Вопросы к зачету по высшей математике
Вопрос 1. Комбинаторика: основные принципы, понятия и
формулы (обзор)
Комбинаторика – раздел математики, в котором изучается задачи
формирования и подсчета числа, различного рода соединений, образованных из элементов заданных множеств.
Классификация соиденений:
1. Упорядоченные – неупорядоченные
2. С повторениями – без повторений
Основные виды комбинаторных соединений:
Упорядоченные:
1. Размещение с повторениями
2. Размещение без повторений
3. Перестановки без повторений
4. Перестановки с повторениями
Неупорядоченные:
5. Сочетания без повторений
6. Сочетания с повторениями
Основные принципы комбинаторики:
Принцип сложения: если некоторый объект 𝐴1 можно выбрать 𝑛1
способами, а объект 𝐴2 можно выбрать 𝑛2 способами, причем первые и
вторые способы не пересекаются, то любой из указанных объектов можно
выбрать 𝑛1 + 𝑛2 способами.
Принцип произведения: если из некоторого конечного множества первый объект 𝐴1 можно выбрать 𝑛1 способами и после каждого такого
выбора второй объект 𝐴2 можно выбрать 𝑛2 способами, то оба объекта в
указанном порядке можно выбрать 𝑛1 · 𝑛2 способами.
1
Вопрос 2. Принцип произведения как универсальный способ подсчета числа упорядоченных соединений. Примеры
решения задач.
Принцип произведения: если из некоторого конечного множества
первый объект 𝐴1 можно выбрать 𝑛1 способами и после каждого такого
выбора второй объект 𝐴2 можно выбрать 𝑛2 способами, то оба объекта в
указанном порядке можно выбрать 𝑛1 · 𝑛2 способами.
Вопрос 3. Упорядоченные соединения: размещение с повторениями и размещения без повторений. Примеры решения
задач.
Размещение с повторениями:
Любая упорядоченная строка длинной k, составленная из элементов одного и того же n-элементарного множества, называется размещением с
повторениями элементов n-элементного множества на k местах. Количество всех таких строк обозначается 𝐴𝑘𝑛 и называется числом размещений
с повторениями из n по k. Количество строк рассчитывается по формуле
𝐴𝑘𝑛 = 𝑛𝑘
Число мест k может быть меньше, больше или равно n – числа размещений элементов.
Размещение без повторений:
Упорядоченная строка длинной k составлена из элементов одного того же
n-элементного множества, удовлетворяющая условию, что все элементы
в ней различны. Количество всех таких строк обозначается 𝐴𝑘𝑛 и вычисляется по формуле
𝑛!
𝐴𝑘𝑛 =
(𝑛 − 𝑘)!
Здесь число мест k должно быть меньше или равно n – числа размещаемых элементов. Действительно, если 𝑘 > 𝑛, то на первых n местах
будут размещены все n элементов, а на оставшихся 𝑘 − 𝑛 местах размещать будет нечего.
2
Вопрос 4. Упорядоченные соединения: перестановка порядка n и перестановки n элементов, только k из которых различны. Примеры решения задач.
Перестановка порядка n – это упорядоченная строка длиной n с
размещенными элементами n-элементного множества, причем все элементы разные.
Количество таких строк обозначается символом 𝑃𝑛 и вычисляется по
формуле
𝑃𝑛 = 𝑛!
Перестановки n элементов, только k из которых различны называют
перестановками с повторениями из n элементов. Число перестановок с
повторениями из n элементов обозначается символом 𝑃𝑛 (𝑛1 , 𝑛2 , . . . , 𝑛𝑘 ) и
вычисляется по формуле
𝑃𝑛 (𝑛1 , 𝑛2 , . . . , 𝑛𝑘 ) =
𝑛!
𝑛1 ! · 𝑛2 ! · . . . · 𝑛𝑘 !
Вопрос 5. Неупорядоченные соединения: сочетания и сочетания с повторениями. Примеры решения задач.
Пусть имеется множество из n элементов {𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑛 } (все элементы различны). Рассмотрим любое его k -элементное подмножество {𝑎1 , 𝑎2 ,
. . . , 𝑎𝑘 }.
Сочетание из n по k – любое k -элементное подмножество n-элементного
множества. Количество всех сочетаний из n по k обозначается так:
𝐶𝑛𝑘 =
𝑛!
𝑘! · (𝑛 − 𝑘)!
Вопрос 6. Объект и предмет теории вероятностей
Объектом изучения теории вероятности являются случайные массовые явления.
Предметом изучения теории вероятности являются количественные
закономерности, которым подчиняются результаты (исходы) массовых случайных явлений.
3
I Определение. Явления с неопределенными исходами называются случайными.
I Определение. Явления называются массовыми, если их можно неоднократно повторять теоретически неограниченное число раз.
В целом и в общем закономерости можно поделить на детерминированные и стохастические:
1. Детерминированные закономерности предполагают жесткие функциональные связи между причиной и следствием, т.е. связи, не содержащие случайных величин.
𝑌 = 𝑓 (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑘 , 𝑝1 , . . . , 𝑝𝑚 )
2. Стохастические закономерности предполагают, что наряду с контролируемыми параметрами имеются неконтролируемые факторы, влияние которых невозможно учесть в данных условиях и которые приводят
к невозможности однозначно прогнозировать исход явления.
Вопрос 7. Основные понятия теории вероятностей: опыт,
исходы опыта, пространство элементарных исходов. Примеры.
