„Теорія керування ЗНТУ”

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Запорізький національний технічний університет
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ
до самостійних робіт
з курсу
„Теорія керування”
для студентів напряму підготовки 6.040303 „Системний аналіз”
галузі знань 0403 „Системні науки та кібернетика”
денної форми навчання
2008
2
Методичні вказівки та завдання до самостійних робіт з курсу
„Теорія керування” для студентів напряму підготовки 6.040303
„Системний аналіз” галузі знань 0403 „Системні науки та
кібернетика” денної форми навчання /Укл.:А.В.Савранська,
О.В.Корнєєва, А.О.Кузьменко. – Запоріжжя: ЗНТУ,2008. – 54с.
Методичні вказівки містять теоретичні відомості, індивідуальні
завдання до самостійних робіт та приклади їх виконання з курсу
„Теорія керування” для студентів напряму підготовки 6.040303
„Системний аналіз” галузі знань 0403 „Системні науки та
кібернетика” денної форми навчання.
Укладачі: А.В. Савранська, доцент,
О.В. Корнєєва, асистент,
А.О. Кузьменко, ст. лаборант.
Рецензенти: В.П. Пінчук, доцент,
О.І. Денисенко, доцент.
Відповідальний
за випуск Г.В. Корніч, професор.
Затверджено
на засіданні кафедри
системного аналізу та
обчислювальної математики
протокол № 10 від 25.06.08 р.
3
ЗМІСТ
1 Лабораторна робота №1 Операційний метод і його застосування до
розв’язання диференційних рівнянь……..................................................4
1.1 Мета роботи......................................................................................4
1.2 Перетворення Лапласа і його основні властивості.......................4
1.3 Лінійні диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами..........7
1.4 Системи лінійних диференційних рівнянь....................................8
1.5 Варіанти самостійних завдань......................................................10
1.6 Приклади розв’язання задач.........................................................15
2 Лабораторна робота №2 Опис об’єктів у просторі станів.
Передавальні функції. Структурні схеми представлення систем
керування...................................................................................................18
2.1 Загальні відомості..........................................................................18
2.2 Варіанти самостійних завдань......................................................24
2.3 Приклад розв’язання задачі..........................................................27
3 Лабораторна робота №3 Керованість. Побудова ідентифікаторів....31
3.1 Загальні відомості..........................................................................31
3.2 Варіанти самостійних завдань......................................................34
3.3 Приклад розв’язання задачі..........................................................38
4 Лабораторна робота №4 Спостережуваність. Побудова
ідентифікаторів..........................................................................................43
4.1 Загальні відомості..........................................................................43
4.2 Варіанти самостійних завдань......................................................46
4.3 Приклад розв’язання задачі...........................................................51
5 Рекомендована література.....................................................................54
4
1 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1
Операційний метод і його застосування до розв’язання
диференційних рівнянь
1.1 Мета роботи
Дана робота допоможе вивчити операційний метод і його
застосування до розв’язання диференційних рівнянь.
1.2 Перетворення Лапласа і його основні властивості
Функцією-оригіналом називається комплекснозначна функція
дійсної змінної f t  , яка задовольняє наступним умовам:
а) f t   0 , якщо t  0 ;
б) f t  неперервна разом зі своїми похідними достатньо
високого порядку на всій вісі t , окрім окремих точок, в яких f t  або
її похідні мають розрив першого роду, причому на кожному кінцевому
інтервалі вісі t є лише кінцеве число таких точок;
зі зростанням t модуль функції f t  зростає не швидше ніж
деяка показникова функція, тобто існують числа M  0 і s 0  0 такі,
що для всіх t
f t   Me s0 t
(1.1)
Число s 0 називається показником зростання функції f t  .
Зображенням функції-оригінала ( за Лапласом) називається функція
F  p  комплексного змінного p  s  i , яка визначається формулою
F  p 

 f t e
0
 pt
dt
(1.2)
при Re p  s0 , де s0 - показник зростання f t  . Умова (1.1) забезпечує
існування інтегралу (1.2).
Перетворення (1.2) називається перетворенням Лапласу. При
цьому пишуть: f t 
F  p .
5
Має місце теорема: якщо f t 
F  p  , тоді в будь-якій точці
своєї неперервності функція f t  визначається наступним чином:
1
f t  
2i
a  i
де

e pt F  p dp 
a  i
a  ib
Lim  e
pt
a  i
e
pt
F  p dp ,
(1.3)
a  i
F  p dp .
b   a  ib
Властивості перетворення Лапласу
а) властивість лінійності: для будь-яких комплексних сталих  і 
f t    g t  F t    G t 
(1.4)
(тут і далі вважаємо f t 
F  p  , g t 
G p  );
б) теорема подібності: для будь-якого сталого   0
 p
F 
  
в) диференціювання оригінала: якщо f t  є оригіналом, то
f t 
1
(1.5)
(1.6)
pF  p   f 0
Якщо f t  n -разів неперервно-диференційована на 0,  і
якщо f n  t  є оригінал, то
(1.7)
f n  t  p n F  p   p n 1 f 0  p n  2 f 0    f n 10
f t 
г) диференціювання зображення рівносильне множенню оригінала
на “мінус аргумент”, тобто
(1.8)
F  p   tf t 
n n

n
(1.9)
F  p   1 t f t 
д) інтегрування оригінала зводиться до ділення зображення на p :
t
 f t dt
0
F  p
p
(1.10)
6
е) інтегрування зображення рівносильне діленню на t оригінала:

f t 
t
 F  p dp
p
(1.11)
є) теорема запізнювання: для будь-якого комплексного числа 
f t   
e p F  p 
(1.12)
ж) теорема зміщення: для будь-якого числа 
Fp  
et f t 
(1.13)
з) теорема множення: добуток двох зображень F  p  і G p  також є
зображенням, причому
F  p G p 
t
 f  g t   d
(1.14)
0
и) теорема про раціональність зображення: для того, щоб
зображення F  p  було раціональною функцією, необхідно та
достатньо, щоб оригінал f t  був лінійною комбінацією функцій
вигляду t met ( m - ціле невід’ємне число,  - комплексне число);
і) обчислення оригінала дробово-раціонального зображення: нехай
правильна раціональна дріб, розклад якої на простіші є
F  p 
nk
M kr
  p  p 
k
r 1
,
(1.15)
M kr t r 1 pk t
e
r  1!
(1.16)
r
k
де M kr і pk - деякі комплексні числа.
Тоді
f t  
nk

k
r 1
7
буде оригіналом, який має зображення F  p  . Зокрема, якщо всі
полюси F  p  - прості, то
f t  
M
(1.17)
A p 
B p 
дробово-раціональна,
k
де M k  ResFp  .
pk
Інакше,
pk t
,
ke
якщо
функція
F  p 
причому ступінь багаточлена A p  менша ніж ступінь багаточлена
B p  , то оригіналом для F  p  є функція
f t  

k


1
d nk 1
n
lim
F  p  p  p k  k e pt , (1.18)
nk  1! p pk dp nk 1
де pk - полюси F  p  , nk - про їх кратність і сума береться по всім
полюсам.
Якщо всі полюси F  p  прості, то формула (1.18) спрощується та
приймає вигляд
A p k  pk t
(1.19)
f t  
e .

