МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ І ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Факультет землевпорядкування Кафедра геодезії Методичні вказівки для лабораторної роботи № 4 на тему "Спрощене врівноваження центральної системи” з дисципліни "Математична обробка геодезичних вимірів" для студентів ІІ курсу з спеціальності 6.070900 землевпорядкування та кадастр Одеса "Центр – Медіа" 2011 ББК 26.1 я73 УДК 528.1 (075.8) Укладач: кандидат технічних наук, доцент В.О. Артемов Рецензент: доктор технічних наук, професор Л.Ф. Вікуліна Викладено основні положення врівноваження спрощеним методом геодезичних мереж на прикладі центральної системи в обсязі достатньому для виконання практичної роботи по врівноваженню. Студенти виконуючи обробку результатів вимірювань, одержують необхідні основи знань для подальшого оволодіння теорією і практикою математичної обробки геодезичних вимірів. Розглянуто та затверджено на засіданні методичної комісії факультету землевпорядкування. Протокол № від ЛАБОРАТОРНА РОБОТА НА ТЕМУ: Спрощене врівноваження центральної системи Мета роботи: 1. Ознайомитись з розрахунками, що пов’язані із застосуванням в теорії математичної обробки геодезичних вимірів корелатного способу врівноваження геодезичних мереж. 2. Отримати практику в застосуванні формул і алгоритму спрощеного методу врівноваження геодезичних мереж Матеріальне забезпечення: Персональні ЕОМ, мікрокалькулятори, таблиці. ЗМІСТ Вступ 5 1. Математичне обґрунтування спрощеного методу врівноваження геодезичних мереж .............................................. 7 2. Алгоритм спрощеного врівноваження геодезичних мереж......... 8 3. Приклад моделювання і спрощеного врівноваження геодезичних мереж.......................................................................... 11 4. Контрольні питання…………………………………..................... 14 Література…………………...………………………..................... 15 ВСТУП Кожній надмірній величині в геодезичній мережі відповідає одна незалежна від інших умова, а r надмірним величинам — r незалежних умов. Деякі умови виникають із-за наявності в мережі початкових елементів. Геодезична мережа, в якій є хоч би одна умова, пов'язана з наявністю в ній початкових елементів, є невільною. Початкові елементи мережі звичайно приймають за точні, вони не підлягають зміні. Насправді вони містять погрішності, якими іноді не можна нехтувати, оскільки вони можуть знизити точність новостворюваної мережі. Кожній умові відповідає одне умовне рівняння поправок. Існують строгі і спрощені способи врівноваження. Строгі способи врівноваження базуються на методі найменших квадратів. Їх застосовують в основному при зрівнюванні державної геодезичної мережі, мережі згущування 1-го розряду і опорної межової мережі 1-го класу. врівноваження тріангуляції 2-го розряду звичайно виконують спрощеним способом як простішим для обчислень. При цьому для виведення формул поправок до результатів вимірювань використовують, з деякими обмеженнями, один із строгих способів врівноваження — корелатний. 1 Математичне обґрунтування спрощеного методу врівноваження геодезичних мереж 1.1 Врівноваження по-методу найменших квадратів. Врівноваження по-методу найменших квадратів полягає у визначенні поправок v1, v2, v3, .. vn, до результатів вимірювань, що задовольняють умові [v2] = min, якщо вимірювання рівноточні, або [рv2] = min, якщо вимірювання нерівноточні і характеризуються вагами p1, p2, p3, …, pn. Значення величин, зрівняні по методу найменших квадратів, є в деякому розумінні якнайкращими в порівнянні з результатами врівноваження іншими методами. 