Опыт – это 𝑘1 , 𝑘2 , . . . , 𝑘𝑚 – которые осуществляют 𝑚 массовых
случайных явлений. Здесь 𝑚 – натуральное количество различных массовых случайных явлений, 𝑚 > 1, 𝑘1 , . . . , 𝑘𝑚 – сколько раз осуществлено
каждое случайное явление соответственно.
I Определение. Опыт – это множесво m случайный массовых явлений
𝑘1 , 𝑘2 , . . . , 𝑘𝑚 , каждое из которых повторяется 𝑘𝑖 раз.
Мы не знаем чем закончился опыт, но можем перечислить все возможные исходы: 𝜔1 , . . . , 𝜔𝑛 .
I Определение. Исходом опыта называется простейший, то есть неделимый на составные, результат опыта.
Все исходы опыта объединяются во множество, которое обозначается
Ω и называется пространством элементарных исходов.
Ω = {𝜔1 , . . . , 𝜔𝑛 }
4
Вопрос 8. Основные понятия теории вероятностей: случайные события, благоприятствующие исходы, совместные и
несовместные события. Примеры.
I Определение. Случайным событием, связанным с данным опытом,
называется любое подмножество пространства элементарных исходов этого опыта.
Например, 𝐴 = {𝜔1 , . . . , 𝜔𝑘 } – подмножество множества Ω = {𝜔1 , . . . , 𝜔𝑛 },
то есть по определению 𝐴 – случайное событие.
I Определение. Исходы, составляющие подмножество 𝐴, называются
благоприятствующими событию 𝐴, а по сути они приводят к наступлению события 𝐴.
Именно, когда в результате проведённого опыта наступит один какойнибудь исход из числа возможных {𝜔1 , . . . , 𝜔𝑛 }, так сразу наступят все
случайные события, в состав которых входит этот исход.
Так приходим к понятию совместных событий – это события, которые
могут произойти одновременно в результате опыта.
I Определение. Случайные события называются совместными, если
они имеют общие благоприятствующие исходы.
I Определение. Случайные события являются несовместными, если
они не имеют общих благоприятствующих исходов.
Вопрос 9. Два типа классификации событий: по возможности наступления и по составу.
Можно повести два вида классификации:
1. По возможности наступления
2. По составу события
По возможности наступления существует 3 класса:
1. Достоверное событие Ω = {𝜔1 , . . . , 𝜔𝑛 }, так как в результате опыта
обязательно наступит один из возможных исходов, то есть событие
обязательно произойдёт.
5
2. Невозможное событие ∅. Так как ни один из возможных вариантов
не является случайно благоприятствующим, то и событие никогда
не наступит.
3. Случайные события – наступят, если реализуется благоприятствующий исход, и не наступят, если реализуется исход неблагоприятствующий.
По составу:
1. Элементарные события, которым благоприятствует только один исход: {𝜔1 }, {𝜔2 }, . . . , {𝜔𝑛 }. Количество таких событий 𝑛
2. Составные события, которым благоприятствуют два и более исходов: {𝜔1 , 𝜔2 }, {𝜔𝑛−1 , 𝜔𝑛 }, . . . , {𝜔1 , 𝜔𝑛 }. Количество таких событий
2𝑛 − 𝑛 − 1
3. Невозможное – не существует исходов.
Вопрос 10. Множество всех событий, связанных с опытом,
имеющим n исходов. Операции над событиями. Алгебра событий.
В результате проведения опыта реально наступил только один исход
из числа возможных. А что можно увидеть умозрительно:
Объединим их во множество Ω = {𝜔1 , . . . , 𝜔𝑛 }. Исходы являются базой
для образования событий. Все события, связанные с опытом, объединяеют во множество S , которое является алгеброй событий и содержит
в себе события в количестве 2𝑛 .
I Определение. Алгебра событий – это множество всех возможных событий в рамках данного опыта.
Во множестве 𝑆 всех событий, |𝑆| = 2𝑛 , введены операции над событиями, важнейшими из которых являются операции сложения и умножения
событий.
Относительно этих операций множество S :
1. Замкнуто, то есть проводя эти операции над событиями, мы не получаем иных событий, кроме тех, которые уже есть в 𝑆
6
2. Обладает структурой алгебры и потому называется алгеброй событий.
Определение операции сложения и ее результата
∙ Объединяя исход событий 𝐴 = {𝜔𝑖1 , . . . , 𝜔𝑖𝐴 } и 𝐵 = {𝜔𝑖1 , . . . , 𝜔𝑖𝐵 }
мы получаем подмножество, то есть событие 𝐴 + 𝐵 = {𝜔𝑘1 , . . . , 𝜔𝑘𝐴+𝐵 },
которое называется событие 𝐴 и 𝐵.
∙ Событие 𝐴+𝐵 произойдёт, если произойдёт событие 𝐴, или произойдёт
событие 𝐵.
∙ Событие 𝐴+𝐵 произойдёт, если произойдёт событие 𝐴, или произойдёт
событие 𝐵, или произойдет и 𝐴 и 𝐵.
Определение операции умножения и ее результата
Отбирая общие исходы событий 𝐴 = {𝜔𝑖1 , . . . , 𝜔𝑖𝐴 } и 𝐵 = {𝜔𝑖1 , . . . , 𝜔𝑖𝐵 }
мы получаем пустое подмножество ∅ или непустое подмножество 𝐴·𝐵 =
= {𝜔𝑘1 , . . . , 𝜔𝑘𝐴∩𝐵 }
Вопрос 11. Метод определения вероятностей событий, основанный на постулатах (в опытах с конечным числом равновозможных исходов).