k B  pk 

1.3 Лінійні
коефіцієнтами
диференційні
рівняння
зі
сталими
Розглянемо диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами
та з початковими умовами
x t   a 1 x t   a 2 x t   f t 
(1.20)
x 0  x 0 , x 0   x 1 .
(1.21)
Будемо вважати, що функція f t  і розв’язок xt  разом з його
похідними другого порядку є оригіналами.
Нехай
8
xt 
X  p,
f t 
F  p .
Рівняння (1.20) з початковими умовами
застосування перетворення Лапласу буде мати вигляд:
p
2
(1.21)
після
 a1 p  a 2 X  p   F  p   x 0  p  a1   x1 .
(1.22)

Розв’язуючи рівняння (1.22) відносно X  p  , знайдемо
X  p 
F  p   x 0  p  a1   x1
p
2
 a1 p  a 2

.
(1.23)
Знайдемо оригінал для X  p  та отримаємо розв’язок рівняння
(1.20), яке задовольняє початковим умовам (1.21).
Аналогічно можна розв’язати будь-яке рівняння n -го порядку з
постійними коефіцієнтами.
1.4 Системи лінійних диференційних рівнянь
Нехай потрібно знайти розв’язок системи двох рівнянь з
постійними коефіцієнтами
 dx
 dt  a1 x  b1 y  f 1 t 
,

 dy  a x  b y  f t 
2
2
2
 dt
(1.24)
які задовольняють початковим умовам
x 0  x 0 , y 0  y 0 .
Нехай
(1.25)
xt  X  p  , yt  Y  p  ,
xt  pX  p   x0 , yt  pY  p   y0 ,
f1t  F1 p  , f2 t  F2  p  .
9
Застосуємо перетворення Лапласа до систем (1.24), (1.25),
отримуємо
 pX  p  a1 X  p   b1Y  p   F1  p   x 0
(1.26)









pY
p

a
X
p

b
Y
p

F
p

y
2
2
2
0

Ця системи є лінійною алгебраїчною системою двох рівнянь з
двома невідомими X  p  і Y  p  . Розв’язуючи її, знайдемо X  p  та
Y  p  , а потім переходячи до оригіналів, отримуємо розв’язок xt  ,
yt  системи (1.24), який задовольняє початковим умовам (1.25).
Аналогічно розв’язуються лінійні системи вигляду
dxk

dt
де k  1, 2, ... , n
n
a
l 1
kl
x l , a kl  const ; x k 0  x k0 ,
10
1.5 Варіанти самостійних завдань
Задача 1.5.1 Знайти розв’язок диференційного рівняння при
нульових початкових умовах.
1.5.1
y  3 y  2 y  1  x 2
1.5.2
y  y  6 x 2  3x
1.5.3
y  y  x 2  x
1.5.5
y  y  5 x 2  1
7 y  y  12 x
1.5.6
y  3 y  2 y  3x 2  2 x
1.5.7
y  y  3x 2  2 x  1
1.5.8
y  y  4 x 2  3 x  2
1.5.9
y  4 y  32  384 x 2
1.5.10
y  y  49  24 x 2
1.5.4
1.5.13
y  2 y  3 x 2  x  4
y  13 y  12 y  x  1
y  y  6 x  5
1.5.14
y  3 y  2 y  x 2  2 x  3
1.5.11
1.5.12
1.5.16
y  5 y  6 y  x  12
y  13 y  12 y  18 x  39 2
1.5.17
y  5 y  6 y  6 x 2  2 x  5
1.5.18
y  3 y  2 y  1  x 2
1.5.19
y  y  6 x 2  3x
1.5.20
y  y  x 2  x
1.5.15
11
Задача 1.5.2 Знайти розв’язок диференційного рівняння при
нульових початкових умовах.
1.5.1
y  4 y  5 y  2 y  16  12 x e  x
1.5.2
y  4 y  5 y  2 y  16  12 x e  x
1.5.3
y  y  y  y  3x  7 e 2 x
1.5.4
y  2 y  y  2 x  5e 2 x
1.5.5
y  3 y  4 y  18 x  21e  x
1.5.6
y  5 y  8 y  4 y  2 x  5e x
1.5.7
y  4 y  4 y   x  1e x
1.5.8
y  2 y  y  18 x  21e 2 x
1.5.9
y  y  y  y  8 x  4e x
1.5.10
y  3 y  2 y  4 xe x
1.5.11
y  3 y  2 y  4 x  9e 2 x
1.5.12
y  4 y  5 y  2 y  12 x  16 e x
1.5.13
y  y  2 y  6 x  11e  x
1.5.14
y  y  2 y  6 x  5e x
1.5.15
y  4 y  4 y  9 x  15e x
1.5.16
y  3 y  y  3 y  4  8 x e x
1.5.17
y  y  4 y  4 y  7  6 x e x
1.5.18
y  3 y  2 y  1  2 x e  x
1.5.19
y  5 y  7 y  3 y  20  16 x e  x
1.5.20
y  4 y  3 y  4 xe x
12
Задача 1.5.3 Знайти розв’язок диференціального рівняння при
нульових початкових умовах
1.5.1
y  2 y  4e x sin x  cos x 
1.5.2
y  2 y  2e x sin x  cos x 
1.5.3
1.5.4
1.5.5
y  4 y  4 y  e 2 x sin 6 x
y  y  2 cos 7 x  3 sin 7 x
y  2 y  5 y   sin 2 x
1.5.7
y  4 y  8 y  e x 5 sin x  3 cos x 
y  y  2 cos 5 x  3 sin 5 x
1.5.8
y  4 y  4 y  e 2 x sin 3x
1.5.6
1.5.11
y  6 y  13 y  e 3 x cos 4 x
y  y  2 cos 3x  3 sin 3x
y  2 y  5 y  2 sin x
1.5.12
y  4 y  8 y  e x  3 sin x  4 cos x 
1.5.13
y  2 y  10e x sin x  cos x 
1.5.9
1.5.10
1.5.16
y  4 y  4 y  e 2 x sin 5 x
y  y  2 cos 5 x  3 sin 5 x
y  2 y  5 y  17 sin 2 x
1.5.17
y  6 y  13 y  e 3 x cos x
1.5.18
y  4 y  8 y  e x 3 sin x  5 cos x 
1.5.19
y  2 y  6e x sin x  cos x 
1.5.20
y  4 y  4 y  e 2 x sin 4 x
1.5.14
1.5.15
13
Задача 1.5.4 Знайти розв’язок системи диференціальних рівнянь
при нульових початкових умовах.
1.5.1
1.5.3
1.5.5
1.5.7
1.5.9
1.5.11
1.5.13
1.5.15
1.5.17
1.5.19
 x  x  4 y