1.2 Корелатний спосіб врівноваження. Корелатний спосіб врівноваження полягає в наступному. Хай зрівнюваній геодезичній мережі відповідає система r незалежних умовних рівнянь = 0 x1, x2, x3, …, xn) = 0 x1, x2, x3, …, xn) = 0 = = ||0|| (1) x1, x2, x3, …, xn) || || .................................... .. .. = 0 rx1, x2, x3, …, xn) Внаслідок неминучих погрішностей вимірювань при підставці виміряних значень x′1, x′2, x′3, …, x′n в умовні рівняння (1) в правих частинах умовних рівнянь з'являються нев'язки x′1, x′2, x′3, …, x′n) = 1 x′1, x′2, x′3, …, x′n) = 2 = || || x′1, x′2, x′3, …, x′n) = 3 = || || (2) .................................... .. …. r x′1, x′2, x′3, …, x′n) = r Ці нев'язки повинні бути усунені шляхом введення поправок v в результаті вимірювань. Таким чином, невідомі істинні значення величин замінюють їх вирівняними значеннями. Якщо математичні умови, які задані в нелінійній формі, привести до лінійного виду, розклавши в ряд Тейлора і обмежуючись першими ступенями поправок, то зрівнюваній геодезичній мережі буде відповідати система незалежних умовних рівнянь поправок + w1 = 0 a11v1 + a12v2 + . + a1nvn + w2 = 0 a21v1 + a22v2 + . + a2nvn + w3 = 0 = ||A||x||V||+||W|| = ||0|| (3) a31v1 + a32v2 + . + a3nvn ....................................... .. …. .. .. + wr = 0 ar1v1 + ar2v2 + . + arnvn де a11 + a12 + . + arn,— коефіцієнти, а w1, w2, ... wr—вільні члени (нев’язкі) рівнянь. Розглянемо рішення задачі за визначенням поправок для випадку рівноточних вимірювань відповідно до принципу [v2] = min. Це завдання відноситься до математичного аналізу на умовний екстремум. Вона може бути вирішена за допомогою множників Лагранжа, званих корелатами. Для такого вирішення складають функцію Лагранжа F = [v2] – 2k1([a1v] + w1) - 2k2([a2v] + w2) - . - 2kr([arv] + wr) (4) Потім функцію досліджують на екстремум, для чого знаходять її приватні похідні і прирівнюють їх до нуля: ∂F = 2υ1− 2a 11 k 1− 2a 21 k 2− .. .− 2a r1 k r = 0 ∂ v1 ∂F = 2υ 2− 2a 12 k 1− 2a 22 k 2− . . .− 2a r2 k r = 0 ∂ v2 .... ... ... .... .. . ... .. . .... . .. ... .. . .... . .. .... ... ... ... ... .... .. . ... ∂F = 2υn− 2a 1n k 1− 2a 2n k 2− ...− 2a rn k r = 0 ∂ vn (5) Звідси υ 1 =a 11 k 1 +a 21 k 2+ . ..+a r1 k r υ 2 =a 12 k 1 +a 22 k 2+ ...+a r2 k r .......... .................. ....... ..... υ n =a 1n k 1 +a 2n k 2+ ...+a rn k r (6) Рівність (6) називає корелатнимі рівняннями поправок. Підставляючи вирази поправок (6) в умовні рівняння поправок (3), після приведення подібних членів одержуємо систему рівнянь [a 1 a 1 ]k 1+ [a 1 a 2 ]k 2+ ...+ [a 1 a r ]k r +w 1= 0 [a 2 a 1 ]k 1+ [a 2 a 2 ]k 2+ ...+ [a 2 a r ]k r +w 2= 0 .... ...... ...... ...... ...... .... .. .. .... ...... . .... . ...... .. ..... ...... .. [a r a 1 ]k 1+ [a r a 2 ]k 2+ ...+ [a r a r ]k r +w r= 0 , (7) яку називають системою нормальних рівнянь корелат. Число нормальних рівнянь дорівнює числу невідомих коррелат, тобто матриця з коефіцієнтів є квадратною. Квадратичні коефіцієнти [a1a1] [a2a2] ., [arar] розташовуються по так званій головній діагоналі визначника системи. Інші — не квадратичні коефіцієнти, розташовані симетрично щодо головної діагоналі, рівні між собою. Вирішуючи систему рівнянь (7), знаходять корелаты k1, k2, ., kr і потім за допомогою рівнянь (6) поправки v1, v2, … , vn. У тому випадку, коли в мережі є тільки одне умовне рівняння вигляду: a1v1 + a2v2 + . + anvn + w = 0 йому відповідатиме одне нормальне рівняння корелат: [a1a1]k + w = 0 (8) де [a1a1] = a1a1 + a2a2 + a3a3 + … + anan Тоді, вирішуючи рівняння (8) отримуємо: k = - w / [a1a1] (9) Корелатні рівняння поправок в цьому випадку будуть: υ 1 =a 1 k, υ 2 =a 2 k, .... ...... ... υ n =a n k . (10) Наприклад, якщо визначають третій пункт мережі по двох пунктах і трьом зміряним кутам трикутника, вершинами якого є ці три пункти, то поправки в зміряні значення кутів трикутника за викладеним способом одержують таким чином. Умовне рівняння поправок буде: v1 + v2 + v3 + w = 0 нормальне рівняння корелат: 3k + w = 0 Звідси k=-w/3 Поправки до зміряних кутів відповідно до формул (10) будуть v1 = v2 = v3 = - w / 3 тобто нев'язка розподіляється з протилежним знаком, порівну на всі кути трикутника. 