Вероятностью исхода является качественная мера объективной возможности наступления этого исхода в результате опыта.
Постулат 1: каждому элементарному исходу опыта поставим в соответствие положительное число – его вероятность – так, чтобы сумма чисел
равнялась единице
𝑛
∑︁
𝑝(𝜔𝑖 ) = 1, 𝑝(𝜔𝑖 ) > 0
𝑖=1
Постулат 2: вероятность любого случайного события в рассматриваемом опыте равна сумме вероятностей благоприятствующих этому событию исходов.
∑︁
𝑝(𝐴) =
𝑝(𝜔𝑗 ), 𝐴 = {𝜔𝑗1 , . . . , 𝜔𝑗𝐴 } ∈ Ω = {𝜔1 , . . . , 𝜔𝑛 }
𝜔𝑗 ∈𝐴
7
Вопрос 12. Важнейшие свойства вероятностей.
1. Вероятность достоверного события равна 1
∑︁
𝑝(Ω) =
𝑝(𝜔𝑖 ) = 1
𝜔𝑖 ∈Ω
2. Вероятность невозможного события равна 0
∑︁
𝑝(∅) =
𝑝(𝜔𝑖 ) = 0
𝜔𝑖 ∈∅
3.Вероятность случайного события 𝐴 – число, заключенное между 0 и 1
∑︁
𝑝(𝐴) =
𝑝(𝜔𝑖 ) = 𝑝(𝜔𝑖1 ) + . . . + 𝑝(𝜔𝑖𝐴 )
𝜔𝑖 ∈𝐴
4. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей
𝑝(𝐴 + 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵)
41 . Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна
сумме их вероятностей
𝑝(𝐴1 + . . . + 𝐴𝑛 ) = 𝑝(𝐴1 ) + . . . + 𝑝(𝐴𝑛 )
5. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их совместного наступления
𝑝(𝐴 + 𝐵) = 𝑝(𝐴) + 𝑝(𝐵) − 𝑝(𝐴 · 𝐵)
51 . 𝑝(𝐴+𝐵+𝐶) = 𝑝(𝐴)+𝑝(𝐵)+𝑝(𝐶)−𝑝(𝐴·𝐵)−𝑝(𝐴·𝐶)−𝑝(𝐵·𝐶)+𝑝(𝐴·𝐵·𝐶)
6. Вероятность случайного события 𝐴 можно найти через вероятность
противоположного события¯по формуле:
¯
𝑝(𝐴) = 1 − 𝑝(𝐴)
8
7.Вероятность произведения независимых события равна произведению
их вероятности.
𝑝(𝐴 · 𝐵) = 𝑝(𝐴) · 𝑝(𝐵)
8. Вероятность произведения зависимых событий равна произведению
безусловной вероятности одного из них на условную вероятность другого,
при условии, что первое произошло.
𝑝(𝐴 · 𝐵) = 𝑝(𝐴) · 𝑝(𝐵|𝐴)
𝑝(𝐴 · 𝐵) = 𝑝(𝐴) · 𝑝(𝐴|𝐵)
Вопрос 13. Классический метод определения вероятностей
(в опытах с конечным числом равновозможных исходов).
Классическое определение – не дефиниция, а способ нахождения
вероятностей в редких опытах. Опыт должен удовлетворять двум ограничивающим условиям:
— всех исходов опыта должно быть конечное число
— все исходы опыта должны быть равновозможно.
Выводим формулу, известную как «классическое определение вероятности»: 𝑝(𝐴) = 𝑚
𝑛 , где 𝑛 – общее число исходов; 𝑚 – число исходов,
приводящих к наступлению события 𝐴.
1=
𝑛
∑︁
𝑝(𝜔𝑖 ) = 𝑝 + 𝑝 + 𝑝 + . . . + 𝑝 = 𝑛 · 𝑝
𝑖=1
1
.
𝑛
𝐴 = {𝜔𝑖1 , . . . , 𝜔𝑖𝑚 }, то есть событию 𝐴 благоприятствуют 𝑚 равновозможных исходов.
∑︁
1
1
𝑚
1
𝑝(𝐴) =
𝑝(𝜔𝑖 ) = 𝑝(𝜔𝑖1 ) + . . . + 𝑝(𝜔𝑖𝑚 ) = + . . . + = 𝑚 · =
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛·𝑝=1⇒𝑝=
𝜔𝑖 ∈𝐴
9
Вопрос 14. Геометрический метод определения вероятностей.
Геометрическое определение вероятностей используется вместо классического, когда пространство элементарных исходов Ω – множество мощности континуума.
Иначе говоря, способ нахождения вероятностей случайных событий,
известный под названием геометрической вероятности, применим при
следующих условиях:
1. Число исходов опыта несчётно
2. Все исходы опыта равновозможны
При этом пространство Ω элементарных исходов может предоставлять собой:
— подмножество прямой R : Ω ⊂ R;
— подмножество плоскости R2 : Ω ⊂ R2 ;
— подмножество трёх-мерного пространства R3 : Ω ⊂ R3 .
