Многогранники (Презентация)

МНОГОГРАННИКИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОГРАННИКА:
Многогранник – это поверхность составленная из
многоугольников, ограничивающая некоторое
геометрическое тело.
2
Элементы Многогранника:
- Грани (многоугольники)
- Рёбра (стороны граней)
- Вершины
- Диагонали
Грань
Рёбра
Вершины
Диагональ
Выпуклый многогранник

Многогранник называется
выпуклым, если он
расположен по одну
сторону от плоскости
каждой его грани.
В выпуклом
многограннике сумма всех
плоских углов при каждой
его вершине меньше 360

Невыпуклый многогранник


ПРАВИЛЬНЫМ НАЗЫВАЕТСЯ
МНОГОГРАННИК, У КОТОРОГО
ВСЕ ГРАНИ ЯВЛЯЮТСЯ
ПРАВИЛЬНЫМИ
МНОГОУГОЛЬНИКАМИ, И ВСЕ
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ ПРИ
ВЕРШИНАХ РАВНЫ.
Приведён пример правильного многогранника (икосаэдр), его
гранями являются правильные (равносторонние)
треугольники.
СУЩЕСТВУЕТ ПЯТЬ ТИПОВ
ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ…
ТЕТРАЭДР

Правильный многогранник, у которого грани правильные
треугольники и в каждой вершине сходится по три ребра и по три
грани. У тетраэдра: 4 грани, четыре вершины и 6 ребер.
ОКТАЭДР

Правильный многогранник, у которого грани- правильные
треугольники и в каждой вершине сходится по четыре
ребра и по четыре грани. У октаэдра: 8 граней, 6 вершин и
12 ребер
9
ИКОСАЭДР
Правильный многогранник, у
которого грани - правильные
треугольники и в вершине
сходится по пять рёбер и
граней. У икосаэдра:20
граней, 12 вершин и 30 ребер
КУБ
o Правильный многогранник, у которого грани – квадраты и
в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. У
него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.
ДОДЕКАЭДР
Правильный многогранник,
у которого грани
правильные пятиугольники
и в каждой вершине
сходится по три ребра и три
грани. У додекаэдра:12
граней, 20 вершин и 30
ребер.
12
В КАЖДОЙ ВЕРШИНЕ МНОГОГРАННИКА ДОЛЖНО СХОДИТЬСЯ
СТОЛЬКО ПРАВИЛЬНЫХ N – УГОЛЬНИКОВ, ЧТОБЫ СУММА ИХ
0
УГЛОВ БЫЛА МЕНЬШЕ 360 .
Т.Е
ДОЛЖНА ВЫПОЛНЯТЬСЯ
0
ФОРМУЛА βk < 360
(β -ГРАДУСНАЯ МЕРА УГЛА
МНОГОУГОЛЬНИКА, ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ ГРАНЬЮ МНОГОГРАННИКА, k
– ЧИСЛО МНОГОУГОЛЬНИКОВ, СХОДЯЩИХСЯ В ОДНОЙ ВЕРШИНЕ
МНОГОГРАННИКА.)
название
β
k
Сумма плоских углов
тетраэдр
60
3
180
октаэдр
60
4
240
икосаэдр
60
5
300
гексаэдр
90
3
270
додекаэдр
108
3
324
Правильный
многогранник
Число
граней
вершин
рёбер
Тетраэдр
4
4
6
Куб
6
8
12
Октаэдр
8
6
12
Додекаэдр
12
20
30
Икосаэдр
20
12
30
Формула Эйлера
Сумма числа граней и вершин любого многогранника
равна числу рёбер, увеличенному на 2.
Г+В=Р+2
Число граней плюс число вершин минус число рёбер
в любом многограннике равно 2.
Г+ВР=2
Задача
Определите количество граней, вершин и
рёбер многогранника, изображённого на
рисунке 9. Проверьте выполнимость
формулы Эйлера для данного
многогранника.