Дифференциальные уравнения в экономике Введение Тема «Дифференциальные уравнения» является одной из важ- нейших тем курса высшей математики в вузе. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 1. Основные определения Определение 1. Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида: F x , y , y, y 0 . Обычно рассматриваются дифференциальные уравнения второго порядка, разрешенные относительно y : y f ( x , y , y ) . Определение 2. Решением дифференциального уравнения второго порядка F x, y, y, y 0 называется дважды дифференцируемая функция y x, которая обращает данное уравнение в тождество: F x, ( x), ( x), ( x) 0 . 1 Теорема. Дифференциальное уравнение // / y f ( x , y , y ) имевторого порядка вида ет бесчисленное множество решений, которые даются формулой у = φ(х, с1, с2), содержащей две произвольные постоянные. Определение 3. Эта совокупность решений называется общим решением дифференциального уравнения. Определение 4. Если в общем решении у = φ(х, с1, с2) заменить с1 и с2 определенными числами, то получим частное решение. На практике частное решение находится из общего при помощи задания начальных условий. § 2. Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка Дано дифференциальное уравнение F (x, y, y/, y//) = 0. Найти частное решение у = φ(х), удовлетворяющее заданным начальным условиям: ( x0 ) y0 , / ( x0 ) y0/ . 2 Теорема Коши существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении y f ( x , y , y ) функция f ( x, y , y ) непрерывна в окрестности значений x0 , y0 , y0 , то уравнение y f ( x , y , y ) имеет решение y ( x ) такое, что ( x0 ) y0 , ( x0 ) y0 . Если, кроме того, непрерывны и частные произf f и водные первого порядка y y / , то это решение единственно. Схема решения задачи Коши для дифференциальных уравнений второго порядка: F( x, y , y, y ) 0 . 1. Находим общее решение y ( x, c1 , c2 ) . y0 x0 , c1 , c2 2. Решаем систему y / / x , c , c и 0 находим значения c1 и c2 . 0 1 2 3. Подставляем эти значения в общее решение и находим искомое частное решение. 3 Для уравнений второго порядка выделение частного решения из общего можно производить и путем задания краевых условий. § 3. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к уравнениям первого порядка Уравнения вида y f ( x ) (нет явно y , y ) Это уравнение решается двукратным интегрированием. y / f x dx c1 , y f x dx c1 dx c2 f x dx dx c1 x c2 . Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка у// = sin x. Решение. y sin x dx c1 cos x c1; y cos x c1 dx c2 sin x c1 x c2 . Уравнения вида у// = f (x, y/) (нет явно у) 4 Метод решения основан на замене производной y дифференцируемой функцией z(x) , второй производной y – функцией z(x) , после чего приходим к дифференциальному уравнению первого порядка для функции z (x) . Решив это уравнение, сделаем обратную замену z ( x) y и решим дифференциальное уравнение первого порядка для y(x) . y / z ( x) y // z/ z / f x, z . Получили уравнение первого порядка. Решаем его. z x, c1 y / x, c1 y x, c1 dx c2 . Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y/ y x. x // Решение. y/ z x y // z/ z x x 1 z/ z x x z/ 5 Получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Решаем его. z uv, u / v v /u 1 uv x; x 1 z / u / v v / u; v u / u v / u x; x 1 u / u 0; v / x x; x du u ; v / 1; dx x z du x x dx c1 ; / 2 ; v dx c1; u y u xx. x c1vx; x c . 1 y x 2 c1 x dx c2 ; x3 x2 y c1 c2 . 