2 Алгоритм спрощеного врівноваження геодезичних мереж Розглянемо наступну центральну систему (Рис. 1) Рисунок 1 — Центральна система Дано: виміряні куті центральної системи. Необхідно врівноважити виміряні куті Ця система має п'ять умовних рівнянь: три умови фігур: 1 + 2 + 7 = 180О 3 + 4 + 8 = 180О 5 + 6 + 9 = 180О умову горизонту: 7 + 8 + 9 = 360O полюсну умову: sin1⋅ sin3⋅ sin5 =1 sin2⋅ sin4⋅ sin6 Цім умовним рівнянням відповідають п'ять умовних рівнянь поправок: v1 + v2 + v7 + 1 = 0 v3 + v4 + v8 + 2 = 0 v5 + v6 + v9 + 3 = 0 v7 + v8 + v9 + г = 0 ctg(1)∙v1 – ctg(2)∙v2 + ctg(3)∙v3 – ctg(4)∙v4 + ctg(5)∙v5 – ctg(6)∙v6 + п = 0 Спрощений спосіб врівноваження полягає в тому, що поправки знаходять не для всієї системи, а для окремих груп рівнянь. Розділимо систему умовних рівнянь поправок на дві групи I і II і напишемо всі умовні рівняння поправок до центральної системі. 1 група - умовні рівняння поправок фігур і умовне рівняння поправок горизонту: v1 + v2 + v7 + 1 = 0 v3 + v4 + v8 + 2 = 0 v5 + v6 + v9 + 3 = 0 v7 + v8 + v9 + г = 0 2 група - полюсне умовне рівняння поправок (тільки зв’язуючи кути): ctg(1)∙v1 – ctg(2)∙v2 + ctg(3)∙v3 – ctg(4)∙v4 + ctg(5)∙v5 – ctg(6)∙v6 + п = 0 Застосовуючи корелятний спосіб врівноваження, знаходять первинні поправки з рішення першої групи умовних рівнянь, а потім вторинні - з рішення другої групи. Повні поправки будуть рівні сумі первинних і вторинних поправок. Складають нормальні рівняння корелят для першої групи умовних рівнянь поправок. Для цього на підставі умовних рівнянь поправок фігур: v1 + v2 + v7 + 1 = 0 v3 + v4 + v8 + 2 = 0 v5 + v6 + v9 + 3 = 0 і умовного рівняння поправок горизонту: v7 + v8 + v9 + г = 0 складають таблицю коефіцієнтів цих рівнянь: Коэфіцієнти умовнх рівнянь поправок фигур и горизонту № кута Вага (поправка) q = 1 a1i a2i a3i a4i i j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 pi 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 г 1 1 1 3 2 На підставі формул (7) і значень коефіцієнтів умовних рівнянь поправок обчислюють коефіцієнти нормальних рівнянь корелат [qa1] [qa2] [qa3] [qa4] k1 3 0 0 1 k2 0 3 0 1 k3 0 0 3 1 Kг 1 1 1 3 Тоді система нормальних рівнянь корелят буде мати вигляд. 3k1 + kг + 1 = 0 3k2 + kг + 2 = 0 3k3 + kг + 3 = 0 (11) k1 + k2 + k3 + 3kг + г = 0 Далі множать останнє рівняння на 3: 3k1 + 3k2 + 3k3 + 9kг + 3г = 0, а потім віднімають з отриманого рівняння всі попередні. В результаті отримують: 3k1 + 3k2 + 3k3 + 9kг + 3г - (3k1 + kг + 1) - (3k2 + kг + 2) - (3k3 + kг + 3) = = 9kг - 3kг + 3г - 1 - 2 - 3 = 0 Після приведення подібних членів маємо: 6kг + 3′г = 0, (12) де wг´- новий вільний член (нев'язка) за умову горизонту, обчислений по кутах, виправлених поправками, що дорівнюють - wі/3 (і = 1, 2, 3 — номера трикутників): ′г = г - ( 1 + 2 + 3)/3 (13) З рівності (12) корелята за умови горизонту: kг = -′г / 2 (14) Підставивши в перші 3 рівнянь (11) замість kг вираз (14), отримаємо: kі = - i/3 + ′г / 6 (15) Взагалі, с урахуванням формул (14) и (15) вираження первинних поправок будуть: - для зв'язуючих кутів: vi' = kі = - i/3 + ′г / 6 (16) - для центральних кутів: vi' = kі + kг = - i/3 - ′г /3 (17) .