Под мерой 𝑚𝑒𝑠𝐴 подмножества 𝐴 ⊂ Ω будем понимать его длину, или
площадь, или объём в зависимости от того, какому пространству принадлежит Ω (R или R2 или R3 ). Будем считать, что пространство элементарных исходов Ω имеет конечную меру; а вероятность попадания «случайно брошенной» точки в любое подмножество из Ω пропорциональна мере
этого подмножества и не зависит от его расположения и формы.
I Определение: Вероятностью события 𝐴 называется число 𝑝(𝐴) равное отношению меры множества 𝐴 к мере множества Ω:
𝑝(𝐴) =
𝑚𝑒𝑠𝐴
𝑚𝑒𝑠Ω
Вопрос 15. Статистический метод определения вероятностей.
Способы вычисления вероятностей случайных событий, известные как
классическое и геометрическое определение вероятностей, применимы
только в опытах с равновозможыми исходами. Большинство же практически важных случаев исследования случайных явлений не может быть
сведено к таким опытам.
10
Поэтому появляется необходимость в статистическом определении вероятности.
Пусть в одинаковых условиях проводят 𝑁 опытов, в каждом из которых интересуются результатом: наступило событие 𝐴 или нет.
I Определение: Относительной частотой события 𝐴 в серии из 𝑁 опытов называется отношение числа 𝑁𝐴 опытов, в которых событие произошло, к общему числу 𝑁 проведённых опытов:
𝑝* (𝐴) =
𝑁𝐴
𝑁
При малом числе 𝑁 относительная частота 𝑝* (𝐴) в значительной степени случайна. Однако, было замечено удивительное свойство (названное
статистической устойчивостью): при увеличении числа опытов относительная частота постепенно теряет свой случайных характер. Случайные обстоятельства, сопровождающие каждый отдельный опыт, в массе
испытаний взаимно погашаются и относительная частота постепенно стабилизируется, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой
постоянной величине.
I Определение: Вероятностью события 𝐴 называется число, около которого устойчиво колеблется относительная частота этого события, наблюдаемая при неограниченном увеличении (𝑛 → ∞) числа опытов.
Таким образом относительная частота события 𝑝* (𝐴) приближенно
совпадает с его вероятностью 𝑝(𝐴), если число испытаний достаточно
велико:
𝑝* (𝐴) ≈ 𝑝(𝐴) при 𝑛 → ∞
Вопрос 16. Зависимые и независимые события, их взаимность. Определение условной вероятности событий и следствие из него.
Два события называются независимыми, если появление одного из
них не влияет на вероятность появления другого.
Два события называются зависимыми, если появление одного из них
влияет на вероятность появления другого.
Постулируем, то есть примем без доказательства следующее:
Утверждение. Независимость событий является взаимной: если событие 𝐴 не зависит от собятия 𝐵, то событие 𝐵 не зависит от 𝐴.
11
Утверждение. Зависимоть событий является взаимной. Путь 𝐵 зависит от 𝐴. Если предположить при этом, что 𝐴 не зависит от 𝐵 , то в
силу взаимности независимости событий, имеем, что 𝐵 не зависит от 𝐴,
что противоречит уловию.
Итак, и независимость, и зависимость событий является взаимной.
Безусловно вероятность события 𝐵, то есть без всяких условмй, как
например наступления совбытя 𝐴, называют 𝑝(𝐵).
Условную вероятность события 𝐵 при каком-то условии, например,
что событие 𝐴 произошло, обозначают 𝑝(𝐵|𝐴).
Если события 𝐴 и 𝐵 независимы, то есть по определению появление
одного не влияет на вероятность появления другого, то безусловные и
условные вероятности событий рвны:
𝑝(𝐵) = 𝑝(𝐵|𝐴).
Итак, это равенство равносильно независимости событий.
Если события 𝐴 и 𝐵 зависимы, то есть по определению появление
одного из них влияет на вероятность появления другого, то безусловные
и условные вероятности не равны:
𝑝(𝐵) ̸= 𝑝(𝐵|𝐴).
Итак, это равенство равносильно независимости событий 𝐴 и 𝐵. Как
найти условную вероятность? Ответим определением.
I Определение. Условной вероятностью события 𝐵 при условии, что
событие 𝐴 произошло называется число, которое находится по формуле:
𝑝(𝐵|𝐴) =
𝑝(𝐴 · 𝐵)
.
𝑝(𝐴)
Из этого определения следует важное следствие:
𝑝(𝐴 · 𝐵) = 𝑝(𝐴) · 𝑝(𝐵|𝐴).
Уточним это равенство на слуяай зависимых и независимых событий.
𝑝(𝐴 · 𝐵) = 𝑝(𝐴) · 𝑝(𝐵|𝐴) = 𝑝(𝐴) · 𝑝(𝐵),
Условную вероятность нельзя заменить на неранеравную ей безусловную.
12
Следующие из этого важнейшие свойства вероятности:
1. Вероятность произведения независимых события равна произведению
их вероятности.
𝑝(𝐴 · 𝐵) = 𝑝(𝐴) · 𝑝(𝐵)
2. Вероятность произведения зависимых событий равна произведению
безусловной вероятности одного из них на условную вероятность другог,
при условии, что первое произошло.
𝑝(𝐴 · 𝐵) = 𝑝(𝐴) · 𝑝(𝐵|𝐴)
𝑝(𝐴 · 𝐵) = 𝑝(𝐵) · 𝑝(𝐴|𝐵)
Вопрос 17. Полная вероятность.
