехугольник и ∠О1+∠О +∠О четырехугольник и2.5 ∠О +∠Олежат Очетырехугольник вписан. А это значит, что лежат одной окружности. оказать. Рисунок 1четырехугольник 2О 2О3О 3+∠О 4 – выпуклый 4=360. 1точки 2+∠О 3+∠О 4=360. А это значит, что точки нанаодной окружности. вписан. ежат на одной окружности. – центры заданных окружностей. Точки О1, В, четырехугольник Очерез , точки О1, 2доказать. етырехугольник ABCD. Проведем Рассмотрим касательные точки ABCD. Проведем касательные через точки Что и требовалось ружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, Что и требовалось доказать. во. О , точки О , C, О лежат соответственно на одной прямой. Рисунок Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 1.1 3 2 3 2 способ. Сделаем инверсию с центром в точке А. При этом данные Рассмотрим четырехугольник ABCD . Проведем касательные через точки А и С. А и С. ежат на одной окружности. ый четырехугольник и ∠О +∠О +∠О +∠О =360. одобные м учим подобные подобные ∆ ОМА ∆ ОМА ∆ и ОМА ∆ОА'М и ∆ОА'М и ∆ОА'М (∠ О (∠ – О (∠ общий, – О общий, – общий, окружности перейдут в пару параллельных прямых и две касающиеся 1 2 3 4 А = 1+ 2. ∠А=∠1+∠2. во. Рисунок 1.1 –Рисунок центры1.1заданных окружностей. О(свойство , точки О1, 1, В, О2через �Точки � касательные � ОА ABCD. ОА ОМ ОАОМПроведем ОМокружности четырехугольник 4). точки одобные ∆ ОМА и Действительно, ∆ОА'М (∠ О – получим общий, подобные ∆ ОМА и и∆ОА'М О ·∠О – Ообщий,    . Отсюда . Отсюда . Отсюда следует, следует, следует, что что что 90 по .О Поэтому 90 ). Поэтому ). Поэтому между касательной и хордой), ∠2= .∠О ·∠О (как . угол между касательной хордой),(∠∠2= ∠1= 1= О (как угол между хордой), 2= .. 1 4 , точки О , C, О лежат соответственно на одной прямой. 1 44 3 2ОМ ОМ 3ОА �� ОМ ' ОА ' ОА ' – центры заданных окружностей. Точки О , В, О , точки О , ОА ОМ ОА ОМ 1 2 1 ый четырехугольник и и.∠О =360. Значит,  1.1  Отсюда следует, . Отсюда следует, что .2Рисунок Поэтому ∠ОМА ∠ОА'М равны по4что 90 ). Поэтому 1+∠О 2+∠О 3+∠О Значит, Рисунок 1.1О2Рисунок О3. , точки ,ОМ C,1.1О лежат соответственно на одной прямой. 3ОА ' Проведем ОМ ОА' � � етырехугольник ABCD. касательные через точки ·(∠О +∠О ∠А= A 1R одобные чим получим подобные ∆подобные ОМА ∆ иОМА ∆ОА'М ∆2хордой), ОМА и1+∠О ∆ОА'М (∠ и2∠2= О ∆ОА'М общий, О общий, между касательной ии ·∠О .2+(∠–О4), А = (+∠О О ), – общий, ый четырехугольник ∠О +∠О 4О 3(∠ � �– 1 4=360. 4 Рисунок Рисунок 1.1 Рисунок 1.1ОМ 1.12=R ' =ОА·ОА' и . ОА то одится А находится находится внутри внутри внутри окружности, окружности, окружности, то можно то можно можно ОА ОМ ОА ОА ОМ ОМ ∠С=∠3+∠4, ABCD. Проведем через точки OA одобные м учим подобные ∆ ).ОМА ∆Поэтому ОМА ∆иОМА ∆ОА'М и ∆ОА'М и ∆ОА'М (∠ О –Отсюда О (∠ общий, –следует, Очто общий, – следует, общий,   . Отсюда . Отсюда . касательные что что ны .оетырехугольник Поэтому 90 поподобные ).90 Поэтому Сследует, =�(∠ 3+ 4, Рисунок 1.1 собом им способом способом построения: построения: построения: проводим проводим проводим прямую прямую прямую ОА ОА и ОА и и ОМ ОА ОМ ' ОМ ОА ' ОА ' одится внутри окружности, Если же точка то можно � ОА ОА ОМ ОАОМ ОМ , А находится внутри окружности, то можно ∠3= одобные ∆Поэтому ОМА и и∆ОА'М (∠ О�·∠О –следует, хордой),  . Отсюда . Отсюда .∠2= Отсюда следует, что что что по .между 0Поэтому 90 ).2 Поэтому ).касательной ·∠О 3= О2общий, ,.следует, R 24ОА и ' собом воспользоваться проводим прямую следующим способом построения: проводим прямую ОА и � � Рисунок 1.1 ОМ ОМ ОА ОМ ' ОА ' ОА ' . . построения: ОА ОМ ·∠О ∠4=следует, � 3 . что A.2 Поэтому OA  и и∆ОА'М . Отсюда � одобные ∆ ОМА (∠ О – общий, между касательной хордой), ∠2= ·∠О . 4= О34. ОМ внутри ОА ' � . находится � А ка одится А находится внутри окружности, внутри окружности, окружности, то можно то то ∠О ·(∠Оможно Тогда, ∠С=можно A 2 +∠О3). ОА  ОМ 2 +∠О3). � . Отсюда следует, что .им Поэтому собом ующим способом построения: способом построения: построения: проводим проводим прямую проводим прямую ОА прямую и ОА и ОА и � � � � ОМ ОА ' окружности, Анаходится находится внутри внутри внутри окружности, окружности, то то можно томожно можно ·(∠О а ·(∠О1+∠О2+∠О3+∠О4)= ·360 ̊=180 ̊, а о,одится ∠А+∠С= Следовательно, ∠А+∠С= 1+∠О2+∠О3+∠О 4)= ·360 ̊=180 ̊, � � � � собом им способом способом построения: построения: построения: проводим проводим проводим прямую прямую прямую ОА ОА и ОА и и одится внутри окружности, то можно 32 ∠С) 180 3̊.). ∠В+∠D=360 ̊-(∠А+∠С) = 180 ̊. ∠О2=+∠О собом построения: прямую ОА � проводим � ипротиволежащих тиволежащих углов четырехугольника Так как суммы равны 180 , ̊ то этот углов четырехугольника равны 180 ̊, то этот одится ∠А+∠С= внутри ·(∠О окружности, то можно а о, 1+∠О2+∠О3+∠О4)= ·360 ̊=180 ̊, � � писан. А это значит, проводим что точкичетырехугольник лежат на одной вписан. А это значит, что Рисунок 2.6точки лежат на одной окружности. собом построения: прямую ОА и окружности. ∠С) = 180 ∠О +∠О ).̊. О называется центром симметрии, симметрии, аотносительно число аRзаданных число – относительно степенью степенью или илиО1, В, О2, точки О1, 2центром 3 Оается , симметрией ОТакое центры заданных , Отакже О центры Точки ОR , В,–О О Точки О т2преобразование также относительно также симметрией окружности. симметрией симметрией окружности. относительно окружности. 3, Оназывают 4 –преобразование 1, О2называют 3, окружностей. 4 –называют 1окружностей. 2, точки 1, окружности. тырехугольник и ∠О 2+∠О2+∠О3+∠О42=360. 2 2 ициентом инверсии. инверсии. 1 А, О4,центром ки D, О ,симметрии, точки точки ОR2, C, ,число лежат D, О3, соответственно точки , C, О3ана лежат одной прямой. метрии, центром ООТочка а 3О число называется симметрии, R симметрии, R число R – степенью – аОстепенью или – аО степенью или – соответственно степенью или на одной или прямой. 4,называется 43центром 2число ABCD. Проведем Из ения определения видно, что видно, при инверсии что приикасательные точки инверсии А и2точки А' через меняются А иточки А'именяются местами, местами, –ехугольник выпуклый четырехугольник ∠О1четырехугольник +∠О +∠О ∠О1+∠О2+∠О О1О сии. ициентом коэффициентом инверсии. инверсии. 2О3О 4 – выпуклый 3+∠О4=360. 3+∠О4=360. жаясь г наопределения друга. друг на Точки друга. окружности окружности Счто С на остаются месте других месте именяются других мотрим четырехугольник ABCD. четырехугольник Проведем касательные ABCD. Проведем через касательные через точки инверсии видно, Из что Из точки при определения инверсии А видно, иРассмотрим А'Точки меняются что точки видно, при А инверсии местами, иостаются А'при меняются инверсии точки Аместами, иточки А'ина меняются А и А'точки местами, местами, чек ижных нет. точек Можно нет. отметить, Можно отметить, что если точка что если А выбирается точка А выбирается все все нок Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 1.1 идруга. С. друга. ажаясь ружности отображаясь Точки друг СА на остаются окружности друг на Точки на друга. месте С остаются Точки и других на окружности месте С остаются и других С остаются на месте на и других месте и других �окружности кетить, то точке ОА' О, будет то ОА' неограниченно будет неограниченно возрастать. возрастать. можно Тогда сделать можно сделать подобные ые чим ∆ подобные ОМА ∆ иОМА ∆ОА'М ∆1.1 ОМА иМожно ∆ОА'М (∠ и∠2= О –·∠О (∠ общий, –отметить, общий, О –если общий, ду касательной хордой), . +(∠ Тогда, Сесли =∆ОА'М ( точка О О ).Тогда 4О 2. ∠А=∠1+∠2. вижных ет. неподвижных Можно что точек если отметить, точка точек что А нет. выбирается отметить, Можно все А что выбирается что точка если все А выбирается точка А выбирается все все 2 3 Рисунок Рисунок 1.1инет. Рисунок Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 1.1 � сия что как инверсия бы выворачивает как выворачивает внутренность внутренность круга круга внешность на его внешность � на его � ОА ОМ ОА� бы ОМ ОА ОМ ниченно А' к будет точке ближе возрастать. О, неограниченно к то точке ОА' О, будет Тогда то ОА' возрастать. неограниченно можно будет сделать неограниченно Тогда возрастать. можно сделать возрастать. Тогда можно Тогда сделать можно сделать лучим йствительно, но, м тельно, подобные получим получим ∆ получим подобные ОМА получим подобные ОМА иподобные иугол ОМА подобные ∆ ОМА (∠ и∆ ОМА О икасательной ∆ –∆ОА'М О общий, ичто –·∠О (∠ общий, и1.что –иОО общий, общий, О общий, общий, 1.1  .∆∆ОА'М .∆ Отсюда Отсюда следует, . хордой), Отсюда следует, что следует, отому ).Действительно, 90 Поэтому ).подобные Поэтому как угол между касательной .∠О и∆ОА'М между ∠2= хордой), ∠1= А∆ОА'М +(∠ С =ОМА ( ∆ОА'М О4О +(∠∆ОА'М +(∠–ОО +(∠–О∠2= )=– ·∠О 360 Следовательно, 1 (как 4.̊=180 ̊, 2 3 на 4 1ок 1.1 Рисунок Рисунок 1.1 � � тветственно, внешность на внутренность. наОА внутренность. Это наблюдение Это наблюдение наводит наводит на ОМ ОА ОМ '��ОА ОМ ОА ' как 'ОАвнешность вает ак ,о,что бы вывод, внутренность инверсия выворачивает чтовнешность инверсия как круга бы внутренность выворачивает на его бы выворачивает круга на его внутренность внешность круга на его круга внешность на его внешность ОА ОМ ОМ ОА ОМвнутренность ОА ОМ ОА ОМ ОМ ∆ м ые учим ОМА подобные ∆). ОМА подобные ∆ОА'М иплоскости ∆не ОМА ∆ ОМА иО ∆ОА'М –и.Поэтому О общий, ∆ОА'М общий, (∠ (∠ –Отсюда О общий, общий, Значит, В D ̊-Отсюда .«бесконечно =. –180 .̊ «бесконечно Отсюда Отсюда что следует, Отсюда что .следует, Отсюда что следует, что следует, что что МА 90 А'М равны по ∠ОА'М 90 иравны Поэтому ∠ОА'М по ).и равны Поэтому 90 по равны ).∆ОА'М 90 по Поэтому ). 90 по Поэтому ). 90 ).–. Поэтому +(∠ =360 ( ей АО +следует, С )следует, а(∠ к добавить плоскости к принадлежащую не принадлежащую ей удаленную удаленную утренность. ешность тветственно, и, соответственно, на Это внутренность. внешность наблюдение внешность на Это внутренность. наблюдение на' ОМ внутренность. на ' ОМ Это наводит наблюдение на наблюдение наводит на наводит на ОМ ОМ ОА ' ОМ ОА ОМ 'наводит ОМ ОА ОА ОА ' ОА ' Это . ОА � ОА ОМ инверсии ОМ ОА ОА ОМ Так как суммы противолежащих углов четырехугольника равны 180 ̊, то этот четыать, ∞ имысль что при центр инверсии Оей переходит центр О следует, переходит в ∞,что а ∞«бесконечно - вв ∞, точку а∞ О. - вудаленную точку О.удаленную +∠О ),R). ·(∠О +∠О ), ∠А= A 2 ). 2 Поэтому 2 что 2при 4считать, 12следует, 4Отсюда    . Отсюда . Отсюда . следует, . Отсюда что что следует, что тому по 0 90 оскости добавить не добавить к принадлежащую плоскости ей «бесконечно к плоскости не принадлежащую удаленную «бесконечно не принадлежащую ей удаленную ей «бесконечно R R R R 2надлежащую 2' Поэтому Рисунок 2.5 Рисунок 2.5 � ' ' рехугольник ' вписан. А это значит, что точки лежат на одной окружности. ОМ ОМ ОА ' ОА ' ОМ ОМ ОА ' ОА ' =ОА·ОА' ОА' =R .и =ОА·ОА' и.через и. ОА .через . окружности, ОА ОА  ОАпроходящая прямая, центр переходит переходит в -себя. себя. этом При этом 2.5 ся А аходится находится внутри внутри окружности, то- в инверсии, можно то то можно 4, ∠С=∠3+∠4, и то »оходящая ∞при точку» ивнутри считать, инверсии О переходит ∞ иокружности, что считать, центр при вOAиинверсии, ∞, инверсии Очто переходит ацентр ∞при инверсии точку центр вдоказать. ∞,О. Оможно апереходит центр ∞ вРисунок точку О При переходит вв∞, О. а ∞О -вв∞, точку а∞О -О.в точку О. OA OA OA OA 2 центр Что требовалось няются стами. Прямая местами. как Прямая бы проворачивается как бы проворачивается по плоскости: по плоскости: часть ее, часть ее, � им особом построения: способом построения: построения: проводим проводим прямую проводим прямую ОА прямую и ОА и ОА и . ящая р прямая, инверсии, Тогда через проходящая прямая, центр переходит инверсии, проходящая через в себя. центр переходит При через инверсии, этом центр в О себя. инверсии, переходит При этом переходит в О себя. При в себя. этом При О этом О ли же точка находится Если же точка находится Аже точка находится Авнутри точка находится А внутри А внутри находится окружности, внутри окружности, внутри то окружности, внутри то можно окружности, можно окружности, то можно тоинверсию можно то в можно то с центром можно ,AА ·∠О2находится ,окружности, ∠3= Сделаем 2 вспособ. инверсию Сделаем с ацентром точке А. Прив этом точкеданные А. При этом данные е щаяся окружности вне окружности переходит переходит в диаметр окружности, диаметр окружности, диаметр а диаметр � 2 способ. 2 способ. Сделаем инверсию с центром в точке А. При этом и. ы еняются проворачивается Прямая иследующим ∞ меняются местами. как быпостроения: проворачивается Прямая местами. плоскости: как Прямая быпостроения: часть проворачивается по как плоскости: ее, бы проворачивается по ее, по плоскости: часть ее,этом ее, данные щим пользоваться ледующим оваться ся способом способом следующим построения: способом следующим способом способом построения: проводим способом построения: проводим прямую проводим построения: прямую проводим ОА проводим прямую ичасть проводим прямую иплоскости: ОА прямую ОА прямую иОА иОА ичасть � 2поспособ. Сделаем инверсию сОА центром ви точке А . При данные окружности внутри я А находится внутри находится окружности, окружности, внутри внутри окружности, то окружности, то можно можно то то можно можно окружности перейдут окружности в пару перейдут параллельных в пару прямых параллельных и две прямых касающиеся и две касающиеся Опараллельных переходит О переходит впрямых виа две ва дит вв диаметр два вне∠4= луча окружности, вне причем причем . луча ·∠О . окружности, +∠О 3вокружности 3). окружности перейдут ввточка пару прямых касающиеся одит ящаяся ужности находящаяся вне переходит окружности вне диаметр переходит а окружности, диаметр переходит диаметр ав точка диаметр окружности, диаметр а диаметр диаметр �окружности, перейдут впрямую пару параллельных и две окружности, касающиеся окружности (свойство 4). окружности (свойство окружности 4). (свойство 4). способом троения: им построения: способом проводим построения: проводим построения: прямую проводим проводим ОА ОА и прямую и прямую ОА ОА и и � эти лучи. ак ечность, бы соединяющую как былуча этилуча лучи. �окружности � (свойство 4). О переходит О в3̊=).180 переходит вО точка переходит О переходит в в одит ности, ча∠С= переходит вне в�·(∠О причем два окружности, всоединяющую точка два вне причем окружности, вне точка окружности, причем +∠О ). ·(∠О а, Тогда, ∠С= ·360причем ̊, точка аточке ∠А+∠С= 2·(∠О 13+∠О 2+∠О 3+∠О 4)=2 +∠О �построения �точки Покажем пособ способ построения точки А', симметричной данной данной А точке А � �А', симметричной нечность, эти соединяющую лучи. бесконечность, как быэти соединяющую как лучи. бы�соединяющую эти лучи. эти лучи. �� 180 ̊. окружности ·(∠Оточки )=находится ·(∠О ·3601+∠О ̊=А 180 ̊, а вне а ∠А+∠С= Следовательно, ∠А+∠С= ружности тельно С. Рассмотрим С.А',Рассмотрим случай, когда случай, когда А4А', точка А находится вне 1+∠О 2+∠О 3+∠О 2+∠О 3+∠О 4)= ·360 ̊=180 ̊, бовательно, очки Покажем построения А', Покажем симметричной способ точки построения способ данной симметричной точке А',точка А точки данной симметричной данной точке данной А� точке А � построения �точке � симметричной лежащих углов четырехугольника равны 180 , ̊ то этот ности. водим Проводим касательную касательную АМ и из точки АМ и М из опускаем точки М перпендикуляр опускаем перпендикуляр 60 ̊-(∠А+∠С) ∠В+∠D=360 = 180окружности ̊.точка ̊-(∠А+∠С) =случай, 180 ости ительно рим относительно случай, С. Рассмотрим окружности когда случай, С. Рассмотрим А находится когда С. Рассмотрим точка внеА̊. находится когда случай, точка вне когда А находится точка А находится вне вне .еммы А этопротиволежащих значит, что точки лежат на одной окружности. Основание перпендикуляра перпендикуляра – искомая – точка искомая А'. А'. Так как суммы углов противолежащих четырехугольника углов равны четырехугольника 180 ̊, то этотперпендикуляр равны 180 ̊, то этот АМ мности. касательную иокружности. изПроводим точки М АМ Проводим опускаем касательную и из точки перпендикуляр касательную МАМ опускаем и източка точки АМ перпендикуляр и М из опускаем точки М опускаем перпендикуляр ать. ольник вписан. четырехугольник А это значит, вписан. точкиА–лежат это значит, на чтоокружности. точки лежат на одной окружности. пендикуляра .скомая Основание на ОА. точка Основание перпендикуляра –А'. искомая перпендикуляра точкачто –А'. искомая точка искомая А'.одной точка А'. овалось доказать. Что и требовалось доказать. Рисунок 2.6 Рисунок 2.6 2.6 Рисунок Рисунок 2.6 Докажем,что что точки Докажем, касания чтоB',C',D' точки лежат касания на одной прямой. лежат наПусть Пусть однойK,прямой. L– Пусть K, L– Докажем, C’, D’лежат лежатна наB',C',D' одной прямой. прямой. Докажем, что точки точкикасания касанияB’, B',C',D' одной Пусть K, K, LL–– ценцентры полученных центры окружностей. полученных Тогда окружностей. KD'||LB', Тогда так как KD'||LB', эти прямые так как эти прямые Рисунок 1.1 Рисунок 1.1 тры полученных окружностей. Тогда KD’||LB’ , так как эти перпендикулярны центры полученных окружностей. Тогда KD'||LB', такпрямые как эти прямые перпендикулярны перпендикулярны параллельным прямым. параллельным Поэтому = ∠B'LC'.∠D'KC' = ∠B'LC'. Действительно, ьно, получим подобные получим подобные ∆ Рисунок ОМА и1.1 ∆ ∆ОА'М ОМА и1.1 (∠ ∆ОА'М О – Поэтому общий, О прямым. – ∠D'KC' параллельным прямым. Поэтому D’KC’ =(∠B’LC’ . общий, унок 1.1 Рисунок 1.1 Рисунок перпендикулярны параллельным прямым. Поэтому ∠D'KC' =1∠B'LC'. 1 ОА ОМ 1ОА ОМ получим ные ∆ ОМА Действительно, подобные получим ∆ОА'М ОМА (∠ получим подобные Ои –∆ОА'М подобные ∆--1.ОМА (∠ ∆– ∆ОА'М ОМА ∆ОА'М О – ==общий, О- –·∠B'LC' общий, О и ==90̊ 90̊ --и1 (∠ ·∠B'LC' =(∠ ∠LC'B'. 90̊ Отсюда =90̊ Отсюда ∠KC'D' Отсюда .общий, следует, Отсюда что следует, что МДействительно, иравны ∠ОА'М по равны 90и ). Поэтому по∆90 ).∠KC'D' Поэтому KC’D’ =90̊ ∙·∠D'KC' D’KC’ ∙·∠D'KC' B’LC’ LC’B’ . общий,= ∠LC'B'. Отсюда 90̊ - ОМ ОтсюдаОА ∠KC'D' =90̊ 2·∠D'KC' 2 ·∠B'LC' = ∠LC'B'. 2 ОМ ОА-' ОМ ОА ' =ОА ОА ОМ ОМ ОА ОМ 2С’ лежит 2по Поэтому лежит  2 отрезке .Следовательно, Отсюда .точка Отсюда . точка Отсюда что . следует, Отсюда что следует, чтоB'D'. А оэтому ныи по ∠ОМА ∠ОА'М 90 ∠ОА'М равны 90 ).следует, по Поэтому 90 ). что Поэтому на отрезке B’D’. Применив еще раз Следовательно, Следовательно, точка С' следует, на С' лежит B'D'. на Применив отрезке ещеинверсию, Применив раз еще раз R 2 ).иравны R ' ОА ОМ ОА' точка ОМ ОА' ОМна ОА ' R2и=ОА·ОА' и. ОАполучим, . что ОА '  ОМ  ' Следовательно, С' лежит отрезке B'D'. Применив еще раз окружность, проходящая через B, C, D (т.е. образ прямой В’С’ ), содеринверсию, получим, инверсию, что окружность, получим, что проходящая окружность, через проходящая B, C, D (т.е. через образ B, C, D (т.е. образ OA OA 2 R 2центр R2 2 R 2 2 инверсию, получим, что окружность, проходящая через B, C, D (т.е. образ ' ' инверсии жит и – точку А . R =ОА·ОА' . =R =ОА·ОА' и и . . ОМ ОА ОА    прямой содержит прямойокружности, и В'С'), центрсодержит инверсии точкуинверсии – точку А. Если точка же А точка находится АВ'С'), находится внутри внутри окружности, тои –центр можно тоА. можно OA OA OA прямой В'С'), содержит и центр инверсии – точку А. Рассмотренные примеры показывают эффективность инверсии. Это примеры показывают э Рассмотренные ьзоваться следующим следующим способом способом построения: построения: проводим проводим прямую ОА прямую и ОА итоспособа ка Если тся Авнутри же находится Если точка окружности, же Авнутри точка находится А то окружности, находится можно внутри товнутри окружности, можноокружности, можно преобразование позволяет решать задачи, дажето подступиться кможно которым на первый Это преобразование позволяет решать задачи, ующим льзоваться м построения: воспользоваться способом следующим проводим построения: следующим способом прямую проводим способом построения: ОА и прямую построения: проводим ОА и проводим прямую ОА прямую и ОА и взгляд трудно. первый взгляд трудно. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Проведенное нами ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ориентированное исследование позволяет сдел Проведенное нами теоретическое и практико-ориентированное исследование по1) инверсия плоскости относительно о зволяет сделать выводы: есть преобразование 1) инверсия плоскости относительно окружности с центром в точке О есть пре- плоскости, при котором точки точки О, ставится образование плоскости, при котором каждой точке А, за исключением О, ста- в соответствие лежащая 2 R ' обладающее рядом свойств, ииобладавится в соответствие лежащая на луче ОА точка А’ такая, что ОА  OA ющее рядом свойств, позволяющими преобразовывать вращательное движение вращательное движение в прямолинейное; в прямолинейное; 2) владение методами инверсии помо 2) владение методами инверсии помогает более простыми способами ре- позволяет решать задачи достичь достичь результатов, зультатов, позволяет решать задачи, даже подступиться к которым на первый взгляд первый взгляд трудно (что говорит о эффектив трудно (что говорит о эффективности метода инверсии). Новизна работы заключается в том, чт Новизна работы заключается в том, что рассмотренное преобразование плоплоскости не входит в класс основных преоб скости не входит в класс основных преобразований, изучаемых когда-либо в школе. в школе. Хотя знаний школьного курса вполн Хотя знаний школьного курса вполне достаточно для изучения этого преобразовапреобразования и овладения методами и ния и овладения методами инверсии при решении задач. Материалы работы моработы могут быть использова гут быть использованы при организации работы с одаренными Материалы детьми, подготовке одаренными детьми, подготовке к олимпиадам к олимпиадам. Метод инверсии, как уже отмечало Метод инверсии, как уже отмечалось, дает возможность решать геометрические геометрические быстрее и рациона задачи быстрее и рациональнее, что позволяет не только сэкономить время, задачи но 33 сэкономить время, но и представить крас возможности этого метода ещё не востребова тематике следует уделять значительно больш нестандартными восприятиями геометрически СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАНН и представить красивое решение. Наверняка, все возможности этого метода ещё не востребованы на практике, поэтому данной тематике следует уделять значительно больше внимания, т. к. она обладает нестандартными восприятиями геометрических объектов. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Амелькин, В. В. Геометрия на плоскости: учебное пособие по математике / В. В. Амелькин, В. Л. Рабцевич, В. Л. Тимохович. – Минск: «Аскар», 2003. – 592 с. 2. Прасолов, В. В. Задачи по планиметрии: учебное пособие / В. В. Прасолов. – М. МЦНМО: ОАО «Московские учебники», 2006. – 640 с. 3. Савин, А. А. «Инверсия и окружность Аполлония». Журнал «Квант», № 8, 1971. 4. www/e-maxx-ru/lgb/ru/algo/geometric-inversion. DORONKIN MEKHIYA N., ZHULYANOV R. State educational establishment «Gymnasia № 2 Baranovichi» Scientific supervisor – Olkhovik A., the teacher of mathematics of the highest category INVERSION AND ITS USE IN SOLVING THE PROBLEMS ON THE THEME «CIRCUMFERENCE» Summary. This research project shows the usage of inversion in solving problems on the theme «Circumference» and comparison of solving these problems in a traditional way and with the help of inversion. 34 а) Если в четырёхугольнике диагонали равны, то параллелограмм Вариньона является ромбом. Справедливо обратное утверждение. б) Если в четырёхугольнике бимедианы перпендикулярны, то параллелограмм 1 Вариньона является ромбом. Справедливо обратное утверждение [2]. Следствие 2 а) Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Справедливо обратное утверждение. б) Если в четырёхугольнике бимедианы равны, то параллелограмм Вариньона является прямоугольником. Справедливо обратное утверждение [2]. Следствие 3 а) Если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом. Справедливо обратное утверждение. б) Если в четырёхугольнике бимедианы равны и перпендикулярны, то параллелограмм Вариньона является квадратом. Справедливо обратное утверждение [2]. 35 ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА Аннотация. Проведенное исследование, является дополнением и углубление материала школьного курса геометрии 8 класса по теме «Четырехугольники». В работе рассказывается о Пьере Вариньоне и его достижениях, рассмотрено доказательство теоремы Вариньона и ДОРОШЕНКО В. В. Государственное учреждение образованияприменение «Средняя школатеоремы № 11 г. Пинска» следствий из нее, а также показано Вариньона для руководитель – Козубовская различной А. И., учитель математики решенияНаучный задач планиметрии сложности. Актуальность данной ПАРАЛЛЕЛОГРАММ работы состоит вВАРИНЬОНА том, что теорема Вариньона не изучается в школьном курсе геометрии геометрии, а предлагается в форме ключевой Аннотация. Проведенное исследование, является дополнением и углубление материала задачи. школьного курса геометрии 8 класса по теме «Четырехугольники». В работе рассказывается о Пьере Вариньоне и его достижениях, рассмотрено доказательство теоремы ВаВведение. риньона и следствий из нее, а также показано применение теоремы Вариньона для решения Одним из самыхразличной сложных предметов в школе является задач планиметрии сложности. Актуальность данной работы геометрия, состоит в том,а что теорема Вариньона не изучается в школьном курсе геометрии, а предлагается в форзадачи на доказательство – это громоздкие записи и пояснения, которые ме ключевой задачи. требуют не только прочных знаний, но и значительной траты времени. Поэтому всегда важно найти факты, которые помогут легко выбрать Введение. верное и рациональное решение. Оченьв ценными в учебнике Одним из самых сложных предметов школе является геометрия, геометрии а задачи на доказательство громоздкие записи позволяют и пояснения, которые не только являются ключевые– это задачи, которые решатьтребуют задания для прочных знаний, но и значительной траты времени. Поэтому всегда важно найти самостоятельного выполнения более рациональным способом. Особый факты, которые помогут легко выбрать верное и рациональное решение. Очень ценинтересными вызвали задачи к параграфу в главе в учебникеключевые геометрии являются ключевые задачи, которые8позволяют решать1 задания для самостоятельного выполнения более рациональным способом.изучить Особый «Четырехугольники» [1] . Поэтому я решила более подробно интерес вызвали ключевые задачи к параграфу 8 в главе 1 «Четырехугольники» [1]. историюПоэтому данного факта и его применение для рационального решения я решила более подробно изучить историю данного факта и его применение задач. для рационального решения задач. Основная часть. Пьер (1654–1722) – француз-Основная часть. ПьерВариньон Вариньон (1654–1722) ский математик, член Парижской Академии наук, профессор французский математик, член Парижской Академии математики. Вариньон был другом известных ученых своего наук, профессор математики. другом времени: Ньютона, Лейбница и Вариньон Бернулли. Он был готовился к религиозной деятельности, сочинения Евклида и Деизвестных ученых своегоно, изучая времени: Ньютона, карта, увлекся математикой и механикой. Лейбница и Бернулли. Он готовился к религиозной Вариньон написал учебник по элементарной геометрии деятельности, изучая и Декарта, (издан в но, 1731), вывел сочинения очень важнуюЕвклида теорему, позволяющую сложные геометрические увлексярешать математикой и механикой.задачи более простыми методами. Он первым обратил внимание на довольно очевидВариньон написал учебник по элементарной геометрии (издан в ный факт: середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами 1731), параллелограмма. вывел очень важную теорему, позволяющую сложные В дальнейшем полученный параллелограммрешать назвали параллелограмм Вариньона. геометрические задачи более простыми методами. Он первым обратил Возьмем нужные нам теоретические сведения. внимание на довольно очевидный факт: середины сторон произвольного Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противопочетырехугольника вершинами В дальнейшем ложных сторонявляются [4]. (В учебнике геометрии параллелограмма. понятие бимедианы четырехугольника не изучается, но вводится понятие – средняя линия четырехугольника). полученный параллелограмм назвали параллелограмм Вариньона. Теорема Вариньона: «Четырехугольник, образованный путем последовательного Возьмем нужные нам теоретические сведения. соединения выпуклoгo четырехугольника, является параллелограммом [2]. БимедианыСледствия четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины из теоремы. Следствие сторон 1 противоположных [4]. (В учебнике геометрии понятие бимедианы Следствие 4 Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника [2]. Следствие 5 Плoщaдь параллелограмма Вариньона равна половине площади данного четырехугольника [4]. Следствие 6 Бимедианы четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам [4]. Следствие 7 (теорема о бабочках) Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [4]. ы сторон четырехугольника являются вершинами Рассмотрим решение задач из учебника «Геометрия» [1]. Зaдaчa 1 (задания к параграфу 8, ключевые задачи) ма Вариньона). Доказать, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона). Следствия [1]. 1. Если диагонали AC и BD равны, то MNKP – ромб и отрезки MK и PN взаимно перпендикулярны (рис. 100). 2. Если отрезки MK и PN взаимно перпендикулярны, то MNKP – ромб и диагонали AC и BD равны. 3. Если диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, то MNKP – прямоугольник, и отрезки MK и PN равны. 4. Если отрезки MK и PN равны, то MNKP – прямоугольник и диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. (Предложенные следствия являются следствиями из теоремы Вариньона). сторон являются вершинами (№ 111,четырехугольника [1]) AC и BD равны, то и MK и PN взаимно 100). MK и PN взаимно NKP – ромб и диагонали ть, что середины AC и BD (теорема взаимно перпендикулярны, то MNKP – елограмма Вариньона). твия [1]. и PN равны. ки MK Если диагонали AC и равны,– топрямоугольник и K и PN равны, то BD MNKP –ромб и отрезки MK и PN взаимно имно перпендикулярны. ндикулярны. (рис. 100). ия являются теоремы Вариньона). Если отрезки следствиями MK и PN из взаимно ндикулярны, то MNKP – ромб и диагонали Dравны. Докажите, что середины сторон вершинами ромба являются вершинами прямоугольника. дины сторон ромба являются Если диагонали AC и BD то MNKP – Д о взаимно к а з а т е лперпендикулярны, ь с т в о. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются угольник, и отрезки MK и PN равны. вершинами прямоугольника. Если отрезки MK и PNЗадача равны, то MNKP – прямоугольник и диагоналями на четыре 2. Выпуклый четырехугольник ABCD разделен али AC и BD взаимно перпендикулярны. треугольника (рис. 224). Доказать, что произведения ендикулярны, поэтому середины сторон ромба площадей противоположных S1 *S3=S2*S4 . треугольников равны, т.е. ложенные следствия являются следствиями из теоремы Вариньона). ямоугольника. 1, [1]) етырехугольник ите, что серединыABCD сторонразделен ромба являются вершинами угольника. тыре треугольника (рис. 224). тельство. ения площадей противоположных нали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба е. S1 *S3=S2*S4. тся вершинами прямоугольника. 2. Выпуклый четырехугольник ABCD разделен Д о к а звысоту, а т е л ь с т(рис. в о. алями на четыре треугольника 224). СВО имеют общую проведенную из Треугольники АВО и СВО имеют общую высоту, проведенную из вершины В. Поть,их что произведения площадей противоположных площади этому относятся как основания, т.е. их площади относятся как основания, т.е. SABC:SCBO=S1:S2=AO:OC . Аналольников равны, т.е. S1гично *S3=S2*S4. SADO:SCDO=S4: S3=AO:OC. Отсюда S1:S2=S3:S4, S1*S3=S2*S4. O:OC. SADO:SCDO=S4: S3=AO:OC. з а т е лАналогично ь с т в о. 1*S3=S2*S4. льники АВО и СВО имеют общую высоту, проведенную из 36 ны В. Поэтому их площади относятся как основания, т.е. SCBO=S1:S2=AO:OC. Аналогично средними SADO:SCDO=S4: S3=AO:OC. ырехугольник разделен линиями а S1:S2=S3:S4, S1*S3=S2*S4. му их площади относятся как основания, т.е. AO:OC. Аналогично SADO:SCDO=S4: S3=AO:OC. S1*S3=S2*S4. Задача 3. Выпуклый четырехугольник разделен средними линиями (отрезками, соединяющими середины его противоположных сторон) на четыре четырехугольника (рис. 226, а). Доказать, что суммы площадей противоположных четырехугольников равны, т.е. S1+S3=S2+S4. етырехугольник соединяющими отивоположных четыре (рис.226, а). мы площадей разделен средними линиями Д о к а з а т е л ь с т в о. авны, т.е. S1+S3=S2+S4. Соединим точку О пересечения средних линий MN и PK с вершинами A, B, C, D (рис. 226, б). В треугольнике АОВ отрезок ОМ – медиана. Медиана делит треув о. Соединим О пересечения средних линий. Аналогично, гольник на точку два равновеликих треугольника. Поэтому SAOM=SBOM=x SBOK= SCOK=y, SCON=z, SPOA=SPOD=t . Так как S1+S3=x+t+y+z, S2+S4=x+y+z+t, ами A, B,тоC, D (рис. 226, б). В треугольнике АОВ S1+S3=S2+S4. Доказано. на. Медиана делит треугольник на два равновеликих Сравним способы решения задач с использованием теоремы Вариньона муSAOM= SBOM=x. Аналогично, SBOK= SCOK=y, и без ее использования. собы решенияЗадача задач1 [2]с использованием теоремы OD=t. Так как S1+S3=x+t+y+z, S2+S4=x+y+z+t, то спользования. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот. ано. редины сторон прямоугольника и ромба. И наоборот. 3 Вариньона не используется) KL - средняя линия ∆ABC.NM – DC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему Д о к а з а т е л ь с т в о. треугольников (AB=DC, BC=DC, – общая 1-й способ (теорема ВариньонаAC не используется) KL=NM. Также1. KL||NM (AC||NM, AC||KL), значит, AC – диагональ. KL – средняя линия ∆ABC . NM – средняя линия ∆ADC. Треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников (AB=DC, амм. BC=DC, AC – общая сторона), значит, KL=NM. Также KL||NM (AC||NM, AC||KL), дует, что KL=NM. Аналогично можно доказать, что значит, KLMN – параллелограмм. 2. Из пункта 1 следует, что KL=NM. Аналогично можно доказать, что LM=KN. 3. ABCD – прямоугольник, значит, AC=BD, тогда KL=LM=MN=NK, следовательгольник , значит, AC=BD, тогда KL=LM=MN=NK, но, KLMN – ромб. N – ромб. 2-й способ (с использованием теоремы Вариньона) ьзованием теоремы Вариньона) а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (следствие моугольника равны, поэтому середины1а); сторон б) Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикуяются вершинами (следствие а); лярны, ромба тогда середины сторон1, прямоугольника являются вершинами ромба (следствие 1б). угольника перпендикулярны, поэтому бимедианы Задача 2 [2] прямоугольника являются тогда середины сторон У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, ледствие 1б).вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. Решение. способ (теорема не используется) ка диагонали 1-й равны a и b.Вариньона Найдите периметр 1. Докажем, что KLMN – параллелограмм. вершинами которого являются середины сторон 2. KL||AC||NMKL=NM=0,5AC а LM||BD||KN а LM=KN=0,5BD 3. P(ABCD)=KL+NM+LM+KN= 0,5AC+0,5AC+0,5BD+0,5BD=BD+AC=a+b. льника. 2-й способ (с использованием теоремы Вариньона) Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b. а Вариньона не используется) MN – параллелограмм. M=0,5AC а LM||BD||KN а LM=KN=0,5BD +LM+KN= D+0,5BD=BD+AC=a+b. 37 об(с использованием теоремы Вариньона) параллелограмма Вариньона равен a+b. ача 3 (II этап республиканской олимпиады по математике в учебном году, 8 класс). Задача 3 (II этап республиканской олимпиады по математике в 2016/2017 учебном году, 8 класс). руг вписан прямоугольник. Середины сторон прямоугольника В круг вписан прямоугольник. Середины сторон прямоугольника последовательтельно соединены ноотрезками. Доказать, периметр соединены отрезками. Доказать,что что периметр образовавшегося четырехугольника равен удвоенному диаметру данного круга. шегося четырехугольника равен удвоенному диаметру данного об (теорема Вариньона не используется). KL – средняя линия, значит, KL=1/2 АС и на АС (по свойству средней линии 4 Решение. 1-й способ (теорема Вариньона не используется). В ∆АВС KL – средняя линия, значит, KL=1/2 АС и параллельна АС (по свойству средней линии треугольника), то есть половине диаметра круга. Аналогично докажем, что каждая из сторон четырехугольника KLMN равна половине диаметра круга, то есть все стороны четырехугольника KLMN равны. Тогда KLMN – ромб. Вычислим его периметр: PKLMN = 4KL = 4 * 1/2 АС = 2АС. 2-й способ (с использованием теоремы Вариньона). KLMN – параллелограмм Вариньона, который вписан в прямоугольник АВСD, тогда KLMN – ромб (следствие 1), а PKLMN = 4KL = 4 * 1/2 АС = 2АС. Заключение. Легче найти доказательство, приобретя сначала некоторое понятие о том, что мы ищем, чем искать такое доказательство без всякого предварительного знания (Пифагор). Пьер Вариньон жил в XVIII вeкe, но его теорема актуальна и в наши дни. Исследование показало, что, зная теорему Вариньона и следствия из нее, можно легко решить многие задачи как школьного курса, так и задачи повышенной сложности. Работа может быть использована учащимися и учителями математики для проведения факультативных занятий, при подготовке к экзаменам и централизованному тестированию, к участию в математических конкурсах и олимпиадах. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Геометрия: Учебное пособие для 8 класса учреждений общего среднего образования / В. В. Казаков, – Минск: «Народная асвета», 2018. 2. Теорема Вариньона. [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://nsportal.ru/ap/ library/drugoe/2016/04/15/proekt-teorema-varona-i-ee-prakticheskoe-primenenie – Дата доступа: 11.09.2018. 3. В. Вавилов, П. Красников. Бимедианы четырехугольника // Математика. 2006 – № 22. 4. Прасолов В. В., задачи по планиметрии. – Т. 1, 2. – М.: Наука. DOROSHENKO V. V. State institution of education «Secondary school No. 11 of Pinsk» PARALLELOGRAM OF VARNION Summary. The study is an addition and deepening of the material of the school course of geometry of grade 8 on the topic «Quadrangles». The work tells about Pierre Varignon and his achievements, and it is also considered considers the proof of the Varignon theorem and its consequences, and also shows the application of the Varignon theorem for solving planimetric problems of varying complexity. The relevance of this work is that the Varignon theorem is not studied in the school course on geometry geometry, but is proposed in the form of a key problem. 38 Государственное учреждение образование «Средняя школа № 8 города Кричева» Научный руководитель – Евсеенко О. Н., учитель физики АНАЛИЗ ЭКОНОМНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭНЕРГОРЕСУРСОВ ПРИ ЕЖЕНЕДЕЛЬНОЙ УБОРКЕ В КВАРТИРЕ Аннотация. Проблема разумного использования энергии является одной из наиболее острых проблем человечества. Современная экономика основана на использовании энергетических ресурсов, запасы которых истощаются и не возобновляются. Но даже не это главное. Современные способы производства энергии наносят непоправимый ущерб природе и человеку. Ключевую роль в предотвращении экологической катастрофы играет энергосбережение. Проблема разумного использования энергии – одна из наиболее острых проблем человечества. Данная статья посвящена исследованию экономии энергоресурсов во время еженедельной уборки в квартире. В ходе изучения различных литературных источников были систематизированы способы экономии энергоресурсов при уборке. Проведен сравнительный анализ экономии энергоресурсов и денежных средств с учетом и без учета энергосберегающих мероприятий. Исследование, проведенное в работе, показало значительную экономию электроэнергии и холодной воды, что подтвердило гипотезу, поставленную в начале работы. Введение Вы когда-нибудь задумывались над тем, зачем вообще наводить порядок и какая реальная польза от уборки? Здоровая семья – самое очевидное преимущество, ведь состояние всего дома способно незаметным образом влиять на здоровье всей семьи. Бактерии, которые живут на грязных кухонных поверхностях, плесень и грибок в ванной, пыль и шерсть домашних животных на мебели и коврах могут вызвать все – от аллергии до приступов астмы. Регулярные ритуалы по очищению дома значительно снижают потенциальную возможность возникновения этих заболеваний [1]. Кроме здоровья, уборка в доме может приносить и экономию энергоресурсов и денежных средств. Цель исследования: расчет экономии энергоресурсов и денежных средств при уборке в квартире. Задачи исследования: 1. Изучить различные способы экономии воды и электроэнергии при уборке в квартире. 