3 2 Уравнения вида y f ( y , y ) (нет явно x ) Метод решения основан на замене производной y(x) сложной функцией p(y) , при этом вторая производная y(x) заменяется произведением dp p( y) , после чего получаем диффеdy ренциальное уравнение первого порядка для p(y) .Решив это уравнение, необходимо сделать обратную замену p( y) y и решить полу6 ченное дифференциальное уравнение для функции y(x) . y/ p y y // dp p f y, p – дифференциальное уравнение первого порядка. dy dp p dy Решая его, получим: p y, c1 , y / y, c1 . Разделяя переменные и интегрируя, получаем общий интеграл исходного диффеdy dx c2 . ренциального уравнения : y, c1 Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y/ 2 . y y // Решение. dp p2 p ; dy y dp p p 0; dy y p 0 dp p ; dy y y/ 0 yc dp dy ln c1 ; p y 7 ln p ln c1 y ; p c1 y ; y / c1 y ; dy c1 dx ln c2 ; y ln y c1 x; c2 y c2 e c1 x . Линейные дифференциальные уравнения второго порядка Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение первой степени (линейное) относительно неизвестной функции и ее производных: y py qy f x , (1) где p и q – функции независимой переменной х или постоянные величины. Если f x 0 , то уравнение (1) называется однородным, ЕСли f x 0 , то уравнение (1) называется неоднородным. 8 Определение 2. Функции y1 x , y2 x – y1 x линейно независимы, если y x const и ли2 y1 x const . нейно зависимы, если y2 x Если y1 x и y2 x – линейно независимые функции и являются решениями уравнения y y Qy 0 , то общее решение этого уравнения записывается в виде: y c1 y1 x c2 y2 x , где с1, с2 – произвольные постоянные. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение вида: у// + ру/ + qy = 0, (2) где p и q – постоянные (действительные чису = еkx ла). Будем искать решение данного уравнения в виде , где k = const. Тогда у/ = kekx ; y// = k2ekx. 9 Для того чтобы функция у = еkx была решением данного уравнения, необходимо, чтобы она вместе со своими производными у/, у// обращала данное уравнение в истинное равенство. Таким образом, получаем: k2ekx + pkekx + qekx = 0 ; еkx (k2 + pk + q) = 0. Это равенство истинно, если k2 + pk + q = 0. Полученное уравнение называется характеристическим. Таким образом, если в функции у = еkx в качестве k взять корень характеристического уравнения, то получим дифференцируемую функцию, являющуюся решением данного дифференциального уравнения. При этом возможны следующие случаи. 1-й случай. Корни характеристического уравнения действительные и различные: k1 , k 2 R, k1 k 2 . Тогда будем иметь два частных решения исходного дифференциального уравнения: y1 e ; y2 e k1 x k2 x . Функции y1 и y2 - линейно независимы: y1 ek1 x ( k 2 x ek1 k 2 x const ), y2 e 10 поэтому можно записать общее решение исходного уравнения в виде: y c1e k1x c2e k2 x , где с1 и с2 – const. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения у// – 7у/ + 10у = 0. Решение. Составим и решим характеристическое уравнение. Имеем: k2 – 7k + 10 = 0 ; k1 = 2; k2 = 5; . Отсюда по2x 5x y e ; y e лучаем 1 – линейно незави2 симые частные решения дифференциального уравнения. Общее решение линейного урав2x 5x y c e c e нения : . 1 2 2-й случай. Корни характеристического уравнения действительные и равные: k1 , k2 R, k1 k 2 k. Тогда уравнение (2) имеет частное решение у1 е kx , а в качестве второго частного решения уравнения (2) можно взять функцию у 2 х е kx . Таким образом, получаем общее решение уравнения (2): 11 y c1e c2 xe kx kx . Пример. Решить линейное дифференциальное уравнение: y // 4 y / 4 y 0. Решение. Составим и решим характеристическое уравнение. Имеем: k 2 4k 4 0. Отсюда находим корни k1 k2 2 . Следовательно, y1 e2 x ; y2 xe 2 x ; y c1e2 x c2 xe 2 x – общее решение. 