Як видно з формул (16) и (17), вираження первинних поправок складаються з двох частин, причому для кутів одного и того ж трикутника перші частини одинакові, а другі — різні. Тому для зручності обчислень ці дві частини первинної поправки обчислюють окремо. Перша частина: (vi')I = - i/3 (18) тобто кожна поправка дорівнює '/3 нев'язки за умову фігури з протилежним знаком. Друга частина, тобто поправка для центральних кутів дорівнює виправленій нев'язки за умову горизонту з протилежним знаком, поділеним на число центральних кутів: (vi')II = - ′г / 3 , (19} а для інших кутів — половині цієї поправки зо знаком нев'язки: (vi')II = г´/6 (20} При цьому новий вільний член за умову горизонту може бути отриманий за формулою (13) або за формулою: ′г = 7' + 8' + 9' – 360O (21) де 7', 8', 9', —центральні кути системи, виправлені першою частиною первинних поправок; Таким чином, другі частини первинних поправок отримують так. Виправляють центральні кути першою частиною поправок. Потім знаходять новий вільний член за умову горизонту за формулою (21). Цей член з протилежним знаком розподіляють порівну на центральні кути [см. формулу (19)]. В інші сполучні кути трикутників вводять однакові поправки, рівні половині поправки в центральний кут з протилежним знаком [див. формулу (20)]. Звідси випливає, що введення другої частини поправок не порушує раніше виконаних умов фігур. Перша і друга частини поправки в кожен кут трикутника в сумі складають первинну поправку, тобто: vi′ = (vi' )I + (vi' )II Виправивши кути первинними поправками, знаходять новий вільний член полюсного умовного рівняння w'п = (Д1' /Д2' - 1)" (22) де Д1' = sin(1')∙ sin(3')∙(sin5') ; Д2' = sin(2')∙sin(4')∙sin(6') . Після цього обчислюють вторинні поправки з рішення умовного рівняння: ctg(1')∙(v")1 + ctg(3')∙(v")3 + ctg(5')∙(v")5 – – ctg(2')∙(v")2 – ctg(4')∙(v")4 – ctg(6')∙(v")6 + п' = 0 (23) за додаткової умови: (v")i = - (v")i+1 для i = 1, 3, 5. З урахуванням вказаної умови полюсне умовне рівняння поправок зводять до вигляду: [ctg(1') + ctg(2')]∙(v")1 + [ctg(3') + ctg(4')]∙(v")3 + +[ctg(5') + ctg(6')]∙(v")5 + п' = 0 (24) Далі знаходимо корелату: k п= − w 'п 5 ∑ ( ctg ( 2i− 1 )+ctg ( 2i ))2 (25) i=1 і вторинні поправки: (v")i = - (v")i+1 = [ctg(i') + ctg((i+1)')] ∙ kп (26) для i = 1, 3, 5. Повні поправки vi для відповідних кутів одержують як суму первинної і вторинної поправок, тобто vi = vi' + vi" (i = 1, 2, …, 9). Додавши до виміряних значень повні поправки, одержують врівноважені кути. 3 Приклад моделювання і спрощеного врівноваження геодезичних мереж 4 Контрольні питання 1 Для того щоб можна було на площині обчислити прямокутні координати всіх пунктів геодезичної мережі, що необхідно в якості вихідних мати як мінімум? 2 Що використовуються для надійного контролю вимірювань? 3 Для чого потрібні надлишкові вимірювання в геодезичній практиці? 4 Кутовими називаються умови лінійного вигляду, які виникають між кутами та напрямками. Які недоліки кутових умов виникають при врівноваженні кутів в тріангуляції? 5 Назвати умови для центральної системи 6 Назвати умови для геодезичного чотирикутника 7 Назвати умови для ланкі трикутників 8 Що таке врівноваження геодезичної смстеми? 9 З якою метою при врівноваженні в триангуляції виконують опрацювання функціонально залежних результатів вимірювань? 10 Назвіть основні рівноточні способи які використовують для врівноваження в тріангуляції. 11 Коли використовується параметричний спосіб при врівноваженні геодезичних мереж? 12 Коли використовується корелатний спосіб при врівноваженні геодезичних мереж? 