2. Провести еженедельные уборки без энергосберегающих мероприятий и с учетом энергосберегающих мероприятий. 3. Рассчитать экономию воды, электроэнергии и денег при уборке в доме. Объект исследования: рациональное использование энергоресурсов в быту. Предмет исследования: экономия энергоресурсов при их рациональном использовании. Гипотеза: введение энергосберегающих мероприятий при уборке в доме способствует уменьшению потребления энергоресурсов и денежных средств. Методы исследования: наблюдение, эксперимент, анализ. Основная часть Виды уборок в доме. Проще всего уборку дома можно разделить на виды по периодичности ее проведения. Выделить можно такие мероприятия: • ежедневная или текущая простая уборка, состоящая из утренней и вечерней уборки; • еженедельная уборка, проводимая в основном в выходные дни; • генеральная уборка, периодичность проведения раз в месяц; • сезонная уборка, проводимая два раза в год, весенняя и осенняя стадии. Исследование по экономии энергоресурсов я и моя семья проводила во время еженедельной уборки. За неделю в доме скапливается достаточно пыли и грязи, чтобы во время еженедельной уборки нам было чем заняться. Во время стандартных выходных мы при- 39 ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА ЗОНТОВА Н. В. нимаемся за наведение чистоты: пылесосим, моем пол, протираем пыль, убираем ванную и туалет, чистим холодильник. Способы экономии энергоресурсов при еженедельной уборке в доме Любая хозяйка скажет, что главным помощником в борьбе за чистоту является именно пылесос. Он не только избавит полы и ковры от мусора, но и справится с пылью, поможет в чистке батарей и других труднодоступных мест, а отдельные экземпляры могут взять на себя даже мытье пола. Работать пылесос непрерывно должен не более одного-полутора часов. Делайте перерывы в работе с пылесосом. Если вы почувствовали, что тяга пылесоса уменьшилась, то это явный сигнал, что пора чистить пылесборник. Не ждите полного окончания уборки, очищайте пылесос сразу после уменьшения тяги. Если вам необходимо пропылесосить шторы, занавеси или ковер со «слабым» ворсом, то воспользуйтесь устройством регулирования расхода воздуха [2]. В процессе уборки следует контролировать водный поток из крана. Необходимо его постоянное перекрытие даже при ежеминутном споласкивании тряпок. В данном случае следует помнить о минимальном минутном водном расходе в 12 литров. Диваны и кресла, ковролин не вынесешь на улицу. Поэтому хорошим способом избавления мягкой мебели от пыли является выбивание через мокрую шерстяную ткань. Её укладывают на поверхность мебели, сверху кладут сухую чистую тряпку и выбивают, как ковёр. Скопившаяся в волокнах мебели пыль осядет на влажную ткань, а сухая тряпка впитает влагу. После использования материал необходимо хорошо просушить, проветрить комнату [3]. Определение количества энергоресурсов в ходе еженедельной уборки в доме без энергосберегающих мероприятий Наша семья живет в двухкомнатной квартире, которая включает гостиную, прихожую комнату, спальню, кухню, ванну, санузел. В гостиной, прихожей, ванной и санузле лежат на полу ковры, остальное пространство уложено ломинатом. При уборке мы используем пылесос Samsung TWIN Chamber System. Максимальная потребляемая мощность 1600 Вт. Без энергосберегающих мероприятий на чистку ковров пылесосом мне понадобилось 5 мин в гостиной, в прихожей – 7 мин, так как там песок и пылесосить нужно лучше, на санузел – 1 мин и на ванну – 1 мин. Мощность всасывания 1600 Вт. На пол с ламинатом в гостиной понадобилось 6 мин, в прихожей – 4 мин, так как там песок и пылесосить нужно лучше, на кухню – 3 мин. Мощность всасывания 1600 Вт. В квартире есть мягкая мебель, которая требует уборки пылесосом. Диван и кресло в гостиной пришлось пылесосить около 6 мин при мощности 1600 Вт. Таким образом, на уборку поверхностей пылесосом в квартире без энергосберегающих мероприятий ушло 33 мин при мощности 1600 Вт, что составляет E= P·t= 1600 Вт · 33·60 с =3168000 Дж электроэнергии. С учетом того, что 1 кВт·ч = 3600000 Дж, количество электроэнергии в кВт·ч равен 0,88 кВт·ч. Влажная уборка в квартире включает протирание пыли и мытье пола. Тряпку для протирания пыли я мыла под струей холодной воды, собирая воду в таз. За все время в таз натекло 6 литров холодной воды. При влажной уборке пола также тряпку мыли под струей воды и воду собирали в таз. Натекло 9 литров холодной воды. В общем, за время еженедельной уборки в квартире было затрачено 15 литров холодной воды и 0,88 кВт·ч электроэнергии. Определение количества энергоресурсов в ходе еженедельной уборки в доме с учетом энергосберегающих мероприятий Перед тем как пылесосить, ковры в комнатах были почищены, для того, чтобы грязь, которая скопилась ниже ворса ковра, «поднялась» наверх, и ее можно было собрать в ручную, и потом будет легче пылесосить. После того, как ковры были почищены щеткой, в зале на уборку понадобилось 3 мин, в прихожей – 5 мин, в санузле 20 с и в ванне 25 с. Мощность всасывания 1600 Вт. Перед дальнейшей уборкой пылесос был отключен. Мотор пылесоса за это время был охлажден. За это время был почищен пылесборник. За все время уборки пылесборник был очищен два раза. 40 это время был охлажден. За это время был почищен пылесборник. За все время уборки пылесборник был очищен два раза. Данные действия помогли уменьшить время уборки ламината в квартире. На пол вДанные зале мне понадобилось 5 мин, в прихожей - 3 мин, на кухне уборка действия помогли уменьшить время уборки ламината в квартире. На пол заняла в2 зале мин.мнеМощность всасывания была– 3уменьшена 1300заняла Вт. 2 мин. понадобилось 5 мин, в прихожей мин, на кухнедо уборка Мощность всасывания была уменьшена до 1300 Вт. Диван и кресло были убраны вообще без пылесоса. Для этого я ложу Диван и кресло были убраны вообще без пылесоса. Для этого я ложу влажную влажную пеленку на диван, закрываю сухой пеленкой и выбиваю. Таким пеленку на диван, закрываю сухой пеленкой и выбиваю. Таким образом, избавляюсь образом, избавляюсь от пыли. от пыли. 1. Уборкамягкой мягкой мебели без без пылесоса ФотоФото 1. Уборка мебели пылесоса В ходе уборки поверхностей пылесосом с учетом энергосберегающих мероприятий было затрачено 8 мин 45 с при мощности 1600 Вт и 10 мин при мощности 1300 Вт. ВОбщее ходевремя уборки поверхностей пылесосом с учетом энергосберегающих уборки пылесосом – 18 мин 45 с. Количество электроэнергии составимероприятий было 8 мин 1620000 45 с при 1600 Вт и 10 мин при ло E = (8·60 +45)затрачено · 1600 + 10·60·1300= Дж,мощности или 0,45 кВт·ч. С целью экономии холодной воды при влажной уборке было решено, мощности 1300 Вт. Общее время уборки пылесосом – 18 мин 45 набирать с. Количество воду в таз и полоскать тряпку в тазу, а не под краном с водой. Это позволило уменьэлектроэнергии составило E = (8·60 +45) · 1600 + 10·60·1300= 1620000 Дж, или шить количество холодной воды на уборку. Таким образом, на вытирание пыли с по0,45 кВт·ч. верхностей было израсходовано 4 л. холодной воды, на мытье пола – 6 л. холодной В целом на влажную уборку в пошло 10 л. холодной воды. уборке было решено, Своды. целью экономии холодной воды при влажной Таким образом, во время еженедельной уборки с учетом энергосберегающих менабирать воду в таз и полоскать тряпку в тазу, а не под краном с водой. Это роприятий было затрачено 10 л. холодной воды и 0,45 кВт·ч электроэнергии. позволилоСравнительный уменьшить количество холодной воды на уборку. Таким образом, на анализ экономии энергоресурсов и денежных средств в ходе еженедельной уборки в квартире вытирание пыли с поверхностей было израсходовано 4 л. холодной воды, на По итогам еженедельных уборок были получены следующие результаты: мытье пола – 6 л. холодной воды. В целом на влажную уборку в пошло 10 л. холодной воды. Таблица 1. Результаты еженедельных уборок в квартире Количество холодной воды, л. Количество электроэнергии, кВт·ч. Еженедельная уборка без энергосберегающих мероприятий 15 0,88 Еженедельная уборка с учетом энергосберегающих мероприятий 10 0,45 Виды уборок Из таблицы видно, что при еженедельной уборке с учетом энергосберегающих мероприятий количество холодной воды и электроэнергии уменьшилось. Экономия составила 5 л. холодной воды и 0,43 кВт·ч электроэнергии. В денежном выражении с учетом тарифов на холодную воду и электроэнергию (1 м3 холодной воды стоит 0,8338 руб., 1 кВт·ч – 0,1746 рублей) экономия составила 0,004 рубля за воду и 0,075 рублей за электроэнергию. В общем, экономия денежных средств составила 0,079 рублей, или почти 8 копеек. Сумма не большая, но надо понимать, еженедельные уборки нужно проводить постоянно, поэтому количество сэкономленных денег возрастет. Заключение. В результате работы цель была достигнута. Экономия энергоресурсов и составила 5 л. холодной воды и 0,43 кВт·ч электроэнергии, денежных средств – 8 коп. Для достижения цели были решены поставленные задачи. Изучены различные способы экономии воды и электроэнергии при уборке в квартире. Проведены ежене- 41 дельные уборки без энергосберегающих мероприятий и с учетом энергосберегающих мероприятий. Произведен расчет экономии воды, электроэнергии и денег при уборке в доме. Гипотеза об уменьшении энергоресурсов и денежных средств во время уборки была подтверждена. Практическая значимость работы заключается: • в улучшении условий проживания в квартире; • в поддержании здоровья всей семьи; • в экономии энергоресурсов и денежных средств. Использованные в работе рекомендации по энергосберегающей уборке были распространены среди школьного сообщества во время школьной научно-практической конференции учащихся в мае 2019 г. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Зачем убираться в доме: 7 удивительных преимуществ порядка [Электронный ресурс] Режим доступа: http://uyutnyj-dom.info/uborka/zachem-ubiratsya-v-dome-7-udivitelnyhpreimushhestv-poryadka.html. Дата доступа:06.07.2019 г. 2. Правила эксплуатации пылесоса [Электронный ресурс]. Режим доступа: https:// domovenokk.ru/obsluzhivanie-tehniki/pravila-ekspluatatsii-pyilesosa. Дата доступа: 07.04.2019 г. 3. Как обходиться без пылесоса при уборке квартиры? Режим доступа: https://technosova. ru/dlja-chistoty-i-porjadka/pylesos/uborka-bez-pylesosa/ Дата доступа: 07.04.2019 г. 4. Работа и мощность электрического тока. Работа тока [Электронный ресурс] Режим доступа: https://infourok.ru/videouroki/479 Дата доступа:10.04.2019 г. 5. Работа тока [Электронный ресурс] Режим доступа: https://jelectro.ru/teoriya/rabota-toka. html. Дата доступа: 10.04.2019 г. ZONTOVA N. State Educational Establishment «Krichev Comprehensive School No. 8» Scientific supervisor – Yevseyenko O., teacher of physics THE ANALYSIS OF THE EFFICIENT USE OF ENERGY RESOURCES DURING APARTMENT WEEKEND CLEANING Summary. The problem of the efficient use of energy is one of the key problems of humanity. The modern economy is based on the use of resources, whose reserves are depleted and not renewed. Although it is not even the main thing. Modern methods of energy production cause irreparable damage to nature and man. Energy-saving plays a key role in preventing an environmental disaster. The problem of the rational use of energy is one of the key problems of mankind. This article is devoted to the study of energy savings during apartment weekend cleaning. In the course of studying various literary sources, methods of saving energy resources during cleaning were systematized. A comparative analysis of the saving of energy resources and money with and without energy conservation measures is carried out. The study conducted in the work showed significant savings in electricity and cold water, which confirmed the hypothesis, set at the beginning of the work. 42 Государственное учреждение образования «Средняя школа № 1 г. Любани» Научный руководитель – Власовец В. М., учитель математики и информатики, Государственное учреждение образования «Загальский учебно-педагогический комплекс детский сад-средняя школа Любанского района» ИЗУЧАЕМ PASCALABC.NET: РОБОТ Аннотация. В данной статье рассмотрены возможности составления программ для решения не только стандартных проверяемых заданий исполнителя Робот в PascalABC.NET, но и для создания своих процедур с обстановками и их решениями. Для желающих изучать PascalABC.NET с помощью исполнителя Робот. Введение. В школе учащиеся 7 класса изучают исполнитель Робот в среде программирования PascalABC.NET. Знакомятся с основными алгоритмическими конструкциями и используют их при решении стандартных проверяемых встроенных заданий для исполнителя Робот. Робот – наилучший вариант изучения и применения основных алгоритмических конструкций и их комбинаций: следование, ветвление, циклы, вложенные циклы, циклы и ветвление. Постановка задачи. Исполнитель Робот действует на прямоугольном клеточном поле – это среда обитания исполнителя. Большой желтый квадрат изображает Робота, маленький желтый квадрат – конечное положение Робота. Между некоторыми клетками, а также по периметру поля находятся стены. Черными точками могут быть помечены клетки, которые надо закрасить. Могут быть клетки закрашенными. Всё это составляет обстановку Робота. Основная цель Робота – закрасить помеченные клетки и переместиться в конечную клетку, минуя стены. Составить и разработать собственные обстановки Робота и решить их. Цель работы. Изучение языка Pascal через исполнителя Робот, составление программ, процедур для разработанных обстановок, решение новых обстановок для исполнителя Робот в программе PascalABC.NET. Основные задачи работы: • ознакомиться с командами для создания новых своих обстановок Робота; • разработать и создать свои обстановки (задания) для исполнителя Робот; • решение своих же созданных заданий; • изменение цвета Робота. Основная идея работы. Решение задач с готовыми обстановками Робота и своими разработанными обстановками Робота с целью изучения Pascal. Методы исследования. Сравнение, сопоставление, анализ, синтез, обобщение. Программы и обстановки составлены в PascalABC.NET v3.3. Для работы необходимо установить платформу Microsoft.NETFramework 4. Основная часть. С помощью команд и условий исполнителя Робот можно решить 129 встроенных стандартных проверяемых заданий по 9 группам: В группе a – вводные задания, линейные программы – 4 задания, в группе c – цикл с параметром – всех 16 заданий; в группе if – логические выражения – 11 заданий; в группе w – циклы с условием – 17; в сif – циклы + логические выражения – 22 задания; группа count – переменные-счетчики – 17 заданий; в группе cc – вложенные циклы – 19; группа p – процедуры без параметров – 15 заданий; в группе pp – процедуры с параметрами – 8. Справка исполнителя Робот подробно даёт описание по созданию своей группы, например, myrob и по созданию новых своих обстановок. Сначала разрабатываем обстановки на бумаге. Затем приступаем к созданию своих обстановок для исполнителя Робот. Чтобы создать обстановку, необходимо использовать следующие процедуры модуля RobotTaskMaker – Робот-постановщик обстановок: Field(szx,szy: integer) – задает поле Робота размера szx на szy клеток. HorizontalWall(x,y,len: integer) – создает горизонтальную стену длины len и координатами левого верхнего угла (x, y). VerticalWall(x,y,len: integer) – создает вертикальную стену длины len и координатами левого верхнего угла (x, y). 43 ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА КОРОТКЕВИЧ М. Д. RobotBegin(x,y: integer) – создает начальное положение Робота в клетке с координатами (x, y). RobotEnd(x,y: integer) – задает конечное положение Робота в клетке с координатами (x, y). RobotBeginEnd(x,y,x1,y1: integer) – задает начальное положение Робота в клетке с координатами (x, y) и конечное в клетке с координатами (x1, y1). Tag(x,y: integer) – помечает клетку (x, y) для закрашивания. TagRect(x,y,x1,y1: integer) – помечает прямоугольник из клеток, задаваемый координатами противоположных вершин прямоугольника (x, y) и (x1, y1), для закрашивания. MarkPainted(x,y: integer) – закрашивает клетку (x, y) (в задании некоторые клетки могут быть уже закрашены). TaskText(s: string) – задает формулировку текста задания в строке s. Из этих команд и команды random, можно сделать обстановки со случайными размерами поля и случайными элементами обстановки согласно своей формулировки условия задачи. Всего создано 62 задания, 1 и 30 из справки. Все процедуры обстановок смотрите в файле RobTasks.pas, который хранится в облачном хранилище по адресу https:// yadi.sk/d/yOi36LMLDKFAAw. Для работы учащихся с новыми обстановками, файл RobTasks.pas можно скопировать в папку модулей Робота по адресу C:\Program Files\ PascalABC.NET\LibSource или в рабочую текущую папку, в которую будете сохранять программы с решениями новых обстановок. Задания квалифицированы по группам: группа с – 1, 2, 3; группа w – 4–11 (8 обстановок); группа if – 12; группа cc – 13–18 (6 обстановок); группа count – 19–25 (7 обстановок); группа p – 26, 27, 28, 29; группа сif – 30–62 (33 обстановки). Номера заданий с произвольным полем: 4, 7–11, 15–18, 21–30, 32, 33, 35, 37–41. Всех 28 заданий. Номера заданий с произвольной обстановкой: 4–30, 32–41. Всех 37 заданий. Номера заданий с фиксированным полем и обстановкой: 1, 2, 3, 31, 42–62, всех 25 заданий. Открывая файлы myrobN, где N от 1 до 62, можно просмотреть все обстановки и выполнить программы. Условия заданий приведены в таблице: № заданий Условия заданий myrob1 Закрасить помеченные клетки myrob3 Закрасить помеченные клетки слова РОБОТ myrob5 Закрасить клетки по контуру внутри прямоугольника любого размера myrob7 Закрасить стороны квадрата любого размера и диагонали myrob9 Закрасить помеченные клетки над ступеньками myrob2 Закрасить помеченные клетки в виде буквы О. Размер буквы фиксированный myrob4 Закрасить главную и побочную диагонали поля любого размера NxN myrob6 Закрасить клетки слева и справа от вертикальной стены любой длины myrob8 Закрасить помеченные клетки над ступеньками myrob10 Закрасить помеченные клетки над ступеньками. Два варианта. myrob12 Закрасить помеченные клетки за стенами myrob14 Найти выход из лабиринта вертикальных стен myrob11 Пройти по дорожке закрашенных клеток myrob13 Найти выход из лабиринта горизонтальных стен myrob15 Дан забор любой длины высотой 3 в каждую клетку. Закрасить помеченные клетки myrob16 Дан забор любой длины высотой 3 в любой клетке. Закрасить помеченные клетки myrob17 Дан забор любой длины и высоты в каждую клетку. Закрасить помеченные клетки myrob18 Дан забор любой длины и высоты в любой клетке. Закрасить помеченные клетки myrob19 Закрасить клетки вокруг вертикальной стены любой длины и вернуться обратно 44 myrob20 Закрасить угловые клетки поля и вернуться обратно myrob22 Подсчитать количество закрашенных клеток поля любого размера myrob24 Около Робота одна линия или их нет. Закрасить дорожки в свободных направлениях до границы поля и вернуться на исходную. myrob25 Около Робота не более трёх линий. Закрасить дорожки в свободных направлениях до границ поля и вернуться на исходную. myrob26 Робот в левом верхнем углу. Закрасить клетки вокруг закрашенной и вернуться назад. myrob27 Робот в левом верхнем углу. Закрасить клетки вокруг закрашенной и вернуться назад. Клетка может быть граничной. myrob28 Робот в любой клетке. Закрасить клетки вокруг закрашенной и вернуться назад. myrob21 Закрасить помеченные клетки поля любого размера NxN, N – нечетное myrob23 Закрасить клетки рядом со всеми стенами и вернуться назад myrob29 Робот в любой клетке. Закрасить клетки вокруг закрашенной и вернуться назад. Клетка может быть граничной. myrob30 Закрасить клетки под закрашенными myrob32 Произвольное поле закрасить как шахматную доску myrob34 Закрасить все клетки внутри прямоугольника любого размера myrob36 Найти выход из лабиринта. Есть один случайный проход в каждом квадрате myrob38 Есть ступеньки. Закрасить клетку возле испорченной myrob40 Около Робота две смежные линии. Закрасить дорожки от этих линий до границы поля и вернуться на исходную. myrob41 Около Робота три линии. Закрасить дорожку в свободном направлении до границы поля и вернуться на исходную. myrob31 Поле 8х8 закрасить как шахматную доску myrob33 Произвольное поле закрасить полностью myrob35 Закрасить клетки через одну по контуру поля любого размера myrob37 Есть ступеньки. Закрасить клетку возле испорченной. myrob39 Есть ступеньки. Закрасить клетку возле испорченной. Разные варианты. myrob42 – Закрасить помеченные клетки по группе cсif (различные варианты myrob61 расположения точек) myrob62 Дано поле 62x62. Закрасить клетки поля разными цветами полностью Можно изменить цвет закрашиваемой клетки и не только с помощью команд: RPaintColor := RGB(0,200,0); – цвет закрашиваемой клетки; RobotColor := RGB(255,255,220); – цвет робота; RobotColor1 := RGB(200,255,200); – цвет робота над закрашенной клеткой; RBorderColor := RGB(1,1,1); – цвет контура робота. Функция RGB имеет формат: RGB(r,g,b: byte): Color; – возвращает цвет, который содержит Red красную (r), Green зеленую (g) и Blue синюю (b) составляющие (r, g и b – в диапазоне от 0 до 255). В программе задания сс1 нужно добавить модули RobotField и GraphABC, четыре команды присваивания и варьировать числа для функции RGB. В итоге программа приобрела следующий вид: uses Robot,RobotField,GraphABC; var i,j,k:integer; begin RPaintColor := RGB(0,0,200); {цвет закрашиваемой клетки - синий} RobotColor := RGB(200,0,0); {цвет робота - красный} RobotColor1 := RGB(200,200,200); {цвет робота над закрашенной клеткой - серый} RBorderColor := RGB(0,200,0); {цвет контура робота - зеленый} Task(‘cc1’); for j:=1 to 6 do begin for i:=1 to 5 do begin Paint;Right;end; Down; end; end. 45 begin for for i:=1 i:=1 to to 5 5 do do begin begin Paint;Right;end; Paint;Right;end; Down; Down; end; end; end. end. Результат выполнения программы: Результат Результат выполнения выполнения программы: программы: Можно сделать Можно сделать цвет цвет закрашиваемых закрашиваемых клеток клеток разный. разный. В В программе программе задания задания Можно сделать цвет закрашиваемых клеток разный. В программе задания myrob33 вместо конкретных чисел в функцию RGB вставлена myrob33 вместо конкретных чиселRGB вставлена в функцию RGB вставлена myrob33 вместо конкретных чисел в функцию функция random(256), которая случайно выбирает цвет в диапазоне от 0 до 255. Результат – разный цветот которая случайно случайно выбирает выбирает цвет цвет вв диапазоне диапазоне от 00 до до функция функция random(256) random(256),, которая закрашиваемых клеток: 255. 255. Результат Результат –– разный разный цвет цвет закрашиваемых закрашиваемых клеток: клеток: Результат программы –– ну не После каждого запуска Результат ну нечем чем не мозаика! мозаика! После каждого запуска на на Результатпрограммы программы – ну чем мозаика! После каждого запуска на выполнение выполнение разный результат. выполнение разныйразный результат.результат. При поиске изменения вв программе-модуле вв При поиске вариантов вариантов изменения цвета цвета в программе-модуле Robot в папкеRobot C:\ При поиске вариантов изменения цвета программе-модуле Robot Program Files\PascalABC.NET\LibSource, были обнаружены ещё две группы зарегипапке Files\PascalABC.NET\LibSource, были ещё папке C:\Program C:\Program Files\PascalABC.NET\LibSource, были обнаружены обнаружены ещё две две стрированных заданий, которых нет в справке. Это «спрятанные» группы examen и mix по 10 заданий в каждой. В группе examen в заданиях аналогии из групп p, pp, w, count, cif. Сравнительная таблица аналогий группы examen с другими группами: examen1 examen2 еxamen3 еxamen4 еxamen5 = = = = = р11 р12 рр7 w12 count12 еxamen6 examen7 examen8 еxamen9 еxamen10 = = = = = cif8 cif12 cif16 count2 count4 В группе mix настоящий микст. Условия заданий отличаются от всех сделанных стандартных, так и собственноручно созданных, а решения – программы – это смесь частей программ из различных групп, в том числе из группы myrob. Условия заданий в группе mix. № задач Условия заданий mix1 Закрасить прямоугольник переменного размера mix3 Закрасить квадрат, предварительно определив его размер mix5 Найти закрашенную клетку и закрасить клетки, находящиеся с ней на одной вертикали и горизонтали mix6 Закрасить те клетки у правой стены, для которых закрашены клетки у левой стены mix7 Закрасить горизонтальные ряды, в которых закрашены левая и правая клетки mix2 Закрасить в шахматном порядке прямоугольник переменного размера mix4 Найти закрашенную клетку 46 mix8 Закрасить горизонтальные ряды, в которых закрашены левая и правая клетки и ещё ровно одна mix9 Закрасить прямоугольник, предварительно определив его размер, и вернуться в начальную позицию. Закрашенная клетка находится левее и ниже Робота mix10 Закрасить прямоугольник, предварительно определив его размер, и вернуться в начальную позицию Задание mix10 – это супер микст. Закрашенная клетка находится не только левее и ниже Робота, но и левее и выше, правее и выше, правее и ниже. Программа содержит все элементы групп заданий: w, c, if, cc, cif, ccif, count, pp, myrob. Открыв в главном меню закладку Сервис и выбрав Настройки… в списке Опции компиляции, убрать метку в строке Удалять ЕХЕ файл после выполнения, можно создать ЕХЕ файл, поставив метку в строке Выходные файлы генерировать в папку, указав адрес C:\PABCWork.NET\Output. Это очень удобно для демонстрации вариантов обстановки и процесса прохождения Робота по полю. Все ЕХЕ файлы находятся по адресу: https://yadi.sk/d/3ND4yfsnEEFyXA. Заключение. Создано 60 обстановок (процедур) и составлены к ним программы (решения обстановок). Задания и их решения классифицированы по группам. Считаю, что поставленные задачи выполнены. Составлены программы для решения стандартных заданий исполнителя Робот. При создании своих заданий – своих обстановок, порой приходилось сложнее, чем просто решение созданных обстановок, а иногда наоборот. Но зная, как составляется процедура с обстановкой, намного легче составлять программу для решения своей задачи. Данную работу можно использовать учителями как дидактический материал для учащихся, желающих попробовать составлять программы для Робота как стандартные, так и собственноручно созданные. Использовался один источник: встроенная справка в программу PascalABC.NET v3.3 KOROTKEVICH M. D. State institution of education «Luban High School No. 1» Scientific supervisor – Vlasovez V. M., a teacher of mathematics and informatics STUDYING PASCALABC.NET: ROBOT Summary. The development is relevant for use in educational schools in the study of the basics of algorithmization. The author has compiled 60 new interesting tasks for Students, as well as carefully studied the standard tasks presented in the system PascalABC.NET. The development can be widely used in school. The results can be used in computer science lessons in grade 7. 47 ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА ЛОЙКО М. А. Государственное учреждение образования «Средняя школа № 40 г. Гродно» Научный руководитель – Соколовская Г. Г., учитель физики МОДЕЛЬ ДВИГАТЕЛЯ СТИРЛИНГА Аннотация. Данная статья посвящена изучению устройства, принципа действия, видов, достоинств и недостатков двигателя Стирлинга, который является тепловым двигателем внешнего сгорания. Результатом практической работы является создание действующей модели двигателя Стирлинга и рассмотрение возможных способов применения его в быту. Работа в выбранном направлении может быть продолжена и усовершенствована. Введение: Мы живём в энергетическом мире, в котором мы не можем представить жизнь без электричества т.к. мы электричеством пользуемся каждый день, это все наши приборы (электрочайники, микроволновки, телевизор и многое другое). Но многие не задумываются, как же получается электроэнергия, а ответ очень прост. Моя тема научной работы «Модель двигателя Стирлинга» посвящена преобразованию тепловой энергии в электрический ток. Цель исследования: Изготовление действующей модели двигателя Стирлинга. Задачи исследования: • Познакомиться с историей создания, принципом действия и видами двигателя Стирлинга. • Собрать действующую модель двигателя Стирлинга. • Выяснить рентабелен ли двигатель. • Рассмотреть возможные способы применения двигателя. История создания двигателя: Роберт Стирлинг родился 25 октября 1790 г. Своё первое изобретение он разработал ещё в возрасте 27 лет. Его изобретения дали путь в развитии науки т.к. его двигатель был поразительным изобретением в те века. В то время были паровые машины, но они работали очень нестабильно, часто взрывались при работе. Стирлинг обеспокоился этой проблемой и создал двигатель «Будущего». Двигатель Стирлинга – тепловая машина, в которой рабочее тело, в виде газа или жидкости, движется в замкнутом объёме, разновидность двигателя внешнего сгорания. Разновидности двигателя: • α-Стирлинг – содержит два раздельных силовых поршня в раздельных цилиндрах, один – горячий, другой – холодный. • β-Стирлинг – цилиндр всего один, горячий с одного конца и холодный с другого. • γ-Стирлинг – тоже есть поршень и вытеснитель, но при этом два цилиндра – Цикл Стирлинга: один холодный, а второй горячий с одного конца и холодный с другого. Цикл Стирлинга: 1. Изотермическое расширение с подводом тепла от топливного ресурса. 1. Изотермическое расширение с подводом тепла от 2. Изохорный отвод тепла к регенератору. топливного ресурса. 3. Изотермическое сжатие с отводом к 2. Изохорный отвод тепла ктепла регенератору. 3. Изотермическое сжатие тепла с отводом к холохолодильнику. дильнику. 4. Изохорический нагревнагрев рабочего тела отводом 4. Изохорический рабочего тела с с отводом к ре-к регенератору. генератору. работы: Основной принцип работы двигатеПринцип Принцип работы: Основной принцип работы ля Стирлинга заключается в постоянно чередуемых нагредвигателя Стирлинга заключается постоянно чередуемых нагревании и вании и охлаждении рабочеговтела в закрытом цилиндре. охлаждении рабочего в закрытом Этапытела сборки: Для началацилиндре. мы собрали рабочий цилиндр, далее прикрепили к нему водяную рубашку, и сделали цилиндре. Так же сделали Этапы сборки: Для начало мы отверстия собралив рабочем рабочий цилиндр, далее мембранный поршень и надстройку. Далее занялись механической частью: сделаприкрепили к нему водяную рубашку, и сделали отверстия в рабочем цилиндре. ли систему шатунов и коленвала, прикрепили моховое колесо, и сделали электропривод.мембранный поршень и надстройку. Далее занялись Так же сделали Мои модели: Мы сделали сначала первую модель, она была самая простая и не механической частью: сделали систему шатунов и коленвала, прикрепили имела ничего лишнего. Модель стала работать не стабильно, поэтому мы убрали моховое колесо, и сделали электропривод. пристройку и поставили всю систему шатунов и коленвала на подшипники, переде- Мои модели: Мы сделали сначала первую модель, она была самая простая и не имела ничего лишнего. Модель стала работать не стабильно, поэтому мы убрали пристройку и поставили всю 48 систему шатунов и коленвала на подшипники, переделав ее в модель 2. Далее в 1-ой из частей была нарушена герметичность и мы заменили рабочий цилиндр и усовершенствовали систему Мои модели: Мы сделали сначала первую модель, она была самая простая и не имела ничего лишнего. Модель стала работать не стабильно, поэтому мы убрали пристройку и поставили всю систему шатунов и коленвала на лав подшипники, переделав модель 2. нарушена Далее в герметичность 1-ой из частей ее в модель 2. Далее в 1-йее извчастей была и мыбыла за- нарушена герметичность мы заменили рабочий цилиндр и усовершенствовали систему менили рабочий ицилиндр и усовершенствовали систему охлаждения, поэтому было принято решение усовершенствовать электропривод. охлаждения, поэтому было принято решение усовершенствовать электропривод. Рис. 2 Модели двигателей Стирлинга Практическа я часть: Мы провели опыт по выяснению возможности Рис. 2 Модели двигателей Стирлинга двигателя вырабатывать электрический ток, а именно измерили силу тока и Практическая часть: Мы провели опыт по выяснению возможности напряжение с помощью электронного мультиметра (табл.1). двигателя Вещество / параметры Сила а тока I, A U, B вырабатывать электрический ток, именно измерилиНапряжение силу тока и напряжение Мощность с по- Р, Вт 1. 0.092 1. 0.04 1). 1. 2.3 мощью электронного мультиметра (табл. 2. 0.1 2. 0.06 2. 2.5 3. 0.152 3. 0.03 3. 2.1 Вода Табл. 1 Таблица полученных в опыте показателей 4. 0.098 4. 0.04 4. 2.4 5. 0.094 5. 0.06 5. 1.9 Вещество / значение: 0.098 значение: Напряжение 0.04 Среднее значение: 2.3 Сила тока Среднее I, A U, B Мощность Р, Среднее Вт параметры 1. 0.094 1. 2 1. 0.05 2. 0.112 2. 2.3 2. 0.08 1. 0.04 1. 2.3 1. 0.092 Раствор 3. 0.142 3. 3. 2.0.04 2.5 2. 20.1 аммиачной 2. 0.06 4. 0.094 4. 2.1 4. 0.05 селитры 3. 0.03 3.0.06 2.1 3. 2.4 0.152 5. 0.09 5. 5. Вода 4. 0.04 4. 2.4 4. 0.098 Среднее значение: 0.112 Среднее значение: 2.1 Среднее значение: 0.05 5. 0.06 5.0.03 1.9 5. 2.1 0.094 1. 0.09 1. 1. 2. 0.12 2. 2 0.05 Среднее значение: 2. 0.04 Среднее значение: 2.3 Среднее значение: 0.098 3. 0.132 3. 2.5 3. 0.03 Лёд 1. 0.05 1. 2 1. 0.094 4. 0.094 4. 2.3 4. 0.05 2. 0.08 2.0.04 2.3 2. 20.112 5. 0.09 5. 5. Раствор 3. 0.142 3. 0.04 3. 2 0.03 Среднее значение: 0.0094 Среднее значение: 2.3 Среднее значение: аммиачной селитры 2.1 4. показателей 0.094 4. 0.05Табл. 1 Таблица4.полученных в опыте 5. 0.06 5. 2.4 5. 0.09 Среднее значение: 0.112 Среднее значение: 0.05 Среднее значение: 2.1 1. 0.03 1. 2.1 2. 2 2. 0.05 3. 2.5 3. 0.03 4. 0.05 4. 2.3 5. 2 5. 0.04 мы рассчитали рентабельность двигателя Среднее значение: 0.03 Среднее значение: 2.3 Лёд 1. 0.09 2. 0.12 3. 0.132 4. 0.094 5. 0.09 Стирлинга. Для начало Среднее значение: 0.0094 Далее я узнал, сколько мы платим за электроэнергию в месяц. Именно моя семья платит 8 руб. в месяц за 60-70кВт электроэнергии. Далее я нашёл промышленный Далее мы рассчитали рентабельность двигателя Стирлинга. Для начало я уздвигатель Стирлинга. мощность составляет 2-9кВт. нал, сколько мы платимЕго за электроэнергию в месяц. от Именно моя Следовательно, семья платит 8 руб. ввыработать месяц за 60–70 кВт электроэнергии. Далее я8 нашёл двига- В чтобы 60кВт, надо обеспечивать часовпромышленный работы двигателя. тель Стирлинга. Его мощность от 2–9 кВт. Следовательно, качестве топливного ресурса всоставляет данном примере использован газ. Зачтобы 1 часвырасгорит ботать 60 кВт, надо обеспечивать 8 часов работы двигателя. В качестве топливного 0.4 куб. м. газа, это примерно 15 коп. Следовательно, за 8 часов работы мы ресурса в данном примере использован газ. За 1 час сгорит 0.4 куб. м. газа, это потратим 1,2 руб. Вывод двигатель рентабелен. примерно 15 коп. Следовательно, за 8 часов работы мы потратим 1,2 руб. Вывод После мы провели опыт по определению на сколько система охлаждения двигатель рентабелен. эффективна. температура: 24,6на градуса После мыНачальная провели опыт по определению сколько(рис.3). система охлаждения эффективна. Начальная температура: 24,6 градуса (рис. 3). Эффективность системы охлажения 100 50 0 2 мин. 4 мин. 6 мин. 8 мин. 10 мин. 12 мин. 14 мин. 16 мин. Эффективность системы охлажения Рис. 3 График зависимости температуры от времени Рис. 3 График зависимости температуры от времени Вывод: двигатель работает стабильно до определённого (крайнего предела) температуры, а именно, в данном 49 случае 59 градусов Цельсия. Безопасность двигателя Стирлинга: Двигатель Стирлинга считает очень безопасным т.к. работает не при большом давлении в отличии от Вывод: двигатель работает стабильно до определённого (крайнего предела) температуры, а именно, в данном случае 59 градусов Цельсия. Безопасность двигателя Стирлинга: Двигатель Стирлинга считает очень безопасным т.к. работает не при большом давлении в отличии от парового, который очень часто взрывался из-за огромного давления. Недостатки: • Громоздкость и материалоёмкость. У двигателя Стирлинга рабочее тело необходимо охлаждать, следовательно, увеличивается габаритность двигателя из-за радиаторов. • Малая мощность. Для получения характеристик, сравнимых с характеристиками ДВС, приходится применять высокие давления (свыше 100 атм.) и особые виды рабочего тела – водород, гелий. • Тепло подводится не к рабочему телу непосредственно, а только через стенки теплообменников. Стенки имеют ограниченную теплопроводность, из-за чего КПД оказывается ниже, чем можно было ожидать. Преимущества: • «Всеядность» двигателя – как все двигатели внешнего сгорания, двигатель Стирлинга может работать от почти любого перепада температур: например, между разными слоями воды в океане. • Простота конструкции – конструкция двигателя очень проста, он не требует дополнительных систем, таких как газораспределительный механизм. • Увеличенный ресурс – простота конструкции, отсутствие многих «нежных» узлов позволяет «Стирлингу» обеспечить небывалый для других двигателей запас работоспособности в десятки и сотни тысяч часов непрерывной работы. • Экономичность – для утилизации некоторых видов тепловой энергии, особенно при небольшой разнице температур, «Стирлинги» часто оказываются самыми эффективными видами двигателей. • Экологичность – «Стирлинг» не имеет выхлопа из цилиндров, а это значит, что уровень его шума гораздо меньше, чем у поршневых двигателей внутреннего сгорания. Применение: Двигатель Стирлинга на данный момент применяют в качестве универсальных источников (автономный генераторы для туристов), насосы (в качестве системы отопления), Солнечные электростанции (за счёт фокусировки параболического зеркала в одну точку). Возможное применение: Мы предположили, что если встроить в теплотрассу область нагрева и систему охлаждение в контур холодного водоснабжения, то двигатель станет более рентабельным. Следовательно, температура в теплотрассе понизится, а в холодном водоснабжении увеличится, также помимо этого будет вырабатываться электроэнергия. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Двигатель Стирлинга (https://ru.wikipedia.org/wiki/Двигатель_Стирлинга) 2. Будни альтернативной энергии (http://zaryad.com/2013/05/28/budni-alternativnoy-energii14-29-aprelya-26-maya/) LOYKO M. A. State education institution «Secondary school № 40, Grodno» STIRLING ENGINE MODEL Summary. The article is devoted to the study of the device, the principle of operation the types advantages and disadvantages if Stirling engine which is internal combustion engine. The results of the article cipe to create. The model of Stirling engine and to point. The methods if using at home. The article ean be continued and improved. 50 Государственное учреждение образования «Средняя школа № 2 г. Горки» Могилевской области Научный руководитель – Кулешов Г. Е., учитель информатики ПЛОЩАДКА ДЛЯ УСТНОГО СЧЕТА В ЭЛЕКТРОННОЙ ТАБЛИЦЕ EXCEL Аннотация. Для реализации данного проекта использовалась программа Microsoft Office Excel. В статье описан процесс создания рабочей таблицы для проведения устного счета на уроках математики. На уроках математики начальной школы и в среднем звене большое внимание уделяется устному счету. Устная работа на уроках математики имеет большое значение. Устные упражнения важны тем, что они активизируют мыслительную деятельность учащихся, развивается память, речь, внимание, быстрота реакции. Проконсультировавшись с учителем информатики и учителями начальных классов, сформулировал цели и задачи работы. Цель работы: Создание площадки для устного счета на основе дидактики по математике 3–4 класса в электронной таблице Microsoft Office Excel. Я поставил следующие задачи: 1. Изучить дидактику для устного счета 1–4 класс. 2. Получить консультации у учителей начальной школы по методике проведения устного счета. 3. Изучить возможности Excel, а конкретно функцию ЕСЛИ. 4. Разработка дизайна рабочей таблицы. 