 y  2 x  3 y
 x  3x  2 y

 y  2 x  y
 x  3x  y

 y  x  3 y
 x  x  3 y

 y  3x  y
 x  5 x  y

 y  3x  9 y
 x  5 x  4 y

 y  2 x  3 y
 x  2 x  3 y

 y  x  4 y
 x  x  5 y

 y  7 x  3 y
 x  5 x  8 y

 y  3x  3 y
 x  3x  y

 y  x  y
1.5.2
1.5.4
1.5.6
1.5.8
1.5.10
1.5.12
1.5.14
1.5.16
1.5.18
1.5.20
 x  5 x  4 y

 y  2 x  11 y
 x  x  4 y

 y  x  y
 x  3x  y

 y  4 x  y
 x  x  2 y

 y  3x  6 y
 x  x  6 y

 y  2 x  9 y
 x  2 x  8 y

 y  x  4 y
 x  3x  y

 y  8 x  y
 x  4 x  6 y

 y  4 x  2 y
 x  4 x  y

 y  8 x  y
 x  5 x  4 y

 y  2 x  y
14
Задача 1.5.5 Розв’язати задачу Коші
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.4
1.5.5
1.5.6
1.5.7
1.5.8
1.5.9
1.5.10
1.5.11
 x  3 y  x
, x0  0 , . y 0   1 .


y

5
y

x

 x  7 x  y
, x0  1, . y 0   1 .


y


2
x

5
y

 x  y  x
, x0  2 , y 0   1 .

 y  x  2 y
 x  y  x
, x0  1 , y 0   1 .


y

2
x

y

 x  2 x  y
, x0  1, y 0  1 .


y

y

x

 x   y
, x0  1, y 0  1 .

 y   x
 x  3 y  x
, x0  1, y 0   1 .

 y  y  x
 x   y
, x0  1, y 0   1 .


y

2
x

2
y

 x  3x  4 y
, x0  1, y 0   1 .

 y  4 x  3 y
 x  2 y
, x0   2 , y 0   2 .

 y  2 x
 x  3 y  x
, x0  1, y 0   1 .


y

y

x

15
1.5.12
1.5.13
1.5.14
1.5.15
1.5.16
1.5.17
1.5.18
1.5.19
1.5.20
 x  2 x  2 y
, x0  1, y 0  1 .

 y  2 x  y
 x  y
, x0  1 , y 0   2 .


y

x

2
y

 x  2 y  3x
, x0  1, y 0   2 .


y

y

 x  2 x  y
, x0   2 , y 0  1 .

 y  3x  4 y
 x  3x  y
, x0  1, y 0  1 .


y

x

y

 x  4 x  4 y
, x0  3 , y 0   15 .


y


2
x

6
y

 x   x  2 y
, x0   0 , y 0   1 .

 y  2 x  5 y
 x  x  y
, x0  1 , y 0   3 .

 y  2 x  3 y
 x  2 x  y
, x0  3 , y 0   2 .


y

4
x

6
y

1.6 Приклади розв’язання задач
Приклад 1.6.1 Знайти розв’язок задачі Коші
(1.20)
x  5x  4x  4 , x0  0 , x0  2
Розв’язок: застосуємо перетворення Лапласу до обох частин
рівняння (1.20). Отримаємо
16
p
2

 5 p  4 X  p 
4
 2.
p
(1.21)
Звідси знаходимо
X  p 
2p  4
.
p p  5p  4


2
(1.22)
Розкладемо праву частину на елементарні дроби:
X  p 
1
2
1


.
p p1 p4
Переходячи до оригіналів, отримаємо шуканий розв’язок
xt   1  2e t  e 4t .
Приклад 1.6.2 Знайти розв’язок задачі Коші
 x  7 x  y  5
,

 y  2 x  5 y  37t
x 0   0 , y 0  0 .
(1.23)
Розв’язок: застосуємо перетворення Лапласу до системи (1.23).
Отримаємо систему алгебраїчних рівнянь
5

 pX  p   7 X  p   Y  p   p

.

 pY  p   2 X  p   5Y  p   37

p2
Розв’язуючи її, одержимо
X  p 
5 p 2  24 p  37
 47 p  259
, Y  p  2 2
.
2
2
p p  12 p  37
p p  12 p  37



Розкладемо дроби на елементарні
1
1
p6
,
X  p   2  2
p p
p  12 p  37

17
Y  p 
1
7
p6
 2  2
p p
p  12 p  37
X  p 
1
1
p6
,


p p 2  p  6 2  1
або
Y  p 
p6
1
7
1
.
 2 

2
p p
 p  6   1  p  6 2  1
Переходячи до оригіналів, отримаємо шуканий розв’язок
6 t