13 Як називають геодезичну мережу, в якій окрім двох вихідних пунктів, є і інші пункти з відомими координатами? 14 Як називають геодезичну мережу, в якій задані координати тільки двох пунктів, які знаходяться на кінцях вихідної сторони? 15 Яка геодезична мережа зветься вільною? 16 Яка геодезична мережа зветься невільною? 17 Що таке число надлишкових вимірювань? 18 Для чого потрібні надлишкові вимірювання в геодезичній практиці? 19 Що є метою врівноваження в тріангуляції? 20 Коли виникає задача врівноваження в тріангуляції? 21 Чому при підставці виміряних значінь Xi в умовні рівняння в правих частинах умовних рівнянь з'являються нев'язки? 22 Яким чином повинні бути усунені нев'язки? 23 Як в МОГВ математичні умови, які задані в нелінійній формі, приводять до лінійного виду? 24 Що таке умовні рівняння? 25 Що таке умовні рівняння поправок? 26 Що таке корелатні рівняння поправок? 27 Що таке система нормальних рівнянь корелат? 28 Як співвідносяться в системі умовних рівнянь поправок число незалежних рівнянь r і число n невідомих поправок V? 29 Скільки рішень має системі умовних рівнянь поправок, якщо число незалежних рівнянь r? 30 Як називають систему рівнянь в якій кількість рівнянь менше кількості невідомих? 31 Якщо система з r рівнянь невизначена, то скільки вона має рішень? 32 Якщо система з r рівнянь має множину рішень, то як зветься така система?. 33 Як отримують однозначність рішення невизначеної системи рівнянь? 34 Які вимоги ставлять до невизначеної системи рівнянь щоб отримати однозначність рішення? 35 За якою формулою вирішують задачу знаходження мінімуму суми квадратів поправок в результаті рівноточних вимірювань? 36 За якою формулою вирішують задачу знаходження мінімуму суми квадратів поправок в результаті нерівноточних вимірювань? 37 За якою формулою по способу Лагранжа вирішують задачу знаходження мінімуму суми квадратів поправок вимірювань, якщо аргументи зв'язані незалежними умовними рівняннями? 38 Кутовими називаються умови лінійного вигляду, які виникають між кутами та напрямками. При врівноваженні кутів в тріангуляції виникають наступні недоліки кутових умов: умова фігур, умова горизонту, умова вихідних дирекційних кутів. Коли виникає умова фігури? Коли виникає умова горизонту? 39 За якою формулою знаходяться граничні нев'язки трикутників? 40 За якою формулою знаходяться граничні нев'язки полюсних умов в геодезичних чотирикутниках та центральних системах? Литература Математична обробка геодезичних вимірів : конспект лекцій / укл. Л.М. Крупела. – Чернівці : Чернівецький нац. ун-т, 2010. – 120с. 1. Большаков В.Д. Теория ошибок наблюдений с основами теории вероятностей / В.Д. Большаков. – М. : Недра, 1965. – 183 с. 2. Бурмистров Г.А. Основы способа наименьших квадратов / Г.А. Бурмистров. – М. : Госгеолтехиздат, 1963. – 392 с. 3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. – М. : Наука, 1969. – 576 с. 4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Гончаров. – М. : Наука, 1988. – 480 с. 5. Войтенко С.П. Математична обробка геодезичних вимірів. Теорія похибок вимірів : навч. посібник для вищих навч. закл./ С.П.Войтенко. – К. : КНУ. – БА, 2003. – 215 с. 6. Гайдаев П.А. Теория математической обработки геодезических измерений / П.А.Гайдаев, В.Д. Большаков. – М. : Недра, 1969. – 400 с. 12. Куштин Н.Ф. Геодезическая обработка результатов измерений / Н.Ф. Куштин. – М. : Март, 2006. – 208 с. 13. Линник Ю.В. Метод наименьших квадтатов и основы теории обработки наблюдений / Ю.В. Линник. – М. : Физматгиз, 1962. – 349 с. 14. Маркузе Ю.И. Алгоритм уравнивания комбинированных геодезических сетей. / Ю.И. Маркузе. – М. : Недра, 1972. – 152 с.