5. Создание таблицы. 6. Тестирование нашей таблицы на учениках начальной школы с последующей доработкой с учетом замечаний. Методы исследования: сбор, изучение, анализ, обобщение практического и теоретического материала. В результате работы было создано две рабочие таблицы «Сложение и вычитание» и «Умножение и деление». Этапы создания описаны на примере таблицы «Сложение и вычитание». Она состоит из пяти листов (4 листа заданий и лист «Итоги»). Перед началом работы очищаются «жёлтые» ячейки во всех заданиях. Учитель меняет условия заданий на своё усмотрение в зеленых ячейках. При желании может поменять знаки операций, соответственно поменяв их и в формулах в листе «Итоги». 1 Создание таблицы составление учитель может поменять на илюбые другие,заданий и на конечный результат это замена 1.1 Составление первого задания не повлияет. Рисунок Рисунок1.1 1.1 1.2 Составление второго задания На этом этапе я придумал второе задание 51 (рисунок 1.2). ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА МИХАСЁВ Р. Н. Первым этапом выполнения было создание различных заданий. Как мы видим на рисунке 1.1 в ячейках простые числа и никаких формул. Эти числа учитель может Рисунокрезультат 1.1 поменять на любые другие, и на конечный эта замена не повлияет. 1.2 1.2Составление задания Составлениевторого второго задания На этом этапе я придумал второе задание (рисунок 1.2). На этом этапе я придумал второе задание (рисунок 1.2). 1.3 Рисунок1.2 1.2 Рисунок Составление третьего задания 1.3 Составление третьего задания На этом этомэтапе этапеопять опять ни чего сложного, обычное составление На жеже ничего сложного, обычное составление заданиязадания только более уровня. Какуровня. вы могли заметить на рисунке 1.3 на я решал эти 1.3 задатолькоусложненного более усложненного Как вы могли заметить рисунке я ния чтобы проверить правильность работы формул. решал эти задания чтобы проверить правильность работы формул. Рисунок 1.3 Рисунок 1.3 1.4Составление Составление четвертого задания 1.4 четвертого задания На этом этапе я придумал последнее четвертое задание, и решил его сделать На этом этапе(рисунок я придумал четвертое задание, и решил его сделать в в виде таблицы 1.4). последнее Опять же внесение обычных чисел. виде таблицы (рисунок 1.4). Опять 52 же внесение обычных чисел. 1.4 Составление четвертого задания На этом этапе я придумал последнее четвертое задание, и решил его сделать в виде таблицы (рисунок 1.4). Опять же внесение обычных чисел. 2 Создание листа «Итоги» Рисунок 1.4 Рисунок 1.4 Итак, приступим к созданию листа «Итоги», здесь будут отображаться 2 Создание листа «Итоги» правильные ответык созданию ко всем заданиям, так здесь же мыбудут увидим оценивание этих Итак, приступим листа «Итоги», отображаться правильные ответы ко всем заданиям, так же мы увидим оценивание этих заданий в виде заданий в виде диаграммы. диаграммы. На этом рисунке 2.1 мы видим ответы к заданиям. На этом рисунке 2.1 мы видим ответы к заданиям. Рисунок 2.1 Рисунок 2.1 этом рисунке 2.2 мы видим формулы, которые использовались. На На этом рисунке 2.2 мы видим формулы, которые использовались. После того как я ввел формулы, проверил их на правильность решения заданий, я придал им значение «Если». Функция ЕСЛИ, одна из логических функций, служит для возвращения разных значений в зависимости от того, соблюдается ли условие. Синтаксис ЕСЛИ (лог_выражение; значение_если_истина; [значение_если_ложь]) На рисунке 2.3 представлен конечный вид листа «Итоги». 53 Рисунок 2.1 На этом рисунке 2.2 мы видим формулы, которые использовались. После того как я ввел формулы, проверил их на правильность решения заданий, я придал им значение «Если». Функция ЕСЛИ, одна из логических функций, служит для возвращения разных значений в зависимости от того, соблюдается ли условие. Синтаксис ЕСЛИ (лог_выражение; значение_если_истина; [значение_если_ложь]) Рисунок 2.2 Рисунок 2.2 На рисунке 2.3 представлен конечный вид листа «Итоги». Рисунок 2.3 Рисунок 2.3 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате выполнения работы была создана таблица для устного счета, которая соответствует методическим требованиям начальной школы, о чем свидетельВ результате выполнения работы на была создана таблица школы, для устного счета, ствует отзыв, работа была протестирована учениках начальной были учтекоторая соответствует требованиям школы, о чем ны некоторые замечания.методическим Я узнал у некоторых детей ихначальной любимые цвета, и решил разукрасить свою работу. Как было видно со снимков выше я использовал в основсвидетельствует отзыв, работа была протестирована на учениках начальной ном два цвета это желтый и зеленый. В желтых ячейках работают ученики, а в зелешколы, были учтены некоторые замечания. Я узнал у некоторых детей их ных работают учителя. Учитель может поменять условия заданий, как усложнить, так и решил разукрасить своюпрограммой работу. КакMicrosoft было видно соExcel, снимков илюбимые упроститьцвета, их. Если учитель хорошо владеет Office то он может поменять не только числа, но и знаки операций какого-либо примера, при выше я использовал в основном два цвета это желтый и зеленый. В желтых их замене,работают в листе «Итоги» нужно заменить и в формулах эти знаки. ячейках ученики, а будет в зеленых работают учителя. Учитель может Считаю, что данную электронную таблицу можно использовать на уроках матепоменять условия заданий, как усложнить, так и упростить их. Если учитель матики. хорошо владеет программой Microsoft Office Excel, то он может поменять не только числа, но и знаки операций какого-либо примера, при их замене, в листе 54 «Итоги» нужно будет заменить и в формулах эти знаки. Считаю, что данную электронную таблицу можно использовать на уроках математики. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Дылько Г. Т. Математика 3. Минск «Жасскон», 2013. 2. Красницкая А. В. Математика 4. Мозырь ООО ИД «Белый ветер», 2004. 3. Мавлютова Н. Р. Устный счет 4. Мозырь ООО ИД «Белый ветер», 2008. 4. Ковалевская Н. Л. Математика 4. Минск ОДО «Аверсэв», 2006. 5. Мавлютова Н. Р. Самостоятельные работы по математике 3. Мозырь «Белый ветер», 2013. 6. Пупцев А. Е., Гращенко П. Л., Лапо А. И., Огейко А. Г. ИНФОРМАТИКА 10. Минск «Народная асвета», 2007. 55 Государственное учреждение образования «Средняя школа № 7 г. Гродно» Научный руководитель – Казберук А. П., учитель физики ГАЛЬВАНИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ Аннотация. Данная работа посвящена изучению источников энергии, работающих по принципу гальванического элемента с использованием различных сред. Введение. Сегодня жизнь человека невозможно представить без различных электронных устройств, которые облегчают жизнь и делают ее более комфортной и приятной. Для работы этих устройств необходимы источники энергии. В большинстве случаев требуются портативные источники энергии, в качестве которых используются гальванические элементы. Предварительно была выдвинута гипотеза: возможность преобразования химической энергии в электрическую энергию с использованием гальванического элемента. Цель работы – получение электрической энергии с использованием гальванического элемента. Для достижения цели были поставлены следующие задачи: • изучить устройство и принцип работы гальванического элемента; • создать простейшую модель гальванического элемента и получить электрическую энергию. Методы исследования: • изучение и анализ литературы по проблеме исследования; • эксперимент; • статистическая обработка данных. Объект исследования – гальванический элемент. Основная часть. Гальванический элемент – это химический источник электрического тока, основанный на взаимодействии двух металлов и/или их оксидов в электролите, приводящем к возникновению в замкнутой цепи электрического тока. Таким образом, в гальванических элементах химическая энергия переходит в электрическую энергию [1]. Устройство состоит из электролита и двух электродов различной природы. Электрод – проводник, который представляет собой металлическую пластину или сетку, на которые нанесены реагенты (например, хлорсеребряный, стеклянный, водородный электроды, электрод сравнения). На отрицательный электрод наносится восстановитель, на положительный – окислитель. В гальваническом элементе электроды помещены в электролит – раствор какого-либо вещества, которое распадается на части при протекании окислительно-восстановительных реакций [2]. В ходе исследования, был собран гальванический элемент, состоящий из цинковой и медной пластин (электродов), погруженный в электролит. Так как электролит состоит чаще всего из раствора кислоты или солей натрия и калия [3], то в нашем исследовании учувствовали такие вещества как уксус, сода, соль, лимонная кислота, моющее средство для посуды и стиральный порошок и в качестве эксперимента использовали крахмал, сахар, дрожжи. Гальванические элементы, с использованием электролитов, c выше перечисленными веществами, получили на электродах разность потенциалов приблизительно одинаковую по величине, полученные результаты представлены в таблице 1. уксус лимонная кислота крахмал сахар дрожжи моющее средство СМС Напряжение, В сода Таблица 1. Разность потенциалов гальванических элементов с использованием различных сред соль ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА ОЛЕХНОВИЧ К. С. 0,8 0,9 1,1 1 1 0,8 0,8 0,9 0,9 56 Чтобы увеличить полученный результат, последовательно соединили 10 гальванических элементов, которые работали непрерывно 10 часов с нагрузкой в 1 светодиод. В качестве электролита использовали вещества, которые и ранее участвовали в исследовании, полученные результаты представлены в таблице 2. Таблица 2. Результаты 10-часовой работы гальванических элементов с использованием различных сред с нагрузкой в 1 светодиод Вещество Соль Сода Уксус лимонная кислота Крахмал Сахар Дрожжи моющее средство СМС U, В t, ч 3,3 0 2,4 10 3,9 0 2,3 10 5.1 0 3,0 10 5,0 0 3,2 10 4,7 0 3,1 10 3,0 0 2,3 10 4,5 0 3,0 10 4,8 0 3,2 10 6,5 0 3,6 10 Как видно из таблицы 2 максимальную разность потенциала (6,5В) получили с помощью гальванического элемента, где в качестве электролита использовали растворенный стиральный порошок, а минимальную разность потенциала получили с помощью сахара. Таким образом, можно сделать вывод, что с помощью самодельного гальванического элемента можно получить такой источник электрической энергии для работы простейшего низковольтного устройства. Заключение. Проделав опыты по созданию гальванических элементов с использованием различных электролитов, можно сделать вывод, что существует довольно простой способ получить электрический ток достаточный для работы простейших маломощных устройств; в качестве электролита можно использовать не только соли и кислоты, но и сахар, дрожжи, крахмал. Возможно, следует уделить больше внимания этой теме, в поисках альтернативных источников энергии и использовать на производстве, например на хлебозаводе, где есть большие объемы отходов после мытья емкостей, где использовались дрожжи, сахар, соль для теста. Заведения химчисток, где используются СМС, после стирки и чистки вещей. Предприятие по изготовлению продукции из картофеля, в результате чего остаются отходы, содержащие крахмал. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Гальванические элементы [Электронный ресурс]/ Режим доступа: http://electrik.info/main/ school/1267-galvanicheskie-elementy-ustroystvo.html – Дата доступа: 18.11.2018. 2. Гальванические элементы [Электронный ресурс]/- Режим доступа: https://blog.tutoronline. ru/otkuda-v-batarejkah-tok-i-chto-takoe-galvanicheskij-jelement – Дата доступа: 02.09.2019. 3. Электролит [Электронный ресурс]/ Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Электролит – Дата доступа: 20.08.2019. 57 OLEKHNOVICH K. S. Public institution of education «High school No. 7 of Grodno» Scientific supervisor – Kazberuk A. P., teacher of physics GALVANIC CELL Summary. This work is devoted to the study of energy sources operating on the principle of a galvanic cell using various media. 58 ГУО «Средняя школа № 1 г. Осиповичи им. Б. М. Дмитриева» Научные руководители – Костромина Е. А., учитель физики; Стельмашонок Т. С., учитель физики «КЛЕЙ «LE COLLE»» Аннотация. В работе предложена рецептура приготовления клея «Le colle», полученного при помощи синтеза пенопластовой крошки и бензина марки АИ-95-К5. Подробно изучены некоторые физико-химические свойства полученного клеевого соединения. Проведены испытания клеевого шва на разрыв. Исследованы клеящие способности клея для различных материалов. Проведенное исследование позволило утверждать, что полученный материал практически не уступают фирменным клеям. Введение. С внедрением современных технологий, пенопласт активно внедряется в нашу повседневную жизнь. В ходе жизнедеятельности людей в условиях быта остаются отходы пенопласта, которые в дальнейшем не используются, и их приходится выбрасывать. Отходы пенопласта в природе не разлагаются и загрязняют окружающую среду. [1] Заводов по переработке отходов пенопласта очень мало, так как производство этого материала очень дёшево и производителю невыгодно скупать вторичное сырьё на переработку. А нельзя ли использовать эти отходы? Цель: исследование физических и химических свойств клея «Le colle», полученного с помощью синтеза бензина и пенопласта. Задачи: 1. Разработать рецептуру приготовления клея «Le colle»; 2. Исследовать физико-химические свойства клеевого соединения; 3. Исследовать клеящие способности полученного вещества. Гипотеза: в ходе исследования было предположено, что, вещество, полученное при растворении пенопласта в бензине марки АИ-95-К5, будет обладать свойствами клея. В работе применялись теоретические (анализ, синтез, индукция, обобщение) и эмпирические (наблюдение, эксперимент, прямые и косвенные измерения) методы исследования. Предмет исследования: клей из пенопласта. Объект исследования: исследование свойств клея «Le colle». Основная часть. Для приготовления клея «Le colle» нам необходимо: 1. Бензин марки АИ-95-К5; 2. Пенопластовая крошка; 3. Лабораторные механические весы с разновесами; 4. Стеклянная кювета. Растворение пенопласта в бензине производится в открытой, желательно стеклянной кювете при одновременном механическом воздействии на пенопласт. Методика работы: 1. Наливаю в стеклянную кювету 7 г бензина марки АИ-95-К5; 2. Опускаю 3 г пенопластовой крошки в кювету с бензином, постепенно перемешивая и жду пока он не превратится в вязкое вещество. При соблюдении вышеуказанных пропорций я получил 8 г клея «Le colle». Объем клея можно увеличить путем увеличения количества бензина и пенопластовой крошки, однако пропорцию дозирования бензина и пенопласта 7:3 необходимо соблюдать, так как может ухудшиться качество клеящего вещества. Исследую некоторые физико-химические свойства полученного клеящего вещества: 1. Агрегатное состояние: жидкое. 2. Цвет: от серого до светло-коричневого. 3. Запах: имеет запах бензина. 4. Плотность: 59 ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА СЕМАШКО С. А. вещества: 1. Агрегатное состояние: Исследую некоторыежидкое. физико-химические свойства полученного клеящего 1. состояние: жидкое. 1. Агрегатное Агрегатное состояние: жидкое. 1. Агрегатное состояние: жидкое. 2. Цвет: от серого до светло-коричнево. вещества: 2. 2. Цвет: Цвет: от от серого серого до до светло-коричнево. светло-коричнево. 3. Запах: имеет запах бензина. 1. Агрегатное состояние: жидкое. 3. Запах: имеет запах бензина. 3. Запах: Запах: имеет имеет запах запах бензина. бензина. 3. 4. Цвет: Плотность: 2. от серого до светло-коричнево. 4. 4. Плотность: Плотность: Для определения плотности воспользуюсь формулой Для плотности воспользуюсь 3. Запах: имеет запах бензина. Для определения плотности воспользуюсь формулой Дляопределения определения плотности воспользуюсьформулой формулой Для определения плотности воспользуюсь формулой � 4. Плотность: � � �� определения � Для плотности воспользуюсь формулой �� масса кюветы с клеем, кг � кюветы клеем, � �масса �� массакюветы кюветыссссклеем, клеем,кгкг кг � � масса кюветы клеем, кг –�масса ��масса пустой кюветы, кг � � �пустой � � масса пустой кюветы, � � � масса пустой кюветы,кгкг кг �� –�масса кюветы, �� 13,550 � 0,01355 масса кюветы с клеем, � 13,550 0,01355 кг =�13,550 г ггг= 0,01355 кг кг � �� 13,550 г� � 0,01355 кгкг 13,550 � 0,01355 кг 5,550гпустой г= � 0,00555 кг кг � � масса кюветы, � = 5,550 0,00555 кг � � 5,550 5,550 гг � � 0,00555 0,00555 кг кг �� 13,550 г � 5,550 � 8,000 =�13,550 г– 5,550 г =гг8,000 г = 8г. � 108-3 ∙∙кг10 13,550 г � 0,01355 �� кг �� 13,550 г � 5,550 � 8,000 кг кг �� 13,550 13,550 гг � �� 5,550 5,550 гг � �кг 8,000 ггг � �8 10�� кг � 8,000 � 88 ∙∙ 10 10 ��0,00555 кг �� 5,550 г � � � ��∙� ��∙ � ∙� �� кг ∙∙ �� г � 8,000 г � 8 ∙ 10�� ∙∙ �� г∙∙ � � 4 5,550 � ��13,550 44� � �внутренний��диаметр кюветы, м диаметр кюветы, �внутренний диаметркюветы, кюветы, м d� внутренний диаметр мм ��–�внутренний � ∙�м � ∙ �см �� ∙0,055 � 5,5 � � 5,5 см � 0,055 м 4 d� = 5,5 см = 0,055 м � 5,5 5,5 см см � � 0,055 0,055 м м �� внутренний высотаклея клеявдиаметр вкювете, кювете,м м м l��–� высота высота клея в кювете, мм � высота клея в кювете,кюветы, � 0,5 см � 0,005 м l�� = 0,5 см = 0,005 м �0,5 5,5см см� �0,005 0,055м м � � 0,5 см � 0,005 м �� 0,5 см � 0,005 м � � 0,055 � � высота0,055 клея в кювете, м � � �� 3,14 ∙∙ 0,055� ∙∙ 0,005 � 1,2 ∙∙ 10 �� м �� 0,005 � � � 3,14 м �0,5 3,14 0,005 � 1,2 1,2 ∙∙ 10 10�� м�� см∙∙ � 0,005 м 4 ∙∙ 0,005 3,14 � 1,2 10 м 4 4 �� кг 8 ∙ 100,055 �� 88 ∙∙ 10 кг �� кг 10�� ,7 ∙∙ 10 � � � � � 3,14 ∙ ∙ 0,005 � ∙ 10�� м� � �,7 10 � � �� ,7 �,7 ∙∙ 10 10 м1,2 � 1,2 ∙ 10�� 4 � �� 1,2 ∙ 10 м м 1,2 ∙ 10 �� 5. Вязкость кг 8 ∙ 10�� 5. Вязкость � 5. Вязкость � 5. Вязкость �� 5. Вязкость �� ,7 ∙ 10 динамической Определю коэффициент вязкости методом Стокса. [2] �� м�� 1,2 ∙ 10 Определю коэффициент динамической вязкости методом Стокса. [2] Определю коэффициент динамической вязкостиметодом методомСтокса. Стокса. Определю коэффициент динамической вязкости [2][2] 5. Вязкость Определю коэффициент динамической вязкости методом Стокса. [2] 1 – Принципиальная схема метода Рисунок 1 – Принципиальная схема метода СтоксаСтокса Рисунок 1 Рисунок – Принципиальная схема метода Стокса Рисунок –––Принципиальная схема метода Стокса Рисунок Принципиальная схема метода Стокса Рисунок 1Принципиальная – Принципиальная схема метода Стокса Рисунок 11определения –11 схема метода Стокса Рисунок –Принципиальная схема метода Стокса Рисунок 1 Принципиальная схема метода Стокса для коэффициента динамической Рисунок 1 – Принципиальная схема метода Стокса для определения коэффициента динамической для определения динамической Рисунок 1коэффициента – Принципиальная схема метода Стокса для определения коэффициента динамической Рисунок 1 – Принципиальная схема метода Стокса для определения коэффициента динамической для определения коэффициента динамической для определения коэффициента динамической для определения коэффициента динамической для определения коэффициента динамической вязкости клея «Le colle» длядля определения коэффициента динамической Рисунок 1определения –вязкости Принципиальная схема метода Стокса клея «Le colle» вязкости клея «Le colle» коэффициента динамической вязкости клея «Le colle» вязкости клея «Le colle» для определения коэффициента динамической вязкости клея «Le colle» вязкости клея «Le colle» вязкости клея «Le colle» вязкости клея «Le colle» для определения коэффициента динамической вязкости клея «Le colle» вязкости клея «Le colle» � � 6 ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � (1) вязкости клея «Le colle» � � 6 ∙ � ∙ � ∙ � � (1) Ст � вязкости клея «Le colle» �Ст �Ст 6 ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � �∙(1) � � � 6 ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � (1) � � 6 ∙ � ∙ � � ∙ � (1) ��СтСт ��Ст 66∙6 � � (1) Ст ��(1) Ст �Ст � 6∙��∙∙6∙� �∙��∙∙�∙� �∙�∙�∙∙�∙��∙�∙�∙∙�� ∙��(1) (1)(1) Ст Ст�Ст (1) � � � ∙� сила Стокса, Н �Ст 6сила ∙� ∙Ст �Стокса, ∙ �Стокса, ∙ �Стокса, (1) �� сила Н НН �Ст�� Ст �НСтокса, � сила � сила �Ст � сила Стокса, ��Ст � сила Стокса, Н ��СтСт � сила Стокса, НННН сила Стокса, Ст � сила Стокса, Н динамической Ст – сила Стокса, ��Ст � ко��и�иент вязкости, ∙с Ст ��ко��и�иент динамической вязкости, ∙ с Па � сила Стокса, Н � ��ко��и�иент динамической вязкости, Па ∙Па сПа Ст ко��и�иент динамической вязкости, �–ко��и�иент � ко��и�иент динамической вязкости, ��Ст �� сила Стокса,динамической Н ко��и�иент вязкости, ∙ ∙Па сс∙∙∙ ссс∙ с �� динамической вязкости, Па .Па � � ко��и�иент динамической вязкости, Па коэффициент динамической вязкости, Па с � � ко��и�иент динамической вязкости, Па �� ради�с шарика, м ��ради�с шарика, м мдинамической �шарика, ко��и�иент вязкости, Па ∙ с � ��ради�с м � ради�с шарика, �–ради�с � ради�с шарика, м м � ради�с шарика, мм шарика, �� динамической вязкости, Па ∙ с радиус шарика, мм ��ко��и�иент � ради�с шарика, м м шарика, мм м ��ради�с скорост� шарика, ��скорост� � ради�с скорост� шарика, �� шарика, шарика, мс ммм см скорост� шарика, �� скорост� шарика, �� скорост� шарика, скорост� шарика, – скорость шарика, �� скорост� шарика, � � �� с скорост� шарика, � �� см с сс с скорост� �� ∙� � (2) �� (2)шарика, ∙� �� Ст � ∙� �� (2) Ст � с � скорост� шарика, Ст � ∙∙�� (2) � (2) ∙ � � � � � (2) � � ∙�∙�� (2) � � (2) � � � Ст � � � � � (2) Ст � Ст Ст � (2) Ст �� Ст �∙�� ∙ � � Ст � с � � сила Архимеда, Н Ст � � сила Архимеда, Н � � � � � � (2) А � �Асила Архимеда, Н НН Стсила �Архимеда, � сила Архимеда, �� Н – сила Архимеда, НН сила Архимеда, сила Архимеда, АА� � � сила Архимеда, Н А А� �� А �А� � ∙А�� (2) �∙�� сила Архимеда, Н(3) А �∙�� Ст � А � � сила Архимеда, Н ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � � � � � � � � ∙ � ∙ � ∙ � (3) � ∙ � � А ш � ��∙ � ∙��∙� � ∙∙∙�� ∙ �� ш�∙��∙ (3) � � ∙∙∙��∙� ∙ш (3) ∙∙∙�� ∙� (3) � �� (3) ∙ �∙�� ∙�� ∙∙�ш�∙� �∙∙ш�ш ∙� (3) � (3) ш � ∙∙��Архимеда, � ∙∙ш� � (3) � �∙� ш � сила Н �А� � � � ∙ � � � (3) � ∙�� ш � � ∙ � ∙ � ∙ш�ш ∙ �кг кг (3) кгкг ∙�� кг кгкгкг� ��ш �� лотност� шарика, � � �лотност� шарика, � � �лотност� шарика, ш ∙� ∙плотность � �лотност� ∙ �ш ∙ �шарика, (3) � ∙ш� ��ш� �лотност� шарика, – шарика, �� мкг � шарика, � м� кг � �лотност� �лотност� шарика, ш � � �лотност� шарика, ш ш ш м �ш �м � �� кгш �лотност� шарика, кг м�� ш�� кг� м м �лотност� шарика, м � ш кг � ��3�� кг м кг кг кг кг кг � ��3�� ш � ��3�� ш �ш�� мкг кг ��3�� м� кг � � � ��3�� 3�� 3�� лотност� шарика, � м м ш ш ш �� ш� ш �� ш � ��3�� ш �� м м м м ш м м � � ш � ��3�� ∙ � ∙ �м �� ∙ (4) �ж (4) ∙ � (4) м ��∙��∙ш�� ∙∙∙�� ∙ �кг � �� м ��жм� ∙� �� ∙��∙� �� ж� � ∙� ∙∙ж∙�� ∙∙жж� (4) � � � �� ∙ ∙ ∙� (4) ∙ � ∙ � (4) ∙ � ∙ ∙ � ∙ � (4) � ж � ∙ � ∙ � � (4)(4) � � � ж � � � ��3�� ш�� ж � ∙��∙ ∙�м��∙ �∙ �∙ж �� кг кгкг ж�∙ж�∙ � (4)(4) � кг � � � � �клея�, кг � кгкгкг� � �лотност� жидкости �клея�, � � �лотност� жидкости � ж �клея�, – плотность жидкости (клея), � � �лотност� жидкости ж � �клея�, �лотност� жидкости �� клея�, мкг � жидкости �клея�, �клея�, � м� кг � �лотност� жидкости �клея�, ж � �лотност� жидкости � ∙� ∙ кг ��лотност� ∙ � жидкости (4) �� ж� �∙�ж�� ж ж ж�лотност� ж м ж � �� клея�, � �лотност� жидкости � ж � кг кг �м�� ж�ж � �лотност� жидкости �клея�, мм�м м � � � 6�� кг м кг кг кг кгкг � � 6�� ж6�� ж кг м� �ж � � кг мкг кг 6�� м6�� 6�� ж� � 6�� ж � 6�� ж м ж ж �� ж � � � � � � � � �лотност� жидкости клея , м м м � 6�� м ж мм м�� (1), (3), (4) в (2) и получу (5) � жПодставлю � 6�� жж(1), Подставлю Подставлю (1), (4) в(4) (2)получу получу (5) (5) м (3), (3), (4) ви иполучу (5) м � в Подставлю (3), (4) (2) (5) м(1), Подставлю (1), (3), вв(2) (2) ииполучу Подставлю (1), (3), в(2) иполучу получу (5) Подставлю (1), (3), (4) ви(4) и(2) (5) Подставлю (1), (3), (4) в(2) иполучу (5) Подставлю (1), (3), (4) (2) получу (5) кг 4 4 Подставлю (1), (3), (4) в (2) и получу (5)�(5) � 4 4 Подставлю (1), (3), (4) в (2) и получу 4 4 �4ж44� 6�� 4 4 4 � ∙6 �� ∙∙ �� ∙∙6 ∙∙� �� ∙ � � ∙ ��∙ ∙��4 ∙ �ш ∙ � ��∙∙ш∙� ��∙∙ш∙� ∙ �∙��шм��∙�� ∙�� 6 ∙ �∙��ш��∙��∙�� 4�∙�∙� � ∙�∙4�� ∙ � ∙∙ ��∙4�∙�∙� ∙� �∙� ∙∙3 ∙∙3 ∙ш ∙∙�6�∙� ∙∙��∙��∙��∙3� ∙∙�� ∙ш ∙шш∙� ∙� � � ∙��3 �� ∙шш∙� ∙� �� 66 ∙66 � �� ∙�� ∙�� ∙�� ∙∙∙�(2) �∙� ∙�∙ �и � ∙∙4∙� � ∙∙��∙∙∙� ∙∙4∙� � ∙∙��∙∙∙� ∙∙ш(1), � ∙∙ш � � ∙∙ ∙�� ∙∙ш�ш � ∙∙ш� � �∙�� ∙ � ш �� ∙� ш � 3 3Подставлю � � � � � � 6 ∙ � � ∙ � ∙ � � � �∙ � ш � ш (3), (4) в получу (5) 3 3 3 3 � ш 3 33 3 ∙ � ∙ � ∙ш�ш 3 ∙ � ∙ � ∙ � � 6 ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � � ∙ � 4 4 � ш 3 4 4 360 � 3 ∙∙�� ∙ �� ∙4��∙ 4 � 44� ∙ 4� �∙ �∙ �∙�� ∙ � 4 �∙ 4 ∙ ��∙ �∙��∙� 6 ��4 � ∙ 4�� ∙� 4 ∙4�� ∙44 �� ∙��∙ �∙ж�∙ � ш ��ж� � ∙ � ∙ ∙ � ∙ � 6 ∙ �646 ∙∙6��∙66∙� ∙∙� �∙6�∙� ∙ � � ∙ � ∙ � �∙ ∙�� ш�∙� �� ∙ ∙� 4 4 � � ш ж ∙ � ∙ ∙ ∙ � ∙ ∙ � ∙ � � � ∙ � � ∙ � � 3 3 ∙ � ∙ � ∙ ∙ � ∙ � ∙ � � ∙ � ∙ � ∙ ∙�∙�∙жж� � � 4 4 ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � � ∙ � ∙ � � ∙ � � � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � � ∙ � ∙ � � ∙ � � ш ∙ � ∙ ∙ � ∙ � � ∙ � ∙ � � � � ∙ �∙ � �∙ ∙� �∙ ∙ж 3 3 ∙ � ∙ � ∙� ∙ � ∙ � 6 ∙ � ∙ � ∙ � � � � ш � ш � ш � ш � ш � � 3 3 � ш � ∙3�∙ ∙��∙ �∙ �∙ш ∙3�∙ ∙��∙ �∙�ж� �шж∙ж ж ш�∙ш ∙ 3 ж�∙ж�∙ � 3�33 � �333� 3 3 3 6 ∙6�∙ ∙��∙ ∙��∙4∙��∙��4�� 4 3 3 � ∙ � � ∙ � ∙ �� 3� � 44� ∙ 43 4 �� ∙ � ��∙ ��∙∙��4 � ��∙ �� 4� ж ш ��ш��ж ∙∙4�� 6 ∙ �6 ∙∙ �� ∙∙6 ��∙∙∙� ∙��∙ � ∙�∙ �� ж � �ж � �лотност� жидкости �клея�, �ж � 6�� кг м� кг м� Подставлю (1), (3), (4) в (2) и получу (5) 4 4 ∙ � ∙ � � ∙ �ш ∙ � � 6 ∙ � ∙ � ∙ � ∙ �� ∙ � ∙ � � ∙ �ш ∙ � 3 3 4 4 6 ∙ � ∙ � ∙ � ∙ �� ∙ � ∙ � � ∙ �ш ∙ � � ∙ � ∙ � � ∙ �ж ∙ � 3 3 4 � 6 ∙ � ∙ � ∙ � ∙ �� ∙ � ∙ � ∙ � ∙ ��ш � �ж � 3 4 � ∙ � ∙ � ∙ � ∙ ��ш � �ж � ��3 6 ∙ � ∙ � ∙ �� 2 � ∙ � � ∙ ��ш � �ж � �� ∙ �� 9 �� 6� � � путь, который проходит м l �– �путь, который проходит шарик,шарик, м �6� �� t = �время, которое затрачивает шарик проходя путь l, спуть �, с � �� время, которае затрачивает шарик проходя �6� �� Подставлю (6) в (5) и получу (7) �� путь, Подставлю в (5) и получу (7) шарик, м проходит � � �6�(6)который � �� 2��время, Рисунок 1 – Принципиальная с ∙путь, � ∙ который ∙проходит � которае шарик путь, проходит шарик, м проходя путь �, с ш � �ж � затрачивает �� который �� шарик, м � � �∙ ��6� для определения коэффицие Подставлю (6) в (5) и получу (7) время, которае шарик проходя 9�� которае затрачивает �путь, время, затрачивает шарик проходя путь путь �,�,сс вязкости клея «Le � � � который проходит шарик, м Проведу полученныеданные. данные. ��вш(5) �изапишу �эксперимент 2 � ∙ эксперимент ∙(6) � �иижиполучу ∙ запишу � Подставлю (6) (7) Проведу полученные Подставлю в (5) получу (7) ��1 – Результаты � � �∙ � время, которае шарикисследования проходя путь �,�с � 6 ∙ � ∙ � ∙ � ∙ � (1) ��ж ��Таблица ∙затрачивает �� 922 �� ∙∙ ��∙∙ �� шш� Ст � �� ∙ ж ш ж ∙ �� Подставлю (6) в (5) и получу (7) Таблица 1 – Результаты исследования № п/п �, Па · с �, м �, с �, м Проведу и запишу�� полученные данные. � � 9 ∙ эксперимент � �Ст � сила Стокса, Н � � ∙ ��ш �� ж �иТаблица 2 91� ∙ эксперимент ∙запишу � 1 –полученные Результаты исследования 1,19 — Проведу данные. Проведу эксперимент и запишу полученные данные. �� t, с �№�п/п ∙ � ,�Пако��и�иент динамической вязк r, м �� l, м �� 9 � № п/п �, Па—· ∙сс �, м �,––сРезультаты �, м 2 1,5 ∙ 10 2,5 ∙ 10 Таблица Таблица111,65 Результатыисследования исследования � � ради�с шарика, м Проведу эксперимент и запишу полученные данные. �, м 1№1 3 1,19 — — 1,85 — ·· сс �, Па �, �,�,сс м № п/п п/п �, Па �,м м�� Таблица 11,19 �, м – 1,65 Результаты исследования�� — � скорост� шарика, 2 21знач. 2,5 — 1,65 ∙ 10 1,5 ∙ 10 1,56 15,4 Ср. 1,19 — 1,5 ∙ 10 2,5 ∙ 10 с 1,19 —· с 1 № 3п/п �, Па �,∙м10�� ,1,65 с �, ∙м10�� 1,85 �� ∙ � �— �� — 1,5 2,5 3 22 1,85 — � (2) Ст � �� 1,65 — 1,5 ∙ 10 2,5 ∙ 10 1,19 — 1,65 �� 1,85 1,56 Ср. 1знач. 1,5 ∙ 10�� ∙ 10 331,19 �2,5 1,85 �15,4 � А— 1,85 —сила Архимеда, Н �� ⟨�⟩знач. � 1,56 �с� � Ср. 1,56 15,4 2 1,65 — 2,5 ∙ 10 1,5 ∙ 10 �� 1,56 Ср. �� ∙ � �15,4 1,5 3 ∙∙ 10 ∙ � ∙ � � ∙ �ш ∙ � (3) 1,56 15,4 Ср.3знач. знач. 2,5 1,5 ∙∙ 10 10�� 2,5 10�� 1,85 — � 1,19 � 1,65 � 1,85 Рассчитаю коэффициент вязкости клея «Le colle» кг �� динамической ⟨�⟩ 1,56 �с� 1,56 Ср.�знач. 1,5 ∙ 10�� 2,5 ∙ 10 �15,4 �� 11300 1,19 � 1,65 � 1,85 ш � �лотност� шарика, � 3∙ �2,5 10 ∙ 10 2 ∙ � 6�0� ∙ 1,56 1,19 � 1,65 � 1,85 м ⟨�⟩ � ⟨�⟩ ⟨�⟩ � кг � ∙ коэффициент � «Le 15,4colle» Па ∙ с � 1,56 1,56 �с� �с� � 33 �� Рассчитаю динамической вязкости клея � ��3�� 9 1,5 ∙ 10 ш 1,19 � 1,65 � 1,85 м� �� 1,56 ⟨�⟩ �с� � 6�0� � 2 10коэффициент �2,5 �11300 � � ∙ ∙ 10 ∙ ∙ 1,56 Рассчитаю коэффициент динамической вязкости клея «Le colle» динамической вязкости клея «Le colle» � Рассчитаю динамической клея «Le 6. � Растворимость в воде: не растворим.вязкости � 3 ⟨�⟩ ∙ коэффициент 15,4 Паcolle» ∙ с�� ∙ � ∙ � ∙ �ж ∙ � (4) �� ∙∙∙ �11300 �� ∙∙ �2,5 ∙∙водостойкий. 10 � 6�0� ∙∙ 1,56 �� 922 10 1,5 10 �2,5 7. Водостойкость: 10 �11300 10 � 6�0� 1,56 ⟨�⟩ � � Па ∙∙ сс � � �лотност� жидкости �клея�, кг Рассчитаю динамической вязкости клея «Le � 9 ∙∙ коэффициентклея � 15,4 15,4colle» Па ⟨�⟩Жизнеспособность �� ж 1,5 ∙∙ 10 �� — время, в течение которого приготовленный клей �� 6.8.Растворимость в воде: не растворим. 9 1,5 10 м� 2 10 ∙ �2,5 ∙ 10 � ∙ �11300 � 6�0� ∙ 1,56 кг пригоден к употреблению. ⟨�⟩ ∙ � � 15,4 Па ∙ с 7.6. Водостойкость: водостойкий. �ж � 6�� вв воде: растворим. Растворимость �� 6. Растворимость воде: не растворим. 1,5не ∙ 10 м ⟨�⟩ �9 1 ч 8.7. Жизнеспособность клея — время, в течение которого приготовленный клей Водостойкость: водостойкий. Водостойкость: водостойкий. Подставлю (1), (3), (4) в (2) и получу (5) 7. Водостойкость: водостойкий. 6. Растворимость в воде: не растворим. 8. Жизнеспособность клея – время, в течение которого приготовленный клей 9. Схватываемость клея – это быстрота затвердевания. пригоден к употреблению. 8.8. Жизнеспособность вв течение которого приготовленный клей 4 4 Жизнеспособность клея клея— — время, время, течение которого приготовленный клей 0 7. Водостойкость: водостойкий. пригоден к 0,5 употреблению. ∙ � ∙ � � ∙ �ш ∙ � � 6 ∙ � ∙ � ∙ � ∙ �� ∙ � ∙ � � ∙ ⟨�⟩ ⟨�⟩ � ч при температуре 23 С � 1 ч пригоден к употреблению. пригоден к употреблению. 3 3 0 8. Жизнеспособность клея — время, в течение которого приготовленный клей ⟨�⟩ С � 111,5 3быстрота 9.⟨�⟩ Схватываемость клея – это затвердевания. � чч ч при температуре 4 4 ⟨�⟩ � пригоден кчупотреблению. 6 ∙ � ∙ � ∙ � клея ∙ �� на∙ � ∙ � � ∙ �ш ∙ � � ∙ � ∙ � � ∙ ⟨�⟩ Склеивание предметов путем нанесения � 0,5 при температуре 230быстрота С производится 9. Схватываемость клея ––– это затвердевания. 9. Схватываемость клея это быстрота затвердевания. 9. Схватываемость клея это быстрота затвердевания. 3 3 0 0 ⟨�⟩ � 11,5 ч ччпри склеиваемые поверхности без но краску и лак нужно зачищать. ⟨�⟩ Собезжиривания, �� температуре 323 00С ⟨�⟩ 0,5 при температуре 4 ⟨�⟩ � 0,5 ч при температуре 23 С � 6 ∙ �клей ∙ � ∙ клея �«Le ∙ ��colle» �на ∙ � ∙ � ∙ � ∙ ��ш � �ж � 0 9.⟨�⟩ Схватываемость клея – это3быстрота затвердевания. В1,5результате проведенного исследования выяснил, что Склеивание предметов путем нанесения 00Спроизводится � чч при температуре 3 0С ⟨�⟩ � 1,5 при температуре 3 ⟨�⟩ � 0,5 ч при температуре 23 С производится хорошо склеивает шифер, пенопласт, древесину, ткань, ипластик. склеиваемые поверхности без обезжиривания, но краску лак нужно 4 зачищать. Склеивание предметов путем нанесения клея на � Склеивание предметов производится путем ∙ на �� ж � ∙ � ∙ клея � ∙ �поСклеивание предметов производится путем нанесения клеянанесения на склеиваемые ⟨�⟩ �В1,5 ч при температуре 30 С Практически не склеиваются керамика, бумага, полиэтилен. 3 «Le результате проведенного исследования выяснил, клей colle» ш склеиваемые поверхности без обезжиривания, но краску иичто лак нужно зачищать. � � склеиваемые поверхности без обезжиривания, но краску лак нужно зачищать. верхности без обезжиривания, но краску и лак нужно зачищать. Склеиваются, но непенопласт, прочно: металлы, стекло, резина. 6 ∙ �colle» ∙ на � ∙ �� Склеивание предметов производится путем нанесения клея хорошо склеивает шифер, древесину, ткань, пластик. ВВ результате проведенного исследования выяснил, «Le результате проведенного исследования выяснил, что клей «Le В результате проведенного исследования выяснил, что клейчто «Leклей colle» хорошо � colle» Хорошо приклеиваются подошвы к обуви. склеиваемые поверхности без обезжиривания, но краску и лак нужно зачищать. �� 2 � ∙ � ∙ ш � �ж � Практически не склеиваются керамика, бумага, полиэтилен. хорошо склеивает шифер, пенопласт, древесину, ткань, пластик. склеивает шифер, пенопласт, древесину, ткань, пластик. хорошо склеивает шифер, пенопласт, древесину, ткань, пластик. ∙ «Le colle»не �� Пенопластовым клеем можно склеивать вышеуказанные ВПрактически результате проведенного исследования выяснил, что клей Склеиваются, но не прочно: металлы, стекло, резина. 9 изделия, �� не склеиваются керамика, бумага, полиэтилен. Практически не склеиваются керамика, бумага, полиэтилен. Практически не склеиваются керамика, бумага, полиэтилен. несущие значительных механических нагрузок. хорошо склеивает шифер, пенопласт, древесину, ткань, пластик. Хорошо приклеиваются подошвы к обуви. Склеиваются, но металлы, стекло, резина. Склеиваются, но не прочно: металлы, стекло, резина. Склеиваются, но не не прочно: прочно: металлы, стекло, резина. Практически не склеиваются керамика, бумага, полиэтилен. Пенопластовым клеем можно склеивать вышеуказанные изделия, не Хорошо приклеиваются подошвы к обуви. Хорошо приклеиваются подошвы кк обуви. Хорошо приклеиваются подошвы обуви. Склеиваются, но не прочно: металлы, стекло, вышеуказанные резина.изделия, не несущие значительных механических нагрузок. Пенопластовым клеем можно склеивать вышеуказанные несущие Пенопластовым клеем можно склеивать изделия, не Пенопластовым клеем можно склеивать вышеуказанные изделия, не Хорошо приклеиваются подошвы к обуви. значительных механических нагрузок. несущие несущиезначительных значительныхмеханических механическихнагрузок. нагрузок. Пенопластовым клеем можно склеивать вышеуказанные изделия, не несущие значительных механических нагрузок. �� 61 Рисунок 2 – Испытание клеевого шва на разрыв Рисунок 2 – Испытание клеевого шва на разрыв Таблица 2 – Испытание клеевого шва на разрыв на примере Таблица 2 – Испытание клеевого швашифера на разрыв Время высыхания клея t,на ч 0,5 примере шифера Разрывное усилие F, Н 0,2 Время высыхания2,5клея t, ч Разрывное 2,6 усилие F, Н 4,30,2 0,5 4,5 6,5 20 2,5 24 2,6 70 4,5 4,3 Таблица 3 – Испытание клеевого шва на разрыв на примере древесины 6,5 20 Время высыхания клея t, ч Разрывное усилие F, Н 24 70 0,5 0,4 2,5 13,4 24 90 24 150 Таблица 4,5 3 – Испытание клеевого шва на разрыв 17,3 6,5 30 на примере древесины Время высыхания клея t, ч Разрывное усилие F, Н Таблица 4 – Испытание клеевого шва на разрыв на примере пенопласта 0,5 0,4 Время высыхания клея, ч Разрывное усилие, Н 2,5 0,5 13,4 1,4 4,5 2,5 17,3 18,2 26,330 6,5 4,5 6,5 40,5 24 90 Таблица 4 – Испытание клеевого шва на разрыв на примере пенопласта Время высыхания клея, ч 0,5 2,5 4,5 6,5 24 Разрывное усилие, Н 1,4 18,2 26,3 40,5 150 Рисунок 3 – График прочности клеевого шва Рисунок 3 – График прочности клеевого шва СамыйСамый прочный клеевой у пенопласта, а самый непрочный – у прочный клеевой шовшов у пенопласта, а самый непрочный – у шифера. Заключение. Описываемый клей «Le colle» часто создается в случае, когда шифера. в доме не оказывается клея или он заканчивается в самый неподходящий момент. Заключение. Описываемый клей colle» часто создается Клей должен быть хорошо размешан, так «Le как, если он не будет однородным, скле- в случае, иваемые предметы могут быть ненадежно соединены друг с другом. Применяться когда в доме не оказывается клея или он заканчивается в самый неподходящий пенопластовый клей может для соединения различных материалов. момент. Клей должен быть хорошо размешан, так как, если он не будет 62 однородным, склеиваемые предметы могут быть ненадежно соединены друг с другом. Применяться пенопластовый клей может для соединения различных Недостатком клея является длительное время отвердевания. Чтобы клей быстрее высыхал, для его приготовления следует выбирать ацетоновые растворители. После застывания состав способен выдерживать как низкую, так и высокую температуру, а также он является влагостойким. Таким образом, имея небольшое количество пенопласта и растворителя, легко сделать надежный клей. Но, чтобы полученный состав мог прослужить длительное время, важно сделать его таким образом, чтобы он отличался вязкостью и однородностью. Проведенное исследование позволяет утверждать, что отходы пенопласта можно использовать для ремонтных работ, изготовив из них пенопластовый клей. Этот клей обладает достаточной прочностью, а также очень дешев. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. http://xlom.ru/recycling-and-disposal/otxody-penoplasta-utilizaciya-i-pererabotka; 2. Енохович А. С. Справочник по физике: – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1990 – 564 с. SEMASHKO S. A. State educational establishment «Secondary School №1 name B. M. Dmitrieva town Osipovichi» Scientific supervisors – Kostromina E. A., the teacher of physics; Stelmashonok T. S., the teacher of physics GLUE «LE СOLLE» Summary. The paper proposes a recipe for the preparation of glue «Le colle», obtained by the synthesis of foam chips and gasoline AI-95-K5. Some physicochemical properties of the obtained adhesive compound are studied in detail. The adhesive seam has been tested for rupture. Properties of glue for various materials are investigated. The study allowed us to assert that the resulting material is almost as good as branded adhesives. 63 ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА СКОРАЯ К. В. Государственное учреждение образования «Средняя школа № 1 г. Старые Дороги имени Героя Советского Союза Ф. Ф. Куликова» Научный руководитель – Черетун О. Н., учитель физики, высшей квалификационной категории ЭКОНОМИЯ СВЕТОДИОДНЫХ ЛАМП: ПРАВДА ИЛИ МИФ? Аннотация. В данной работе рассматривается светодиодная лампочка, которая сравнивается с другими видами ламп. Автор анализирует и сопоставляет теоретические результаты с результатами экспериментов. Введение Одна из основных задач человечества в 21 веке сократить количество вредных выбросов в атмосферу, так же как и потребление природных ресурсов. Для этого нужно уменьшать и затраты потребляемой электроэнергии. В настоящее время бешеными темпами набирают популярность светодиодные лампы. С каждым днём они становятся всё более востребованными. Анализ изученной литературы показал, что уже доказана экономическая выгода и необходимость перехода с обычной лампы накаливания на энергосберегающие лампы. По этой причине, изучение характеристик светодиодных ламп и сравнение с другими видами ламп остается актуальным в настоящее время. Для того чтобы провести сравнительную характеристику необходимо: изучить устройство светодиодных ламп; сравнить их с лампами накаливания и люминесцентными; исследовать особенности устройства светодиодной лампочки; сравнить заявленную мощность с экспериментально полученной; проанализировать преимущества светодиодного освещения относительно других видов искусственного освещения; определить степень экономии при использовании светодиодных ламп. Основная часть Попытаемся разобраться с вопросом о том, чем же так хороши эти источники света? Поговорить об их недостатках, конечно же, тоже забывать не будем. Действительно ли они настолько экономичны? Современные бытовые лампы различаются по конструкции, расходу электрической энергии и долговечности. В связи с тем, что с каждым годом повышается стоимость кВт израсходованной энергии, стоит задуматься заранее о приобретении энергосберегающих источников света. Рассмотрим четыре вида, пользующихся наибольшей популярностью: лампа накаливания, галогенная, люминесцентная и светодиодная лампы. 