 xt   1  t  e cos t ,

6t
6t

 yt   1  7t  e cos t  e sin t .
18
2 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2
Опис об’єктів у просторі станів. Передавальні функції.
Структурні схеми представлення систем керування
2.1 Загальні відомості
Розглянемо лінійну керовану систему
x t   At x t   Bt ut  ,
y t   C t x t  .
де
(2.1)
(2.2)
x t , ut , y t  − вектори розмірів n, m , p відповідно;
ut  − вхід системи, керування;
yt  − вихід системи, вихідна величина;
xt  − стан системи, вектор фазових координат, траєкторія руху.
Елементи матриць Ax, Bx, Cx − неперервні функції часу.
Рівняння (2.1) називається рівнянням стану, (2.2) – рівнянням
спостереження або рівнянням виходу.
Множина значень вектора xt  називається простором станів і
позначається X . Для системи (2.1), (2.2) X співпадає з n − мірним
простором R n .
Якщо в системі (2.1), (2.2) матриці Ax, Bx, Cx не залежать
від часу, то система називається стаціонарною.
Розглянемо стаціонарну систему
x t   Ax t   Bu t  ,
y t   Cx t  .
Застосуємо до неї перетворення
початковими умовами. Одержимо
Лапласу
pX  p   AX  p   BU  p  ,
Y  p   CX  p  ,
(2.3)
(2.4)
з
нульовими
(2.5)
(2.6)
19
де X  p , U  p , Y  p  − зображення функцій xt , ut , yt  відповідно.
З рівнянь (2.5), (2.6) виразимо Y  p  через U  p 
Y  p   C  pE  A1 BU  p  .
(2.7)
Передавальною функцією називається відношення зображення
за Лапласом вихідної величини до зображення вхідної величини при
нульових початкових умовах
W  p 
Y  p
.
U  p
(2.8)
Передавальною функцією лінійної стаціонарної системи (2.3),
(2.4) є функція
W  p   C  pE  A1 B .
(2.9)
Ланкою в теорії керування називають математичну модель
елемента.
Структурною схемою називають графічне зображення
математичної моделі системи керування у вигляді з’єднання ланок.
Ланку в структурній схемі позначають у вигляді прямокутника з
позначенням вхідної та вихідної величин та передавальною функцією
всередині
u
W(p)
W(p)
y
(2.10)
Ланки з’єднуються між собою за допомогою зрівняльних ланок
(суматорів) вігляду.
y1
y
y2
y
y  y1  y2
y1
y
y2
y
y  y1  y2
(2.11)
20
Розгалуження в системі керування здійснюється за допомогою
вузлів
(2.12)
Правила перетворення структурних схем:
а) послідовне з’єднання ланок
y0
u
W1 p
y1
W2  p 
y2
...
yn1
Wn  p 
yn
u
Ланцюг з послідовно з’єднаних ланок можна замінити однією
ланкою з передавальною функцією
n
W  p    Wi  p 
i 1
б) паралельне з’єднання ланок
W1 p
y0
u
W2  p 
Wn  p 
y1
y2
yn
u
y
(2.13)
21
Ланцюг з паралельно з’єднаних ланок можна замінити однією
ланкою з передавальною функцією
n
W  p    Wi  p 
(2.14)
i 1
в) ланка, охоплена зворотнім зв’язком.
Кажуть, що ланка охоплена зворотнім зв’язком, якщо його
вихідний сигнал через будь-яку іншу ланку передається на вхід. При
цьому, якщо y 1 віднімається з вхідного сигналу y 0 , то зворотній
зв’язок називається від’ємним, в протилежному випадку додатнім.
y0
e1
u
y
WП  p
y1
WОС  p 
Передавальною функцією ланки, яка охоплена зворотнім
зв’язком є
W  p 
WП
1  WПWОС
(2.15)
г) перенесення суматора:
1) перенесення за ходом сигналу
y0
u
y1
W1 p
f
e1
y2
W2  p 
f
W2  p 
y0
u
W1 p
y1
W2  p 
y2
22
2) перенесення проти ходу сигналу
y0
W1 p
u
f
y1
e1
W2  p 
y2
f
W11 p 
y0
u
e1
W1 p
W2  p 
y2
Рисками позначені нееквівалентні ділянки.
д) перенесення вузла:
1) перенесення за ходом сигналу
y0
u
y0
u
W1 p
W2  p 
W1 p
W2  p 
y2
y2
W21 p 
2) перенесення проти ходу сигналу
y0
u
y0
W1 p
u
W1 p
u
y1
W2  p 
y2
y1
23
е) переставлення вузлів і суматорів:
1) переставлення вузлів
2
2
1
1
2) перенесення суматорів
y1
y1
f1
y2
f2
y1
f2
f1
y
y
3) перенесення вузла через суматор
f1
-1
f1
y1
y
y1
y
y
y1
f1
f1
y
y
y
24
2.2 Варіанти самостійних завдань
Знайти передавальну функцію W  p лінійної системи
x  Ax  Bu
y  Cx
двома способами:
а) за допомогою формули W  p   C  pE  A1 B ;
б) перетворенням структурної схеми.
2.2.1
 4 0 1 


A   0 1 0  ,
 3
0  1

 1
 
B   1 ,
 1
 
C   1 1 0 .
2.2.2
 0 0  1


A  0 3 0 ,
1 0 0 


1
 
B  1 ,
0
 
C  0 1 2 .
2.2.3
0 1 0


A  0 2 1 ,
1 3 2


1
 
B   2 ,
 3
 
C  1 0 1 .
2.2.4
 1 0 1


A   4 1 1 ,
 2 0 1


0
 
B   1 ,
  1
 
C  0 1 1 .
2.2.5
 1 2 3


A   4 5 6 ,
3 2 1


 1 
 
B  0 ,
  2
 
C   1 3 0 .
25
2.2.6
 1 2 1


A   1 0 3 ,
  2 0 1


  2
 
B  0 ,
 2 
 
C   1 1 0 .
2.2.7
1 2 0


A   3 0 4 ,
 2 1 1


 2
 
B  1 ,
1
 
C  3 0 0 .
2.2.8
 1 1 2


A   2 3 0 ,
2 0 1


0
 
B    1 ,
2
 
C   2 0 1 .
2.2.9
 4 4 1


A   3 2 3 ,
 4 0 3


 4
 
B   4 ,
 2
 
C  3 4 1.
  2
 
B    5 ,
  2
 
C  4 4 0 .
0 
2 2


2.2.10 A   0  5 1  ,
 1 4  2


 4 2 1 
2


 
2.2.11 A    5 3  2  , B    1 ,
 2 1 2 
3


 
C   4 3 4 .
 2 
5 2 4 
 


2.2.12 A    2 0
2 , B  1 ,
  4
 1 0  4
 


C  1  5 4.
26
3 
5 3


2.2.13 A    3 4  3  ,
 4  2 0 


 2
 
B   3 ,
1
 
C  4 3 2 .
  5 1  4


2.2.14 A   3  4 3  ,
 4 3
0 

 4 
 
B    3 ,
  5
 
C  3  3  3 .
2
0 0


2.2.15 A   2 1  1 ,
0  2 2 


 0 
 
B    3 ,
 2 
 
C  0  1 2 .
 1 1 1 


2.2.16 A   1
0 2 ,
 0  2 1


  1
 
B    1 ,
2
 
C   1 0 0 .
 0 1 0


2.2.17 A    3  2 2  ,
 1  3 1


  3
 
B    2 ,
  3
 
C   3  3 2.
 1 2 0 


0 ,
2.2.18 A    3 2
 2  1  1


 1
 
B    2 ,
 1
 
C   1 0  3 .
  2  2 0


2.2.19 A    2 0 1  ,
  3  2 0


 0 
 
B  2 ,
  2
 
C   3 0  2 .
27
 2 2 0 


2.2.20 A   1
0  3 ,
  2  2 1


  3
 
B 1 ,
 2 
 
C  1 2 2 .
2.3 Приклад розв’язання задачі
Знайти передавальну функцію W  p лінійної системи
x  Ax  Bu
y  Cx
двома способами:
а) за допомогою формули W  p   C  pE  A1 B ;
б) перетворенням структурної схеми.
0 1 0