Пусть опыт состоит в последовательном проведении друх различных
испытаний: [опыт] = исп.1, исп.2
Событие в исп.2 может поэтому наступить только совместно с одним
из исходов исп.1 , именно
𝜔1 · 𝐴 или . . . или 𝜔𝑛 · 𝐴.
Таким образом к событию можно прийти разными путями. Сложив
вероятности этих путей, найдем полную вероятность события .
Для оптимизации этого процесса разобъем пространоство элементарных исходов в исп.1 в полную группу попарных несовметснвх событий.
𝐻1 = {𝜔𝑖1 , . . . 𝜔𝑖𝐻1 }
𝐻2 = {𝜔𝑗1 , . . . 𝜔𝑗𝐻2 }
...
𝐻𝑘 = {𝜔𝑡1 , . . . 𝜔𝑡𝐻𝑘 }
по следующему принципу: в одно событие попадут те исходы, при наступлении которых в исп.1 вероятность наступления события в исп.2 одна и
та же:
𝑝(𝐴|𝜔𝑖1 ) = . . . = 𝑝(𝐴|𝜔𝑖𝐻1 ) := 𝑝(𝐴|𝐻1 )
𝑝(𝐴|𝜔𝑗1 ) = . . . = 𝑝(𝐴|𝜔𝑗𝐻2 ) := 𝑝(𝐴|𝐻2 )
...
13
𝑝(𝐴|𝜔𝑡1 ) = . . . = 𝑝(𝐴|𝜔𝑡𝐻𝑘 ) := 𝑝(𝐴|𝐻𝑘 )
Итак, события 𝐻1 , 𝐻2 , . . . , 𝐻𝑘 образуют полную группу. Тогда для
любого, наблюдаемого в опыте, события 𝐴 имеет место формула полной
вероятности:
𝑛
∑︁
𝑝(𝐴) =
𝑝(𝐻𝑖 ) · 𝑝(𝐴|𝐻𝑖 )
𝑖=1
Вопрос 18. Формула Байеса.
В теме полная вероятность речь шла о вероятности события, которое могло наступить на втором этапе опыта (исп.2) только совместным с
одним из результатов исп.1 (𝐻1 , 𝐻2 , . . . , 𝐻𝑘 ):
𝑝(𝐴) =
𝑛
∑︁
𝑝(𝐻𝑖 ) · 𝑝(𝐴|𝐻𝑖 )
𝑖=1
Формула полной вероятности была выведена.
Пусть опыт завершился наступлением события 𝐴 в исп.2. Если мы не
знаем доподлинно с каким событием 𝐻1 , 𝐻2 , . . . , 𝐻𝑘 наступило событие
𝐴, то узнать не получится. Но можно найти вероятности того, совместно
с каким событием наступило событие 𝐴:
𝑝(𝐻1 |𝐴), 𝑝(𝐻2 |𝐴), . . . , 𝑝(𝐻𝑘 |𝐴)
Опыт завершился наступлением события 𝐴. Какова вероятност, что в
первом испытании наступило событие 𝐻1 , 𝐻2 , . . . , 𝐻𝑘 ?
Такие вероятности называются послеопытными вероятностями гипотез или апостериорными.
𝑝(𝐻𝑖 · 𝐴) = 𝑝(𝐻𝑖 ) · 𝑝(𝐴|𝐻𝑖 ) = 𝑝(𝐴) · 𝑝(𝐻𝑖 |𝐴)
𝑝(𝐻𝑖 |𝐴) =
𝑝(𝐻𝑖 ) · 𝑝(𝐴|𝐻𝑖 )
𝑝(𝐴)
Заменив в знаменателе безусловную вероятность на полную, получим
формулу для послеопытных вероятностей гипотез – формулу Байеса.
14
Вопрос 19. Биноминальная схема Бернулли: n однотипных
независимых испытаний с двумя альтернативными результатами.
Пусть опыт состоит в последовательном проведении 𝑛 одниаковых
независимых испытаний:
[опыт] = исп1, исп.2, ..., исп.n.
Чтобы испытания были независимыми необходимо чтобы они проводились в одинаковых условий и результат любого из них не зависил от
результата любого другого из них.
Независимость условий на каждом этапе опыта влечет, что от испытания к испытанию в каждом ипытании будут появляться те же исходы
с теми же вероятностями.
Рассмотрим отдельное испытание опыта:
Те исходы, которые будут приводить к интересующему нас событию 𝐴 –
¯ Итак, 𝑝(𝐴) = 𝑝, 𝑝(𝐴)
¯ = 𝑞.
объеденим, а оставшиеся также объеденим в 𝐴.
Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события 𝐴, а вероятность его непоявления 𝐴¯ = 𝑞 =
1−𝑝, то внероятность того, что событие 𝐴 произойдет m раз определяется
формулой Бернулли:
𝑃𝑛 (𝑚) = 𝐶𝑛𝑚 · 𝑝𝑚 · 𝑞 𝑛−𝑚 , 𝑚 = 0,𝑛.
Схема Бернулли называется биноминальной, потому что в каждом из
испытаний возможно по 2 альтернативных события.