1. Лампы накаливания (ЛН) – это самый первый вид электрических ламп, светящимся телом которого служит так называемое тело накала (проводник, нагреваемый протеканием электрического тока до высокой температуры). Достоинства ламп накаливания • Низкая стоимость. На сегодняшний день это самый дешёвый тип электрических ламп. • Лампы накаливания имеют сплошной (непрерывный) спектр излучения, в видимой части которого, преобладают оранжево-красные цвета. 2. Галогенная лампа – это та же лампа накаливания, в баллон которой добавлен буферный газ: пары галогенов (брома или йода). 3. Энергосберегающими называют компактные люминесцентные лампы (КЛЛ) (трубка, закрученная в форме спирали или буквы «П») и светодиодные лампы. Достоинства энергосберегающих ламп: – высокая светоотдача (световой КПД), при равной мощности световой поток КЛЛ в 4–6 раз выше, чем у ЛН, что дает экономию электроэнергии 75–85%; – длительный срок эксплуатации (без частого включения и выключения); – возможность создания ламп с различными значениями цветовой температуры; – нагрев корпуса и колбы значительно ниже, чем у лампы накаливания. 64 реальных условиях бытового применения; - использование широко распространенных выключателей с подсветкой приводит к периодическому, раз в несколько секунд, кратковременному зажиганию ламп, что приводит к скорому выходу из строя лампы. Об этом Недостатки энергосберегающих ламп:производители недостатке, за редким исключением, – несмотря на то, что использование КЛЛ действительобычнононевносит сообщают в инструкциях по эксплуатации. свою лепту в сбережение электроэнергии, опыт - массового утилизация: КЛЛв быту содержат 3-5 ряд мг проблем, ртути, применения выявил целый главная из которых – короткий срок эксплуатации в реальядовитое вещество 1-го класса опасности ных условиях бытового применения; ("чрезвычайно опасные"). Разрушенная или – использование широко распространенных выключатеповреждённая колба лампы высвобождает пары ртути, лей с подсветкой приводит к периодическому, раз в нескольчто может вызвать отравление ртутью. ко секунд, кратковременному зажиганию[1] ламп, что приводит к скорому выходу из строя лампы. Об этом недостатке, за Светодиодная лампа представляет собой редким исключением, производители обычно не сообщают двухвыводной прибор в прозрачном или в инструкциях по эксплуатации. полупрозрачном литом корпусе – утилизация:пластиковом КЛЛ содержат 3–5 мг ртути, ядовитое вещество 1-го класса опасности («чрезвычайно опасные»). различных цветов. Ее устройство вы видите на рис.1. Рисунок 1 Рисунок 1 Разрушенная или повреждённая колба лампы высвобождаЛампа вырабатывает значительное количество тепла, ет пары ртути, что может вызвать отравление ртутью. [1] радиатор Светодиодная для светодиодов призван предотвратить перегрев конструкции, лампа представляет собой двухвыводной прибор в прозрачном которыйТак может привести –к очень ее выходу из строя. полупрозрачном литом корпусе различных цветов. Ее устройство Экономия.или как светодиод пластиковом прочный и надежный источник видите на рис. 1. вета, он может вы прослужить непрерывно более ста тысяч 2 часов. Экологическая Лампа вырабатывает значительное количество тепла, радиатор для светодиодов езопасность и отсутствие специальной утилизации. Высокая механическая призван предотвратить перегрев конструкции, который может привести к ее выходу тойкость. Минусов у таких ламп немного. Светодиодные лампы нет из строя. озможности устанавливать закрытые светильники как исвет можетисточник света, он Экономия. вТак как светодиод – очень (так прочный надежный риглушаться). может прослужить непрерывно более ста тысяч часов. Экологическая безопасность К минусами можно отнести стоимость.утилизации. Она намного выше, механическая чем у обычнойстойкость. Минусов отсутствие специальной Высокая ампочки, что можно объяснить высокой стоимостью Такие у таких ламп немного. Светодиодные лампысоставляющих. нет возможности устанавливать в закрыампы нельзя использовать с регуляторами света. [2]приглушаться). тые светильники (так как свет может К минусам можно отнести стоимость. Онаправда намного выше, Так давайте выясним. Экономия светодиодных ламп: или миф?чем у обычной лампочки, что можно объяснить высокой стоимостью составляющих. Такие лампы нельзя В начале исследования я обратила внимание на указанные мощности использовать с регуляторами света. [2] юминесцентных и светодиодных ламп (Рн). Результаты представлены в Так давайте выясним. Экономия светодиодных ламп: правда или миф? аблице. В Результаты начале исследования я обратила внимание на указанные мощности люминесТаблица 1. измерений силы тока и напряжения и вычислений центных и светодиодных ламп (Рн). Результаты представлены в таблице. экспериментальной мощности (Рэ). Лампы несцентная тодиодная U, B Вт Iн,измерений мА I,силы мАтока иPэ, Вт Вывод Таблица 1. Pн, Результаты напряжения и вычислений экспериментальной мощности (Рэ) 220 Лампы 15 U, B 30 Pн, Вт 220 6 65 15 Люминесцентная 220 11 93 6 Светодиодная 18 220 130 11 18 40 8,8 Не соответствует 17 30 3,9 40 Не 8,8 соответствует Не соответствует 35 65 17 7,7 Не соответствует Не 3,9 соответствует Iн, мА 75 93 130 I, мА 35 16,5 75 Pэ, Вт Вывод 7,7 Не соответствует 16,5 Не соответствует Не соответствует Для того чтобы указанной указанной мощностимощности и реальной Дляпроверить того чтобысоответствие проверить соответствие и реальной я собрала собрала установку и используя мультиметр измерила силусилу токатока и напряжение. установку и используя мультиметр измерила и напряжение. Используя форПроанализировав полученные значения, мулу, ܲ ൌ ‫ܷܫ‬, получила Используя формулуǡ получилазначение значениемощности. мощности. Проанализировав сделала вывод: ни одна заявленная мощность не соответствует олученные значения, сделала вывод: ни одна заявленная мощность не экспериментально полученной. Следовательно, этоСледовательно, мощность не светового потока, не а потребляемая. оответствует экспериментально полученной. это мощность При покупке ламп накаливания потребитель ориентируется на количество ватт, ветового потока, а потребляемая. указанных на маркировке, определяя тем самым, насколько ярко При покупке ламп накаливания потребитель ориентируется на количествобудет светить издеПроизводитель светодиодных ламп указывает атт, указанныхлие. на маркировке, определяя тем самым, насколькоэквивалент ярко будетлампы накаливания гораздо выше реального, значит, мощность тоже завышается. На полке магазина моветить изделие. Производитель светодиодных ламп указывает эквивалент гут рядом лежать две очень похожие лампы разных производителей, на одной из коампы накаливания гораздо выше реального, значит, мощность тоже торых указана мощность 6 Вт, а на другой 8 Вт, при этом фактически может оказаться, авышается. На что полке магазина лежать две очень похожие первая лампамогут имеетрядом большую мощность и ярче светит. лампы азных производителей, на одной из которых указана мощность 6 на Вт,упаковке, а на Количество ватт, которое указывает производитель характеризуют ругой 8 Вт, при фактически может оказаться, что перваяэлектроэнергии лампа имеет за один час рабоне этом яркость устройства, а количество потребляемой ольшую мощность и ярче светит. ты. Естественно, можно провести параллель между лампами накаливания и светодиКоличество ватт,ориентируясь которое указывает производитель на упаковке, одами, только на мощность. арактеризуют не яркость устройства, а количество потребляемой лектроэнергии за один час работы. Естественно, можно провести параллель ежду лампами накаливания и светодиодами, ориентируясь только на 65 ощность. Иногда уличить производителя можно даже не вскрывая упаковку лампы. Проводя исследование мне встречались лампы, на которых был указан эквивалент 60 Вт, а мелкими буквами световой поток 340 Лм, соответствующий мощности 40 Вт. Светодиодные лампы имеют высокий показатель КПД, благодаря незначительному нагреву лампы. Я решила проверить, до какой температуры нагревается корпус лампы и почему светодиоды перегорают? Измерения температуры я осуществляла с помощью пирометра. Как оказалось, они нагреваются в процессе работы. Чип светодиода чувствителен к перегреву. В каждой лампе есть радиатор, который служит для отвода тепла. В дешёвых лампах используются самые примитивные теплоотводы. Светодиоды и элементы электронной схемы могут перегреваться, и лампа выйдет из строя гораздо раньше. Существуют производители, которые указывают срок службы ламп 50000 часов, при этом в их драйверах стоят конденсаторы, которые вряд ли проработают больше 5000 часов. Проведя исследования, я пришла к таким выводам: 1. Главным недостатком светодиодных ламп является цена. 2. Ни одна заявленная мощность не соответствует экспериментально полученной. 3. Чем больше нагревается светодиодная лампа, тем больше должен быть радиатор. Светодиоды – основа освещения будущего. И экономия светодиодных ламп – правда. Но важно помнить, что производители экономят на материалах. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. http://www.microarticles.ru/article/istochniki-sveta.html 2. https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/230387 SKORAYA K. V. State Educational Institution «Secondary School № 1 named after the Hero of the Soviet Union F. F. Kulikov» Scientific supervisor – Сheretun O. N., physics teacher, the highest qualification category THE ECONOMY OF LED LAMPS: TRUE OR FALSE? Summary. In this study, we consider an LED lamp, which is compared with other types of lamps. The author analyzes and compares theoretical results with experimental results. 66 Государственное учреждение образования «Гимназия № 2 г. Солигорска» Научный руководитель – Шубин А. Н., учитель физики ИЗУЧЕНИЕ ФОТОМЕТРИИ Аннотация. В данной работе рассмотрены исследования различных источников света и определить их фотометрические параметры, определить экономическую эффективность этих источников света, сравнить параметры этих ламп с санитарными нормами, определить удобства работы при освещении данными лампами, создать индикатор освещенности. Курс физики «Фотометрия» не изучается в курсе физики школьной программы. Один раз на уроке я посмотрел на таблицу «Международная система СИ» и увидел там силу света, измеряемую в канделах. Я заинтересовался этим и спросил у учителя физики: «Что это за величина»? Тогда учитель предложил мне провести исследовательскую работу и углубленно изучить эту тему. Цель: изучить теоретический материал курса физики «Фотометрия», провести исследования различных источников света и определить их фотометрические параметры, определить экономическую эффективность этих источников света, сравнить параметры этих ламп с санитарными нормами, определить удобства работы при освещении данными лампами, создать индикатор освещенности. Гипотеза. Энергосберегающие и светодиодные лампы экономически выгоднее ламп накаливания, а лампы накаливания более соответствуют санитарным нормам освещенности. В последнее время все чаще стали использовать светодиодные и энергосберегающие лампы, на упаковках которых указан световой поток данной лампы, на который большинство покупателей совершенно не обращают внимания, так как не знают, что такое люмен. Мы решили проверить, действительно ли эти лампы лучше ламп накаливания соответствующих световых потоков и дать санитарные и экономические характеристики различным источникам света, которые используют в быту и в учебных заведениях [1]. Результаты исследования могут быть полезны в выборе источников света для учебных заведений и для освещения учебного стола ученика дома, а также использование световых потоков источников света для получения дополнительной электрической энергии. Фотометрия – раздел оптики, связанный с измерением энергии, переносимой световой волной, или с измерением величин, связанных с энергией электромагнитных волн оптического диапазона. Все приемники оптического излучения можно разделить на два основных класса: а) широкополосные или неселективные, в основе работы которых лежит тепловое действие света (термоэлементы, болометры). Для них разработана система энергетических характеристик светового потока. б) селективные, работа которых основана на фотоэлектрическом и фотохимичестема световых величин и единиц. Энергетические и световые величины взаиском действии света (глаз человека, фотоэлементы) для которых вводится система мосвязаны. световых величин и единиц. Энергетические и световые величины взаимосвязаны. 1.1.Сила Основнаяфотометрическая фотометрическаявеличина величинаввсистеме системеСИ СИ––сила силасвесвеСиласвета светаJ.J.Основная та источника, измеряемая в канделах (кд). Кандела – это сила света, испускаета источника, измеряемая в канделах (кд). Кандела – это сила света, испускаемого 2 с 1/60 см2 поверхности эталонного источника в направлении В с мого 1/60 см поверхности эталонного источника в направлении нормали.нормали. В качестве качестве эталонного источника принято излучение абсолютно черного тела при эталонного источника принято излучение абсолютно черного тела при температуре температуре затвердевания чистой платины. затвердевания чистой платины. Световой поток.Определяется Определяетсякак какпроизведение произведениесилы силысвета светаисточника источникана навеве2. 2. Световой поток. личину телесного угла, в котором распространяется излучение: личину телесного угла, в котором распространяется излучение: �� ЗаЗа единицу светового потока принимают единицу светового потока принимаютлюмен люмен(лм) (лм)– –световой световойпоток потокототточечточечногоисточника источника силой света 1 кд, распространяющийся в пределах телесного ного силой света 1 кд, распространяющийся в пределах телесного угла 1 угла ср [2].1 ср [2]. 3. 3. Освещенность. приходящеОсвещенность.Физическая Физическаявеличина, величина,равная равнаясветовому световому потоку, потоку, приходящему наму единицу площади освещаемой поверхности: на единицу площади освещаемой поверхности: �� Освещенность измеряется в люксах (лк): 67 1 лк =1 лм/м . Освещенность площадки d, создаваемую точечным источником (т.е. таким источником, размеры которого малы ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА ТРОФИМОВИЧ Т. А. За единицу потока принимаютвлюмен (лм) телесного – световой поток от точечного источника силой света светового 1 силой кд, распространяющийся пределах ного источника света 1 кд, распространяющийся в пределах телесного ного источника силой света 1 кд, распространяющийся в пределах телесного угла 1 ср [2]. угла 1 ср [2]. угла 1 ср [2]. величина, равная световому потоку, приходяще3. Освещенность. Физическая 3. Освещенность. Физическая величина, равная световому потоку, приходяще3. Освещенность. Физическая величина, равная световому потоку, приходящему на единицуму площади освещаемой поверхности: на единицу площади освещаемой поверхности: му��на единицу площади освещаемой поверхности: �� в люксах ОсвещенностьОсвещенность измеряется (лк): 1в лк =1 лм/м измеряется люксах (лк):. 1 лк =1 лм/м� . � 2 Освещенность измеряется в люксах (лк): лм/м Освещенность измеряется в люксах (лк): 1 1лклк=1=1лм/м . . Освещенность площадкиd, d , создаваемую точечным ОсвещенностьОсвещенность площадки d, создаваемую точечным ис- точечным площадки создаваемую исОсвещенность площадки d, создаваемую точечным исисточником (т.е. таким источником, размеры которого точником (т.е. точником таким источником, которого малыкоторогомалы (т.е. такимразмеры источником, размеры малы точником (т.е. таким источником, размеры которого малы по сравнению с расстоянием до точки наблюдения), можно по сравнению по с расстоянием точки наблюдения), сравнению сдо расстоянием до точки можнаблюдения), можпредставить следующим образом (рис. 1): наблюдения), можпо сравнению с расстоянием до точки но представить следующим образом (рис. 1): но представить следующим образом (рис. 1): но представить 1): � �� следующим � �� (рис. � �� образом � � � �� Рис.накаливания 1 Лампа � Рис.1: Лампа накаливания �� Рис.1: Лампа Лампа накаливания Энергосберегающая лампа Светодиодная лампа Рис.1:накаливания Лампа накаливания Определение энергосберегающего эффекта. Цель опыта:энергосберегающего Определить энергиюэффекта. электрического тока за одинаковый промежуОпределение энергосберегающего эффекта. Определение Определение энергосберегающего ток времени работы лампы накаливания,эффекта. энергосберегающей лампы и светодиодной Цель опыта: лампы Определить энергию электрического тока за одинаковый соответствующих мощностей. Цель опыта: Определить энергию электрического тока запромеодинаковый промеЦель опыта: Определить энергию электрического тока за одинаковый промеОборудование: лампа накаливания, энергосберегающая лампа, светодиодная жуток временижуток работы лампы накаливания, энергосберегающей лампы и световремени работы лампы накаливания, энергосберегающей лампы и светожуток времени работы лампы накаливания, энергосберегающей лампы и светолампа, электросчетчик, часы. диодной лампы соответствующих мощностей. диодной лампы соответствующих мощностей. диодной лампы соответствующих мощностей. При выключенных всех электроприборах, потребляющих электроэнергию, мы поОборудование: лампавключали накаливания, лампа, светодиодная очередно лампуэнергосберегающая накаливания, энергосберегающая энергосберегающую лампу исветодиодная светодиодную Оборудование: лампа накаливания, лампа, Оборудование: лампа накаливания, энергосберегающая лампа, светодиодная лампа, электросчетчик, часы. лампы мощностей на 60 минут, вычисляли расход электроэнергии лампа,соответствующих электросчетчик, часы. чика: энергии P, Вт t, с счетчика: лампа, электросчетчик, часы. t, с счетчика: чика: чика: ВтP, Вт t, с данной счетчика: каждой лампы и стоимость электроэнергии, P, расходуемой лампой вс копейках. лампой:э ,кВт*ч � , кВт*ч � P, Вт t, счетчика: � мы � мы При выключенных всех занесем электроприборах, потребляющихпотребляющих электроэнергию, При выключенных всех электроприборах, электроэнергию, � ,кВт*ч � , кВт*ч ,кВт*ч � , кВт*ч � Результаты в таблицу 1. � � � A, кВт*л Присчетчика: выключенных всех электроприборах, потребляющих электроэнергию, мы�� ,кВт*ч поочередно лампу накаливания, лампу и светокопейчика: энергииэнергосберегающую P, Вт t, с включали поочередно включали лампу энергосберегающую накаливания, лампу и свето60 3600 29538,114 лампу29538,177 0,063 A 1 Лампа поочередно лампу и свето-29538,177 ки лампой: ,кВт*чвключали �� , кВт*ч диодную лампы соответствующих мощностей на мощностей 60 минут, вычисляли расход 1накаливания, Лампа 60энергосберегающую 3600 29538,114 Таблица 1:�Расход электроэнергии лампой диодную соответствующих на 60 минут, вычисляли расход 60 3600 29538,114 29538,177 0 1 Лампа �лампы накали60 3600 расход 29538,114 Лампа диодную лампы соответствующих на 60 минут, вычисляли A,мощностей кВт*ч1электроэнергии, накалиэлектроэнергииэлектроэнергии каждой лампы и стоимость электроэнергии, расходуемой даннакаликаждой лампы и стоимость расходуемой данвания накалиНачальные Конечные Расходрасходуемой данэлектроэнергии каждой лампы ивания стоимость электроэнергии, 60 ной лампой 3600в копейках. 29538,114 29538,177 0,063 0,9 1. Время Результаты занесем в вания таблицу 1. в3600 ной лампой в копейках. Результаты занесем таблицу показания Мощность: показания электроэнервания 13 29538,177 Стоимость, 29538,191 0,014 2 Энергоработы: лампой в копейках. Результаты занесем в таблицу 1. № ной Наименование 2 Энерго29538,177 29538,191 13 2 13счетчика: 36003600 29538,177 0 2 Энергосчетчика: гии лампой: копейки 29538,191 P, Вт сберега13 3600 29538,177 Энергоt, с Таблица 1: «Расход электроэнергии лампой» Таблица 1: «Расход электроэнергии сберегаA, кВт*ч Q0лампой» , кВт*ч Q1, кВт*ч сберегающая сберегаТаблица 1: «Расход электроэнергии 13 3600 29538,177 29538,191 0,014лампой»0,2 ющаяющая Лампа лампа ющая № НаимеМощВремя Начальные Конечные по- Конечные Расход 0,063 1№ Наиме3600 лампа 29538,114 Мощ- 60 Время Начальные29538,177 по- СтоиРасход0,9 Стоинакаливания лампа № НаимеМощВремя Начальные Конечные поРасход Стои-0,005 лампа 6 3600 29538,191 29538,196 3 Светонование ность: работы: показания казания счетэлектромость, нование ность: работы: 3 Светопоказания6 казания счетэлектромость, 3600 29538,191 29538,196 6 3600 29538,191 29538,196 0 3 СветоЭнергосберенование ность: работы: показания казания счетэлектромость, 6 0,014 3600 0,2 29538,191 Свето2 13 диодная 3600 диодная 29538,1773 29538,191 гающая лампа диодная лампа диодная 6 3600 29538,191 29538,196лампалампа 0,005 0,07 Светодиодная лампа Наибольший электроэнергии у 0,005 лампы накаливания, а наименьший 3 6 3600 расход 29538,191 29538,196 0,07 Наибольший расход электроэнергии у лампы накаливания, а наи Наибольший расход электроэнергии уэлектроэнергии лампы накаливания, а наим Наибольший расход лампы нака светодиодной. Расход электроэнергии лампой накаливания ву 4,5 раза бол светодиодной. Расход электроэнергии лампой накаливания в 4,5 светодиодной. Расход электроэнергии лампой накаливания в 4,5 ра светодиодной. Расход электроэнергии лампой нака чем у энергосберегающей и в 13 раз больше, чем у светодиодной. Соо ибольший расход электроэнергии у лампы расход накаливания, а наименьший – у Наибольший электроэнергии у лампы накаливания, а наименьший – чем у энергосберегающей и в 13 раз больше, чем у светодиодн чем у энергосберегающей и в 13 раз больше, чем у светодиодно чем у выгодная энергосберегающей и в лампа, 13 раз абольше, чем ственно самая - светодиодная самая невы етодиодной. Расход электроэнергии лампой накаливания в ственно 4,5 экономически раза больше, у светодиодной. Расход электроэнергии лампой накаливания в 4,5 раза- больше, чем лампа, самая экономически выгодная - светодиодная лампа, а са ственно самая экономически выгодная светодиодная а сама ственно самая экономически выгодная светодиод ная – накаливания, т.к. стоимость расходуемой электроэнергии у лампы н раз –больше, чем у светодиодной. Соответственно сам у энергосберегающей и увэнергосберегающей 13 раз больше, чеми ву 13 светодиодной. Соответная – накаливания, т.к. стоимость расходуемой электроэнергии у ная накаливания, т.к. стоимость расходуемой электроэнергии у л ная –анакаливания, т.к. стоимость расходуемой эле ливания значительно больше, чем у невыгодная светодиодной и энергосберегающей. экономически выгодная –ливания светодиодная лампа, самая – накаливавенно самая экономически мая выгодная - светодиодная лампа, аливания самая невыгодзначительно больше, у светодиодной и энергосбере значительно больше, чемчем у�светодиодной иу энергосберега ливания значительно больше, чем светодиодной ния, т.к. стоимость расходуемой электроэнергии у лампы накаливания значительно � мощность определяется по формуле � � , то�работа электрического я – накаливания, т.к. стоимость расходуемой электроэнергии у лампы нака� � �� электри мощность определяется по формуле , то работа мощность определяется формуле работа чем у светодиодной и энергосберегающей. Т.к.,помощность определяется � то по мощность по� , формуле � �электриче , то р вания значительно больше,больше, чем у светодиодной и энергосберегающей. Т.к., определяется по формуле �� ∗ определяется � . Т.о., лампа накаливания использует � определяется по формуле ��∗ � ∗Т.о., � . Т.о., лампа накаливания испо � определяется по формуле � � � . лампа накаливания исполь по нак работа электрического тока определяется определяется по формуле � � � ∗ � .. Т.о., лампа формуле � � , тото щность определяется по формуле работа электрического тока � �� = 0,063 кВт*ч*1000 Вт*3600 с = 226800 Дж, энергосберегающая лам � = 0,063 кВт*ч*1000 Вт*3600 с = 226800 Дж, энергосберегаю Т.о., лампа накаливания использует �� =использует 0,063 кВт*ч*1000 Вт*3600 с = 226800 Дж, сэнергосберегающ � ределяется по формуле � � � ∗ � . Т.о., лампа накаливания ��∗= 3600 0,063 = 226800 кВт ∗ 1000 Вт с кВт*ч*1000 � �0400��, Вт*3600 светодиодная лампа –Дж, �� 0,014 ∗ 1000 Вт ∗ 3600 � �0400��, светодиодная лам кВт кВт ∗�1000 Вт ∗ 3600 с �с�0400��, светодиодная лампа энергосберегающая лампа – �� 0,014 � � 0,014 � 0,014 кВт ∗ 1000 Вт ∗ 3600 с � �0400��, све � с = 226800 Дж, энергосберегающая лампа � = 0,063 кВт*ч*1000 Вт*3600 Вт*3600 с=18000 Дж. Если бы лампа накаливания был светодиодная лампа – �� =0.005 кВт*1000 �� =0.005 Вт*3600 с=18000 Дж. Если лампа накалив �� =0.005 кВт*1000 Вт*3600 с=18000 Дж.использовала Если бы бы лампа � 0,014 кВт ∗ 1000 Вт ∗ 3600 � �0400��, светодиодная лампа –каккВт*1000 �� =0.005 кВт*1000 Дж.накаливан Если мощностью 6 Вт, светодиодная, то она Вт*3600 бы Дж,бы аэ Еслисбы лампа накаливания была бы мощностью 6 Вт, как светодиодная, то с=18000 она бы 22680 мощностью 6 Вт, как светодиодная, то она бы использовала 2268 мощностью 6 Вт,мощностью как светодиодная, тоэнергосберегающая она бы использовала 22680 6 Вт, как светодиодная, то она бы испо использовала 22680 Дж, а энергосберегающая – 23226 Дж. Следовательно, энергосберегающая – 23226 Дж. Следовательно, лампа на накаливания была бы госберегающая – 23226 Следовательно, энергосберегающая л � =0.005 кВт*1000 Вт*3600 с=18000 Дж. Если бы лампа госберегающая –госберегающая Дж.Дж. Следовательно, энергосберегающая лам госберегающая лампа вый на первый взгляд не уж такая уж и сберегающая. НаДж. самом деле накаливания –На23226 Следовательно, энерго взгляд22680 не такая и23226 сберегающая. самом деле лампа м щностью 6 Вт, как светодиодная, то она бы использовала Дж, а энервый взгляд недолжный такая и сберегающая. На самом деле лампа нака вый не такая уж иуж сберегающая. На самом деле лампа накали лампа накаливания мощностью 6взгляд Вт не дает световой поток и освещёнвый взгляд не такая уж сберегающая. На самом де ностью 6 Вт не дает должный световой поток и освещённость. Поэтому и сберегающая – 23226 Дж. Следовательно, энергосберегающая лампа надает перностью не дает должный световой поток и освещённость. По ностью 6 Вт6неВт должный световой поток исветовой освещённость. ность. Поэтому из вышеназванных соответствующих ламп энергетически ностью 6 ламп Вт наиболее не дает должный поток иПоэт осв шеназванных соответствующих наиболее энергетически выгодная й взгляд не такая уж и сберегающая. На самом деле лампа накаливания мощшеназванных соответствующих ламп наиболее энергетически вы шеназванных соответствующих ламп наиболее энергетически выго выгодная – светодиодная. шеназванных соответствующих ламп наиболее эне тодиодная. стью 6 Вт не дает должный световой освещённость. Поэтому из вытодиодная. тодиодная. Я также поток решилирассчитать какое кол-во часов работы каждой лампы мы получим тодиодная. названных соответствующих ламп наиболее энергетически выгодная све-каждой за 1 рубль и какова будет стоимость 1 -часа лампы. Исходя из данных Я также горения решил рассчитать какое кол-во часов работы каждой лампы Я также решил рассчитать какое кол-во часов работы кажд решил рассчитать какое кол-во часов работы каждой диодная. интернета стоимость лампы накаливания мощностью Вт 1 рубль, энергосберегаюЯ 60 также решил рассчитать какое кол-во часов получим заЯ1 также рубль и какова будет стоимость горения 1 часа каждой ла получим за 1 рубль и какова будет стоимость горения 1 часа ка получим за 1 рубль и какова будет стоимость горения 1 часа каж щей лампы (13 Вт) – 4,5Исходя рубля, из светодиодной лампы (6 Вт) – 4,5 рубля. Согласно данполучим за 1 рубль и какова будет стоимость гор данныхлампы интернета стоимость лампы накаливания мощностью 6 Я также решил рассчитать какое кол-во часов работы каждой мы Исходя из данных интернета стоимость лампы накаливания мощ Исходя из данных интернета стоимость лампы накаливания мощно ным интернета средняя1 продолжительность работы лампы накаливания составляет Исходя из данных интернета стоимость лампы нак рубль, энергосберегающей лампы (13 Вт) – 4,5 рубля, светодиодной ла лучим за 1 рубль и какова1000 будет стоимость горения 11 часа лампы. 1 каждой рубль, энергосберегающей лампы (13 Вт) – 4,5 рубля, светоди рубль, энергосберегающей лампы (13 Вт) –лампы 4,5 рубля, светодиод часов, энергосберегающей лампы – 15000 часов, светодиодных – 30000 часов. 1 рубль, энергосберегающей (13 Вт) – 4,5 (6Вт) – 4,5 рубля. Согласно данным интернета средняя продолжительност ходя из данных интернета Результаты стоимость опыта лампыя накаливания мощностью 60 Согласно Вт Согласно (6Вт) 4,5 рубля. данным интернета средняя продолжи (6Вт) –накаливания данным интернета средняя продолжите занес в таблицу 2:4,5–рубля. (6Вт) – 4,5 рубля. данным интернета сред составляет 1000Согласно часов, энергосберегающей лам рубль, энергосберегающей лампы (13 Вт) – 4,5 боты рубля,лампы светодиодной лампы лампы накаливания составляет 1000 часов, энергосберегаю ботыботы лампы накаливания составляет 1000 часов, энергосберегающ боты лампы накаливания составляет 1000 часов, 15000 часов, светодиодных – 30000 часов. Результаты опыта я занес в табэ Вт) – 4,5 рубля. Согласно данным интернета средняя продолжительность ра15000 часов, светодиодных – 30000 часов. Результаты опыта я зан 15000 часов, светодиодных – 30000 часов. Результаты опыта я зане 15000 часов, светодиодных – 30000 часов. Результа 2: ты лампы накаливания составляет 1000 часов, энергосберегающей – 2: 2: 68лампы 2: 000 часов, светодиодных – 30000 часов. Результаты опыта я занес в таблицу Таблица 2: Определение экономической эффективности ламп. Таблица 2: Определение экономической эффективности л Таблица 2: Определение лам Таблица экономической 2: Определение эффективности экономической эфф лампа # Наименование Цена Продолжительность Кол-во ча- Стоим 1 Лампа накаливания 1 1000 2 Энергосберегающая 4,5 15000 лампа Таблица32: Определение экономической эффективности ламп Светодиодная лам4,5 30000 па Цена Продолжительность Кол-во часов работы, № Наименование лампы, рубли 1 Лампа Определение 1 накаливания работы лампы, часы полученное за 1 рубль , N 1000 0,1 3333 0,03 6666 0,015 Стоимость горения 1 часа каждой лампы, коп электрического напряжения, силы тока и мощности электриче1000 1000 0,1 ской цепи, получаемой от световых потоков ламп различной модификации. Энергосбере- 2 4,5 гающая лампа 15000 3333 0,03 Цель опыта: определить электрическое напряжение, силы тока и мощности 0,015 ламп различной модифицепи,30000 получаемой от 6666 световых потоков кации, определить тип соединения солнечных батарей, который является Определение наиболееэлектрического выгодным.напряжения, силы тока и мощности электрической Светодиодная 4,5 электрической лампа 3 цепи, получаемой от световых потоков ламп различной модификации. Цель опыта: определить электрическое напряжение, силы тока и мощности Оборудование: лампа накаливания, лампа, светодиодная электрической цепи, получаемой от световых потоковэнергосберегающая ламп различной модификалампа, солнечные батареи, миллиамперметр, вольтметр. ции, определить тип соединения солнечных батарей, который является наиболее выгодным. Оборудование: лампа накаливания, энергосберегающая лампа, светодиодная Сначала мы брали 1 солнечную батарею, подключали к ней лампочку, миллилампа, солнечные батареи, миллиамперметр, вольтметр. амперметр и вольтметр и ставили эту электрическую цепь на разных расстояСначала мы брали 1 солнечную батарею, подключали к ней лампочку, миллиамот лампы. перметрниях и вольтметр и ставили эту электрическую цепь на разных расстояниях от лампы. Схема электрической цепи: Схема электрической цепи: V м Результаты опыта занесём в таблицы 2–4: опытасветовой занесём в таблицы ТаблицаРезультаты 2: Лампа накаливания, поток падает на 1 2-4: солнечную батарею № 1 2 Расстояние: L, м Сила тока: I, мA Напряжение V, В Мощность P, мВт Таблица 2: «Лампа накаливания, световой поток падает на 1 солнечную бата1 0,4 0,4 0,16 рею» 0,5 1,2 0,5 0,6 № Расстояние: L, м Сила тока: I, мA Напряжение V, В Мощность P, мВт 1 1 0,05 0,05 0,0025 2 0,5 0,1 0,1 0,01 3 0,25 0,15 0,15 0,0225 № Мощность 3 0,25 Расстояние:1,6 Сила то- Напряжение 0,6 0,96 L, м ка: V, В P, мВт Таблица 3: Энергосберегающая лампа , световой поток падает на 1 солнечную батарею I, мA № Расстояние: L, м 1 Сила тока: I, мA V, В Мощность 1 0,4 Напряжение0,4 0,16P, мВт 1 0,1 0,15 0,5 0,015 21 0,5 1,2 0,6 2 0,5 0,2 0,2 0,04 3 0,25 1,6 0,6 0,96 3 0,25 0,25 0,25 0,0625 Таблица 3: «Энергосберегающая лампа , световой поток падает на 1 солнечную батарею» Таблица 4: Светодиодная лампа, световой поток падает на 1 солнечную батарею 69 1 2 3 I, мA 0,05 0,1 0,15 1 0,5 0,25 0,05 0,1 0,15 0,0025 0,01 0,0225 Потом мы взяли солнечные батареи, соединенные Потом мы2взяли 2 солнечные батареи, соединенныепоследовательно, последовательно, подключали к ним лампочку, миллиамперметр и вольтметр и ставили электрическую цепь подключали к ним лампочку, миллиамперметр и вольтметр иэту ставили эту на разных расстояниях от лампы. электрическую цепь на разных расстояниях от лампы. Схема электрической цепи: Схема электрической цепи: V мА Результаты опыта занесем в таблицы 5-7: Результаты опыта занесем в таблицы 5–7: Таблица 5: «Лампа накаливания, световой поток падает на 2 батареи, соединенные по следовательно» Таблица 5: Лампа накаливания, световой поток падает на 2 батареи, соединенные последовательно № Расстояние: Сила то- Напряжение Мощность L, м ка: V, В P, мВт № Расстояние: L, мI, мA Сила тока: I, мA Напряжение V, В Мощность P, мВт 1 1 0,45 0,45 0,2025 1 1 0,45 0,45 0,2025 2 0,5 1,9 0,6 1,14 2 0,5 1,90,8 0,6 1,14 3 0,25 3,3 2,64 3 0,25 3,3 0,8 2,64 Таблица 6: Энергосберегающая лампа, световой поток падает на 2 батареи, соединенные последовательно № Расстояние: L, м Сила тока: I, мA Напряжение V, В Мощность P, мВт 1 1 0,1 0,1 0,01 0,5 0,15 0,15 0,0225 0,2 0,04 2 3 Таблица 6: «Энергосберегающая лампа, световой поток падает на 2 батареи, 0,25 соединенные последовательно» 0,2 № Расстояние: Сила то- Напряжение Мощность L, м ка: V, В P, мВт Таблица 7: Светодиодная I, мA лампа, световой поток 1 1 0,1 последовательно 0,1 0,01 на 2 батареи, соединенные 2 0,5 0,15 0,15 0,0225 3 0,25 0,2 0,2 0,04 № 1 2 3 Расстояние: L, м Сила тока: I, мA падает Напряжение V, В Таблица 7: «Светодиодная лампа, световой поток падает на 2 батареи, соеди1 0,1 0,1 ненные последовательно» № Расстояние: Сила то- Напряжение 0,5 0,15Мощность L, м ка: V, В P, мВт 0,25 I, мA 0,2 1 1 0,1 0,1 0,01 2 0,5 0,15 0,15 0,0225 3 0,25 0,2 0,2 0,04 Мощность P, мВт 0,01 0,15 0,0225 0,2 0,04 Затем мы взяли 2 солнечные батареи, соединенные параллельно, подключали к ним лампочку, и вольтметр и ставили эту электрическую цепь на Затем мы взяли миллиамперметр 2 солнечные батареи, соединенные параллельно, подключали к лампочку, миллиамперметр и вольтметр и ставили эту электрическую цепь разныхним расстояниях от лампы. на разных расстояниях от лампы. Схема электрической цепи: Схема электрической цепи: V мA Результаты опыта занесем в таблицы 8-10: 70 0,4 0,32 2:Показания миллиамперметра в одном из экспериментов. Результаты опыта занесем в таблицы 8–10: 8: Лампа накаливания, световой поток щая лампа,Таблица световой поток падает на 2падает батареи, на 2 батареи, соединенные параллельно № Расстояние: L, м Сила тока: I, мA Напряжение V, В Мощность P, мВт 1 1 0,05 0,2 0,01 0,2 0,3 0,06 0,8 0,4 0,32 то- Напряжение Мощность 2 0,5 V, В 3 P,0,25 мВт 0,15 0,15 световой 0,2 а, овательно» 0,0075 0,015 поток 0,02 лампа, поток падает на 2 батареи, соедижениесветовой Мощность P, мВт то- Напряжение Мощность Рис. 2: Показания миллиамперметра в одном из экспериментов V, В Таблица P, мВт лампа, световой поток падает 0,019: Энергосберегающая 55 на 2 батареи, соединенные параллельно 0,025 0,05 0,1 0,0225 0,000625 1 1 0,04 0,0025 2 0,5 № 3 Расстояние: L, м 0,01 0,25 Сила тока: I, мA Напряжение V, В Мощность P, мВт 0,05 0,15 0,0075 0,1 0,15 0,015 0,15 0,2 0,02 Таблица 10: Светодиодная лампа, световой поток падает на 2 батареи, соединенные параллельно овой поток падает на 2 батареи, соеди№ Расстояние: L, м Сила тока: I, мA Напряжение V, В Мощность P, мВт 1 1 0,025 0,025 0,000625 2 0,5 0,05 0,05 0,0025 3 0,25 0,1 0,1 0,01 жение Мощность P, мВт 0,01 0,0225 ение солнечных бата0,04электримая мощность м соединением солнечных батарей Рис. 3: Электрическая цепь рей неце-соединением с параллельным солнечных батарей ческого Вывод: параллельное соединение солнечных батарей нецелесообразно, так как тареи. Экономически выгодно соединять батареи получаемая мощность электрического тока меньше, чем от одной батареи. Экономиолучаемая чески мощность увеличивается. Мощность выгодно соединять батареи последовательно, так как получаемая мощность увеличивается. Мощность электрической цепи, в которой используются электроэнерединенные параллельно, к й используются электроэнергияподключали от солнечной багия от солнечной батареи очень мала, так как площадь самой батареи маленькая. Если использовать промышленные солнечные батареи, то можно получить значищадь самой батареи маленькая. Если использовать метр и ставили эту электрическую цепь тельное напряжение и силу тока в цепи, что даст возможность получать значительные мощности. 71 Определение фотометрических величин от ламп различной модификации Цель опыта: определить фотометрические величины, электрическое напряжение и силу тока от ламп различной модификации. Оборудование: лампа накаливания, энергосберегающая лампа, светодиодная лампа, солнечные батареи. С помощью линейки мы измерили площадь солнечных батарей, измеряли напряжение, силу тока и определили мощность электрической цепи. На упаковке ламп указан световой поток, даваемый лампой. Используя формулы фотометрических величин, мы рассчитали силу света и освещенность, даваемые этими лампами. Для проведения опыта я взял одну солнечную батарею, которую поставил на расстояние 25 см от лампы. Данные опыта занесем в таблицу. Таблица 11: Световой поток падает на 1 солнечную батарею № Наименование 1 Лампа накаливания Мощность Площадь Телес- СветоМощэл. цепи, Сила Освещен- Напря- Сила солнечной ный вой ность даваемая от света: ность: жение: тока: батареи: угол: поток: лампы: солнечной J, кд E, лк V, В I, мA S, м2 Ω, с.р, Ф, лм P, Вт батареи: P, мВт 0.0124 0,2 700 56 896 0,6 1,6 60 0,96 Энергосбе2 регающая лампа 0.0124 0,2 720 57 917 0,25 0,25 13 0,0625 Светодиодная лампа 0.0124 0,2 420 33 535 0,15 0,15 6 0,0225 3 Вывод: из ламп соответствующих мощностей наибольший световой поток, силу света и освещенность дает энергосберегающая лампа, лампа накаливания помимо светового потока дает тепловое инфракрасное излучение, поэтому даваемая мощность электрического тока, полученная с помощью лампы накаливания – максимальная. Хотя световой поток от энергосберегающей лампы был немного выше, чем у лампы накаливания, мощность электрической энергии, даваемая от солнечной батареи в электрическую цепь больше у лампы накаливания. Было бы абсурдно получать электрическую энергию с помощью солнечной батареи от другого источника света, на работу которого затрачивается более значительная электроэнергия, чем полученная с помощью солнечной батареи. Однако, если использовать солнечные батареи на предприятиях, где используются круглосуточная освещенность, например, в теплицах, где выращивают овощи или цветы, или на птицефабриках, где используют лампы накаливания в качестве регулирования температуры инкубатора для получения энергии, можно использовать солнечные батареи даже небольшой мощности и получать энергию, например, для подогрева воды или других хозяйственных нужд. Рис. 4: Проведение эксперимента с 1 солнечной батареей на расстоянии 25 см 72 Использование световых потоков различных источников света для получения дополнительной электрической энергии. Цель: теоретически рассчитать возможную дополнительную электрическую энергию при работе осветительных ламп в инкубаторах и теплицах. Выполнение опыта: Из наших экспериментов максимальная мощность электрического тока, полученная от лампы накаливания для одной солнечной батареи, была 0,96 мВт, при площади поверхности батареи 0,0124 м2. Если площадь стен стандартного инкубатора 20 м2 покрыть солнечными батареями, то мощность такой батареи будет больше нашей батареи в 1613 раз, т.