Многогранники Подготовила ученица 11-А класса Быстрова Полина Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многоугольники из которых состоит многогранник, называют гранями. Стороны граней - ребрами. Концы ребер вершинами. Отрезок соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани - диагональю. Многогранник с n гранями называют n-гранником. В частности, тетраэдр — четырёхгранник, додекаэдр — двенадцатигранник, икосаэдр — двадцатигранник и т. д. Многогранники могут быть выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если отрезок соединяющий любые две точки, принадлежащие данному многограннику, полностью принадлежит данному многограннику. (Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани.) Многогранник называется невыпуклым, если можно построить отрезок не принадлежащий полностью данному многограннику, но соединяющий две точки, принадлежащие данному многограннику. ( Невыпуклый может быть по разные стороны.) Теорема Эйлера Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер. Правильные выпуклые многогранники (Платоновы тела) Правильным называется такой многогранник, все грани которого равны между собой и при этом являются правильными многоугольниками. Правильные выпуклые многогранники называют Телами Платона. Существует только пять правильных выпуклых многогранников (Платоновых тел), а их гранями могут быть только три типа правильных многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны. Тетраэдр Имеет четыре грани. Все грани тетраэдра — равносторонние треугольники. Основные характеристики: Тип - Правильный многогранник Грань - Правильный треугольник, Граней - 4, Граней при вершине - 3 Вершин - 4, Ребер - 6 Площадь одной грани тетраэдра. S - площадь одной грани тетраэдра, a - длина ребра тетраэдра. Площадь поверхности тетраэдра. S- площадь поверхности тетраэдра, a - длина ребра тетраэдра. Объем тетраэдра. Высота тетраэдра. V - объем тетраэдра, a длина ребра тетраэдра. h - высота тетраэдра, a - ребро тетраэдра. Гексаэдр (Куб) Куб или правильный гексаэдр — правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы. Основные характеристики: Тип - Правильный многогранник Грань - Квадрат Граней - 6 Граней при вершине - 3 Вершин - 8 Ребер - 12 Площадь одной грани куба. Площадь поверхности куба. S - площадь одной грани куба, a - длина ребра куба. S - площадь поверхности куба, a - длина ребра куба. Диагональ куба. Объем куба. d - диагональ куба, a - длина ребра куба. V - объем куба, a длина ребра куба. Икосаэдр — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Основные характеристики: Тип - Правильный многогранник Грань - Равносторонний треугольник Граней - 20 Граней при вершине - 5 Вершин - 12 Ребер - 30 Периметр икосаэдра. Площадь одной грани икосаэдра. a - длина ребра икосаэдра. S - площадь одной грани икосаэдра, a - длина ребра икосаэдра. Площадь поверхности икосаэдра. Объем икосаэдра. V - объем икосаэдра, a длина ребра икосаэдра. S - площадь поверхности икосаэдра, a - длина ребра икосаэдра. Октаэдр — правильный многогранник. Имеет восемь граней. Грани – равносторонние треугольники. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Основные характеристики: Тип - Правильный многогранник Грань - Правильный треугольник, Граней - 8, Граней при вершине - 4 Вершин - 6, Ребер - 12 Площадь одной грани октаэдр. Площадь поверхности октаэдра. S - площадь одной грани октаэдра, a длина ребра октаэдра. S - площадь всей поверхности октаэдра, a длина ребра октаэдра. Объем октаэдра. V - объем октаэдра, a - длина ребра октаэдра. Додекаэдр — двенадцатигранник — правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Основные характеристики: Тип - Правильный многогранник Грань - Правильный пятиугольник (Пентагон) Граней - 12 Граней при вершине - 3 Вершин - 20 Ребер - 30 Периметр додекаэдра. a - длина ребра додекаэдра. Площадь одной грани додекаэдра. S - площадь одной грани додекаэдра, a - длина ребра додекаэдра. Площадь поверхности додекаэдра. S - площадь поверхности додекаэдра, a - длина ребра додекаэдра. Объем додекаэдра. V - объем додекаэдра, a длина ребра додекаэдра. Правильные звездчатые многогранники (тела Кеплера-Пуансо) Звёздчатый многогранник (звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у выпуклых многогранников, грани соединяются в рёбрах. Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Малый звездчатый додекаэдр (Название многограннику дал Артур Кэли) - правильный звездчатый многогранник (тело КеплераПуансо). Состоит из двенадцати граней, грань малого звездчатого додекаэдра - правильная пятиконечная звезда, пентаграмма. Каждая вершина малого звездчатого додекаэдра - вершина пяти пентаграмм сходящихся в ней. Основные характеристики: Тип - Правильный звездчатый многогранник Грань - Правильная пятиконечная звезда (пентаграмма) Граней - 12 Граней при вершине - 5 Вершин - 12 Ребер - 30 Большой додекаэдр - правильный звездчатый многогранник (тело Кеплера-Пуансо). Состоит из двенадцати граней, грань большого додекаэдра правильный пятиугольник. Каждая вершина большого додекаэдра вершина пяти пятиугольников сходящихся в ней. Основные характеристики: Тип - Правильный звездчатый многогранник Грань - Правильный пятиугольник Граней - 12 Граней при вершине - 5 Вершин - 12 Ребер - 30 Большой звездчатый додекаэдр - правильный звездчатый многогранник (тело Кеплера-Пуансо). Состоит из двенадцати граней, грань большого звездчатого додекаэдра - правильная пятиконечная звезда, пентаграмма. Каждая вершина большого звездчатого додекаэдра вершина трех пентаграмм сходящихся в ней. Основные характеристики: Тип - Правильный звездчатый многогранник Грань - Правильная пятиконечная звезда (пентаграмма) Граней - 12 Граней при вершине - 3 Вершин - 20 Ребер - 30 Большой икосаэдр - правильный звездчатый многогранник (тело Кеплера-Пуансо). Состоит из двадцати граней, грань большого икосаэдра правильный треугольник. Каждая вершина большого икосаэдра вершина пяти правильных треугольников сходящихся в ней. Основные характеристики: Тип - Правильный звездчатый многогранник Грань - Правильный треугольник Граней - 20 Граней при вершине - 5 Вершин - 12 Ребер - 30 Полуправильные выпуклые многогранники (Архимедовы тела) -многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Икосододекаэдр - полуправильный выпуклый многогранник (тело Архимеда). Состоит из 32 граней, 12 правильных пятиугольников, 20 правильных треугольников. Каждая вершина икосододекаэдра - вершина двух правильных треугольников и двух пятиугольников, сходящихся в ней. Основные характеристики: Тип - Полуправильный выпуклый многогранник (Тело Архимеда) Грани - Правильный треугольник, правильный пятиугольник. Граней - 32 Граней при вершине - 4 Вершин - 30 Ребер - 60 Кубооктаэдр - полуправильный выпуклый многогранник (тело Архимеда). Состоит из 14 граней, 6 квадратов, 8 правильных треугольников. Каждая вершина кубооктаэдра - вершина двух правильных треугольников и двух квадратов, сходящихся в ней. Основные характеристики: Тип - Полуправильный выпуклый многогранник (Тело Архимеда) Грани - Правильный треугольник, квадрат. Граней - 14 Граней при вершине - 4 Вершин - 12 Ребер - 24