3-й случай. Корни характеристического уравнения комплексные. k1 i ; k2 i ; k1 , k2 C . Тогда частные решения исходного дифференциального уравнения имеют вид: y ctg x const y и y y1 e x cos x , y2 e x sin x. y 1 1 2 2 – линейно независимые решения, то y c e cos x c e sin x – общее решение уравнения (2). Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения у" + 4y = 0. x 1 x 2 12 Решение. k2 + 4 = 0, k2 = –4; k = 0 2i; =0 ; =2; y1 = cos2x ;y2 = sin2x; y = c1cos2x + c2sin2x – общее решение. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Пусть дано линейное уравнение второго порядка с пра- вой частью у" py' qy f x . Общее решение линейного неоднородного уравнения можно составить как сумму общего решения y соответ- ствующего однородного уравнения: у" py' qy 0 и какого-нибудь частного решения y0 неоднородного уравнения. у y у0 Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду правой части Таблица видов частных решений y y qy bx Правая часть дифференциального уравнения - f x n x e ax Корни характеристического уравнения 1. Число a не является корнем характеристического уравнения: a k1 ; a k2 2. Число a совпадает с одним из корней характеристического уравнения: a k1 или a k2 3. Корни характеристического уравне13 Вид частного решения Qn x е ax , где Qn x –многочлен степени n хQn x е ax , где Qn x –многочлен степени n х 2Qn x еax , где ния равны и совпадают с числом а : k1 k2 a cosbx sin bx 1. Числа bi не являются корнями характеристического уравнения 2. Числа bi являются корнями характеристического уравнения Qn x –многочлен степени n cosbx sin bx x cos bx sin bx Пример. Решить задачу Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения. y (0) 3; y 4 y 3 y e5x ; y(0) 9. Решение. Составим и решим характеристическое уравнение. Имеем: k 2 4k 3 0; D 16 12 4; k1,2 4 2 / 2 3;1. y C1e3 x C2e x . Получили общее решение однородного дифференциального уравнения. Рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения. Имеем: f x e5 x , n 0, a 5 k1,2 ; y e5 x ; y 5e5 x ; y 25e5 x ; Подставим y, y, y в исходное уравнение. Получим верное равенство: 14 25e5 x 20e5 x 3e5 x e5 x ; 25 20 3 1; 8 1; 1/ 8; y0 1/ 8e5 x . y y y0 1 / 8e5 x C1e3x C2e x – общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения. Теперь займемся решением задачи Коши. Найдем его производную y . Получаем: y 5 / 8e5 x 3C1e3x C2e x . Подставляем в полученное общее решение и в его производную начальные условия. Имеем: 3 1 / 8C1 C 2 C 2 23 / 8 C1 9 5 / 8 3C C 3C 23 / 8 C 67 / 8 1 2 1 1 C 2 23 / 8 C1C C 2 1 / 8. 2C 22 / 4 C 22 / 8. 1 1 Откуда получаем y 1 / 8e5 x 11 / 4e3x 1 / 8e x – частное решение неоднородного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям (то есть решение задачи Коши). Задачи для самостоятельного решения 1) y / y cos x . 2) y // y / 2 y 8 sin 2 x. 3) y // 2 y / 5 y e x cos 2 x. 4) y // y 3 sin x. 5) y // y 4 cos x. 6) y // 9 y e 3 x cos x. 7) y // 4 y e 2 x sin 2 x. 15 8) y // 2 y 2e x (cos x sin x). 9) y // y 2 sin x 4 cos x. 10) y // 6 y / 25 y 2 sin x 3 cos x. Ответы: x 1) y C1 cos x C2 sin x sin x. 2 2 2) y C1e x C2 e 2 x 3 sin 2 x cos 2 x . 