е. 1,548 Вт. Если учесть, что лампы горят круглосуточно, то электроэнергия (Е = P*t), полученная от такой батареи составит за сутки 133747 Дж или 0,37 кВт*ч. Если учесть, что яйца в инкубаторе находятся 21 сутки, то за этот период дополнительная электроэнергия составит 7,77 кВт*ч, а за год 135 кВт*ч. Для стандартных теплиц с площадью стен 200 м2 – дополнительная электроэнергия составит за год 1350 кВт*ч. Несмотря на то, что эта энергия небольшая, ее можно использовать, например, для подогрева воды для полива. Причем все эти расчеты мы произвели для 1 лампочки. Определение удобства работы при освещении лампами соответствующих мощностей. Цель опыта: определить удобства работы при освещении данными лампами и сравнить освещенность с санитарными нормами. Оборудование: лампа накаливания, энергосберегающая лампа, светодиодная лампа, самодельная модель электрической цепи в квартире. Рис. 5: Проведение эксперимента с потреблением электроэнергии лампой Мы предложили выполнить нашим членам семьи различные домашние работы под освещением данных ламп и результаты занесли в таблицу 12. Таблица 12: Ощущения от работы с освещением данными лампами № Наименование 1 Лампа накаливания Ощущения от работы с освещением данными лампами Лампа накаливания дает большое количество света (больше, чем энергосберегающая и светодиодная лампы), но лампа накаливания очень сильно нагревается. 2 Энергосберегающая Энергосберегающая лампа дает достаточное количество света лампа для работы при освещении данной лампой, лампа нагревается, но не так сильно, как накаливания 3 Светодиодная лампа Светодиодная лампа дает достаточное количество света для работы при освещении данными лампами, эта лампа почти не нагревается, дает самый приятный для глаз цвет – белый. Мы сравнили освещенность данных ламп, взятые из прошлого опыта и сравнили с нормами освещенности. Согласно санитарным нормам, основными нормируемыми показателями являются освещенность на рабочих местах в классе, общий индекс цветопередачи, коэффициент пульсаций освещенности. Так как, стандартная частота переменного тока 50 Герц, то глаз человека не замечает данную пульсацию (до 20 Герц). Освещенность кабинетов составляет согласно нормам СЭС – 400 люкс, если источники света расположены на расстоянии не менее 3 м от пола. Так как 73 мы измеряли освещенность, даваемую нашими лампами на расстоянии 0,25 м, то освещенность от этих ламп на расстоянии 3 м от нее уменьшается в 12 раз и составит 75 люкс – для лампы накаливания, 76 люкс – для энергосберегающей лампы, 45 люкс – для светодиодной лампы. Следовательно, для освещенности рабочих мест в классе необходимо минимум 6 ламп накаливания, или 6 энергосберегающих, или 9 светодиодных ламп соответствующей мощности (60 Вт для лампы накаливания). В нашем кабинете физики 12 ламп дневного света мощностью 75 Вт, дающие общую освещенность 5000 люкс, то есть 417 люкс, что соответствует санитарным нормам. В целях работы мы планировали получить индикатор освещенности на основе солнечной батареи и светодиодной лампы, работающей при низком напряжении до полтора вольта и низкой силе тока. Однако, площадь нашей солнечной батареи недостаточная, чтобы данный индикатор работал. Для данных целей уже существует прибор: люксметр Ю-116, основанный на работе фотоэлементов. Рис. 6: Проведение эксперимента с последовательным соединением солнечных батарей Вывод: Лампа накаливания дает больше света, чем энергосберегающая и светодиодная лампы, но она очень сильно нагревается. Энергосберегающая лампа дает немного меньше света, чем остальные, нагревается слабее лампы накаливания. Светодиодная лампа дает хорошее количество света, самый приятный для глаз свет – белый, почти не нагревается. Наиболее удобной была работа с освещением светодиодной лампой. Для освещенности рабочих мест в классе необходимо минимум 6 ламп накаливания, или 6 энергосберегающих, или 9 светодиодных ламп соответствующей мощности (60 Вт для лампы накаливания). Заключение 1. Наибольший расход электроэнергии у лампы накаливания, а наименьший – у светодиодной. Соответственно самая экономически выгодная – светодиодная лампа, а самая невыгодная – накаливания, т.к. стоимость расходуемой электроэнергии у лампы накаливания значительно больше, чем у светодиодной и энергосберегающей. 2. Параллельное соединение солнечных батарей нецелесообразно, так как получаемая мощность электрического тока меньше, чем от одной батареи. Экономически выгодно соединять батареи последовательно, так как получаемая мощность увеличивается. 3. Из ламп соответствующих мощностей наибольший световой поток, силу света и освещенность дает энергосберегающая лампа, лампа накаливания помимо светового потока дает тепловое инфракрасное излучение, поэтому даваемая мощность электрического тока, полученная с помощью лампы накаливания – максимальная. Можно использовать солнечные батареи на предприятиях, где используются круглосуточная освещенность, например, в теплицах, где выращивают овощи или цветы, или на птицефабриках, где используют лампы накаливания в качестве регулирования температуры инкубатора для получения энергии 4. Наиболее удобная – работа с освещением светодиодной лампой. Для освещенности рабочих мест в классе необходимо минимум 6 ламп накаливания, или 6 энергосберегающих, или 9 светодиодных ламп соответствующей мощности (60 Вт для лампы накаливания). 5. Энергосберегающие и светодиодные лампы экономически выгоднее ламп накаливания, а лампы накаливания более соответствуют санитарным нормам освещенности, что подтверждает нашу гипотезу 74 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Наркевич, И. П., Печковский, В. В. Утилизация и ликвидация отходов в технологии неорганических веществ / И. П. Наркевич, – М.:Химия,1984. – 43 с. 2. Ордов, Д. С. Экология и охрана биосферы при химических загрязнениях / Д. С. Ордов. – М.: Высшая школа, 2002. – 22 с. 3. Технология получения технического хлористого натрия из галитовых хвостов [Электронный ресурс] / Молодой ученый. – 2015. – Режим доступа: https://moluch.ru/archive/99/22299/. – Дата доступа: 21.08.2019. 4. Вода питьевая. Методы определения содержания хлоридов [Электронный ресурс] / Методы определения содержания хлоридов. – 2019. – Режим доступа: https://znaytovar.ru/gost/2/ gost_424572_voda_pitevaya_meto.html. – Дата доступа: 02.07.2019. TROFIMOVICH T. A. State educational institution «Gymnasium No. 2 of the city of Soligorsk» Scientific supervisor – Shubin A. N., physics teacher STUDY OF PHOTOMETRY Summary. In this study, the energy of electric current was analyzed and determined for the same period of time of operation of an incandescent lamp, an energy-saving lamp, and an LED lamp of the corresponding power; the electric voltage, current strength and power of the electric circuit obtained from the light fluxes of lamps of various modifications are determined, the type of connection of solar batteries is determined, which is the most profitable; determine photometric values, electric voltage and current from lamps of various modifications; theoretically calculated the possibility of additional electrical energy during the operation of lighting lamps in incubators and greenhouses; the convenience of work when lighting with these lamps is determined and the illumination is compared with sanitary standards. The highest energy consumption is for an incandescent lamp, and the lowest is for LED. Accordingly, the most cost-effective is an LED lamp, and the most disadvantageous is incandescent, because the cost of energy spent by an incandescent lamp is much higher than that of LED and energy-saving. Energy-saving and LED lamps are more economical than incandescent lamps, and incandescent lamps are more consistent with sanitary standards of illumination, which confirms our hypothesis. 75 ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА ХОМЕНКО М. А. Государственное учреждение образования «Гимназия № 2 г. Барановичи» Научный руководитель – Гиткович О. И., учитель математики первой категории ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ НЕСТАНДАРТНОГО ХАРАКТЕРА Аннотация. В исследовательской работе рассмотрены замечательные неравенства, показано практическое применение замечательных неравенств при решении задач нестандартного характера. ВВЕДЕНИЕ. Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика. Задачи, решение которых весьма затруднительно или даже невозможно получить без применения замечательных неравенств, – частые гости на математических олимпиадах школьников, а значит, тот, кто захочет хорошо подготовиться к тому или иному математическому конкурсу, обязан будет познакомиться с наиболее знаменитыми и востребованными замечательными неравенствами. Одним из математических инструментов рационализирующим путь решения задач такого вида является объект нашего исследования – замечательные неравенства. Предметом исследования является практическое применение замечательных неравенств для решения задач нестандартного характера. Исследование проводилось с целью: выявить значимость применения замечательных неравенств при решении задач нестандартного характера. Для этого решались следующие задачи: 1. Раскрыть теоретические особенности замечательных неравенств; 2. Продемонстрировать применение замечательных неравенств при решении задач нестандартного характера; 3. Установить эффективность применения замечательных неравенств к решению некоторых видов задач нестандартного характера. В качестве методов исследования были использованы: анализ, синтез, сравнение, обобщение, аналогия. Гипотеза: если знать теоретические особенности замечательных неравенств и уметь их применять, то это упростит решение многих задач нестандартного характера. В первой главе работы рассматривается теоретический материал. Вторая глава содержит практическое применение замечательных неравенств при решении задач нестандартного характера. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Среди неравенств выделяют ряд известных замечательных неравенств. Многие из них были доказаны знаменитыми математиками и названы Коши, их именами. К ним, именами. ним, в частности, частности, относятся неравенства Кошиименами. К относятся неравенства Коши, Кошиименами. Кним, ним, вчастности, частности, относятся неравенства Коши, Кошиименами. КК ним, относятся неравенства Коши, Кошиименами. К ввним, в частности, относятся неравенства Коши, Кошив частности, относятся неравенства Коши, Коши-Буняковского, Бернулли, Йенсена, Буняковского, Бернулли, Йенсена, Караматы. Буняковского, Бернулли, Йенсена, Караматы. Буняковского, Бернулли, Йенсена, Караматы. Буняковского, Бернулли, Йенсена, Караматы. Буняковского, Бернулли, Йенсена, Караматы. Караматы. Неравенство Коши для произвольного числа переменных 1.1.1. Неравенство Коши для произвольного числа переменных 1. Неравенство Коши для произвольного числа переменных Неравенство Коши для произвольного числа переменных 1. Неравенство Коши для произвольного числа переменных 1. Неравенство Коши для произвольного числа переменных Для любых действительных неотрицательных чисел a,1a,a2,1a,2… ,… ,a(n�N) (n�N) Для любых действительных неотрицательных чисел aa1,чисел n(n�N) na Для любых действительных неотрицательных чисел ,1,a,,a … Для любых действительных неотрицательных чисел Для любых действительных чисел Для любых действительных неотрицательных a2… … ,anспра(n�N) n (n�N) 1 2 a n2,,a справедливо следующее неравенство справедливо следующее неравенство ведливо следующее неравенство справедливо следующее неравенство справедливо следующее неравенство справедливо следующее неравенство �� ,причем ,причем равенство имеет место тогда � � �� равенство имеет место тогда иии только � � равенство имеет место тогда итолько только �� равенство имеет место тогда только � ,причем � �� , ,причем равенство имеет место тогда только �� ,причем �� причем равенство имеет место тогда и итолько тогда, когда a=1a= a=2… = … тогда, когда aa1= =a n.n= тогда, когда aa21= aa… … тогда, когда .n.…n. =an. тогда, когда тогда, ==a a=a 21= 1когда 2= 2 =a Несложно доказать это неравенство для двух, трех, четырех, пяти чисел. Несложно доказать это неравенство для двух, трех, четырех, пяти чисел. Несложно доказать это неравенство для двух, трех, пяти чисел. Далее Несложно доказать это неравенство для двух, трех, четырех, пяти чисел. Несложно доказать это неравенство для двух, трех, четырех, пяти чисел. Несложно доказать это неравенство для двух, трех, четырех, пяти чисел. Далее французский математик Коши решая частные подзадачи и применив Далее французский математик Коши решая частные подзадачи и применив французский математик Коши решая частные подзадачи и применив матемаДалее французский математик Коши решая частные подзадачи иметод применив Далее французский математик Коши решая частные подзадачи и применив Далее французский математик Коши решая частные подзадачи и применив метод математической индукции, доказал свое неравенство. метод математической индукции, доказал свое неравенство. тической индукции, доказал свое неравенство. метод математической индукции, доказал свое неравенство. метод математической индукции, доказал свое неравенство. метод математической индукции, доказал свое неравенство. Среднее гармоническое положительных чисел a1a,2,1a,2… ,… ,aне не Среднее гармоническое положительных чисел aa1,чисел больше Среднее гармоническое положительных больше nне na Среднее гармоническое положительных чисел ,1,a … не Среднее гармоническое положительных чисел не Среднее гармоническое положительных a2… ,,a … ,aбольше несреднебольше n больше 1, a 2 a n2,,a n больше среднего геометрического этих чисел: го геометрического этих чисел: среднего геометрического этих чисел: среднего геометрического этих чисел: среднегосреднего геометрического этих чисел: геометрического этих чисел: �� Среднее арифметическое положительных чисел ,a…a2… не Среднее арифметическое положительных чисел aa1,1aчисел больше n,a Среднее арифметическое положительных чисел ,,a … не Среднее арифметическое положительных чисел ,1a,a2,12a,2… Среднее арифметическое положительных an2nне ,,aне … ,aбольше не больше n больше 1,,a n больше среднего квадратичного этих чисел: среднего квадратичного этих чисел: среднего квадратичного чисел: среднего квадратичного этихэтих чисел: среднего квадратичного этих чисел: � �� 76� � � �� . ��. �� . �� . � � � �� . � �� Неравенство Йенсена 2.2.2. Неравенство Йенсена 2. Неравенство Йенсена Неравенство Йенсена 2. Неравенство Йенсена Далее французский математик частные подзадачи и применив � �� Коши �� решая �� ,причем равенство место тогда и только Среднее гармоническое положительных чисел aимеет 1, a2, … ,an не больше � метод математической индукции, доказал свое неравенство. тогда,геометрического когда a1= a2= …этих =an. чисел: среднего Среднее гармоническое положительных чисел a1, a2,двух, … ,aтрех, больше пяти чисел. n не четырех, � �� Несложно доказать это�неравенство �� для среднего геометрического этих чисел: Далее французский математик Коши решаячисел частные применив Среднее арифметическое положительных a1, a2подзадачи , … ,an не ибольше �� метод �� математической � � �� индукции, �� доказал �� свое неравенство. среднего квадратичного этих чисел: Среднее арифметическое чисел a1, a2чисел ,чисел … ,ana1не Среднее , a2больше , … ,an не не больше большесредСреднее гармоническое арифметическое положительных �� положительных �� положительных � среднего квадратичного этих чисел: � �� . него квадратичного этих чисел: среднего геометрического этих чисел: � �� 2. Неравенство Йенсена � � �� . � Среднее арифметическое положительных чисел a1, a2, … ,an не больше Введем несколько новых обозначений. 2. Неравенство Йенсена 2. Неравенство Йенсена среднего квадратичного этих чисел: Определение. Множество называется выпуклым, если отрезок, Введем несколько новых обозначений. Введем несколько обозначений. ��две � новых �точки, ��целиком� содержится соединяющий любые его сам во множестве. � � �� выпуклым, � � �� если �если � ��отрезок, . Определение. Множество называется отрезок, соединяющий люОпределение. Множество называется выпуклым, � Пусть имеется функция y=f(x), определенная на некотором интервале. У � бые его две точки, сам целиком содержится во во множестве. соединяющий любые его две точки, сам целиком содержится множестве. 2. Неравенство каждой функции имеетсяЙенсена график. График функции, определенной на всей Пусть имеется функция y=f(x), определенная на интервале. некотором интервале. Пусть имеетсяВведем функция y=f(x), определенная на некотором У Такие У каждой несколько новых обозначений. числовой прямой, разбивает плоскость на два множества: y≥f(x)наи всей y<f(x). функции имеется график. График функции, определенной числовой прямой, каждой функции имеется график.Множество График функции, определенной на всей Определение. называется выпуклым, если отрезок, два множества называются надграфик и подграфик. разбивает плоскость на два множества: y≥f(x) и y<f(x) . Такие два множества называчисловой прямой, разбивает плоскость на два множества: y≥f(x) и y<f(x). Такие соединяющий любые его две точки, сам целиком содержится во множестве. Определение. Пусть f(x) определена на некотором интервале. Тогда ются надграфик и подграфик. два множества называются надграфик и подграфик. Пусть имеется определенная на некотором интервале. множество y≥f(x), где хфункция принадлежит интервалу, называется надграфиком, а У Определение. Пусть f(x)y=f(x), определена на некотором интервале. множество Определение. Пусть f(x)химеется определена на некотором интервале. Тогда Тогда каждой график. График определенной на всей множество принадлежит интервалу, –функции, подграфиком y≥f(x)y<f(x), , функции где х где принадлежит интервалу, называется надграфиком, а множество y<f(x), множество y≥f(x), где прямой, х принадлежит интервалу, называется надграфиком, числовой разбивает плоскость на два множества: y≥f(x) иаy<f(x). Такие соответственно. где х принадлежит интервалу, – подграфиком соответственно. множество y<f(x), где х принадлежит интервалу, –Пусть подграфиком Теорема (неравенство Йенсена): f(x) – функция, два множества называются надграфик иПусть подграфик. Теорема (неравенство Йенсена): f(x) функция, выпуклая выпуклаянананекотором соответственно. интервале, x , x , …, x – произвольные числа из этого интервала, а α1, Тогда αа2, …, αn – Определение. Пусть f(x) определена на некотором интервале. x n – произвольные числа из этого интервала, некотором интервале, x2 1, x 2, …, 1 n Теорема (неравенство Йенсена): Пусть f(x) – функция, выпуклая на произвольные положительные числа, сумма которых равна единице. где х принадлежит интервалу, надграфиком, α1, αмножество произвольные положительные числа,называется сумма которых равна а 2, …, αn –y≥f(x), некотором интервале, x1y<f(x), , x 2, …, x�nх� –принадлежит произвольные числа из�этого интервала, а множество интервалу, – подграфиком Тогда: � � � � � � � � �� . единице. Тогда: �� где � � � � � � α1, α2, …, αn – соответственно. произвольные �положительные числа, сумма которых равна 3. Неравенство Коши-Буняковского 3. Неравенство Коши-Буняковского � � � � � � � � � � � �� . единице. Тогда:На�� первый � � � неравенство � Йенсена): � � � непроизводит Теорема (неравенство Пусть f(x) –производит функция, выпуклая на первый взгляд, Йенсена особого На взгляд, неравенство Йенсена не особого впечатления: 3. Неравенство Коши-Буняковского некотором интервале, x1, xвыглядит , …,силу x n –формулировка. произвольные числа из этогоубедиться, интервала, а это слишком обще выглядит Однако Йенсена дальше можно что впечатления: слишком обще Однако дальше 2формулировка. Продемонстрировать неравенства можно наможно конкретном На убедиться, первый взгляд, неравенство Йенсена не производит особого α1, впечатление α2, что …, это αn А –обманчиво. произвольные положительные числа, сумма которых равна впечатление примере. именно, обманчиво. можно доказать знаменитое неравенство Кошивпечатления: слишком обще �� выглядит формулировка. Однако можно Продемонстрировать неравенства Йенсена можно на конкретном 2силу 2� �� 2 на Продемонстрировать Йенсена можно примере. Продемонстрировать силу можно Продемонстрировать конкретном ��...� � �неравенства �2неравенства � �дальше � �на .конкретном единице. Тогда: � � �� Йенсена � Йенсена � � можно � �� конкретном (обманчиво. a12силу неравенства aсилу n )(b1  ...  bn )  (a1b1  ...  an bn ) , убедиться, что это впечатление Буняковского примере. А именно, можно доказать знаменитое неравенство КошиААименно, можно доказать знаменитое неравенство Коши-Буняковского примере. АНеравенство именно, можно доказать знаменитое неравенство Кошипримере. можно доказать знаменитое неравенство Коши3.именно, Коши-Буняковского 2 , b 2 222, …, 222, …, 1b...  ...  ...  ... b ) 2 ,производитчисла. (... aa121(, aa... a2 2a)(nab, 2b)( b 2)bnb–)(произвольные a1b1(aЙенсена a2  b a) 2положительные На взгляд, неравенство не особого (a12 где первый a1b... Буняковского n1 )(b1 n ...1n bn1 )  n(a1 n1  ... n1bn ) ,n n n , n Буняковского Буняковского Следствие из неравенства Коши-Буняковского. впечатления: слишком обще выглядит формулировка. Однако дальше где a , a , …, a , b , b , …, b – произвольные положительные числа. a, любого ,1 nb…, …, положительные числа. можно 2, …, n, b12b n– произвольные a, 1…, , Для aa21a1, n…, bn –bnпроизвольные положительные числа. где aгде , nb,2ba, 1n…, –2,2 произвольные положительные числа. 1, a2где 2b1a натурального n справедливо неравенство убедиться, что это впечатление обманчиво. Коши-Буняковского. Следствие из неравенства Коши-Буняковского. � Коши-Буняковского. Следствие из Следствие из � неравенства Коши-Буняковского. �� 2�� , где a≥0, b≥0. ��неравенства любого натурального nnсправедливо неравенство Для любого натурального справедливо неравенство ДляДля любого натурального n справедливо неравенство Для любого натурального n справедливо неравенство Примечание. Если n-нечетное, то данное неравенство можно переписать в � �� , � � � �� 2 � � где a≥0, b≥0. � �� , где b≥0 . �� , � �� , �� 2 � � где a≥0, b≥0. � �� 2 � � где a≥0, b≥0. �� более общем виде �� 2 �� . Примечание. Если n-нечетное, то данное неравенство можно переписать в Примечание. Если n-нечетное, то данное неравенство можно переписать в в более Примечание. Если n-нечетное, то данное можно переписать в Примечание. Если nКараматы -нечетное, тонеравенство данное неравенство можно переписать 4. Неравенство � �� 2��два ��..� �. более общем виде �� общем виде �� . � �� 2� � �упорядоченных общем виде �� 2 �� болееболее общем виде �� Определение. Пусть даны набора из n действительных 4. Неравенство Караматы 4. Неравенство Караматы 4. Неравенство Караматы 4. Неравенство Караматы Определение. два nn действительных действительных Определение. даны дваупорядоченных набора из Определение. даны два упорядоченных из nиз действительных Определение. Пусть дваданы изнабора nкоторых действительных чисел a=(aПусть , даны aПусть ,Пусть …, aупорядоченных ), b=(b ,упорядоченных b ,…,набора b n ),набора для a i ≥a i+1 , b i ≥b i+1 чисел при a=(a1, a2, …, 1an), 2b=(b1, bn2,…, bn),1для2 которых ai≥ai+1, bi≥bi+1 при i=1,2,…,n-1. Будем i=1,2,…,n-1. Будем говорить, что набор a мажорирует набор b, и писать говорить, набор мажорирует , идля писать a>ba, iесли чисел a=(a …, ), b=(b ,,…, b набор ,…, которых ≥a , при bi+1 12 , aa 2 , b=(b nb), i+1 i ≥bпри i+1 при a=(a aчто …, a n ),ab=(b b n ), bкоторых для которых , i+1 b i ≥b чиселчисел a=(a ,1 ,…, a i ≥a , bai+1 1 , b 12b 1 , a 2если n ), 1n, b 2 ,…, n ),2 для i+1≥a ii≥b a›b, i=1,2,…,n-1. Будем говорить, a мажорирует набор b, и писать i=1,2,…,n-1. Будем говорить, что что набор a мажорирует набор b, и писать i=1,2,…,n-1. Будем говорить, что набор a набор мажорирует набор b, и писать �� , a›b, если � a›b, если a›b, если � � � � �� , � �� ,��,�� … �, � � � � � � � � �� , � � � � � � �� , � � � � �� , � � �� , �� …� �…�� … � �� . � �� ,�� , �� ,�� функции �� . y=f(x) ,� определенной на некотором проТеорема. ��выпуклой ��.� ��. y=f(x), ��любой � �� любой �выпуклой � �� Для �� Теорема. Для функции определенной на межутке I , и любых двух наборов чисел a=(a , a , …, a ), b=(b , b ,…, bn) из 1 2 n 1 1 , 2a 2 , …, некотором промежутке I, и любых двух наборов чисел a=(a a n ),этого b=(bпро1, Теорема. Для любой выпуклой y=f(x), определенной на межутка, удовлетворяющих условию a >bфункции , справедливо неравенство f(a )+f(a )+… Теорема. Для любой выпуклой функции y=f(x), определенной на Теорема. Для любой выпуклой функции y=f(x), определенной на 1 2 b 2 ,…, b n ) из этого промежутка, удовлетворяющих условию a›b, )≥f(bпромежутке )+f(b .любых +f(a некотором иn)двух двух наборов чисел a),2 , b=(b …, ), b=(b 1 , некотором I, и I,любых двух наборов , a 21,a, 2…, a n ), ab=(b некотором промежутке I, 2неравенство и)+…+f(b любых наборов чиселчисел a=(a , a 2a=(a , 1…, n промежутке 1 1a=(a n)+…+f(b 1n, n ). 1 , справедливо f(a 1 )+f(a 2 )+…+f(a n )≥f(b 1 )+f(b Это неравенство и называется неравенством Караматы. b nэтого ) из этого промежутка, удовлетворяющих условию bиз из этого удовлетворяющих условию bbn2),…, промежутка, удовлетворяющих условию a›b, a›b,a›b, b 2 ,…,b 2 ,…, n ) неравенство Это и промежутка, называется неравенством Караматы. Отметим, что f(a неравенство Караматы является обобщением неравенства Йенсправедливо неравенство f(a )+f(a )+…+f(a )≥f(b )+f(b )+…+f(b 1 2 n 1 2 n ). справедливо неравенство f(a )+f(a )+…+f(a )≥f(b )+f(b )+…+f(b ). справедливо неравенство )+f(a )+…+f(a )≥f(b )+f(b )+…+f(b ). 1 2 2Караматы n 1 является 1 2 2обобщением n 1 n n Отметим, что неравенство неравенства сена. неравенство и называется неравенством Караматы. ЭтоЭто неравенство и называется неравенством Караматы. Это неравенство и называется неравенством Караматы. Йенсена. 5. Неравенство Бернулли Отметим, что неравенство Караматы является обобщением неравенства Отметим, что неравенство Караматы является обобщением неравенства Отметим, чтоДля неравенство Караматы является обобщением неравенства 5.произвольного Неравенство Бернулли натурального n и вещественного x > -1 имеет место неравенЙенсена. Йенсена. Йенсена. натурального n и вещественного x > -1 имеет место ство (1Для + x)nпроизвольного ≥ 1 + nx. 5. Неравенство Бернулли 5.неравенство Неравенство 5. Неравенство Бернулли ≥ 1 + nx. теоретическая часть данной работы. Что позволяет (1 +Бернулли x)nраскрыта Таким образом, Для произвольного натурального и неравенств вещественного xрешении > имеет -1место имеет местоЧто произвольного натурального nтеоретическая и nвещественного x >имеет -1 место Для Для произвольного натурального n и вещественного x >часть -1 рассмотреть применение замечательных при нестандартных Таким образом, раскрыта данной работы. n x)n ≥ 1 + nx. n (1 + неравенство 1 + nx. применение замечательных неравенств при решении неравенство (1 +≥ x) 1рассмотреть +≥nx. неравенство (1 + x) задач. позволяет Таким образом, раскрыта теоретическая часть данной работы. Таким образом, раскрыта теоретическая данной работы. Таким образом, раскрыта теоретическая частьчасть данной работы. Что ЧтоЧто нестандартных задач. позволяет рассмотреть применение замечательных неравенств при решении позволяет рассмотреть применение замечательных неравенств решении позволяет рассмотреть применение замечательных неравенств при при решении ПРИМЕНЕНИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ нестандартных задач. нестандартных задач. нестандартных задач. Рассмотрим задачи, которые решим с помощью замечательных ПРИМЕНЕНИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ 77НЕРАВЕНСТВ ПРИМЕНЕНИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ неравенств. Рассмотрим задачи, которые решим с помощью замечательных Рассмотрим задачи,которые которые решим с помощью замечательных Рассмотрим решим с помощью замечательных 1. задачи, Неравенство Коши неравенств. неравенств. Задача 1. Доказать неравенство: 1·2·3·…·2004<1002,52004. неравенств. 1. Неравенство Коши Таким образом, раскрыта теоретическая часть данной работы. Что позволяет рассмотреть применение замечательных неравенств при решении нестандартных задач. ПРИМЕНЕНИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ Рассмотрим задачи, которые решим с помощью замечательных ПРИМЕНЕНИЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ неравенств. задачи, которые решим с помощью замечательных неравенств. Рассмотрим 1. Неравенство 1. Неравенство Коши Коши 2004 2004 Задача 1. Доказать неравенство: 1·2·3·…·2004<1002,5 . Задача 1. Доказать неравенство: 1∙2∙3∙…∙2004<1002,5 . Доказательство. Доказательство. Данное неравенство равносильно неравенству: Данное неравенство равносильно неравенству: �� √1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 2004 � 1002,�. Воспользуемся неравенством Воспользуемся неравенством Коши. Коши. Тогда Тогда � ��∙��∙ �� ∙��∙ � �� ∙��∙ ��∙��∙ �� 2005 � 100�5. ��∙��∙ � �� ∙��∙ ��∙��∙ ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 2004 � � �� ∙��∙ �� ∙� √1 �� ∙��∙ �� ∙��∙ ��∙��∙ �� ∙��∙ �� ∙��∙ �� ∙��∙ ��∙��∙ � � �� ∙��∙ ��∙��∙ �� ∙∙ 2005 ∙∙∙22 22 ∙∙∙233 33∙∙∙∙∙∙3… … ∙32004 2004 2004 � � �� 2005 2005 � ��100�5. 100�5. 100�5. 2…… ∙∙… 3 ∙… … ∙∙ � 2004 � � �� 2005 � 100�5. 100�5. �� √1 √1 √1 �� ∙∙∙∙2005 2 ∙ ∙ 2004 �� √1 2 3 … 2004 � � � 2005 � 100�5. ∙ ∙ 2004 � ∙ 2005 � 100�5. √1 √1 ∙ ∙ ∙ 2004 � � ∙ 2005 100�5. ∙ ∙ ∙ � � � √1 �� 2005 √1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 2004 � � � ∙ �� 100�5. 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 2004 � � � ∙ 2005 100�5. √1 √1 ∙ ∙ 2 2 ∙ ∙ 3 3 ∙ ∙ … … ∙ ∙ 2004 2004 � � � � � � ∙ ∙ 2005 2005 � � 100�5. 100�5. ∙ ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 2004 � � � ∙ 2005 � 100�5. �� √1 √1 √1 �� Задача 2. Найти наименьшее значение выражения , где �� значение �� Задача Задача 2. 2. Найти Найти наименьшее наименьшее значение выражения выражения ,,,,где где где Задача 2. Найти Найти наименьшее значение выражения , где где �� Задача 2. наименьшее значение выражения ,где ��∙��∙ Задача 2. Найти наименьшее значение выражения где Задача 2. Найти наименьшее значение выражения , где �� значение Задача 2. Найти наименьшее значение выражения где Задача 2. Найти наименьшее выражения , Задача 2. Найти наименьшее значение выражения �� Задача 2. Найти наименьшее выражения , где Задача 2. Найти наименьшее значение выражения , где Задача Задача 2. 2. Найти Найти наименьшее наименьшее значение значение выражения выражения , , где где �значение Задача 2. Найти наименьшее значение выражения , где �� a, b, c – любые положительные числа. ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 2004 � � � ∙ 2005 � 100�5. �� √1 �� a, a,a,b, b, b,b,b, ––c–c–любые любые любые положительные положительные числа. b, c –– любые любые положительные числа. �� числа. � a, положительные числа. b, cлюбые положительные числа. a, c–c–ca, любые положительные числа. a, положительные числа. положительные числа. cc–b, –a, положительные числа. b, c––cлюбые –любые любые положительные числа. b, –�� любые положительные числа. a, a,a, b, b,b, ca, любые любые положительные положительные числа. числа. a, b, cca, любые положительные числа. Решение. �� Решение. Решение. Решение. Задача 2. НайтиРешение. наименьшее значение выражения , где Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. �� Согласно неравенству Коши Согласно неравенству Коши Согласно Согласно неравенству неравенству Коши Коши Согласно неравенству Коши Согласно неравенству Коши Согласно неравенству Коши Согласно неравенству Коши Согласно неравенству Коши Согласно неравенству Коши a, b, c – любые положительные Согласно неравенству Коши Согласно неравенству Коши Согласно Согласно неравенству неравенству Коши Коши Согласно неравенству Коши �a � числа. 1��b � 1��a � c��b �� c�2√a �� 2√a 1∙ ∙12√b ∙ac 2∙√∙2 ac ∙ 2√bc �� 1�abc , �a �a �a � � 1��b 1��b � � 1��a 1��a � � c��b c��b � � c� c� � 2√a ∙∙∙11 11∙∙∙∙∙1∙2√b 2√b 2√b ∙∙∙∙∙11 11∙∙∙∙∙1∙22 212 ∙2√bc 2√bc 2√bc � ��1�abc 1�abc 1�abc � 1��b � 1��a � c��b � c� 2√a 2√b ∙2ac 1ac ac ∙� 2√bc 1�abc √ √ √2√bc , ,,,,,,, , ,, ,, �a � 1��b � 1��a � c��b � c� � 2√a ∙ 1 2√b ∙ 1 ∙ 2 ac ∙ 2√bc � 1�abc �a Решение. �a � 1��b � 1��a � c��b � c� � 2√a 1 2√b 1 2 ac ∙ 2√bc � 1�abc √ � 1��b � 1��a � c��b � c� � 2√a ∙ 2√b ∙ ac ∙ 2√bc � 1�abc �a √ �a √ � 1��b � 1��a � c��b � c� � 2√a ∙ ∙ 2√b ∙ ∙ ac ∙ 1�abc � 1��b � 1��a � c��b � c� � 2√a ∙ ∙ √ �a ∙ �a √ � 1��b � 1��a � c��b � c� � 2√a ∙ 1 ∙ 2√b ∙ 1 ∙ 2 ac ∙ 2√bc � 1�abc � 1��b � 1��a � c��b c� � 2√a ∙ 1 ∙ 2√b ∙ 1 ∙ 2 ac ∙ 2√bc � 1�abc �a �a �a � � 1��b 1��b � � 1��a 1��a � � c��b c��b � � c� c� � 2√a 2√a ∙ ∙ 1 1 ∙ ∙ 2√b 2√b ∙ ∙ 1 1 ∙ ∙ 2 2 ac ac ∙ ∙ 2√bc 2√bc � � 1�abc 1�abc √ √дроби �следует, 1��b � 1��a � c��b � c� � 2√a ∙значение 1 значение ∙ 2√bискомой 1искомой ∙ 2искомой ∙ 2√bc � 1�abc , Это откуда следует, что наименьшее равно 16. √√√acдроби откуда откуда следует, что что наименьшее наименьшее значение значение искомой дроби равно равно 16. 16. Это Это откуда следует, что наименьшее дроби равно 16. Это откуда следует, что наименьшее значение искомой дроби равно 16. Это Согласно неравенству Коши откуда следует, что наименьшее значение искомой дроби равно 16. Это откуда следует, что наименьшее значение искомой дроби равно 16. Это откуда следует, наименьшее значение искомой дроби равно 16. Это значение откуда следует, что наименьшее значение искомой дроби равно 16. Это откуда следует, что наименьшее значение искомой дроби равно 16. Это откуда следует, что наименьшее значение искомой дроби равно 16. Это откуда следует, что наименьшее значение искомой дроби равно 16. Это откуда откуда следует, следует, что что наименьшее наименьшее значение значение искомой искомой дроби дроби равно равно 16. 16. Это Это откуда следует, что наименьшее значение искомой дроби равно 16. Это значение достигается при a=b=c. значение значение достигается достигается при при a=b=c. a=b=c. значение достигается при a=b=c. значение достигается a=b=c. достигается при .при значение достигается при a=b=c. значение достигается a=b=c. �a � 1��b � значение достигается при a=b=c. значение достигается при a=b=c. 1��a � c��b �достигается c� �a=b=c 2√a ∙a=b=c. 1 ∙при 2√b ∙ 1 ∙ 2√ac ∙ 2√bc � 1�abc , значение при a=b=c. значение достигается при a=b=c. значение значение достигается достигается при при a=b=c. a=b=c. значение достигается при Ответ: 16. Ответ: Ответ: 16. 16. Ответ: 16. Ответ: 16. Ответ: 16. � Ответ: 16. Ответ: 16. Ответ: 16.16. Ответ: 16. откуда следует, что Ответ: наименьшее значение искомой дроби равно 16. Это Ответ: Ответ: 16.Какое Ответ: Ответ: 16. 16. 16. � � � ? Задача 3. изиз чисел больше или√3000 √388 �� или√3000 � �� ?? или√3000 Задача Задача 3. 3.3.Какое Какое Какое из чисел чисел больше больше или√3000 Задача 3. Какое Какое чисел больше Задача из чисел больше или √388 √388 √388 ��или√3000 �или√3000 Задача 3. из чисел больше значение достигается Задача при a=b=c. √388 Задача 3. Какое из чисел больше или√3000 Задача 3. Какое из чисел больше √388 √388 Задача Какое из чисел больше или√3000 ??? ? ?? ?? Задача 3. из чисел больше или√3000 √388 √388 Задача 3. Какое из чисел больше или√3000 Задача 3. Какое из чисел больше или√3000 √388 √388 ? ? Задача Задача 3. 3. Какое Какое из из чисел чисел больше больше или√3000 или√3000 ? 3. Какое из чисел больше или√3000 √388 √388 √388 Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Ответ: 16. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. � �� 18.18. �� √388 �� Задача 3. Какое из√388 чисел больше или√3000 ? �� √388 �� 18. 18. 18. � � � � �� √388 √388 �� 18. � √388 � � � � � 18. � � � � � � 18. � √388 � � � √388 � � � � � � 18. � � � � � � � √388 � � � � � � � � � � � � � � √388 � � � � � � 18. � � � � � 18. � √388 � � √388 � � � � � � � � � � 18. 18. � � �� √388 √388� � �� √388 �� Решение. � ��18. �� ∙� 20 �� =15. �� √10 � � √3000 �� 15∙∙∙15 �� √10 �� √3000 �� 20 � =15. ∙�� 15 ∙�� 20 � =15. ��√3000 �� ∙20 � ��∙∙15 √10 √10 �� =15. ��√3000 � �� 15 ∙�� 20 � =15. √10 √3000 � ∙15 15 ∙20 20 � =15. √10 � ∙ 15 ∙ 20 � =15. √3000 √10 √3000 � ∙ 15 ∙ 20 � =15. � ∙ 15 ∙ 20 � =15. √10 √3000 � � � √10 √3000 � 15 ∙ 20 � =15. � ∙ 15 ∙ 20 � =15. √10 √10 √3000 � √3000 � � ∙ ∙ 15 ∙ ∙ 20 � � =15. =15. � ∙ 15 ∙ 20 � =15. √10 √10 � √3000 √3000 √10 √3000 � � � � � � � � � � 18. √388 �� 15 � 18 Значит, √388. �� √3000 � �Значит, � � ��√3000 � �� √3000 � �� 15 15 � 18 18 � Значит, ��18 15 ��√388. 18 Значит, √388. √3000 √388. �� 15 � 18 � Значит, √388. √3000 Значит, � 15 � 15 18 Значит, � 15 � 18 � Значит, √388. √3000 � � √388. √3000 15 18 Значит, � � � Значит, √388. √3000 √388. √3000 15 � 18 � Значит, � 15 � 18 � Значит, �� √388. √3000 � √388. √3000 � � � 15 15 � 18 18 � Значит, Значит, � 15 � 18 � Значит, √388. √388. √3000 √3000 √388. √3000 �� Ответ: � √3000 √388. � �� √3000 � � =15. � √3000 � √10 ∙ 15 ∙ 20 Ответ: � Ответ: � Ответ: � � � √3000 √388. √388. √3000 √388. � � �� Ответ: � √3000 √388. Ответ: �√388. � Ответ: � √3000 √388. √3000 √388. Ответ: � Ответ: � √3000 √388. √3000 √388. Ответ: �� Ответ: Ответ: √3000 √388. √3000 √388. Ответ: Ответ: � � Ответ: � √3000 √3000 √388. √388. √3000 � �0� � 0� 0� x �|xy| �� |xy| � �� |xy| |xy| � � �� 0�0� x x � � �0�� x|xy| � � �|xy| � Задача 4. Решите систему уравнений � |xy| � � � � � x 18 � Значит, √3000 � 15 � Задача � � √388. |xy| � � � 0� x � � � � x |xy| � � x � � � � 0� x |xy| |xy| � �. . � � � 0� x � � � � 0�.0� x |xy| |xy| |xy| � � � � � � � � 0� 0� x x Задача 4. 4.4.Решите Решите Решите систему систему уравнений уравнений ��x� ��3� ...y� Задача 4. Решите Решите систему уравнений � �� 0� � � y �2x Задача 4. систему уравнений ��yy3� �� .� ��2x �. Задача 4. Решите систему уравнений Задача 4. Решите систему уравнений � Задача Решите систему уравнений . Задача 4. систему уравнений � . � � Задача 4. Решите систему уравнений � Задача 4. Решите систему уравнений � Задача 4. Решите систему уравнений � � Задача Задача 4. 4. Решите Решите систему систему уравнений уравнений � � . Задача 4. Решите систему уравнений � . 3� 3� � � � � �2x � � y� y� � y � �2x � � � � �� y� ��y� ��2x �y� � �. .�� Ответ: √3000 � √388. �� 3� � y�2x � �2x � �� 3� � � �2x � y� 3� y� � �2x � 3� � y�� y� 3� � y�y� � y� 3� y � �2x � y� 3� y � �2x � y� 3� 3� � � y y � � �2x �2x � � y� y� 3� � y �2x � y� Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. � |xy| x �∙ |y| 2 � � 0� 2 Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. |xy| |x| =x22222222|x| , 222.из то из первого уравнения системы Так как � и22222=2=и2|x| x� 2,= Задача 4. Решите систему уравнений � 2 |x| |xy| |xy| |x| |x| |y| |y| |x| |xy| |x| |y| 2 , то то из первого первого уравнения уравнения системы системы Так Так как как � � ∙ ∙ и и x x то из первого уравнения системы Так как � ∙ 2 � �,,из 2 2 2 2 то 2 2 2 2 2 2 |x| |xy| = то из первого уравнения системы Так как ∙иxyx|y| и= x= |xy| |x| |y| |x| |xy| |y| =|x| то первого уравнения системы Так как �|x| ∙� и|y| ,y� из первого уравнения системы Так как � ∙|x| x|x| |xy| |x| |y| |x| |xy| |x| |y| ,то то из первого уравнения системы Так как � ∙|x| 3� � �2x ,,� то из первого уравнения системы Так как � ∙|y| |xy| |x| |y| |x| |xy| = ,,из то из первого уравнения системы Так как � ∙ии� иx=и= x|x| то из первого уравнения системы Так как � ∙и x=|x| |x| |xy| |xy| |x| |x| |y| |xy| |y| ,,|x| то из из первого первого уравнения уравнения системы системы Так Так как как � � ∙∙|x| x2иxx== , то первого уравнения системы и Так как � ∙ получаем Так то из первого уравнения системы получаем получаем получаем получаем получаем получаем получаем получаем Решение. получаем получаем |�|� �� получаем получаем получаем получаем �� |�| |�| |�|�� 2 .�� Отсюда, используя неравенство Коши �� |y| � �� |�| �� x� � �� 2|x|� ��|�| |�| |�| �� |�| √∙∙aaa√��a,∙,�a∙�a, � , �� |�| |�| �� ..