Загрузил hichigo1

ИТ

реклама
ВАРИАНТ № 9
Задача. Проводятся мероприятия по предотвращению преступлений
двух категорий: «1 категория» и «2 категория». Для предотвращения преступлений используются мероприятия (ресурсы) двух видов: А и В. Расходы
ресурсов А и В на предотвращение одного преступления каждой категории,
запасы ресурсов и эффективность мероприятий (эффект от предотвращения одного преступления, например в баллах) приведены в таблице 1.
Таблица 1
Ресурсы
Расход ресурсов на одно меропр
Запасы
1 категория
2 категория
ресурсов
Ресурс А
1
2
4
Ресурс В
3
1
3
Количество
мероприятий
Эффективность
мероприятий
x1
x2
2(балла)
1,5(балла)
Выяснить, какое количество мероприятий каждого вида надо осуществить (составить оптимальный план мероприятий), чтобы добиться максимальной эффективности в борьбе с преступлениями, т.е. чтобы результаты мероприятий оценивались максимальным количеством баллов.
Задание.
1. Составить математическую модель задачи.
2. Решить задачу в Excel.
Решение
1 часть. Составить математическую модель задачи.
Для составления математической модели задачи прежде всего введём
переменные (неизвестные) задачи: x1 - количество мероприятий для предотвращения преступлений 1-й категории, а x2 - количество мероприятий для
предотвращения преступлений 2-й категории.
Ограниченность запасов ресурсов приводит к ограничениям на x1 и x2 :
ограничения на расход ресурса А
x1  2  x2  4 ,
ограничения на расход ресурса В
3  x1  x2  3.
Кроме того, x1 , x2  0 .
Качество решения задачи определяется с помощью целевой функции
задачи Z ( x1 , x2 ) - функции, определяющей эффективности в борьбе с преступлениями,
т.е.
чтобы
результаты
мероприятий
оценивались
максимальным количеством баллов: Z  2  x1  1,5  x2 .
Задача об определении оптимального плана мероприятий свелась к
следующей математической задаче: найти вектор (x1 , x2 ) (план мероприятий), координаты которого удовлетворяют системе ограничений
x1  2  x2  4

 3  x 1  x2  3
и условиям неотрицательности
x1 , x2  0 ,
который доставляет максимум целевой функции Z  2  x1  x2 .
Эту математическую задачу принято записывать в виде
Z  2  x1   x2 → max
(1)
x1  2  x2  4
(2)

3  x1  x2  3
x1 , x2  0 .
(3)
и называть математической моделью данной производственной задачи.
Подобные задачи называются задачами линейного программирования. Они изучаются в разделе математики, называемом математическим
программированием. Так как переменные x1 и x2 входят в систему ограничений (2) и целевую функцию Z (1) линейно, то эту задачу математического
программирования называют задачей линейного программирования.
Множество точек декартовой плоскости (x1 , x2 ) , координаты которых
удовлетворяют системе ограничений (2) и условиям неотрицательности (3),
называется областью допустимых решений задачи линейного программирования(областью допустимых планов). В данной задаче она представляет собой выпуклый четырёхугольник. Значения x1* и x2* из области допустимых
планов, при которых Z принимает наибольшее значение в этой области,
называются оптимальными (оптимальный план), а соответствующее
наибольшее значение Z * 2  x1*1,5 x2* является оптимальным значением.
Таким образом, задача о распределении ресурсов является задачей
оптимиза-ции и её математической моделью служит задача линейного
программирова-ния, заключающаяся в поиске оптимального плана и
оптимального значения целевой функции.
Задачей оптимизации может быть поиск наименьшего значения.
2. Решение задачи в Excel.
Скачать