A   0 1  1 ,
 1 0 1 


1
 
B  0 ,
0
 
C  1 0 0 .
Розв’язок:
а)
p

pE  A   0
1

1
0 

p 1 1  ,
0
p  1
pE  A  p3  2 p2  p  1 ,
  p  12
p 1
 1 

 1
 pE  A1  3 12
p p  1
p 


p  2 p  p 1
   p  1
1
p p  1


28
W  p   C  pE  A1 B 
  p  12
p 1
 1  1 

 
1


1 0 0
1
p p  1
 p  0  


p3  2 p 2  p  1
   p  1
1
p p  1 0 



1
1
 
 p  12
p 1 1  0 
3
2
 0 p  2 p  p 1
 
 p 1

2
p3  2 p 2  p  1
б) запишемо рівняння системи
x 1  x 2  u
x 2  x 2  x 3
x 3   x 1  x 3
y  x1
Побудуємо структурну схему:
u
x1 1
p
x1
-1
x3
1
x3
p
x3
-1
y2 x2 1
p
x2
y
Обчислимо передавальні функції ланок охоплених зворотнім
зв’язком:
29
W1  W2 
u
1
p
1
p
1
p 1
-1
-1
1
p 1
y
Замінимо ланцюг з послідовно з’єднаних ланок однією ланкою з
передавальною функцією
W3   1
u
1
 1 1  1 2
p 1
p  1  p  1
1
p
1
 p  12
y
30
Передавальна функція системи дорівнює
1
p
W
1
1
p p  12

 p  12
p3  2 p 2  p  1
31
3 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3
Керованість. Побудова ідентифікаторів
3.1 Загальні відомості
Поняття керованності пов’язано з переходом системи за
допомогою керування з одного стану в інший.
Для лінійної стаціонарної системи
x  Ax  Bu ,
(3.1)
де матриці A(n  n) i B( n  m ) постійні, при відсутності обмежень в
просторі станів і просторі керувань керованість залежить лише від
матриць А і В . Тому замість керованості системи говорять про
керованість пари (А,В) .
Означення 3.1 Якщо для довільних заданих
x 0 , x 1 існує
керування u(t) , яке переводить систему (3.1) за скінчений час t1 – t0
зі стану x(t0) = x0 в стан x(t1) = x1 , то система (3.1) або пара (А,В)
називається повністю керованою.
Складемо матрицю V виміру n  m і вигляду
V  ( B, AB, A 2 B,..., A n1 B)
(3.2)
Теорема 3.1 (критерій керованості стаціонарної системи)
Лінійна стаціонарна n-вимірна система (3.1) керована тоді і
тільки тоді, коли ранг
V=n
(3.3)
Матриця V називається матрицею керованості.
Означення 3.2
Законом керування будемо називати
відображення k : T×X → V , яке ставить у відповідність кожному
моменту часу t і стану системи в цей момент часу x(t) значення
керуючого впливу u(t) .
Розглянемо лінійний закон керування
(3.4)
u( t )   k ( t ) x( t ) ,
де k(t) - m×n – матриця, яка складається з неперервних функцій.
32
Після підстановки (3.4) в рівняння (3.1) одержимо рівняння
замкненої системи
x ( t )   A  Bk ( t )x( t )
(3.5)
У подальшому зручно буде обирати певний базіс у просторі X з
тим, щоб матриці системи мали канонічну форму.
Для системи
(3.6)
x (t ) =Ax(t) + Bu(t) ,
y(t)=Cx(t)
(3.7)
розглянемо невироджене перетворення змінних xˆ  Px , де P –
невироджена матриця розміру n×m . У нових змінних система
буде мати вигляд
1


 xˆ  PAP xˆ  PBu
.

1

 y  CP xˆ
.
Теорема 3.2 Нехай матриці керованої системи предсавлені в
двох різних базисах простору Х : {A, B} i { Aˆ , Bˆ } . Тоді матриця P
переходу від представлення {A, B} до представлення { Aˆ , Bˆ }
єдина і обчислюється за формулою:
ˆ Bˆ , ..., A
ˆ n1 Bˆ ][ B , AB , ..., A n1 B ]1 .
P  [ Bˆ , A
Розглянемо лінійну керовану систему з одним входом
x (t ) =Ax(t) + Bu(t) ,
(3.8)
де b – вектор розміру n×1 .
Нехай
 A ( )   n   1  n1  ...   n –
характеристичний багаточлен матриці А .
Означення 3.3 Пара матриць
(3.9)
33
1
... 0 
 0
 0 




0
... 0 
 0
 0 
A*   0
0
... 1  , b *   0  (3.10)




 . . ........................ 
 ... 




 1 
   n   n1 ...   1 
називається керованим канонічним представленням
одним входом.
системи з
Теорема 3.3 В просторі Х тоді і тільки тоді існує базіс, в якому
пара {A, B} має канонічне представлення, коли ця пара повністю
керована.
Теорема 3.4 Нехай лінійна стаціонарна система з одним входом
(3.8) повністю керована і нехай
 y ( )  n   1 n1  ...   n – (3.11)
довільний нормований багаточлен
n-го порядку з дійсними
коефіцієнтами. Тоді існує вектор зворотнього зв’язку k такий, що
x ( t )   A  Bk  x ( t )
 y ( )
замкнена система
має
своїм
характеристичним багаточленом.
Ця теорема дає можливість синтезувати систему з заданими
властивостями.
Процедура синтезу:
а) обчислюється матриця керованості V і перевіряється, чи
співпадає ранг цієї матриці з розмірністю системи;
б) перетворюються матриці системи до канонічного вигляду та
обчислюється  A ( ) ;
в) обчислюються компоненти вектора зворотнього зв’язку за
формулами
(3.12)
k n i 1   i   i , i  1, n .
34
3.2 Варіанти самостійних завдань
x (t ) =Ax(t) + bu(t) підібрати компоненти
вектора зворотнього зв’язку k таким чином, щоб характеристичний
багаточлен замкненої системи x ( t )   A  bk  x( t ) мав би корені
1 ,  2 ,  3 ,  4 .
Для системи
3.2.1
3.2.2
 0 2 2 2