�� |�| �� |x| |x| |y| |y| |x| |y| �� |�| |�| � � �� Отсюда, Отсюда, используя используя неравенство неравенство Коши Коши aa��a��a�� . Отсюда, используя неравенство Коши � � �� |�| |�| |x| |y| �� |�| |�| |�| �� = , то из первого уравнения системы Так как |xy| � ∙ и �� √ √ � � � � � |x| |y| � � . Отсюда, используя неравенство Коши � |x| |y| |x| |y| � . Отсюда, используя неравенство Коши � ∙a�a∙a√ � � � . Отсюда, используя неравенство Коши � ,a , |x| |y| Отсюда, используя неравенство Коши |x| |y| � � . Отсюда, используя неравенство Коши � �� |�| |�| |�| |�| |�| |�| � � . Отсюда, используя неравенство Коши � a � � � � √ |x| |y| |x| |y| √ � � � . Отсюда, используя неравенство Коши � � � . Отсюда, используя неравенство Коши � a,�a��∙,��,a�,a∙,��∙�,aa∙где � |x| |x| |y| |y| √ |x| |y| √ � � � . . Отсюда, Отсюда, используя используя неравенство неравенство Коши Коши � � a a ∙ ∙ � � |�| |�| � � . Отсюда, используя неравенство Коши � a ∙ a�a∙a√ � � � |�| |�| |�| |�| ��, ,�� |�| |�| √√√�� √ |�||�| �� |�||�| |�| |�| |�| |�| |�| |�| |�|0� |�| |y| |�| |�| |�| |�| |�| |�| �� где a � a � 0, получаем неравенство � �. � получаем � � |y| |y| |y| где где aaa�a��где � ��0� 0� aa� � ��0, 0, получаем получаем неравенство неравенство � ��. �. �. где a��0� 0� a0, �получаем 0, получаем получаем неравенство � �. �. � �� получаем |y| a0� 0� a0, � неравенство |y| |y| где � 0� � 0, получаем неравенство � �. �� 0, неравенство � �.� |y| |y| где получаем неравенство �. где � � неравенство � � � |y| �� a0� � a0, � 0, получаем неравенство �� . где a0� 0� a0, � 0,0, получаем неравенство �.�� |�|� �� |y| |y| |y| �|y| где где aa�aгде � 0� a�a�a� � 0, получаем неравенство � � �. �. �a �a где a�где aa� � неравенство � �. получаем неравенство �� a |y| � 0 ,0т.е. � .�Ранее Из второго уравнения системы следует, что y 00 � �� 3� ��0� ��получаем � � � �0� �уравнения �� |y| |x| � |y| � � ,�a,��,0,�т.е. т.е. т.е. � �� .� ...�.Ранее Ранее Ранее Из Из второго второго уравнения системы системы следует, следует, что что 3� 3� � � y y � ,|y| т.е. � . Ранее Ранее Из второго уравнения системы следует, что 3� � � � . Отсюда, используя неравенство Коши � a� √ � ��0 |y| �� 0 ,|y| т.е. � � .Ранее Из второго уравнения системы следует, что 3� y,∙y,0� � |y| � 0 т.е. � �|y| Ранее Из второго уравнения системы следует, что 3� � � ,,0т.е. т.е. � .�Ранее Ранее Из второго уравнения системы следует, что 3� y� |y| |y| � Из второго уравнения системы следует, что 3� � y�� , � Из второго уравнения системы следует, что 3� � yи�y� |�| |�| |y| � |y| Из второго уравнения системы следует, 0 , т.е. � � . Из второго уравнения системы следует, что 3� y � , т.е. � . Ранее Из второго уравнения системы следует, что 3� y |y| |y| |y| � � 0 0 т.е. т.е. � � � � . . Ранее Ранее Из Из второго второго уравнения уравнения системы системы следует, следует, что что 3� 3� � � y y 0 , т.е. � � . Ранее Из второго уравнения системы следует, что 3� � y |y| |y| =-6, y =6. Если найденные было установлено, что � �. Поэтому � � y 1 2 |y| |y| |y| |y| |y| |y| =-6, =6. Если найденные найденные было было установлено, установлено, что что � �� . �. Поэтому Поэтому � �� y1y11� yЕсли =6. Если найденные было установлено, что � �. Поэтому Поэтому � � и=-6, 2=-6, 22=6. |y| =-6, yЕсли Если найденные было установлено, что � �. и yyyто |y| |y| 1=-6, |y| |y| =-6, =6. найденные было установлено, что � �. Поэтому � �и� ииy�yиy� =6. найденные было установлено, что � �. � и |y| |y| |y| 22=6. 2Если где a� � 0� a� �было 0, получаем неравенство � �. |y| |y| =6. найденные было установлено, что �. Поэтому было установлено, что и1� =6 Если зна=-6, yyy112y1y=6. Если найденные было установлено, что � �. Поэтому � ии� yy1y� 22=6. 1yy 2=-3 |y| |y| |y| 1и =-6, Если найденные было установлено, что � �. Поэтому =-6, yЕсли =6. Если найденные было установлено, что � �.Поэтому Поэтому и11y=-6, 2y |y| |y| |y| |y| 11=-6, 2y |y| |y| Если найденные найденные было было установлено, установлено, что что � � �. �. Поэтому Поэтому � � ��|y| и� и� =-6, установлено, что � �. Поэтому � �|y| 2=6. 1y 2.Если значения y подставить во второе уравнение системы, иЕсли xнайденные 1y 2=6. 1=-6, 2x 22=6. 1yи 2=3. значения значения y y подставить подставить во во второе второе уравнение уравнение системы, системы, то то x x =-3 =-3 и x x =3. =3. значения y подставить во второе уравнение системы, то x =-3 и x =3. � 1 1 2 2 1 2 x значения y подставить во второе уравнение системы, то =-3 и x =3. 1=-3 2и значения y подставить во второе уравнение системы, то x и x =3. значения y подставить во второе уравнение системы, то x =-3 и x =3. чения y подставить во второе уравнение системы, то x =-3 и x =3 . |y| 1 2 1 2 значения y подставить во второе уравнение системы, то x =-3 и x =3. � 0 , т.е. � � . Ранее Из второго уравнения системы следует, что 3� � y значения y подставить во второе уравнение системы, то x =-3 и x =3. 1 2 1 2 1 2 значения y подставить во второе уравнение системы, то x =-3 x =3. значения y подставить во второе уравнение системы, то x =-3 и x =3. 1 2 1 2 значения значенияyyyОтвет: подставить подставить во вовторое второе второе уравнение уравнениесистемы, системы, системы,то то тоxxx111=-3 и1и1xx2x22=3. значения подставить во (-3; -6), (3; 6) 6)уравнение 1=-3 2=3. 1=-3и 2=3. 22 Ответ: Ответ: (-3; (-3; -6), -6), (3; (3; 6) 6) Ответ: (-3; -6), (3; Ответ: (-3; -6), (3; Ответ: (-3; -6), (3; 6) Ответ: (-3; -6), (3; 6) Ответ: (-3; -6), (3; 6) |y| |y| Ответ: (-3; -6), (3; 6) Ответ: (-3; -6), (3; 6) найденные было установлено, что � �. Поэтому � � и y1��=-6, ��y2�=6. ��Если Ответ: (-3; -6), (3; 6) Ответ: (-3; -6), (3; 6)6) Ответ: Ответ: (-3; (-3; -6), -6), (3; (3; 6) 6) Ответ: (-3; -6), (3; 6) �� 8. �� Задача 5. 5. Если x>1 и y>1, �� то � �� 8. Задача Задача 5. 5.5.Если Если Если x>1 x>1 и ииx>1 y>1, y>1, то то � � � 8. Задача Если x>1 ито y>1, то � 8. 8. ��1�=-3 �� значения y подставить во второе уравнение системы, тото x� и x� ��то �� 2=3. Задача 5. Если ито y>1, � x>1 и y>1 ,то Задача 5. Если Задача иy>1, y>1, то � � 8. Задача 5. Если x>1 иy>1, � 8.� Если x>1 Задача Если x>1 то � 8. Задача 5. x>1 y>1, � 8. �� Задача 5.5. Если иy>1, y>1, то � �� 8. Задача Если x>1 ито y>1, то � 8. Задача Задача 5. 5. Если Если x>1 x>1 ииx>1 y>1, y>1, � � � � 8. 8. и то � Задача 5. Если x>1 и � 8. �� Ответ: (-3; -6), (3;Доказательство. 6) Доказательство. Доказательство. Доказательство. Доказательство. Доказательство. Доказательство. � Доказательство. Доказательство. Доказательство. Доказательство. Доказательство. �� Доказательство. Доказательство. Доказательство. Коши Пусть a=x-1 и b=y-1, тогда a>0, b>0, с сучетом неравенства Пусть Пусть a=x-1 a=x-1 b=y-1, b=y-1, тогда тогда a>0, a>0, b>0, b>0, ииb>0, иисиссссинеравенства учетом учетом неравенства неравенства Коши Коши Пусть a=x-1 b=y-1, тогда a>0, учетом неравенства Коши Задача 5. Если x>1 иПусть y>1, тоa=x-1 �b=y-1, 8. Пусть a=x-1 иии ,иитогда a>0, b>0 ,a>0, иb>0, сb>0, учетом Коши получаем Пусть a=x-1 тогда a>0, ииучетом сучетом учетом неравенства Коши Пусть a=x-1 b=y-1, тогда a>0, b>0, неравенства Коши и тогда a>0, b>0, сучетом неравенства Коши Коши Пусть a=x-1 иb=y-1, b=y-1, тогда a>0, неравенства Коши Пусть a=x-1 ииии� b=y-1, тогда a>0, b>0, неравенства �� Пусть a=x-1 и b=y-1, тогда b>0, иучетом ссучетом неравенства Коши Коши Пусть a=x-1 иb=y-1, b=y-1, тогда a>0, b>0, иучетом учетом неравенства Коши Коши Пусть Пусть a=x-1 a=x-1 иb=y-1 b=y-1, тогда тогда a>0, a>0, b>0, иииb>0, сс учетом учетом неравенства неравенства Пусть a=x-1 b=y-1, тогда a>0, b>0, и с неравенства Коши получаем получаем получаем получаем получаем получаем получаем получаем получаем Доказательство. получаем получаем получаем получаем � � получаем � �� ∙√�∙�∙√� �√�� ∙ �∙ �∙�∙√� �√�� √�� ∙√ �∙�∙√� �√�� b>0, �� √ √ √�∙�∙√� �� a>0, � �� 2 2�� ∙2�� 2�∙ ∙�∙�∙√� ��√�� ∙ �∙�∙√� �√�� b=y-1, �� и �� √�∙�∙√� � �� ∙ �∙�∙√� �√�� ∙ �√�� Коши Пусть a=x-1 тогда и с учетом неравенства � � � �� √ � � �� ∙ �∙�∙√� �√�� ∙ � � √ � � � �� √�∙∙�∙�∙√� � �� ∙�∙√� �√�� ∙ �√�� √ �� √ �� ∙ �∙�∙√� �√�� 2 2 � � 2 2 ∙ ∙ � � 2 2 ∙ ∙ � � � � � � � 2 � ∙ � 2 � � � �� ∙�∙√� �√�� √ �� √ � � �� ∙ �∙ �∙�∙√� �∙�∙√� �√�� √�� ∙ �∙�∙√� �√�� ∙ �∙�∙√� �√�� ∙� √�� √�� √�� √ √ √ √ � � � � � � 2 � 2 ∙ � 2 ∙ � � � � � � � 2 � 2 ∙ � 2 ∙ � � � � � � 2 � 2 ∙ � 2 ∙ � � � � � � � � 2 � 2 ∙ � 2 ∙ � � � � � 2 � 2 ∙ � 2 ∙ � � �� ∙� �∙� �� ∙� � √�� √�� √�� √�� √�� √�� √�� √�� √�� 2 � 2 ∙ � 2 ∙ � � � � � � � 2 � 2 ∙ � 2 ∙ � � � � � � � � � � 2 2 � � 2 2 ∙ ∙ � � 2 2 ∙ ∙ � � � � � � � � 2 ∙ √�� √�� ∙� √�� √�� √�� 2�� ∙�2 ∙ �� ∙� √�� √�� √�� √�� √�� √�� получаем �� ∙� √�� √�� √�� ∙� √�� √�� √�� ∙� √�� √�� √�� ∙� √�� √�� √�� ∙� �� ∙� √�� √�� √�� √�� √�� ∙� �∙� �� ∙� √�� √�� √�� √�� √�� ∙� √�� √�� √�� √�� √�� √�� 8. � ��8. 8. 8. ��8. 8. �� 8. 8.� 8. �� ∙√�∙�∙√� �√�� 8. 8. Следовательно, � �� 8. 8.� 8. неравенство доказано. Следовательно, неравенство доказано. � � � � � 2 � неравенство 2∙ �2∙ � � Следовательно, Следовательно, неравенство неравенство доказано. доказано. Следовательно, неравенство доказано. Следовательно, доказано. Следовательно, неравенство доказано. Следовательно, неравенство доказано. Следовательно, неравенство доказано. �� ∙� Следовательно, неравенство доказано. √�� √�� √�� Следовательно, неравенство доказано. Следовательно, неравенство доказано. Следовательно, Следовательно, неравенство неравенство доказано. доказано. Следовательно, неравенство доказано. 2. Неравенство Йенсена 2. 2.2.Неравенство Неравенство Неравенство Йенсена Йенсена 2. Неравенство Неравенство Йенсена 2. Йенсена 2. Неравенство Йенсена 2. Неравенство Йенсена Неравенство Йенсена � 8. 2. Йенсена 2.2. Неравенство Йенсена Неравенство Йенсена 2. 2. Неравенство Неравенство Йенсена Йенсена 2. Неравенство Йенсена 2. Неравенство Йенсена � � � � �� 5�√2� 1. 1. Задача 1. Решите уравнение � 4� �1� � 1��√2� �� √2� √�4�1 √ � 4 Следовательно, неравенство доказано. �� 4 ��1.� ��1� �� Задача Задача 1. 1. Решите Решите уравнение уравнение 5�√2� 5�√2� � � 4 4 � � � 1� � � Задача 1. Решите уравнение 5�√2� � 4 � � � � ��√ � √2� √2� �� √.1.�.�.1� √ √ √ � � �4 ��√ � � �4 � � 4√ Задача 1. Решите уравнение 5�√2� � 4 � � 1� � � Задача 1. Решите уравнение � √2� √ √ � � � 1 Задача 5�√2� � 4 � � 1� � � 4 � � . Задача 1. Решите уравнение 5�√2� � 4 � � 1� √2� � √ √ � Решите уравнение √2� √ √ � 4 � � Задача 1. Решите уравнение 5�√2� � 4 � � 1� � � 4 � � 1� � � 4 � � 1 Задача 1. Решите уравнение 5�√2� √2� √ √ � √2� � √ √ � 4 � � 1 Задача 1. Решите уравнение 5�√2� � 4 � � 1� � � � � 4 � � 1..1. Задача 1. Решите уравнение 5�√2� � 4 � 1� � � √2� √ √ √2� √ � � 4 4 � � � � 1 1 . . Задача Задача 1. 1. Решите Решите уравнение уравнение 5�√2� 5�√2� � � 4 4 � � � � 1� 1� � � � 4 � � 1 . Задача 1. Решите уравнение 5�√2� � 4 � � 1� √2� √2� √ √ √ √ √2� √ √ 2. Неравенство Йенсена Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. � Решение. � Решение. Решение. Решение. �5�√2� � 4уравнения Задача 1. Решите уравнение √2� � 4промежуток √� � 1. √� � 1� �является Областью определения [0;+∞). Разделив обе части уравнения, на -5, перепишем его в виде: Решение. 78 Областью определения уравнения является промежуток [0;+ ). Областью определения уравнения является промежуток [0;+ [0;+ ). Областью определения уравнения является промежуток [0;+ ). Областью определения уравнения является промежуток Областью определения уравнения является промежуток [0;+ ). Областью определения уравнения является промежуток [0;+ ). Областью определения уравнения является промежуток [0;+ ). Областью определения уравнения является промежуток [0;+ Областью определения уравнения является промежуток [0;+ ). Областью определения уравнения является промежуток [0;+ ). ).). Областью определения уравнения является промежуток [0;+ ). Разделив обе части уравнения, на -5, перепишем его вв виде: Разделив обе части уравнения, на -5, перепишем его виде: Разделив обе части уравнения, на -5, перепишем его в виде: Разделив обе части на перепишем его вв виде: Разделив обечасти части на-5,-5, перепишем егов вего виде: Разделив обе части уравнения, науравнения, -5,уравнения, перепишем его в-5, виде: Разделив обе уравнения, перепишем виде: Разделив обе части уравнения, на -5, перепишем его виде: Разделив обе части уравнения, науравнения, -5,на перепишем в его виде: Разделив обе части на -5, перепишем в виде: Разделив обе части уравнения, на -5, перепишем его вего виде: 11 � 44 � 11 � � 4�4��√� 11 �√2� 11� 44 �11 � 4√� 1� ��4� 1 �1 � 4 1 1 1 � 1�11��4√2� 4 1� 1� 1� �� 4�� 1�11 � � �� √2� � 4√� � 1� ��√2� � √2� √� � �1� �√2� � 11√� �√2� � 4√� � � � √2� √� � 5 5 5 � �√2� 4√� 1� � � � �√2� � 4√� � 1� � � � � √2� √� � 1 �√2� � 4√� � 1� � � �� 1 �√2� � 4√� � 1� � � � √2� √� √� � 11 �√2� � 4√� � 1� � � �� √2� √� � � � � 1 �√2� � 4√� � 1� � � � �√2� � 4√� 1� � � � � √2� √� √2� √� 5 5 5 � 1� � � � �5� �√2� �54√� � 1 √2� √� 5 5 5 5 5 55 5 5 5 5 55 5 5 5 555 5 5 55 � 1 5 5 Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена для Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена для для Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена для Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена для Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена для Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена для Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена для Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена длядля Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена для Левую часть оценим сверху, используя неравенство Йенсена для функции функции f�x� � � x и коэффициентов. √ функции f�x� � � x и коэффициентов. √ функции f�x� � � x и коэффициентов. √ функции f�x� � � x и коэффициентов. функции f�x� � � x и коэффициентов. функции f�x� �f�x� �√� x� иx�коэффициентов. функции f�x� x и� √ функции �коэффициентов. иреализует коэффициентов. √ √ функции xf�x� и� коэффициентов. функции � x√ иxкоэффициентов. иf�x� коэффициентов. √� функции f�x� � и√� коэффициентов. Таким образом, уравнение равенство вв произведенной оценке. Оно √ Таким образом, уравнение реализует равенство произведенной оценке. Оно Таким образом, уравнение реализует равенство произведенной оценке. Оно Таким образом, уравнение реализует ввоценке. произведенной оценке. Оно Таким образом, уравнение реализует равенство произведенной оценке. Оно Таким образом, уравнение реализует равенство вравенство произведенной Оно Таким образом, уравнение реализует вввпроизведенной оценке. Оно Таким образом, уравнение реализует равенство произведенной оценке. Оно Таким образом, уравнение реализует равенство в оценке. произведенной оценке. Оно доТаким образом, уравнение реализует равенство в равенство произведенной оценке. Оно Таким образом, уравнение реализует равенство произведенной оценке. Оно Таким образом, уравнение реализует равенство в √2x произведенной Оно достигается тогда и только тогда, когда � x � 1,т.е. при х=1. √ достигается тогда и только тогда, когда � x � 1,т.е. при х=1. √2x √ � x � 1,т.е. при х=1. достигается тогда и только тогда, когда стигается тогда тогда, , т.е. при х=1 . √2x √ достигается тогда и только тогда, когда � x � 1,т.е. при х=1. достигается тогда и только тогда, когда � x � 1,т.е. при х=1. √2x √2x достигается тогда и только тогда, когда � x � 1,т.е. при х=1. достигается тогда и только когда xпри �√ 1,т.е. при х=1. √ достигается тогда итогда, только тогда, когда � � 1,т.е. х=1. √2x √2x √ √когда √ √2x √ достигается тогда и только тогда, когда x� � 1,т.е. при достигается тогда и когда только тогда, � x√ �xх=1. 1,т.е. припри х=1. √2x √2x достигается тогда и только � x� �√ 1,т.е. х=1. √2x Ответ: 1. Ответ: 1. тогда, Ответ: 1. Ответ: 1. Ответ: 1. Ответ: 1. Ответ: 1. Ответ: 1. Ответ: 1. Ответ: 1. Ответ: 1. Ответ: 1. Задача 2. Решите уравнение Задача Решите уравнение Задача Задача 2. Решите уравнение Задача 2. уравнение Задача 2.2. Решите уравнение Задача 2. 2. Решите уравнение Задача 2. Решите уравнение Задача 2. Решите Решите уравнение Задача 2. Решите уравнение Задача 2. Решите уравнение � � Задача Решите уравнение � � 1 � �√2x � � � � 1. � � x � 1 � �√x ��2 6√2x � 12 x � 1 � 1�√x √ ��√ �� 1 �� √2x � � �� 1 � � � 2 x 1 �√x 6√2x � 12 x � 1 � 1�√x � � � �� √ � �x � �√ �� √2x � � �6√2x � 6√2x � 12 x � 1 � 1�√x � 1 � 2 x � � �√x � � � � √2x √ √ 6√2x � 12 x � 1 1�√x � 1 � 2 x � 1 � �√x � 1 � � 2 � 1 � �√x � 6√2x � 12 x � 1 � 1�√x √2x √2x � 1 � � 2 x � 1 � �√x . � 12 x � 1 1�√x √ √ 1 � � 2 x � 1 � �√x 11.�1.1.�.��1� 6√2x � 12 x � 1 � 1�√x √ √ � � � � � 1 � � 2 x � �� √x �. 11.. 6√2x 12 x � 1 � 1�√x √2x √ √ √ √ �6√2x � √2x �1 2�√1 x√2x �√2x 1�√x � 11�. �√x 6√2x x�� 11�√x � �√ ��2�√x x√ � 1� 6√2x 121�√x �11��√2x 1�√x √ √� √x�√ � 2 x 1 . � 12�√12 x� 1 Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Применяя неравенство Йенсена кк функции f�x� � �√ xx ии величинам Применяя неравенство Йенсена функции f�x� � величинам Применяя неравенство Йенсена функции ��и xxи� иии√величинам величинам √ Применяя неравенство Йенсена кf�x� функции величинам Применяя неравенство Йенсена кк√�функции f�x� � � ии величинам Применяя неравенство Йенсена функции f�x� � Применяя неравенство Йенсена к функции f�x� �кf�x� � x� иf�x� Применяя неравенство Йенсена кккфункции f�x� � �� x√ √ √ Применяя неравенство Йенсена функции f�x� � � величинам √� √ Применяя неравенство Йенсена к Йенсена функции �ивеличинам x� величинам Применяя неравенство функции f�x� � xвеличинам иxx величинам √ Применяя неравенство Йенсена к функции � x величинам √ � x � � 1, x � x � 1 xx� � √2x, √x � � � √x ��1, � � � � � x x x � 1 � � √2x, � �� x√2x, 1,1,� � x�x�� √2x, √x � �1, � � � � xx� � � xx�√x � x�� 1 1x� √2x, √2x, √x x��x√x � x� ��x�x1 x� x� � 1, xxx� √2x, √x √2x, �1, � 1, � x �1� � 11 � √x �� x√2x, � � 1, x√x x�� x�√2x, 1, x�� x1� √x √2x, �x �x �� x�� xα 1, � x√x � 1 �� x� �1�� x� � � коэффициентов �x� сс набором � � �� ,,�� α �� ,,� �α �� соответственно. � �� набором коэффициентов α � α � α � соответственно. � � набором коэффициентов α�α ,α,ααα�� α�� ,�α,α α�α�� соответственно. набором коэффициентов � соответственно. набором коэффициентов соответственно. с набором коэффициентов α , α� αα� ,� α ссскоэффициентов набором коэффициентов набором коэффициентов � � соответственно. �� с набором , �� α� соответственно. скоэффициентов набором коэффициентов , �α��α,, ,�соответственно. �α��соответственно. , �� α,, �αα ��соответственно. соответственно. �α� ссснабором коэффициентов соответственно. ��,α� с набором ,�,� � � �α �� α�� ,� � � Ответ: 1– единственный �� корень ��уравнения. �� Ответ: 1– единственный корень уравнения. Ответ: 1– единственный корень уравнения. Ответ: 1– единственный корень уравнения. Ответ: 1– единственный корень уравнения. Ответ: 1–1– единственный корень уравнения. Ответ: 1– корень уравнения. Ответ: 1– единственный корень уравнения. Ответ: 1единственный – единственный корень уравнения. Ответ: 1– единственный корень уравнения. Ответ: 1– единственный корень уравнения. Ответ: единственный корень уравнения. Задача 4. Доказать, что для любых a ,, aa2,, …, aan>0 справедливо Задача 4. Доказать, что для любых …, справедливо 1>0 n>0справедливо Задача 4. Доказать, что для любых a,1a,1aa1,n1,a…, aa2a>0 справедливо Задача 4. Доказать, что для любых ,…, aa2a2…, ,a,справедливо …, aнеравенство: справедливо Задача 4. Доказать, что для любых an>0 >0 справедливо 22,,,2a Задача 4. Доказать, что для любых a , a , …, справедливо Задача 4. Доказать, что для любых a a , …, Задача 4. Доказать, что для любых a , a , …, >0 Задача4.что 4.Доказать, Доказать, что для любых a , …, a >0справедливо справедливо 11n…, nn>0 n>0 1a 2 n Задача 4.Задача Доказать, что для любых a , a >0 что для любых a , a >0 Задача 4. Доказать, для любых , a , …, a справедливо 1 2 1 2 n 1 2 n неравенство: 1 2 n неравенство: неравенство: неравенство: неравенство: неравенство: неравенство: неравенство: � � � неравенство: неравенство: � неравенство: � �� a aa�� aa�� .. � �� a �� a �� a �� a�a�a � � �� .�.� �� a � a � � � a � � � � a � � � � �a��a� a� �a �� a �� a � � � � � � � . a � � � a � � � � � � .� � a � � � a � � � � �� .��.. � � � �a �� a �� a � � � a � � � � � � . a � � � a � � � � � � � � � � � �� a � � � a � � � � � � � . � � � �� Неравенство можно переписать виде �� переписать �� вввиде Неравенство можно Неравенство можно переписать ввиде виде�вв виде Неравенство можно переписать Неравенство можно Неравенство можно переписать виде Неравенство можно переписать виде Неравенство можно переписать вв��ввиде Неравенство можно переписать виде Неравенство можно переписать впереписать виде можно переписать в виде Неравенство можно в виде �Неравенство � переписать �в � � �� равносильно тому, что �� это �� это равносильно тому, что � � � � � это равносильно тому, что что � � �� равносильно тому, что � � � � � � это равносильно тому, � � � � � � это равносильно тому, что � � � � � �это � �� это равносильно тому, что � � � � это равносильно тому, что � � � � � � это равносильно тому, � � � � � � � это равносильно тому, что � � � � � это равносильно тому, чточто � � � � �� это равносильно тому, что � � � � � � � � � �� .. �� . .�� .. �� .�� .��.�� . � � �� . � � � � � � �� и �воспользовавшись неравенством � Рассматриваем функцию f(x)= � � � � � � и �воспользовавшись неравенством � f(x)= � воспользовавшись Рассматриваем функцию неравенством Рассматриваем функцию f(x)= воспользовавшись неравенством Рассматриваем функцию f(x)= воспользовавшись неравенством Рассматриваем функцию f(x)= Рассматриваем функцию иииивоспользовавшись неравенством Йенсена, и иf(x)= воспользовавшись неравенством Рассматриваем функцию f(x)= воспользовавшись неравенством Рассматриваем функцию воспользовавшись неравенством Рассматриваем функцию f(x)= и доказать. воспользовавшись неравенством Рассматриваем функцию f(x)= и� иивоспользовавшись неравенством Рассматриваем функцию f(x)= воспользовавшись неравенством Рассматриваем функцию f(x)= � �� Йенсена, получаем то, что требуется � �доказать. получаем то, что требуется Йенсена, получаем то, что требуется доказать. Йенсена, получаем то, что требуется доказать. Йенсена, получаем то, что требуется доказать. Йенсена, получаем то, что требуется доказать. Йенсена, получаем то, чточто требуется доказать. Йенсена, получаем то, что требуется доказать. Йенсена, получаем то, что требуется доказать. Йенсена, получаем то, что требуется доказать. Йенсена, получаем то, что требуется доказать. Йенсена, получаем то, требуется доказать. 3. Неравенство Коши-Буняковского 3. Неравенство Коши-Буняковского 3. Неравенство Коши-Буняковского 3. Неравенство Коши-Буняковского 3. Неравенство Коши-Буняковского 3. 3. Неравенство Коши-Буняковского 3. Неравенство Коши-Буняковского 3. 1. Неравенство Коши-Буняковского 3. Неравенство Коши-Буняковского 3. Коши-Буняковского Неравенство Коши-Буняковского Неравенство Задача Доказать, что для любых действительных чисел a,b, c, если 3. Неравенство Коши-Буняковского Задача 1. Доказать, чтодля для любых действительных чисел a,b, Задача 1. Доказать, что для любых действительных чисел a,b, c,c, если 2 c, 2c, 2если Задача 1. Доказать, что для любых действительных чисел a,b, c, Задача 1. Доказать, что для любых действительных чисел a,b, если Задача 1. Доказать, что для любых действительных чисел a,b, c, если Задача 1. Доказать, что любых действительных чисел a,b, если Задача 1. Доказать, что для любых действительных чисел a,b, c, если если Задача 1. Доказать, что для любых действительных чисел a,b, c, если Задача 1. Доказать, что для любых действительных чисел a,b, c, если Задача 1. Доказать, что для любых действительных чисел a,b, c, если 2+b 2+c 2≥3. a+b+c≥3, то будет справедливо и неравенство a Задача 1. Доказать, что для любых действительных чисел a, b, c, если a+b+c≥3 2 2 222 22 , 2 2 2 2 2 222 22 a2 a+b 2 +c 2222≥3. a+b+c≥3, то будет справедливо и неравенство +b +c ≥3. 2 2 2 a+b+c≥3, то будет справедливо и неравенство a+b+c≥3, то будет справедливо и неравенство a +b +c ≥3. a+b+c≥3, то будет справедливо и неравенство a +b +c ≥3. a+b+c≥3, то будет справедливо и неравенство a +b +c ≥3. a+b+c≥3, то будет справедливо и неравенство a +b +c ≥3. a+b+c≥3, то будет справедливо и неравенство a +b +c ≥3. 2 2 2 a+b+c≥3, то будет справедливо и неравенство a +b +c ≥3. a+b+c≥3, то будет справедливо и неравенство a +b +c ≥3. a+b+c≥3, тобудет будет справедливо неравенство a +b +c ≥3. Решение. то справедливо и неравенствоиa +b +c ≥3. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Применив неравенство Коши-Буняковского, получим: Применив неравенство Коши-Буняковского, получим: Применив Коши-Буняковского, получим: 2 Применив 2Применив 2неравенство 2 неравенство 2Коши-Буняковского, 2 Коши-Буняковского, 2 получим: 2получим: 2 2 2 неравенство Коши-Буняковского, получим: Применив неравенство Коши-Буняковского, получим: Применив неравенство Коши-Буняковского, получим: Применив неравенство получим: Применив неравенство Коши-Буняковского, получим: Применив неравенство Коши-Буняковского, Применив неравенство Коши-Буняковского, получим: Применив неравенство Коши-Буняковского, получим: 2 2 2 2 2 2 2 2+b 2+c 2)≥(a+b+c) +b +c )(1 +1 +1 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a (a 22 2+b 22 2+c 222 )(1 2222 +1 222 +1 2 2 2 2 2222 22 222 2,, но 22 по 2 2 2 2 2 222 22(a 2 2(a 2 2 2 2 2+c 2 2 2 2 2 2 222+b 222+c 2222)≥(a+b+c) 2 2 2 2 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a +b )≥(a+b+c) но 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 по +b +c )(1 +1 +1 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a , но по 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 +b +c )(1 +1 +1 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a +b +c )≥(a+b+c) ,,поно (a +b +c )(1 +1 +1 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a +b +c )≥(a+b+c) , но по (a +b+b +c )(1(a +1 +1 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a +b +c )≥(a+b+c) , но по (a (a +b +c )(1 +1 +1 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a +b +c )≥(a+b+c) , но +b +c )(1 +1 +1 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a +b +c )≥(a+b+c) но по (a +b +c )(1 +1 +1 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a +b +c )≥(a+b+c) , но по (aусловию +b +c )(1 +1 +1 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a +b +c )≥(a+b+c) , но по по (a (a +b +c )(1 +1 +1 )≥(a∙1+b∙1+c∙1) , т.е. 3(a +b +c )≥(a+b+c) , но по условию +c )(1 +1 +1 )≥(a·1+b·1+c·1) , т.е. 3(a +b +c )≥(a+b+c) , но по 2 2 2 a+b+c≥3, значит 3(a +b +c )≥9, сразу следует доказываемое 222 2откуда 2 значит 2 2222 23(a 2222+b 222+c 2222)≥9, 2 условию a+b+c≥3, значит 3(a +b +c )≥9, откуда сразу следует доказываемое 2 2 2 2 условию a+b+c≥3, откуда сразу следует доказываемое 2 2 условию a+b+c≥3, значит 3(a +b +c )≥9, откуда сразу следует доказываемое условию a+b+c≥3, значит 3(a +b +c )≥9, откуда сразу следует доказываемое условию a+b+c≥3, значит 3(a +b +c )≥9, откуда сразу следует доказываемое условию a+b+c≥3, значит 3(a +b +c )≥9, откуда сразу следует доказываемое условию a+b+c≥3, значит 3(a +b +c )≥9, откуда сразу следует доказываемое a+b+c≥3 , значит 3(a +b +c )≥9 , откуда сразу следует доказываемое соотношение. условию a+b+c≥3, значит 3(a +b +c )≥9, откуда сразу следует доказываемое условию a+b+c≥3, значит 3(a +b +c )≥9, откуда сразу следует доказываемое условию a+b+c≥3, значит 3(a +b +c )≥9, откуда сразу следует доказываемое соотношение. Что ии требовалось доказать. соотношение. Что требовалось доказать. соотношение. Что требовалось доказать. Что ии доказать. требовалось доказать. соотношение. Что итребовалось требовалось доказать. соотношение. Что исоотношение. доказать. соотношение. ииЧто доказать. соотношение. Что требовалось доказать. Что итребовалось требовалось доказать. соотношение. Что иЧто требовалось соотношение. идоказать. требовалось доказать. соотношение. Что и требовалось Задача 2. Докажите, что для любого значения хх из области определения Задача 2. Докажите, что для любого значения из области определения для любого значения из определения Задача 2.2.2. Докажите, что Задача 2. Докажите, что для значения ххопределения из области определения Задача Докажите, что для любого значения из области определения Задача Докажите, что для любого значения области определения выполЗадача 2. Докажите, что любого значения хлюбого из области определения Задача 2. Докажите, что для любого значения хххиз из области определения Задача 2.что Докажите, что для любого значения из области определения Задача 2. Докажите, для любого значения хзначения из области Задача 2.для Докажите, что для любого хобласти из области определения Задача 2. Докажите, что для любого значения х из области определения выполняется неравенство выполняется неравенство выполняется неравенство няется неравенство выполняется неравенство выполняется неравенство выполняется неравенство выполняется неравенство выполняется неравенство выполняется неравенство выполняется неравенство выполняется неравенство � 11 � 6x � 11 � � 11x � �. √5x √1 √ �1√5x �√√ 6x �1√ �√1 � 11x √5x √1 √ � � 6x � � √5x � 1 � 6x � 11�� 11x � � 1 � 6x 1 � 11x �� .�. √1 √5x � 1 � 6x � 1 � � 11x �. � 1 � 6x � 1 � � 11x �.�. � 6x � �11x 11x � �. �. � 1 √5x √1 √5x √ √ √1 √5x √ �√5x �11√1�� √1 11x � �. � 6x 1√1 � �� 11x � �. √1 √�6x √√1 � 1 � 1√6x 1 11x � �. √5x√5x Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Решение. Коши-Буняковского дает для √�� Решение. Решение. � 1 ∙значения 1 � √�� х� 1 ∙ области 1 � √1 � 11� ∙ 1 �� Неравенство любого их Неравенство Коши-Буняковского дает для любого значения хих их области Неравенство Коши-Буняковского дает для любого значения хих области Неравенство Коши-Буняковского дает для любого значения х их области Неравенство Коши-Буняковского дает для любого значения х их области Неравенство Коши-Буняковского дает для любого значения х их области Неравенство Коши-Буняковского дает для любого значения х их области Неравенство Коши-Буняковского дает для любого значения х их области Неравенство Коши-Буняковского дает для любого значения х их области Неравенство Коши-Буняковского дает для любого значения х их области Неравенство Коши-Буняковского дает для любого значения х области опредеНеравенство Коши-Буняковского дает для любого значения х их области определения соотношение: � � √1 � 11� ∙�1 �� √�� 1 ∙ 1 � � 1 ∙ 1 определения соотношение: √�� 1� � 1� определения соотношение: � определения соотношение: определения соотношение: определения соотношение: определения соотношение: определения соотношение: � � �� 1� � �√1 � 11�� ∙ � �√�� 1� √1 √ ления соотношение: определения соотношение: определения соотношение: определения соотношение: � � √�� 1 ∙ 1 ��√�� 1 ∙�1 1� � √1 �� 1∙ ∙√1 �� √�� √�� ∙∙ 111� � 1�√�� ∙ 11�� 1 ��1 11� �� 1��√�� 1�� 11� 1 √1 �� 11� ∙ 1 � √3 ∙ √3 , что доказывает � 1 ∙�√1 √�� √1 �� √11� ��1√�� 1∙ �1 или ∙ 1� �� 11∙�1∙ � √√1 � �� ∙ √1� � � ��1�требуемое неравенство (область определения неравенства не является пустым �√�� 1� ��или �√1 �� 11�� 1√ �� √3 � 1� ,� 1 � ��1√1� ∙ �� 1�� 1�√1 ∙1� 1�� 11�� 11� ∙�1��1 что доказывает √1 √3 �√�� множеством). ∙ √1 ��∙1� �√�� 1� � �1� � �√1 11�� ∙ √1 � �√�� √�� неравенство (область определения неравенства не является пустым 1 � √�� или 1 ∙ 1требуемое � √1 � 11� ∙ 11 � � ∙� ,�� что доказывает √3 √3 Что и требовалось доказать. или , ,что доказывает � 1 ∙ �� 1 ∙ 1 � � 11� ∙ 1 � или � 1 ∙ 1 � � 1 ∙ 1 � � 11� � √3 ∙ что , доказывает что требуемое доказывает √�� √�� √1 √3∙ ∙1√3 √1 √3 √ √ множеством). 2 2 2 нство (область определения неравенства не является пустым Задача 3. Найти наименьшее значение выражения неравенство (область определения неравенства не является пустым множеством). требуемое неравенство (область определения неравенства не является пустым требуемое неравенство (область определения неравенства не является пустымx +y +z , если x+y+z=1. Что и требовалось доказать. Что и требовалось доказать. Решение. 2 множеством). множеством). Задача 3. Найти наименьшее значение выражения2 x2+y +z2, если x+y+z=1. 2 валось доказать. Что Задача 3. Найти наименьшее значение выражения x +y +z2, если x+y+z=1. имеем Согласно неравенству Коши-Буняковского и требовалось доказать. Что и требовалось доказать. 2 Решение. 2 22 2 � айти наименьшее Задача значение выражения x2+y +z2значение , если x+y+z=1. Решение. 2 2x2+y22+z2x если 3. Найти наименьшее выражения Задача 3. Найти наименьшее значение +y),+zx+y+z=1. , если x+y+z=1. ≤(12+12выражения +1 )( x +y2,+z или 1≤3( x2+y2+z2), или x2+y2+z2≥ , (1·x+1·y+1·z) Согласно неравенству Коши-Буняковского имеем � Согласно неравенству Коши-Буняковского имеем Решение. Решение. �2 2 � 2 2 2+122+122)( 2 x2+y 2 2+z 2 2), 2 2 x2 2 +y22+z2), или 2 2 x22+y ≤(1 или 1≤3( +z ≥ , (1·x+1·y+1·z) (1∙x+1∙y+1∙z) ≤(1 +1 +1 )(x +yКоши-Буняковского +zравенство ), или 1≤3(x +y +z ), или +z ≥ ., причем имеет место приx +y x=y=z= еравенству Коши-Буняковского имеем � Согласно неравенству Коши-Буняковского имеем Согласно неравенству имеем � 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2� � 2 � � 2 2 � 2 1≤3( 2 22имеет 2 2 +z 2 2Ответ: 2 2 2 2 2 2 22 ), 22или 2 2+z 2 2 2 2 +1 +1 )( x(1·x+1·y+1·z) +yпричем +z ),(1·x+1·y+1·z) или x +y x +y ≥ , причем равенство имеет место при равенство место при x=y=z= . . � или ≤(1 +1 +1 +y )(+z x),+yили ≤(1)(+1x +1 +z �),1≤3( 1≤3(+z x),+yили +z ),x +y или+z x≥+y, +z ≥ , � x +y � � � � � � +a +…+a =1 следует, что Задача 4. Доказать, что из условия a Ответ: о имеет место при x=y=z= . 1 2 n . Ответ: причем причем равенство x=y=z= . имеетпри место при x=y=z= . � равенство � имеет место � �� . � � 4. Доказать, � Задача что из условия a�1+a2+…+a � n=1� следует, что � . Ответ: . Ответ: � � � � � � Доказательство. ��2+…+a � � �n=1 �� следует, � . ��a� +a оказать, что из условия 14. � условия следует, что Задача Доказать, что из a1+a2+…+a +…+a следует, чтоследует из неравенства КошиЗадача 4. Доказать, чточто из условия a1+a n2=1 n=1 � Истинность данного утверждения � 79 � � � � �� . � Доказательство. � � � � � � � � � � � � . � � � � � � � . � � их вКошисоответствующее неравенство. Примем �Буняковского. � � � � � � � Истинность данного утверждения следуетbi=1 изи подставим неравенства ство. Имеем: Доказательство. Доказательство. и подставим Кошиих в соответствующее неравенство. Буняковского.следует Примемизbi=1неравенства 2 � � данного утверждения (1·a1+1·a � ��Коши� �� ), Истинность данногоданного утверждения следует из неравенства Истинность утверждения следует из неравенства Коши2+…+1·a n) ≤(1+1+…+1)·(�� Согласно имеем � 2 2 неравенству 2Коши-Буняковского 2 2 ≤(12≤(1 +122+1 +122+1 )( 2x)(2+y +z22+z ), 2или 1≤3( x2+y +z22+z ), 2или x2+y +z22+z ≥ 2≥, ��, (1·x+1·y+1·z) x2+y ), или 1≤3( x2+y ), или x2+y (1·x+1·y+1·z) (1·x+1·y+1·z)2≤(12+12+12)( x2+y2+z2), �или 1≤3( x2+y2+z2), или x2+y2+z� 2≥� , � причем равенство имеет место припри x=y=z= . �� причем равенство имеет место x=y=z= � �. . причем равенство имеет место при x=y=z= � � � . � Ответ: Ответ: � �. . Ответ: � Задача Доказать, чточто из условия условия +…+a =1 следует, что следует, чточто Задача 4.4.Доказать, что из a11+a следует, Задача 4. Доказать, из условия a12+a nn=1n=1 2+…+a Задача � из условия a1+a2+…+an=1 следует, что � � � �4. Доказать, � � � что . �. �� . � Доказательство. Доказательство. Доказательство. Доказательство. Истинность данного утверждения следует из изнеравенства КошиИстинность данного утверждения следует из неравенства Коши-Буняковского. Истинность данного утверждения следует неравенства КошиИстинность данного утверждения следует из неравенства Коши=1 и подставим их в соответствующее неравенство. Буняковского. Примем b Примем b =1 и подставим их в соответствующее неравенство. Буняковского. Примемi bi=1 и подставим их в соответствующее неравенство. i =1 и подставим их в соответствующее неравенство. Буняковского. Примем b i Имеем: Имеем: Имеем: Имеем: 2 � � � � � � 2 (1·a(1·a 1+1·a 2+…+1·a n) ≤(1+1+…+1)·(�� ),��), � �� 1+1·a 2+…+1·a n) 2≤(1+1+…+1)·(�� (1·a � � � � � �� ), a +a +…+a =1, то 2 n)2≤(1+1+…+1)·(�� 1+1·a2+…+1·a �� ).� Поскольку (a1+a +…+a �� n) ≤n·( 1 a12+a2+…+a n (a12+a �� =1, то � �� ). Поскольку � � 2+…+a n) 2≤n·( �� (a +a +…+a ) ≤n·( �� ). Поскольку a1+a2+…+ann=1, то � � �� 1� 2� �n � � � � � � � ), то есть � � � � � � � � . 1≤n·(�� 1≤n·(�� ), то есть � � � �. � � � � �� 1≤n·(�� ), то есть �� . � Что и требовалось доказать. и требовалось доказать. ЧтоЧто и требовалось доказать. Что и требовалось доказать. 4. Неравенство Бернулли 4. Неравенство Бернулли 2 3 4 4. Неравенство Бернулли 2 3 4 +(x+2) +(x+3) =287x. Задача 1. Решите уравнение (x+1) Задача 1. Решите уравнение (x+1) 4. Неравенство Бернулли 2+(x+2) 3+(x+3) 4=287x. +(x+2) +(x+3) =287x. Задача 1. Решите уравнение (x+1) 2 3 4 Решение. Задача 1. Решите уравнение (x+1) +(x+2) +(x+3) =287x. Решение. Решение. Введем новую переменную y=x-1, тогда уравнение принимает видвид Решение. Введем новую переменную y=x-1, тогда уравнение принимает 2 3 4 y=x-1, тогда уравнение принимает вид 2 Введем 3 новую 4 переменную Введем новую переменную y=x-1 , тогда уравнение принимает вид (y+2) +(y+3) +(y+4) =287(y+1). (y+2) 2+(y+3) 3+(y+4) 4=287(y+1). 2 3 4 (y+2) +(y+3) +(y+4) =287(y+1). (y+2) +(y+3) +(y+4) =287(y+1). Оценим снизу левую часть уравнения, применяя неравенство Бернулли Оценим снизу левую часть уравнения, применяя неравенство Бернулли n Оценим Оценим снизу левую часть уравнения, применяя неравенство Бернулли n снизу левую уравнения, применяя неравенство Бернулли ≥1+nx, гдегде x>-1 и n и– nчасть натуральное число. (1+x) x>-1 – натуральное число. (1+x) n≥1+nx, n ≥1+nx, где x>-1 и n – натуральное число. (1+x) (1+x) ≥1+nx , где x>-1 и n – натуральное число. Имеет место Имеет место Имеет место � 2 � 2 � 3 � 3 � 4 � 4 � � � � Имеет 2 место 3 4 2 3 4 (y+2) +(y+3) +(y+4) =4(1+ ) +27(1+ ) +256(1+ ) ≥4(1+2· )+27(1+3· )+256х �) 2+27(1+ �) 3+256(1+ �) 4≥4(1+2· �)+27(1+3· �)+256х (y+2) 2+(y+3) 3+(y+4) 4=4(1+ � � � � � � � � � � �(y+2) +(y+3) +(y+4) =4(1+�) +27(1+�) +256(1+�) ≥4(1+2·�)+27(1+3·��)+256х )=287(1+y). х(1+4· � х(1+4· � �)=287(1+y). )=287(1+y). х(1+4· � Тогда следует, Тогда следует,чточтопримененные примененныевыше вышенеравенства неравенстваБернулли Бернулли Тогда следует, что примененные выше неравенства Бернулли Тогда следует, что примененные выше неравенства Бернулли превращаются превращаются в равенства, а это возможно лишь в том случае, когда y=0. ТакТак превращаются в равенства, а это возможно лишь в том случае, когда y=0. впревращаются равенства, а это возможно лишь ввозможно том случае, когда y=0.случае, Так каккогда y=0 иy=0. y=x-1 , то в равенства, а это лишь в том Так каккак y=0y=0 и y=x-1, то x=1. и y=x-1, то x=1. . x=1 как y=0 и y=x-1, то x=1. Ответ:1. Ответ:1. Ответ: 1. 200 200 10 10 Ответ:1. 0,994 Задача 2.2.Что 1,005 200 или 10 больше? 0,994 Задача 2. Что 1,005 200или 10 больше? Задача Что 1,005 или 0,994 больше? 200 200 200 или 0,994 больше? Задача 2. Что 1,005 200 1,005 =(1+0,005) ≥1+200·0,005=2 200 200 1,005 200=(1+0,005) 200≥1+200·0,005=2 1,005 =(1+0,005) ≥1+200∙0,005=2 10 10 =(1+0,005) 10 10 1,005 ≥1+200·0,005=2 10 10 0,994 =(1-1,006) ≥1-10·0,006=0,94 0,994 10=(1-1,006) 10≥1-10·0,006=0,94 0,994 =(1-1,006) ≥1-10∙0,006=0,94 Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко 0,994 =(1-1,006) ≥1-10·0,006=0,94 Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана с помоКроме того, очень большая группа неравенств может быть легко Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко Кроме того, очень большая группа неравенств может быть легко доказана сКроме помощью теоремы Бернулли. того, очень большая группа неравенств Кроме того, очень большая группа неравенств можетможет быть быть легколегко доказана с помощью теоремы Бернулли. щью теоремы Бернулли. доказана с помощью теоремы Бернулли. n доказана с помощью теоремы Бернулли. доказана с помощью теоремы Бернулли. доказана теоремы Бернулли. n Задача 3.помощью Доказать, что для любых N (1,5) ≥1+0,5n доказана с помощью теоремы Бернулли. nn Задача для любых 3.3. сДоказать, что любых n(1,5) ∈ nNn∈ (1,5) ≥1+0,5n Задача 3. Доказать, что для любых nn∈ ∈∈N NN ≥1+0,5n n (1,5) ЗадачаЗадача 3. Доказать, что для любых nдля ∈ Nлюбых ≥1+0,5n Задача 3. Доказать, Доказать, что для любых (1,5)n≥1+0,5n ≥1+0,5n Доказательство. Задача 3. что n (1,5) Задача 3. Доказать, что для любых n ∈ N (1,5) ≥1+0,5n Доказательство. Доказательство. Доказательство. n Доказательство. Доказательство. n n Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения (1+0,5) , nn Доказательство. Доказательство. Положив х=0,5 иих=0,5 применив теорему Бернулли для выражения (1+0,5) , (1+0,5) получим n Положив х=0,5 применив теорему Бернулли для выражения (1+0,5) , Положив и применив теорему Бернулли для выражения n ,, n Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения (1+0,5) , Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения (1+0,5) Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения (1+0,5) , получим требуемое неравенство. Положив х=0,5 и применив теорему Бернулли для выражения (1+0,5) , требуемое неравенство. получим требуемое неравенство. получим требуемое неравенство. nn nn получим требуемое неравенство. получим требуемое неравенство. получим требуемое неравенство. n n Задача 4. Найти наименьшее значение функции y=(1-x) +(1+x) на отрезке Задача 4. Найти наименьшее функции y=(1-x) +(1+x) на отрезке получим требуемое неравенство. n на отрезке n n n Задача 4. Найти наименьшее значение функции y=(1-x) +(1+x) Задача 4.4.