5 x 3) y C1 cos 2 x C2 sin 2 x e x e x sin 2 x. 4 3 4) y C1 cos x C2 sin x x cos x. 2 5) y C1 cos x C2 sin x x cos x x 2 sin x. 1 6) y C1e 3 x C2 e 3 x e 3 x 6 sin x cos x . 37 1 7) y C1e 2 x C2 e 2 x e 2 x sin 2 x 2 cos 2 x . 20 8) y C1e x 2 C2 e x 2 xe x sin x e x cos x. 9) y C1e x C2 e x 2 cos x sin x. 1 14 cos x 5 sin x . 10) y (C1 cos 4 x C2 sin 4 x)e 3 x 102 Замечание: Пусть правая часть уравнения y py qy f (x) равна сумме двух (или нескольких) функций: f ( x) f1 ( x) f 2 ( x) ; y1* и y2* – решения уравнений с той же левой частью, но с правыми частями, соответственно равными f1 ( x) и f 2 ( x) , тогда y* y1* y2* - частное решение данного уравнения. Следовательно, в том случае, когда правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций, можно 16 подобрать частное решение для каждого слагаемого правой части, а затем найти сумму полученных частных решений. Пример. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y y 5 x 2e x . Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y y 0 . Для этого составим и решим характеристическое уравнение. Имеем: k2 k 0; k 0 или k 1. Общее решение однородного уравнения имеет вид: y C1 C2e x . Теперь рассмотрим правую часть исходного уравнения. Она представляет собой сумму двух функций f1 ( x) 5 x и f 2 ( x) 2e x . Подберем частное решение неоднородного уравнения для каждой функции в отдельности. Имеем: y1* x( Ax B) . Найдем коэффициенты A и B . Для этого дважды продифференцируем y1* и подставим в уравнение y y 5x . Получим: ( y1* ) 2 Ax B ; ( y1* ) 2 A ; 2 A 2 Ax B 5 x ; 5 A ; B 5 . 2 5 Таким образом, y1* x( x 5) . Теперь найдем y2* . Име2 ем y2* Ae x . Продифференцируем дважды y2* и подставим в уравнение y y 2e x . Получим: ( y2* ) Ae x ; ( y2* ) Ae x ; Ae x Ae x 2e x ; 17 A 1. Таким образом, y2* e x . Следовательно, 5 y* x 2 5 x e x . Общее решение исходного неоднородного 2 уравнения найдем по формуле: y y y * . Получим 5 y C1 C2e x x 2 5 x e x . 2 Задачи для самостоятельного решения 1) y // 2 y / y e x cos x xe x . 2) y // 3 y / x cos x. 3) y / 2 y / 10 y sin 3x e x . 4) y // 4 y 2 sin 2 x 3 cos 2 x 1. 5) y // 9 y xe 3 x 2 x sin x. 6) y // y 2 x cos x cos 2 x. 7) y /// 5 y / 8 y / 4 y 2e 3 x 3e 2 x . 8) y /// y // x 2 1 3xe x . 9) y IV 2 y // y e x sin x sin 2 x. Ответы: 3 x x cos x e . 1) y C1 C2 x 6 1 x2 x 3x 2) y C1 C2e cos x 3sin x . 10 6 9 1 ex x 3) y C1 cos 3x C2 sin 3x e sin 3x 6 cos 3x . 37 9 x 1 4) y C1 cos 2 x C2 sin 2 x 3 sin 2 x 2 cos 2 x . 4 4 18 1 4 5) y C1 cos3x C2 sin 3x x sin x 1 1 cos x 3x 1e3 x . 16 54 x x2 x 3 6) y C1 cos x C2 sin x cos x sin x cos 3x sin 3x. 4 4 8 32 3 y C1e x C2 C3 x e 2 x e 3 x x 2 e 2 x . 2 3 1 1 3 15 8) y C1e x C2 C3 x x 2 x 3 x 4 x e x . 2 3 12 4 2 9) y C1 x C2 cos x (C3 x C4 ) sin x 1 e x 1 x 2 sin x 1 sin 2 x. 7) 4 8 9 Интегрирование линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом вариации произвольных постоянных Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: у"+a1y'+a2y = f(x). Общее решение такого дифференциального уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа). Обычно этот метод используется только в том случае, когда правая часть уравнения не имеет стандартного вида, рассмотренного выше. Схема решения. 1. Решить соответствующее однородное уравнение: у"+a1y'+a2y = 0 и найти у1, у2 – линейно независимые частные решения этого уравнения. c1 и c2 : с1' x y1 c2' x y 2 0, ' ' ' ' c x y c x y 1 1 2 2 f ( x ). 2. Решить систему для неизвестных 19 3. Найти с1(х) и с2(х), интегрируя найденные функции c1 и c2 : с1 x c1' x dx k1 , c2 x c2' x dx k2 , где k1, k2–произвольные постоянные. 