4 5 
 4  4
A
,
2 1  3 1 


 2
3
0
3 

 1   2  1 ,  3   4   i .
1

 4
B
1

 3




 ,



2 2 
1  3


3 4 2 
 0
A
,
1 4
3
0 


 0
2 1
1 

 2

 3
B
3

1




 ,



 3

 0
B
1

 4




 ,



 1   2   3  1 ,  4  2 .
3.2.3
5
3 2
 3

1
 2  5  2
A
5 5
0
4

 3 4
0 3




 ,



 1   2  1 ,  3   4  3  i .
3.2.4
3 3 3 
 2


2 4 2 
 5
A
,
3 2
3
1 


 0 3 2
5 




B



0

3
,
1

2 
35
 1   1 ,  2   3   4  2 .
3.2.5
3
5 
 3 3


 5 2 2 5 
A
,
5
2 1
1 


 2 2
3
5 

 1  1 ,  2   3  2  i ,
3.2.6
 2

 4
A
0

 2

0
2
0
1
0 

4 2 
,
1
0 

0
4 
4
 1  2 ,  2  3 ,
3.2.7
 5 


 5 
B
,
3 


 3 


4  0 .
 5 


 1 
B
,
4 


 3 


3  4  0 .
3
 0 1 1

3 1
2
 5
A
3 2
3 2

 1
1
0 1




 ,



 2

 2
B
1

 2




 ,



 5

 2
B
0

 3




 ,



 1  2 ,  2   3   4  0 .
3.2.8
2  2 1 
 0


2 3 
 2 1
A
,
3
0 4
3


 0 3
1
0 

 1   2  1 ,  3   4  0 .
36
3.2.9
2
2
1 
 2


1 2
2 
 3
A
,
3 1
1 1 


 4
1
2
0 

 1   2 ,  2  1 ,
3.2.10
3.2.11
 4

 2
A
3

 2




 ,






 ,



 4 


 5 
B
,
1 


 2 


 3   4  1  2 i .
1 

3
0 3 
,
0 2 4 

2  1  2 
3
 3 


 4 
B
,
5 


 2 


 3   4  1 .
2
4
 4 4

4
 3 4 3
A
4
5
4 3

1
3
0 5

 1   2  1 ,
3.2.12
3  4   i .
4
4
0
1

3
0
2
 1
A
3  2  2 1

 2  4
1 3

 1   2  2 ,
 0 


 1 
B
,
1 


 1 


5
1   2   3   1 ,
 4  2 .
 3 


 1 
B
,
1 


 2 


37
3.2.13
3.2.14
0
 1

1
 0
A
2 2

 3 1

1 1 

3 2 
,
1
4 

2
0 
 1   2  1 ,
 3   4  3  i .
 4

1
A
2

 3

 1  1 ,
3.2.15
1
1 2
1 2
5
4
3 

1 
,
3 

0 
 2   3  2 ,
2  3   2 ,
2   3 ,
2 

1 
,
0 

1 
 3 


 1 
B
,
2 


 0 


4  0 .
0
2 4 
 2


 2  4  3  3 
A
,
0
0
2 2


 1
4
1
4 

 1  2 ,



B



4  0 .
4
4
 2 3


5 3
2
 5
A
,
4
4 4
0


1
1  1  2 

 1  1 ,
3.2.16
3
 0 


 5 
B
,
2 


 2 


 1 


 0 
B
,
0 


 0 


3  4  0 .
38
3.2.17
3 3
0 
 5


1 4 
 4  2
A
,
 2 1 1  2 


 2
4 4
5 

 1  2 ,
3.2.18
2  0 ,
0 4
 0

3 1
 3
A
1 1
0

 4 3 2

1   2   1 ,
3.2.19
 5

 3
A
4

 1

 1  2 ,
3.2.20
 3 


 1 
B
,
4 


 2 


 3   4  2 i .
2

0
,
2 

5 



B



3  4  0 .
2 1
4
3
4
5
0
2
 2  1 ,
2 

5 
,
2

 1 
 1

 0
B
2

 2




 ,



 3   4  2  i .
1  3 1 
1


0
5 1 
 5
A
,
4
2 3
2


 2 1
2
1 

 1   2  1 ,
5

5
,
1

0 
 3

 1
B
2

 5




 ,



 3  2 ,  4  0 .
3.3 Приклад розв’язання задачі
Для системи
x =Ax + bu підібрати компоненти вектора
k
таким чином, щоб характеристичний
зворотнього зв’язку
39
багаточлен замкненої системи
1  1,  2  2,  3   4  0 .
x ( t )   A  bk  x( t )
 1 2 1  2


1  3  3  4
A
,
1 4 1 2


 0 4 2 5


мав корені
 1
 
 0
b  .
0
 
 0
 
Розв’язок:
а) обчислимо матрицю керованості V = [b, Ab, A2b, A3b ] .
Для цього спочатку знайдемо вектори Ab, A2b, A3b :
 1 2  1  2   1  1

   

  1  3  3  4   0   1 
Ab  


;
1  4 1 2   0  1 

   

 0 4 2 5  0  0

   

 1 2  1  2   1    2

   

  1  3  3  4    1   1 
2
A b  A  Ab  


;
1  4 1 2   1   6

   

 0 4 2 5  0    2

   

 1 2  1  2    2   6

   
  1  3  3  4    1    21
3
2
A b  A A b  


1  4 1 2   6   12

   
 0 4 2 5    2   18

   
Отже, матриця керованості має вигляд:



.



40



V 



1 2  6 

0  1  1  21 
.
0 1 6
12 

0 0  2 18 
1
Знайдемо ранг цієї матриці:










~ 





~ 



1 2 6 
 1


0  1  1  21 
0
~ 

0 1 6 12
0




0 0  2 18 
 0
1
 1
1 2 6 


0
1 1 21
~ 

0
0 5 9




0 1 6 
 0
1
1 2
1 2
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
6
 1


1 21
 0
~ 

1 6
0




0 1
 0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
 1


0
0
~ 

0
0




1
 0
1 2
1
0
0
1
1
0
0
6

1 21 
~
1 6

0 21
0

0 0
~
1 0

0 1 
0
0

0
.
0

1 
Отже, ранг V = 4 .
б) перетворимо матриці системи до канонічного вигляду. Для
цього знайдемо характеристичний багаточлен матриці А :
 A ( )  E  A 
 1  2
1
3
1
4
0
4
1
2
3
4
 1  2
2
 5

41
3
 (  1)
4
4
3
2
4
1
2
2
1
2
 1  2  4  1  2    3 3 4 
2  5
4
2  5
4
2  5
= ( λ − 1)∙[( λ + 3)∙( λ − 1)∙( λ − 5) + 32 + 24 + 16∙( λ − 1) − 12∙( λ − 5) +
+ 4∙( λ + 3)] − (−2∙( λ − 1)∙( λ − 5) + 16 + 8 + 8∙( λ − 1) − 4∙( λ − 5) – 8) −
− (−6∙( λ − 5) + 4∙( λ + 3) − 16 + 24 − ( λ + 3)∙( λ − 5) + 16) =
= λ4 − 4∙λ3 + λ2 + 126∙λ − 236 .
1  4,  2  1,  3  126 ,  4  236 .
Канонічна форма матриць має вигляд:
1
0
 0

0
1
 0
A*  
0
0
1

 236  126  1

0
 0

 
0
 0
*
, b   .