Найти Найти наименьшее значение функции y=(1-x) отрезке nn+(1+x) nnна n на отрезке n Задача 4. Найти значение функции y=(1-x) +(1+x) Задача Найти наименьшее значение функции y=(1-x) +(1+x) наотрезке отрезке Задача 4. наименьшее значение функции y=(1-x) +(1+x) на x∈ �� . Задача 4. наименьшее Найти наименьшее значение функции y=(1-x) +(1+x) на отрезке �� x∈ ��. �� x∈ ��. �� x∈ ��. �� x∈ ��. �� Решение. Применив к функции неравенство Бернулли, получим, что Решение. Применив к функции неравенство Бернулли, получим, что x∈ ��. x∈ �� . Решение. Применив к функции неравенство Бернулли, получим, что что Применив функции неравенство Бернулли, получим, n Решение. n nк функции n Решение. Применив неравенство Бернулли, получим, что.получим, Решение. Применив функции неравенство Бернулли, получим, что y=(1-x) ≥1-n∙x+1+n∙x=2 . Равенство достигается приx=0. x=0 nРешение. n Решение. кккфункции неравенство Бернулли, +(1+x) ≥1-n·x+1+n·x=2. Равенство достигается при y=(1-x) Применив к функции неравенство Бернулли, получим, что что n+(1+x) nn Применив n n +(1+x) ≥1-n·x+1+n·x=2. Равенство достигается при x=0. y=(1-x) n Равенство достигается при x=0. y=(1-x) n +(1+x) n ≥1-n·x+1+n·x=2. n≥1-n·x+1+n·x=2. n +(1+x) Равенство достигается при x=0. y=(1-x) y=(1-x) +(1+x) ≥1-n·x+1+n·x=2. Равенство достигается при x=0. y=(1-x) Ответ: 2. Ответ: 2. ≥1-n·x+1+n·x=2. Равенство достигается при x=0. y=(1-x) +(1+x) ≥1-n·x+1+n·x=2. Равенство достигается при x=0. 2.+(1+x) Ответ: 2.2. Ответ:Ответ: 2. Ответ: Ответ: 2. 5. Неравенство Караматы Ответ: 2. 5. Караматы 5.5.Неравенство Неравенство Караматы 5. Неравенство Неравенство Караматы 5. Неравенство Караматы Неравенство Караматы Задача 1. Докажите, что для любых положительных чисел a, cb, c 5. Караматы 5. Неравенство Караматы Задача 1. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, Задача 1. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c Задача 1. Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c справедливо Задача 1. Докажите, что для любых положительных a, b, c Задача 1. Докажите, что для любых положительных чисел справедливо Задача 1. Докажите, что любых для любых положительных Задача 1.неравенство: Докажите, что для положительных чиселчисел a, b, a,a,c b,b, cc справедливо неравенство: справедливо неравенство: неравенство: справедливо неравенство: справедливо неравенство: �справедливо � � неравенство: � � �bc � √b � � �ac � √c � � �ab. справедливо неравенство: � b �c � ��acbc �� bc√a ��√a �√a �� ac� � √c � � �ab. �c ��√ab �� ab. � b � �√ab � ac � �bc √a � � � � � � � � b � c � �√ab � ac � bc � � �bc � ��ac �ac ��√c √a √a √b c√a ��Доказательство. �√ab ac � bc �� √b �ac � �ab. �� √a � b√a� √a √b √c �b b�� √ab c� � ��√ab �√ab �bc ac��bc bc�� √a �bc ��√b �ac ��ab. �ab. √a √a √b √c �� c ac bc �bc � √c b c � ac �bc �ac � � �ab. √a √b √c Доказательство. Доказательство. Доказательство. Доказательство. Доказательство. Доказательство. Данное неравенство равносильно тому, что Доказательство. Данное неравенство равносильно тому, что Данное неравенство равносильно тому, что Данное неравенство равносильно тому, что Данное неравенство равносильно тому, что Данное неравенство равносильно тому, что � � � � � �bc � √b � � �ac � Данное неравенство равносильно тому, Данное неравенство равносильно тому, что � b c� ��√ab ��acbc �� bc√ab � √ab ��acbc �� bc√a �что �√a �� √a � � �ac� � �c �� b � � ac � ac � �bc √a √ab � � � � � � � � b � c � � ac � bc � � ac � bc � � �bc � ��ac �ac � √a √a √b √ab √ab � c�√a � � ac � bc � � ac � bc � � �bc � ��√b �ac � � √ab � � �� √a � b√a√c √a √b √ab � b � c � � ac � bc � � ac � bc � �bc ��√b √a √a √b �� √ab √ab � b c � ac bc � � ac � bc � �bc � √a √ab √ab b c � � ac � bc � � ac � bc � �bc �ac � �ac�� √a √b √ab √ab � �ab. � � � �ab. �� ab. √c � � � �ab. � √c � �√c �ab. √c ��ab. √c � ab�ac��ac � Пусть a≥b≥c. Рассмотрим набора чисел � �b � �ab. √c � � �c ��c �b�ac Пусть a≥b≥c. Рассмотрим двадва набора чисел (ba��(��acb(�� чисел �� ac ac �� Пусть a≥b≥c. Рассмотрим два набора a �ab �� ab � � � � � ab �� Пусть a≥b≥c. Рассмотрим два набора чисел ( a � � � b ab� ac� Пусть a≥b≥c. Рассмотрим два набора чисел ( a b � ccc� � ab � Пусть a≥b≥c. Рассмотрим два набора чисел ( a Пусть a≥b≥c .bc), Рассмотрим два набора чисел � �bc� b � �ac� c � �ab). bc� ab � �ac � � (a � � � b � c � ab ac Пусть a≥b≥c. Рассмотрим два набора чисел ( a ��b ��ac� ��c � �ab). �� bc� bc� ab � �ac � bc), (a � � ��bc� �bc� � �ac� cc� � ��ab). �ab). bc� ab � �ac � bc), (a � �bc� � c� � bc� ab �bc� �ac � (a �bнаборы ��ac�c �c�ac� �ab). bc� ab� ��ac �ac � bc), (a��ac� � bbb��ab). � bc� ab � bc), Покажем, что чисел мажорируют. Воспользуемся определением �(a �bc� b��bc� �ac� � �ab). abПокажем, �bc), �ac bc), (a что наборы чисел мажорируют. Воспользуемся определением Покажем, что наборы чисел мажорируют. Воспользуемся определением Покажем, что наборы чисел мажорируют. Воспользуемся определением Покажем, что наборы чисел мажорируют. Воспользуемся определением мажоризации: Покажем, что наборы чисел мажорируют. Воспользуемся определением Покажем, наборы чисел мажорируют. Воспользуемся определением мажориПокажем,что что наборы чисел мажорируют. Воспользуемся определением мажоризации: мажоризации: � � � � мажоризации: мажоризации: мажоризации: зации: � a � � �b � � �c � � �a ��bc мажоризации: ��bc a c�� bc a� 2��cb� a��a�c� b� �� bc �� a� �(b-c) ��bc ��bc �bc 2b a� ≥0 cac � aaa� � � baaверно; ��cbb�� 2– 2 (b-c) ≥0 – верно; 2 ≥0 – верно; (b-c) 2 � 2(b-c) � � � � –aверно; (b-c) ≥0�(b-c) ≥0 –� верно; (b-c) ≥0 –ab верно; � abac��acbc �� bca� �≥0 �верно; � a ��bc � � b ��ac –c2� ≥0 – верно; �b �c � a � � � � �bc � b � �ac � � �2b � (b-c) � ac � � � � � �� ac a � b � c � ab � � bc � a � �bc � � � � � a � b 2a��c� c-bc-ac+ab≥0 � � � a�bc � �bc b�bc �ac �� a2 ab �cb� b� ac �ab c bc �ab ab� ac� �bc bc � a�� bc ��ac ��ac �ac a � � c � ac a �bc bbb� � b ac a � b 2 c -bc-ac+ab≥0 2-bc-ac+ab≥0 c 2 2 c -bc-ac+ab≥0 c -bc-ac+ab≥0 c(c-b)-a(c-b)≥0 c -bc-ac+ab≥0 c -bc-ac+ab≥0 c(c-b)-a(c-b)≥0 c(c-b)-a(c-b)≥0 c(c-b)-a(c-b)≥0 c(c-b)-a(c-b)≥0 (c-b)(c-a)≥0, c(c-b)-a(c-b)≥0 c(c-b)-a(c-b)≥0 80 (c-b)(c-a)≥0, (c-b)(c-a)≥0, (c-b)(c-a)≥0, (c-b)(c-a)≥0, (c-b)(c-a)≥0, (c-b)≤0 и (c-a)≤0; (c-b)(c-a)≥0, (c-b)≤0 и (c-a)≤0; (c-b)≤0 и (c-a)≤0; � � � (c-b)≤0 (c-b)≤0 и (c-a)≤0; (c-a)≤0; (c-b)≤0 � bи�c(c-a)≤0; � �(c-b)≤0 � �и � �c ��ab � ac � bc � ab � ac � bc � � a ��bc � � b ��ac � иa�(c-a)≤0; � b � � ab � ac � bc � ab � ac � bc � a � �bc � b � �ac � a � � � � � � � � � � b � c � ab � ac � bc � ab � ac � bc � a � �bc � ��ac �ac �� a b� � � � ac � � a�ac � �bc baa�� ac a ��c �c �� b�� ac c� bc abab ac� �bc bcbc ab� ac� �bc bc � �bc �bbb�� ac� a� ab ��b� ��c� ��ab ��ac ��ab �bc a� � ��ab bc� ab � �ac � �bc), (a ��bc� b �� ac� c � �ab). �bc� b � �ac� c �мажорируют. �ab). bc�Покажем, ab � �ac Покажем, � bc),наборы (a � что чисел мажорируют. Воспользуемся определением что наборы чисел Воспользуемся определением Покажем, что наборы чисел мажорируют. Воспользуемся определением мажоризации: мажоризации: мажоризации: � � ba�� c�bc a� � b� � ac�� a� � �bc � � � 2 2 � b≥0�–cверно; � a� � �bc верно; (b-c) ≥0 –a(b-c) 2 � верно; � � � ac a� �(b-c) b� �≥0 � bab � ab bc � � ac a� � �bc �bc��a�b� � �ac� b� � �ac ac�–� � c� � �bc � 2 a � b�2 2� c � � ab � ac � bc � a� � �bc � b� � �ac c -bc-ac+ab≥0 cc-bc-ac+ab≥0 -bc-ac+ab≥0 c2-bc-ac+ab≥0 c(c-b)-a(c-b)≥0 c(c-b)-a(c-b)≥0 c(c-b)-a(c-b)≥0 c(c-b)-a(c-b)≥0 (c-b)(c-a)≥0, (c-b)(c-a)≥0, (c-b)(c-a)≥0, (c-b)(c-a)≥0, (c-b)≤0 и (c-b)≤0 (c-a)≤0; (c-b)≤0ии(c-a)≤0; (c-a)≤0; � � (c-b)≤0 и�(c-a)≤0; � � ac � ac�� bab � ab bc � ac ab� �bc ac � � ab bc � � ac a� � �bc �bc �ac��b� � �ac � a �b � c� � ��a�b�� bc � � � � � � � c � ab � ac � bc � ab � ac � bc � a � �bc � b � �ac � a�c�� b� ��ab �c � ��ab � ��ab � �c �a� � ��ac � �bc � a� � �bc � �b� � �ac � �c � � �ab. � � b � ac�� b�ab � c � �ab � �ac � �bc � a � �bc � b � �ac � c � �ab. � � � � c � �ab � �ac � �bc � a� � �bc � b� � �ac � c � � �ab. a � bВерно. Верно. Верно. Верно. Значит, наборы чисел мажорируют. Применив неравенство Караматы для Значит, наборы чисел мажорируют. Применив неравенство Караматы для Значит, наборы чисел мажорируют. Применив неравенство Караматы для выпуЗначит, наборы чисел мажорируют. Применив неравенство Караматы для клой функции получаем верное исходное неравенство. верное исходное выпуклойвыпуклой функции f(x)= √x, получаем функции f(x)=√x, получаем верное исходное неравенство. выпуклой функции нескольких f(x)=√x, получаем верное исходное неравенство. Рассмотрим решение непростых задач, применив традиционные Рассмотрим решение нескольких непростых задач, применив традиционные Рассмотрим решение нескольких непростых задач, применивтрадиционные традиционные меРассмотрим решение нескольких непростых задач, применив методы и методы замечательные неравенства. и замечательные неравенства. тоды иизамечательные неравенства. методы замечательные неравенства. Пример 1.Пример Решить1. уравнение Решить уравнение ласть определения уравнения, которая может быть описана с может быть описана с Найдем область определения уравнения, которая Пример 1. Решить уравнение Решить уравнение Пример 1. � � � � �x � �� x � � 5x � �. � 5x � �. √�x � x � √5x √3x �√3x � �x � � � √5x √�x � x ��x � �� x � x �x��x5x��. √�x � x � ��√3x � � �x � � � √5x � ��x Найдем область опред � ем область определения уравнения, которая быть описана 1 � �� может 3x 3x � �x � � �x � 1 � с�� ющей системы неравенств:� помощью следующей системы неравенств:� � Найдем область определения уравнения, которая может быть описана с помо� Найдем 5x область определения уравнения, которая ��x �x� �x�� 5x � � �x � �� может быть описана с щью следующей системы неравенств: � Найдем область определения уравнения, которая может с Найдем область определения уравнения, которая быть описана с � ��описана �x � xбыть 5x3x � 1��x �� 1 � �� помощью следующей систем 5x� � 1 �� может ледующей системы неравенств:� ��x � � �� x � x �x � �x � 1 � �� 3x 5x � �x � �� . ом решений данной системы является промежуток x � � Множеством решений данной является промежуток x � � � ��. помощью следующей системысистемы неравенств:� � � � 1 � �� 3x ��1�x 5x� � �x � �� 5x на � неравенств:� 1 множители. � �� 3x � �x помощью следующей системы неравенств:� помощью следующей системы жения под знаком каждого корня Можно Разложим выражения под знаком каждого на множители. Можно � корня � � Множеством решений 5x � �x 5x ��x � �� 5x� ��. 1 � �� еством показать, решений что данной системы является промежуток x�� области определения уравнения все сомножители будут только на области определения уравнения все сомножители будут только � � 5xсистемы �1 �� 1является 5x � �� Множеством данной промежуток x � � � ��. Разложим выражения под ми. Тогда к под каждому из каждого корней применить оценку выражения знаком корня на множители. Можно применить неотрицательными. Тогда решений кможно каждому из корней можно � � оценку � Множеством решений данной системы является промежуток Разло� ��. Множеством решений данной системы является промежуток x � � � ��. Множеством решений данной системы является промежуток x � � показать, что на области опр авенства Коши. В результате левая часть исходного Разложим выражения знаком уравнения каждого корня на множители. Можно о на области определения уравнения всепод будутчасть только посредством неравенства Коши. Всомножители результате левая исходного уравнения � � неотрицательными. Тогда ена Разложим так:может выражения знаком каждого корня на оценку множители. Можно Разложим выражения под знаком каждого корня на сомножители множители. Можно показать, чтопод на области определения уравнения все будут только льными. Тогда к каждому из под корней можно применить жим выражения знаком каждого корня на множители. Можно показать, что на быть оценена так: �� посредством неравенства Ко �� показать, на области определения уравнения все � сомножители будут только на области определения уравнения все будут только области уравнения все будут только неотрицательными. неотрицательными. Тогда к � каждому из корней можно мx � неравенства Коши. В результате левая часть исходного уравнения ��5x 1��x�� показать, 1��что �x�x � определения ��x � � � 5x ��3x �что � 1��x ��x сомножители ��сомножители � применить � 5x � оценку может быть оценена так: �� 1� � ��5x � �� Тогда к каждому из можно оценку посредством неравенства Коши. неотрицательными. Тогда к корней каждому из применить корней можно применить оценку неотрицательными. Тогда к каждому из корней можно применить оценку посредством неравенства Коши. В результате левая часть исходного уравнения оценена так: 1. посредством �� В результате левая часть исходного уравнения может быть оценена так: �� x�x � ��3x � 1��x � 1 посредством неравенства Коши. В результате левая часть исходного уравнения неравенства Коши. В результате левая часть исходного уравнения может быть оценена так: ��3x �сть � 1��x Правая � 1�после � ��5x � неравенства ��x � �после �с правой � 5x � неравенства преобразований совпадает часть � � преобразований � ��совпадает ��с правой �� можетможет быть �� оценена так: быть оценена так: ��5x � Таким x�x � ��3x �уравнения. 1��x 1� � � ��x � на области � � � 5x � 1. иваемого уравнения. образом, на�области определения частью рассматриваемого Таким образом, �� определения �� 3x ��5x �� 3x ��5x � x�x � � 1��x � 1� � � ��x � � � � 5x � � x�x � � 1��x � 1� � ��x � � � � 5x � Правая часть неравен больше правой части. Равенство возможно только 1. Правая янечасть после преобразований совпадает с�при правой егонеравенства левая часть не больше правой части. только при часть неравенства после преобразований совпадает с �правой частью рас�Равенство � возможно � � частью рассматриваемого у x � �Таким �часть x� 1. 1. сматриваемого �после � � x�определения Правая неравенства преобразований совпадает с правой сматриваемого уравнения. образом, на xобласти уравнения. Таким образом, на области определения его левая часть его левая часть не больше дующих условий � Записанная система имеет x � 1 � x � 1� следующих условий �xпосле Записанная Правая часть неравенства после преобразований совпадает собласти правой Правая часть неравенства с имеет правой частью рассматриваемого уравнения. образом, насистема определения � 1 �преобразований x Таким � 1� не больше правой части. Равенство возможно только при выполнении следующих часть невыполнении больше правой части. Равенство возможно только при совпадает 5x � � � x� x �уравнения. � не � x�больше частьючастью рассматриваемого Таким наРавенство области определения уравнения. образом, на области определения егорассматриваемого левая часть правой возможно только при 5x Таким �образом, � �части. x� следующих ус x его � 1 левая .условий Найденное принадлежит Записанная имеет единственное . xxправой � Найденное значение принадлежит области xобласти �� x� иешение следующих условий �больше Записанная система имеет x �не1значение � � 11�. правой его единственное левая часть нерешение части. части. Равенство возможно толькотолько при решение часть больше Равенство возможно при х=1выполнении одного уравнения, а, следовательно, является его решением. определения исходного его решением. xа,�следовательно, �� x��x��1x�� xявляется выполнении условий система имеет x� � 1� Записанная 5xследующих � уравнения, � � x� единственное решение x � ким методом иррациональных является ое выполнении решение xрешения � следующих 1 . Найденное значение Найденное значение принадлежит определения исходного уравнения, Классическим методом решения является условий �x �уравнений система имеет выполнении следующих условий �� Записанная система имеет 1принадлежит xиррациональных � 1� x� 1 области �5x xЗаписанная 1�области �� x� уравнений евой и правой частей степень. Если обсуждаемое единственное xявляется �� 1решением. Найденное принадлежит а, следовательно, является его я исходного уравнения, а, следовательно, его возведение их влевой и решение правой частей в.�5x степень. Еслизначение обсуждаемое уравнениеобласти определения исходного урав 5x � x�уравнение � �решением. � x� Классическим методо етодом, тометодом после всех преобразований мы.всех получим уравнение Классическим методом решения уравнений является единственное решение xиррациональных �то 1 .xпосле Найденное значение принадлежит области единственное решение � 1 Найденное значение областивозведеопределения исходного уравнения, а,иррациональных следовательно, является его решением. ическим решения уравнений является решать таким методом, преобразований мы принадлежит получим уравнение возведение их левой и прав ние их левой и степень. правой частей Если обсуждаемое уравнение решать таким и.ихПодбором можно установить, что � 1вобсуждаемое является корнем определения исходного а,x следовательно, является его1 решением. определения исходного уравнения, а,степень. следовательно, является его решением. Классическим методом решения иррациональных уравнений является левой и правой частей вуравнения, Если уравнение восьмой степени. Подбором можно установить, что x� является корнем решать таким методом, то п методом, то после всех преобразований мы получим уравнение восьмой степени. кратности 2. то Далее требуется найти многочлена шестой Классическим методом решения иррациональных уравнений является Классическим методом решения иррациональных уравнений является возведение их левой иДалее правой частей внайти степень. Если обсуждаемое уравнение им методом, после всех преобразований мы получим уравнение этого уравнения кратности 2.корни требуется корни многочлена шестой Подбором можно установить, что х=1 является корнем этого уравнения кратности 2. восьмой степени. Подборо азать, что их нет, причем корней он не имеет. возведение их левой и рациональных правой частей впосле степень. Если обсуждаемое уравнение возведение ихтаким левой и правой частей степень. Если обсуждаемое решать методом, то преобразований мы получим уравнение епени. Подбором можно установить, что x � в1всех является корнем степени или доказать, что их нет, причем рациональных корней он неуравнение имеет. Далее требуется найти корни многочлена шестой степени или доказать, что их нет, этого уравнения кратности 2 решение данного путем последовательного решать таким методом, то после всехкорни преобразований мы получим решать методом, то после всех преобразований мы получим уравнение восьмой степени. Подбором можно установить, что x уравнение � 1 является корнем ения кратности 2.таким Далееуравнения требуется найти многочлена шестой Таким образом, решение данного уравнения путем последовательного причем рациональных корней он не имеет. Таким образом, решение данного уравепень позволяет найти его корень. Однако использования восьмой степени. Подбором можно установить, чтоне xОднако � 1 xявляется корнемкорнем восьмой степени. Подбором можно установить, что �без 1 является этого кратности 2.без Далее требуется найти корни многочлена шестой степени или доказать, что и и доказать, что их нет, причем рациональных корней он имеет. возведения в уравнения степень позволяет найти его корень. использования нения путем последовательного возведения в степень позволяет найти его корень. весьма затруднительно доказать тот факт, что других корней этого уравнения кратности 2.затруднительно Далее требуется найти корни многочлена шестой этого степени уравнения кратности 2.что Далее требуется найти корни многочлена шестой или доказать, их нет, причем рациональных корней он не имеет. Таким образом, решение разом, решение данного уравнения путем последовательного других методов весьма доказать тот факт, что других корней Однако без использования других методов весьма затруднительно доказать тот факт, возведения в степень позво иев степень не имеет. Таким образом, применение неравенства Кошикорней степени или доказать, что ихкорень. нет, причем рациональных он не применение имеет. степени или доказать, что их нет, причем рациональных корней он неКоши имеет.неравенТаким образом, решение данного уравнения путем последовательного позволяет найти Однако без данное уравнение неего имеет. Таким образом, применение неравенства что других корней данное уравнение не использования имеет. Таким образом, ужить решение быстрее и проще. образом, решение данного уравнения путем последовательного Таким образом, данного уравнения путем последовательного возведения в решение степень позволяет его корень. Однако без использования других методов весьма затр одовТаким весьма затруднительно доказать тот факт, что других корней позволяет обнаружить решение быстрее инайти проще. ства Коши позволяет обнаружить решение быстрее и проще. еравенством, возможность эффективно решать возведения вдающим степень позволяет найти его корень. Однако без использования в методов степень позволяет найти его корень. Однако без использования других весьма затруднительно доказать тот факт, чторешать другихнекоторые корней данное уравнение не имеет внение невозведения имеет. Таким образом, применение неравенства Коши Другим неравенством, дающим возможность эффективно решать Другим неравенством, дающим возможность эффективно уравнений, является неравенство Бернулли. других методов весьма затруднительно доказать тот Бернулли. факт, что корнейкорнейКоши позволяет обнаружить решен других методов весьма затруднительно доказать тотприменение факт,других что других данное уравнение не имеет. Таким образом, неравенства бнаружить решение быстрее и проще. некоторые виды уравнений, является неравенство виды уравнений, является неравенство Бернулли. Другим неравенством примера рассмотрим следующее уравнение. данное уравнение непримера имеет. Таким образом, применение неравенства Коши Коши данное уравнение не имеет. Таким образом, применение неравенства обнаружить решение быстрее и уравнение. проще. им неравенством, дающим возможность эффективно решать В позволяет качестве рассмотрим следующее В качестве примера рассмотрим следующее уравнение. � некоторые виды уравнений, � � быстрее � неравенство позволяет обнаружить решение быстрее позволяет обнаружить решение Другим дающим эффективно решать виды уравнений, является Бернулли. � � и проще.возможность � �1 � � и.проще. При решении . Решить уравнение �Решить xнеравенством, √12. . При решении классическим Пример уравнение � �1 � � . При решении Пример 2. Решить уравнение 1 � x √ В качестве примера ра �� дающим Другим неравенством, дающим возможность эффективно решатьрешать Другим неравенством, возможность эффективно ��Бернулли. некоторые виды уравнений, является неравенство естве примера рассмотрим следующее уравнение. пособом путем возведения в четвертую степень получаем � классическим путем возведения встепень четвертую степень получаем способом путем в четвертую получаем уравнение шестнадцатой некоторые виды уравнений, является неравенство Бернулли. некоторые виды уравнений, является Бернулли. � неравенство В способом качестве примера рассмотрим следующее уравнение. � возведения Пример 2. Решить �1 � � просто. . Перепишем При решении ер 2. уравнение Решить уравнение 1 степени, � x �найти √ адцатой степени, корни которого найти не просто. � степени, корни которого не Перепишем уравнение в следующем виде шестнадцатой корни которого найти не просто. Перепишем �� В качестве примера рассмотрим следующее уравнение. В качестве примера рассмотрим следующее уравнение. � Пример Решить уравнение 1 � x� � �1 �� . При решении классическим способом пу �2. � в � им способом возведения четвертую степень � √� получаем � �� уравнения � � � .уравнение Область определения собой недующем виде путем 1� � �1 �Решить �уравнение �� Область определения √ уравнение в2. xследующем виде 1 � x � �1 � � � . �Область определения √ �1 � . При решении Пример Решить 1 � x Пример 2. 1 � x ��1 � . представляет При решении √ √ �� Перепишем классическим способомнайти путем возведения степень получаем уравнение шестнадцатой сте шестнадцатой степени, корни которого не просто. ��в четвертую �� тавляет собой неравенство x путем � �1. Применим ккорни � неравенство уравнения представляет собой x �вкоторого �1. Применим кполучаем выражению классическим способом возведения в выражению четвертую степень классическим способом возведения четвертую получаем �путем уравнение шестнадцатой степени, найтистепень не просто. Перепишем уравнение в следующем ви � в следующем виде 1 � xполучаем � �1 � оценку � � � . Область определения � √ � тво Бернулли, в результате �� корни уравнение степени, которого найти найти не Перепишем �просто. шестнадцатой степени, корни которого не просто. Перепишем � xшестнадцатой неравенство Бернулли, в результате получаем оценку � √1уравнение уравнение в следующем виде √1 � x�к81 �выражению �1 �� . Область определения уравнения представляет соб представляет собой неравенство x� �� 1. �Применим � уравнение вуравнения следующем виде 1 � x � �1 � � � ��. Область определения уравнение в следующем виде 1 � x � �1 � � � . Область определения √ √ представляет неравенство �� x � �1. Применим к выражению √1 � x неравенство Бернулл венство Бернулли, в результате получаемсобой оценку � уравнения представляет собой собой неравенство x � �1. к выражению уравнения неравенство x �Применим �1. Применим к выражению неравенство Бернулли, в результате получаем оценку √1 � xпредставляет � � классическим способом путем возведения в четве �� уравнение шестнадцатой степени, корни которого най еским способом путем возведения в четвертую степень получаем � � � ие шестнадцатой степени, корни которого найти не просто. Перепишем уравнение в следующем виде 1 � x � �1 � � � √ �� ие в следующем виде √1 � x � �1 �� . Область определения уравнения представляет собой неравенство x � �1. �� 1. �� , (1) (1) � � ��x ия представляет собой неравенство Применим к выражению равенство . Применим к выражению неравенство Бернулли, в� резульрезультате о √1 � x неравенство � � �получаем � �� , � �� , � �� , (1) � �� , � �� , (1) � �� тате � � ��получаем � , (1) � ��получаем � � � � � � � неравенство Бернулли, в результате оценку � � � оценку � � � � �� , �� которая �� , � (1) �� определения. ��с��выполняется выполняется области Выражение �� области �� (1) (1)которая �� , � �� которая на вс �� выполняется , , на всей (1) ��(1)на ссс (1) которая выполняется на определения. Выражение �� которая на всей всей области определения. Выражение �� выполняется всей � Выражение � � � определения. которая выполняется на всей области Выражение �� , (1) област � �� с которая выполняется на��всей области определения. �� помощью неравенства Бернулли можно оценить следующим образом � � с определения. лняется на всей области определения. Выражение ��определения. � �выполняется помощью неравенства Берну помощью Бернулли можно оценить сопределения. которая выполняется на неравенства всей области Выражение ��области � �образом помощью неравенства Бернулли можно оценить следующим образом помощью неравенства Бернулли можно которая на следующим всей Выражение �� которая выполняется на всей всей области Выражение �� помощью неравенства Бернулли оценить следующим �� можно �� сспомокоторая выполняется на области определения. Выражение �� которая выполняется всей области определения. Выражение помощью неравенства оценить следующим образом �� образом � � Бернулли � � �� на можно которая выполняется на всей области определения. Выражение �� . ��помощью (2) оценить �� венства Бернулли можнопомощью оценить следующим образом помощью неравенства Бернулли можно следующим образом щью неравенства можно оценить следующим образом � �� . �� .� � образом �� Бернулли неравенства Бернулли можно следующим � .. .оценить �� неравенства Бернулли можно оценить следующим образом �� (2) �(2) � � помощью неравенства Бернулли можно оценить следующим образом � � � � (2) �� . (2) �� помощью неравенства Бернулли можно оценить следующим образом � � ��. � �� справедлива ��Оценка � � � Соответственно на области условии � (2) �при при ��Оценка �справедлива �� . справедлива условии ��. области �� . �� (2) Соответственно �� Оценка при условии � Соответственно наОценка области Оценка на справедлива при(2) условип �� . ��. �� (2) справедлива � . (2) �� Соответственно � Оценка справедлива при условии � ��. Соответственно на области � � . �� Оценка справедлива при условии � ��. на области �� оценки определения уравнения выполняются (1)(2) и(1) (2). Умножим �� исходного . (2) �� определения исходного ура определения исходного уравнения выполняются оценки и (2). Умножим определения исходного уравнения выполняются оценки (1) и (2). Умножим определения исходного уравнения вы справедлива при условии �Оценка ��. Соответственно на области � (1)при определения исходного уравнения выполняются оценки (1)на и��области (2). Умножим Оценка� справедлива при условии �условии � ��.�� наусловии области ��. Оценка справедлива � Соответственно на определения исходного уравнения выполняются оценки Умножим справедлива при условии �Соответственно ��. ��. Соответственно на области Соответственно на области Оценка справедлива при Оценка справедлива при условии � � Соответственно � и (2). � �опре� � � � � � Оценка справедлива при условии �� Соответственно на �� неравенство (2)уравнения на(2) –1, тогда справедливо неравенство �и � √ сходного уравнения выполняются оценки (1) и–1, (2). Умножим определения исходного выполняются оценки и (2). Умножим �� неравенство (2) –1, тогда �(2). определения исходного уравнения выполняются (1)справедлив и (2). У �(1) � � � неравенство на тогда справедливо неравенство ��и� � �� деления исходного уравнения выполняются оценки (1) (2). неравенство ��. ��тогда � на неравенство (2) на –1, тогда справедливо неравенство � � √ определения исходного уравнения выполняются оценки (1) иУмножим (2). Умножим √ �� (2) –1, определения исходного уравнения выполняются оценки (1) Умножим �� на оценки � � неравенство (2) на –1, тогда неравенство � √неравенство �справедливо �� неравенство (2) тогда справедливо неравенство � � � �� √ � � � на –1, определения исходного уравнения выполняются оценки (1) и (2). У � �� такова � � �� , что позволяет найти оценку левой части уравнения. Она � � неравенство �на �, √ � �� неравенство � неравенство �найти �� ) на –1, тогда справедливо неравенство �что � позволяет �тогда ��√�� неравенство (2) на –1, тогда справедливо неравенство �левой �тогда �� , что что позволяет на √�–1, � тогда справедливо � �� что оценку левой части уравнения. Она такова � � , позволяет найти оценку части уравнения. Она такова � �� (2) на справедливо � � � √ � �(2) �-1, � � � , что позволяет найти оценк �� неравенство (2) на –1, справедливо неравенство � � � � √ � �� неравенство (2) на –1, тогда справедливо неравенство � � � � � , что позволяет найти оценку левой части уравнения. Она такова �� , что оценку левой(2)части � Она такова ��неравенство на –1,уравнения. тогда справедливо �� √� �� позволяет � � � � найти � � �неравенство �оценку �� позволяет найти левой части уравнения. Она такова � � � � � � �� найти � �� , �√ что левой части уравнения. Она такова � оценку �позволяет ��позволяет ��оценку �� оценку . найти Полученное неравенство выполняется для√такова любых �части � �, уравнения. что позволяет найти уравнения. �� что позволяет найти оценку левой части уравнения. Она такова �� части � �� . Она По �� что позволяет оценку левой части уравнения. ��найти � �� .� неравенство выполняется для любых � � � �� . Полученное Полученное неравенство выполняется для любых √ ..уравнения. Она такова √��,�,� �� оценку � �Она � левой �� части � Полученное √для � �� левой .� Полученное неравенство выполняется для любых � �� , что позволяет найти левой Он �� √ �� . Полученное неравенство выполняется любых �� √ � �� исходного � �� значений x из области определения уравнения. Равенство возможно � � � � � � � . Полученное для xвыполняется изопределения области опред x�xПолученное исходного уравнения. Равенство возможно � ��√�� . выполняется неравенство выполняется длязначений значений из определения исходного уравнения. Равенство возможно �� .значений √� �значений xзначений из области исх xлюбых из области определеПолученное неравенство выполняется для � �любых � �� Полученное неравенство для √определения �� x�� значений �� xиз �области �. . Полученное Полученное неравенство для любых значений из области определения исходного уравнения. Равенство возможно ��любых √�неравенство � �исходного �� области неравенство для любых из области уравнения. Равенство возможно �выполняется � �� выполняется �� определения � � � � �� . Полученное неравенство выполняется для �� √ � � �� ния исходного уравнения. Равенство только при выполнении следующих области определения исходного уравнения. Равенство возможно �Равенство � �� уравнения. � значений xтолько из области исходного уравнения. возможно выполнении следующих Уравнение имеет �Равенство ��определения значений x возможно изусловий области исходного уравнения. Равенство во значений xиз изопределения области определения исходного возможно ��Равенство только при выполнении выполнении следующих условий . Уравнение Уравнение имеет только при выполнении с � . только значений xпри определения исходного уравнения. возможно только при следующих условий �� ..исходного имеет �Уравнение при выполнении следующих при следующих Уравнение имеет �условий значений x из� области определения уравнения. �области � �� выполнении � �� только притолько выполнении следующих условий . имеет � �� Равенство в � �� . следующих �� ыполнении следующих условий � выполнении Уравнение имеет ..Уравнение имеет решение х=0. � следующих условий � только при выполнении условий �условий имеетусловий �� решение �� . только при выполнении только при следующих Уравнение имеет ��. решение только при выполнении следующих условий . . Уравнение решение �� решение �� . �� 5�. ��Уравнение решение �условий �имеет �. �� . . Уравнение 5 выполнении � �� решение � �. �� только при следующих Уравнени � �� решение � � �. �� 5 5 55 =64. 5 �� 5 -(x+2) Пример 3. Решите уравнение (x+6) �� 3. �� 5=64. 55-(x+2) Пример Решите ура Пример 3. Решите уравнение -(x+2) =64. Пример 3. Решите уравнение 5 (x+6) 5 5(x+6) Пример 3. Решите уравнение (x+ . �� -(x+2) =64. Пример 3. Решите уравнение (x+6) решение решение �решение � �. (x+6) -(x+2) =64 . Пример 3. Решите уравнение решение � � �.=64. Пример уравнение (x+6) -(x+2) �5��Решите �. Решение. �3. �. 5 5 5� � Решение. Решение. 5 5 Решение. решение Решение. 5 �. 5 -(x+2) =64. 3. Решите уравнениеПример (x+6) Решение. 5 5 Решение. -(x+2) =64. 3. Решите уравнение (x+6) Пример 3.Коши-Буняковского Решите уравнение (x+6) Решение. -(x+2) =64. Пример Решите уравнение (x+6) Применим следствие из неравенства при n=5 вn=5 виде -(x+2) =64. Пример 3.3. Решите уравнение (x+6) 5-(x+2) 5=64. Применим следствие из неравенства Коши-Буняковского при n=5 ввиде виде из Применим следствие Применим следствие из неравенства Коши-Буняковского при ввследствие =64. Пример 3. Решите уравнение Применим неравенси Применим следствие из неравенства Коши-Буняковского при(x+6) n=5 в-(x+2) виде . � Применим следствие из неравенства Коши-Буняковского при n=5 виде Решение. Решение. Применим следствие из неравенства Коши-Буняковского при n=5 в виде �� Решение. � �� 5 Решение. 5 � �� 5 5 �� 5 5 5 5 5 5 �� (*).�из(*). a -b 5виде �≥ Решение. следствие м следствие из неравенства Коши-Буняковского при n=5 вПрименим виде 5a-b -b aвиде Применим неравенства Коши-Буняковского при вaпри �� aaследствие -b5≥≥≥ �� (*). изn=5 неравенства при n=5 -b5n=5 ≥n=5вКоши-Буняковского (*).≥ �� (*). Применим следствие изнеравенства неравенства Коши-Буняковского при ввиде -b�� (*). следствие из Коши-Буняковского �� -b5≥ � Применим (*). a5�� Коши-Буняковского � Применим следствие из неравенства при n=5 �� 5 5 Используя это неравенство, оценим снизу левую часть исходного �� 5 5 �� Используя Используя это нерав *). это оценим снизу левую часть 5 5-b 5 5≥ Используя это неравенство, неравенство, оценим снизу левую часть исходного исходного (*). a -b ≥ aИспользуя � �(*). Используя это неравенство, о -b ≥ a Используя это неравенство, оценим снизу левую часть исходного (*). a �� -b ≥ (*). 5 5 это неравенство, оценим снизу левую часть исходного �� Используя это неравенство, оценим снизу � ��левую часть исходного уравнения. 5 �� Тогда -b ≥ (*). �� 5a5≥ 5 �� 5 � 5 5 �� 5 5 уравнения. (x+6) -(x+2) � ��. Отсюда и из данного уравнения 5 5 �5 снизу �� уя это неравенство, оценимИспользуя снизу левую часть исходного 5-(x+2) �� уравнения. Тогда -(x+2) ≥ ��. Отсюда ииз из данного уравнения уравнения. Тогда (x+6) Используя это неравенство, оценим левую часть исходного �� уравнения. Тогда (x+6) ≥≥�� Отсюда ичасть данного уравнения 5это 5(x+6) Используя это оценим снизу левую часть ис уравнения. Тогда (x+6) -(x+2) ≥ -(x+2 неравенство, оценим снизу левую исходного уравнения. Тогда (x+6) ��. ��. Отсюда иуравнения из данного уравнения Используя неравенство, оценим снизу левую часть исходного �� уравнения. Тогда (x+6)это -(x+2) ≥ -(x+2) � ��. Отсюда инеравенство, из данного уравнения � �� Отсюда и из данного следует выТогда � � Используя это неравенство, оценим снизу левую часть�� и �� 5 5 �� 5 5 следует вывод о том, что неравенство (*) обращается в равенство, а это �� 5 5 5 5 следует вывод о том, что неравенство (*) обращается в равенство, а это �� следует вывод о том, что да (x+6) -(x+2)уравнения. ≥ � ��. Отсюда и из данного уравнения следует вывод о том, что неравенство (*) обращается в равенство, а это 5 ≥ Тогда (x+6) -(x+2) ≥5о-(x+2) � ��. Отсюда иОтсюда из уравнения �вывод следует о том, неравенст Тогда (x+6) �это ��. Отсюда из данного ур следует вывод том, неравенство (*)данного обращается в x+6=-x-2, равенство, этоичто уравнения. (x+6) -(x+2) ��. ��. Отсюда данного �� уравнения. Тогда (x+6) ≥(*что �обращается из уравнения 5-(x+2) 5≥это следует вывод оТогда том, неравенство вииравенство, ауравнения �� уравнения. �� имеем вод овозможно том, что неравенство ) обращается вa=-b. равенство, аиз возможно только возможно только вчто том случае, когда a=-b. Следовательно, имеем т.е.ва том �� (*) уравнения. Тогда (x+6) -(x+2) ≥данного � ��. Отсюда и извданного ур �� только в том случае, когда Следовательно, x+6=-x-2, т.е. возможно только том случ возможно только в том случае, когда a=-b. Следовательно, имеем x+6=-x-2, т.е. возможно только в том случае, когда a д о том, что следует неравенство (*) обращается в равенство, а это возможно вчто том случае, когда a=-b. Следовательно, x+6=-x-2, т.е. в равенство вывод овывод том, что неравенство (*) обращается в равенство, а��имеем это т.е. следует вывод ообращается том, что (*) обращается возможно только в том случае, когда a=-b. Следовательно, x+6=-x-2, следует вывод отолько том, неравенство (*) обращается в равенство, а это a=-b . Следовательно, имеем x+6=-x-2 , имеем т.е. неравенство x =-4 . когда =-4. x1случае, следует о том, что неравенство (*) в равенство, а это 1 x =-4. =-4. x =-4. x =-4. x 1 1 следует вывод о том, что неравенство (*) обращается в равенств 1 1 ко в том случае, когда a=-b. Следовательно, имеем x+6=-x-2, т.е. 1 xОтвет: возможно только в только том случае, когда a=-b. Следовательно, имеем x+6=-x-2, т.е. Следовательно, 1=-4. возможно только в том случае, когда a=-b. имеем x+6=x1=-4. -4. возможно только том случае, когда a=-b. Следовательно, имеем x+6=-x-2, т.е. Ответ: -4. возможно ввтом случае, когда a=-b. Следовательно, имеем x+6=-x-2, т.е. Ответ: -4. имеем x+6= Ответ: -4. Ответ: -4. возможно только в том случае, когда a=-b. Следовательно, Ответ: -4. Ответ: -4. x1=-4. xxОтвет: x1=-4. -4. 