4. Написать общее решение исходного неоднородного уравнения: y=c1(x)y1+c2(x)y2 , y c x dx k y c xdx k y . ' 1 1 1 ' 2 2 2 Пример. Решить линейное неоднородное дифференци1 " альное уравнение y 4 y методом вариации произcos 2 x вольных постоянных (методом Лагранжа). Решение. y 4 y 0; k 2 4 0; k 2 4; k 0 2i; y1 cos 2 x; y1/ 2 sin 2 x; y 2 sin 2 x; y 2/ 2 cos 2 x. c / y c / y 0; 1 1 2 2 / / c1 y1 c2/ y2/ f x . c / cos 2 x c / sin 2 x 0; 2 1 1 / / . 2c1 sin 2 x 2c2 cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 c1/ ; c2/ . 2 cos 2 x 2 20 1 sin 2 x 1 с1 dx k1 ln cos 2 x k1 , 2 cos 2 x 4 с2 1 1 dx k x k2 . 2 2 2 Ответ: Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: 1 1 y ln cos 2 x k1 cos 2 x x k 2 sin 2 x . 4 2 Задачи для самостоятельного решения Решить задачи Коши для следующих дифференциальных уравнений: e x / / 1) y 2 y y , y1 0, y / 1 0. x 1 2) y / y , y 1, y / 0. sin x 2 2 3) y // 4 y 2tgx, y 0 0, y / 0 2. 1 , y 0 0, y / 0 0. 4) y // 4 y cos 2 x 5) y // y tgx, y 0 2, y / 0 1. ex 6) y 2 y y , x y1 e, // 7) y // y thx, y 0 2 2 , y / 1 3e. y / 0 1. 8) y // 2 y 4 x 2e x , y0 3, 4x2 1 , 9) y y x x y 1 e 4, 2 // 10) y // 2 y y x2 2x 2 x3 , Ответы: 21 y / 0 0. y / 1 e 2. y 1 1 1, e y / 1 1 1. e 1) y 1 x x ln x e x . 2) y 2 cos x sin x x cos x sin x ln sin x . 1 3) y x cos 2 x 2 x sin 2 x sin 2 x ln cos x . 2 1 x 4) y cos 2 x ln cos 2 x sin 2 x. 4 2 1 x 5) y 2cos x sin x cos ctg . 2 2 4 x 6) y xe 1 ln x . x x 1 arctge x . 7) y e e 2 x 2 e x 2 e x . 8) y e 9) y e 4 x . x 10) y e x 1 . x 22 Список литературы: 1. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2. – М.: Высшая школа, 1974. 2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987. 3. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник. М.: Высшая школа, 1990, 480 с. 23 CОДЕРЖАНИЕ Введение………………………………………………………..3 Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка…………………………..............4 §1. Основные определения…………......................4 §2. Дифференциальные уравнения с разделенными переменными………………..5 §3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными…………….5 §4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка……………………9 §5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка………………….13 §6. Уравнение Бернулли………………………….17 §7. Понятие об уравнениях в полных дифференциалах………………………………21 Глава II. Дифференциальные уравнения второго порядка………………………………….22 § 1. Основные определения………………………22 § 2. Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка…………………22 § 3. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к уравнениям первого порядка………………………………………..23 § 4. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка…………………28 § 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами……………………………..29 § 6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами……………………………..31 § 7. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений второго порядка методом вариации произвольных постоянных……….37 Список литературы…………………………………………...42 24 Учебное пособие Лариса Вячеславовна Малышева, Владимир Святославович Мавзовин Дифференциальные уравнения Издано в авторской редакции Подписано в печать .2010. Формат 60х84 1/16. Гарнитура Times. Печать трафаретная. Бумага офсетная. Тираж экз. Издательский центр «Наука» Типография «Саратовский источник» г. Саратов, ул. Университетская, 42, оф. 106 25