0
0

 



4
 1
в) запишемо характеристичний багаточлен замкненої системи:
 y ( )  (  1 )  (   2 )  (   3 )  (  4 )  (  1)  (  2)  2 
=  4  3 3  2 2 ;
 1  3,  2  2,  3  0,  4  0 .
Обчислимо компоненти вектора зворотнього зв’язку
формулами (3.12) :
k 1   4   4  0  236  236 ,
k
за
42
k 2   3   3  0  126  126 ,
k3   2   2  2  1  1,
k4   1  1  3  4  7 .
Отже, k = ( 236 , −126 , 1 , 7 ) .
43
4 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4
Спостережуваність. Побудова ідентифікаторів
4.1 Загальні відомості
Під спостережуваністю в теорії керування розуміють
можливість визначення величин на основі виміру інших величин.
Задача спостереження полягає у наступному: отримана (через
спостереження) множина Z , яка пов’язана відомим оперетором з
множиною X простору станів системи із заданою математичною
моделлю. Потрібно визначити X або деяку його підмножину
Xn  X .
Розглянемо лінійну стаціонарну систему з одним входом
x (t ) =Ax(t) + bu(t) ,
y(t)=Cx(t) ,
(4.1)
(4.2)
де А – матриця розміру n×m ,
b – вектор розміру 1×n ,
C – вектор розміру n×1 .
Повна спостережуваність системи
(4.1) , (4.2)
означає
можливість визначення початкового стану x0 цієї системи по
вихідному сигналу y(t) , відомому на деякому скінченому інтервалі t
(початку інтервалу відповідає x0 ).
Якщо для системи (4.1) , (4.2) ранг матриці спостережуваності
Q  [C T , AT C T , ( AT ) 2 C T , ..., ( AT ) n1 C T ]
(4.3)
дорівнює порядку системи n , то система повністю спостережувана.
Якщо ранг Q < n , то за вихідним сигналом y(t) можна оцінити
не всі, а лише деяку частину змінних стану об’єкту.
Побудуємо таку оцінку вектора стану системи (4.1) , (4.2) x̂ ,
щоб xˆ ( t )  x( t )  0 при t → ∞ .
44
Означення 4.1 Динамічну систему, яка формує на вході вектор
xˆ (t ) за даними о входах та виходах системи будемо називати
ідентифікатором стану .
Знаючи A , B , u(t) та початкове значення x(t0) можна оцінити
x(t) , якщо підвести сигнал u(t) до електронної моделі системи
об’єкта
(4.4)
x̂ = A x̂ + Bu ,
де x(t0) задано.
Недоліком оцінюючого пристрою (4.4) є те, що він діє по
разомкненому циклу і після деякого часу роботи буде давати досить
неточну оцінку вектора х . Використання виходу y(t) дозволить
поліпшити оцінку стану xˆ ( t ) .
Розглянемо ідентифікатор:
На вхід цього ідентифікатора потрапляє як вхід, так і вихід
системи (4.1) , (4.2) . Вихід y(t)=Cx(t) порівнюється з виходом
yˆ ( t )  Cxˆ ( t ) , та їх різниця є сигналом похібки і подається на вхід
системи у якості корегуючого впливу. Саме різниця y  yˆ  y  Cx
помножується на вектор С і подається на вхід ідентифікатора.
45
Динамічні властивості такого ідентифікатора істотньо залежать від
вибору вектора С . За рахунок вибору цього вектора необхідно
забезпечити бажаний характер прямування різниці x( t )  xˆ ( t )  0
при t → ∞ .
Означення 4.2 Лінійна динамічна система, виходом якої є
вектор xˆ ( t ) називається асимптотичним ідентифікатором стану
лінійної системи (4.1) , (4.2) , якщо x( t )  xˆ ( t )  0 при t → ∞ .
Розмірність наведеного ідентифікатора дорівнює розмірності
системи п . Динамічні рівняння цього п-вимірного ідентифікатора
мають вигляд:
xˆ ( t )  Axˆ ( t )  l[ y( t )  Cxˆ ( t )]  bu( t ) (4.5)
або
xˆ ( t )  [ A  lC ] xˆ ( t )  ly( t )  bu( t )
(4.6)
Якщо ввести нові змінні за формулою
~ ( t )  x( t )  xˆ ( t ) ,
x
(4.7)
то рівняння ідентифікатора набудуть вигляду:
~ ( t )  [ A  lC ] x
~(t ) ,
x
(4.8)
де x~ ( t ) є вектором похибки оцінки стану.
Теорема 4.1 Якщо лінійна стаціонарна система з одним
виходом
повністю
спостережена,
то
можна
побудувати
асимптотичний ідентифікатор з довільним бажаним набором власних
чисел матриці [ A  lC ] { 1 ,  2 , ...,  n } , причому Re( i )  0 .
Оберемо базіс у просторі станів таким чином, щоб пара
матриць (А, С) набула вигляду
 0 0 ... 0   n 


 1 0 ... 0   n 1 
A
 .............................
 0 0 ... 1  
1

 ,



(4.9)
46
(4.10)
C  (0, 0, ...,1) ,
де  i − коефіцієнти характеристичного багаточлена матриці А .
Це представлення матриць
(А, С)
називається
ідентифікаційним канонічним представленням .
Нехай задан довільний нормований багаточлен п-го порядку
(4.11)
 n ( )   n   1  n1  ...   n
з дійсними коефіцієнтами. Оберемо у якості компонент вектору l
числа
l n i 1   i   i
( i  1, 2, ..., n)
(4.12)
Безпосередня перевірка показує, що характеристичний
багаточлен матриці [ A  lC ] співпадає із заданим багаточленом
матриці  n ( ) .
4.2 Варіанти самостійних завдань
Дана лінійна стаціонарна система
x (t ) =Ax(t) + bu(t) ,
y(t)=Cx(t) ,
(4.1)
(4.2)
Побудувати асимптотичний ідентифікатор, характеристичними
числами якого є  1 ,  2 ,  3 ,  4 .
4.2.1
2 1  2 
 1


