МНОГОГРАННИКИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОГРАННИКА: Многогранник – это поверхность составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело. 2 Элементы Многогранника: - Грани (многоугольники) - Рёбра (стороны граней) - Вершины - Диагонали Грань Рёбра Вершины Диагональ Выпуклый многогранник Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360 Невыпуклый многогранник ПРАВИЛЬНЫМ НАЗЫВАЕТСЯ МНОГОГРАННИК, У КОТОРОГО ВСЕ ГРАНИ ЯВЛЯЮТСЯ ПРАВИЛЬНЫМИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ, И ВСЕ МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ ПРИ ВЕРШИНАХ РАВНЫ. Приведён пример правильного многогранника (икосаэдр), его гранями являются правильные (равносторонние) треугольники. СУЩЕСТВУЕТ ПЯТЬ ТИПОВ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ… ТЕТРАЭДР Правильный многогранник, у которого грани правильные треугольники и в каждой вершине сходится по три ребра и по три грани. У тетраэдра: 4 грани, четыре вершины и 6 ребер. ОКТАЭДР Правильный многогранник, у которого грани- правильные треугольники и в каждой вершине сходится по четыре ребра и по четыре грани. У октаэдра: 8 граней, 6 вершин и 12 ребер 9 ИКОСАЭДР Правильный многогранник, у которого грани - правильные треугольники и в вершине сходится по пять рёбер и граней. У икосаэдра:20 граней, 12 вершин и 30 ребер КУБ o Правильный многогранник, у которого грани – квадраты и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. У него: 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. ДОДЕКАЭДР Правильный многогранник, у которого грани правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится по три ребра и три грани. У додекаэдра:12 граней, 20 вершин и 30 ребер. 12 В КАЖДОЙ ВЕРШИНЕ МНОГОГРАННИКА ДОЛЖНО СХОДИТЬСЯ СТОЛЬКО ПРАВИЛЬНЫХ N – УГОЛЬНИКОВ, ЧТОБЫ СУММА ИХ 0 УГЛОВ БЫЛА МЕНЬШЕ 360 . Т.Е ДОЛЖНА ВЫПОЛНЯТЬСЯ 0 ФОРМУЛА βk < 360 (β -ГРАДУСНАЯ МЕРА УГЛА МНОГОУГОЛЬНИКА, ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ ГРАНЬЮ МНОГОГРАННИКА, k – ЧИСЛО МНОГОУГОЛЬНИКОВ, СХОДЯЩИХСЯ В ОДНОЙ ВЕРШИНЕ МНОГОГРАННИКА.) название β k Сумма плоских углов тетраэдр 60 3 180 октаэдр 60 4 240 икосаэдр 60 5 300 гексаэдр 90 3 270 додекаэдр 108 3 324 Правильный многогранник Число граней вершин рёбер Тетраэдр 4 4 6 Куб 6 8 12 Октаэдр 8 6 12 Додекаэдр 12 20 30 Икосаэдр 20 12 30 Формула Эйлера Сумма числа граней и вершин любого многогранника равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г+В=Р+2 Число граней плюс число вершин минус число рёбер в любом многограннике равно 2. Г+ВР=2 Задача Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке 9. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.