15
Вопросы 20-22: формула Бернулли, Пуассона и МуавраЛапласа
Случай
𝑛 – не велико
𝑃𝑛 (𝑘)
𝑃𝑛 (𝑘1 6 𝑘 6 𝑘2 )
𝐶𝑛𝑘 · 𝑝𝑘 · 𝑞 𝑛−𝑘
𝐶𝑛𝑘1 · 𝑝𝑘1 · 𝑞 𝑛−𝑘1 + . . . + 𝐶𝑛𝑘2 · 𝑝𝑘2 · 𝑞 𝑛−𝑘2
p – любая
𝑛 – велико
𝑝→0
𝜆𝑘 −𝜆
·𝑒 ,
𝑘!
𝑛 · 𝑝 6 10
𝜆=𝑛·𝑝
𝜆𝑘1 −𝜆
𝜆𝑘2 −𝜆
· 𝑒 + ... +
·𝑒
𝑘1 !
𝑘2 !
𝑛 – велико
(︂
𝑘 − 𝑛𝑝
√
𝑛𝑝𝑞
)︂
0,1 6 𝑝 6 0,9
1
·𝜙
√
𝑛𝑝𝑞
𝑛 · 𝑝 > 10
Локальная в точке
(︂
𝜑
𝑘2 − 𝑛𝑝
√
𝑛𝑝𝑞
)︂
(︂
−𝜑
𝑘1 − 𝑛𝑝
√
𝑛𝑝𝑞
)︂
Интегральная на отрезке
Вопрос 23. Наиболее вероятностное число «успехов» – появление ожидаемого события А, вероятность которого постоянна и равна р в каждом из n испытаний опыта, удовлетворяющего схеме Бернулли.
Биномиальное распределение (распределение по схеме Бернулли) позволяет, в частности, установить, какое число появлений события A наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k
(появлений события) имеет вид:
𝑛·𝑝−𝑞 <𝑘 <𝑛·𝑝+𝑝
Так как 𝑛 · 𝑝 − 𝑞 = 𝑛 · 𝑝 + 1, правая и левая границы отличаются на 1.
Таким образом целое число k:
∙ Может принимать одно значение, если границы не являются целыми числами
∙ Может принимать два значения, если границы являются целыми
16
числами. Значения k в этом случае будут совпадать со значениями границ.
Вопрос 24. Полиномиальная схема Бернулли.
Рассмотрим опыт, состоящий в n-кратном повторении одинаковых
независимых испытаний, в каждом из которых может произойти одно и
только одно из m несовместных событий 𝐴1 , 𝐴2 , . . . , 𝐴𝑚, причем каждое
событие 𝐴𝑖 может произойти с вероятностью 𝑝𝑖 . Такой опыт называют
полиномиальной схемой. Вероятность того, что в n испытаниях событие
𝐴1 произойдет равно 𝑘1 раз, событие 𝐴2 произойдет равно 𝑘2 раз, . . .
событие 𝐴𝑚 произойдет равно 𝑘𝑚 раз (причем 𝑘1 + 𝑘2 + . . . + 𝑘𝑚 = 𝑛)
описывается формулой:
𝑃𝑛 (𝑘1 , 𝑘2 , . . . , 𝑘𝑚 ) =
𝑛!
𝑘𝑚
· 𝑝𝑘1 · 𝑝𝑘2
2 · . . . · 𝑝𝑚
𝑘1 !𝑘2 ! . . . 𝑘𝑚 ! 1
Вопрос 25. Случайная величина как функция, ее область
определения и область значений. Примеры.
I Определение. Случайная величина – это величина, которая в результате опыта принимает определенное значение, причем неизвестно заранике, какое именно.
I Строгое определение. Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных событий Ω,
которая каждому элементарному событию 𝜔 ставит в соответствие число
𝑋(𝜔), т.е. 𝑋 = 𝑋(𝜔), 𝜔 ∈ Ω (или 𝑋 = 𝑓 (𝜔)).
Область определения – пространство элементарных событий.
Область значений – множество числовых значений X.
Вопрос 26. Классификация случайных величин по типу структуры множества их возможных значений.
По типу структуры множества их возможных значений случайные величины делятся на дискретные и непрерывные:
∙ Дискретной случайной величиной называют случайную величину, число возможных значений которой конечное либо счётное множество.
17
∙ Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый промежуток числовой прямой (конечный или бесконечный).
Вопрос 27. Способы задания СВДТ.
Законом распределения случайной величины называется соотношение между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми она принимает эти значения (причем сумма всех
вероятностей равна 1).
Закон распределения чаще всего представляется в виде таблицы. Опыт
можно визуализировать с помощью графика.
1. Таблица распределения
𝑋
𝑥1
𝑥2
...
𝑥𝑛
...
𝑃
𝑝1
𝑝2
...
𝑝𝑛
...
Первая строка содержит все возможные значения СВ, а вторая – их
вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.
2. Графически
18
Закон распределения ДСВ можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения СВ, а на оси ординат – вероятности
этих значений.
Вопрос 28. Специфика СВНТ. Функция плотности распределения вероятностей f(x) как способ задания СВНТ. Свойства функций плотности f(x).
СВНТ по своей природе может принимать любое значение из
некоторого промежутка. В силу того, что значений у СВНТ бесконечное
несчетное множество (любой промежуток имеет мощность континуума),
то задать СВНТ таблицей (перечислением возможных значений и их вероятностей) не получится.
Функция плотности распределения вероятностей f(x): Функция 𝑓𝑥 (𝑥) – кусочно непрерывная, неотрицательная, положительная на
множестве возможных значений. Ее график называется кривой распредлеения вероятностей СВНТ Х.
Главная задача: найти вероятность попадания СВНТ Х в некоторый промежуток (принять какое-то одно определенное значений из множества возможных значений – вероятность = 0).
𝑃 (𝛼 6 𝑥 6 𝛽) = 𝑃 (𝛼 < 𝑥 6 𝛽) =
∫︁𝛽
= 𝑃 (𝛼 6 𝑥 < 𝛽) = 𝑃 (𝛼 < 𝑥 < 𝛽) =
𝑓𝑥 (𝑥) 𝑑𝑥
𝛼
Свойства функции плотности:
1. Область определения 𝐷(𝑓𝑥 (𝑥)) : 𝑥 ∈ (−∞; +∞)
2. 𝑓𝑥 (𝑥) > 0, ∀𝑥 ∈ (−∞; +∞)
+∞
∫︁
3.
𝑓𝑥 (𝑥) 𝑑𝑥 = 1 – свойство нормированности
−∞
19
+∞
∫︁
𝑓𝑥 (𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑃 (−∞ < 𝑋 < +∞) = 1
−∞
Геометрический смысл этого свойства: определенный интеграл
– его геометрический смысл – площадь криволинейной трапеции под графиком кривой распределения. Значит, 𝑆 = 1.
∫︁𝑥
4.
𝑓𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹𝑥 (𝑥) – функция распределения вероятности СВНТ X
−∞
+∞
∫︁
5.
𝑓𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐹𝑥 (𝑥)
𝑥
29. Функция распределения вероятностей F(x): ее определение и свойства.
Функция распределения вероятностей СВНТ Х – это заданная на
всей числовой прямой не отрицательная непрерывная, дифференцируемая, неубывающая функция 𝐹𝑥 (𝑥), которая в каждой точке своей области
определения принимает значение:
𝐹𝑥 (𝑥) = 𝑃 (𝑋 < 𝑥)
т.е. какова вероятность события СВ X приняла значение менее чем x.
∫︁𝑥
𝐹𝑥 (𝑥) = 𝑃 (𝑋 < 𝑥) = 𝑃 (−∞ < 𝑋 < +∞) =
𝑓𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡
−∞
Свойства функции F(x):
1. Область определения 𝐷(𝐹𝑥 (𝑥)) : 𝑥 ∈ (−∞; +∞)
2. Область определения (𝐹𝑥 (𝑥)) : 𝑦 ∈ [0; 1]
3. 𝐹𝑥 (𝑥) – неубывающая
20
Вопрос 30. Математическое ожидание СВДТ: определение
и свойства.
Мат. ожидание (𝑀 (𝑋)) – числовая характеристика, т.е. характеристика числом, которая представляет собой среднее число проявлений «успехов» в серии n испытаний.
В случае биномиального закона:
𝑀 (𝑋) = 𝑛 · 𝑝, n – число проведенных испытаний; p – вероятность успеха
в каждом отдельном испытании.
В случае НЕ биномиального закона:
𝑀 (𝑋) = 𝑥1 · 𝑃1 + 𝑥2 · 𝑃2 + . . . + 𝑥𝑛 · 𝑃𝑛 =
𝑛
∑︁
𝑥𝑖 𝑃𝑖
𝑖=1
Свойства мат. ожиданя:
1. Мат. ожидание константы равно этой константе:
𝑀 (𝑐) = 𝑐
2. Константа выносится за знак мат. ожидания:
𝑀 (𝑐𝑋) = 𝑐𝑀 (𝑋)
3. Мат. ожидание суммы СВ равно сумме их мат. ожиданий:
𝑀 (𝑋 + 𝑌 ) = 𝑀 (𝑋) + 𝑀 (𝑌 )
4. Мат. ожидание отклонения СВ от ее мат. ожидания равно нулю:
𝑀 (𝑋 − 𝑀 (𝑋)) = 0
5. Мат. ожидание произведения независимых СВ равно произведению их
мат. ожиданий:
𝑀 (𝑋 · 𝑌 ) = 𝑀 (𝑋) · 𝑀 (𝑌 )
21
Вопрос 31. Математическое ожидание СВНТ. Примеры.
Мат. ожидание СВНТ:
+∞
∫︁
𝑀 (𝑋) =
𝑋 · 𝑓𝑥 (𝑥) 𝑑𝑥
−∞
Вопрос 32. Дисперсия СВДТ: определение и свойства.
Дисперсией СВ X называется мат. ожидание квадрата ее отклонения
от своего мат. ожидания. Обозначается дисперсия через 𝐷(𝑋). По определению
𝐷(𝑋) = 𝑀 (𝑋 − 𝑀 (𝑋))2 ,
однако на практике дисперсию удобнее находить по формуле
𝐷(𝑋) = 𝑀 (𝑋 2 ) − (𝑀 (𝑋))2
Свойства дисперсии:
1. Дисперсия константы равна 0:
𝐷(𝑐) = 0
2.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя
его в квадрат:
𝐷(𝑐𝑋) = 𝑐2 𝐷(𝑋)
3. Дисперсия любой СВ неотрицательна:
𝐷(𝑋) 6 0
4. Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме их дисперсий:
𝐷(𝑋 + 𝑌 ) = 𝐷(𝑋) + 𝐷(𝑌 )
5. Дисперсия СВ не изменится, если к этой СВ прибавить константу:
𝐷(𝑋 + 𝑐) = 𝐷(𝑋)
6. Если СВ X и Y независимы, то:
𝐷(𝑋𝑌 ) = 𝑀 (𝑋 2 ) · 𝑀 (𝑌 2 ) − (𝑀 (𝑋))2 · (𝑀 (𝑌 ))2
22
Вопрос 33. Дисперсия СВНТ. Примеры.
Дисперсия СВНТ:
+∞
∫︁
𝑋 2 · 𝑓𝑥 (𝑥) 𝑑𝑥 − (𝑀 (𝑋))2
𝐷(𝑋) =
−∞
Вопрос 34. СВДТ, распределение по биномиальному закону: условия возникновения случайной величины, подчиненной биномиальному закону, сдвинутому на единицу, таблица соответствия возможных значений и их вероятностей,
параметры закона, специфические формулы основных числовых характеристик.
СВДТ X имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 0, 𝑛 с вероятностями:
𝑝𝑘 = 𝑃 {𝑋 = 𝑘} = 𝐶𝑛𝑘 · 𝑝𝑘 · 𝑞 𝑛−𝑘 , 0 < 𝑝 < 1, 𝑞 = 1 − 𝑝
СВ X, распредленная по биномиальному закону, является числом успехов с вероятностью p в схеме Бернулли проведения n независимых опытов.
𝑋=𝑘
0
1
2
...
m
...
n
𝑝𝑘 = 𝑃 {𝑋 = 𝑘}
𝑞𝑛
𝐶𝑛1 𝑝1 𝑞 𝑛−1
𝐶𝑛2 𝑝2 𝑞 𝑛−2
...
𝐶𝑛𝑚 𝑝𝑚 𝑞 𝑛−𝑚
...
𝑝𝑛
Мат. ожидание и дисперсия:
𝑀 (𝑋) = 𝑛 · 𝑝, 𝐷(𝑋) = 𝑛 · 𝑝 · 𝑞
23
Вопрос 35. СВДТ, распределение по геометрическому закону: условия возникновения случайной величины, подчиненной геометрическому закону и геометрическому закону,
сдвинутому на единицу, таблица соответствия возможных
значений и их вероятностей, параметры закона, специфические формулы основных числовых характеристик.
СВДТ X имеет биномиальное распределение, если она принимает значения 1, 2, 3, . . . с вероятностями:
𝑝𝑚 = 𝑃 {𝑋 = 𝑚} = 𝑝 · 𝑞 𝑚−1 , 𝑚 = 0, 1, 2, . . .
Геометрическое распределение имеет СВ X , равная числу опытов в схеме Бернулли, проведенных до первого успеха, с вероятностью
успеха p в единичном опыте. Примерами реальных случайных величин,
распределенных по геометрическому закону, являются: число выстрелов
до первого попадания, число испытаний прибора до первого отказа и
т.д. Ряд распределения случайной величины X, имеющий геометрическое
распределение, имеет вид:
𝑋=𝑚
1
2
3
...
𝑝𝑚 = 𝑃 {𝑋 = 𝑚}
𝑝
𝑞𝑝
𝑞2𝑝
...
Мат. ожидание и дисперсия:
1
𝑞
𝑀 (𝑋) = , 𝐷(𝑋) = 2
𝑝
𝑝
Вопрос 38. Равномерное распределение вероятностей СВНТ:
функция плотности, функция распределения, вероятность
попадания случайной величины в произвольный интервал,
основные числовые характеристики.
I Определение. СВНТ Х называется распределенной на отрезке [𝑎, 𝑏],
если она принимает любые значения этого отрезка с равной вероятностью.
24
1. Плотность 𝑓 (𝑥) равномерного распределения постоянная на отрезке
[𝑎, 𝑏], а вне его равна 0, т.е.
⎧
⎪
0,
𝑥<𝑎
⎪
⎨ 1
𝑓𝑥 (𝑥) =
, 𝑎6𝑥6𝑏
⎪
𝑏−𝑎
⎪
⎩
0,
𝑥>𝑏
2. Функция распределения 𝐹 (𝑥) найдем по формуле:
∫︁𝑥
𝐹𝑥 (𝑥) =
𝑓𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡,
−∞
но в соответствии с природой функции рапсределения необходимо находить ее в три этапа:
2.1. −∞ < 𝑋 6 𝑎, т.е. 𝑥 ∈ (−∞; 𝑎]
∫︁𝑥
𝑓𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡 = 0
−∞
2.2. 𝑎 < 𝑋 6 𝑏, т.е. 𝑥 ∈ (−∞; 𝑎] ∪ (𝑎; 𝑏]
∫︁𝑥
𝑓𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡 =
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎
−∞
2.3. 𝑏 < 𝑋 < +∞, т.е. 𝑥 ∈ (−∞; 𝑎] ∪ (𝑎; 𝑏] ∪ (𝑏; +∞)
∫︁𝑥
𝑓𝑥 (𝑡) 𝑑𝑡 = 1
−∞
3. Вероятность попадания СВНТ Х равномерно распределенной на отрезке [𝑎, 𝑏] в интервал (𝛼, 𝛽), где (𝛼, 𝛽) ∈ [𝑎, 𝑏] вычисляется формуле:
𝑃 (𝛼 < 𝑋 < 𝛽) =
𝛽−𝛼
,
𝑏−𝑎
т.е. отношение длины отрезка [𝛼, 𝛽] к длине [𝑎, 𝑏].
25