1  3  3  4 
A
,
1 4
1
2 


 0
4
2
5 

 1   2  1 ,  3   4  0 .
C   1 , 0 , 1 , 0 ,
47
4.2.2
2 
 2 1 1


2 1 
 2  3
A
,
4
1
5 4 


 4  3
2
2 

C   1 ,  1 , 2 , 0 ,
 1   2  0 ,  3   4  1  i .
4.2.3
1  2  2  3 


2
0
3
 2
A
,
3
1
2
0 


 0  2 1  3 


1  1 ,
4.2.4
C   0 ,  2 , 2 , 0 ,
 2  2 ,  3   4  2 .
1
0 
 1 3


 4  2 1  5 
A
,
3
0
0
4 


 0
0  2  2 

C   1 , 1 , 0 ,  1 ,
 1   2  1  2 i ,  3   4  0 .
4.2.5



A



0 

3
2
2 4 
,
4 2 5 2 

3
3
1  2 
1
2
1
 1   2  0 ,  3   4  1  i .
C   5 ,  2 , 3 , 4 ,
48
4.2.6



A



0 1
0 5
0 3
0 3
4 3 

3 2 
,
1 3 

1  3 
C   1 , 4 ,  1 ,  3 ,
 1   2  2 ,  3   4   i .
4.2.7
 1 1  2 1 


2 1 5 
 5
A
,
1 4 5 4 


1
3
4
1 

 1  1 ,
4.2.8
C   2 , 3 , 3 ,  1 ,
 2  3 ,  3   4  0 .
2  2 1
 4

2 1 5
 5
A
1 4 5 4

1
3
4
1




 ,



C   3 , 0 ,  1 , 4 ,
 1   2  1 ,  3   4  1  i .
4.2.9
1  3 1 
1


0
5 1 
 5
A
,
4
2 3
2


 2 1
2
1 

C   0 , 3 , 1 , 2 ,
1   2  0 ,  3   4   i .
4.2.10
 5

 3
A
4

 1

2 1
4
3
4
5
0
2
2 

5 
,
2

 1 
C    5 ,  5 , 3 ,  3 ,
49
 1   2  2 ,  3   4  0 .
4.2.11
0 4
 0

3 1
 3
A
1 1
0

 4 3 2

 1  1 ,
4.2.12
2

0
,
2 

5 
C    5 , 1 ,  4 , 3 ,
 2  3 ,  3   4  1  i
3 3
0
 5

1 4
 4  2
A
 2 1 1  2

 2
4 4
5




 ,



C   2 ,  2 ,  1 ,  2 ,
 1   2  1 ,  3   4   i
4.2.13
0
2 4 
 2


 2  4  3  3 
A
,
0
0
2 2


 1
4
1
4 

C    5 ,  2 , 0 , 3 ,
 1   2  2 ,  3   4  0
4.2.14
4
4
 2 3


5 3
2
 5
A
,
4
4 4
0


1
1  1  2 

 1   2  2 ,  3   4   1  i
C   0 ,  1 , 1 , 1 ,
50
4.2.15
 4

1
A
2

 3

 1  1 ,
4.2.16
3
1
1 2
1 2
5
4
3 

1 
,
3 

0 
C    3 , 4 ,  5 ,  2 ,
 2  3 ,  3   4   i
0
 1

1
 0
A
2 2

 3 1

1 1 

3 2 
,
1
4 

2
0 
C   4 , 5 ,  1 ,  2 ,
 1   2  1 ,  3   4  2  i
4.2.17
4.2.18
 4

 2
A
3

 2

1 

3
0 3 
,
0 2 4 

2  1  2 
1  1 ,
 2  2 ,  3   4  0
3
5
2
4
 4 4

4
 3 4 3
A
4
5
4 3

1
3
0 5




 ,



 1   2  2 ,  3   4   i
C    3 , 1 , 1 , 2 ,
C   0 ,  5 , 2 ,  2 ,
51
4.2.19
4
4
0 
1


3
0
2 
 1
A
,
3  2  2 1 


 2  4
1  3 

 1  1 ,
4.2.20
C   2 , 1 , 0 , 1 ,
 2  3 ,  3   4  1  i
2
2
1
 2

1 2
2
 3
A
3 1
1 1

 4
1
2
0




 ,



C    3 ,  1 , 2 , 0 ,
 1   2  1 ,  3   4  0
4.3 Приклад розв’язання задачі
Задача Для системи
x (t ) =Ax(t) + bu(t) ,
y(t)=Cx(t) ,
побудувати асимптотичний ідентифікатор,
числами якого є  1   2  1,  3   4  2 .
 1 2

 4  4
A
2
0

 0
3

2

4
0
,
 3 1

0
3 
(4.1)
(4.2)
характеристичними
0
C  ( 1, 1, 2, 1) .
Розв’язок:
а) перевіремо, чи є пара (А, С) повністю спостережуваною. Для
цього побудуємо матрицю
52
  1  1  9  17 


1 7 29 
 1
T
T T
T 2 T
T 3 T
.
Q  (C , A C , ( A ) C , ( A ) C )  
2  2 10  2 


 1
3 13 47 

Знайдемо ранг матриці Q :







29  
 
0 0  2 12  
~
0  4  4  60  
 
0  2  6  18  
1
1
7
29  
 
1
1 15  
~
0 1 6  
 
0 2
6  
1
1
0
0
0
7
1
1
0
1
0
0
0
0
29 

1 15 
1 6 

0
1 
7
Ранг Q = 4 , отже, система повністю спостережувана.
б) побудуємо асимптотичний ідентифікатор
~ ( t )  [ A  lC ]x
~(t )
x
із заданим багаточленом
 n ( )  (  1 ) (   2 ) (   3 ) (   4 ) = (  1) 2 (  2) 2 =
=  4  6 3  13 2  12  4 .
Отже,  1  6 ,  2  13 ,  3  12 ,  4  4 .
Знайдемо коефіцієнти характеристичного багаточлена матриці
А:
1 
A  E 
2
 4  4
2
0
0
3
0
4
2
0
 3 1
0
  4  3 3  21 2  23  24 .
3
Отже,  1  3 ,  2  21 ,  3  23 ,  4  24 .
53
Обчислимо компоненти вектора l за формулами:
l n  i 1   i   i , i  1, 2, 3, 4 .
l 1   4   4  4  24  20 ;
l 2   3   3  12  23  35 ;
l 3   2   2  13  21  34 ;
l4  1  1  6  3  3 .
Отже, маємо
  20

 35
l
34

 3




.



54
5 РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА
5.1 А.Г. Александров. Оптимальні і адаптивні системи. – М.:
Высшая школа, 1989. – 263 с.
5.2 Б.Н. Бублик, Н.Ф. Кириченко. Основы теории управления. –
К.: Вища школа, 1975. – 328 с.
5.3 Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 576 с.
5.4 Ф.П. Васильев. Численные методы решения экстремальных
задач. – М.: Наука, 1998. – 552 с.
5.5 Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф.
Мищенко. Математическая теория оптимальныч процессов. – М.:
Наука, 1983. – 392 с.