4. что если a>0, b>0, c>0 , то Пример 4.Доказать, Доказать, что если a>0, b>0, c>0, 1=-4. Пример 1=-4. 4. что Доказать, чт Пример 4. Доказать, что если a>0, b>0, c>0, Пример 4. Доказать, что если a>0, b>0,то c>0,то xa>0, Пример 4. Пример Доказать, если a>0 . 1=-4. Пример 4. Доказать, что если a>0, b>0, c>0, тото Ответ: -4.Ответ: � � � Ответ: -4. Пример 4. Доказать, что если b>0, c>0, то Ответ: -4. -4.� c� � � �� .� Ответ: -4. � � � � � � �a � b 4. Доказать, что еслиПример a>0, b>0, c>0, то �Доказать, b� c�� Пример ��. ��. � � �что �a��a � bb � 4.Пример Доказать, если a>0, b>0, c>0, то � � � b c>0, � c��a � ��b � �c�� 4.c>0, Доказать, то что a>0, b>0, c>0, то что если a>0,�ab>0, �Доказать, ��c� c� � �если �.�.b>0, � � 4.4. a>0, то � �если �� a �Пример b ��c� ��a � � �� что �. � � � � � � � Пример 4. Доказать, что если a>0, b>0, c>0, то �� 1 способ. � � � 1�способ. � � ��. � 1 способ. c� � � � � � �. �a � b � c� 1 способ. 1 способ. � � � 1 способ. �a � b � c� � � � � � �. �a � b � c� � � � � � �. 1� способ. � � � � � � �aДокажем �� b � c�неравенство ��неравенство � �� по �.определению: 1 способ. Докажем по определению: �a � b � c� �� . �� неравенство � Докажем неравенство Докажем по определению: Докажем неравенство по определению: Докажем неравенство по определп � � � � Докажем неравенство по определению: 1 способ. � � � � � � � � � � 1 способ. Докажем неравенство по определению: способ. 11bспособ. � � � � �� 1�способ. � �� a � � c� � � � � � � � � � � � � � � � неравенство по определению: �a � �� b �b�� c� � �� a � � ��по � ��определению: �� c� ��c� ДокажемДокажем неравенство по �a �неравенство c�� по �определению: � �� b� � �� определению: � � � � �неравенство �� a � b�� Докажем по определению: Докажем неравенство �a b � c� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �a � b � c� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� Докажем � � �� неравенство �� определению: �� по �� b �� a �� b��a c� �� a � � c� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � c� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� a �� bb� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� c� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� c� � � � �� a �� b�� .�� .� �� . � � � �� .� �� . � �� .�� . � � � � � � �� сп � � � � � � � � � Значит, неравенство справедливо. �� Значит, неравенство справедливо. Значит, неравенство � �. Значит, неравенство справедливо. ��Значит, � �. � �� . Значит, неравенство справедливо Значит, неравенство справедливо. � �� Значит, неравенство справедливо. � � �. � �. неравенство справедливо. �� способ. �� . �� 22 способ. �� способ. 222способ. 2 способ. 2 способ. неравенство справедливо. ��Значит,��неравенство справедливо. способ. Значит, неравенство справедливо. 2 способ. Значит, неравенство справедливо. Применим неравенство Коши для n=3, получим Значит, неравенство справедливо. неравенство Применим неравенство Коши для n=3, Применим неравенство Коши для n=3,получим получим Применим неравенство для n=3 , получим Значит, неравенство справедливо. ПрименимПрименим неравенство Коши для Применим неравенство Коши для n=3, получим 2 способ. 2�n=3, способ. Применим неравенство КошиКоши для получим способ. 22способ. � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 способ. � � � � м неравенство КошиПрименим для an=3, � � � Применим bПрименим � c� �c ∙c� b∙�√a � для �� ∙получим ∙ � ∙�� .∙ �∙� ∙ �∙�.Коши для получим √a �� n=3, � ∙ c∙;�b получим неравенство � ∙cb�∙ c�; ∙ √a ∙ �b� ∙ c�; � � � �� aaполучим � ��∙∙∙Коши ;;cКоши �неравенство aнеравенство � b∙∙ c∙�cКоши ;n=3, � . a �для неравенство √a∙ ∙b� � � Применим � для ��n=3, � �∙∙ �∙� bдля �n=3, cn=3, �a �� ∙b√a ��∙ � �∙ � .�Коши �∙��b b�b� �� cb � � √a �� ∙ �получим �� a� � b� � c � � ∙ ∙ c ; � � � ∙ ∙ . Применим неравенство получим √a � � � � � � � � � �� b �∙ � �cчто � c∙∙� �c a� �Перемножив .�неравенства, √a ∙ b ∙ c; � � � � � �� ∙ � a��b�� b ∙ c ; � � ∙ ∙ . � � � � �. получим, (a+b+c)� ∙ b ∙ c a � � ∙ ; ∙ ∙ . √a � � ��bb∙∙�√a � � ∙ ∙ b ∙ c ; � � � � ∙ ∙ ∙ . � � � � � � � � √a � �a � � � � � cПеремножив � � ∙ √a ∙ bнеравенства, ∙неравенства, c; � � a��получим, ��c�� ∙�(a+b+c)� неравенства, по � � � � � �∙что Перемножив (a+b+c)� � �. �Перемножив Перемножив неравенства, �� ∙� ∙� . Перемножив получим, что �� . �.� Перемножив неравенства, получим, что b�получим, �что ∙что ∙��b∙ ��∙��.c; � � � ∙ �неравенства, √a � �получим, � � (a+b+c)� Перемножив неравенства, � � � получим, что (a+b+c)� � �� . � �� .� получим, � � �� Пример �получим, � �5.�.Докажите, еравенства, получим, что (a+b+c)� � где n �� n1.�что 1. (a+b+c)� �� . � ��где ��!, �� Перемножив неравенства, что (a+b+c)� Перемножив неравенства, Пример 5. что ��(a+b+c)� � ��.�. �nгде Перемножив неравенства, получим, (a+b+c)� � неравенства, � � Докажите, ��n�� Перемножив получим, что Пример 5. что � �что �что�� n�� Пример 5.Докажите, Докажите, ��!, � �!, � n�� 1. Перемножив неравенства, что (a+b+c)�� . � �� получим, � � � � � Доказательство. Доказательство. Доказательство. Доказательство. Возьмем в качестве опорных следующие неравенства Коши: Возьмем в качестве опорных следующие неравенства Коши: Возьмем в качестве опорных следующие неравенства Коши: Возьмем в качестве опорных следующие неравенства Коши: �� ∙ √n �� ∙ 1 ; � � 1� ∙ 2 ; � � 3 ; …; ��n ��n � ∙1� � ∙2� 32�; ∙…; � √n�√n ∙1;1; � ��n � 1� 2 ;∙ 2 ; � 2� 3 ;∙ …; �� n �� n � � ��n � � �� ∙�2 ∙ �n ; � √1 � √1 ∙ n . �n1� � � �2 ∙ �n � ;1��; 1�� 2 � ∙ n .∙ n . √1 � � � � Перемножив n неравенств, получим: Перемножив nэти неравенств, получим: Перемножив этиэти неравенств, получим: Перемножив эти nn неравенств, получим: � � n�1 n �n1��1 ��n�n �� 2∙ 2 ∙ 1��1 ∙ 3∙ � ∙�n …1�n� ∙ �n � √n!�n! � �2 ��n�n ��n�n � √n! n! � 1��n �… 2�2�…∙ 2� 2 ∙…1��1 3∙ 2∙∙ … � 1�n� �n � � 2�� 1��n � 1��n 2� 1��1 ∙∙ 32 ∙∙ … � 1�n� n!�� √n! 2 � � n! � � n! �� n!� � ��n!� � n! � ��n!� � � � �� !. ��!.� �!. Итак, � � �� Итак, � Итак, � � какусловию по условию n1,� то первое из опорных неравенств Коши может как по то1,первое из опорных неравенств Коши может ТакТак какТак по условию n �n1,�то первое из опорных неравенств Коши может 82 быть только строгим. Но тогда и после перемножения опорных неравенств быть только строгим. тогда и после перемножения опорных неравенств быть только строгим. Но Но тогда и после перемножения опорных неравенств � � � �� что �!, что полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, � � � полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, � что полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, � � � �!, �!, � � � . n� � 1 � � nПеремножив ��n ��n�n �� неравенств, получим: �� 1 n � �� 1��n � 2� …2 ∙ 3 ∙ … ∙ �n � 1�n� � √n! n! � n� 1 ∙ �1��1 ∙ 2�n � 11эти ��nn 12��n�n �неравенств, nПеремножив ��1 � � Перемножив эти n неравенств, получим: � �n��n�n � 1��n � 2� … 2 ∙ 1��1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ � 1�n� � n!2 � √n! n � 1 эти n получим: ��n�n Перемножив эти n неравенств, получим: � � � 1��n � 2� … ∙ 1��1 ∙n!2� ∙ 3 ∙ … ∙ �n � 1�n� � √n! n! � �n �n ��n�n � � 1��n � 2� … 2 ∙ 1��1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ � 1�n� � n!∙� � � � � � 1��n � 2� … 2 ∙ 1��1 ∙ 2 33�∙∙√n! … 1�n� � √n! √n! �n � 1 ��n�n � �� 2� �21��n � ∙… 2� 2∙ … ∙3 21�n� ∙… 3 1�n� � n! √n! �n ��n�n 1��n 2� …1��1 ∙21��1 ∙ 2∙∙∙… ∙� ∙� … ∙n! � 1�n� � � √n!�n! , получим: � � ��2��n�n �2 1��n … ∙� 1��1 2� ∙…3 ∙2�n � �� n ��n�n � � 1��n � 2� 2 ∙ 1��1 ∙ ∙ ∙ 1�n� � n! √n! � 2 � 2 2 �n � 11� ��n�n ��1��n � 2��…n! 2 ∙ 1��1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ � 1�n� � √n! n! � � 2 � ��n!� n 2� 1 � 2nn2� �n�√n! ��n!� ��n�n � n! � � �1��n ��n!� 1��n � 2�n! …222∙ 3∙∙ 1��1 1��1 … ∙∙ � � 1�n� � √n! n! � � √n! n! � �2� �� n�n � ∙ 2 ∙ �3 ∙ � � ��n!� 2� ∙ 1��1 ∙… ∙ … ∙ �n �n �1�n� n! �� n�n �� 1�n� �� n!� � 1��n � 2� ∙∙ 22� ∙∙ � 331�n� ∙∙��n!� … � � n! � �� √n! ��n!� �… ��n!� n! … 2 ∙ 1��1 ∙ �n � n! �� n!� �� !. n! n!� n! �� 2 �� …�� 22 � Итак, � �� n!� � n! � � � �� !. �� Итак, � Итак, �� Итак, � � � �!. �� !. n! � � �� Итак, �!. Итак, � �� !. ��n!� ��n!� �условию ��n!� � �!. � n! ��Итак, � n! � �� !. Итак, Так как по n � 1, то первое� из опорных неравенств Коши может � Итак, ��!. � � � � � Итак, � � �!. � � � �� Так как по n � 1,n то изпосле опорных неравенств Коши может �� Так как условию n может �неравенств 1, то первое из опорных Так как по условию nусловию � 1,строгим. то первое из опорных неравенств Коши по условию � то первое из опорных Коши может Так как по условию �nто 1, то1, изпоперемножения опорных неравенств Коши может Итак, �как � �!. �Так быть только тогда и опорных неравенств по условию nпервое �первое 1,первое то первое из опорных неравенств Коши может неравенств Коши може Так как по условию nкак � 1, то первое из опорных неравенств Коши может �Итак, �как �!. Итак, �Так � �!. Итак, �Так Так по условию n 1, �Но 1, из опорных неравенств Коши может � � как по условию n � то первое из опорных неравенств Коши может � быть только строгим. Но тогда и после перемножения опорных неравенств � � быть только строгим. Но тогда и после перемножения опорных неравенст быть строгим. Но тогда и ипосле перемножения опорных неравенств быть только строгим. тогда ии после перемножения опорных неравенств �� быть только строгим. Но тогда и после перемножения опорных неравенств быть только строгим. Но после перемножения опорных неравенств бытьтолько только строгим. Но после перемножения опорных неравенств � Коши Так как по условию �Но 1, то первое из опорных неравенств Коши может быть только строгим. Но итогда после перемножения опорных неравенств � � �!, что полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, � Так кактолько по условию nтогда �Коши 1, то первое из опорных может Так как по условию nnтогда � 1, то первое из опорных неравенств может �� Коши � Так по условию первое изнеравенств опорных Коши может быть � быть строгим. Но тогда и после перемножения опорных неравенств � �� первое из опорных неравенств может �� неравенств �� !, что полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, � � � � �!, чт полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, � �� быть только строгим. Но тогда и после перемножения опорных � � �!, что полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, � � � �!, что полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, � � � �!, что полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, � � � �!, что полученное неравенство должно бытьперемножения строгим. Таким ��!, �� что только строгим. Но тогда и после перемножения опорных неравенств полученное быть перемножения только строгим. Но тогда идолжно после перемножения опорных �� неравенств �образом, �!, полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, ��образом, быть строгим. Но тогда и после опорных � итолько требовалось доказать =3 �� полученное неравенство быть строгим. Таким после опорных неравенств �неравенств � чточто ��!, � � полученное неравенство должно быть строгим. Таким образом, � � � �� и требовалось доказать =3 �� !, что требовалось доказать =3�это� �единственный и требовалось доказать =3 ии требовалось доказать =3 инеравенство требовалось доказать =3 строгим. �� полученное неравенство должно быть строгим. Таким�образом, образом, Данный пример показывает, что, возможно, способ требовалось доказать =3 ибыть требовалось доказать =3 что и должно быть Таким образом, �!, неравенство должно быть Таким образом, � способ �требовалось �!, что полученное неравенство должно строгим. Таким �� ,�что и требовалось доказать =3 � �!, строгим. что тьиполученное строгим. Таким образом, � �показывает, и требовалось доказать =3 Данный пример что, возможно, это единственный � � что, Данный пример показывает, возможно, Данный пример показывает, что, возможно, это единственный способ Данный пример показывает, что, возможно, это единственный способ это единственный спосо � неравенства. Данный пример показывает, что, возможно, это единственный способ доказательства Данный пример показывает, что, возможно, это единственный доказать =3 Данный пример показывает, что, возможно, это единственный способ и требовалось требовалось доказать =3 Данный пример показывает, что, возможно, это единственный способ способ и требовалось доказать =3 и доказать =3 Данный пример показывает, что, возможно, это единственный способ доказательства неравенства. � доказательства неравенства. �� доказательства неравенства. доказательства неравенства. доказательства неравенства. Данный пример показывает, что, возможно, это единственный доказательдоказательства доказательства неравенства. � Данный пример показывает, что, возможно, это способ доказательства неравенства. Пример 6. неравенства. (ЦТ В 12). Решите уравнение � x �способ � способ 2√5x �способ �. В ответ Данный пример показывает, что, возможно, это��единственный � �возможно, �единственный Данный пример показывает, что, это единственный доказательства неравенства. � �� что, возможно, это единственный способ �� ства неравенства. � Пример 6. (ЦТ В 12). Решите уравнение � x � 2√5x � �. В ответ � � � Пример 6. (ЦТ В 12). Решите уравнение � x � � 2√5x � �. В отве �� Пример 6. (ЦТ В 12). Решите уравнение � x � 2√5x � �. В ответ Пример 6. (ЦТ В 12). Решите уравнение � x � 2√5x � �. В ответ доказательства неравенства. Пример 6. (ЦТ В 12). Решите уравнение � x � 2√5x � �. В ответ � 6. (ЦТ В 12). �Решите уравнение ��2√5x � �. В ответ �x �� Пример 6.запишите (ЦТ ВПример 12). Решите уравнение � �.� Вxответ доказательства неравенства. �уравнение доказательства неравенства. � �� x�� значение выражения x·│x│, где х� – 2√5x корень уравнения. �� Пример 6. (ЦТ В12). 12). Решите � � 2√5x �. В ответ � �� Пример 6. (ЦТ В Решите уравнение . В запиши� �� Пример 6. (ЦТ В 12). Решите � x � 2√5x � �. В ответ � � корень �� запишите значение выражения x·│x│, где хуравнения. –где уравнения. �� уравнения. � запишите ��–�� значение выражения х – корень уравнения. запишите значение выражения x·│x│, где х –х запишите корень выражения x·│x│, где хх� ––2√5x корень �корень запишите значение выражения хгде �� Решение. Пример 6.значение (ЦТ В 12). 12). Решите уравнение �уравнения. � 2√5x � �. �.где В ответ ответ запишите значение выражения x·│x│, корень уравнения. значение выражения x·│x│, где –x·│x│, корень уравнения. � Пример 6. (ЦТ В 12). Решите уравнение � x В x·│x│, ответ Пример 6. (ЦТ В Решите уравнение � xx�� . � 2√5x � В � �� запишите значение выражения x·│x│, где х – корень уравнения. � � е запишите уравнение � x � 2√5x � �. В ответ � запишите значение выражения x·│x│, где х – корень уравнения. Решение. x∙│x│ , где х – корень уравнения. те значение выражения � �� Решение. � Решение. Решение. � Решение. Решение. Решение. Рассмотрим функцию � xгде 2√5x � �.уравнения. Графиком является парабола, запишите значение выражения x·│x│, где�ххуравнения. – корень корень уравнения. Решение. � значение выражения x·│x│, где х�–�2√5x корень запишите значение выражения x·│x│, Решение. Решение. � � � �� │,запишите гдеРассмотрим х – корень уравнения. Рассмотрим функцию x� �� .–2√5x Графиком является парабола, �� Рассмотрим функцию �является � xявляется � 2√5x �у �. Графиком является парабола функцию � � x � 2√5x �. Графиком является парабола, Рассмотрим функцию � x � �. Графиком Рассмотрим функцию � � x � 2√5x � �. Графиком парабола, � Рассмотрим функцию � � x � 2√5x � �. Графиком является парабола, Рассмотрим функцию �функцию � над x � осью 2√5x �. 2√5x Графиком является парабола, Решение. расположенная ветви направлены вверх, хпарабола, , парабола, √5 � xОх, 0=0=3 – Решение. Рассмотрим � � � � �. Графиком является парабола, Решение. Рассмотрим функцию . Графиком является распоРассмотрим функцию � � x � 2√5x � �. Графиком является парабола, расположенная над осью Ох, ветви направлены вверх, х =, у =3 – √5 0 0 � расположенная осью ветви направлены расположенная над осью ветви направлены вверх, хнад , ,увверх, =3=3 расположенная над осью Ох, ветви направлены уу00=3 √5 расположенная над Ох, ветви направлены вверх, х0–√5 =у0,,=3 – –– вверх, х0=- √5 , у0=3 √5 �осью 0=0Ох, 00=координаты вершины. Значит, у≥3. расположенная осью ветви направлены вверх, ==3 √5 расположенная над осью Ох, ветви вверх, х0=Рассмотрим функцию �направлены � 2√5x 2√5x � �. �. Графиком является парабола, √5 ложенная надОх, осью Ох ,� ветви вверх, ––ххкоординаты верфункцию �осью �осью xнад 2√5x �. Графиком является над Ох, ветви направлены вверх, ху0=у,√5 Рассмотрим функцию ��направлены � xx��Ох, � � Графиком является 0=3 над Ох, ветви направлены вверх, хпарабола, , у,парабола, – –� � 2√5x Рассмотрим �расположенная �.расположенная Графиком является парабола, координаты вершины. Значит, у≥3. √5 � �� вершины. � �� 0=-0 у≥3. 0=3 координаты Значит, � � � �� координаты вершины. Значит, у≥3. координаты вершины. Значит, у≥3. координаты вершины. Значит, у≥3. координаты вершины. Значит, у≥3. � шины. Значит, у≥3 . Значит, координаты вершины. Значит, у≥3. � �� расположенная над осью Ох, ветви направлены вверх, ху000==у0�0=3 =3 – ∙ 2 �∙ � �� √5 координаты вершины. у≥3. Рассмотрим выражение , � �тогда � �� – ,,� �� x �у расположенная надвершины. осью Ох, ветви направлены х0==3 √5 �� расположенная Ох, ветви направлены вверх, √5 � �� координаты Значит, у≥3. � вверх, �, ��х � �� осью �� тви направлены вверх, х0=-над ,�� √5 � � �� – �� ∙ �� тогда �� x �� 0=3 – �� у �� Рассмотрим выражение , � � 2 ∙ Рассмотрим выражение , тогда � � Рассмотрим выражение , тогда � �x � � � � � ∙ 2 � � � �� Рассмотрим выражение , тогда � �x � � � ∙ 2 ∙ Рассмотрим выражение , тогда � �x � � � ∙ 2 ∙ координаты вершины. Значит, у≥3. Рассмотрим выражение , тогда � �x � � � ∙ 2 ∙ � Рассмотрим выражение , тогда � �x � � � ∙ 2 ∙ �� Рассмотрим выражение , тогда � �x � � � ∙ 2 ∙ координаты вершины. Значит, у≥3. � � � � � � координаты вершины. Значит, у≥3. � � � �� Рассмотрим выражение ,�� тогда � � ∙ �2 2 ∙ �� ∙�� Рассмотрим , �� тогда � �x ��x �� выражение �� ∙ � �� (применив неравенство Коши). �� x �� ∙ �� ∙ 5�� Рассмотрим выражение , тогда � �x � � ∙ 2 ∙ � � � �� Рассмотрим выражение , тогда � �x � � � ∙ 2 ∙ � выражение ,� тогда � �� xнеравенство � �� ∙Коши). 2∙ �� x ∙�5 � ∙ �x � (применив Коши). ��∙�∙5 � �Рассмотрим ��неравенство �� неравенство � ∙Коши). ∙неравенство 5� (применив неравенство �неравенство тогда �x � ∙ 2 Коши). ∙ �x � �� x �x ∙�, � � Коши). ∙�(применив � �∙∙�5 (применив неравенство (применив �� Коши). ∙�� ∙�5�� 5�� (применив (применив Коши). �� (применив � ∙�� 5� �� неравенство Коши). �� x �∙� �� x �5 � ��x ��x ��∙�� неравенство Коши). ��неравенство �� (применив ��∙ �∙�� ∙�� 5 (применив Коши). � �� достигается, если каждая Следовательно, � �� 3� Таким образом, равенство �� x �� (применив неравенство Коши).�� (применив 3� Таким образом, равенство достигается, если каждая �x � ∙ Коши). Следовательно, � �x ∙Следовательно, 5∙∙ � (применив неравенство Коши). � 55 � неравенство Коши). � если 3� каждая Таким образом, равенство Следовательно, �� Таким 3�∙∙�3� образом, равенство достигается, если Следовательно, �Следовательно, �� 3� Таким образом, равенство достигается, если каждая Следовательно, венство �� 3� Таким образом, равенство достигается, если каждая Таким образом, равенство достигается, если каждая � 3� Таким образом, равенство достигается, если каждая достигается, если кажда Следовательно, �� Таким образом, равенство достигается, каждая Следовательно, � �� возможно ��достигается, � из �� 3� Таким образом, равенство если каждая Следовательно, � частей принимает значение, равное 3, а это при х=-√5. �� 3� Таким образом, равенство достигается, если каждая Следовательно, �� из частей принимает значение, 3, а это возможно при х=-√5. � �� из частей принимает значение, равное а это возможно при х=-√5. �значение, 3�3,значение, Таким образом, равенство достигается, если3,каждая каждая Следовательно, изиз частей принимает значение, равное аравное это возможно из частей равное 3, аах=-√5. это возможно при х=-√5. из Тогда частей принимает равное возможно при из частей принимает 3,это апри это возможно при х=-√5. из частей принимает значение, равное 3,возможно это возможно при х=-√5. � 3�принимает образом, равенство достигается, если каждая Следовательно, � 3� Таким образом, равенство достигается, если Следовательно, частей принимает значение, равное 3, аравное это возможно при х=-√5. x·│x│=�√5·√5=-5. �Таким �� из частей принимает значение, 3, а при х=-√5. бразом, равенство достигается, если каждая ��значение, � � �� из частей принимает равное 3, а это возможно при х=-√5. Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. Ответ: -5. равное Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. изТогда частей принимает значение, равное 3, аа это это возможно возможно при х=-√5. х=-√5. принимает значение, 3, аравное это возможно при х=-√5.при Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. из частей принимает значение, 3, x·│x│=�√5·√5=-5. оеиз 3, частей аОтвет: этоТогда возможно при х=-√5. Ответ: -5. Ответ: -5. Ответ: -5. -5. Ответ: -5. Ответ: -5. Пример 7. (олимпиада по математике 2014/2015 учебный год). Какое Ответ: -5. Ответ: -5. Ответ: Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. -5.(олимпиада по математике 2014/2015 учебный Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. Тогда x·│x│=�√5·√5=-5. Ответ: -5.7. Пример год). Какое � наименьшее �� математике Пример 7. (олимпиада по математике 2014/2015 учебный год). Какое Пример 7. (олимпиада по 2014/2015 учебный год). Како Пример 7. (олимпиада по математике 2014/2015 учебный год). Какое Пример 7. (олимпиада по математике 2014/2015 учебный год). Какое Пример 7. (олимпиада по математике 2014/2015 учебный Какое Пример (олимпиада по математике 2014/2015 учебный Какое � � год). ,год). если a – значение может принимать величина a� Пример 7.наименьшее (олимпиада по7. математике 2014/2015 учебный год). Какое � ��Какое Ответ: -5. � a год). �� Пример 7. (олимпиада по математике 2014/2015 учебный �Какое Ответ: -5. Ответ: -5. �� a – �� Пример 7. (олимпиада по математике 2014/2015 учебный год). �� a � , если наименьшее значение может принимать величина a �� a� � �� , если a наименьшее значение может принимать величина a � a � , a – наименьшее значение может принимать величина a a � , если a – наименьшее значение может принимать величина a значение может принимать если a – произвольное дей� ,�� если a –a – наименьшее значение может принимать величина a� �,�учебный � �a�� если ,a если наименьшее значение может принимать величина aaесли � �� a�� a�a�–год). наименьшее значение может принимать величина aвеличина � �� произвольное действительное число? �� Пример 7. (олимпиада по математике 2014/2015 год). Какое � , – наименьшее значение может принимать a �� Пример 7. (олимпиада по математике 2014/2015 учебный год). Какое � �� Пример 7. (олимпиада по математике 2014/2015 учебный Какое � � a � ��число? значение можетКакое принимать величина a �� ,��если a – атематикенаименьшее 2014/2015 учебный год). произвольное действительное число? ствительное число? �� произвольное произвольное действительное число? произвольное действительное число? произвольное действительное число? � � a� � ��действительное Решение. произвольное действительное число?aвеличина произвольное действительное если aa –– наименьшее значение можетчисло? принимать величина �число? �� a� aa�� , если a��–,, если наименьшее значение может принимать величина произвольное действительное � a � наименьшее значение может принимать � произвольное действительное число? � a � , если a – имать величина a Решение. Решение. � �� Решение. Решение. Решение. �� Решение. Воспользуемся неравенством Коши. Решение. Решение. произвольное действительное число? Решение. действительное число? произвольное действительное число? Воспользуемся неравенством Коши. Решение. Воспользуемся неравенством Коши. ? произвольное Воспользуемся неравенством Коши. Воспользуемся неравенством Коши. Воспользуемся неравенством Коши. Воспользуемся неравенством Коши. Тогда Воспользуемся неравенством Коши. Воспользуемся неравенством Коши. Решение. Воспользуемся неравенством Коши. Решение. Тогда Решение. Воспользуемся неравенством Коши. Тогда Тогда Тогда Тогда Тогда Тогда Тогда � � Коши. � � Воспользуемся неравенством Коши. Тогда �� неравенством Коши. Воспользуемся неравенством Тогда � � � � � � � �� 1� �� ∙�� ∙ � �1�2� 1 � Коши. Воспользуемся � � � � �� 1 � � �� ∙ �� 1 �� ∙ �� 1� � 2 � Тогда � � � � � � � � �� ∙ � � � � � � � �� 1� � � � � � � Тогда � � � � ��∙ �� Тогда � � � � � � �� 1� � ��∙ � 1 � 2 � 1 � �� ∙ �� 1� � ��∙ � 1 2 � 11 ��∙�� 1 � 2 � 1 � � � ��∙ �� 1� ��∙ � 1 � 2 � 1 � � �� ∙ �� 1� � ��∙ 1 2 � � � � �� 2 � �� ∙ �� 1� � ��∙ � 1 � � 1 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 1� � � �� ∙ �� 2 1� 1 �� 1 �� 1 � �� 1� � �� ∙��∙ � �1� 2� � � �� ∙ �� 1�� 1 � 2 � 1 � �� 1 ��∙ � ��∙ ��∙ �1 � � � �� 1 � ��∙ �� 1� � � � 2 � 1 1 � 1 ��∙ �� 1� � ��∙ � 1 � 2�1 � � � � � � 1 � � 1 2 ��1при �1�достигается �� a=0 �� 1�Равенство �� ∙�� 1� � ��∙ � 1� � �.� �� 1 Ответ: наименьшее значение равно 1. � 11 �1 � Применение неравенств к решению уравнений и доказательства неравенств позволяет рассматривать те случаи, когда решение стандартными методами приводит к громоздким выкладкам. Таким образом, применение замечательных неравенств к решению задач нестандартного характера позволяет в ряде случаев более просто прийти к их решению, способствует развитию математического и логического мышления, а также расширяет представления о методах решения уравнений. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Проведенное теоретическое и практико-ориентированное исследование позволяет сделать выводы: 1. Раскрыты теоретические особенности замечательных неравенств. 2. Продемонстрировано применение замечательных неравенств при решении задач нестандартного характера. 3. Применение замечательных неравенств помогает быстрее достичь результатов, позволяет решать задачи, даже подступиться к которым на первый взгляд трудно (что говорит об эффективности применения замечательных неравенств). Новизна работы заключается в том, что применение замечательных неравенств полезно при решении уравнений и неравенств, решение которых стандартными методами весьма затруднительно, поскольку они не изучаются в образовательной школе, и требует нетрадиционного (нестандартного) мышления учащихся. Материалы работы могут быть использованы при организации работы с одаренными детьми, подготовке к олимпиадам. Применение замечательных неравенств, как уже отмечалось, дает возможность решать задачи нестандартного характера быстрее и рациональнее, что позволяет не только сэкономить время, но и представить красивое решение. 83 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Гомонов, С. А. Замечательные неравенства : способы получения и примеры применения. 10–11 кл. : учебное пособие / С. А. Гомонов. – М. : Дрофа, 2006 – 254 с. 2. Готовимся к олимпиадам по математике, 10–11 классы : в 2 ч., Ч. 2 : пособие для учителей учреждений общего среднего образования / [сост. Е. П. Гринько]. – Мозырь : Выснова, 2018. – 121, [3] с. : ил. 3. Калинин, С. И. Метод неравенств решения уравнений. Учебное пособие по элективному курсу для классов физико-математического профиля. / С. И. Калинин. – М. : Изд-во «Московский лицей», 2013 – 112 с. 4. Коннонова, Е. Г., Дрёмов В. А., Иванов С. О. Математика 6–11 классы. Подготовка к олимпиадам : основные идеи, темы, типы задач. Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Изд. 3-е – Ростов-на-Дону: Легион, 2016. – 224 с. 5. Севрюков, П. Ф. Школа решения олимпиадных задач по математике / П. Ф. Севрюков. – М. : Илекса ; Ставрополь : Сервисшкола, 2018. – 176 с. 6. Сивашинский, И. Х. Неравенства в задачах. – М. : Наука, 1967 – 304 с. 7. Соловьев Ю. П. Неравенства. – М.: МЦНМО, 2005. – 16 с. 8. Супрун В. П. Математика для старшеклассников. Дополнительные разделы школьной программы. 275 задач для эффективной подготовки к вступительным испытаниям и олимпиадам. Изд. Стереотип. М. : ЛЕНАНД, 2016. – 216 с. 9. Централизованное тестирование. Математика: полный сборник тестов / Респ. ин-т контроля знаний м-ва образования Респ. Беларусь. – Минск: Аверсэв, 2016. – 208 с. KHAMENKO M. State educational establishment «Gymnasia # 2 Baranovichi» Scientific supervisor – Gitkovich O., the teacher of mathematics of the first qualification grade CLASSICAL INEQUALITIES AND THEIR APPLICATION IN SOLVING NON-STANDARD PROBLEMS Summary. The project is dedicated to research of some classical inequalities, their practical implementation in solving non-standard problems. 84 Государственное учреждение образования «Средняя школа № 2 г. Горки» Могилевской области Научный руководитель – Пирожник В. М., учитель физики ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ АРХИМЕДОВОЙ СИЛЫ Аннотация. Вопрос оздоровительного и прикладного плавания, гигиены образа жизни интересовали еще наших дедов и прадедов. В данной статье даются советы о том, что надо, упав в воду, непрерывно опираться об нее ладонями, приподнять голову для дыхания и «сколько можно держаться на поверхности воды, вытягиваясь, чтобы удобно на ней держаться». Надо отметить, что эти советы весьма квалифицированы и для наших дней. ОТКРЫТИЕ АРХИМЕДОМ ВЫТАЛКИВАЮЩЕЙ СИЛЫ Архимед. Греческий математик и изобретатель. Архимед родился в 287 году до н.э. в Сиракузах на острове Сицилия. Отец Архимеда – астроном и математик Фидий. Фидий дал сыну хорошее образование. Находясь в Александрии, Архимед познакомился со знаменитым астрономом Кононом, астрономом и математиком Эратосфеном, с которыми он поддерживал в дальнейшем научную переписку. Здесь он усиленно работал в богатейшей библиотеке, изучал труды Демокрита, Евдокса и других ученых. Прославился своими достижениями в области математики, статистики и гидростатистики, был также изобретательным инженером, который использовал свой талант для решения ряда практических проблем. Когда в 213 г. до н.э. римляне осадили родной город Сиракузы, он изобрел баллистоорудие для метания камней, использование которого отсрочило падение города. Архимед также открыл принцип рычага, винта и ворота. Он утверждал, что человек один может сдвинуть с места массивный тяжелый объект, если ему дать достаточно длинный рычаг и точку опоры. Архимед открыл закон о выталкивающей силе. Существует легенда, что он пришел к своему закону, решая задачу: содержит ли золотая корона, заказанная Героном мастеру, посторонние примеси или нет. Однако, вероятно, мотивы работы Архимеда были все же более глубокими. Ведь Сиракузы были портовым и судостроительным городом. Вопросы плавания тел здесь решались ежедневно практически, и поэтому перед Архимедом стояла задача выяснения научной основы этих вопросов. В своей книге он разбирает не только условия плавания тел, но и вопрос об устойчивости равновесия плавающих тел различной геометрической формы. Научный гений Архимеда в этом сочинении, оставшемся, по-видимому, незаконченным, проявился с исключительной силой. Рассказывают, что однажды Архимед, обнаженный бегал по улицам Сиракуз с криком: «Эврика!» («Я нашел!») после того, как обнаружил, войдя в ванну, что масса тела может быть измерена при помощи вытесненного им объема воды. Закон Архимеда гласит, что на всякое тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной жидкости или газа. Таким образом, лодка плавает, а заполненный горячим воздухом шар поднимается вверх. Благодаря тому, что они обладают меньшей плотностью, чем вытесненный ими воздух или вода. Архимед погиб во время одного из боев во время пунических войн. Закон Архимеда Закон Архимеда: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу того количества жидкости или газа, которое вытеснено погруженной частью тела. Сила Архимеда – сила упругости, при которой тело сжимает слой жидкости, а в ответ со стороны сжатой жидкости действует сила. Сила Архимеда зависит от объёма тела, погружённого в жидкость, плотности жидкости, но не зависит от плотности тела и веса тела. СИЛА АРХИМЕДА В СЫПУЧЕМ ВЕЩЕСТВЕ На представлении «Наследие Архимеда» жители Сиракуз соревновались в «доставании со дна морского жемчужины». Аналогичную, но более простую демонстрацию можно повторить, используя небольшую стеклянную банку с рисом. Положите 85 ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА │ PHYSICS AND MATHEMATICS │ ФІЗІКА І МАТЭМАТЫКА ШАВЛИНСКИЙ Д. А., ДРУГАКОВ А. Е. выталкивающая сила, равная весу того количества жи плотностью, чем погруженной вытесненный частью ими воздух вытеснено тела.или вода. Архимед погиб во время–одного боев во время Сила Архимеда сила из упругости, при пуни кото Закон Архимеда жидкости, а в ответ со стороны сжатой жидкости дейст туда теннисный шарик и закройте её Сила крышкой. Переверните банкупогруженное так, чтобы шарикв жидкость Закон Архимеда: на тело, Архимеда зависит от объёма тела, пог оказался в её нижнейвыталкивающая части под пшеном. Если создать легкую вибрацию (легонько равная того количества жидкост плотности сила, жидкости, новесу не зависит от плотности тела и потрясти банку вверх-вниз), то сила трения между зёрнышками пшена уменьшится, вытеснено погруженной частью тела. силыВАрхиАРХИМЕДА СЫПУЧЕМ ВЕЩ они станут подвижными и шарик через некоторое СИЛА время под действием меда всплывёт на поверхность. Сила Архимеда – сила упругости, при которой т На представлении «Наследие Архс жидкости, а в ответ со стороны сжатой жидкости действует Сила Архимеда зависит от объёма тела, погружён соревновались в «доставании со дн плотности жидкости, но не зависит от плотности телапростую и веса Аналогичную, но более повторить, Виспользуя СИЛА АРХИМЕДА СЫПУЧЕМнебольшую ВЕЩЕСТ рисом. Положите туда теннисны На представлении «Наследиебанку Архимеда крышкой. Переверните так, ч соревновались в «доставании со дна морс нижней части под пшеном. Если с Аналогичную, но более простую дем (легонько потрясти банку вверх-вни повторить, используя они небольшую сте зёрнышками пшена уменьшится, станут подви ЖИВАЯ И МЕРТВАЯ ВОДА рисом. туда Архимеда теннисный шар некоторое время под Положите действием силы всплы Поставьте на стол литровую стеклянную банку, заполненную на 2/3 водой, и два крышкой. Переверните стакана с жидкостями: один с надписью «живая вода», другой – с надписьюбанку «мёрт- так, чтобы ш нижней подтонет. пшеном. Если создать ЖИВАЯ ИДолейте МЕРТВАЯ ВОДА вая». Опустите в банку клубень картофеля (или сырое части яйцо). Он в банку «живую» воду – клубень всплывёт, добавьте «мёртвую» – он опять утонет. (легонько потрясти банку вверх-вниз), то Подливая то одну, то другую жидкость, можно получить раствор, в котором клубень Поставьте на стол пшена уменьшится, они не будет всплывать назёрнышками поверхность, но и ко дну не пойдёт. Секрет опыта встанут том, что подвижным банку, заполненную н действием Архимеда всплывёт на в первом стаканчике –некоторое насыщенныйвремя растворпод поваренной соли, силы во втором – обычная вода. (Совет: перед демонстрацией картофель лучше очистить, а в банкусналить слажидкостями: один с бый раствор соли, чтобы даже незначительное увеличение её концентрации вызыдругой – ВОДА с надписью ЖИВАЯ И МЕРТВАЯ вало эффект). банку клубень картоф Поставьте стол литр тонет. наДолейте в б банку, заполненную на 2/3 в клубень всплывёт, добавьте «мёртвую» – он опять утон один с внадпи другую жидкость, можнос жидкостями: получить раствор, кот другой – с но надписью всплывать на поверхность, и «мёр ко банку Секрет опыта в том, что в клубень первом картофеля стаканчике(и тонет. Долейте вода. в банку поваренной соли, во втором – обычная (Сове КАРТЕЗИАНСКИЙ клубень ВОДОЛАЗ ИЗ ПИПЕТКИ всплывёт, добавьте «мёртвую» – он налить опять утонет. картофель лучше очистить, а в банку слабыйПр Наполните пипеткудругую водой так,жидкость, чтобы она плавала вертикально, практически полможно получить раствор, в вызывало котором незначительное увеличение её концентрации ностью погрузившись в воду. Опустите пипетку – водолаза в прозрачную пластиковую всплывать на поверхность, но и ко дну бутылку, доверху наполненную водой. Герметично закройте бутылку крышкой. При нажиме на стенки сосуда, водолаз начнёт заполняться водой. Изменяя давление, ВОДОЛАЗ –ИЗнас ПИ Секрет опыта в том,КАРТЕЗИАНСКИЙ что в первом стаканчике добейтесь, чтобы водолаз выполнял ваши команды: «Вниз!», «Вверх!». поваренной соли, во втором – обычная вода. (Совет: пер картофель лучше очистить, а в банку пипетку налить слабый Наполните водой раство так, незначительное увеличение её концентрации вызывало эффе вертикально, практически полностью Опустите пипетку – водолаза в пр КАРТЕЗИАНСКИЙ ВОДОЛАЗ ИЗ ПИПЕТК бутылку, доверху наполненную водо бутылку крышкой. При нажиме на начнёт заполняться водой. Изменя чтобы водолаз выполнял ваши коман ЗАКЛЮЧЕНИЕ Изучив закон Архимеда, рассмотрев условия и ос 86 определив экспериментально степень влияния вдоха рассчитав наименьшую мощность, которую развивает п мы пришли к выводу, что если использовать рекоме ЗАКЛЮЧЕНИЕ Изучив закон Архимеда, рассмотрев условия и особенности плавания тел, определив экспериментально степень влияния вдоха и выдоха на тело и рассчитав наименьшую мощность, которую развивает пловец в спокойной воде, мы пришли к выводу, что если использовать рекомендации по правильному поведению в воде, то можно не утонуть, а хорошо научиться плавать. Самым главным фактором, который не дает человеку утонуть, является воздух в лёгких. Поэтому, чтобы держаться на воде, нужно просто не переставать дышать. Звучит достаточно просто, но на деле плавать умеет именно тот, кто может легко наладить подачу воздуха в лёгкие. Короче говоря, чтобы плавать, следует знать всего две вещи: нужно дышать и нужно двигаться. А остальные несчетные физиологические процессы и химические реакции в организме нам ни к чему. Не умеющие плавать люди на самом деле плавать умеют, только об этом не знают. И помните – возможность плавать есть у всех. Нет людей, которые бы не могли научиться плавать. Всё, что может мешать вам держаться на воде – это банальный страх, который можно и нужно преодолеть. Изучив теоретический материал по данной теме, мы создали памятку «Стили плавания и меры предосторожности при занятиях плаванием», которую можно использовать на ОБЖ и факультативных занятиях в младших и средних классах. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. В. Ф. Шилов – Физика. Экспериментальные задания. 2. В. И. Дубровский – Валеология. 3. Л. П. Макаренко – Плавайте на здоровье. 4. Журнал «Физика». М:, «Первое сентября». 2006 г. 5. Журнал «Физика». М:, «Первое сентября». 2007 г. 6. А. П. Перышкин – Физика. 7 класс. SHAVLINSKY D. A., DRUGAKOV A. E. State educational establishment «Secondary school No. 2 town Gorky» of the Mogilev region Scientific supervisor – Pirozhnik V. M., a teacher of physics ARCHIMEDEAN FORCE Summary. The issue of recreational and applied swimming, lifestyle hygiene was also of interest to our grandfathers and great-grandfathers. In the work tips are given on how to fall into the water, constantly rest on it with your palms, raise your head for breathing, and «how much you can hold on the surface of the water, stretching out to comfortably hold on to it.» It should be noted that these tips are very qualified for our days. 87 Научное издание ПЕРВЫЙ ШАГ В НАУКУ Сборник научных статей учащейся молодежи Основан в 2012 году ВЫПУСК № 16 В трех частях Часть 3 Ответственный за выпуск С. Л. Казбанова Компьютерная вёрстка М. Р. Аксой Корректор Т. А. Гуринович Дизайн обложки В. А. Рацкевич Подписано в печать 31.12.2019. Формат 60х84 1/8. Бумага офсетная. Печать цифровая. Усл. печ. л. 10,23. Уч.-изд. л. 9,16. Тираж 32 экз. Заказ № 12. Издатель и полиграфическое исполнение: Общество с ограниченной ответственностью «Лаборатория интеллекта» Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий №1/529 от 13.04.2018. 220070, Республика Беларусь, г. Минск, ул. Солтыса, д.187, 6 этаж, офис, 21 Тел.: +375 44 715-75-70, E-mail: editions@laboratory.by

Первый шаг в науку

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Первый шаг в науку

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib