Математический анализ. Лекции. Даишев

Глава 1
Последовательности и пределы
последовательностей
ЛЕКЦИЯ 1.
1.1. Основные понятия и определения.
Определение 1. Если каждому числу n натурального ряда 1,2,3,...,n ставится в соответствие по определённому закону некоторое вещественное число xn , то множество занумерованных вещественных чисел x1 , x2 ,
x3 , ..., xn , ... мы будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью. Числа
xn мы будем называть элементами последовательности или членами последовательности. Сокращённо,
последовательность будем обозначать символом {xn }.
Пусть даны две последовательности {xn } и {yn }. Суммой этих последовательностей мы назовём последовательность {xn + yn }, разностью - последовательность {xn − yn }, произведением - последовательность {xn yn },
частным - последовательность {xn /yn }. При определении последовательности {xn /yn } необходимо требовать,
чтобы все элементы последовательности были отличны от нуля: yn 6= 0. Однако, если у последовательности
{yn }обращаются в ноль лишь конечное число элементов, то частное {xn /yn } можно определить с того номера,
начиная с которого все элементы yn отличны от нуля.
1.2. Ограниченные и неограниченные последовательности.
Определение 2. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое
вещественное число M (число m), что каждый элемент xn последовательности {xn } удовлетворяет неравенству
xn < M (xn > m). При этом, число M (число m) называется верней гранью (нижней гранью) последовательности {xn }, а сами эти неравенства называются условиями ограниченности сверху (снизу). Отметим,
что ∀ ограниченная сверху последовательность {xn } имеет бесконечно много верхних граней. Действительно, если M - верхняя грань, то ∀ M̃ > M тоже является верхней гранью. При условии xn < M , в качестве верхней
грани может рассматриваться любая верхняя грань. Аналогичные замечания могут быть сделаны и для нижней
грани последовательности xn .
Наименьшая верхняя грань называется точной верней гранью и имеет обозначение sup{xn }. Наибольшая
нижняя грань называется точной нижней гранью и обозначается символом inf{xn }.
Определение 3. Последовательность {xn } называется ограниченной с обеих сторон, или просто ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть существуют числа m и M , такие, что m < xn < M .
Очевидно, что если это условие выполнено, то заведомо выполнено условие |xn | ≤ A. Для этого достаточно
положить A = max(m, M ).
Определение 4. Последовательность {xn } называется неограниченной, если ∀A > 0 ∃xn ∈ {xn } : |xn | >
A, (то есть, для любого сколь угодно большого числа A, найдется такой элемент xn последовательности {xn },
что он превзойдет это число A.
Пример 1. Последовательность {−n2 } - ограничена сверху нулем, снизу - не ограничена.
Пример 2. Последовательность {1/n} - ограниченная последовательность.
1.3. Предел последовательности.
Если последовательность {xn } стремится к пределу a, то при достаточно больших n члены {xn } будут сколь
угодно-мало отличаться от a - это интуитивное понятие предела. Строгое же определение таково.
1
—2—
Определение 5. Число a называется пределом последовательности {xn }, если для любого сколь-угодно
малого ε > 0 существует такое число N (ε), что как только выполнится неравенство n > N (ε), так сразу выполнится неравенство |xn − a| < ε. Иначе, на языке кванторов, ∀ε > 0 ∃N (ε) : n > N (ε) 7→ |xn − a| < ε. Тот факт,
что число a является пределом последовательности {xn } записывают так: lim xn = a. Говорят также, в этом
n→∞
случае, что последовательность {xn } стремится к a, и пишут xn → a.
Неравенство |xn − a| < ε, очевидно, равносильно следующим неравенствам: −ε < xn − a < ε, или a − ε <
xn < a + ε. Этими неравенствами мы часто будем пользоваться впоследствии.
Открытый промежуток (a − ε, a + ε) с центром в точке a называется ε - окрестностью точки a. Таким
образом, неравенство |xn − a| < ε означает, что какую бы малую окрестность точки a ни взять, все значения xn ,
начиная с некоторого, обязательно попадут в эту ε - окрестность.
Определение 6. Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся последовательностью.
Определение 7. Последовательность {xn } называется бесконечно большой, если ∀A > 0 ∃N (A) : n ≥
N (A), все |xn | > A.
Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной, однако, неограниченная
последовательность может и не быть бесконечно большой.
n
Пример: n(−1) = (0, 1, 2, 1/3, 4, 1/5, 6, 1/7, ...).
Определение 8. Последовательность {αn } называется бесконечно малой последовательностью и пишут
lim αn = 0 , если ∀ε > 0 ∃N (ε) : n ≥ N (ε) все элементы αn ∈ {αn } удовлетворяют неравенству |αn | < ε.
n→∞
Пример: {1/n} - бесконечно малая последовательность.
1.4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
Теорема 1. Последовательность, обратная бесконечно малой последовательности - есть бесконечно большая последовательность.
Доказательство. Пусть {αn } - бесконечно малая последовательность. Это означает, что ∀ε > 0∃N (ε) :
def
n ≥ N (ε) |αn | < ε ⇒ 1/αn > 1/ε = E. А это, в свою очередь, означает, что при n > N (ε) | 1/αn | > E, то есть,
что последовательность {1/αn } - бесконечно большая.
Теорема 2. Сумма двух бесконечно малых последовательностей - бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть {αn } и {βn } - бесконечно малые последовательности. Покажем, что {αn + βn } тоже бесконечно малая последовательность.
Если {αn } - бесконечно малая последовательность, то ∀ε > 0 ∃N1 (ε) : n > N1 (ε) 7→ |αn | < ε/2.
Если и {βn } - бесконечно малая последовательность, то ∀ε > 0∃N2 (ε) : n > N2 (ε) 7→ |βn | < ε/2.
Тогда при n > max(N1 , N2 ) выполнится |αn + βn | ≤ |αn | + |βn | < ε/2 + ε/2 = ε, то есть {αn + βn } бесконечно малая последовательность.
Очевидны два следующих следствия этой теоремы.
Следствие 1. Разность бесконечно малых последовательностей - бесконечно малая последовательность.
Следствие 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей - есть снова бесконечно малая последовательность.
Теорема 3. Бесконечно малая последовательность - ограничена.
Доказательство. Пусть {αn } - бесконечно малая последовательность. Это означает, что ∀ε > 0 ∃N (ε) :
n > N (ε) 7→ |αn | < ε. Обозначим через A следующее число: A = max{ε, |α1 | , |α2 | , ..., |αN −1 |}. Тогда очевидно,
что |αn | < A для ∀n, что и означает ограниченность последовательности.
Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть {xn } - ограниченная последовательность, а {αn } - бесконечно малая последовательность. Поскольку {xn } - ограничена, то ∃A > 0 : ∀xn : |xn | < A. Так как {αn } - бесконечно малая, то
∀ε > 0 ∃N (ε) : n > N (ε) |αn | < ε/A. Тогда при n > N (ε) выполнится |xn · αn | = |xn | |αn | < A · ε/A = ε,
|xn · αn | < ε, то есть {xn · αn } - бесконечно малая последовательность.
Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет
собой бесконечно малую последовательность.
Замечание. Очевидно, что частное бесконечно малых последовательностей такого сказать нельзя. Для
того, чтобы убедиться в этом, достаточно взять, например, последовательности {αn } = {1/n} и {βn } = {1 n2 }.
1.5. Основные свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство. Предположим противное: одна и та же последовательность {xn } имеет два разных предела: lim xn = a, lim xn = b, a 6= b. Тогда для n > N1 , |xn − a| < ε1 , для n > N2 , |xn − b| < ε2 . Возьмем
n→∞
n→∞
—3—
b−a
ε1 < b−a
2 , ε2 < 2 , N = max(N1 , N2 ). Тогда при n > N один и тот же член последовательности должен находиться одновременно в окрестности точки a и окрестности точки b, причем эти окрестности не пересекаются. А
это невозможно.
Противоречие доказывает теорему.
Теорема 2. (О связи сходящейся последовательности с бесконечно малой последовательностью).
Для того, чтобы число a было пределом сходящейся последовательности {xn } необходимо и достаточно, чтобы
xn = a + αn , где {αn } - бесконечно малая последовательность.
Необходимость. Дано, что число a - предел последовательности {xn }. Необходимо доказать, что xn =
a + αn , где {αn } - бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Действительно, если a - предел последовательности {xn }, то |xn − a| < ε при n > N (ε)
для любого наперед заданного ε > 0. Обозначим {xn −a} = {αn }, то есть αn = xn −a. Тогда |αn | < ε для любого
наперед заданного ε > 0 и при n > N (ε), то есть, по определению {αn } - бесконечно малая последовательность.
Достаточность. Дано, что xn = a+αn , где {αn } - бесконечно малая последовательность, а xn = a+αn , где
{αn } - бесконечно малая последовательность, a - вещественное число. Необходимо доказать, что lim xn = a.
n→∞
Доказательство: |xn − a| = |αn | < ε при n > N (ε), поскольку {αn } - бесконечно малая последовательность. Тогда, по определению, a - предел последовательности xn }.
Теорема доказана.
Теорема 3. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Последовательность {xn } - сходящаяся, значит она может быть представлена в виде xn =
a + αn , где a = lim xn , а {αn } - бесконечно малая последовательность. Мы знаем, что бесконечно малая
n→∞
последовательность ограничена. Это значит, что найдется такое число A, что |αn | < A. Тогда |xn | < |a| + A, что
и означает ограниченность последовательности {xn }.
ЛЕКЦИЯ 2.
1.6. Свойства пределов.
Свойство 1.
lim C = C, где C = const. Действительно, {C} = C, C, ...., C, ... , что и требуется доказать.
n→∞
Свойство 2. Предел суммы сходящихся последовательностей равен сумме пределов этих последовательностей: lim (xn + yn ) = lim xn + lim yn .
n→∞
n→∞
n→∞
def
Доказательство: Пусть xn = a+αn , yn = b+βn . Тогда xn +yn = a+b+αn +βn . Положим γn = αn +βn .
Так как αn и βn - бесконечно малые последовательности, то и γn - бесконечно малая последовательность. Но
тогда xn + yn = a + b + γn . Из этого равенства следует, что lim (xn + yn ) = a + b = lim xn + lim yn , что и
n→∞
n→∞
n→∞
требовалось доказать.
Свойство 3. Предел произведения сходящихся последовательностей равен произведению пределов этих
последовательностей: lim (xn · yn ) = lim xn · lim yn .
n→∞
n→∞
n→∞
def
Доказательство: Пусть xn = a + αn , yn = b + βn . Тогда xn yn = ab + aβn + bαn + αn βn = ab + γn ,
def
где γn = aβn + bαn + αn βn - бесконечно малая величина , так как aβn - бесконечно малая, bαn - бесконечно
малая, и αn βn - тоже бесконечно малая величина. Таким образом, lim xn yn = ab = lim xn · lim yn , что и
n→∞
n→∞
n→∞
требовалось доказать.
Свойство 4. Предел частного двух сходящихся последовательностей {xn } и {yn }, где lim yn 6= 0, равен
n→∞
.
lim xn
.
отношению пределов этих последовательностей: lim xn/yn = n→∞
lim yn
n→∞
Доказательство: Пусть xn = a + αn , yn = b + βn . Рассмотрим
αn b−aβn
b2 +bβn
n→∞
xn
a
yn − b
=
a+αn
b+βn
−
a
b
=
ab+αn b−ab−aβn
b(b+βn )
=
γn
b2 +σn
=
= τn , где γn и σn - бесконечно малые. Очевидно, что сумма конечного числа и бесконечно
1
малой - величина ограниченная, поэтому b2 +σ
- тоже величина ограниченная, а произведение бесконечно малой
n
γn на величину ограниченную - бесконечно малая. Поэтому τn - бесконечно малая. Следовательно, xynn = ab + τn ,
.
lim xn
а это означает, что lim xn/yn = n→∞
lim yn .
n→∞
n→∞
Замечание: Доказанные выше свойства последовательностей справедливы лишь в том случае, если существуют пределы lim xn и lim yn . Рассмотрим, например две последовательности {xn } = {1 + (−1)n } и
n→∞
n→∞
{yn } = {1 − (−1)n }. Ясно, что пределов этих последовательностей не существует, тогда как предел суммы этих
последовательностей существует: {xn + yn } = {2}, lim (xn + yn ) = 2, равно как и предел произведения этих
n→∞
последовательностей: {xn · yn } = {1 − (−1)2 } = {0}, lim (xn · yn ) = 0.
n→∞
1.7. Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами.
—4—
Теорема 1. Если члены сходящейся последовательности {xn }, начиная с некоторого номера N0 таковы, что
xn ≥ 0 (n ≥ N0 ), то lim xn ≥ 0.
n→∞
Доказательство: Обозначим lim xn = a. необходимо доказать, что a ≥ 0. Предположим противное:
n→∞
a < 0. Рассмотрим |xn − a| при n ≥ N0 . |xn − a| = |xn + (−a)| = |xn | + |a| ≥ |a|, так как xn ≥ 0 при n ≥ N0 .
Таким образом, |xn − a| ≥ |a|. С другой стороны, поскольку {xn } - сходящаяся последовательность, то для
∀ε > 0 ∃N (ε) : n > N (ε) |xn − a| < ε. Выберем ε = a. Получим |xn − a| < |a| при n ≥ N (ε). Следовательно,
при n > max (N0 , N (ε)) одновременно должно быть выполнено и |xn − a| ≥ |a|, и |xn − a| < |a| при n ≥ N (ε),
что невозможно.
Противоречие доказывает теорему.
Теорема 2. Если начиная с некоторого номера N0 сходящиеся последовательности {xn } и {yn } таковы, что
xn ≤ yn , то lim xn ≤ lim yn .
n→∞
n→∞
Доказательство: Действительно, если xn ≤ yn , то |yn − xn | ≥ 0 при n ≥ N0 . Тогда, по предыдущей
теореме, lim (yn − xn ) ≥ 0. Так как {xn } и {yn } - сходящиеся последовательности, то lim (yn − xn ) = lim yn −
n→∞
n→∞
n→∞
lim xn ≥ 0, то есть lim yn ≥ lim xn .
n→∞
n→∞
n→∞
Что и требовалось доказать.
Замечание: Может случиться так, что xn > 0 (строго!), тогда, как lim xn = 0. Пример: xn = 1/n,
n→∞
lim n1 = 0.
n→∞
Теорема 3. (Теорема о двух милиционерах). Пусть начиная с некоторого номера N0 сходящиеся последовательности {xn }, {yn } и {zn } связаны неравенствами xn ≤ yn ≤ zn , причем последовательности {xn } и {zn }
сходятся к одному пределу (скажем, lim xn = lim zn = a ). Тогда последовательность {yn } так же сходится и
n→∞
n→∞
имеет тот же предел, то есть lim yn = a.
n→∞
Доказательство: Зададимся ε > 0, тогда ∃N1 (ε) : n > N1 (ε) |xn − a| < ε, а так же ∃N2 (ε) : n >
N2 (ε) |zn − a| < ε. При n > max (N1 (ε), N2 (ε)) оба этих неравенства выполнены одновременно, то есть выполнено a − ε < xn < a + ε, a − ε < zn < a + ε. Имея в виду неравенства xn ≤ yn ≤ zn , можем записать:
a − ε < xn ≤ yn ≤ zn < a + ε. Таким образом, при n > max (N1 (ε), N2 (ε)) выполнено a − ε ≤ yn ≤ a + ε, или
|yn − a| < ε. ⇒ lim yn = a.
n→∞
Определение. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если каждый
последующий элемент последовательности не меньше (не больше) предыдущего, то есть x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn ≤
xn+1 ≤ ... (x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn ≥ xn+1 ≥ ...). Если неравенства строгие, то последовательность называется
монотонно растущей (монотонно убывающей).
Теорема 4. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она
имеет предел.
Доказательство: Действительно, если последовательность {xn } ограничена сверху, то она имеет точную
верхнюю грань sup{xn } = L . Докажем, что lim xn = L. Зададимся ε > 0 и рассмотрим L − ε. По определению
n→∞
точной верхней грани, всегда найдется xN такое, что L > xN > L − ε и, тем более, L − ε < xN < L + ε.
Но, поскольку последовательность неубывающая, то при n > N имеем: L − ε < xN ≤ xn < L + ε, то есть
|xn − L| < ε ⇒ lim xn = L.
n→∞
1.8. Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Штольца.
Определение 1. Пусть {xn }- некоторая последовательность и пусть {kn }- некоторая строго возрастающая последовательность, состоящая из натуральных чисел. Тогда последовательность {yn } = {xkn } называется
подпоследовательностью последовательности {xn }.
Определение 2. Если существует lim yn = a, то a называется частичным пределом или предельной
n→∞
точкой последовательности {xn }.
Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности {xn } можно выделить
сходящуюся подпоследовательность {xnk } .
Доказательство: По условию теоремы {xn }- ограниченная последовательность, следовательно, найдётся A > 0 такое, что |xn | ≤ A
для всех n. Разделим отрезок I0 = [−A, A] пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Назовём его I1 и в качестве первого члена искомой подпоследовательности возьмём какой-либо элемент xn1 ∈ I1 , то есть
положим y1 = xn1 . Затем отрезок I1 снова разобъём на два и обозначим через I2 ту его половину, которая содержит бесконечно много
членов последовательности {xn }. Среди них выберем такой член xn2 , номер которого n2 превосходит число n1 и положим y2 = xn2 .
Повторяя описанную процедуру применительно к отрезку I2 получим отрезок I3 ⊂ I2 и член y3 = xn3 с условием n3 > n2 . Далее
таким же образом найдём y4 = xn4 ∈ I4 ⊂ I3 , y5 = xn5 ∈ I5 ⊂ I4 и так далее. В результате мы получим числовую последовательность
{yk } и последовательность вложенных отрезков {Ik }, причём yk ∈ Ik , yk = xnk , nk < nk+1 для всех натуральных k. Другими
словами, последовательность {yk } будет подпоследовательностью для {xk }.
Осталось доказать, что последовательность {yk } сходится. Для этого заметим, что длина δk отрезка Ik равна A · 2−k+1 , откуда
δk → 0 когда k → ∞. Это значит, что последовательность вложенных отрезков стягивается и все отрезки имеют единственную общую
—5—
def
точку a. Именно это число a и будет пределом для {yk }. Действительно, если Ik = [sk , tk ], то sk < a < tk , tk − sk = δk , αk = a −
def
sk ≤ δk , βk = tk − a ≤ δk . Но так как δk → 0 когда k → ∞, то αk → 0, βk → 0, откуда sk = a + αk → a, tk = a + βk → a.
И так как yk = xnk , sk ≤ xnk ≤ tk , то yk = xnk → a при k → ∞, что и требовалось доказать.
Пример. В качестве иллюстрации этой теоремы , можно привести последовательность {1, 21 , 1, 13 , 1, 14 , ...},
которая заведомо ограничена, а выбор сходящейся подпоследовательности очевиден.
Определение. Последовательность {xn } называется {xn } фундаментальной, если для любого положительного ε найдется такой номер N (ε) , что для всех n ≥ N (ε) и для любого натурального p = 1, 2, 3, ...
справедливо неравенство |xn+p − xn | < ε.
Теорема Коши. (Критерий Коши сходимости последовательности). Для того, чтобы последовательность {xn } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство: Необходимость. Если lim xn = a, то для любого для любого положительного ε найдется такой номер N (ε) , что
n→∞
для всех n ≥ N (ε) имеем |xn − a| < ε/2. Следовательно, |xn+p − xn | = |(xn+p − a) + (xn − a)| ≤ |xn+p − a| + |xn − a| < ε/2 + ε/2 =
ε. Поэтому {xn } - фундаментальная последовательность.
Достаточность. По условию последовательность является фундаментальной. Доказательство достаточности состоит из двух этапов.
1. Докажем, что последовательность {xn } ограничена. В самом деле, возьмем ε = 1. Тогда найдется N0 (1) такое, что для всех n >
def
def
N0 (1) имеем xn − xN0 < 1. Но тогда |xn | ≤ xn − xN0 + xN0 < 1+ xN0 = h. Отсюда |xn | ≤ max |x1 | , |x2 | , ..., xN0 , h = C.
2. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность xn1 , xn2 , ..., xnk , ... → a при k → ∞.
Условие её сходимости
можно записать так: ∀ε > 0 ∃k1 = k1 (ε) : ∀k > k1 (ε) → |xnk − a| < ε/2 . Пусть N1 = nk1 и N =
max n0 (ε/2), N1 . Тогда для всех n > N и nk > N имеем |xn − a| = |xn − xnk + xnk − a| ≤ |xn − xnk | + |xnk − a| < ε/2 + ε/2 = ε,
то есть последовательность {xn } сходится.
Теорема доказана.
n o
Во многих случаях для исследования сходимости частного xynn последовательностей {xn } и {yn } оказывается полезным следующее предложение.
Теорема 7. (Теорема Штольца).
и
o Пусть {yn } - возрастающая бесконечно большая последовательность
n o
n
xn+1 −xn
xn
пусть последовательность yn+1 −yn сходится и имеет предел a. Тогда последовательность yn тоже сходится и имеет тот же предел a.
−xn
= a.
Таким образом, lim xynn = lim xyn+1
n+1 −yn
n→∞
n→∞
Доказательство: Из условия теоремы вытекает, что
xn+1 −xn
yn+1 −yn
= a + αn , где αn - бесконечно малая последовательность. Поэтому
для любого ε > 0 существует N = N (ε) такое, что при всех n ≥ N (ε) имеем |αn | < 2ε .
Полагая значение номера равным последовательно N, ... , n, получим следующую систему неравенств:

xn+1 − ayn+1 = xn − ayn + αn (yn+1 − yn ),
..........................................................

xN +1 − ayN +1 = xN − ayN + αN (yN +1 − yN ).
Сложим эти неравенства:
xn+1 − ayn+1 = xN − ayN + αn (yn+1 − yn ) + ... + αN (yN +1 − yN ).
Заметим, что все разности вида yn+1 − yn , k = 1, 2, ..., N в этом равенстве, поскольку {yn } - возрастающая последовательность,
положительны. Поэтому выполняя очевидные арифметические преобразования и переходя к неравенствам, получим
|xn+1 − ayn+1 | ≤ |xN − ayN | + |αn | |yn+1 − yn | + ... + |αN | |yN +1 − yN | ,
|xn+1 − ayn+1 | ≤ |xN − ayN | +
ε
ε
|yn+1 − yn | + ... +
|yN +1 − yN |
2
2
xn+1
|xN − ayN |
ε yn+1 − yN
−a
+
.
yn+1
yn+1
2
yn+1
Поскольку {yn } - бесконечно большая последовательность, то существует n1 = n1 (ε), такое, что для всех n > n1 справедлива
оценка
|xN −ayN |
yn+1
xn+1
n→∞ yn+1
lim
<
ε
.
2
Положим n0 = max(n1 , N ). Тогда для любого n > n0 будем иметь
xn+1
yn+1
− a < ε. А это значит, что
= a.
Теорема доказана.
ЛЕКЦИЯ 3
1.9. Число e как предел последовательности
1+
1 n
n
.
Ранее мы доказали теорему о том, что если неубывающая (невозрастающая) последовательностьограничена
сверху (снизу), то она имеет предел.
n
Применим эту теорему для доказательства существования предела последовательности 1 + n1
. Для
этого мы докажем, что она: 1. монотонно возрастает. 2. ограничена сверху. Из этого будет следовать, что наша последовательность имеет предел. Его мы обозначим буквой e.
Для того, чтобы выполнить первый пункт нашей программы нам необходимо сравнить xn и xn+1 .
—6—
xn = 1 +
1 n
;
n
xn+1 = 1 +
1
n+1
n+1
. Воспользуемся формулой бинома Ньютона:
(x + a) = xn + Cn1 xn−1 a + Cn2 xn−2 a2 + ... + Cnm xn−m am + ... + Cnn−2 x2 an−2 + Cnn−1 xan−1 + an ,
где
n(n − 1)(n − 2)...(n − m + 1)
n(n − 1)(n − 2)...(n − m + 1)
n(n − 1)
=
, Cn1 = n, Cn2 =
, ... .
1 · 2 · 3 · ... · m
m!
2!
n
1
=
xn = 1 +
n
2
3
1
n(n − 1)
1
1
n(n − 1)(n − 2)
=1+n·1· +
·1·
+
·1·
+ ...
n
2!
n
3!
n
n−1
n
n(n − 1)(n − 2)... [n − (n − 2)]
1
n(n − 1)(n − 2)... [n − (n − 2)] [n − (n − 1)]
1
+
·1·
=
+
·1·
(n − 1)!
n
n!
n
1
1
1
2
1
1
2
n−2
1
1−
+
1−
1−
+ ... +
1−
1−
... 1 −
+
=1+1+
2!
n
3!
n
n
(n − 1)!
n
n
n
1
1
2
n−2
n−1
+
1−
1−
... 1 −
1−
.
n!
n
n
n
n
n+1
1
xn+1 = 1 +
= ... =
n+1
1
1
1
1
2
1
1
2
n−2
= 1+1+
1−
+
1−
1−
+...+
1−
1−
... 1 −
+
2!
n+1
3!
n+1
n+1
(n − 1)!
n+1
n+1
n+1
1
1
2
n−2
n−1
+
1−
1−
... 1 −
1−
+
n!
n+1
n+1
n+1
n+1
1
1
2
n−2
n−1
n
+
1−
1−
... 1 −
1−
1−
.
(n + 1)!
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
Cnm =
Сравнивая, видим,
что в xn+1
каждое слагаемое, начиная с третьего, больше соответствующего слагаемого
k
в xn , ибо 1 − nk < 1 − n+1
для любого 0 < k < n. Кроме того, xn+1 содержит по сравнению с xn дополнительное положительное слагаемое. Поэтому xn < xn+1 . Стало быть, наша последовательность действительно
монотонно возрастает.
Покажем теперь, что последовательность ограничена сверху.
xn < 1 + 1 +
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + ... +
+
< 2 + + 2 + 3 + ... + n−2 + n−1 <
2! 3!
(n − 1)! n!
2 2
2
2
2
<2+
1
1
1
1
1
1
1
+ 2 + 3 + ... + n−2 + n−1 + n + n+1 + ... = 3,
2 2
2
2
2
2
2
поскольку
n! = 1 · 2 · 3 · ... · n > 1 · 2 · 2 · ... · 2 = 2n−1 ,
1/2
a1
= 1−1/2
= 1. Здесь a1 - значение первого
а сумма членов бесконечно убывающей прогрессии равна S = 1−q
члена прогрессии, q - знаменатель прогрессии.
Таким образом, мы показали, что последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел. Обозначим его e. Очевидно, что 2 < e < 3. Приближенно, это число равно e =
2, 718281828459045... .
n
1
e = lim 1 +
.
n→∞
n
Глава 2
Функции. Предел функции.
Непрерывность функции.
ЛЕКЦИЯ 4.
Отметим сразу, что многие определения, связанные с изучением функций, мы будем считать известными из
школьного курса. Поэтому мы только очень кратко остановимся на фактах, известных из школьной программы.
Основное же внимание уделим тем разделам теории функций, которые важны при рассмотрении дифференциального исчисления.
2.1. Понятие функции одного переменного, способы задания функции.
Пусть X ⊆ R - некоторое множество. Символом x обозначим точку, которая может быть отождествлена с
точкой множества X. В этом случае x называется переменной величиной, а множество X - областью изменения переменной величины x. Как правило, в анализе переменные величины обозначаются буквами латинского
алфавита x, y, z, u, v, ... и так далее.
Определение 1. Если каждому значению переменной x ∈ X по определенному закону ставится в соответствие одно или несколько значений переменной y ∈ Y ⊆ R , то говорят, что на множестве X задана
вещественная функция вещественного переменного y = f (x).
Множество Y называется множеством значений функции, f - её характеристикой, x - аргументом, а X - областью изменения аргумента. Часто X называют областью существования функции, или
областью определения функции.
Функции по тем или иным свойствам различают на: однозначные, многозначные, бесконечнозначные, четные,
нечетные, периодические, непериодические и так далее. Всё это известно из школьной программы. Поэтому мы
не останавливаемся на этих определениях. (Вспомним так же понятия невозрастающей, неубывающей, монотонно растущей и монотонно убывающей функций). А вот на определении обратной функции остановимся
подробнее.
Определение 2. Пусть функция y = f (x) задана на множестве X, а множеством её значений является
множество Y . Пусть так же каждому y ∈ Y соответствует только одно значение x ∈ X , для которого
y = f (x). Тогда на множестве Y можно определить функцию x = ϕ(y), ставя в соответствие каждому y ∈ Y
то значение x ∈ X , для которого f (x) = y. Функция x = ϕ(y)называется
обратной для функции y = f (x).
1
−1
Обычно обратную функцию обозначают так: x = f (y) , 6= f (y) . Знак f −1 заменяет слова "функция,
обратная по отношению к функции y = f (x)". Поскольку в математике аргумент договорились обозначать через
x, то обратная функция в этих обозначениях выглядит так: y = f −1 (x).
Определение 3. Пусть функция x = ψ(t) определена на множестве T и на множестве X значений этой
функции определена функция y = f (x). В этом случае говорят, что на множестве T определена сложная функция
y = f (ψ(t)).
√
Например, функцию y = sin x можно рассматривать как сложную
функцию, заданную следующим обра√
зом. Сначала на множестве X = [0, +∞) задана функция u = x, а затем на множестве U = [0, +∞) задана
функция y = sin u.
Наконец, коснемся вопроса о способах задания функций. Как известно из школы, существует три основных
способа задания функций: 1) аналитический (посредством формул), 2) табличный, 3) графический. Каждый из
этих способов имеет свои преимущества, в зависимости от решаемой задачи.
7
—8—
2.2. Простейшие элементарные функции.
Под простейшими элементарными функциями понимаются следующие функции:
1) степенные: y = xα ( α - вещественное число),
2) тригонометрические: y = sin x, y = cos x,
3) показательные: y = ax ( a > 0 - вещественное число),
4) логарифмические: y = loga x ( a > 0 - вещественное число),
5) обратные тригонометрические,
6) гиперболические.
Здесь мы подробнее коснемся только логарифмических и гиперболических функций. В математическом анализе за основание логарифмов берется число e, о котором мы подробно говорили ранее. loge x называется натуральным логарифмом и обозначается ln x. На первый взгляд может показаться, что мы очень проигрываем,
взяв за основание такое "несуразное"число как e, вместо "красивого"числа 10. Однако, на протяжении всего
курса анализа мы увидим, какие громадные преимущества имеет такой выбор.
Что касается гиперболических функций, то они также связаны с числом e. Они определяются так:
shx =
ex + e−x
shx
chx
ex − e−x
, chx =
, thx =
, cthx =
.
2
2
chx
shx
Свойства:
1. ch2 x − sh2 x = 1. 2. ch2 x + sh2 x = ch2x. 3. 1 − th2 x = ch12 x . 4. cth2 x − 1 =
6. sh(x1 + x2 ) = shx1 · chx2 + shx2 · chx1 .
Все свойства этих функций доказываются непосредственной проверкой.
1
sh2 x .
5. 2shx · chx = sh2x.
2.3. Предельное значение функции.
Пусть на множестве X определена функция y = f (x). Рассмотрим точку c, которая может и не принадлежать
множеству X, но у неё есть некоторая окрестность, принадлежащая этому множеству.
Определение 1. Число A называется пределом функции y = f (x) при x → c, если для любого ε >
0 найдётся такое δ(ε) > 0, что как только выполнится неравенство |x − c| < δ(ε), так сразу же выполнится
неравенство |f (x) − A| < ε. Обозначается это так: lim f (x) = A.
x→c
Оказывается, что нахождение предела функции может быть сведено к нахождению предела некоторой числовой последовательности. Если нам удастся это показать, то тогда мы получим выгодное положение: все теоремы
о пределах последовательностей автоматически будут иметь место и для пределов функций; как то:
lim (f1 (x) + f2 (x)) = lim f1 (x) + lim f2 (x), lim (f1 (x) · f2 (x)) = lim f1 (x) · lim f2 (x),
x→c
x→c x→
x→c
x→c
x→c
lim f1 (x)/f2 (x) = lim f1 (x) lim f2 (x), если f2 (x) 6= 0 и lim f2 (x) 6= 0, теорема о двух милиционерах и
x→c
x→c
x→c
x→c
так далее.
Теорема 1. Для того, чтобы число A было пределом функции f (x) при x → c, необходимо и достаточно,
чтобы для любой сходящейся к c, последовательности {xn } значений аргумента, соответствующая последовательность {f (xn )} значений функции имела пределом число A.
Необходимость. Дано: lim f (x) = A. Доказать: для любой последовательности {xn }, сходящейся к c,
x→c
lim f (xn ) = A. Действительно, если A - предел функции f (x) при x → c, то для ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0
n→∞
такое, что как только |x − c| < δ, так сразу |f (x) − A| < ε. Рассмотрим любую последовательность {xn },
сходящуюся к c. По известному δ найдется номер N, такой, что как только n > N, так сразу |xn − c| < δ,
то есть xn будут находиться в δ- окрестности точки c. Но тогда, при n > N, в силу |f (x) − A| < ε,
автоматически выполнится |f (xn ) − A| < ε. А это и означает, что lim f (xn ) = A.
n→∞
Достаточность. Дано: для любой последовательности {xn }, сходящейся к числу c, последовательность
значений функции {f (xn )} сходится к числу A : lim f (xn ) = A. Доказать: lim f (x) = A. Для доказательства
n→∞
x→c
предположим противное: для любого ε > 0 нашлось δ > 0 такое, что хотя |x − c| < δ, тем не менее выполняется
неравенство|f (xn ) − A| ≥ ε. Но у нас есть последовательность {xn }, сходящейся к числу c. Следовательно для
данного δ > 0 найдется такой номер N, что как только выполнится n > N, так сразу выполнится неравенство
|xn − c| < δ, то есть xn , начиная с номера N + 1 попадают в δ > 0- окрестность точки c. Согласно нашему
предположению при этом будет выполнено |f (xn ) − A| ≥ ε для n > N. Но это противоречит тому, что дано, а
именно lim f (xn ) = A.
n→∞
Полученное противоречие доказывает теорему.
Таким образом, вследствие этой теоремы, все доказанные нами ранее теоремы о свойствах пределов последовательностей переносятся на пределы функций.
—9—
ЛЕКЦИЯ 5.
2.4. Замечательные пределы функций.
Первый замечательный предел. lim
x→0
sin x
x
= 1.
Сначала для доказательства рассмотрим x < π2 . Проведем окружность единичного радиуса и рассмотрим
чертёж: видим AO < ∪AO < AR, или sin x < x < tgx. Если sin x > 0, то есть x > 0, то 1 < sinx x < cos1 x ,
или 1 > sinx x > cos x. Заметим здесь, что последняя формула верна и для отрицательных значений аргумента
sin x
и cos(−x) = cos x.
x, поскольку sin(−x)
(−x) = x
Если мы теперь покажем, что lim cos x = 1, то, в силу теоремы о двух милиционерах, покажем, что
x→0
Зададимся сколь угодно малым ε > 0. Оценим разность |cos x − 1| = |1 − cos x| = 2 sin2 x2 <
√
2
Следовательно, |cos x − 1| < x2 < ε, как только x < 2ε = δ. Иначе говоря, искомое
неравенство выполнится, как только выполнится неравенство |x − 0| < δ, и мы положим ε = √δ2 .
x
Второй замечательный предел. lim 1 + x1 = e.
sin x
= 1.
x→0 x
2
2
2 x2
= x2 .
lim
x→∞
Доказательство разобъем на три этапа.
x
1. Сначала рассмотрим lim 1 + x1
= e. Обратимся к теореме о связи предела функции с пределом
x→+∞
последовательности значений функции.
Пусть {xn } - бесконечно большая последовательность, причем xn > 0. Пусть
целая часть числа
nk - 1
1
1
1
1
xk : nk = [xk ]. Тогда nk ≤ xk ≤ nk + 1, или nk ≥ xk ≥ nk +1 , или 1 + nk ≥ 1 + xk ≥ 1 + nk1+1 ,
nk +1 xk
nk
nk +1
nk или 1 + n1k
≥ 1 + x1k
≥ 1 + nk1+1
. Но lim 1 + n1k
= lim 1 + n1k
1 + n1k =
n →∞
nk →∞
nk
k
nk +1
1
1
1
e · 1 = e. Аналогично, lim 1 + nk +1
= lim 1 + nk +1
·
= 1e = e. По теореме о двух
nk →∞
nk →∞
1+ n 1+1
k
xk
x
милиционерах, lim
1 + x1k
= e, откуда lim 1 + x1 = e.
xk →+∞
x→+∞
x
2. На втором этапе докажем, что lim 1 + x1 = e.
x→−∞
−y
−y
x
y−1
С этой целью сделаем замену x = −y. Тогда lim 1 + x1
= lim 1 − y1
= lim
=
y
y→+∞
y→+∞
x→−∞
y
y
y−1 y
1
1
1
lim
= lim 1 + y−1
= lim 1 + y−1
· 1 + y−1
= e · 1 = e.
y−1
y→+∞
y→+∞
y→+∞
3. На третьем этапе рассмотрим последовательность {xn } бесконечно большую, но содержащую бесконечно много как отрицательных, так и положительных вещественных чисел. (Пример такой последовательности
привести совсем нетрудно: {1, −1, 3, −3, ..., (2n − 1), −(2n − 1), ...}). Обозначим через {x0n } последовательность, составленную из отрицательных членов последовательности {xn }, а через {x00n } - последовательность,
составленную из положительных членов {xn }.
xk
x00k
Для любого ε > 0 по вышедоказанному имеем: lim
1 + x1k
= e при k > K1 и 1 + x100
−e <
xk →+∞
k
ε при k > K2 . Очевидно, что если k > max(K
то
xk 1 , K2 ), то оба эти неравенства выполнятся одновременно,
x
есть будет выполнено неравенство 1 + x1k
− e < ε. Тем самым мы доказали, что lim 1 + x1 = e.
x→∞
ЛЕКЦИЯ 6.
2.5. Понятие о непрерывности функции в точке и области.
Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и в самой точке x0 .
Определение 1. Если существует lim f (x) = f (x0 ) (значение функции в точке x0 ), то функция f (x)
x→x0
называется непрерывной в точке x0 . Поскольку равенство
виде
lim f (x) = f (x0 ) может быть записано в
x→x0
lim f (x) = f ( lim x0 ), то это означает, что для непрерывной в точке x0 функции f (x) символ
x→x0
x→x0
функции и символ предела функции перестановочны. Например, как мы видели раньше, при доказательстве
первого замечательного предела, lim cos x = 1 и cos 0 = 1. А вот функция f (x) = sinx x в точке x = 0 не
x→0
является непрерывной, поскольку значение f (0) = sin0 0 не определено.
Данное выше определение может быть записано на (ε − δ) языке, если вспомнить определение предела
функции.
Определение 2. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если для ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0 такое,
что как только выполнится неравенство |x − x0 | < δ(ε), так сразу же выполнится |f (x) − f (x0 )| < ε.
— 10 —
Перейдем к определению непрерывности функции в точке с геометрической точки зрения. Пусть функция
f (x) определена в точке x0 , и некоторой её окрестности. Рассмотрим некоторую точку x из этой окрестости.
Разность x − x0 = ∆x называется приращением аргумента в точке x0 . Видим, что для любой точки
x = x0 + ∆x из окрестности точки x0 выполнено ∆x > 0 если x > x0 , и ∆x < 0 если x < x0 .
Соответствующие значения функций таковы: f (x0 ) и f (x0 + ∆x). Разность ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 )
называется приращением функции в точке x0 .
Если функция f (x) непрерывна в точке x0 , то lim ∆y = lim [f (x) − f (xo )] = lim f (x) − f (x0 ) =
x→x0
x→x0
x→x0
f (x0 ) − f (x0 ) = 0, то есть, если функция f (x) непрерывна в точке x0 , то бесконечно-малому приращению аргумента в точке x0 соответствует бесконечно-малое приращение функции f (x) в точке
x0 .
Можно показать, что справедливо и обратное утверждение: если бесконечно-малому приращению аргумента
в точке x0 соответствует бесконечно-малое приращение функции f (x) в точке x0 , то функция непрерывна в
точке x0 .
Действительно, если lim ∆y = 0, то это значит, что lim [f (x) − f (xo )] = 0, или lim f (x) = f (x0 ),
x→x0
x→x0
x→x0
что, по определению, означает непрерывность функции f (x) в точке x0 .
На основании прямого и обратного утверждения можно дать также
Определение 3. Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно-малому приращению аргумента в точке x0 соответствует бесконечно-малое приращение функции f (x) в точке x0 .
Теорема 1. Если функции f1 (x) и f2 (x) непрерывны в точке x0 , то непрерывны в этой точке и такие
функции: a) F (x) = f1 (x) ± f2 (x), b) F (x) = f1 (x) · f2 (x), c) F (x) = ff12 (x)
(x) , (f2 (x) 6= 0) .
Доказательство. Доказательство проведём, например, для случая b). Для остальных случаев доказательство аналогично. b) lim F (x) = lim f1 (x) · f2 (x) = lim f1 (x) · lim f2 (x) = f1 (x0 ) · f2 (x0 ) = F (x0 ), что и
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
требовалось.
Теорема 2. Если функция u = ψ(x) непрерывна в точке x0 , а функция y = f (u) непрерывна в
соответствующей точке u0 = ψ(x0 ), то сложная функция y = f (ψ(x)) непрерывна в точке x0 .
Доказательство. Зададим ∆x в точке x0 и пусть ∆x → 0, тогда, в силу непрерывности функции
u = ψ(x), ∆u → 0, а в силу непрерывности функции y = f (u) ∆y → 0. В итоге, lim ∆y = 0, что и
x→x0
требовалось доказать.
Для дальнейшего нам потребуется следующее определение.
Определение 4. Функция y = f (x) называется непрерывной на множестве X, если она непрерывна в
каждой точке этого множества.
Пример. Функция y = sin x непрерывна на всей числовой оси. Действительно, рассмотрим любую точку
0
0
x0 числовой оси. |∆y| = |sin x − sin x0 | = 2 sin x−x
cos x+x
< 2 sin ∆x
< ∆x. Очевидно, что если
2
2
2
∆x → 0 то и ∆y → 0.
Рассуждая аналогично, без труда можно доказать следующее утверждение.
Теорема 3. (Без доказательства). Все простейшие элементарные функции непрерывны в области своего
определения.
2.6. Следствия второго замечательного предела.
Воспользуемся теоремой 3 для вывода ещё трёх замечательных пределов, являющихся следствиями этой
теоремы и второго замечательного предела.
Введём переменную α = x1 . Ясно, что α → 0, когда x → ∞. Тогда второй замечательный предел, в
1
терминах переменной α, будет выглядеть так: lim (1 + α) α = e.
α→0
1
Следствие 1. Прологарифмируем полученное выше равенство по основанию "e". Получим: ln lim (1 + α) α =
α→0
ln e = 1. Поскольку, в силу теоремы 3, функция ln x - непрерывная функция, то операции взятия предела и ло1
1
гарифмирования перестановочны. Из этого следует, что ln lim (1 + α) α = lim ln (1 + α) α = lim ln(1+α)
= 1.
α
α→0
aα −1
.
α→0 α
Следствие 2. Рассмотрим lim
α=
ln(1+y)
ln a ,
aα −1
α→0 α
lim
Следствие 3.
y ln a
y→0 ln(1+y)
y→0
p
−1
Рассмотрим lim (1+α)
.
α
α→0
= lim
(1+α)p −1
α
α→0
y
что α = a p −1 . В итоге: lim
(1+α)p −1
α
α→0
lim
= p.
α→0
α→0
Сделаем замену: y = aα − 1, ясно, что при α → 0, и y → 0. Тогда:
α
ln a
= lim ln(1+y)
= ln a, то есть lim a α−1 = ln a.
α→0
y
Сделаем замену: (1 + α)p = ay . При α → 0, и y → 0. Видим,


= lim
y→0
ay −1
y
−1
ap
−1
= lim 
y→0
ay −1
y
y
−1
ap
−1
y
p
·p =
ln a
ln a
· p = p. Таким образом,
— 11 —
2.7. Сравнение бесконечно-малых функций.
Определение 1. Функция α(x) называется бесконечно-малой в точке x0 , если lim α(x) = 0.
x→x0
Определение 2. Бесконечно-малая функция β(x) в точке x0 называется бесконечно-малой более
β(x)
высокого порядка, чем бесконечно-малая функция α(x), если α(x)
- бесконечно-малая функция в точке
β(x)
x0 , и называется бесконечно-малой более низкого порядка, если α(x)
- бесконечно-большая функция в
точке x0 .
Определение 3. Бесконечно-малые функции α(x) и β(x) называются бесконечно-малыми функциями
β(x)
= A и, при этом, A 6= 0; A 6= ∞.
одного порядка, если lim α(x)
x→x0
Если A = 1, то бесконечно-малые функции α(x) и β(x) называются эквивалентными и пишут β(x) ∼ α(x)
в точке x0 .
β(x)
Определение 4. Если lim [α(x)]
(k - вещественное число), то β(x) называется
k = A( 6= 0, 6= ∞),
x→x0
бесконечно-малой функцией k-го порядка, по сравнению с α(x).
Пример. β(x) = 1 − cos x. В точке x = 0 эта функция является бесконечно-малой функцией второго
1−cos x
x2
x→0
порядка по сравнению с x. Действительно, lim
β(x)
k
x→x0 [α(x)]
Определение 5. Пусть lim
2 sin2
x2
x→0
= lim
x
2
= 12 ( 6= 0, 6= ∞)
k
k
= A( 6= 0, 6= ∞), то есть β(x) ∼ A [α(x)] . Выражение A [α(x)]
k
называется главной частью бесконечно малой функции β(x). Пишется так: [β(x) = A [α(x)] + 0(k).
Пример. Выделить главную часть бесконечно-малой функции в точке x = 0 у β(x) = sin3 x по x. Так как
3
lim sinx3x = 1, то sin3 x = x3 + 0(3).
x→0
ЛЕКЦИЯ 7.
2.8. Классификация точек разрыва.
Вспоминая определение непрерывности функции в точке, мы отмечали, что если функция непрерывна в точке
x0 , то (1◦ ) эта функция определена в окрестности точки x0 и в самой точке x0 , (2◦ ) существует lim f (x), и
x→x0
(3◦ ) lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Определение 1. Если функция y = f (x) определена в окрестности точки x0 , а в самой точке x0
нарушается хотя бы одно из трёх условий, указанных выше, то точка x0 называется точкой разрыва функции
y = f (x) , а сама функция - разрывной функцией.
Определение 2. Левосторонним (правосторонним) пределом функции y = f (x)! в точке x0 называется следующий предел функции f (x) : x→x
lim f (x) = f (x − 0),
0
x<x0
lim f (x) = f (x + 0) .
x→x0
x>x0
Определение 3. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонний и правосторонний пределы, но эти пределы или не равны друг другу, или, в случае их
равенства, не равны значению функции в точке x0 .
Очевидно, что в точке разрыва первого рода возможны следующие четыре ситуации.
1. Левосторонний и правосторонний пределы не равны друг другу,но значение функции в точке x0 существует и равно одному из этих пределов: f (x0 − 0) 6= f (x0 + 0) = f (x0 ), или f (x0 ) = f (x0 − 0) 6= f (x0 + 0).
2. Левосторонний и правосторонний пределы не равны друг другу, но значение функции в точке x0 не
определено.
3. Левосторонний и правосторонний пределы равны друг другу, значение функции в точке x0 определено,
но не равно ни одному из этих пределов: f (x0 − 0) = f (x0 + 0) 6= f (x0 ).
4. Левосторонний и правосторонний пределы равны друг другу, значение функции в точке x0 не определено.
Последний (четвёртый) случай носит название устранимой точки разрыва, так как достаточно определить
f (x0 ) как значение f (x0 − 0) = f (x0 + 0), и функция будет непрерывной в точке x0 .
Пример 1. Функция y = arctg x1 в точке x = 0 имеет разрыв первого рода, поскольку эта функция не
определена в точке x = 0, (уже нарушено первое условие), а левосторонний предел в этой точке не совпадает с
правосторонним пределом: lim arctg x1 = − π2 , lim arctg x1 = + π2 .
x
|x| .
x→0
x<0
x→0
x>0
Значение этой функции в точке x = 0 не определено, левосторонний предел в этой
Пример 2. f (x) =
x
x
x
точке не совпадает с правосторонним пределом: lim |x|
= lim −x
= −1,
lim |x|
= lim xx = 1.
x→0
x<0
sin x
x
x→0
x<0
x→0
x>0
x→0
x<0
Пример 3. Функция f (x) =
не определена в точке x = 0. Эта точка для функции f (x) = sinx x
является устранимой точкой разрыва, так как достаточно положить f (−0) = f (+0) = 1, и функция станет в
точке x = 0 непрерывной.
— 12 —
Определение 4. Точки разрыва, не попадающие под определение точек разрыва первого рода, называются
точками разрыва второго рода.
x
Пример 4. f (x) = 1−x
. Прямая x = 1 является вертикальной асимптотой этой функции, а точка x = 1
- точкой разрыва второго рода. f (1 − 0) = +∞, f (1 + 0) = −∞.
2.9. Свойства непрерывных на сегменте функций.
Пусть X = [a, b] и функция y = f (x) непрерывна на множестве X. Какими свойствами она обладает? На
этот вопрос отвечают следующие 5 теорем.
Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна в точке x0 , и в этой точке f (x0 ) > 0 (f (x0 ) < 0), то
найдётся такая окрестность точки x0 , что в ней f (x) > 0 (f (x) < 0.)
Доказательство. Зададимся ε > 0 таким, чтобы f (x0 ) − ε > 0. Так как функция f (x) непрерывна в
точке x0 , то найдется такое δ > 0 , что как только выполнится неравенство |x − x0 | < δ, так сразу выполнится
неравенство |f (x) − f (x0 )| < ε, или f (x0 ) − ε < f (x) < f (x0 ) + ε. Но, так как f (x0 ) − ε > 0, то и f (x) > 0.
Аналогично доказывается альтернативный случай.
Теорема 2. Пусть f (x) - функция, непрерывная на сегменте [a, b], причем f (a) и f (b) имеют разные
знаки. Тогда всегда существует такая внутренняя точка ξ, что f (ξ) = 0.
Доказательство. Для определенности положим, что f (a) < 0 и f (b) > 0. Рассмотрим множество X1 ,
для которого f (x) < 0. Оно ограничено сверху (например, точкой x = b ). Следовательно, оно имеет точную
верхнюю грань Обозначим sup X1 = ξ. Точка ξ обязательно внутренняя, поскольку существует точка x = b,
где f (x) > 0. Покажем, что f (ξ) = 0. Предположим противное: например, что f (ξ) < 0 или f (ξ) > 0.
Тогда, согласно предыдущей теореме, найдется δ - окрестность точки ξ, что для всех x ∈ (ξ −δ, ξ +δ), функция
f (x) сохранит знак f (ξ). Но это невозможно, поскольку это противоречит определению точной верхней грани:
для x ∈ (ξ − δ, ξ) f (x) < 0, а для x ∈ (ξ, ξ + δ) f (x) > 0.
Теорема 3. Пусть f (x) - функция, непрерывная на сегменте [a, b], причем f (a) 6= f (b). Тогда, каково бы
ни было число C, заключенное между f (a) и f (b) , (то есть, f (a) < C < f (b) ), всегда найдется такая точка
ξ, что f (ξ) = C.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию ϕ(x) = f (x) − C. Эта функция непрерывна на
сегменте [a, b], как разность непрерывных функций, причем ϕ(a) = f (a) − C < 0, а ϕ(b) = f (b) − C > 0.
По теореме 2 найдется точка ξ ∈ [a, b] такая, что ϕ(ξ) = 0. Это значит, что f (ξ) − C = 0, или, в итоге,
f (ξ) = C, что и требовалось доказать.
Теорема 4. Если функция f (x) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена сверху и снизу.
Доказательство. Докажем, что она ограничена сверху. (Ограниченность снизу доказывается аналогично).
Предположим противное: функция f (x) не является ограниченной на сегменте [a, b]. В таком случае имеется
сходящаяся к точке ξ ∈ [a, b] последовательность {xn } ∈ [a, b], такая, что последовательность значений
функции f {xn } является неограниченной последовательностью. Однако, в силу непрерывности функции f (x),
при xn → ξ, f (xn ) → f (ξ).
Пришли к противоречию, которое доказывает теорему.
Таким образом, на основании только что доказанной теоремы имеем: для всякой непрерывной на сегменте
[a, b] функции f (x) имеет место соотношение P ≤ f (x) ≤ Q, где P и Q - некоторые вещественные числа.
Замечание. Для интервала такая теорема уже не справедлива. Рассмотрим, например, функцию f (x) = x1 ,
заданную на интервале (0, 1). Хорошо видно, что при x → 0, f (x) → ∞.
Обратимся к непрерывной на сегменте [a, b] функции f (x). По теореме 4 множество значений, принимаемых этой функцией, ограничено сверху и снизу. Но тогда это множество имеет точную верхнюю и точную
нижнюю грани. (Обозначим их L и l). Вопрос: являются ли эти грани достижимыми, то есть, найдутся ли
такие точки ξ и η из [a, b] , что f (ξ) = L, и f (η) = l ?
x 0 < x < 1,
Пример. Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим поучительный пример: f (x) = 1
2 x = 0, x = 1.
Видим, что sup{f (x)} = 1, inf{f (x)} = 0, но ни в одной точке сегмента [0, 1] функция не принимает таких
значений.
Теорема 5. Если Если функция f (x) непрерывна на сегменте [a, b], то она достигает своей точной верхней
и точной нижней граней.
Доказательство. Предположим противное: точная верхняя грань не достижима: f (x) < L для всех x ∈
[a, b]. Рассмотрим тогда вспомогательную функцию ϕ(x) = L−f1 (x) , непрерывную на сегменте [a, b]. По
1
теореме 4, вспомогательная функция ϕ(x), ограничена сверху: ϕ(x) < Q, то есть L − f (x) > Q
, или
1
f (x) < L − Q для всех x ∈ [a, b]. Но это означает, что L - не есть точная верхняя грань sup{f (x)}.
Действительно, из определения точной верхней грани следует, что L - это самая меньшая из всех верхних
граней, и меньше чем L её сделать уже нельзя, тогда как полученное неравенство показывает, что верхнюю
1
грань можно опустить ещё на величину Q
.
Противоречие доказывает теорему.
— 13 —
2.10. Понятие равномерной непрерывности функции.
Запишем определение функции f (x) , заданной на множестве X и непрерывной в точке x0 ∈ X :
для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что при и всех x ∈ X : и |x − x0 | < δ(ε) имеем
|f (x) − f (x0 )| < ε.
Вообще говоря, при фиксированных ε > 0 у каждой точки x0 будет своё значение δ(ε), то есть величина
δ(ε) зависит от x0 и это символически можно записать так: δ = δ(ε, x0 ).
Если же оказалось, что для любого ε > 0 и всякой точки x0 ∈ X : величина δ зависит только от ε
и не зависит от x0 , то функция f (x) называется равномерно-непрерывной на множестве X. Запишем это
определение более четко в эквивалентной форме.
Определение. Функция f (x) называется равномерно-непрерывной на множестве X, если для любого
заданного ε > 0 найдется такое δ(ε) > 0 что при произвольных x0 и x00 из X, удовлетворяющих
неравенству |x0 − x00 | < δ(ε), будет выполнено неравенство |f (x0 ) − f (x00 )| < ε.
Теорема 6. (Теорема Кантора) Всякая непрерывная на сегменте [a, b] функция равномерно-непрерывна
на этом сегменте.
Доказательство: (От противного). Пусть функция f (x) непрерывна, но не является непрерывной на сегменте [a, b] Тогда ∃ ε >
1
. каждому n тогда
0 : ∀ δ > 0 : ∃ α, β ∈ [α, β] : |α − β| < δ → |f (α) − f (β)| ≥ ε. Рассмотрим последовательность δ = δn = n
1
соответствует пара точек αn , βn такая, что |αn − βn | < n
, |f (αn ) − f (βn )| ≥ ε.
Последовательности {αn } и {βn } являются ограниченными. По теореме Больцано-Вейерштрасса из αn можно выделить сходящуюся подпоследовательность {αnk }, то есть αnk → x0 ∈ [a, b] при k → ∞. Далее, |αnk − βnk | < n1 , следовательно
k
γnk = αnk − βnk - есть бесконечно малая последовательность и βnk → x0 при k → ∞. Но тогда yk = f (αnk ) → f (x0 ), zk =
f (βnk ) → f (x0 ) при k → ∞, то есть |yk − zk | → 0. Но это противоречит тому, что |yk − zk | ≥ ε, так как переходя в этом равенстве
к пределу при k → ∞, получим 0 ≥ ε, что неверно.
Противоречие доказывает теорему.
Глава 3
Дифференциальное исчисление функции
одного переменного.
ЛЕКЦИЯ 8.
3.1. Понятие производной функции и таблица производных.
Пусть f (x) определена на множестве X, которое представляет собой либо сегмент, либо интервал, либо
полусегмент, луч, или всю вещественную прямую.
Рассмотрим точку x0 ∈ X; приращение аргумента в точке x0 : ∆x = x − x0 и, соответствующее ему,
приращение функции ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) .
Определение 1. Говорят, что функция f (x) имеет производную в точке x0 по аргументу x, если существует предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента в этой же точке, когда
∆x → 0 произвольным образом.
dy
∆y
= f 0 (x0 ) = y 0 (x0 ) = dx
= fx0 (x0 ) = yx0 (x0 ).
Обозначения: lim ∆x
∆x→0
Определение 2. Функцию, имеющую производную в точке x0 называют дифференцируемой в точке x0 .
Определение 3. Функцию, имеющую производную в каждой точке множества X, называют дифференцируемой на множестве X.
Таблица производных.
1◦ . y = C − const ,
∆y
∆y = C − C = 0, yx0 = lim ∆x
= 0. C0x = 0.
∆x→0
2◦ . y = xn ,
∆y = (x + ∆x)n − xn = xn + nxn−1 ∆x + n(n−1)
xn−2 (∆x)2 + ... + (∆x)n − xn =
2!
n(n−1)
∆y
= nxn−1 ∆x + 2! xn−2 (∆x)2 + ... + (∆x)n , ∆x = nxn−1 + n(n−1)
xn−2 (∆x) + ... + (∆x)n−1 ,
2!
∆y
n−1
n 0
n−1
0
. Таким образом, (x ) = nx
.
yx = lim ∆x = nx
∆x→0
3◦ . y = sin x.
2x+∆x
∆y = sin(x + ∆x) − sin x = 2 sin ∆x
.
2 cos
2
∆y
∆x
=2·
sin ∆x
2
∆x
∆y
∆x→0 ∆x
yx0 = lim
· cos 2x+∆x
=
2
= lim
∆x
2 →0
∆x
2
∆x
2
sin
∆x
2
∆x
2
sin
· cos x + ∆x
.
2
· cos x + ∆x
= cos x. Таким образом, (sin x)0 = cos x.
2
4◦ . y = cos x.
∆y = cos(x + ∆x) − cos x = −2 sin 2x+∆x
sin ∆x
2
2 .
∆x
∆y
∆x sin 2
.
∆x
∆x = − sin x + 2
2
∆x
sin
∆y
yx0 = lim ∆x
= lim ∆x2 · − sin x + ∆x
= − sin x.
2
∆x→0
∆x→0
2
5◦ . y = ln x.
∆y = ln(x + ∆x) − ln x = ln x+∆x
= ln 1 + ∆x
.
x
x
ln(1+ ∆x
ln(1+ ∆x
∆y
∆y
x )
x )
0
. yx = lim ∆x = lim
·
∆x
∆x =
∆x
∆x→0
∆x→0
x
1
x
= x1 . Таким образом, (ln x)0 = x1 .
6◦ . y = ax .
∆x
∆y
ax+∆x −ax
∆y = ax+∆x − ax .
= ax · a ∆x−1 .
∆x =
∆x
∆x
∆x
∆y
yx0 = lim ∆x
= lim ax · a ∆x−1 = ax · lim a ∆x−1 = ax ln a. Таким образом, (ax )0 = ax ln a.
∆x→0
∆x→0
∆x→0
14
— 15 —
3.2. Правила дифференцирования. Продолжение таблицы производных.
Теорема 1. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0 , то функция u(x) ± v(x) также
дифференцируема в точке x0 , причем y0 = u0 (x) ± v0 (x).
∆y
∆y
∆v
∆u
∆v
0
Доказательство. Действительно, ∆y = ∆u±∆v; ∆x
= ∆u
∆x ± ∆x ; y = lim ∆x = lim ∆x ± lim ∆x =
∆x→0
∆x→0
∆x→0
u0 (x) ± v 0 (x), что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0 , то функция u(x) · v(x) также
дифференцируема в точке x0 , причем (u · v)0 = u0 · v + u · v0 .
Доказательство. Действительно, ∆y = (u + ∆u)(v + ∆v) − u · v = u · v + u · ∆v + v · ∆u + ∆u · ∆v − u · v =
∆y
∆u
∆v
∆u ∆v
u · ∆v + v · ∆u + ∆u · ∆v.
∆x = ∆x · v + u · ∆x + ∆x · ∆x · ∆x.
∆y
∆u
∆v
∆u
∆v
0
y = lim ∆x = lim ∆x · v + u · lim ∆x + lim ∆x · lim ∆x
· lim ∆x = u0 · v + u · v 0 , что и требовалось.
∆x→0
∆x→0
∆x→0
∆x→0
∆x→0
∆x→0
Теорема 3. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x0 , то функция
0
0
0
.
цируема в точке x0 , причем uv = u ·v−u·v
v2
u+∆u
u
v+∆v − v
∆u
∆v
lim ∆x ·v−u· lim ∆x
Доказательство. ∆y =
lim ∆y
∆x→0 ∆x
◦
=
∆x→0
∆x→0
∆v
· lim ∆x
∆x→0 ∆x ∆x→0
v 2 +v· lim
=
=
u·v+∆u·v−u·v−u·∆v
(v+∆v)·v
u0 ·v−u·v 0
,
v2
=
∆u·v−u·∆v
v 2 +∆v·v .
∆y
∆x
=
u(x)
v(x)
также дифферен-
∆u
∆v
∆x ·v−u· ∆x
.
∆v
v 2 +v· ∆x
·∆x
что и требовалось доказать.
7 . y = tg x.
2
0
0
(sin x)0 cos x−sin x(cos x)0
x+sin2 x
sin x 0
yx0 = (tg x)x = cos
= cos cos
= cos12 x . Таким образом, (tgx)x = cos12 x .
2x
x x =
cos2 x
0
8◦ . Аналогично доказывается, что (ctgx)x = − sin12 x .
9◦ . y = sh x.
0
x
−x
Напомним, что по определению, sh x = e −e
. Предварительно найдем производную (e−x )0x = e1x x =
2
(1)0x ·ex −1·(ex )0x
(ex )2
x
= − (eex )2 = − e1x = −e−x .
x −x 0
= 21 [(ex )0x − (e−x )0x ] =
Далее: (sh x)0x = e −e
2
x
1
2
def
0
(ex + e−x ) = ch x. Таким образом, (sh x)x = ch x.
0
10◦ . Аналогично доказывается, что (ch x)x = sh x.
11◦ . y = th x.
def sh x
(sh x)0x ·ch x−sh x·(ch x)0x
0
th x = ch
=
x . Поэтому (th x)x =
ch2 x
12◦ . y = cth x.
Аналогично доказывается, что (cth x)0x = sh12 x .
ch2 x−sh2 x
ch2 x
=
1
.
ch2 x
Таким образом, (th x)0x =
1
.
ch2 x
3.3. Производная обратной функции. Продолжение таблицы производных.
Производная обратной функции может быть вычислена, если известна производной прямой функции. Об
этом говорит следующая теорема.
Теорема о производной обратной функции. Пусть непрерывная функция f (x) в некоторой точке x0
(а) монотонно возрастает (монотонно убывает) и (б) дифференцируема в точке x0 , причем fx0 (x0 ) 6= 0.
Тогда обратная функция x = f −1 (y) (а) определена в некоторой окрестности точки y0 = f (x0 ) и (б)
1
.
дифференцируема в этой точке, причем x0y (y0 ) = f 0 (x
0)
x
Доказательство. В первой части теоремы сформулированы условия, при которых существует непрерывная
обратная функция x = f −1 (y) в точке y0 и в некоторой её окрестности.
Придадим аргументу y этой функции приращение ∆y 6= 0. Поскольку функция монотонно возрастает
1
(монотонно убывает) ему отвечает ∆x 6= 0. Следовательно, можно писать ∆x
∆y = ∆y . При ∆y → 0, в силу
непрерывности обратной функции f −1 (y), ∆x → 0. Тогда lim
∆x
∆y→0 ∆y
13◦ . y = arcsin x.
p
√
x = sin y, x0y = cos y = 1 − sin2 y = 1 − x2 ,
(arcsin x)0x
yx0 =
1
x0y
=
=
1
lim
∆y
∆x→0 ∆x
√ 1
.
1−x2
∆x
.
x0y =
1
0 .
yx
Таким образом, окончательно:
√ 1
.
1−x2
=
Аналогично доказываются следующие формулы для производных обратных функций:
1
14◦ . (arccos x)0x = − √1−x
.
2
1
◦
0
15 . (arctg x)x = 1+x2 .
1
16◦ . (arcctg x)0x = − 1+x
2.
3.4. Производная сложной функции. Продолжение таблицы производных.
Теорема о производной сложной функции. Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке x0 ,
а функция y = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u0 = u(x0 ). Тогда сложная функция y =
— 16 —
f (u(x)) дифференцируема в точке x0 , а производная сложной этой функции находится по формуле: yx0 =
fu0 · u0x .
Доказательство. Придадим аргументу x в точке x0 приращение ∆x. Тогда ∆u = u(x0 + ∆x) − u(x0 ).
Соответственно, функция y = f (u) получит приращение ∆y = f (u0 + ∆u) − f (u0 ) = ∆f. Можем расписать
∆y
∆y
∆f
∆u
тождество: ∆x
≡ ∆u
· ∆u
∆x = ∆u · ∆x . Пререходя к пределу при ∆x → 0, получим требуемый результат:
0
0
0
yx = fu · ux .
17◦ . y = xµ , µ - любое действительное число.
0
(xµ )0x = eµ ln x x = eµ ln x · (µ ln x)0x = xµ · µ · x1 = µ · xµ−1 . Таким образом, (xµ )0x = µ · xµ−1 .
ЛЕКЦИЯ 9..
3.5. Дифференцирование неявных функций и функций, заданных параметрически.
Определение. Говорят, что функция y(x) задана неявно, если соотношение, связывающее функцию y и
аргумент x не разрешено относительно y.
Примеры задания неявных функций: 1. y 2 +xy+1 = 0, 2. exy −sin(x2 +y 2 ) = 3. Обобщая: F (x, y) = 0.
Как отыскивать производную в таких случаях? Ответ таков: левую часть неявной функции F (x, y) = 0
дифференцируем, считая, что y - функция от x то есть y = y(x), и применяя формулу дифференцирования
сложной функции. Например, для первой приведённой выше функции: (y 2 + xy + 1)0x = 2yyx0 + y + xyx0 = 0,
y
.
откуда мы и найдем yx0 как функцию y и x : yx0 = − 2y+x
Правило, применяемое выше, используется и при логарифмическом дифференцировании.
Пусть y = u(x)v(x) , где u(x) и v(x) - дифференцируемые функции. Видим, что ln y = v(x) · ln u(x).
u0
y0
Дифференцируя последнее соотношение, получим yx = vx0 · ln u + v · ux , откуда получаем окончательную
u0
формулу: yx0 = uv vx0 · ln u + v · ux .
Пример. y = xsin x . yx0 = xsin x (cos x · ln x + sin x · x1 ).
Из аналитической геометрии известно, что выражение F (x, y) = 0 представляет собой уравнение линии, а
знание производной yx0 в какой-либо точке этой кривой даёт возможность записать уравнение касательной к
данной кривой в данной точке (об этом будет сказано ниже). Однако, часто уравнение линии задают в параметрической форме: ~r = ~r(t), или ~r = x(t) · ~i + y(t) · ~j. Задание функций
x(t) и y(t) позволяет полностью
x(t) = R cos t
судить о виде кривой на плоскости (x o y). Например, функции
при 0 ≤ t ≤ 2π задают
y(t) = R sin t
x = x(t)
окружность радиуса R. Таким образом, кривая на плоскости (x o y) может быть задана в виде
.
y = y(t)
Для того, чтобы решить задачу о касательной, нужно знать значение yx0 в точке кривой. Как найти yx0 , если
кривая задана параметрически?
Теорема. Если непрерывные функции x(t) и y(t) дифференцируемы в точке t0 , то функция y = y(x)
дифференцируема в соответствующей точке x = x(t0 ), и выполняется формула yx0 = ẋẏ , где ẏ и ẋ означают
производные по t от функций y(t) и x(t) в точке t0 .
Доказательство. Действительно, придадим аргументу t в точке t0 приращение ∆t 6= 0. тогда и функции
x(t) и y(t) получат приращения ∆x .
и ∆y. Поскольку x(t) - дифференцируемая функция, то при ∆x → 0,
∆y
∆x
= ∆y
и ∆t → 0 Можем писать: ∆x
∆t
∆t . Переходя в этом соотношении к пределу при ∆t → 0, получим
.
ẏ
lim ∆y = lim ∆y
lim ∆x
∆t ∆t→0
∆t = ẋ - требуемый результат.
∆x→0 ∆x
∆t→0
x = a(t − sin t)
a sin t
Пример.
. yx0 =?
yx0 = ẋẏ = a(1−cos
t) .
y = a(1 − cos t)
Часто кривые изучаются по их уравнениям, заданным в полярной системе координат r = r(ϕ). Например:
r = kϕ - спираль Архимеда, или r = a(1 + cos ϕ), (a − const) - кардиоида.
Как в этом случае найти yx0 ? Для
x = r cos ϕ
этого воспользуемся переходом от полярных координат к декартовым:
и вспомним, что r = r(ϕ).
y = r sin ϕ
x = r(ϕ) cos ϕ
Получим:
- представление функции в параметрическом виде, где роль параметра t играет
y = r(ϕ) sin ϕ
полярный угол ϕ. Поэтому yx0 =
0
rϕ
sin ϕ+r cos ϕ
0 cos ϕ−r sin ϕ .
rϕ
3.6. Производные высших порядков и формула Лейбница.
Если y = f (x) - функция на множестве X, то fx0 (x) - так же функция, определенная уже на множестве
X1 , (которое может и совпадать с исходным множеством X). Может случиться так, что fx0 (x) на X1 является
дифференцируемой. Тогда, дифференцируя эту функцию ещё раз, получим вторую производную: (fx0 (x))0x =
— 17 —
00
fxx
(x). Таким образом, вторая производная - это производная от первой производной. Аналогично строится
0
третья производная, и так далее. Вообще, f (n) (x) = f (n−1) (x) x .
(n)
Примеры. 1. y = ex . (ex ) = ex . 2. y = ax . (ax )0x = ax ln a. (ax )(n) = ax (ln a)n . 3. y = sin x, yx0 =
00
cos x = sin(x + 1 · π2 ), yxx
= cos(x + 1 · π2 ) = sin(x + 2 · π2 ), ... , y (n) = sin(x + n · π2 ).
Как быть, если функция задана неявно? Рассмотрим, например функцию x2 + y 2 = a2 . Дифференцируем
первый раз, считая, что считая, что y - функция от x то есть y = y(x) : yx0 = − xy . Дифференцируем второй
раз и, для получения окончательного результата, воспользуемся полученной первой производной и исходной
2
2
2
y+x x
y−xy 0
00
= − ay3 .
функцией: yxx
= − y2 x = − y2 y = − y y+x
3
00
Как быть, если функция задана в параметрической форме? Ответ: yx0 = ẋẏ , yxx
= (yx0 )0x = (yx0 )0t · t0x =
0
ẏ
ẏ·ẍ 1
ẏ
· x10 = ÿ·ẋ−
· ẋ = ẋ·ÿ−ẍ·
, и так далее...
ẋ
ẋ2
ẋ3
t
t
Очень часто приходится иметь дело с производными высших порядков от функции y = y(x), представимой
в виде y(x) = u(x) · v(x).
Теорема (Лейбниц). Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы n раз, то функция y(x) = u(x) · v(x)
также дифференцируема n раз и справедлива формула:
(u · v)(n) = u(n) · v + Cn1 · u(n−1) · v 0 + Cn2 · u(n−2) · v 00 + ... + Cnm · u(n−m) · v (m) + ... + Cnn−1 · u0 · v (n−1) + u · v (n) .
Доказательство. Доказательство формулы Лейбница проведем методом математической индукции.
(u·v)0 = u0 ·v +u·v 0 - формула справедлива при n = 1. Пусть она справедлива при n = k, то есть справедлива
формула:
(u · v)(k) = u(k) · v + Ck1 · u(k−1) · v 0 + Ck2 · u(k−2) · v 00 + ... + Ckm−1 · u(k−(m−1)) · v (m−1) + Ckm · u(k−m) · v (m) + ...
+Ckk−1 · u0 · v (k−1) + Ckk · u · v (k) .
Продифференцируем это выражение:
h
i0
(u·v)(k+1) = (u · v)(k) = u(k+1) ·v +u(k) ·v 0 +Ck1 ·u(k) ·v 0 +Ck1 ·u(k−1) ·v 00 +Ck2 ·u(k−1) ·v 00 +Ck2 ·u(k−2) ·v 000 +...
x
+Ckm−1 · u(k−(m−1)+1) · v (m−1) + Ckm−1 · u(k−(m−1)) · v (m) + Ckm · u(k−(m−1)) · v (m) + Ckm · u(k−m) · v (m+1) + ...
+Ckk−1 · u00 · v (k−1) + Ckk−1 · u0 · v (k) + Ckk · u0 · v (k) + Ckk · u · v (k+1) =
= u(k+1) ·v+(1+Ck1 )·u(k) ·v 0 +(Ck1 +Ck2 )·u(k−1) ·v 00 +(Ck2 +Ck3 )·u(k−2) ·v 000 +...+(Ckm−1 +Ckm )·u(k−(m−1)) ·v (m) +...
+(Ckk−1 + Ckk ) · u0 · v (k) + Ckk · u · v (k+1) .
m
Учтем теперь, что Cnn = Cn0 = 1 и что (Ckm−1 + Ckm ) = Ck+1
. Получим:
1
2
3
m
(u · v)(k+1) = u(k+1) · v + Ck+1
· u(k) · v 0 + Ck+1
· u(k−1) · v 00 + Ck+1
· u(k−2) · v 000 + ... + Ck+1
· u(k−(m−1)) · v (m) + ...
k
+Ck+1
· u0 · v (k) + u · v (k+1) .
Видим, что доказываемая формула справедлива при начальном значении номера, то есть при n = 1, и остается справедливой при каждом последующем увеличении номера. Следовательно, эта формула верна при любом
значении n.
Теорема доказана.
ЛЕКЦИЯ 10.
3.7. Физический смысл производных.
Прежде всего разберём движение материальной точки по прямолинейному пути, описываемое законом S =
S(t). Вычислим среднюю скорость движущейся точки за промежуток времени t ÷ t + ∆t : Vcp = S(t+∆t)−S(t)
.
∆t
Однако, для характеристики неравномерного движения средняя скорость Vcp не годится, нужно понятие мгновенной скорости (или просто - скорости) материальной точки в момент времени t : V = lim S(t+∆t)−S(t)
=
∆t
∆t→0
= lim Vcp = St0 (t). И так, первая производная от S = S(t) - мгновенная скорость материальной точки в
∆t→0
S 0 (t+∆t)−S 0 (t)
(t)
t
момент времени t. Можно ввести понятие среднего ускорения acp = V (t+∆t)−V
= t
. Уско∆t
∆t
00
рение в момент времени t определяется как lim acp , то есть a = Stt (t). И так, ускорение, которое имеет
∆t→0
материальная точка в момент времени t - есть вторая призводная от S = S(t).
— 18 —
В более общем случае, материальная точка под воздействием тех или иных сил движется в пространстве по
некоторой кривой, каждую точку которой можно охарактеризовать, зная радиус-вектор материальной точки в
˙
˙
def
˙
¨
~ = lim ~r(t+∆t)−~r(t) def
= ~r(t),
любой момент времени: ~r = ~r(t). В таком случае V
~a = lim ~r(t+∆t)−~r(t) = ~r(t).
∆t→0
∆t
∆t→0
∆t
Кроме механики, и в других разделах физики производные функций имеют вполне конкретный физический
смысл. Так, например, если Q = Q(t) - определяет количество электричества, протекающего за время t через
поперечное сечение проводника (момент t = 0 берется за начало отсчета), тогда Q0t (t) означает силу тока,
проходящего через это поперечное сечение в момент времени t. Таких примеров множество (см., например, курс
общей и теоретической физики).
3.8. Геометрический смысл производной.
Определение. Касательной к кривой на плоскости в данной точке называют предельное положение секущей, когда вторая точка кривой неограниченно сближается с данной точкой, в пределе сливаясь с ней.
Сейчас мы поставим задачу записать уравнение касательной к заданной кривой в заданной точке, вспомнив,
предварительно, что уравнение любой прямой, проходящей через точку (x0 , y0 ), кроме прямой, перпендикулярной к оси x, описывается следующим уравнением: y − y0 = k(x − x0 ), где k = tgϕ, ϕ - угол наклона
прямой к оси x, а x и y - текущие координаты точки прямой.
∆y
= tgβ,
Пусть y = f (x) - некоторая кривая, (x0 , y0 ) - точка на ней (то есть y0 = f (x0 ) ). Видим, что ∆x
∆y
где β - угол наклона секущей. Очевидно, что когда M2 → M1 , ∆x → 0. lim ∆x = tgϕ = fx0 (x0 ). В таком
∆x→0
случае уравнение касательной имеет вид: y − y0 = fx0 (x0
) · (x − x0 ).
x = x(t)
Если кривая задана параметрическими уравнениями
, а точка на кривой, к которой надо провести
y = y(t)
касательную, определяется значением параметра, равным t0 , то уравнение касательной следующее: y − y0 =
ẏ(t0 )
ẋ(t0 ) · (x − x0 ), где y0 = y(t0 ), x0 = x(t0 ).
Определение. Нормалью к кривой в точке (x0 , y0 ) называется прямая,перпендикулярная к касательной,
проведенной к кривой в точке (x0 , y0 ).
Как написать уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии известно, что если две прямые перпендикулярны между собой, то их угловые коэффициенты связаны соотношением k2 = − k11 . Следовательно,
1
1
knorm = − f 0 (x
, поэтому y − y0 = − f 0 (x
· (x − x0 ) - уравнение нормали.
0)
0)
x
x
3.9. Дифференциал функции.
∆y
∆x→0 ∆x
Пусть задана дифференцируемая в точке x0 функция y = f (x), то есть существует призводная lim
fx0 (x0 ).
=
Вспоминая теорему о связи переменной, её пределе и бесконечно-малой величиной, то есть у ранее до∆y
казанной нами формуле xn = a + αn , мы можем записать ∆x
= fx0 (x0 ) + α(∆x), где α - бесконечно малая
функция, зависящая от ∆x и α → 0 при ∆x → 0. Тогда ∆y = fx0 (x0 ) · ∆x + α(∆x) · ∆x.
Таким образом, если функция дифференцируема в точке x0 , то её приращение всегда может быть представлено в виде ∆y = A · ∆x + α(∆x) · ∆x, где A = fx0 (x0 ) = const, а α - бесконечно малая функция, зависящая
от ∆x причем α → 0 когда ∆x → 0.
Обратно, пусть функция y = f (x) такова, что приращение ∆y в точке x0 представимо в виде ∆y =
A · ∆x + α(∆x) · ∆x, где A = const, а α → 0 при ∆x → 0. Покажем, что функция y = f (x)
∆y
∆y
дифференцируема в точке x0 . Действительно, ∆x
= A + α,
lim ∆x
= A, то есть функция y = f (x)
∆x→0
обладает первой производной в точке x0 , равной постоянной величине A. Следовательно, можно дать и такое
определение дифференцируемости функции y = f (x) в точке x0 .
Определение. Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x0 , если приращение ∆y
в точке x0 , соответствующее приращению ∆x, может быть представлено в виде ∆y = A · ∆x + α · ∆x, где
A = const, не зависящая от ∆x, а α - бесконечно малая функция, аргумента ∆x причем α → 0 когда
∆x → 0.
Опять обратимся к выражению ∆y = fx0 (x0 ) · ∆x + α(∆x) · ∆x. Из него видно, что если fx0 (x0 ) 6= 0, то
lim f 0 (x∆y
= 1, то есть выражение fx0 (x0 )∆x представляет собой главную часть приращения функции
0 )∆x
∆x→0
x
∆y в точке x0 .
Определение. Главную часть приращения функции ∆y , линейную по приращению аргумента ∆x, называют дифференциалом функции в точке x0 и обозначают символом dy. Таким образом, dy = fx0 (x0 )∆x.
Для удобства приращение независимой переменной ∆x обозначают dx, так что dy = fx0 (x0 )dx. Отсюда же
dy
.
и новоеобозначение первой производной функции: yx0 = dx
Какова геометрическая интерпретация дифференциала функции? Поскольку производная функции в точке
x0 - есть тангенс угла наклона касательной к кривой в точке x0 : fx0 (x0 ) = tg α, то dy = fx0 (x0 )∆x = tg α·∆x.
— 19 —
Таким образом, дифференциал функции в точке x0 - есть приращение ординаты касательной, проведенной к
кривой точке (x0 , y0 = f (x0 )) .
3.10. Правила вычисления дифференциалов функций.
Пусть u = u(x) и v = v(x) - дифференцируемые функции. Тогда:
d(u ± v) = (u ± v)0x dx = u0x dx ± vx0 dx = du ± dv.
d(u · v) = (u · v)0x dx = u0x dx · v + u · vx0 dx = du · v + u · dv.
0
u0 dx·v−u·v 0 dx
.
d uv = uv x dx = x v2 x = du·v−u·dv
v2
Теорема. Пусть функции y = f (u) и u = u(x) дифференцируемы в точках u0 = u(x0 ) и x0 . Тогда
дифференциал от сложной функции y = f (u(x)) равен dy = fu0 · du. Иначе говоря, независимо от того, стоит
ли под знаком функции зависимая или независимая переменная, первый дифференциал сохраняет свою форму.
Доказательство. Для доказательства утверждения применим правило дифференцирования сложной функции, получим: dy = yx0 dx = fu0 · u0x dx = fu0 · du.
3.11. Дифференциалы высших порядков.
При рассмотрении этого вопроса, необходимо исследовать два случая. Первый - y = f (x), а x - независимая переменная; второй - y = f (u), а u = u(x) зависимый аргумент, то есть y - сложная функция.
Исследуем первый случай. dy = fx0 (x)dx. Поскольку приращение независимого аргумента dx ≡ ∆x - есть
величина не зависящая от x, то первый дифференциал - есть функция x. Поэтому, если функция f (x) имеет
вторую производную в точке x, можно вычислить от первого дифференциала снова дифференциал: d2 y =
def
00
00
00
d(dy) = d(fx0 (x)dx) = (fx0 (x)dx)0x dx = fxx
(x)(dx)2 = fxx
(x)dx2 , то есть d2 y = fxx
(x)dx2 . Аналогично,
3
000
3
n
(n)
n
d y = f (x)dx и так далее. В общем случае: d y = f (x)dx .
Второй случай: y = f (u), Здесь u - функция x, и дифференциал du - тоже функция аргумента x.
00
00
Поэтому dy = fu0 du. d2 y = d(dy) = d(fu0 du) = fuu
du2 + fu0 d2 u. d3 y = d(d2 y) = d(fuu
du2 + fu0 d2 u) =
000
3
00
2
0
3
f (x)dx + 3f (x) · du · d u + f (x)d u, и так далее.
Формула Лейбница для дифференциалов.
d(n) (u · v) = (u · v)(n) dxn =
= u(n) · v + Cn1 u(n−1) · v 0 + Cn2 u(n−2) · v 00 + ... + Cnm u(n−m) · v (m) + ...Cnn−1 u0 · v (n−1) + u · v (n) dx =
= dn u · v + Cn1 dn−1 u · dv + Cn2 dn−2 u · d2 v + ... + Cnm dn−m u · dm v + ... + Cnn−1 du · dn−1 v + u · dn v.
3.12. Применение дифференциалов в приближенных вычислениях.
Вспомним: ∆y = fx0 (x0 ) · ∆x + α(∆x) · ∆x, то есть ∆y = dy + α · ∆x. Второе слагаемое в этой формуле
- это бесконечно-малая высшего порядка по сравнению с dy, то есть ∆y ≈ dy, или f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈
fx0 (x0 )·∆x. Таким образом, мы получили формулу для приближенного вычисления значения функции с помощью
дифференциала: f√
(x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + fx0 (x0 ) · ∆x.
√
√
√
Примеры. 1. 102 =? Рассмотрим функцию y = x.
x0 + ∆x ≈ x0 + 2√1x0 ∆x. Применительно к
√
√
1
поставленной задаче нахождения значения 102 эта формула означает: 102 ≈ 10+ 2·10
·2 = 10, 1. Проверим:
2
(10, 1) = 102, 01.
2. cos 28o =? Рассмотрим функцию y = cos x. Согласно формуле приближенного вычисления с помощью
π
дифференциала имеем: cos(x0 + ∆x) ≈ cos x0 − sin x0 · ∆x. x0 = π6 , ∆x = − 90
. Следовательно cos 28o ≈
√
1,7
3,14
3
1
π
2 + 2 · 90 ≈ 2 + 0, 5 · 90 ≈ 0, 87.
ЛЕКЦИЯ 11.
3.13. Теоремы о дифференцируемых функциях.
В этом важном для дальнейшего разделе будут рассмотрены основные свойства дифференцируемых на множестве X функций одного аргумента.
Определение 1. Левосторонней (правосторонней) производной функции f (x) в точке x0 называется
∆y
∆y
, когда ∆x → 0 и, при этом, ∆x < 0 (∆x > 0). Обозначения: lim ∆x
= fx0 (x0 −0),
предел отношения ∆x
∆x→−0
∆y
= fx0 (x0 + 0) .
lim ∆x
∆x→+0
Пример. y = |x| ;
lim ∆x
∆x→−0 ∆x
fx0 (−0) =
lim
∆x→−0
|0+∆x|−|0|
∆x
=
lim −∆x
∆x→−0 ∆x
= −1;
fx0 (+0) =
lim
∆x→+0
|0+∆x|−|0|
∆x
=
= 1.
Теорема 1. Для того,чтобы функция f (x) была дифференцируема в точке x0 необходимо и достаточно,
чтобы fx0 (x0 − 0) = fx0 (x0 + 0).
— 20 —
∆y
∆x→ ∆x
Необходимость. Дано: lim
= fx0 (x0 ) как при ∆x < 0, так и при ∆x > 0. Доказать: fx0 (x0 − 0) =
fx0 (x0 + 0).
Доказательство. Видим, что fx0 (x0 − 0) =
lim ∆y
∆x→−0 ∆x
= fx0 (x0 ) =
lim ∆y
∆x→+0 ∆x
= fx0 (x0 + 0), то есть
fx0 (x0 − 0) = fx0 (x0 + 0).
Достаточность. Дано: fx0 (x0 − 0) = fx0 (x0 + 0) = A. Доказать, что при этом существует
lim ∆y
∆x→0 ∆x
=
fx0 (x0 ).
Доказательство. Из "дела"следует, что для любого заданного ε > 0 найдется такое δ1 > 0, что как только
∆y
|∆x| < δ1 (и, при этом, ∆x < 0), так сразу ∆x
− fx0 (x0 − 0) < ε. (1) Также найдется такое δ2 > 0, что как
∆y
только |∆x| < δ2 (и, при этом, ∆x > 0), так сразу ∆x
− fx0 (x0 + 0) < ε. (2) Обозначим δ = min(δ1 , δ2 ) и
рассмотрим множество точек x, для которых |∆x| < δ (при этом ∆x может быть как положительным, так и
отрицательным). Очевидно, что оба неравенства (1) и (2) в этом случае будут выполнены одновременно, то есть
∆y
∆y
∆x − A < ε как только |∆x| < δ. Это и означает, что lim ∆x = A, что и требовалось доказать.
∆x→0
Если обратиться к приведенному выше примеру, то, на основании теоремы 1, можно заключить, что непрерывная всюду функция y = |x| ; не дифференцируема в точке x0 = 0 Этого примера достаточно, чтобы сформулировать следующее утверждение: если функция f (x) непрерывна в точке x0 , то этого ещё не достаточно
для дифференцируемости функции f (x) в точке x0 .
Теорема 2. Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в точке x0 .
Доказательство. Действительно, если функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то ∆y = A · ∆x +
α · ∆x, где A - постоянное число, не зависящее от ∆x, α - бесконечно-малая функция, стремящаяся к
нулю, когда ∆x → 0. Отсюда ∆y → 0 при ∆x → 0, то есть бесконечно-малому приращению аргумента
соответствует бесконечно-малое приращение функции.
Определение. Говорят, что функция f (x) имеет в точке x0 локальный максимум (минимум), если
найдется такая окрестность точки x0 , в пределах которой значение f (x0 ) является наибольшим (наименьшим)
значением среди всех значений функции в этой окрестности.
Теорема 3 (Ферма). Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 и имеет в этой точке локальный
экстремум (т.е. максимум или минимум), то fx0 (x0 ) = 0.
Доказательство. При доказательстве, ради определённости, будем считать, что функция f (x) в точке x0
имеет локальный максимум. Тогда ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) < 0 при любом знаке ∆x из окрестности точки
∆y
∆y
∆y
< 0, то есть lim ∆x
= f (x0 + 0) ≤ 0. Если же ∆x < 0, то lim ∆x
=
x0 , и если ∆x > 0, то ∆x
∆x→+0
∆x→+0
f (x0 + 0) ≥ 0, а так как функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то fx0 (x0 ) = fx0 (x0 − 0) = fx0 (x0 + 0) = 0.
Теорема 4 (Ролля). Пусть функция y = f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ], дифференцируема в
интервале ( a, b ) и f (a) = f (b). Тогда найдется по крайней мере одна точка c внутри [ a, b ], такая, что
f (c) = 0.
Если y = f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ], то она непременно достигнет на этом сегменте своего
наибольшего и наименьшего значения: sup f (x) = L, inf f (x) = l. Очевидно, что существует два варианта:
1. L = l, Тогда L = l = const. В этом случае и f (x) = const, fx0 (x) = 0. 2. L 6= l. Поскольку
f (a) = f (b), то наибольшее или наименьшее значение функции достигается во внутренней точке, которую мы
обозначили через c. Таким образом, в этой точке c достигается локальный экстремум, где, по теореме Ферма,
fx0 = 0. Следовательно, fx0 (c) = 0, что и требовалось доказать.
Замечание. Если хотя бы одно из условий теоремы Ролля не выполнено, теорема не имеет места.
Теорема 5 (Лагранжа). Пусть функция y = f (x) непрерывна на сегменте [ a, b ] и дифференцируема в
(a)
= fx0 (c).
интервале ( a, b ). Тогда найдётся такая точка c интервала ( a, b ), что f (b)−f
b−a
Геометрическая иллюстрация теоремы проста: пусть f (a) = M, f (b) = N. Теорема утверждает, что на
кривой, описываемой функцией y = f (x), найдется по крайней мере одна точка, что касательная в ней к этой
кривой окажется параллельной к хорде M, N.
(a)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) = f (x)− f (b)−f
·x. Видим, что: 1. F (x) b−a
(b)·a
непрерывна на сегменте [ a, b ], 2. F (a) = F (b) = f (a)·b−f
, 3. Поскольку F (x) - есть разность
b−a
дифференцируемых функций, то она сама является дифференцируемой функцией в интервале ( a, b ). Таким
образом, для функции F (x) выполнены все условия теоремы Ролля. В таком случае найдется такая точка c
(a)
(a)
, то fx0 (c) = f (b)−f
, что и
интервала ( a, b ), что Fx0 (c) = 0. Поскольку Fx0 (x) = fx0 (x) − f (b)−f
b−a
b−a
утверждалось.
Следствие. Применим теорему Лагранжа к случаю, когда a = x, b = x + ∆x. Тогда по теореме Лагранжа
(x)
найдется такая точка ξ, (x < ξ < x + ∆x), что fx0 (ξ) = f (x+∆x)−f
. Отсюда без труда получим знаменитую
∆x
0
формулу конечных приращений Лагранжа: ∆y = fx (ξ) · ∆x.
Чаще всего формула конечных приращений Лагранжа встречается в литературе в иной записи. А именно: ξ
— 21 —
всегда можно задать в виде ξ = x + θ · ∆x, где 0 < θ < 1. После этого формула конечных приращений
Лагранжа будет выглядеть так: f (x + ∆x) − f (x) = fx0 (x + θ · ∆x) · ∆x.
Теорема 6 (Коши). Пусть f (x) и ϕ(x) - функции непрерывные на сегменте [ a, b ], дифференцируемые
в интервале ( a, b ), причем ϕ0x 6= 0 всюду в ( a, b ). Тогда найдётся такая точка c интервала ( a, b ), что
fx0 (c)
f (b)−f (a)
ϕ(b)−ϕ(a) = ϕ0 (c) .
x
(a)
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) = f (x) − f (b)−f
· ϕ(x). Для этой функb−a
ции, очевидно, выполнены все условия теоремы Ролля. Следовательно, найдется такая точка c интервала
(a)
(a)
( a, b ), что Fx0 (c) = 0. Поскольку Fx0 (x) = fx0 (x) − f (b)−f
· ϕ0x (x), то fx0 (c) = f (b)−f
· ϕ0x (c), что
b−a
b−a
и утверждалось.
Замечание. В формулировке теоремы не требуется формулировать условие ϕ(b) 6= ϕ(a), ибо если ϕ(b) =
ϕ(a), то, по теореме Ролля, найдется такая точка c интервала ( a, b ), что в ней ϕ0x (c) = 0, а у нас уже есть
условие ϕ0x 6= 0 всюду в ( a, b ).
Глава 4
Приложения дифференциального
исчисления функции одного
переменного.
ЛЕКЦИЯ 12.
4.1. Раскрытие неопределенностей. (Правило Лопиталя).
В этом разделе мы используем результаты теоремы Коши,которая гласит, что если f (x) и ϕ(x) - функции
непрерывные на сегменте [ a, b ], дифференцируемые в интервале ( a, b ), причем ϕ0x 6= 0 всюду в ( a, b ).
f 0 (c)
f (b)−f (a)
то найдётся такая точка c интервала ( a, b ), что ϕ(b)−ϕ(a)
= ϕx0 (c) .
x
Определение 1. Говорят, что отношение
f (x)
ϕ(x)
0
0,
представляет собой неопределенность типа
если lim f (x) =
x→a
0, lim ϕ(x) = 0.
x→a
Теорема 1. Пусть функции f (x) и ϕ(x), для которых lim f (x) = 0,
x→a
lim ϕ(x) = 0 определены и
x→a
дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причем
f 0 (x)
ϕ0x (x) 6= 0 в этой окрестности. Тогда, если существует lim ϕx0 (x) (конечный или бесконечный), то существует и
f (x)
,
x→a ϕ(x)
lim
f (x)
x→a ϕ(x)
причем эти пределы равны: lim
x→a
fx0 (x)
.
0
x→a ϕx (x)
x
= lim
Доказательство. Рассмотрим фиксированную точку x из окрестноси точки a, и сегмент [ a, x ].
Доопределим значения функций f (x) и ϕ(x), положив f (a) = 0 и ϕ(a) = 0. Тогда f (x) и ϕ(x) будут
непрерывны на сегменте [ a, x ] и дифференцируемы в окрестности ( a, x ), причем ϕ0x (t) 6= 0 для всех
t ∈ ( a, x ). Видим, что для функций f (x) и ϕ(x) выполнены все условия теоремы Коши. Следовательно,
f 0 (ξ)
f (x)−f (0)
= ϕx0 (ξ) , a < ξ < x, (для определённости мы положили x > a, ) и, при этом, как мы сами
имеем ϕ(x)−ϕ(0)
x
ранее доопределили, f (0) = 0, ϕ(0) = 0. Пусть теперь x → a, тогда и ξ → a, но lim
следовательно существует и предел левой части равенства, то есть мы получили, что
fx0 (x)
0
существует,
x→a ϕx (x)
f 0 (x)
f (x)
= lim ϕx0 (x) .
lim ϕ(x)
x→a
x→a x
Добавление 1. Если производные fx0 (x), и ϕ0x (x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции
f 0 (x)
f 00 (x)
f (x)
f (x) и ϕ(x), то правило Лопиталя можно применить повторно: lim ϕ(x)
= lim ϕx0 (x) = lim ϕxx
и так
00
x→a
x→a x
x→a xx (x)
далее...
Добавление 2. Теорема 1 справедлива и в том случае, когда a - бесконечно удалённая точка числовой
прямой, то есть если функции f (x) и ϕ(x), для которых lim f (x) = 0, lim ϕ(x) = 0 определены и
x→∞
дифференцируемы в ( A, ∞ ), причем
f (x)
,
x→∞ ϕ(x)
существует и lim
ϕ0x
x→∞
fx0 (x)
0
x→∞ ϕx (x)
6= 0 в этом интервале, то при условии существования lim
f 0 (x)
f (x)
= lim ϕx0 (x) .
ϕ(x)
x→a
x→a x
f ( 1t )
f 0( 1 )
f (x)
lim ϕ(x) = lim ϕ 1 = lim ϕt0 t1
x→∞
t→0 ( t )
t→0 t ( t )
причем эти пределы равны: lim
Действительно, полагая x = 1t , получим:
fx0 ·x0t
0
0
t→0 ϕx ·xt
= lim
fx0 (x)
.
0
x→∞ ϕx (x)
= lim
Добавление 1 справедливо, очевидно, и для добавления 2.
Кроме того, нетрудно заметить, что в формулировке теоремы +∞, в случае необходимости, может быть
заменено на −∞.
f (x)
представляет собой неопределенность типа ∞
если
Определение 2. Говорят, что отношение ϕ(x)
∞,
lim f (x) = ∞, lim ϕ(x) = ∞, причем a может быть и бесконечно удаленной точкой числовой прямой, а
x→a
x→a
22
— 23 —
символ ∞ понимается в общем смысле.
Теорема 2. Пусть функции f (x) и ϕ(x), для которых lim f (x) = ∞,
lim ϕ(x) = ∞ определены и
x→a
x→a
дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть, самой точки a, причем
f 0 (x)
ϕ0x (x) 6= 0 в этой окрестности. Тогда, если существует lim ϕx0 (x) (конечный или бесконечный), то существует и
f (x)
x→a ϕ(x)
lim
f (x)
x→a ϕ(x)
и эти пределы равны: lim
f (x)
ϕ(x)
Доказательство.
=
fx0 (x)
.
0
ϕ
x→a x (x)
x→a
1 .
def f1 (x)
1
= ϕ (x) .
ϕ(x)
1
f (x)
Видно, что при x → a функции f1 (x) → 0 и ϕ1 (x) → 0. Как и в первом
правиле Лопиталя, применим теорему Коши к функциям f1 (x) и ϕ1 (x) :
f 0 (ξ)
ϕ0 (ξ)
или
f 2 (ξ)
ϕ2 (ξ)
=
·
ϕ(x)
f (x)
=
f (ξ)
ϕ(ξ)
ϕ(x)
ϕ(ξ)
f (x)
f (ξ)
·
x
= lim
f1 (x)
ϕ1 (x)
=
f1 (x)−f1 (a)
ϕ1 (x)−ϕ1 (a)
=
f10 (ξ)
,
ϕ01 (ξ)
или
1
ϕ(x)
1
f (x)
=
− 21 ·ϕ0 (ξ)
ϕ (ξ)
− 21 ·f 0 (ξ)
f (ξ)
,
. Но x можно выбрать так близко к точке a, что |x − ξ| < δ1 . Вследствие непрерывности
функции ϕ(ξ) имеем ϕ(x) = ϕ(ξ) + ∆ϕ, где |∆ϕ| < ε, как только выполнится |x − ξ| < δ1 . Аналогично f (x) = f (ξ) + ∆f, где
|∆f | < ε, как только
|x − ξ| < δ2 . Положим δ = min(δ1 , δ2 ). Тогда |∆ϕ| < ε, и |∆f | < ε, как только |x − ξ| < δ. Следовательно,
f 0 (ξ)
ϕ0 (ξ)
=
f (ξ)
ϕ(ξ)
·
∆ϕ
1+ ϕ(ξ)
.
1+ f∆f
(ξ)
f 0 (ξ)
0
ξ→0 ϕ (ξ)
Откуда lim
f (ξ)
,
ξ→0 ϕ(ξ)
= lim
f 0 (x)
0
x→0 ϕ (x)
или, что то же lim
Добавление 3. Теорема 2 справедлива и в том случае, когда
lim f (x) = ∞, lim ϕ(x) = ∞.
x→∞
f (x)
,
x→0 ϕ(x)
= lim
что и требовалось доказать.
a - бесконечно удалённая точка числовой прямой, то есть когда
x→∞
А как раскрыть неопределенность вида 0 · ∞? Ответ очевиден: необходимо свести эту неопределенность к
неопределенности уже исследованного вида. Пусть f (x) → 0, и ϕ(x) → ∞ при x → a. Тогда lim f (x) ·
x→a
1
f (x)
0
∞
ϕ(x) = lim f (x)
=
,
или
lim
f
(x)
·
ϕ(x)
=
lim
=
.
1
0
ϕ(x)
∞
x→a
x→a
ϕ(x)
x→a
Аналогично можно поступать и с неопределенностями вида 1∞ , 00 , ∞0 , ∞ − ∞, и так далее.
1
Пример 1. lim xx =? y = xx . ln y = x ln x. lim ln y = lim x ln x = lim ln1x = lim −x1 = 0.
x→0
x→0
x→0 x
x→0 x2
x→0 sin x−x
x
cos x
x−cos x−x sin x
sin x
Пример 2. lim x1 − ctg x = lim x1 − cos
= lim cos sin
= lim sin−x
sin x = lim
x sin x
x−x cos x
x−x cos x =
−x
x→0 1−x ctg x
lim
x→0
−1
x
x→0 ctg x− sin2 x
= lim
x→0
x→0
x→0
x→0
= 0.
ЛЕКЦИЯ 13.
4.2. Формула Тейлора.
Формула Тейлора - это одна из важнейших формул математического анализа.
Теорема. Пусть функция y = f (x) в окрестности точки a имеет производные до n + 1-го порядка включительно. Пусть, далее, x - любое значение аргумента из этой окрестности, а p - произвольное положительное
число. Тогда найдется такая точка ξ между точками a и x, что справедлива формула
f (x) = f (a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
f (n+1) (ξ)
f 0 (a)
(x − a) +
(x − a)2 + ... +
(x − a)n +
(x − ξ)n+1−p (x − a)p .
1!
2!
n!
p · n!
Доказательство. Для доказательства воспользуемся теоремой Ролля. Зафиксируем точку x из окрестности точки a (для определенности будем считать, что x > a ), рассмотрим сегмент [a, x] и запишем функцию
f (x) в виде
f (x) = f (a) +
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a) +
(x − a)2 + ... +
(x − a)n + Rn+1 (x),
1!
2!
n!
(1)
где Rn+1 (x) - неизвестная пока функция, которую мы назовем остаточным членом. Потребуем, чтобы это
равенство выполнялось при любом значении x, (то есть оно было тождеством). Из этого требования определим
неизвестную функцию Rn+1 (x).
На сегменте [a, x] рассмотрим вспомогательную функцию:
f 0 (t)
f 00 (t)
f (n) (t)
(x − t)p
F (t) = f (x) − f (t) +
(x − t) +
(x − t)2 + ... +
(x − t)n −
Rn+1 (x),
1!
2!
n!
(x − a)p
где t ∈ [a, x], ( x - здесь фиксированная точка!)
Легко видеть, что F (t) на сегменте [a, x] удовлетворяет всем требованиям теоремы Ролля.
1. F (t) непрерывна на сегменте [a, x] так как f (t), f 0 (t), ... f (n) - непрерывные функции, поскольку по
условиям теоремы, существует n + 1 -я производная функции f (x).
2. Очевидно, что F (t) дифференцируема в интервале (a, x).
— 24 —
3. На концах интервала, в точках a и x, функция F (t) принимает одинаковые значения. Действительно, в
силу формулы (1) и определения функции F (t), имеем: F (x) = 0 и
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n) (a)
F (a) = f (x) − f (a) +
(x − a) +
(x − a)2 + ... +
(x − a)n − Rn+1 (x) = 0.
1!
2!
n!
Вычислим производную функции F (t) :
f 00 (t)
f 000 (t)
f 00 (t)
Ft0 (t) = − f 0 (t) +
(x − t) − f 0 (t) +
(x − t)2 −
· 2 · (x − t) + ...
1!
2!
2!
f (n+1) (t)
f (n) (t)
(x − t)p−1
n
n−1
... +
(x − t) −
· n · (x − y)
+p
Rn+1 (x) =
n!
n!
(x − a)p
=−
f (n+1) (t)
(x − t)p−1
(x − t)n + +p
Rn+1 (x).
n!
(x − a)p
На основании теоремы Ролля найдется такая точка ξ ∈ (a, x), что в ней F 0 (ξ) = 0, то есть
−
f (n+1) (ξ)
(x − ξ)p−1
(x − ξ)n + +p
Rn+1 (x) = 0.
n!
(x − a)p
Из этого равенства находим:
Rn+1 (x) =
f (n+1) (ξ)
(x − ξ)n+1−p (x − a)p .
p · n!
(2)
Мы получили вид остаточного члена в общей форме, зависящий от параметра p > 0. Подставляя формулу
(2) в формулу (1), получим доказываемую формулу:
f (x) = f (a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
f (n+1) (ξ)
f 0 (a)
(x − a) +
(x − a)2 + ... +
(x − a)n +
(x − ξ)n+1−p (x − a)p .
1!
2!
n!
p · n!
Заметим, что точка ξ зависит от выбора точки x. Она может быть записана в виде ξ = a + θ(x − a), где θ
зависит от x и 0 < θ < 1. Кроме того, θ зависит от выбора параметра p.
Остаточные члены при различных p имеют разную форму. В приложениях чаще всего встречаются случаи,
когда p = n + 1 или p = 1.
При p = n + 1 остаточный член принимает вид:
Rn+1 (x) =
f (n+1) (ξ)
(x − a)n+1
(n + 1)!
или, что то же:
Rn+1 (x) =
f (n+1) (a + θ1 (x − a))
(x − a)n+1 .
(n + 1)!
Этот вид называется остаточным членом в форме Лагранжа.
При p = 1
f (n+1) (ξ)
(x − ξ)n (x − a).
n!
Подставляя сюда ранее введенное нами выражение для ξ, получим остаточный член в форме Коши:
Rn+1 (x) =
Rn+1 (x) =
f (n+1) (a + θ2 (x − a))
(x − a)n+1 (1 − θ2 )n .
n!
Воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для того, чтобы представить её с
помощью приращения аргумента:
f (x) = f (a) +
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n) (a)
f (n+1) (ξ)
(x − a) +
(x − a)2 + ... +
(x − a)n +
(x − a)n+1 .
1!
2!
n!
(n + 1)!
Положим в этой формуле a = x0 , x − a = ∆x, x = x0 + ∆x. Получим:
— 25 —
f (x0 + ∆x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 )
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
f (n+1) (x0 + θ · ∆x)
∆x +
(∆x)2 + ... +
(∆x)n +
(∆x)n+1 .
1!
2!
n!
(n + 1)!
Поскольку ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ), то
00
f (x0 )
f (n) (x0 )
f (n+1) (x0 + θ · ∆x)
∆y = f 0 (x0 )∆x +
∆x + ... +
(∆x)n−1 +
(∆x)n · ∆x.
2!
n!
(n + 1)!
Обозначая выражение в больших скобках за α(∆x), получим хорошо знакомое выражение для приращения
дифференцируемой функции:
∆y = f 0 (x0 )∆x + α(∆x) · ∆x.
Формула Маклорена - это формула Тейлора при a = 0.
n
f (x) = f (0) +
X f (k) (0)
f 00 (0) 2
f (n) (0) n
f 0 (0)
x+
x + ... +
x + Rn+1 (x) =
xk + Rn+1 (x).
1!
2!
n!
k!
k=0
Остаточный член в форме Лагранжа в этом случае имеет вид
Rn+1 (x) =
f (n+1) (θ1 x) n+1
x
,
(n + 1)!
остаточный член в форме Коши:
Rn+1 (x) =
Пример. ex = 1 +
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
eθx
n+1
.
(n+1)! x
θx
e
eR
n+1
|Rn+1 (x)| = (n+1)! x
< (n+1)!
Rn+1 .
1
1
1
eθ
1
x = 1 : e = 1 + 1!
+ 2!
+ 3!
+ ... + n!
+ (n+1)!
.
−9
+ ... +
Видим, что на сегменте [−R, +R]
xn
n!
f (n+1) (θ2 x) n+1
x
(1 − θ2 )n .
n!
+
Положим в предыдущей формуле
Взяв n = 10, мы получим |Rn+1 (1)| < 3 · 10
.
4.3. Аналитические признаки возрастания и убывания функции.
Теорема 1. Если функция y = f (x) дифференцируема в некотором интервале и возрастает (убывает) в
нем, то fx0 (x) ≥ 0 (fx0 (x) ≤ 0 ) для всех x из этого интервала.
Доказательство. Выберем любую точку x0 из этого интервала и рассмотрим точку x = x0 + ∆x. По
∆y
∆y
∆y
условиям теоремы ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) > 0 (∆y < 0); ∆x
> 0; lim ∆x
= fx0 (x0 ) ≥ 0; ( ∆x
<
∆x→0
∆y
∆x→0 ∆x
0; lim
= fx0 (x0 ) ≤ 0). Так как точка x0 - произвольная точка рассматриваемого интервала, fx0 (x) ≥ 0
(fx0 (x) ≤ 0 ) для всех точек x из этого интервала.
Теорема доказана.
Теорема 2. Если для некоторого интервала fx0 (x) > 0 (fx0 (x) < 0 ), то в этом интервале функция y = f (x)
возрастает (убывает).
Доказательство. Рассмотрим две точки x1 и x2 такие, что x2 > x1 и построим разность f (x2 ) − f (x1 ).
По формуле конечных приращений Лагранжа имеем: f (x2 ) − f (x1 ) = fx0 (ξ)(x2 − x1 ) > 0, так как x2 − x1 > 0,
а fx0 (ξ) > 0. Отсюда следует, что функция y = f (x) возрастает, поскольку большему значению аргумента
соответствует большее значение функции. Если же fx0 (ξ) < 0, то большему значению аргумента соответствует
меньшее значение функции, а это означает, что функция y = f (x) убывает.
Что и требовалось доказать.
ЛЕКЦИЯ 14.
4.4. Экстремум функции.
Напомню определение экстремума функции, которое мы давали, когда доказывали теорему Ферма.
Говорят, что функция y = f (x) имеет в точке x0 локальный максимум (минимум), если существует такая
окрестность точки x0 , в пределах которой значение f (x0 ) является наибольшим (наименьшим), то есть
f (x0 ) > f (x) ( f (x0 ) < f (x) ) для всех точек x из указанной окрестности.
— 26 —
По теореме Ферма, если x0 - есть точка экстремума функции и функция дифференцируема в окрестности
точки x0 , то fx0 (x0 ) = 0. Следовательно, для дифференцируемых в окрестности точки экстремума и в самой
точке экстремума функций, условие fx0 (x0 ) = 0 является необходимым условием.
Однако, в точке экстремума функция может и не быть дифференцируемой. Например функция y = |x| в
точке x = 0 имеет минимум но в этой точке не дифференцируема.
Определение. Критическими точками функции f (x) называют такие точки, в которых функция непрерывна, а производная в них либо равна нулю, либо не существует, либо обращается в бесконечность. Все такие
точки подозрительны на экстремум.
Но всякая ли критическая точка является точкой экстремума? Для того, чтобы ответить на этот вопрос нужны достаточные условия экстремума.
I - e достаточное условие экстремума. Пусть функция y = f (x) имеет производную в окрестности критической точки x0 , за исключением, может быть, самой точки x0 . Если при переходе через критическую точку
x0 производная fx0 (x) меняет знак, то точка x0 является точкой экстремума, если же при переходе критической точки производная сохраняет свой знак, экстремума в точке x0 нет. Если, при этом, знак производной
меняется с плюса на минус, то в точке x0 достигается максимум функции f (x), а если же знак меняется с
минуса на плюс - достигается минимум функции f (x).
Доказательство. Проведем доказательство для максимума, для остальных случаев исследование проводится аналогично.
Пусть x < x0 и fx0 (x) > 0. Это означает, что функция при x < x0 возрастает и, следовательно, f (x) <
f (x0 ). Пусть при x > x0 и fx0 (x) < 0 - производная меньше нуля, значит функция убывает, и, следовательно,
f (x) < f (x0 ). Иначе говоря, и справа и слева от точки x0 значения функции меньше, чем значение функции в
самой точке x0 . А это, по определению данному выше, означает, что точка x0 - есть точка максимума.
II - e достаточное условие экстремума. Пусть в точке x0 fx0 (x) = 0, а так же существует вторая
производная, непрерывная в точке x0 . Тогда, если fx0 (x) 6= 0, то точка x0 - есть точка экстремума, причем
если f 00 (x0 ) < 0, то в точке x0 достигается максимум функции f (x), а если f 00 (x0 ) > 0 - минимум.
Доказательство. Для определенности рассмотрим доказательство для минимума. Посмотрим какой знак
имеет первая производная в точке x0 − h и в точке x0 + h. Поскольку первая производная fx0 (x) дифференцируема в точке x0 , то f 0 (x0 − h) ≡ f 0 (x0 − h) − f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) · (−h) + α(−h), где α → 0 при h → 0
| {z }
=0
и f 0 (x0 + h) ≡ f 0 (x0 + h) − f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) · (+h) + β(+h), где β → 0 при h → 0. Если f 00 (x0 ) > 0,
| {z }
=0
то, в силу малости |αh| и |βh| , при малых значениях h имеем: sgnf 0 (x0 − h) = sgn[f 00 (x0 )(−h)] = −1,
sgnf 0 (x0 + h) = sgn[f 00 (x0 )(+h)] = +1. Таким образом, первая производная fx0 (x) при переходе через точку
x0 меняет знак с плюса на минус - это и есть условие достижения функцией f (x) минимума в точке x0 .
III - e достаточное условие экстремума. Пусть в критической точке x0
f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = ... =
(n)
(n+1)
(n+1)
f (x0 ) = 0, а f
(x0 ) 6= 0 и пусть f
(x) непрерывна в точке x0 . Тогда если n + 1- четное
число, то в точке x0 есть экстремум функции f (x), причем при f (n+1) (x0 ) > 0 в точке x0 достигается
минимум, а если f (n+1) (x0 ) < 0 - максимум. Если же n + 1- нечетное число, то в точке x0 экстремума нет.
Доказательство. В условии теоремы соблюдены все условия применимости формулы Тейлора:
f (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 )
f 00 (x0 )
f (n) (x0 )
f (n+1) (ξ)
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + ... +
(x − x0 )n +
(x − x0 )n+1 .
1!
2!
n!
(n + 1)!
Поскольку f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = ... = f (n) (x0 ) = 0, то f (x) − f (x0 ) =
f (n+1) (ξ)
(n+1)! (x
− x0 )n+1 . В силу
непрерывности f (n+1) (x0 ) в точке x0 , найдется такая окрестность (x0 − δ, x0 + δ) этой точки, что в ней
f (n+1) (x) сохраняет знак. Следовательно, если f (n+1) (x0 ) > 0 (< 0), то и f (n+1) (x) > 0 (< 0) для всех
x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Если n + 1 - четное число и f (n+1) (x0 ) > 0 (< 0), (а значит и f (n+1) (ξ) > 0(< 0), то
f (x) − f (x0 ) > 0 (< 0) или, что то же, f (x) > f (x0 ) (f (x) < f (x0 )) для всех x ∈ (x0 − δx0 + δ). Это означает,
что в точке x0 достигается минимум (максимум) функции f (x). При нечетном n + 1 знак (x − x0 )n+1
меняется при переходе через точку x0 , а это значит, что в этом случае экстремум в точке x0 отсутствует.
4.5. Направление выпуклости графика функции.
Определение 1. Говорят, что график функции y = f (x) на интервале (a, b) имеет выпуклость, направленную вниз, если кривая в пределах (a, b) лежит не ниже любой своей касательной.
(То есть, y(kp) (x) ≥ y(kac) (x) для ∀x ∈ (a, b) ).
Определение 2. Говорят, что график функции y = f (x) на интервале (a, b) имеет выпуклость, направленную вверх, если кривая в пределах (a, b) лежит не выше любой своей касательной.
(То есть, y(kp) (x) ≤ y(kac) (x) для ∀x ∈ (a, b) ).
— 27 —
Теорема. Если функция y = f (x) дважды дифференцируема на интервале (a, b) и f 00 (x) ≥ 0 (f 00 (x) ≤ 0),
то график функции y = f (x) имеет выпуклость, направленную вниз (вверх).
Доказательство. Пусть x0 - любая точка из интервала (a, b). Запишем уравнение касательной в этой
точке: y(kac) (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ). Функцию y = f (x) разложим в ряд Тейлора, ограничиваясь второй
f 00 (ξ)
2
2! (x − x0 ) . Сравним
00
f (ξ)
2
2! (x − x0 ) . Ясно, что
производной: y(kp) (x) = f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) +
y(x) касательной к кривой
и y(x) кривой в точке x0 : y(kp) (x) − y(kac) (x) =
f 00 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b) и y(kp) (x) ≤ y(kac) (x), если f 00 (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b).
Теорема доказана.
y(kp) (x) ≥ y(kac) (x), если
ЛЕКЦИЯ 15.
4.6. Точки перегиба кривой.
Пусть график функции y = f (x) на каждом из интервалов (a, c) и (c, b), где a < c < b имеет направление
выпуклости и пусть в точке c существует касательная к графику функции y = f (x).
Определение. Говорят, что в точке c график функции имеет перегиб, если существует такая окрестность
точки c, в пределах которой слева и справа от точки c график функции y = f (x) имеет разные направления
выпуклости.
Необходимое условие перегиба. Если график функции y = f (x) в точке c имеет перегиб, а функция
y = f (x) имеет в точке c вторую непрерывную производную, то f 00 (c) = 0.
Доказательство. Предположим противное: f 00 (c) 6= 0, пусть, например, f 00 (c) > 0. В силу непрерывности f 00 (x) в точке c, существует окрестность (c + δ, c − δ), в которой f 00 (x) > 0, то есть, в этой окрестности
слева и справа от точки c выпуклость графика функции направлена только вниз. Это означает, что перегиба
нет - противоречие. Это противоречие доказывает теорему.
Таким образом, для отыскания точек перегиба нужно решить уравнение f 00 (c) = 0. Корни этого уравнения
дают точки подозрительные на перегиб. Но только этим условием все точки, подозрительные на перегиб, не
охватываются. Например, можно рассмотреть ситуацию, когда fx0 (c) = ∞, и f 00 (c) не существует.
Следовательно, мы можем сделать вывод, что подозрительные на перегиб точки ищутся исходя их условий:
1). f 00 (c) = 0, 2). fx0 (c) = ∞, 3) f 00 (c) не существует. Но каковы тогда достаточные условия перегиба?
Теорема 1. Пусть функция y = f (x) непрерывна в точке c, а график её функции в точке c имеет
касательную. Кроме того, пусть в окрестности точки c, может быть за исключением самой точки c, существует
f 00 (x). Тогда, если f 00 (x) слева и справа от точки c имеет разные знаки, то перегиб в точке c существует.
Доказательство. Так как в точке c имеется касательная к графику функции y = f (x), а слева и справа
от точки c f 00 (x) имеет разные знаки, то, согласно теореме о направлении выпуклости графика функции,
выпуклость меняет в точке c свою направленность.
Это первое достаточное условие перегиба.
Пример. y = x3 , y 00 = 6x, x0 = 0 - точка перегиба, поскольку знак второй производной в этой точке
меняется на обратный.
Теорема 2. Пусть функция y = f (x) в окрестности точки c имеет непрерывную производную до n + 1
порядка включительно. Пусть f 00 (c) = f 000 (c) = ... = f (n) (c) = 0; f (n+1) (c) 6= 0. Если n + 1 - нечётное число,
то c - есть точка перегиба графика функции y = f (x).
Доказательство. Пусть n + 1 - нечётное число. Представим функцию f 00 (x) формулой Тейлора до n + 1
порядка включительно:
f 00 (x) = f 00 (c) +
f 000 (c)
f (n) (c)
f (n+1) (ξ)
(x − c) + ... +
(x − c)n−2 +
(x − c)n−1 .
1!
(n − 2)!
(n − 1)!
Вследствие условий нашей теоремы, имеем: f 00 (x) =
f (n+1) (ξ)
(n−1)! (x
− c)n−1 . Ясно, что если n + 1 - нечётное
число, то и n − 1 - нечётное число. Поскольку, в силу непрерывности, f (n+1) (ξ) сохраняет свой знак в
некоторой окрестности точки c, то мы видим, что вторая производная f 00 (x) меняет свой знак при переходе
через точку c на противоположный. А это означает, что согласно теореме о направлении выпуклости графика
функции, выпуклость графика меняет в точке c свою направленность. Следовательно, точка c является точкой
перегиба.
Это второе достаточное условие перегиба.
4.7. Асимптоты кривой.
Определение 1. Говорят, что прямая x = a является вертикальной асимптотой для кривой y = f (x),
если хотя бы одно из предельных значений функции lim f (x) или lim f (x) равно ∞, ( +∞, или −∞ ).
x→a+0
x→a−0
— 28 —
2
+x
1
≡ 2x − 1 + x+1
. При x → −1 + 0, y → +∞, при x → −1 − 0, y → −∞.
Пример. y = 2xx+1
Определение 2. Говорят, что прямая y = kx + b является наклонной асимптотой ( в том числе, при
k = 0 - горизонтальной асимптотой) для кривой y = f (x), если для достаточно больших по абсолютной
величине значений x, функция f (x) представима в виде f (x) = kx + b + α(x), где lim α(x) = 0.
x→±∞
Пример.
y =
2x2 +x
x+1
≡ 2x − 1 +
1
x+1 .
Очевидно, что α(x) =
1
x+1
и α(x) → 0 если x → +∞ или
2
+x
есть две асимптоты: прямая y = 2x − 1 - это
x → −∞. Таким образом, мы видим, что у кривой y = 2xx+1
наклонная асимптота, а прямая x = −1 - вертикальная асимптота.
Теорема. Для того, чтобы кривая y = f (x) при x → +∞ ( x → −∞ ) имела асимптоту y = kx + b
необходимо и достаточно чтобы существовали
lim f (x)
lim (f (x) − kx) = b.
x =k и
x→+∞
(x→−∞)
x→+∞
(x→−∞)
Доказательство. Проведём доказательство лишь для случая x → +∞ . Альтернативный случай доказывается аналогично.
Необходимость. Пусть y = kx + b - асимптота кривой y = f (x). Это значит, что f (x)
= kx + b +α(x)
f (x)
=k
для достаточно больших по абсолютной величине значений x. Тогда lim x = lim k + xb + α(x)
x
x→+∞
и
x→+∞
lim (f (x) − kx) = b, что и требовалось доказать.
x→+∞
Достаточность. Пусть выполнены формулы
lim
x→+∞
f (x)
x
= k,
lim (f (x) − kx) = b. Из второй формулы
x→+∞
сразу следует, что f (x) − kx = b + α(x), где α(x) - бесконечно малая функция при x → ∞. Иначе говоря,
функция y = f (x) представима в виде: f (x) = kx + b + α(x). Это означает, что прямая y = kx + b является
наклонной асимптотой графика этой функции.
Глава 5
Неопределённый интеграл.
ЛЕКЦИЯ 16.
5.1. Первообразная и свойства неопределённого интеграла.
Определение 1. Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на множестве X если в
любой точке x ∈ X F (x) дифференцируема
и F 0 (x) = f (x).
√
1
Пример 1. Функция F (x) = 1 − x является первообразной функции f (x) = − 2√1−x
для ∀x ∈ X =
(−∞, 1).
Пример 2. Если f (x) = cos x, то F (x) = sin x, F1 (x) = sin x + 1, F2 (x) = sin x + 2, F3 (x) = sin x − 12 , ....
и так далее. Вообще говоря, любая функция вида Φ(x) = sin x + C, C = const, является первообразной
функции f (x) = cos x. Этот пример говорит, что бесчисленное множество.
Теорема 1. Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на множестве X, то функция
Φ(x) = F (x) + C, C = const, - тоже первообразная функции f (x) на множестве X. Обратно: каждая
первообразная функции f (x) представима в этом виде.
Доказательство. Пусть F (x) - первообразная f (x), то есть выполнено F 0 (x) = f (x). Очевидно, что
взяв Φ(x) = F (x) + C, C = const, видим Φ0 (x) = F 0 (x) = f (x), то есть Φ(x) - тоже первообразная функции
f (x).
Докажем обратное. Пусть F (x) и Φ(x) - первообразные функции f (x), то есть Φ0 (x) = F 0 (x) = f (x),
(или Φ0 (x) − F 0 (x) = 0 ) всюду на X. Обозначим Φ(x) = F (x) ≡ π(x). Тогда всюду на X π 0 (x) = 0.
Рассмотрим произвольные точки x и x0 из множества X и применим к π(x) формулу конечных приращений
Лагранжа в точках x и x0 . : π(x) − π(x0 ) = πx0 · (x − x0 ). Поскольку π 0 (x) = 0, имеем π(x) = π(x0 ) для
любых двух точек из множества X, а это значит, что функция π(x) сохраняет одно и тоже значение в любой
точке множества X. Значит π(x) = const ≡ C, Φ(x) − F (x) = const ≡ C, Φ(x) = F (x) + C.
Таким образом, мы доказали, что все первообразные функции f (x) отличаются только на постоянную.
Определение 2. Вся совокупность первообразных данной функции f (x) на множестве X называется
R
неопределённым
интегралом от функции f (x) на множестве X и обозначается символом
f (x)dx,
R
где символ
- знак интеграла, f (x)dx - это подинтегральное выражение, f (x) - подинтегральная
функция.
R
И так, по определению: f (x)dx = F (x) + C.
Из этого
R определения вытекают следующие очевидные свойства неопределённого интеграла:
1◦ . d f (x)dx = d (F (x) + C) = d (F (x)) = F 0 (x)dx = f (x)dx - знак дифференциала "уничтожает" знак
интеграла.
R
R
R
2◦ . R dF (x) = F 0 (x)dx =
f (x)dx =R F (x) + C - знак интеграла "уничтожает" знак дифференциала.
R
3◦ . R [f1 (x) ± f2 (x)]dxR= f1 (x)dx ± f2 (x)dx.
4◦ .
C · f (x)dx = C · f (x)dx.
Теперь нетрудно составить таблицу неопределённых интегралов. Для этого мы должны ответить на простой
вопрос: какую функцию мы должны продифференцировать, чтобы получить подинтегральную функцию.
R α
α+1
1.
x dx = xα+1 + C.
R dx
2.
= ln |x| + C.
R xdx
3.
= arctg x + C = − arcctg x + C.
R 1+x2
4. R sin xdx = − cos x + C.
5. R cos xdx = sin x + C.
6. R ex dx = ex + C.
√ dx
7.
= arcsin x + C = − arccos x + C.
1−x2
29
— 30 —
5.2. Метод интегрирования путем замены переменной в неопределённом интеграле.
Теорема 2. Пусть t = g(x) - функция, дифференцируемая на множестве
X. Пусть T - множество значеR
ний g(x). Пусть на множестве T существует неопределённый интеграл ϕ(t)dt
= Φ(t) + C. Тогда на множеR
стве X для функции ϕ(g(x))·gx0 (x) существует неопределённый интеграл ϕ(g(x)) · gx0 (x)dx = Φ(g(x)) + C.
0
Доказательство. Рассмотрим функцию Φ(g(x)) и продифференцируем её: [Φ(g(x))]x = Φ0g · gx0 . Но
0
так как Φ0g = Φ0t = ϕ(t), то [Φ(g(x))]x = ϕ(g(x))
· gx0 (x). Следовательно, функция Φ(g(x)) является
R
0
первообразной функции ϕ(g(x)) · gx (x), то есть ϕ(g(x)) · gx0 (x)dx = Φ(g(x)) + C.
Теорема доказана.
5.3. Метод интегрирования по частям.
Теорема 3. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на множестве X и для функции u0 (x)·
0
первообразная,
v(x) существует
первообразная на X. Тогда
R
R 0 на X для функции u(x)·v (x)
R так же существует
R
0
причём u(x) · v (x)dx = u(x) · v(x) − u (x) · v(x)dx, или, что то же, u · dv = u · v − v · du.
0
на
Доказательство. Известно, что R(u(x) · v(x))x = uR0x (x) · v(x) + u(x) · vx0 (x). Умножим это
R выражение
0
0
dx и возьмём интеграл: u(x) · v(x) = u0 (x)
·
v(x)dx
+
u(x)
·
v
(x)dx.
По
условиям
теоремы
u
(x)
·
v(x)dx
R
существует, следовательно, существует и u(x) · v 0 (x)dx.
Теорема доказана.
5.4. Классы интегралов, к которым применим метод интегрирования по частям.
I.
P (x)(sin ax ±
ax)dx, где P (x)R= a0 xn +a1 xn+1 +...an−1 x+a0 . Очевидно, что придётся вычислять
R cos
k
интегралы вида J1 = x sin axdx и J2 = xk cos axdx, где k - целое положительное число.
Покажем, например, как можно вычислить, применяя метод интегрирования по частям, интеграл J1 . ПоR
k
ложим u = xk , dv = sin axdx; тогда du = kxk−1 dx, v = − a1 cos ax; J1 = − xa cos ax + ka xk−1 cos axdx.
Видим, что показатель степени над x в интеграле понизился на одну единицу; продолжая процесс интегрироваRния по частям,R после k -го шага, понизим эту степень до нуля. При k = 0 получим табличные интегралы вида
sin axdx и cos axdx.
R
R
II. Вычисление интеграла P (x)eax dx сводится к вычислению интегралов вида J = xk eax dx. ПолоR k−1 ax
xk eax
k
e dx = ... Продолжая процесс
жим u = xk , dv = eax dx; тогда du = kxk−1 , v = a1 eax ; J =
R axa − a x
интегрирования
по
частям,
придем
к
табличному
интегралу
e
dx.
R
R
III.
P (x) lnm xdx. В этом случае нам придётся вычислять интегралы вида J = xk lnm xdx. Выберем
R
k+1
k+1
m
x
x
m
u = lnm x, dv = xk dx, тогда du = m lnm−1 x dx
xk lnm−1 xdx = ... . В
x , v = k+1 . J = k+1 ln x − k+1
результате однократного интегрирования по частям показатель степени над логарифмом в интеграле снизился на
одну
R k единицу. Продолжая этот процесс, понизим степень до нуля и, в результате, придем к табличному интегралу
x dx.
R
R
IV.
J1 = eax cos bxdx, J2 = eax sin bxdx. Способ вычисления этих интегралов одинаков. Покажем его на примере вычисления интеграла J1 . Положим u = eax , dv = eax cos bxdx; du = aeax dx, v =
R
R
∗
1
J1 = eax cos bxdx = 1b eax sin bx − ab eax sin bxdx = Прервём пока наше равенство. В получивb sin bx
шемся интеграле легко узнать интеграл J2 . Продолжим вычисление интеграла по частям. Опять положим u =
∗ ax
bx
eax , dv = eax sin bxdx; du = aeax dx, v = − 1b cos bx. Продолжим вычисление с прерванного места: = e sin
−
b
R
ax
2 R
a
e cos bx
a
a
ax
ax b sin bx+a cos bx
ax
+ b e cos bxdx = e
− b2 e cos bxdx. Легко видеть, что двухкратного выb −
b
b2
числения интеграла по частям, мы вернулись к исходному интегралу. Рассмотрим получившееся равенство как
2
cos bx
cos bx
уравнение на J1 . J1 = eax b sin bx+a
− ab2 J1 . Решая это уравнение, получим: J1 = eax b sin bx+a
.
2
b
a2 +b2
R ax
ax b sin bx+a cos bx
. Рассуждая совершенно аналогично, получим:
Таким образом, J1 =
e cos bxdx = e
a2 +b2
R
cos bx
J2 = eax sin bxdx = eax a sin bx−b
.
2
2
a +b
R
dx
V. Jn = (x2 +a
2 )n . Здесь n - целое положительное число, a - действительное число. Применим к этому
интегралу метод интегрирования по частям. Положим u = (x2 + a2 )−n , du = −n · 2x · (x2 + a2 )−n−1 dx; dv =
R
R (x2 +a2 )−a2
x
x2
x
x
dx, v = x. Получим: Jn = (x2 +a
2 )n + 2n
(x2 +a2 )n+1 dx = (x2 +a2 )n + 2n
(x2 +a2 )n+1 dx = (x2 +a2 )n +
R
R (x2 +a2 )
2
x
2
2n (x2 +a2 )n+1 dx − 2n (x2 +aa 2 )n+1 dx = (x2 +a
2 )n + 2nJn − 2na Jn+1 . В результате получили так называемое
x
2
рекуррентное соотношение: Jn = (x2 +a
Это соотношение, которое связывает
2 )n + 2nJn − 2na Jn+1 .
между собой Jn и Jn+1 - предыдущее и последующее значения интеграла при возрастании (в данном случае
на единицу) числа n, Разрешая это соотношение относительно Jn+1 получим окончательную формулу для
вычисления этого интеграла: Jn+1 = 2na2 (xx2 +a2 )n + 2n−1
2na2 Jn . Воспользуемся этой формулой при n = 1 :
R dx
1
x
x
1
1
J1 = x2 +a2 = a arctg a + C1 , J2 = 2a2 (x2 +a2 ) + a2 · a arctg xa + C и так далее...
R
ЛЕКЦИЯ 17.
— 31 —
5.5. Интегрирование рациональных функций.
R
R
m
m−1
+...+am−1 x+am
(x)
1x
Наша задача - разработать метод вычисления интегралов вида PQmn (x)
dx = a0bx0 xn+a
+b1 xn−1 +...+bn−1 x+bn dx,
где a0 , a1 , ... , am−1 , am , b0 , b1 , ... , bn−1 , bn - действительные числа.
Если m ≥ n, то дробь называется неправильной и тогда, как известно, из неё можно выделить целую
(x)
S
(x)
часть и правильную дробь: PQmn (x)
= Rm−n (x) + (m−n)−1
, где Rm−n (x) - полином степени m − n, а
Qn (x)
S(m−n)−1 (x) - полином степени меньше чем n. Поскольку интеграл от Rm−n (x) вычисляется тривиально, то
всё дело сводится к нахождению метода интегрирования правильных дробей.
4
3
−1
4x+1
2
Пример. xx2−x
+x+2 = x − 2x + x2 +x+2 .
Вспомним некоторые, ранее известные из курса средней школы, сведения.
Определение 1. Многочленом (полиномом) степени n называют выражение вида fn (z) = A0 z n +
A1 z n−1 + A2 z n−2 + ... + An−1 z + An , где As - комплексные числа, z - комплексная переменная, n - натуральное число.
Теорема 1. Каковы бы ни были полиномы fn (z) и ϕm (z), где m ≤ n, справедливо равенство: fn (z) =
ϕm (z) · qn−m (z) + r(z), где qn−m (z) и r(z) - полиномы, причём степень r(z) меньше степени ϕm (z).
Доказательство. Для доказательства достаточно поделить, (уголком, например) полином fn (z) на полином ϕm (z). При этом станет очевидно, что r(z) - полином степени меньше, чем m - остаток деления
указанных выше полиномов.
Определение 2. Назовём комплексное число α корнем полинома fn (z), если fn (α) = 0.
Теорема 2. Если α - корень полинома fn (z), то fn (z) = (z − α)qn−1 (z).
Доказательство. Действительно, по теореме 1 должно быть fn (z) = (z − α) · qn−1 (z) + r0 , где r0 = const
(степень этого полинома должна быть меньше чем у (z − α) ). Подставив z = α, получим 0 = 0 · qn−1 (α) + r0 ,
откуда сразу следует, что r0 = 0.
Теорема доказана.
Теорема 3. (Основная теорема алгебры) Всякий полином ненулевой степени имеет по крайней мере один
корень.
Эту теорему мы примем без доказательства.
Следствие. Всякий полином степени n имеет ровно n корней и может мыть представлен в виде fn (z) =
A0 (z − α1 )(z − α2 )...(z − αn−1 )(z − αn ), где среди корней α1 , α2 , ..., αn−1 , αn некоторые могут совпадать.
Доказательство. В силу теоремы 2 доказательство этой теоремы очевидно.
Теорема 4. Если fn (z) ≡ 0, то есть полином равен нулю при любом z, то все коэффициенты A0 , A1 , ..., An
равны нулю.
Если два полинома одинакового порядка равны при любом z, то равны все коэффициенты их при одинаковых степенях z, то есть если A0 z n + A1 z n−1 + ... + An−1 z + An ≡ B0 z n + B1 z n−1 + ... + Bn−1 z + Bn , то
A0 = B0 , A1 = B1 , ..., An−1 = Bn−1 , An = Bn .
Доказательство. Согласно следствию теоремы 3 имеем: fn (z) = A0 z n + A1 z n−1 + ... + An−1 z + An =
A0 (z − α1 )(z − α2 )...(z − αn−1 )(z − αn ) ≡ 0. Пусть z 6= α1 , z 6= α2 , ... , z 6= αn−1 , z 6= αn . Тогда очевидно,
что A0 = 0 и fn (z) = A1 z n−1 + ... + An−1 z + An = A1 (z − α2 )...(z − αn−1 )(z − αn ) ≡ 0. Продолжая этот
процесс, получим A1 = 0, A2 = 0, ..., An = 0.
Вторая часть этой теоремы очевидна, поскольку из fn (z) = ϕn (z) следует, что fn (z) − ϕn (z) = 0, то есть
A0 − B0 = 0, A1 − B1 = 0, ..., An − Bn = 0.
Теорема доказана.
Для дальнейшего нам понадобится формула Муавра из теории комплексных чисел. Напомним её. Пусть
z1 и z2 - два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме: z1) = ρ1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 =
ρ2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ), тогда z1 · z2 = ρ1 · ρ2 ((cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ2 cos ϕ1 )) =
ρ1 · ρ2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) . Если положить z1 = z2 = z, получим z 2 = ρ2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ).
Продолжая рассуждения, легко видеть, что z 3 = z 2 · z = ρ3 (cos 3ϕ + i sin 3ϕ), ... , z n = ρn (cos nϕ + i sin nϕ).
Аналогично, z n = ρn (cos nϕ − i sin nϕ), где z - комплексно сопряженное к z число.
Определение 3. Полином Pn (z) = a0 z n +a1 z n−1 +...+an−1 z +an называют полиномом с вещественными
коэффициентами, если все a0 , a1 , ..., an−1 , an - вещественные числа.
Теорема 5. Если Pn (α + iβ) = M + iN, где Pn (z) - полином с вещественными коэффициентами, а M и
N - вещественные числа, то Pn (α − iβ) = M − iN.
Доказательство. Поскольку по формуле Муавра z n = ρn (cos nϕ+i sin nϕ), а z n = ρn (cos nϕ−i sin nϕ),
то при подстановке вместо числа z чисел α + iβ = r(cos θ + i sin θ) и α − iβ = r(cos θ − i sin θ) в левую часть
полинома с вещественными коэффициентами, мы получим одинаковые вещественные части и, соответственно,
одинаковые мнимые части получившихся в результате подстановки комплексных чисел Pn (α + iβ) = M + iN
и Pn (α − iβ) = M − iN, что и утверждалось.
Теорема 6. Если полином Pn (z) с вещественными коэффициентами имеет корень α+iβ, то он необходимо
имеет своим корнем α − iβ.
— 32 —
Доказательство. Пусть α+iβ - корень полинома с вещественными коэффициентами, то есть Pn (α+iβ) =
0, или M + iN = 0. Как хорошо известно, комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда по
отдельности равны нулю действительная и мнимая части этого комплексного числа, то есть когда M = N = 0.
Но тогда и Pn (α − iβ) = M − iN = 0, а это значит, что α − iβ - корень этого полинома.
Теорема доказана.
Следствие. Полином с вещественными коэффициентами, если он имеет хотя бы один комплексный корень,
он в своём разложении на множители содержит хотя бы один множитель вида z 2 + pz + q, где p и q вещественные числа, причём (p2 − 4q) < 0.
Доказательство. Действительно, по основной теореме алгебры, Pn (z) = a0 · (z − a1 ) · (z − a2 ) · ... · (z − an ),
где a1 , a2 ), ..., an - кони полинома Pn (z), комплексные или вещественные. Но если a = α + iβ - комплексный
корень полинома, то обязательно имеется корень a = α − iβ и, следовательно, в приведенном выше представлении полинома как произведение сомножителей обязательно есть два сомножителя вида [z − (α + iβ)] ·
[z − (α − iβ)] ≡ z 2 − 2αz + α2 + β 2 . Обозначая −2α = p, α2 + β 2 = q, получим множитель указанного вида.
Что и требовалось доказать.
Заметим, что если a = α + iβ - комплексный корень кратности k, то a = α − iβ - тоже корень кратности
k. Поэтому соответствующий множитель в разложении полинома выглядит так: (z 2 + pz + q)k .
Окончательный итог наших рассуждений относительно разложения полинома Pn (z), с вещественными
коэффициентами на множители выглядит так: всякий полином с вещественными коэффициентами может
быть разложен на множители следующим образом:
Pn (z) = a0 · (z − λ1 )k1 · (z − λ2 )k2 · ... · (z − λs )ks · (z 2 + p1 z + q1 )r1 · ... · (z 2 + pj z + qj )rj ,
где λ1 , λ2 , ..., λs - вещественные корни полинома кратности k1 , k2 , ..., ks , а α1 + iβ1 , ..., αj + iβj -комплексные
корни полинома кратности r1 , ..., rj . При этом k1 + k2 + ... + ks + 2r1 + ... + 2rj = n.
Сейчас мы можем перейти к вопросу о разложении правильных дробей на простейшие дроби.
ЛЕКЦИЯ 18.
Bx+C
A
Определение 4. Дроби вида (x−λ)
k и (x2 +px+q)r , где A, B, C, λ, p, q - вещественные числа, k ≥ 1, r ≥ 1
- целые числа, называют простейшими.
(x)
Теорема 7. Всякая правильная дробь PQmn (x)
, где в числителе и знаменателе стоят полиномы с вещественными коэффициентами, причём знаменатель дроби имеет разложение на множители вида
Qn (x) = (x − λ1 )k1 · (x − λ2 )k2 · ... · (x − λs )ks · (x2 + p1 x + q1 )r1 · ... · (x2 + pj x + q1 )rj ,
может быть представлена в виде суммы простейших дробей следующим образом:
A1
Ak1 −1
B1
Bk2 −1
Pm (x)
A0
B0
=
+
+ ... +
+
+
+ ... +
+ ...
Qn (x)
(x − λ1 )k1
(x − λ1 )k1 −1
(x − λ1 ) (x − λ2 )k2
(x − λ2 )k2 −1
(x − λ2 )
+
C1
Cks −1
U0 x + V0
U1 x + V1
Ur −1 x + Vr1 −1
C0
+
+ ... +
+ 2
+ 2
+ ... + 21
+
k
k
−1
r
r
−1
s
s
1
1
(x − λs )
(x − λs )
(x − λs ) (x + p1 x + q1 )
(x + p1 x + q1 )
(x + p1 x + q1 )
+
(x2
Rrj −1 x + Trj −1
R0 x + T0
R1 x + T1
+
+
...
+
.
r
r
−1
2
+ pj x + q j ) j
(x + pj x + qj ) j
(x2 + pj x + qj )
Доказательство: Доказательство этой теоремы разобьём на две части.
В первой части рассмотрим случай вещественного корня. Пусть λ1 - вещественный корень полинома
S(x)
(x)
A0
= (x−λ
Qn (x) кратности k1 , то есть Qn (x) = (x−λ1 )k1 ·Q̂n−k1 (x). Докажем, что PQmn (x)
.
k +
(x−λ )k1 −1 ·Q̂
(x)
1) 1
1
С этой целью рассмотрим тождество
Pm (x)
Qn (x)
≡
A0
(x−λ1 )k1
+ (x−λ )Pk1m·(x)
− A0
Q̂n−k1 (x) (x−λ1 )k1
1
=
A0
(x−λ1 )k1
n−k1
Pm (x)−A0 ·Q̂n−k1 (x)
+ (x−λ
.
k
1 ) 1 ·Q̂n−k1 (x)
Подберём A0 так, чтобы λ1 было корнем полинома Pm (x) − A0 · Q̂n−k1 (x), то есть потребуем, чтобы
1)
было выполнено равенство Pm (λ1 ) − A0 · Q̂n−k1 (λ1 ) = 0; отсюда A0 = Q̂Pm (λ(λ
. Но если полином
)
n−k1
1
Pm (x) − A0 · Q̂n−k1 (x) имеет корень λ1 , то Pm (x) − A0 · Q̂n−k1 (x) = (x − λ1 ) · S(x). Следовательно,
Pm (x)
Qn (x)
Pm (x)−A0 ·Q̂n−k1 (x)
(x−λ1 )k1 ·Q̂n−k1 (x)
(x−λ1 )·S(x)
A0
+ (x−λ )k1S(x)
= (x−λ
, что и
k
−1 ·Q̂
(x−λ1 )k1 ·Q̂n−k1 (x)
1) 1
1
n−k1 (x)
S(x)
требовалось. Если k1 > 1, к правильной дроби (x−λ )k1 −1 ·Q̂
можно снова применить тот же процесс. В
1
n−k1 (x)
Ak1 −1
(x)
A0
+ (x−λA1 1)k1 −1 + ... + (x−λ
итоге PQmn (x)
= (x−λ
+ Q̂ P̂ (x)(x) .
k
1)
1) 1
n−k1
Перейдём ко второй части доказательства. Пусть Qn (x) = (x2 + p1 x + q1 )r1 · Q̃n−r1 (x). Опять запишем
Pm (x)−(U0 x+V0 )·Q̃n−r1 (x)
(x)
Pm (x)
U0 x+V0
U0 x+V0
тождество: PQmn (x)
≡ (x2 +p
− U0 x+V0
= (x2 +p
.
r +
r +
1 x+q1 ) 1
1 x+q1 ) 1
(x2 +p1 x+q1 )r1 ·Q̃n−r1 (x) (x2 +p1 x+q1 )r1
(x2 +p1 x+q1 )r1 ·Q̃n−r1 (x)
≡
A0
(x−λ1 )k1
+
=
A0
(x−λ1 )k1
+
— 33 —
Подберём константы U0 и V0 так, чтобы полином Pm (x) − (U0 x + V0 ) · Q̃n−r1 (x) делился на (x2 + p1 x + q1 ).
Для этого
необходимо, чтобы α1 + iβ1 и α1 − iβ1 были корнями полинома Pm (x) − (U0 x + V0 ) · Q̃n−r1 (x),
Pm (α1 + iβ1 ) − [U0 (α1 + iβ1 ) + V0 ] · Q̃n−r1 (α1 + iβ1 ) = 0,
то есть
Pm (α1 − iβ1 ) − [U0 (α1 − iβ1 ) + V0 ] · Q̃n−r1 (α1 − iβ1 ) = 0.
Пусть Pm (α1 + iβ1 ) = M + iN, Pm (α1 − iβ1 ) = M −
iN, Q̃n−r1 (α1 + iβ1 ) = K + iL, Q̃n−r1 (α1 −
M + iN − [U0 (α1 + iβ1 ) + V0 ] · (K + iL) = 0,
iβ1 ) = M − iN. Тогда предыдущая система примет вид:
M − iN − [U0 (α1 − iβ1 ) + V0 ] · (K − iL) = 0.
Выделяя
в этой системе действительные и мнимые части и приравнивая их по отдельности к нулю, получим:
M − (U0 + α1 V0 )K + U0 βL = 0,
Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными U0 и V0 .
N − (U0 + α1 V0 )L + U0 βK = 0.
Определитель этой системы, равный K 2 + L2 , отличен от нуля, поскольку Q̃n−r1 (α1 + iβ1 ) = K + iL 6= 0
по построению. Поэтому система имеет единственное решение. Следовательно, существуют такие U0 и V0 ,
что полином Pm (x) − (U0 x + V0 ) · Q̃n−r1 (x) делится на (x2 + p1 x + q1 ) : Pm (x) − (U0 x + V0 ) · Q̃n−r1 (x) =
(x2 + p1 x + q1 )S̃(x). А отсюда следует, что
2
(x +p1 x+q1 )S̃(x)
(x2 +p1 x+q1 )r1 ·Q̃n−r1 (x)
=
U0 x+V0
(x2 +p1 x+q1 )r1
+
Pm (x)
Qn (x)
≡
U0 x+V0
(x2 +p1 x+q1 )r1
+
Pm (x)−(U0 x+V0 )·Q̃n−r1 (x)
(x2 +p1 x+q1 )r1 ·Q̃n−r1 (x)
=
U0 x+V0
(x2 +p1 x+q1 )r1
+
S̃(x)
.
(x2 +p1 x+q1 )r1 −1 ·Q̃n−r1 (x)
Продолжая процесс, приходим к требуемому теоремой результату.
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы видно, что для вычисления интегралов от рациональных функций необходимо уметь
вычислять
от простейших дробей. Перечислим эти интегралы.
R интегралы
dx
=
ln
|x
− λ| + C.
1◦ .
x−λ
R dx
(x−λ)1−k
◦
2 .
= 1−k + C.
(x−λ)k
R
R d( at )
R
R
R
R dt
d(x+ p
1
dx
dx
2)
= a1 z2dz±1 . Это уже таблич3◦ . x2 +px+q
=
=
= t2 ±a
2
2 = a
p 2
p2
p 2
p2
(x+ 2 ) +(q− 4 )
(x+ 2 ) +(q− 4 )
( at ) ±1
2
ный интеграл. При вычислении этого интеграла мы приняли обозначения x + p2 = t, q − p4 = ±a2 .
R
R
dx
dt
4◦ . (x2 +px+q)
= Jk . Это интеграл, который считается по полученной нами ранее рекуррентk =
(t2 ±a2 )k
ной формуле.
Таким образом, мы видим, что интегралы от всех четырёх видов элементарных дробей всегда берутся в элементарных функциях. Это значит, что интеграл от рациональной функции всегда берётся в элементарных
функциях.
5.6. Интегрирование иррациональностей.
В этом разделе мы рассмотрим различные типы интегралов, у которых подинтегральное выражение представляет собой рациональную функцию от иррациональных аргументов.
Рассмотрим 3 типа интегралов такого рода.
r p
R
αx+β s
αx+β q
dx, где R - рациональная функция своих аргументов, а pq , ... , rs , ..., γx+δ
I. J = R x, γx+δ
числовые дроби. Пусть общий знаменатель дробей
m
p
q,
... , rs равен m. Делаем подстановку
m−1
m
m−1
m
αx+β
γx+δ
= tm . В этом
δ(α−γt )−mt
γ(δt −β)
- рациональное выражение, dx = mt
dt - тоже рациональное
(α−γtm )2
r
pq
p
s
r
выражение, αx+β
= (tm ) q = tk , k - целое число, αx+β
= (tm ) s = tl , l - тоже целое число. В итоге:
γx+δ
γx+δ
R
R P (t)
J = R̂(t)dt ≡ Q(t)
dt - интеграл от рационального выражения.
√
R
II. J = R(x, ax2 + bx + c)dx, где R - рациональная функция своих аргументов, ax2 + bx + c произвольный трёхчлен.
Необходимо различать два случая, а именно: квадратный трёхчлен имеет действительные корни, квадратный
трёхчлен действительных корней не имеет.
2
В первом случае,
− α)(x − β). Делаем подстановку:
√ если α и β -qкорни трёхчлена, то ax + bx + c = a(x
√
√
2
2
2
2
a(x−α)(x−β)
2αt(t
−a)−2t(αt
−βa)
αt
−βa
x−β
+bx+c
=
= a x−α , тогда x = t2 −a , dx =
dt,
t = axx−α
ax2 + bx + c =
x−α
(t2 −a)2
2
R
R
P (t)
−βa
− α . В итоге: J = R̂(t)dt ≡ Q(t)
dt - интеграл от рационального выражения.
t αtt2 −a
Во втором случае, когда корни квадратного трёхчлена комплексные, обязательно должно быть выполнено
ax2 + bx + c > 0, a > 0 - квадратный
трёхчлен
√
√ стоит под корнем и не имеет действительных корней. В этом
случае делаем подстановку: ax2 + bx + c = ε ax + t, где ε = ±1 в зависимости от конкретного
примера.
√
√
2t(b−2ε at)+(t2 −c)2ε a
t2 −c
√ 2
√ ,
dt,
dx
=
Разрешая последнее равенство относительно x, получим x = b−2ε
(b−2ε at)
at
случае x =
δt −β
α−γtm
— 34 —
√
√
√ t2 −c
√
ax2 + bx + c = ε ax + t = ε a b−2ε
+ t. Подставив все эти выражения под интеграл, получим: J =
at
R P (t)
R̂(t)dt ≡ Q(t) dt - интеграл от рационального выражения.
Замечание. Подстановки, сделанные выше называются подстановками
Эйлера.
R
III. Интегрирование дифференциального бинома. J = xm (a + bxn )p dx, где a, b - постоянные
вещественные числа, m, n, p - рациональные числа.
Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев доказал, что этот интеграл берётся в элементарных
1
1
функциях только в трёх случаях. Укажем их. Для этого сделаем замену xn = z, x = z n , dx = n1 z n −1 dz.
R
m+1
После этого интеграл примет вид: J = n1 z n −1 (a + bz)p dz.
1. Если p - целое число, (положительное, отрицательное, или равное нулю),
интеграл имеет
то исходный
pq
rs
R
R
r
вид J = R(z, z s )dz, то есть он относится к интегралам типа I. J = R x, αx+β
, ..., αx+β
dx,
γx+δ
γx+δ
R
который мы уже рассматривали выше.
m+1
2. Если
- целоечисло, тогда m+1
n
n − 1 - тоже целое число и наш интеграл относится к интегралам
R
r
вида J = R z, (a + bz) s dz - это тоже интеграл, относящийся к типу I.
3. Если m+1
n + p - целое число.
p
R m+1
R m+1
R m+1
1
dz - опять пришли к интеJ = n z n −1 (a + bz)p dz = n1 z n +p−1 ( az + b)p dz = n1 z n +p−1 a+bz
z
гралу типа I.
1
1
Во втором и третьем случае интеграл реализуется подстановкой t = (a + bz) s и t = b + az s , где s знаменатель дроби p.
Во всех остальных случаях интеграл от дифференциального бинома выразить в элементарных функциях
невозможно.
ЛЕКЦИЯ 19.
5.7. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.
R
J = R(sin x, cos x)dx, где R - рациональная функция своих аргументов.
Вычислить этот интеграл всегда возможно при помощи универсальной тригонометрической подстановки t =
2 tg x
2
1+tg2 x
2
1−tg2
1+tg2
x
2
x
2
1−t2
1+t2 ,
2dt
x = 2 arctg t, dx = 1+t
Сделав
2.
R
R Pm (t)
эти замены, получим интеграл от от рациональной функции вида J = R̂(t)dt = Qn (t) dt, а интеграл от
рациональной функции, как мы уже выяснили, всегда берётся в элементарных функциях.
Универсальная подстановка всегда приведёт к цели, но, как правило, приводит к достаточно громоздким
вычислениям. Поэтому, в частных случаях,Rудобно использовать подстановки, быстрее приводящие к цели.
Рассмотрим, например, интеграл J1 = R(sin x) · cos xdx,
где R - рациональная функция своего аргуменR
та. Замена очевидна: t = sin x, cos
xdx
=
dt.
Тогда:
J
=
R(t)dt.
1
R
dt
Рассмотрим интеграл J2 = R(tg x)dx. Замена tg x = t, x = arctg t, dx = 1+t
После этой замены
2.
R R(t)
интеграл принимает вид: J2 = 1+t2 dt.
R
Рассмотрим,
наконец, интеграл RJ3 = (sin x)2p+1 cosq xdx,
R
R где p и q - целые числа. R
J3 = (sin x)2p+1 cosq xdx = (sin x)2p cosq xd cos x = (1 − cos2 x)p cosq xd cos x = (1 − t2 )p · tq · dt это уже интеграл от рациональной функции.
tg x2 . Поскольку sin x =
=
2t
1+t2 ,
cos x =
=
Глава 6
Определённый интеграл и его
приложения.
ЛЕКЦИЯ 20.
6.1. Задача об определении площади криволинейной трапеции и определение определённого
интеграла.
Пусть задана непрерывная на сегменте [a, b] функция y = f (x) > 0. Поставим себе задачу найти площадь
криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью 0 − x, сверху - кривой f (x), слева и справа - прямыми
x = a и x = b. Разобъём отрезок a, b на n частей произвольным образом: a = x0 < x1 < x2 < ... < xk <
xk+1 < ... < xn = b. Построим прямоугольники высотой f (xk ) и основанием ∆xk = xk+1 − xk . Площадь
каждого из этих прямоугольников равна Sk = f (xk ) · ∆xk . Сумма площадей всех этих прямоугольников
n−1
P
Sk = f (x0 ) · ∆x0 + f (x1 ) · ∆x1 +
приблизительно равна площади искомой криволинейной трапеции: S ≈
k=0
...+f (xn−1 )·∆xn−1 =
n−1
P
f (xk ) · ∆xk . Очевидно, что если мы разобъём отрезок a, b на большее число частей,
k=0
ошибка, допущенная при вычислении указанным выше способом, уменьшится. Увеличивая число делений, мы
n−1
P
f (xk ) · ∆xk .
будем уменьшать ошибку. Таким образом, мы приходим к необходимости рассматривать lim
n→∞ k=0
Если этот предел существует, то мы можем принять его за искомую площадь заданной криволинейной трапеции.
Отвлечёмся теперь от этой конкретной задачи и будем изучать пределы указанных выше сумм, только в более
общей и строгой постановке. Откажемся, например, от требования, что функция f (x) > 0, она непрерывна на
сегменте [a, b и так далее.
И так: пусть на сегменте [a, b] определена функция y = f (x). Разобъём отрезок a, b на n частей
произвольным образом: a = x0 < x1 < x2 < ... < xk < xk+1 < ... < xn = b. Пусть ξk - произвольная
def
фиксированная точка из [xk , xk+1 ], ∆xk = xk+1 − xk , λ = max{∆xk }, (k = 0, 1, 2, ... , n − 1).
n−1
P
Определение 1. Число σ =
f (ξk ) ∆xk называется интегральной суммой для функции y = f (x),
k=0
соответствующей данному разбиению и выбору точек ξk .
Определение 2. Число J называется пределом интегральной суммы σ при λ → 0, если для ∀ ε >
0 ∃ δ(ε), такое, что как только λ < δ, так сразу выполнится неравенство |σ − J| < ε, не зависящее ни от
n−1
P
способа разбиения сегмента [a, b] на части, ни от выбора точек ξk : J = lim
f (ξk ) ∆xk .
λ→0 k=0
Определение 3. Функция f (x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a, b], если существует конечный предел интегральной суммы σ при λ → 0. Этот предел называют определённым интеграRb
лом от функции f (x) и обозначают символом J = f (x)dx.
a
Вопрос: какие функции интегрируемы по Риману, а какие нет?
Теорема 1. Неограниченная на сегменте [a, b] функция не интегрируема на этом сегменте.
Доказательство. Действительно, как бы мы не разбивали сегмент [a, b] на части, всегда найдётся такой
сегмент [xk , xk+1 ], где функция не ограничена, то есть слагаемое f (ξk ) ∆xk может быть сделано за счёт
выбора точки ξk сколь угодно большим по абсолютной величине. Тем самым интегральная сумма становится
неограниченной и конечного предела J интегральных сумм σ не существует, что и требовалось доказать.
35
— 36 —
Таким образом, из теоремы 1 вытекает, что нам необходимо рассматривать лишь ограниченные на сегменте
[a, b] функции. Но все ли ограниченные на сегменте [a, b] функции интегрируемы по Риману? Ответ: нет. Для
того, чтобы убедиться в этом достаточно рассмотреть, например, функцию Дирихле: f (x) = 1, если x рациональное число, и f (x) = 0, если x - иррациональное число. Эта функция принимает значения только
1 или 0, поэтому она заведомо ограничена на сегменте [a, b], однако значения интегральных сумм этой
функции существенно зависят от того, как мы выберем точки ξk . Если все ξk - рациональные числа, то
σ = ∆x0 + ∆x1 + ... + ∆xn−1 = b − a, если же в качестве ξk выбирать только иррациональные числа,
то σ = 0. Предела интегральных сумм, не зависящих от выбора точек ξk нет, поэтому функция Дирихле не
интегрируема по Риману.
Будем искать условия, при выполнении которых мы могли бы сказать интегрируема или нет на сегменте [a, b]
данная функция. С этой целью введем понятие сумм Дарбу.
6.2. Суммы Дарбу и их свойства.
Пусть на сегменте [a, b] определена функция y = f (x). Разобъём отрезок a, b на n частей произdef
вольным образом: a = x0 < x1 < x2 < ... < xk < xk+1 < ... < xn = b. Обозначим Mk = sup f (x), x ∈
def
[xk , xk+1 ], mk = inf f (x), x ∈ [xk , xk+1 ].
n−1
n−1
P
P
Определение. Суммы S =
Mk ∆xk , и s =
mk ∆xk
k=0
называются соответственно верхней и
k=0
нижней суммами Дарбу, соответствующими данному разбиению. Так как mk ≤ f (ξk ) ≤ Mk , очевидно,
что s ≤ σ ≤ S.
Свойство 1. Для любого фиксированного разбиения сегмента [a, b] и для любого ε > 0 точки ξk можно
выбрать так, чтобы интегральная сумма удовлетворяла неравенству 0 ≤ S − σ < ε.
ε
Доказательство. Зададим ε > 0, построим число b−a
. По определению точной верхней грани Mk
ε
ε
всегда найдётся такая точка ξk , что f (ξk ) > Mk − b−a , то есть 0 ≤ Mk − f (ξk ) < b−a
. Умножим последнее
n−1
n−1
P
P
неравенство на ∆xk и просуммируем результат умножения по k. Получим 0 ≤
Mk ∆xk −
f (ξk )∆xk =
k=0
n−1
P
k=0
ε
b−a ∆xk
=
ε
b−a
n−1
P
k=0
∆xk =
ε
b−a
k=0
· (b − a) = ε, или 0 ≤ S − σ < ε, что и требовалось доказать.
Свойство 2. Если к фиксированному разбиению добавить новые точки разбиения, то верхняя сумма Дарбу
может от этого только уменьшиться, а нижняя - только возрасти.
Доказательство. Действительно, добавим к сегменту [xk , xk+1 ] ещё одну точку разбиения x0 . Тогда
0
Mk , и Mk00 - соответственно точная верхняя грань для функции f (x), когда x ∈ [xk , x0 ], и x ∈ [x0 , xk+1 ].
Очевидно,что Mk0 ≤ Mk , Mk00 ≤ Mk . Поскольку ∆x0k + ∆x00k = ∆xk , то Mk0 ∆x0k + Mk00 ∆x00k ≤ Mk (∆x0k +
∆x00k ) = Mk ∆xk . Отсюда S 0 ≤ S. Аналогично доказывается, что s0 ≥ s.
Свойство доказано.
Свойство 3. Любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой другой верхней суммы Дарбу.
Доказательство. Действительно, рассмотрим нижние и верхние суммы Дарбу, принадлежащие двум разным разбиениям: s1 , S1 и s2 , S2 . Докажем, что s1 ≤ S2 . Для этого объединим первое и второе разбиения.
Вследствие этого возникнет третье разбиение с нижней суммой Дарбу s3 и верхней суммой Дарбу S3 . В силу
свойства 2 имеем: s1 ≤ s3 ≤ S3 ≤ S2 - нижняя сумма Дарбу одного разбиения не превосходит верхнюю сумму
Дарбу другого разбиения, что и требовалось доказать.
6.3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции (по Риману).
Из свойств сумм Дарбу вытекает, что существует sup s = j и inf S = J. Легко показать, что j ≤ J.
Действительно, предположим противное: j ≥ J. Тогда положим j − J = ε > 0. Из определения точной
верхней грани следует: найдётся такое s0 , что s0 > j − 2ε . Из определения точной нижней грани следует, что
найдётся такое S 00 , что S 00 < J + 2ε или, что то же −S 00 > −J − 2ε . Складывая два неравенства, получаем:
s0 − S 00 > j − J − ε = 0, s0 > S 00 - противоречие свойству 3. Это противоречие доказывает, что наше исходное
предположение неверно.
Теорема о необходимом и достаточном условии интегрируемости функции. Для того, что бы ограниченная на сегменте [a, b] функция f (x) была интегрируема, необходимо и достаточно чтобы для любого
наперёд заданного ε > 0 нашлось такое разбиение сегмента [a, b], для которого |S − s| < ε.
Необходимость. Пусть f (x) - интегрируема. Это означает, что для любого ε > 0 найдётся такое δ > 0,
что для любого разбиения, удовлетворяющего условию λ < δ, независимо от выбора точек ξk , выполнено
неравенство |σ − J| < 4ε . С другой стороны всегда можно выбрать точки ξk0 так, чтобы S − σ 0 < 4ε ,
а также точки ξk00 так, чтобы σ 00 − s < 4ε . Рассмотрим |S − s| = |S − σ 0 + σ 0 − J + J − σ 00 + σ 00 − s| ≤
|S − σ 0 | + |σ 0 − J| + |J − σ 00 | + |σ 00 − s| < 4ε + 4ε + 4ε + 4ε = ε. В итоге |S − s| < ε.
— 37 —
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть |S − s| < ε для некоторого разбиения. Из самого определения величин ясно, что
s ≤ j ≤ J ≤ S. Поскольку выполняется неравенство |S − s| < ε, автоматически выполняется неравенство
0 < J − j < ε. Но J и j - конкретные числа и разность между ними J − j - тоже конкретное число, тогда
как ε мы выбираем произвольно. И если окажется, что J 6= j, то выбрав за ε любое число, меньшее, чем
разность J − j мы приходим к противоречию, избежать которого можно только в случае, если j = J. Так как
J = lim S, j = lim s а s < σ < S, то на основании теоремы о двух милиционерах, получаем, что lim σ
λ→0
λ→0
λ→0
существует и равен общему значению j = J.
Достаточность доказана.
ЛЕКЦИЯ 21.
Теорема 1. Непрерывная на сегменте [a, b] функция f (x) интегрируема на этом сегменте.
Доказательство. В силу теоремы Кантора непрерывная на сегменте [a, b] функция f (x) равномерно
непрерывна на этом сегменте. Это означает, что задавшись ε > 0, мы найдём δ > 0, (для всего сегмента одно,
зависящее только от выбора ε и не зависящее от x ) такое, что как только выполнится неравенство ∆xk < δ,
def
так сразу выполнится ωk = Mk − mk <
ε
b−a .
(В силу непрерывности функции f (x) Mk и mk достигаются
n−1
n−1
P
P
ε
ε
на каждом сегменте [xk , xk+1 ] ). Но тогда S − s =
ωk ∆xk < b−a
∆xk = b−a
· (b − a) = ε. В итоге k=0
k=0
S − s < ε - необходимое и достаточное условие интегрируемости функции выполнено.
Теорема 2. Ограниченная на сегменте [a, b] функция f (x), имеющая на этом сегменте конечное точек
разрыва первого рода, интегрируема (по Риману) на сегменте [a, b].
Доказательство. Пусть p - число точек разрыва. Зададимся ε > 0. Покроем каждую точку разрыва
интервалом длины pε . Вне этих интервалов имеем сегменты, где функция непрерывна. Рассмотрим S − s =
n−1
P
ωk ∆xk . Разобъём эту сумму на две части: первая часть - это сумма по интервалам, покрывающим точки
k=0
разрыва:
p
P
i=1
n−1
P
ωi0 ∆xi , вторая часть - сумма по всем остальным сегментам:
ωk ∆xk =
p
P
i=1
k=0
ωi0 ∆xi +
n−p−1
P
j=0
p
P
ωi0 < M − m. Следовательно,
i=1
n−p−1
P
j=0
ωj00 ∆xj . В результате: S − s =
ωj00 ∆xj . Если обозначить M = sup f (x), m = inf f (x), x ∈ [a, b], то
def
ωi0 ∆xi < (M − m) · pε · p = (M − m) · ε = ε1 . В силу непрерывности функции
на остальных сегментах, на основании теоремы 1, для второй части суммы имеем:
n−p−1
P
j=0
ωj00 ∆xj < ε2 . В итоге:
def
S − s < ε1 + ε2 = ε - это необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.
Теорема доказана.
6.4. Основные свойства определённого интеграла.
1◦ .
2◦ .
Ra
a
Rb
a
f (x)dx = 0.
Ra
f (x)dx = − f (x)dx, поскольку, если мы идём от точки a к точке b, (будем считать, что a < b )
b
то ∆xk = xk+1 − xk > 0, а если от точки b к точке a то ∆xk < 0, что и доказывает утверждение.
Rb
Ra
3◦ . Если f (x) и h(x) - интегрируемые на сегменте [a, b] функции, то [f (x) ± h(x)]dx = f (x)dx ±
a
Ra
b
h(x)dx.
b
Ra
4◦ . Если f (x) - интегрируемая на сегменте [a, b] функция и k = const, то
b
◦
k · f (x)dx = k ·
Ra
f (x)dx.
b
5 . Если функция f (x) - интегрируема на сегменте [a, c] и на сегменте [c, b]. Тогда функция f (x)
Rb
Rc
Rb
интегрируема на сегменте [a, b] и выполнено равенство f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
a
a
c
Доказательство. Необходимо рассмотреть три случая: 1. a < c < b, 2. a < b < c, 3. c < a < b.
1. a < c < b, Рассмотрим интегральную сумму
— 38 —
n−1
P
σ =
P
f (ξk )∆xk =
k=0(a<x<b)
P
f (ξk )∆xk +
(a<x<c)
f (ξk )∆xk ≡ σ1 + σ2 . Поскольку функция f (x) -
(c<x<b)
интегрируема на сегменте [ a, c ], существует конечный, не зависящий от способа разбиения и выбора точек
Rc
ξk , предел интегральной суммы σ1 : lim σ1 = f (x)dx. Аналогично, поскольку функция f (x) - интегрируλ1 →0
a
ема на сегменте [ c, b ], существует конечный, не зависящий от способа разбиения и выбора точек ξk , предел
Rb
интегральной суммы σ2 :
lim σ2 = f (x)dx. Если выбрать λ = max(λ1 , λ2 ), то ясно, что существует
λ2 →0
Rb
c
f (x)dx = lim σ = lim σ1 + lim σ2 =
λ→0
a
λ→0
2. a < b < c.
λ→0
Rc
a
f (x)dx +
Rb
f (x)dx.
c
Rc
На основании рассмотренного выше случая, можно утверждать, что
f (x)dx =
a
Rc
f (x)dx. Далее, пользуясь свойством 2◦ , получим:
Rb
Rc
f (x)dx =
a
b
f (x)dx −
a
Rc
f (x)dx =
Rb
Rc
f (x)dx +
a
b
f (x)dx +
a
Rb
f (x)dx.
c
3. Третий случай, когда c < a < b, доказывается совершенно аналогично.
Rb
6◦ . Если f (x) ≥ 0 и интегрируема на сегменте [a, b], то f (x)dx ≥ 0.
a
7◦ . Если f (x) ≥ g(x) и интегрируема на сегменте [a, b], то
Rb
f (x)dx ≥
a
Rb
g(x)dx.
a
8◦ . Если f (x) и интегрируема на сегменте [a, b], то интегрируема и функция |f (x)| , причём
Rb
f (x)dx ≤
a
Rb
|f (x)|dx. Это свойство следует из очевидного неравенства:
n−1
P
f (ξk )∆xk ≤
n−1
P
k=0
a
|f (ξk )|∆xk . (Напомню, что
k=0
мы считаем ∆xk > 0. )
9◦ . Общая теорема о среднем. Пусть функция f (x) · g(x) интегрируема на сегменте [a, b], пусть M =
Rb
sup f (x), m = inf f (x), при x ∈ [a, b]. Тогда всегда найдётся такое число m ≤ µ ≤ M, что f (x) · g(x)dx =
a
Rb
µ g(x)dx.
a
Доказательство. Исходим из неравенства m ·
Rb
g(x)dx ≤
a
Rb
f (x) · g(x)dx ≤ M ·
a
Rb
g(x)dx, которое всегда
a
имеет место, если g(x) > 0. (Если g(x) < 0, рассмотрение полностью аналогично, при g(x) = 0 утверждение
тривиально.) В таком случае
Rb
Rb
f (x)·g(x)dx
a
g(x)dx > 0. Из неравенств вытекает m ≤
Rb
a
≤ M. Обозначая
g(x)dx
a
Rb
µ=
f (x)·g(x)dx
a
Rb
, сразу приходим к требуемому равенству:
Rb
f (x) · g(x)dx = µ ·
a
g(x)dx
Rb
g(x)dx.
a
a
Теорема доказана.
Замечание 1. Если f (x) непрерывна на сегменте [a, b], то она на этом сегменте достигает свою точную
верхнюю грань M, точную нижнюю грань m и принимает все значения между ними. Тогда существует точка
Rb
Rb
ξ ∈ [a, b] такая, что µ = f (ξ), и терема о среднем примет вид: f (x) · g(x)dx = f (ξ) · g(x)dx.
a
a
Замечание 2. Если g(x) ≡ 1 и все условия теоремы о среднем выполнены, то
Rb
a
µ · (b − a), а для непрерывной функции f (x) имеем:
Rb
f (x)dx = µ ·
Rb
dx =
a
f (x)dx = f (ξ) · (b − a).
a
6.5. Формула Ньютона - Лейбница.
Пусть f (t) непрерывна на сегменте [a, b]. Рассмотрим функцию F (x) =
Rx
f (t)dt, где x ∈ [a, b]. Докажем,
a
что F (x) - первообразная функции f (x), то есть, что Fx0 (x) = f (x). Действительно, F (x + ∆x) − F (x) =
x+∆x
x+∆x
R
Rx
R
(x)
f (t)dt− f (t)dt =
f (t)dt = f (ξ) · ∆x, где ξ ∈ [x, x + ∆x]. Следовательно, F (x+∆x)−F
= f (ξ).
∆x
a
a
x
Переходя в этом равенстве к пределу при ∆x → 0, получим Fx0 (x) = f (x). (Ясно, что при ∆x → 0, ξ → x. )
— 39 —
Мы знаем, что что все первообразные функции f (x) отличаются лишь на постоянную: Φ(x) = F (x) + C,
Ra
Rx
поэтому Φ(x) = f (t)dt + C. Положим x = a. Тогда Φ(a) = f (t)dt + C = 0 + C, то есть Φ(a) = C. При
a
a
x = b имеем: Φ(b) =
Rb
f (t)dt + Φ(a), или
a
Rb
a
def
b
f (t)dt = Φ(b) − Φ(a) = Φ(x)|a . Последняя формула называется
формулой Ньютона - Лейбница.
6.6. Методы интегрирования заменой переменных и по частям.
Теорема 1. Пусть f (x) непрерывна на сегменте [a, b] и пусть x = ϕ(t) такова, что при t ∈ [α, β]
переменная x пробегает все точки сегмента [a, b], причём a = ϕ(α), b = ϕ(β). Кроме того, пусть ϕ(t) имеет
Rb
Rβ
непрерывную производную на сегменте [α, β]. Тогда f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ0t dt.
a
α
Доказательство. Поскольку функция f (x) непрерывна на сегменте [a, b], она имеет первообразную
Rb
Φ(x), причём, согласно формуле Ньютона - Лейбница,
f (x)dx = Φ(b) − Φ(a). С другой стороны, расa
смотрим дифференцируемую функцию Φ(ϕ(t)). Её производная имеет вид:
Следовательно, Φ(ϕ(t)) - есть первообразная функции f (ϕ(t))·ϕ0t . Поэтому
dΦ(ϕ(t))
dt
Rβ
α
Φ(ϕ(β)) − Φ(ϕ(α)) = Φ(b) − Φ(a) =
Rb
= Φ0ϕ · ϕ0t = f (ϕ(t)) · ϕ0t .
β
f (ϕ(t)) · ϕ0t (t)dt = Φ(ϕ(t))|α =
f (x)dx.
a
Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a, b]. Тогда имеет
Rb
Rb
b
место формула: udv = (uv)|a − vdu.
a
a
Rb
Доказательство. Действительно, рассмотрим
(udv + vdu) =
a
Следовательно,
Rb
udv +
a
Rb
vdu =
a
b
uv|a
Rb
(uv 0 + u0 v) dx =
a
Rb
a
0
b
(uv) dx = uv|a .
, откуда требуемая формула получается очевидным образом.
Теорема доказана.
ЛЕКЦИЯ 23.
6.7. Первоначальные сведения о несобственных интегралах.
1◦ . Несобственные интегралы первого рода. Пусть функция f (x) интегрируема в любой точке полупрямой [a, ∞). Рассмотрим сегмент [a, A], где ∀ A ∈ [a, ∞), а на этом сегменте рассмотрим интеграл
RA
RA
F (A) = f (x)dx. Если при A → ∞ существует предел I = lim F (A) = lim f (x)dx, то этот предел наA→∞
a
A→∞ a
зывается несобственным интегралом первого рода от функции f (x) на промежутке [a, ∞). Для интеграла
R∞
I используется обозначение I = f (x)dx.
a
Если предел существует и он конечен, то говорят, что интеграл сходится. Если же предел не существует,
R∞
или он равен бесконечности, то выражение
f (x)dx понимают как некоторый символ и говорят, что интеграл
a
расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл вида
Ra
f (x)dx =
−∞
интеграл
R∞
f (x)dx понимают как сумму двух несобственных интегралов
−∞
lim
Ra
A→−∞ A
R∞
f (x)dx, а несобственный
f (x)dx =
−∞
Ra
R∞
f (x)dx+ f (x)dx.
−∞
a
Замечание 1. В отличие от несобственных интегралов, обычный интеграл Римана по конечному промежутку
называется собственным интегралом.
Замечание 2. Из свойств собственного интеграла и определения несобственного интеграла для любых веRb
R∞
R∞
щественных a и b тривиально имеем f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx.
a
Пример 1.
R∞
0
dx
1+x2
RA
dx
2
A→∞ 0 1+x
= lim
=
b
A
lim arctg x|0
A→∞
a
= lim (arctg A − arctg 0) =
A→∞
π
2
- интеграл сходится.
— 40 —
Пример 2. При любом a > 0 справедливо равенство
R∞ dx
a
xα
(
=
1
A→∞ 1−α
A1−α − a1−α , α 6= 1,
lim
lim (ln A − ln a),
A→∞
α = 1.
1
1−α
,
α−1 a
Отсюда следует, что этот интеграл сходится при α > 1 и равен
и расходится при α ≤ 1.
2◦ . Несобственные интегралы второго рода. До этого момента мы предполагали, что функция конечна
всюду на рассматриваемом сегменте [a, b]. А как поступать, если функция терпит бесконечный разрыв в одной
из точек этого сегмента, например, в точке b ?
Пусть функция f (x) задана на промежутке [a, b) и не ограничена на нём. Пусть эта функция интегрируема
на любом промежутке [a, b − ε), где ε - сколь угодно малая положительная величина. Рассмотрим интеграл
b−ε
b−ε
R
R
Φ(ε) =
f (x)dx. Если при ε → 0 существует предел J = lim Φ(ε) = lim
f (x)dx, то этот предел J
ε→0
a
ε→0 a
называется несобственным интегралом второго рода от функции f (x) на отрезке [a, b] и обозначается
Rb
символом f (x)dx.
a
Если предел существует и он конечен, то говорят, что интеграл сходится. Если же предел не существует,
Rb
или он равен бесконечности, то выражение f (x)dx понимают как некоторый символ и говорят, что интеграл
a
расходится. Точка b называется особой точкой интеграла J.
Rb
Если особой точкой интеграла
f (x)dx является нижний предел интегрирования a , то несобственный
a
интеграл определяется аналогично: на промежутке (a + λ, b], где λ - сколь угодно малое положительное число,
Rb
Rb
def Rb
рассмотрим интеграл Φ(λ) =
f (x)dx. Тогда J = lim Φ(λ) = lim
f (x)dx = f (x)dx.
λ→0
a+λ
λ→0 a+λ
Если особая точка c лежит внутри сегмента [a, b], то несобственный интеграл
a
Rb
f (x)dx определяется как
a
сумма двух несобственных интегралов:
Rb
a
f (x)dx =
Rc
f (x)dx +
a
Rb
f (x)dx.
c
6.8. Вычисление длины дуги кривой.
Пусть задана кривая (A, B) : ~r = ~r(t), где функция ~r(t), непрерывна и дифференцируема на множестве T. Если t ∈ [α, β], то имеем определённую её часть (дугу, может быть и замкнутую). Разобъём сегмент
def
def
[ α, β ] на n частей произвольным образом: α = t0 < t1 < t2 < ... < tk < ... < tn = β. Тем самым, дуга
разобьётся точками A = M0 , M1 , M2 , ... , Mk , ... , Mn = B на n частей. Впишем в дугу A, B ломаную:
−−−→ −−−−−→
−−−−−−−→
−−−−−−→
−−−−−−−→
A, M1 , M1 , M2 , ... , Mk , Mk+1 , ... , Mn−1 , B. Пусть λ = max Mk , Mk+1 , k = 0, 1, 2, ..., n.
Определение. Длиной дуги (A, B) мы назовём предел периметра ломаной, вписанной в дугу, когда максимальный диаметр разбиения λ стремится к нулю при бесконечном увеличении числа звеньев, то есть когда
λ → 0 при n → ∞.
−−−→
−−−−−→
−−−−−−−→
Таким образом, периметр ломаной, вписанной в дугу, равен σn = A, M1 + M1 , M2 + ... + Mk , Mk+1 +
−−−−−−→
−−−−−−−→
... + Mn−1 , B . Согласно определению, длина дуги (A, B) равна: L = lim σn . Длину отрезка Mk , Mk+1 ,
λ→0
−−−−−−−→
пользуясь формулой конечных приращений Лагранжа, запишем в виде Mk , Mk+1 = |~r(tk+1 ) − ~r(tk )| =
˙ k ) · ∆tk , где ξk ∈ [tk , tk+1 ]. Будем считать, что параметр t растёт вдоль дуги, поэтому ∆tk > 0. Тогда
~r(ξ
n−1
−−−−−−−→
˙ k ) · ∆tk . Эту сумму мы можем считать интегральной суммой для
˙ k ) · ∆tk , σn = P ~r(ξ
Mk , Mk+1 = ~r(ξ
k=0
Rβ
˙
dt. Вспомним, что в трёхмерном пространстве
~r(t)
p
˙
˙
= ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t). Таким образом,
~r(t) = ~i·x(t)+~j ·y(t)+ ~k ·z(t), ~r(t)
= ~i· ẋ(t)+~j · ẏ(t)+ ~k · ż(t), ~r(t)

x = x(t),
Rβ p
для трёхмерной кривой, заданной в параметрическом виде y = y(t), L =
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t)dt.

α
z
=
z(t),
x = x(t),
Если кривая задана на плоскости, то
а формула для вычисления длины кривой упростится; в
y = y(t),
Rβ p
этом случае: L =
ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt.
˙ k ) , следовательно, длина дуги равна L =
функции ~r(ξ
α
α
— 41 —
Если кривая на плоскости задана в явном виде y = f (x), а x ∈ [a, b], то полагая в предыдущей формуле
Rb p
t = x,
получим: L =
1 + (yx0 )2 dx.
y = y(x),
a
x = r cos ϕ,
Пусть кривая задана в полярной системе координат
как r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β]. Тогда очеy = r sin ϕ,
x = r(ϕ) cos ϕ,
видно, что представление кривой в виде
- не что иное, как задание кривой в параметрическом
y = r(ϕ) sin ϕ,
виде, где параметром служит угол ϕ. Нетрудно показать, что в этом случае формула для вычисления длины
Rβ q
r2 + (rϕ0 )2 dϕ.
дуги такова: L =
α
Rt p
ẋ2 (u) + ẏ 2 (u) + ż 2 (u)du. Нам известно,
α
p
что l(t) - это первообразная подинтегральной функции,
поэтому lt0 (t) = ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t), а дифференp
циал длины дуги, следовательно, имеет вид dl = ẋ2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t)dt.
Рассуждая аналогично, легко показать,
p что если кривая задана на плоскости в явном виде, то дифференциал
длины
дуги
кривой
имеет
вид
dl
=
1 + (yx0 )2 dx, а если кривая задана в полярной системе координат, то
q
Если конечную точку B на кривой не фиксировать, то l(t) =
dl =
r2 + (rϕ0 )2 dϕ.
ЛЕКЦИЯ 24.
6.9. Вычисление площадей плоских фигур.
1◦ . Изучение определённого интеграла мы начали с задачи об определении площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью 0 − x, сверху - кривой f (x), слева и справа - прямыми x = a и x = b. Мы
Rb
выяснили, что площадь S указанной криволинейной трапеции равна S = f (x)dx.
a
2◦ . Если же нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью 0 − x сверху, а кривой
f (x), - снизу, слева и справа – по-прежнему – прямыми x = a и x = b, то очевидно, что в этой формуле надо
Rb
просто перед интегралом поменять знак на обратный: S = − f (x)dx.
a
3◦ . Интереснее выглядит задача о нахождении площади криволинейного сектора, ограниченного двумя
лучами ϕ = α, ϕ = β (α < β) и кривой r = r(ϕ) , заданной в полярной системе координат.
def
Разобъём произвольным образом сегмент [α, β] на n частей: α = ϕ0 < ϕ1 < ϕ2 < ... < ϕk < ϕk+1 < ... <
def
ϕn = β. Возникнет n элементарных секторов с полярными радиусами rk = r(ϕk ), rk+1 = r(ϕk+1 ) и углом
между ними ∆ϕk = ϕk+1 − ϕk . Обозначим Mk = sup r(ϕ), mk = inf r(ϕ), ϕ ∈ [ϕk , ϕk+1 ]. Видим, что mk ≤
r(θk ) ≤ Mk , ∀ θk ∈ [ϕk , ϕk+1 ]. sk = 12 m2k ∆ϕk - площадь кругового сектора, радиуса mk , Sk = 12 Mk2 ∆ϕk площадь кругового сектора, радиуса Mk . Видим, что σk = 12 r2 (θk )∆ϕk такова, что sk ≤ σk ≤ Sk . Очевидно,
n−1
n−1
n−1
n−1
P
P
P
P 1 2
что s =
sk - нижняя сумма Дарбу, S =
Sk - верхняя сумма Дарбу, а σ =
σk =
2 r (θk )∆ϕk k=0
k=0
k=0
k=0
интегральная сумма функции 12 r2 (ϕ). Тогда, по определению определённого интеграла, площадь сектора равна
пределу интегральных сумм, когда максимальный диаметр разбиения стремится к нулю, при этом число элеменn−1
Rβ
P 2
тов разбиения стремится к бесконечности: Pcek = lim σ = 21 lim
r (θk )∆ϕk = 12 r2 (ϕ)dϕ.
λ→0
Окончательно: Pcek =
Rβ
1
2
λ→0 k=0
α
2
r (ϕ)dϕ.
α
6.10. Вычисление объёмов тел, если известны площади их поперечных сечений.
Пусть имеется тело и пусть известна площадь поперечного сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси 0 − x в каждой точке x ∈ [a, b]. Пусть площадь этого поперечного сечения описывается функцией
def
P (x). Разобъём произвольным образом сегмент [a, b] на n частей: a = x0 < x1 < x2 < ... < xk < xk+1 <
def
... < xn = b. Выберем произвольно на отрезке [xk , xk+1 ] точку ξk и рассечём тело плоскостью x = ξk так,
что площадь сечения будет равна P (ξk ). Построим на отрезке [xk , xk+1 ] цилиндр с образующими, параллельными оси 0 − x и площадью поперечного сечения P (ξk ). Объём этого цилиндра равен Vk = P (ξk ) · ∆xk .
n−1
n−1
P
P
Составим интегральную сумму: σ =
Vk =
P (ξk ) · ∆xk и перейдём к пределу, когда максимальный
k=0
k=0
— 42 —
диаметр разбиения стремится к нулю. Если этот предел существует, не зависит от способа разбиения и выбора
n−1
Rb
P
точек ξk , мы получим искомый объём: lim
P (ξk ) · ∆xk = P (x)dx = V.
λ→0 k=0
a
В частности, если тело получено вращением вокруг оси 0 − x некоторой кривой y = f (x), то площадь
поперечного сечения равна P (x) = πf 2 (x). Формула для вычисления объёма тела вращения, в этом случае,
Rb
будет иметь вид: V = π f 2 (x)dx.
a
x = x(t),
Если та же кривая задана в параметрическом виде
t ∈ [α, β], то объём тела вращения может
y = y(t),
Rβ
Rβ
быть вычислен по формуле: V = π y 2 (t)dx(t) = π y 2 (t)x0t (t)dt.
α
α
6.11. Центр масс нити.
Определение 1. Центром масс N точек с массами mk , (k = 1, 2, ..., N ) и координатами (xk , yk )
N
P
называется точка с координатами (X, Y ), где X =
N
P
mk xk
k=1
N
P
, Y =
mk
k=1
mk yk
k=1
N
P
.
mk
k=1
Определение 2. Линейной плотностью нити называется предел отношения массы ∆m бесконечно малого
куска нити длиной ∆l : ρ(l) = lim ∆m
.
∆l→0 ∆l
x = x(l),
Будем считать, что уравнение кривой, на которой лежит наша нить, задано в параметрическом виде
y = y(l),
def
где l - длина дуги, l ∈ [L0 , L1 ]. Разобъём произвольным образом сегмент [L0 , L1 ] на n частей: L0 = l0 <
def
l1 < l2 < ... < lk < lk+1 < ... < ln = L1 . В каждой части произвольным образом выберем точку с координатами
(ξk , ηk ), где ξk = x(lk ), ηk = y(lk ). Будем считать, что масса каждой части дуги ∆mk = ρ(lk )∆lk сосредоточена в выбранной точке с координатами (ξk , ηk ). При таком подходе имеем вместо нити набор n массивных
N
P
точек, центр тяжести которых находится по известным формулам как
X =
N
P
∆mk ξk
k=1
N
P
=
∆mk
k=1
N
P
Y =
N
P
∆mk ηk
k=1
N
P
=
∆mk
,
ρ(lk )∆lk
k=1
y(lk )ρ(lk )∆lk
k=1
N
P
k=1
x(lk )ρ(lk )∆lk
k=1
N
P
.
Переходя к пределу, когда число элементов разбиения стремится к
ρ(lk )∆lk
k=1
бесконечности, а максимальный диаметр разбиения стремится к нулю, получим координаты центра масс нити:
L
R1
xc =
L
R1
x(l)ρ(l)dl
L0
L
R1
, yc =
ρ(l)dl
y(l)ρ(l)dl
L0
L
R1
L0
. В приведённых формулах dl - это, по сути, дифференциал длины дуги.
ρ(l)dl
L0
x = x(t),
В случае, если параметризация кривой произвольна, то есть при
t ∈ [α, β], то, вспоминая как
y = y(t),
√ 2 2
Rβ
x(t)ρ(t)
выглядит дифференциал длины дуги dl в случае произвольной параметризации, получим: xc =
Rβ
yc =
√
y(t)ρ(t)
α
Rβ
√
ρ(t)
α
Rβ
√
ρ(t)
ẋ +ẏ dt
,
ẋ2 +ẏ 2 dt
α
ẋ2 +ẏ 2 dt
. Если же кривая задана в явном виде, как y = f (x), x ∈ [a, b] а ρ = ρ(x), формулы
ẋ2 +ẏ 2 dt
α
Rb
для отыскания координат центра тяжести нити примут вид: xc =
xρ(x)
a
Rb
a
ρ(x)
√
√
Rb
0 )2 dx
1+(yx
, yc =
0 )2 dx
1+(yx
yρ(x)
a
Rb
a
ρ(x)
√
√
0 )2 dx
1+(yx
.
0 )2 dx
1+(yx
Глава 7
Дифференциальное исчисление функций
n переменных.
ЛЕКЦИЯ 25.
7.1. n - мерное декартово пространство.
Пусть n - натуральное число. Под n - мерным вещественным пространством <n мы будем понимать
множество всех упорядоченных наборов (x1 , x2 , ..., xn ) вещественных чисел xk , k = 1, 2, ..., n. Каждый
такой набор будем обозначать так: x = (x1 , x2 , ..., xn ) и называть точкой. В <n можно ввести структуру
векторного пространства, если под суммой элементов x = (x1 , x2 , ..., xn ) и y = (y1 , y2 , ..., yn ) понимать
элемент x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ), а под элементом λx ( λ - вещественное число) понимать
λx = (λx1 , λx2 , ..., λxn ). Как известно, из курса линейной алгебры, мы получили в результате пространство
строк (столбцов), элементы которого называются уже не точкой, а вектором.
Можно построить наглядную модель <2 (или <3 ), аналогичную представлению множества вещественных
чисел < в виде числовой прямой. Для этого на плоскости построим оси oX1 , oX2 и любому элементу (x1 , x2 )
из <2 поставим точку с координатами (x1 , x2 ). Тем самым, между элементами <2 и всеми элементами плоскости установлено взаимно-однозначное соответствие, поскольку возможно и обратное сопоставление: любой
точке плоскости можно поставить в соответствие элемент (x1 , x2 ) ∈ <2 . Совершенно аналогично строится
модель <3 .
Заметим, что геометрические модели и построения, которые мы проделали, не были нами строго определены.
Поэтому те интуитивные модели, которыми мы оперировали, не могут служить средством доказательства.Они
лишь облегчают нам восприятие тех или иных результатов.
Введём понятие скалярного произведения векторов x и y из <n . Под скалярным произведением
n
n
P
P
x = (x1 , x2 , ..., xn ) и y = (y1 , y2 , ..., yn ) мы понимаем число
xk · yk и пишем символ x · y =
xk · yk .
r=1
r=1
Легко видеть, что: 1) x · y = y · x, 2) (x + y) · z = x · z + z · x, 3) (λx) · y = λ(x · y), 4) x2 = x · x > 0, если
x 6= 0, и x · x = 0 ⇔ x = 0.
√
p
Определение 1. s
Нормой вектора x = (x1 , x2 , ..., xn ) называется число x2 = x21 + x22 + ... + x2n и
n
P
обозначается kxk =
x2k .
k=1
Отметим, что в <n можно ввести и другие определения нормы вектора. Например, за норму вектора x =
(x1 , x2 , ..., xn ) можно взять число kxk = max |xk | , k = 1, 2, ..., n.
s
n
P
Определение 2. Расстояние между точками x ∈ <n и y ∈ <n - это число kx − yk =
(xk − yk )2 и
k=1
s
n
P
обозначается ρ(x, y) =
(xk − yk )2 .
k=1
Нетрудно доказать, что: 1) ρ(x, y) > 0 ⇔ x 6= y, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y, 2) ρ(x, y) = ρ(y, x),
3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) для всех x, y и z из <n .
Если x и y из <n считать переменными точками, то ρ(x, y) - есть вещественная двухточечная функция и носит название метрической функцией, а пространство <n , в котором задана метрическая функция,
называется метрическим пространством. Метрика, введённая выше, носит название евклидовой метрики,
поэтому пространство <n часто в алгебре называют евклидовым пространством.
43
— 44 —
7.2. Окрестности и последовательности точек.
◦
◦
◦
◦
◦
Определение 1. Пусть x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ <n и ε > 0. ε - окрестностью точки x называется
◦
◦
множество вида uε (x) = { x − x < ε}, то есть множество, все точки которого удовлетворяют неравенству
◦
◦
◦
max xk − xk < ε, k = 1, 2, ..., n. Очевидно, что uε (x) - есть n - мерный куб с центром в точке x и
рёбрами длины 2ε. (Множество точек, лежащих на рёбрах и гранях куба не включаются в рассматриваемую
◦
ε - окрестностью точки x . )
◦
◦
◦
Замечание. Иногда за ε - окрестность точки x берут n - мерный шар x − x < ε, (или ρ(x, x) < ε, )
◦
причём, множество точек поверхности ( n - мерная сфера) не включаются в ε - окрестность точки x .
◦
Определение 2. Пусть множество M ⊂ <n . Точка x ∈ M называется внутренней точкой множества
◦
M, если существует такое ε > 0, что uε (x) ⊂ M.
Определение 3. Окрестностью u(x) точки x назовём любое множество точек из <n , содержащее точку
x как внутреннюю точку. В частности, всякая ε - окрестность точки x - есть её окрестность.
Определение 4. Множество M ⊂ <n называется открытым множеством, если каждая точка этого
множества является его внутренней точкой.
Определение 5. Пусть M ⊂ <n . Множество всех точек x из <n не принадлежащих множеству M,
называется дополнением множества M и обозначается символом M 0 .
Определение 6. Множество M ⊂ <n называется замкнутым, если его дополнение M 0 открыто.
◦
Например: M = {x : x − x < a}. Множество M 0 - открыто, следовательно, M - замкнуто.
Определение 7. Множество M ⊂ <n называется ограниченным, если существует такое r > 0, что
M ⊂ Qr = {x : |x| ≤ r}. Иначе говоря, множество M содержится в кубе с центром в начале координат и
ребром, равным 2r.
(l)
Определение 8. Если каждому натуральному числу l поставлена в соответствие некоторая точка x =
(l) (l)
(l)
(l)
(x1 , x2 , ..., xn ) из <n , то говорят, что задана последовательность, точек { x } ∈ <n . Каждая отдельная точка
(l)
называется элементом последовательности, { x }. Два элемента последовательности могут совпадать как
точки, но их, в качестве элементов последовательности, необходимо рассматривать как разные элементы.
(l)
Q
Каждая последовательность { x } определяет в <n некоторое множество, которое мы обозначим
=
(l)
{x, x ∈ { x }}.
(l)
Q
Определение 9. Последовательность точек { x } называется ограниченной, если
- ограниченное
множество.
(l)
Определение 10. Последовательность точек { x } называется сходящейся к точке a = (a1 , a2 , ..., an ),
если в каждой окрестности точки a содержатся все элементы последовательности, за исключением, может
быть, конечного их числа.
Другими словами, для каждой окрестности uε (a) найдётся такой номер L, что для всех номеров l ≥
(l)
x ∈ uε (a). (Заметим, что номер L зависит от выбора окрестности uε (a)). В этом случае мы пишем
L,
(l)
lim x = a.
l→∞
Это же определение можно сформулировать так: для любого ε ≥ 0 существует номер L(ε) такой, что при
(l)
l ≥ L выполнится x ∈ uε (a).
(l)
(l) (l)
(l)
(l)
Теорема. Пусть x = (x1 , x2 , ..., xn ) - элементы последовательности { x } и a = (a1 , a2 , ..., an ). Для того,
(l)
(l)
чтобы точка a была пределом последовательности { x } необходимо и достаточно, чтобы lim x = ak , (k =
l→∞ k
1, 2, ..., n).
(l)
Необходимость. Пусть lim x = a. Зададимся ε > 0, тогда найдётся номер L(ε) такой, что как только
l→∞
(l)
l ≥ L(ε), так сразу x ∈ uε (a), то есть выполнится
(l)
(l)
(l)
(l)
x −a < ε, или max xk −ak < ε. При этом, тем более
(l)
выполнятся неравенства x1 −a1 < ε, x2 −a2 < ε, ..., xn −an < ε, что и требовалось доказать.
(l)
Достаточность. Пусть lim xk = ak . Зададимся ε > 0, тогда найдётся номер L1 (ε), что при l ≥ L1 (ε)
l→∞
(l)
(l)
выполнится x1 −a1 < ε, найдётся такой номер L2 (ε), что при l ≥ L2 (ε) выполнится x2 −a2 < ε, и так
— 45 —
далее. Окончательно, найдётся такой номер Ln (ε), что при l ≥ Ln (ε) выполнится
(l)
xn −an < ε. Взяв за
L = max(L1 , L2 , ..., Ln ), мы получим, что при при l ≥ L(ε) все неравенства выполнятся одновременно. Это
(l)
(l)
означает, что при l ≥ L(ε) выполнится x −a < ε, то есть a = lim x , что и требовалось.
l→∞
Очевидно, что данная теорема вопрос об исследовании предела последовательности точек <n сводит к
вопросу об исследовании обычного предела последовательности точек числовой прямой.
Поэтому, на основании этой теоремы, можно утверждать, что
(l)
(l)
(l)
(l)
1. lim ( x ± y ) = lim x ± lim y , и
l→∞
l→∞
l→∞
(l)
(l)
2. lim (λ · x ) = λ · lim x .
l→∞
l→∞
7.3. Функция n переменных. Непрерывность функции n переменных.
Определение 1. Если каждой точке x множества M ⊂ <n однозначным образом поставлен определёнdef
ный f (x) ∈ < = < ∪ (−∞, +∞), то говорят, что на множестве M задана функция f со значениями из
<.
Множество M называется областью определения функции f. Функцию f называют функцией n
переменных и пишут f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ), если x = (x1 , x2 , ..., xn ). Если для всех точек x ∈ M всегда
f (x) ∈ <, то f называют вещественной функцией n переменных.
Пример. Рассмотрим функцию z = ln(1 − x2 − y 2 ). Функция z - это функция двух переменных,
M = x2 + y 2 < 1 - открытый круг единичного радиуса - есть область определения данной функции, а функция принимает значения −∞ < z < +∞. График функции можно представить как некоторую поверхность
в <3 . Аналогично этому функция u = f (x1 , x2 , ..., xn ) рассматривается как некоторая гиперповерхность в
n + 1 - мерном пространстве <n+1 .
Определение 2. Если для любого ε > 0 можно найти такое δ > 0, что как только выполнится условие
|x − a| < δ, так сразу выполнится неравенство |f (x) − A| < ε (или, подробнее, |f (x1 , x2 , ..., xn ) − A| < ε ), то
говорят, что число A - есть предел функции f (x) при x → a и пишут lim f (x) = A.
x→a
Как и в случае одного переменного, имеет место следующая
Теорема. Для того, чтобы число A было пределом функции f (x1 , x2 , ..., xn ) при x → a необходимо и
(l)
достаточно,
точек { x }, сходящейся к a, последовательность значений
( чтобы для любой последовательности
)
(l)
функции
(l) (l)
(l)
f = f (x1 , x2 , ..., xn )
сходилась к A.
Доказательство этой теоремы слово в слово повторяет доказательство теоремы для функции одной переменной, поэтому здесь мы его приводить не будем. Однако ясно, что вследствие этой теоремы все теоремы, имеющие
место для пределов последовательностей в <n , автоматически переносятся на пределы функций.
◦
◦
◦
◦
Определение 3. Функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) называется непрерывной в точке x = (x1 , x2 , ..., xn ),
◦
◦
◦
◦
если она определена в этой точке и lim f (x) = f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ).
◦
x→x
Определение 4. Функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) называется непрерывной на множестве M, если она
непрерывна в каждой точке этого множества.
◦
На языке " − δ"пределение непрерывности в точке x функции f (x) читается так: если для любого ε > 0
◦
существует δ > 0 такое, что как только выполнится условие x − x < δ, так сразу же выполнится неравенство
◦
◦
◦
f (x1 , x2 , ..., xn ) − f (x1 , x2 , ..., xn ) < ε.
◦
◦
Если через ∆xk обозначить разность xk − xk = ∆xk и назвать приращением аргумента в точке x, а
◦
◦
◦
◦
∆u = f (x1 , x2 , ..., xn ) − f (x1 , x2 , ..., xn ) - полным приращением функции в точке x, то непрерывность функции
◦
f (x) в точке x, будет читаться так: если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что как только выполнится
условие max |∆xk | < δ, так сразу же выполнится неравенство |∆u| < ε.
k=1,2,...,n
◦
Теорема. Если f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) и g(x) = g(x1 , x2.
, ..., xn ) непрерывны в точке x, то непрерывны
◦
также h(x) = f (x) ± g(x), h(x) = f (x) · g(x), и h(x) = f (x) g(x), (g(x) 6= 0).
Как мы знаем, непрерывная на сегменте функция одного переменного обладает рядом замечательных свойств:
она ограничена, достигает своего наибольшего и наименьшего значения и так далее. Когда же мы рассматриваем
функцию n переменных, являющейся непрерывной на множестве M, то спрашивается, какое множество в
этом случае играет роль сегмента?
— 46 —
Оказывается, что если множество M ограничено и замкнуто, иными словами компактно, то непрерывная на нём функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) обладает следующими свойствами:
1. Она ограничена на этом множестве, то есть найдётся такое число K, что |f (x)| ≤ K для любой точки
x ∈ M.
2. Она достигает своего наибольшего и наименьшего значения, то есть найдётся такая точка x0 ∈ M, что
f (x0 ) = sup f (x) ( f (x0 ) = inf f (x) ).
Определение 5. Функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) называется равномерно непрерывной на множестве
M (множество M не обязательно компактно), если ∀ ε > 0 ∃ δ(ε) > 0, что для любых точек x0 и x00 из
множества M, удовлетворяющих условию |x0 − x00 | < δ, имеет место неравенство |f (x0 ) − f (x00 )| < ε.
Теорема Кантора. Функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ), непрерывная на компактном множестве M, равномерно непрерывна на этом множестве.(Без доказательства).
7.4. Отображение.
Определение 1. Если каждой точке x ∈ M ⊆ <n однозначным образом поставлена в соответствие точка
y = F (x) ⊆ <m , то говорят, что задано отображение F множества M в пространство <m и обозначают
так: F : M → <m . В подробной записи это выглядит так: поскольку y = (y1 , y2 , ..., ym ), имеем

y1 = f1 (x1 , x2 , ..., xn ),



y2 = f2 (x1 , x2 , ..., xn ),
то есть на множестве M задаётся n функций m переменных. Наоборот, если за..................................



ym = fm (x1 , x2 , ..., xn ).
дано n функций m переменных, то соответствие x → F (x) = (f1 (x), f2 (x), ..., fm (x)) определяет некоторое
отображение F : M → <m .
Для отображений можно образовать композицию отображений. Пусть M ⊂ <n , N ⊂ <m , а F : M → <m
def
и G : N → <q - отображения. Если F (M ) ⊂ N, то каждой точке x ∈ M соответствует точка G(F (x)) = (G ◦
q
F )(x). Тем самым определено отображение
 композицией отображений. В
 G ◦ F : M → < , называемое
z1 = h1 (y1 , y2 , ..., ym ),
y
=
f
(x
,
x
,
...,
x
),


1
1
1
2
n




z2 = h2 (y1 , y2 , ..., ym ),
y2 = f2 (x1 , x2 , ..., xn ),
G:
подробной записи это выглядит так: F :
.................................
...............................




zq = hq (y1 , y2 , ..., ym ),
y
=
f
(x
,
x
,
...,
x
),
m
m
1
2
n

z
=
h
(f
(x
,
x
,
...,
x
),
f
(x
,
x
,
...,
x
),
...,
f
(x
,
x
,
...,
x
)),

1
1
1
1
2
n
2
1
2
n
m
1
2
n


z2 = h2 (f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ..., xn )),
В частном случае, когда <q = <, то
G◦F :
.................................



zq = hq (f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ..., xn )).
есть когда q = 1, мы получаем G ◦ F : z = h(f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ..., xn )). В этом
случае мы говорим, что задана сложная функция на множестве M.
◦
◦
Определение 2. Отображение F называется непрерывным в точке x ∈ M, если в точке x непрерывны
функции f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ... , fm (x1 , x2 , ..., xn ).
◦
◦
Теорема. Если отображение F непрерывно в точке x, а отображение G непрерывно в точке F (x), то
◦
композиция отображений G ◦ F - непрерывное отображение в точке x ∈ M. Доказательство этой теоремы
очевидно самого построения композиции отображений, приведённого выше.
В заключение этого раздела рассмотрим один важный и особенно простой класс отображений. Пусть
n
P
aik xk + bi , где aik и bi - вещественные числа. У матрицы A = (aik ) - n столбцов и m строк. Кратко
fi (x) =
k=1
 
 


b1
x1
a11 a12 ...a1n
b 2 
x2 
a21 a22 ...a2n 





.
, x =  , b =  
это отображение можно записать так: F (x) = A · x + b, если A = 
... 
...
................... 
bn
xn
an1 an2 ...ann
Такое отображение называется линейным отображением.
Очевидно, что все линейные отображения непрерывны на <n , а композиция линейных отображений - снова
линейное отображение.
ЛЕКЦИЯ 26.
7.5. Дифференцируемость функции n переменных.
◦
◦
◦
◦
Пусть на множестве M ⊆ <n задана функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) и точка x = (x1 , x2 , ..., xn ) из
◦
◦
множества M. Пусть u(x) - окрестность точки x .
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Рассмотрим точку x = (x1 , x2 , ..., xk−1 , xk +∆xk , xk+1 , ..., xn ) ∈ u(x).
— 47 —
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Разность f (x) − f (x) = f (x1 , x2 , ..., xk−1 , xk +∆xk , xk+1 , ..., xn ) − f (x1 , x2 , ..., xk−1 , xk , xk+1 , ..., xn ) назо◦
вём частным приращением функции f (x) в точке x по аргументу xk и обозначим ∆xk f.
◦
Определение 1. Предел отношения частного приращения функции f (x) в точке x к соответствующему
приращению аргумента xk , когда ∆xk → 0 произвольным образом, называется частной производной
◦
∂f
функции f (x) по аргументу xk в точке x и обозначается символом ∂x
или символом fx0 k . Иначе:
k
∆xk f
lim
∆xk →∞ ∆xk
∂f
∂xk
=
= fx0 k .
∂z
∂z
Пример. z = exy . ∂x
= y · exy , ∂y
= x · exy .
Дадим геометрическую интерпретацию для частной производной в случае функции двух переменных. Геометрически, функция z = f (x, y) - это некоторая поверхность в трёхмерном пространстве <3 . Плоскость
◦
x = x - плоскость, параллельная оси OY . Она высекает некоторую кривую на нашей поверхности. Тогда
∆yk z
∂z
= ∂y
= tg α, где α - это угол наклона между касательной к этой кривой, проведённой в точке
lim ∆y
k
∆xk →∞
◦ ◦ ◦
◦ ◦
(x, y , z = f (x, y )), и прямой, проведённой параллельно оси OY .
◦
◦
◦
Определение 2. Если аргументы x1 , x2 , ..., xn функции f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) в точке (x1 , x2 , ..., xn )
◦
◦
имеют приращения ∆x1 , ∆x2 , ..., ∆xn , не выводящие нас из некоторой окрестности u(x) точки x, то разность
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
∆f = f (x) − f (x) = f (x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 , ..., xn + ∆xn ) − f (x1 , x2 , ..., xn ) называется полным приращением
◦
◦
◦
функции f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) в точке (x1 , x2 , ..., xn ).
◦
◦
◦
Определение 3. Функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) называется дифференцируемой в точке (x1 , x2 , ..., xn ),
если её полное приращение ∆f может быть представлено в виде ∆f = A1 · ∆x1 + A2 · ∆x2 + ... + An · ∆xn +
n
n
P
P
α1 · ∆x1 + α2 · ∆x2 + ... + αn · ∆xn =
Ak ·∆xk +
αk ·∆xk , где αk - бесконечно малые функции, зависящие,
k=1
k=1
вообще говоря, от всех ∆xk (k = 1, 2, ..., n), и стремящиеся к нулю, когда все ∆xk стремятся к нулю, а Ak постоянные, не зависящие от ∆x
p k.
◦ ◦
Обозначим ρ(x, x +∆x) h= ∆x21 + ∆x22 + ... + ∆x2n . Тогда |α1 ∆x1i + α2 ∆x2 + ... + αn ∆xn | ≤ |α1 | |∆x1 |+
1|
2|
|α2 | |∆x2 | + ... |αn | |∆xn | = |α1 | · |∆x
+ |α2 | · |∆x
+ ... + |αn | ·
ρ
ρ
n
P
очевидно, что (
αk ·∆xk ) → 0, когда ρ → 0.
|∆xn |
ρ
ρ ≤ (|α1 | + |α2 | + ... + |αn |)ρ. Отсюда
k=1
◦
◦
◦
Теорема 1. Если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируема в точке (x1 , x2 , ..., xn ), то она имеет
◦
частные производные в этой точке, причём
∂f (x)
∂xk
= Ak .
◦
◦
◦
Доказательство. Пусть функция функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируема в точке (x1 , x2 , ..., xn ).
Поскольку приращения аргументов произволны, рассмотрим частный случай, когда ∆x1 6= 0, ∆x2 = 0, ..., ∆xn =
∆x1 f
0. Тогда ∆f = ∆x1 f = A1 ∆x1 + α1 ∆x1 . Отсюда ∆x
= A1 + α1 . Поскольку при ∆x1 → 0
1
и
α1 → 0,
получим
∆x1 f
∆x1 →∞ ∆x1
lim
= A1 .
С другой стороны,
∆x1 f
∆x1 →∞ ∆x1
lim
◦
◦
=
∂f (x)
∂x1 .
Следовательно,
◦
∂f (x)
∂x1
= A1 . Рассуждая аналогично, покажем, что при любом k выполнено
◦
n
n
P
P
∂f (x)
αk · ∆xk .
∆f =
∂xk ·∆xk +
k=1
k=1
∂f (x)
∂xk
◦
= Ak . Таким образом,
◦
◦
Теорема 2. Если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируема в точке (x1 , x2 , ..., xn ), то она непрерывна в этой точке.
n
n
P
P
Доказательство. Действительно, из определения дифференцируемости ∆f =
Ak ·∆xk +
αk ·∆xk
k=1
k=1
видим, что ∆f → 0, когда все ∆xk → 0 одновременно. Иначе говоря, бесконечно малым приращениям
аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.
◦
◦
◦
Итак, если функция Если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируема в точке (x1 , x2 , ..., xn ), то
она непрерывна в этой точке и имеет в этой точке частные производные. Верно ли обратное утверждение? Пусть
◦
◦
функция y = f (x) имеет в точке x частные производные.
Дифференцируема ли эта функция в точке x ?
xy
2
2 , (x, y) ∈ <\{0, 0}
Рассмотрим поучительный пример. z = (x +y )
Вопрос: как ведёт себя эта функция
0, (x, y) = {0, 0}
(0+∆x)·0
∂z
в точке (x0 , y0 ) = {0, 0} ? Видим: ∆x z = (0+∆x)
2 +0 = 0, следовательно, ∂x = 0. Аналогично покажем, что
∂z
1
∆z = 2 . Поскольку для дифференцируемой функции должно быть выполнено
∂y = 0. При ∆x = ∆y,
◦
2
2
P
P ∂z(x)
αk · ∆xk , и при стремлении ∆x и ∆y к нулю произвольным образом, ∆z тоже
∆z =
∂xk ·∆xk +
k=1
k=1
— 48 —
должна стремиться к нулю, а она явно к нулю не стремится, ясно, что данная функция в точке (x0 , y0 ) = {0, 0}
не дифференцируема. Более того, она в данной точке даже не непрерывна.
Таким образом, наличие частных производных в точке не гарантирует дифференцируемости функции в этой
точке.
Теорема 3. Если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) имеет частные производные по всем аргументам в
◦
◦
окрестности u(x), причём все эти частные производные непрерывны в точке x, то функция f (x) диффе◦
ренцируема в точке x .
Доказательство. Для простоты проведём доказательство только для функции двух переменных. Для функции большего числа переменных доказательство аналогично. Пусть задана функция z = f (x1 , x2 ). Тогда
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
∆z = f (x1 +∆x1 , x2 +∆x2 )−f (x1 , x2 ) = f (x1 +∆x1 , x2 +∆x2 )−f (x1 , x2 +∆x2 )+f (x1 , x2 +∆x2 )−f (x1 , x2 ) =
◦
◦
◦
◦
fx0 1 (x1 +θ1 ∆x1 , x2 +∆x2 )∆x1 + fx0 2 (x1 , x2 +∆x2 )∆x2 . Мы можем применить здесь формулу конечных прира◦
щений Лагранжа, так как по условию теоремы все частные производные существуют в окрестности u(x). В силу
◦
◦
◦
◦
◦
непрерывности этих частных производных в точке x, имеем: fx0 (x1 +θ1 ∆x1 , x2 +∆x2 ) = fx0 1 (x1 , x2 ) + α1 и
◦
◦
◦
◦
fx0 2 (x1 , x2 +∆x2 ) = fx0 2 (x1 , x2 ) + α2 , где α1 и α2 - бесконечно малые функции, которые стремятся к нулю, ко◦
◦
◦
◦
гда стремятся к нулю ∆x1 и ∆x2 . Вследствие этого, ∆z = fx0 1 (x1 , x2 )∆x1 +fx0 2 (x1 , x2 )∆x2 +α1 ∆x1 +α2 ∆x2 ,
что и требовалось доказать.
◦
Определение 4. Дифференциалом df функции f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) в точке x называется главная
n
P
∂f
часть полного приращения функции, линейная относительно приращения аргументов: df =
∂xk dxk , где
k=1
def
dxk = ∆xk .
7.6. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы первого дифференциала.

x1 = x1 (t1 , t2 , ..., tm )



◦ ◦
◦
◦
x2 = x2 (t1 , t2 , ..., tm )
Теорема. Пусть функции
дифференцируемы в точке t = (t1 , t2 , ..., tm ), а функция
................................



xn = xn (t1 , t2 , ..., tm )
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируема в точке x = (x1 (t1 , t2 , ..., tm ), x2 (t1 , t2 , ..., tm ), ..., xn (t1 , t2 , ..., tm )).
Тогда сложная функция f (x(t)) = f (x1 (t1 , t2 , ..., tm ), x2 (t1 , t2 , ..., tm ), ..., xn (t1 , t2 , ..., tm )) дифференцируема в
n
◦ ◦
◦
◦
P
∂f
∂f
∂xk
=
точке t = (t1 , t2 , ..., tm ) и частные производные равны ∂t
∂xk · ∂ts .
s
k=1
◦
◦
◦
Доказательство. Поскольку функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) дифференцируема в точке (x1 , x2 , ..., xn ),
◦
n
n
P
P
∂f (x)
то её полное приращение в этой точке может быть записано в виде: ∆f =
αk · ∆xk .
∂xk · ∆xk +
m
P
∂xk
∂ts
k=1
m
P
k=1
Поскольку x(t) - тоже дифференцируемые функции, то ∆xk =
· ∆ts +
βs ·∆ts . Подставим: ∆f =
s=1
s=1
!
!
◦
◦
n
m
n
m (k)
n
m
n
m (k)
P
P
P
P
P
P
P
P
∂f (x)
∂f (x)
∂xk
∂xk
=
β ∆ts +
αk
αk
β ∆ts =
∂xk
∂ts ∆ts +
∂xk
∂ts ∆ts +
s=1
s=1 s
s=1
s=1 s
k=1
k=1
k=1
k=1
"
!
!#
n
n
◦
◦ (k)
(k)
m
m
n
n
P
P ∂f (x)
P
P
P
P
∂f (x)
∂xk
∂xk
=
·
∆t
+
+
α
β
· ∆ts =
·
β
+
α
s
k
k
∂xk
∂ts
∂xk
∂ts
s
s
s=1 k=1
s=1
k=1
k=1
k=1
◦
m
n
m
P
P
P
∂f (x) ∂xk
·
∆t
+
=
·
γs · ∆ts .
s
∂xk
∂ts
s=1
s=1
k=1
Таким образом, полное приращение сложной функции f (x(t)) имеет вид ∆f =
где
∂f
∂ts
=
n
P
k=1
m
P
s=1
∂f
∂xk
·
∂xk
∂ts .
∂f
∂ts ·∆ts
+
m
P
γs ·∆ts ,
s=1
◦
Это и означает, что сложная функция f (x(t)) дифференцируема в точке t, а её
n
P
◦
частные производные в этой точке равны
∂f (x)
∂ts
=
k=1
∂f
∂xk
◦
·
∂xk ( t)
∂ts .
Именно это и требовалось доказать.
Из определения дифференциала как главной
относительно
nчасти полного
приращения
nфункции, линейной
m
m
m
P
P ∂f ∂xk
P
P
P ∂f ∂xk
∂f
· ∆ts ≡
· dts =
приращения аргументов, следует что df =
∂xk · ∂ts
∂xk · ∂ts
∂ts · dts .
s=1
s=1
s=1
k=1
k=1
n
m
n
m
P
P ∂f ∂xk
P
∂f P ∂xk
С другой стороны df =
·
·
dt
=
·
dt
s
s . Но в силу определения дифферен∂xk
∂ts
∂xk
∂ts
s=1
циала,
m
P
s=1
∂xk
∂ts
k=1
· dts = dxk . Поэтому df =
n
P
k=1
k=1
∂f
∂xk
s=1
· dxk , то есть первый дифференциал сохраняет свою форму,
— 49 —
хотя x и не является независимой переменной, а является функцией t : xk = xk (t1 , t2 , ..., tm ). Таким образом
нами доказано свойство инвариантности формы первого дифференциала функции многих переменных.
Это свойство позволяет заключить, что если функции u = u(x1 , x2 , ..., xn ) и v = v(x1 , x2 , ..., xn ) диффе
◦
ренцируемы в точке x, то: 1. d(c · u) = c · du, 2. d(u ± v) = du ± dv, 3. d(u · v) = u · dv + vdu, 4. d uv =
vdu−udv
, если v 6= 0.
v2
Докажем, например, справедливость третьей формулы; рассмотрим функцию ω = u · v двух переменных
∂ω
∂ω
∂ω
u и v. Дифференциал этой функции равен dω = ∂ω
∂u · du + ∂v · dv. Так как ∂u = v,
∂v = u, то
dω = u · dv + v · du. В силу инвариантности формы первого дифференциала, выражение u · dv + v · du будет
дифференциалом функции u · v и в случае, когда u и v сами являются дифференцируемыми функциями
каких-либо переменных.
ЛЕКЦИЯ 27.
7.7. Производные и дифференциалы высших порядков.
◦
Пусть f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) - дифференцируемая в окрестности точки x функция. Тогда, как известно,
∂f
возникает n функций ∂x
- частных производных. Каждая из них - суть снова функция n переменных и, если
k
◦
эти функции
в окрестности точки x, то от них снова можно брать частные производные:
defдифференцируемы
def
∂f
∂2f
∂2f
∂3f
∂
∂
= ∂x ∂x
= ∂x ∂x , (s, k = 1, 2, ..., n). Затем: ∂x ∂x ∂x
, и так далее...
∂xs
∂xk
s
j
s
j
s ∂xk
k
k
2
3
2
3
2
3
2
3
00
00
Пример. z = ex +y . zx0 = 2x · ex +y . zy0 = 3y 2 · ex +y . zxy
= (zx0 )0y = 6xy 2 · ex +y . zyx
= (zy0 )0x =
2
x2 +y 3
= 6xy · e
.
00
00
В данном случае мы видим, что zxy
= zyx
, то есть смешанные производные равны. Вопрос: всегда ли это
так?
◦
Теорема о смешанных производных. Если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) в окрестности u(x),
2
2
◦
f
f
имеет смешанные производные ∂x∂s ∂x
, ∂x∂k ∂x
, которые непрерывны в точке x, то тогда эти смешанные
s
k
2
2
f
f
производные равны между собой: ∂x∂s ∂x
= ∂x∂k ∂x
.
s
k
Доказательство. Доказательство этой теоремы проведём на примере функции двух переменных. В случае
функции большего числа переменных доказательство будет полностью аналогично уже рассмотренному.
Рассмотрим выражение I = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 + ∆x, y0 ) + f (x0 , y0 ). Обозначим
def
def
ϕ(y0 + ∆y) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 + ∆y), ϕ(y0 ) = f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ). Тогда исходное
выражение примет вид I = ϕ(y0 + ∆y) − ϕ(y0 ).
Применим к нему формулу конечных приращений Лагранжа: I = ϕ(y0 +∆y)−ϕ(y0 ) = ϕ0y (y0 +θ1 ∆y)·∆y =
0
fy (x0 + ∆x, y0 + θ1 · ∆y) − fy0 (x0 , y0 + θ1 · ∆y) · ∆y = (к выражению в квадратных скобках опять применим
00
формулу конечных приращений Лагранжа) = fyx
(x0 + θ2 · ∆x, y0 + θ1 · ∆y) · ∆y · ∆x.
Обозначим теперь ψ(x0 + ∆x) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 + ∆x, y0 ),
ψ(x0 ) = f (x0 , y0 + ∆y) −
−f (x0 , y0 ). Тогда, рассуждая аналогично, получим I = ψ(x0 + ∆x) − ψ(x0 ) = ψx0 (x0 + θ3 · ∆x) · ∆x =
00
= [fx0 (x0 + θ3 · ∆x, y0 + ∆y) − fx0 (x0 + θ3 · ∆x, y0 )] · ∆x = fxy
(x0 + θ3 · ∆x, y0 + θ4 · ∆y) · ∆ · x∆y.
00
00
В результате: fyx (x0 + θ2 · ∆x, y0 + θ1 · ∆y) · ∆y · ∆x = fxy
(x0 + θ3 · ∆x, y0 + θ4 · ∆y) · ∆y · ∆x.
Сокращая на ∆y · ∆x, рассмотрим предел, когда ∆x → 0, ; ∆y → 0, и, пользуясь непрерывностью
смешанных производных - для непрерывных функций знак предела можно заносить под знак функции - получим
00
00
(x0 , y0 ) = fxy
(x0 , y0 ), что и требовалось доказать.
искомый результат: fyx
При рассмотрении дифференциалов высших порядков необходимо рассматривать две ситуации.
(I.) u = f (x1 , x2 , ..., xn ), где x1
, x2 , ..., xn - n независимых аргументов.
y1 = y1 (x1 , x2 , ..., xn ),



y2 = y2 (x1 , x2 , ..., xn ),
(II.) u = f (y1 , y2 , ..., ym ), где
Иначе говоря, мы, в этом случае, имеем дело со
...................................



ym = ym (x1 , x2 , ..., xn ).
сложной функцией n переменных x1 , x2 , ..., xn .
n
P
def
∂f
∂
∂
∂
=
dx
dx
+
dx
+
...
+
dx
f,
Для первой ситуации всё просто: du =
k
1
2
n
∂xk
∂x1
∂x2
∂xn
k=1
n
2
P
def
∂2f
∂
∂
= ∂x
d2 u =
dx1 + ∂x
dx2 + ... + ∂x∂n dxn f, и так далее...
∂xk ∂xs dxk dxs
1
2
s,k=1
!
n
m
m
P
P
P
∂yj
∂f
∂f
Для второй ситуации мы имеем: du =
∂yj · ∂xs dxs =
∂yj · dyj .
s=1
2
d u=
m
P
i,j=1
∂2f
∂yi ∂yj ·dyi
· dyj +
m
P
j=1
∂f 2
∂yj d yj .
j=1
j=1
— 50 —
7.8. Формула Тейлора для функции n переменных.
Вывод проведём для простоты сначала для для функции двух переменных, а затем мы сможем записать формулу Тейлора для функции любого числа переменных.
Пусть z = f (x, y) - функция, дифференцируемая в окрестности точки (x0 , y0 ) до k + 1 порядка включительно, то есть существуют dz, d2 z, ..., dk z, dk+1 z. Соединим точки M и M0 прямой x̄ = x0 + t∆x, ȳ =
y + t∆y. При t = 0 имеем точку M0 , при t = 1 имеем точку M.
def
Обозначим F (t) = f (x0 +t∆x, y +t∆y). Очевидно, что функция F (t) дифференцируема до k +1 порядка
включительно. Представим F (t) формулой Маклорена: F (t) = F (0) +
(k+1)
F k
(θt)
t
(k+1)!
Ft0 (0)
1! t
+
00
Ftt
(0) 2
2! t
+ ... +
F
(k)
(0)
tk
k!
tk +
tk+1 ; (0 < θ < 1).
Видим, что F (0) = f (x0 , y0 ), F 0 (0) =
∂f (x0 ,y0 )
·∆x
∂x
+
def
∂f (x0 ,y0 )
·∆y =
∂y
∂
∂x
∂
· ∆x + ∂y
· ∆y f (x0 , y0 ),
2
· ∆y f (x0 , y0 ).
2
2
2
def
(x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
∂
∂
F 00 (0) = ∂ f∂x
∆x2 + 2 ∂ f∂x∂y
∆x∆y + ∂ f∂y
∆y 2 = ∂x
· ∆x + ∂y
2
2
Продолжая аналогично:
k
k+1
∂
∂
∂
∂
F (k) (0) = ∂x
∆x + ∂y
∆y f (x0 , y0 ), F (k+1) (θt) = ∂x
∆x + ∂y
∆y
f (x0 + θt∆x, y0 + θt∆y).
Положим t = 1 и учтём, что F (1) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≡ f (x, y), ∆x = x − x0 , ∆y = y − y0 .
Тогда:
2
∂
∂
1
∂
∂
1
f (x, y) = f (x0 , y0 ) + 1!
f (x0 , y0 ) + ...
∂x (x − x0 ) + ∂y (y − y0 ) f (x0 , y0 ) + 2! ∂x (x − x0 ) + ∂y (y − y0 )
k
k+1
∂
∂
1
∂
∂
1
f (x0 + θ∆x, y0 + θ∆y).
f (x0 , y0 ) + (k+1)!
... + k!
∂x (x − x0 ) + ∂y (y − y0 )
∂x (x − x0 ) + ∂y (y − y0 )
Это и есть формула Тейлора для функции двух переменных.
Часто эту формулу записывают в форме дифференциалов:
1
1 2
1
1
∆z ≡ f (x, y) − f (x0 , y0 ) = 1!
dz|M0 + 2!
d z M0 + ... + k!
dk z M0 + (k+1)!
dk+1 z M̃ .
Теперь легко записать формулу Тейлора для функции n переменных:
s
k
P
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
1
∂
∂
f (x1 , x2 , ..., xn ) = f (x1 , x2 , ..., xn ) +
f (x1 , x2 , ..., xn ) +
s! ∂x1 (x1 − x1 ) + ... + ∂xn (xn − xn )
s=1
k+1
◦
◦
◦
◦
◦
1
∂
∂
+ (k+1)!
f (x1 + θ(x1 − x1 ), x2 + θ(x2 − x2 ), ..., xn + θ(xn − xn )).
∂x1 (x1 − x1 ) + ... + ∂xn (xn − xn )
ЛЕКЦИЯ 28.
7.9. Понятие неявной функции и теорема существования для F (x, y) = 0.
В приложениях часто приходится сталкиваться с такими задачами, когда функция u(x), являющаяся по
смыслу задачи функцией аргументов x1 , x2 , ... , xn , задаётся посредством функционального уравнения
F (u, x1 , x2 , ..., xn ) = 0. Например, z − sin(x + y + x) = 0 - такое соотношение задаёт неявно z(x, y) как
функцию двух независимых аргументов.
Возникает вопрос: при каких условиях уравнение F (u, x1 , x2 , ..., xn ) = 0 однозначно определяет функцию
u(x1 , x2 , ..., xn ), когда и на каком множестве эта функция непрерывна, и так далее...
Ниже, мы получим ответы на эти вопросы сначала в простейшем случае неявной функции одного аргумента.
Для самой же общей ситуации сформулируем лишь конечный результат и примем его без доказательства.
Теорема. Пусть: (1). F (x, y) определена и непрерывна в прямоугольнике x ∈ [x0 − a, x0 + a], y ∈
[y0 − b, y0 + b] ; (2). F (x0 , y0 ) = 0 ; (3). Fx0 (x, y) и Fy0 (x, y) непрерывны в заданном прямоугольнике,
(4). Fy0 (x0 , y0 ) 6= 0.
Тогда: (1). В некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) уравнение F (x, y) = 0 определяет y как однозначную
функцию x : y = f (x), причём f (x0 ) = y0 ; (2). f (x) - непрерывная функция; (3). f (x) - имеет непрерывную
производную.
Доказательство. Поскольку функция Fy0 (x, y) - непрерывная функция и поскольку Fy0 (x0 , y0 ) 6= 0, то
существует окрестность точки (x0 , y0 ), а именно x ∈ [x0 − ā, x0 + ā], y ∈ [y0 − b̄, y0 + b̄], где Fy0 сохраняет
свой знак (для определённости положим Fy0 (x, y) > 0 ). Зафиксировав x = x0 , видим, что F = F (x0 , y)
растёт, поскольку производная Fy0 > 0. Но так как F (x0 , y0 ) = 0, то при y < y0 , F (x0 , y) < 0, а при
y > y0 , F (x0 , y) > 0. В частности, F (x0 , y0 − b̄) < 0, F (x0 , y0 + b̄) < 0.
Рассмотрим сейчас две функции одной переменной x : I(x) = F (x, y0 − b̄), и II(x) = F (x, y0 + b̄).
Обе они непрерывны по x и, следовательно, сохраняют свой знак в некоторой окрестности точки x0 : I(x) =
F (x, y0 − b̄) < 0, при x ∈ [x0 − δ, x0 + δ] и II(x) = F (x, y0 + b̄) > 0, при x ∈ [x0 − δ, x0 + δ]. (Здесь надо
бы писать δ1 и δ2 , но мы сразу берём δ = max(δ1 , δ2 )).
— 51 —
Рассмотрим, далее любую точку x̂ ∈ (x0 − δ, x0 + δ) и функцию III(y) = F (x̂, y). Функция III(y) на
концах сегмента y0 − b̄ и y0 + b̄ имеет разные знаки. Но тогда найдётся такая точка ŷ ∈ (y0 − b̄, y0 + b̄),
что F (x̂, ŷ) = 0, причем точка ŷ - единственная, поскольку III(y) - растущая функция. В итоге каждому
x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ставится в соответствие ŷ ∈ (y0 − b̄, y0 + b̄). Тем самым на интервале (x0 − δ, x0 + δ)
определяется единственная функция y = f (x). При этом из F (x0 , y0 ) = 0 следует, из-за однозначности
сопоставления x̂ → ŷ, что y0 = f (x0 ).
Докажем теперь, что f (x) - имеет непрерывную производную, тем самым автоматически будет утверждение,
что f (x) - непрерывная функция. С этой целью для (x, y) ∈ (x0 −δ, x0 +δ), (y0 − b̄, y0 + b̄) придадим приращения
∆x, и ∆y, не выводящие нас из указанной выше области. Тогда F (x + ∆x, y + ∆y) = 0, F (x, y) = 0.
Рассмотрим F (x + ∆x, y + ∆y) − F (x, y) = Fx0 (x, y)∆x + Fy0 (x, y)∆y + α1 ∆x + α2 ∆y = 0. Отметим здесь, что в
силу непрерывности Fx0 и Fy0 функция F (x, y) дифференцируема в точке (x, y). Отсюда
F 0 (x,y)+α
∆y
∆x
= − Fx0 (x,y)+α21 .
y
yx0
F 0 (x,y)
Переходя к пределу при ∆x → 0 и учитывая, что при этом α1 → 0 и α2 → 0, получим
= − Fx0 (x,y) .
y
Полученная производная - непрерывная функция, поскольку является отношением двух непрерывных функций.
Вследствие этой формулы, функция y = f (x) непрерывна для ∀x ∈ (x0 −δ, x0 +δ). Доказательство завершено.
7.10. Обобщение на систему функций, заданных неявно.
Сначала, обобщая теорему, доказанную в предыдущем пункте, сформулируем теорему для функции z от
двух переменных.
Теорема (без доказательства). Пусть (1). Функция F (x, y, z) дифференцируема в окрестности точки (x0 , y0 , z0 ). (2). F (x0 , y0 , z0 ) = 0. (3). ∂F
∂z x0 ,y0 ,z0 6= 0. Тогда найдётся такая окрестность точки
2
M0 (x0 , y0 ) ∈ < , что в пределах этой окрестности существует единственная функция z = f (x, y), которая
является решением уравнения F (x, y, z) = 0, в окрестности точки M0 (x0 , y0 ) она является дифференцируемой и, поэтому, заведомо непрерывной функцией.
Как находить частные производные zx0 и zy0 для функции z = z(x, y), заданной неявно? Проведём
рассуждения, аналогичные тем, что мы провели в предыдущем пункте для функции F (x, y).
0 = F (x0 + ∆x, y0 + ∆y, z0 + ∆z) − F (x0 , y0 , z0 ) = Fx0 (x0 , y0 , z0 )∆x + Fy0 (x0 , y0 , z0 )∆y + Fz0 (x0 , y0 , z0 )∆z +
+α1 ∆x + α2 ∆y + α3 ∆z. Отсюда, при ∆y = 0,
∂z
∂x
F 0 ∂z
− Fx0 , ∂y
z
∆z
∆x
F 0 +α
= − Fx0 +α31 , а при ∆x = 0,
z
F0
− Fy0 .
z
∆z
∆y
F 0 +α2
= − Fy0 +α3 . В пределе
z
имеем:
=
=
На практике можно рассуждать следующим образом. Поскольку функцию z = z(x, y) мы считаем решением уравнения F (x, y, z) = 0, то F (x, y, z(x, y)) ≡ 0. Рассматривая это тождество как сложную функцию
и дифференцируя его по x и y, получим: Fx0 + Fz0 · zx0 = 0, Fy0 + Fz0 · zy0 = 0, откуда сразу следует:
F0
F0
zx0 = − Fx0 , zy0 = − Fy0 .
z
z
Аналогично можно рассуждать и для функции большего числа переменных.
В частности, если F (u, x1 , x2 , ..., xn ) = 0, то Fu0 ·
∂u
∂xk
+ Fx0 k = 0;
∂u
∂xk
=−
Fx0
k
Fu0
, k = 1, 2, ..., n.
7.11. Система функций, заданных неявно.
Пусть задано k функциональных соотношений относительно k+n переменных u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn :

F1 (u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn ) = 0,



F2 (u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn ) = 0,
(∗)
Изучим вопрос о разрешимости этой системы относительно неизвест..................................................



Fk (u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn ) = 0.
ных u1 , u2 , ..., uk как однозначных функций n переменных x1 , x2 , ..., xn . С этой целью рассмотрим определи∂F1 ∂F1
∂F1
∂u1 ∂u2 ... ∂uk
∂F2 ∂F2
∂F2
def
def
...
1 ,F2 ,...,Fk )
≡ J.
тель матрицы Якоби относительно переменных u1 , u2 , ..., uk : ∆ = ∂u1 ∂u2 ∂uk ≡ D(F
D(u1 ,u2 ,...,uk )
......................
∂Fk ∂Fk
∂Fk
∂u1 ∂u2 ... ∂uk
Теорема. Пусть функции Fi (u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn ), (i = 1, 2, ..., k) - дифференцируемы в окрестности
◦ ◦
◦ ◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
∂Fi
точки (u, x) ∈ <k+n , причем ∂u
- непрерывны в точке (u, x) ∈ <k+n , Fi (u1 , u2 , ..., uk , x1 , x2 , ..., xn ) = 0 и
s
D(F1 ,F2 ,...,Fk )
D(u1 ,u2 ,...,uk )
◦
◦
6= 0 в точке (u, x) ∈ <k+n .
◦
◦
Тогда существует такая окрестность u(x) ∈ <n , точки x, что в её пределах существует k однозначных функций u1 = f1 (x1 , x2 , ..., xn ), u2 = f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ... , uk = fk (x1 , x2 , ..., xn ), которые являются
решениями k функциональных соотношений (∗) и эти функции дифференцируемы в указанной окрестности.
— 52 —
∂ui
Частные производные ∂x
могут быть найдены следующим образом: продифференцируем систему (∗) по
s
 ∂F1 ∂u1
∂F1 ∂u2
∂F1 ∂uk
∂F1

∂u1 ∂xs + ∂u2 ∂xs + ... + ∂uk ∂xs + ∂xs = 0,

 ∂F
∂u
∂u
∂F
∂u
∂F
∂F2
2
1
2
2
2
k
∂u1 ∂xs + ∂u2 ∂xs + ... + ∂uk ∂xs + ∂xs = 0, Рассмотрим полученную систему как неоднородную алгебxs :

...................................................................

 ∂Fk ∂u1
∂Fk ∂u2
∂Fk ∂uk
∂Fk
∂u1 ∂xs + ∂u2 ∂xs + ... + ∂uk ∂xs + ∂xs = 0.
∂ui
. Поскольку основной определитель этой системы
раическую систему относительно частных производных ∂x
s
∂ui
∆ 6= 0, по формулам Крамера найдем единственное решение этой системы: ∂x
= ∆∆i ≡ ∆Ji .
s
7.12. Функциональная зависимость функций.
Пусть на множестве M ⊆ <n определены k функций yi = yi (x1 , x2 , ..., xn ) ≡ ϕi (x1 , x2 , ..., xn ), (i = 1, 2, ..., k).
Определение. Мы скажем, что в M одна из функций, скажем yp (x), зависит от остальных, если для всех
x ∈ M выполнено: yp (x) = Φ (y1 (x), y2 (x), ..., yp−1 (x), yp+1 (x), ..., yk (x)) , где Φ - некоторая функция указанных аргументов, относительно которых, мы предполагаем, эта функция дифференцируема в области изменения
своих аргументов.
Пример. y1 = x21 + x22 + x23 + x24 , y2 = x1 + x2 + x3 + x4 , y3 = 2(x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ).
Видим, что y1 = y22 − y3 , то есть y1 зависит от y2 и y3 .
Теорема 1. Пусть функции yi (x), (i = 1, 2, ..., k), определены и дифференцируемы в окрестности точки
◦
◦
◦
D(y1 ,y2 ,...,yk )
x, а якобиан J = D(x
6= 0 в точке x . В этом случае функции независимы в окрестности точки x .
1 ,x2 ,...,xk )
Доказательство. Предположим противное: пусть функции зависимы, например yk = Φ (y1 , y2 , ..., yk−1 ) .
∂y1 ∂y1
∂y1
∂x1 ∂x2 ... ∂xk
∂y2 ∂y2
∂y2
∂Φ ∂y1
∂Φ ∂y2
∂Φ ∂yk−1
k
∂x1 ∂x2 ... ∂xk
Видим: ∂y
=
+
+
...
+
.
Тогда
в
якобиане
J
=
последняя строка
∂xs
∂y1 ∂xs
∂y2 ∂xs
∂yk−1 ∂xs
......................
∂yk ∂yk
∂yk
∂x1 ∂x2 ... ∂xk
◦
- есть линейная комбинация остальных строк. Вследствие этого J = 0 в точке x . Противоречие, которое
доказывает теорему.
∂y1
∂y1 ∂y1
∂x1 ∂x2 ... ∂xk
∂y2 ∂y2
... ∂y2
равен r в точке
Теорема 2. (Без доказательства). Пусть ранг матрицы Якоби kJk = ∂x1 ∂x2 ∂xk
......................
∂yk
∂yk ∂yk
∂x1 ∂x2 ... ∂xk
◦
◦
x, а все миноры r + 1 порядка равны нулю в некоторой окрестности точки x . Тогда r функций, входящих в
базисный минор, независимы, а остальные k − r функций могут быть выражены через r базисных функций в
◦
окрестности точки x .
Глава 8
Геометрические приложения теории
многих переменных и неявных функций.
ЛЕКЦИЯ 29.
8.1. Локальный экстремум.
◦
Определение. Функция u = f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) имеет в точке x локальный максимум (минимум),
◦
x, что для любой точки x из этой окрестности выполняется нераесли существует такая окрестность
точки
◦
◦
венство f (x) ≤ f (x)
f (x) ≥ f (x) .
◦
Теорема 1. Если функция f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) в точке x имеет локальный экстремум, и если в этой
◦
точке x существуют частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю.
◦
◦
◦
Доказательство. Зафиксируем все x2 , x3 , ... , xn , кроме x1 - её мы будем изменять. Тогда функция
◦
◦
◦
f (x1 , x2 , ..., xn ) - это функция одного переменного. Но, поскольку при x1 = x1 имеем экстремум, то выпол∂f
= 0. Рассуждая
няется необходимое условие достижения экстремума функцией одного переменного: ∂x
1 ◦
x1
аналогично, покажем, что
∂f
∂x2
◦
x2
= 0, ... ,
∂f
∂xn
◦
xn
= 0. Тем самым мы получили необходимое условие дости-
жения локального экстремума функцией n переменных.
◦
Если мы дополнительно (!!!) потребуем дифференцируемости функции f (x) = f (x1 , x2 , ..., xn ) в точке x,
то необходимое условие может выглядеть так: du|x◦ = 0.
∂f
∂f
∂f
Действительно: du|◦ = ∂x
dx
+
dx
+
...
+
dx
1
2
n
◦ = 0, что и требовалось.
∂x2
∂xn
1
x
x
Но полученное необходимое условие, очевидно, ещё не является достаточным условием достижения функцией локального экстремума.
Пример. z = xy. zx0 |(0,0) = zy0 (0,0) = 0, тогда как в окрестности этой точки функция может иметь как
положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, экстремума в этой точке нет, хотя необходимое
условие выполнено.
Теорема 2 (для функции двух переменных). Пусть в окрестности точки (x0 , y0 ) функция z = f (x, y)
дважды дифференцируема и все вторые частные производные непрерывны в точке (x0 , y0 ). Тогда, если в точке
00
00
00 2
(x0 , y0 ), подозрительной на экстремум, величина I = fxx
· fyy
− (fxy
) > 0, то экстремум есть, если же
00
00
00 2
I = fxx · fyy − (fxy ) < 0, то экстремума в этой точке нет.
00
1
00
00
Доказательство. ∆z = dz|x0 ,y0 + 2!
fxx (x0 , y0 )∆x2 + 2fxy
(x0 , y0 )∆x∆y + fyy
(x0 , y0 )∆y 2 +
1
2
2
. Поскольку считаем выполненным необходимое условие достижения функ2! α11 ∆x + 2α12 ∆x∆y + α22 ∆y
цией экстремума, то первый дифференциал в подозрительной на экстремум точке полагаем равным нулю. Далее,
00
проводя очевидные
в квадратной скобке и полагая fxx
6= 0, получим:
00 преобразования
1
2
2
00 00
00 2
2
00 2
2
00 00
fxx ∆y 2 +
∆z = 2f 00 (fxx ) ∆x + 2fxy fxx ∆x∆y + (fxy ) ∆y − (fxy ) ∆y + fyy
xx
h
i
2
1
00
00
00 00
00 2
+ 2!
α11 ∆x2 + 2α12 ∆x∆y + α22 ∆y 2 = 2f100
fxx
∆x + fxy
∆y + fyy
fxx − (fxy
) ∆y 2 +
xx h
i
2
1
00
00
α11 ∆x2 + 2α12 ∆x∆y + α22 ∆y 2 ≡ 2f100
fxx
∆x + fxy
∆y + I · ∆y 2 +
+ 2!
xx
1
1
α11 ∆x2 + 2α12 ∆x∆y + α22 ∆y 2 . Ясно, что 2!
α11 ∆x2 + 2α12 ∆x∆y + α22 ∆y 2 - это бесконечно малая
+ 2!
по сравнению с первыми слагаемыми величина, не влияющая на знак всего выражения. Если I > 0, то знак
00
∆z устойчив и определяется только знаком второй производной fxx
. Если же I < 0, то знак всего выражения
определяется величинами ∆x и ∆y, то есть тем, в какую сторону мы отступаем от точки (x0 , y0 ). Так, если
53
— 54 —
∆x = 0, а ∆y 6= 0, то ∆z имеет один знак, а если ∆x 6= 0, а ∆y = 0 - другой. Это и говорит о том, что в
этой точке экстремума нет. Теорема доказана.
8.2. Условный экстремум. Необходимые условия. Метод Лагранжа.
Определение. Пусть задана функция u = f (x1 , x2 , ...,
xm , y1 , y2 , ..., yn ) от n + m переменных и n
F1 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0,



F2 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0,
независимых условий связи между этими переменными: (∗)
...................................................



Fn (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0.
Говорят, что функция f (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) при наличии связей (∗) имеет условный максимум в
◦ ◦
◦
◦
◦
◦ ◦
◦
точке (x, y ) = (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ), координаты которой удовлетворяют условиям связи (∗), если существует такая окрестность этой точки, в пределах которой значения функции не превосходят значения функции
◦ ◦
◦
◦
◦
◦ ◦
◦
f (x, y ) = f (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) в этой точке.
u = x2 + y 2 ,
Пример.
Ясно, что поскольку должны выполняться оба этих соотношения, то мы имеем
x + y − 1 = 0.
дело с пересечением параболоида u = x2 + y 2 с плоскостью x + y = 1, параллельной оси u. Поэтому в этом
примере экстремум ищется не на всей поверхности параболоида, а только на кривой, высекаемой на поверхности
параболоида этой плоскостью.
Как решать задачу на отыскание условного экстремума? Есть два пути.
Путь первый: разрешаем (∗) относительно переменных y1 , y2 , ..., yn : ys = Φs (x1 , x2 , ..., xm ) и подставим
в u = f (x1 , x2
, ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ). После этого условный экстремум сводится к безусловному.
u = x2 + y 2 ,
Пример.
y = 1 − x, u = x2 + (1 − x)2 = 2x2 − 2x + 1, u0x = 4x − 2 = 0, x0 = 12 , y0 =
x + y − 1 = 0.
1
1 1
00
2 , uxx = 4 > 0; следовательно, в точке ( 2 , 2 ) - минимум.
◦
◦
Путь второй состоит
(x, y ) имеется локальный экстре
в следующем. Если в точке M0 с координатами
∂f
∂f
∂f
∂f
dx1 + ... + ∂x
dxm + ∂y
dy1 + ... + ∂y
dyn
= 0. Но dy1 , ..., dyn зависят от
мум, то (α) du = ∂x
1
m
1
n
M0
dx1 , ..., dxm
, так как из уравнений связи (∗) имеем:
∂F1
∂F1
∂F1
∂F1
∂F1
∂F1

 ∂x1 dx1 + ∂x2 dx2 ... + ∂xm dxm + ∂y1 dy1 + ∂y2 dy2 ... + ∂yn dyn = 0,

 ∂F2
∂F2
∂F2
∂F2
∂F2
∂F2
∂x1 dx1 + ∂x2 dx2 ... + ∂xm dxm + ∂y1 dy1 + ∂y2 dy2 ... + ∂yn dyn = 0,
В связи с независимостью
(β)
........................................................................................................


 ∂Fn dx + ∂Fn dx ... + ∂Fn dx + ∂Fn dy + ∂Fn dy ... + ∂Fn dy = 0.
1
2
m
1
2
n
∂x1
∂x2
∂xm
∂y1
∂y2
∂yn
DF
функций, J = Dy 6= 0. По формулам Крамера можно dy1 , dy2 , ..., dyn можно выразить через dx1 , dx2 , ..., dxm
m
P
и подставить их в (α). Эти dy1 , dy2 , ..., dyn линейно выражаются через dx1 , dx2 , ..., dxm : dys =
Ais dxi .
i=1
Подставив в (α), имеем du|M0 = (P1 dx1 + P1 dx1 + ... + P1 dx1 )|M0 = 0. Отсюда, в силу независимости
дифференциалов dy1 , dy2 , ..., dyn , получим P1 |M0 = 0, P2 |M0 = 0, ... , Pm |M0 = 0.
Таким образом, чтобы найти точки, подозрительные на экстремум, необходимо найти вид функций P1 , P2 , ...
..., Pm , приравнять их нулю и учесть условия связи.
 Иначе говоря, мы должны записать и решить систему
P1 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , ) = 0,




...................................................



Pm (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , ) = 0,
(m + n) уравнений с (m + n) неизвестными:
Решая эту систему,
F1 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , ) = 0,




....................................................



F (x , x , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , ) = 0.
1 1
n s1 s2
1
1 1
1
s
s s
s
определим все точки x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , ..., x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn , подозрительные на экстремум.
Однако, этот способ нахождения точек, подозрительных на экстремум, очень громоздок - из-за формул Крамера вычисления утомительны. Существует другой метод - метод неопределённых множителей Лагранжа,
который заметно упрощает дело отыскания подозрительных на экстремум точек.
С этой целью умножим каждое равенство из (β)
неопределённый
множитель
λ1 , λ2 , ..., λn , сло
на свой
n
n
P
P
∂f
∂f
∂Fk
∂Fk
λk ∂x1 dx1 + ... + ∂xm +
λk ∂x
dxm +
жим их, и сложим с равенством (α). Получим:
∂x1 +
m
k=1
k=1
n
n
P
P
∂f
∂f
k
k
λk ∂F
dy1 + ... + ∂y
λk ∂F
dyn = 0, или, вводя в рассмотрение вспомогательную функ+
∂y1 +
∂y1
∂yn
n
k=1
цию Φ = f +
n
P
k=1
λk Fk , имеем:
m
P
s=1
k=1
∂Φ
∂xs dxs
+
n
P
k=1
∂Φ
∂yk dyk
= 0. Неопределённые множители подберём так, чтобы
— 55 —
все
∂Φ
∂yk

n
P
∂f
k

+
λk ∂F

∂y
∂y1 = 0,

1

k=1


n

 ∂f + P
k
λk ∂F
∂y
∂y2 = 0,
2
= 0, (k = 1, 2, ..., n), то есть (I).
k=1


.................................



n
P

∂f

k
 ∂y
+
λk ∂F
∂yn = 0.
n
Тогда
m
P
s=1
∂Φ
∂xs dxs
= 0. Но, поскольку
k=1

n
P
∂f
k

+
λk ∂F

∂x
∂x1 = 0,

1

k=1


n

 ∂f + P
k
λk ∂F
∂Φ
∂x
∂x2 = 0,
2
все xs , (s = 1, 2, ..., m) - независимые переменные, ∂xs = 0, или (II).
Вспомним,
k=1


.................................



n

 ∂f + P λ ∂Fk = 0.

k ∂xm
∂xm
k=1

F1 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0,



F2 (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0,
что плюс ко всему должны выполняться условия связи (∗)
В итоге име......................................................



Fn (x1 , x2 , ..., xm , y1 , y2 , ..., yn ) = 0.
ем систему (2m + n) уравнений (I), (II) и (∗) на (2m + n) переменных (x1 , x2 , ..., xm ), (y1 , y2 , ..., yn ), и
(λ1 , λ2 , ..., λn ). Решая эту систему, находим точки, подозрительные на 
экстремум.
Φ0x = 2x + λ = 0,
2
2
u=x +y ,
Φ0 = 2y + λ = 0, Решая эту систему,
Пример.
Φ(x, y) = x2 + y 2 + λ(x + y − 1).
x + y − 1 = 0.
 y
x + y − 1 = 0.
найдем: λ = −1, и подозрительную на экстремум точку x = 21 , y = 12 .
8.3. Достаточные условия для условного экстремума.
Мы рассмотрим следующие частные случаи: (1). z = f (x, y), ϕ(x, y) = 0. (2). u = f (x, y, z), ϕ(x, y, z) =
0, ψ(x, y, z) = 0. (3). u = f (x, y, z, ), ϕ(x,
 y,0 z) = 00.
Φx = fx (x, y) + λϕ0x (x, y) = 0,
Φ0 = fy0 (x, y) + λϕ0y (x, y) = 0, Решая эту систему, найдем значения
(1). Φ(x, y) = f (x, y) + λϕ(x, y).
 y
ϕ(x, y) = 0.
λ и точки, подозрительные на экстремум: (λ0 , (x0 , y0 )), (λ1 , (x1 , y1 )), ... и так далее. Поскольку ϕ(x0 , y0 ) =
0, ϕ(x, y) = 0, находим ∆Φ = Φ(x, y) − Φ(x0 , y0 ) = f (x, y) − f (x0 , y0 ) = ∆f. Поэтому ∆f = ∆Φ =
Φ0x (x0 , y0 )dx + Φ0y (x0 , y0 )dy + 21 (a11 dx2 + 2a12 dxdy + a22 dy 2 ) + α. Здесь Φ0x (x0 , y0 ) = 0 и Φ0y (x0 , y0 ) = 0
вследствие выполнения необходимых условий, a11 = Φ00xx (x0 , y0 ), a12 = Φ00xy (x0 , y0 ), a22 = Φ00yy (x0 , y0 ), а α бесконечно малая величина более высокого порядка. Из ϕ(x, y) = 0 следует: ϕ0x |(x0 ,y0 ) dx + ϕ0y (x ,y ) dy = 0,
0 0 0
0
ϕx
ϕ
1
2
то есть dy = − ϕ0
dx. Подставив в ∆Φ, получим: ∆f = ∆Φ = 2 (a11 dx + 2a12 − ϕx0
dx2 +
y
y
(x0 ,y0 )
(x0 ,y0 )
0 2
ϕ
a22 − ϕx0
dx2 ) + α = 12 Kdx2 + α. Поскольку α - бесконечно малая величина более высокого порядка,
y
(x0 ,y0 )
знак приращения функции определяется знаком величины K. Следовательно, достаточные условия состоят в
следующем: если K > 0 - достигается условный минимум, если K < 0 - максимум, а если K = 0 - необходимо
дополнительное исследование.
 0
Φx = fx0 + λϕ0x + µψx0 = 0
ϕ(x, y, z) = 0
0
0
0
0
Φ = fy + λϕy + µψy = 0 +
(2). Φ(x, y, z) = f (x, y, z) + λϕ(x, y, z) + µψ(x, y, z).
.
ψ(x, y, z) = 0
 y0
Φz = fz0 + λϕ0z + µψz0 = 0
Решая эту систему, как и в предыдущем случае, найдём все λ, µ и все подозрительные на экстремум точки:
(λ0 , µ0 , (x0 , y0 , z0 )), (λ1 , µ1 (x1 , y1 , z1 )), ... и так далее. Считая выполненными необходимые условия достижения экстремума, имеем: ∆f = ∆Φ = 12 (a11 dx2 + 2a12 dxdy + 2a13 dxdz + a22 dy 2 + 2a23 dydz + a33 dz 2 ) +
α, где α - величины, бесконечно малые по сравнению с приведёнными, a11 = Φ00xx (x0 , y0 , z0 ), a12 =
Φ00xy (x0 , y0 , z0 ), a22 = Φ00yy (x0 , y0 , z0 ), ... и так далее. Из условий связи ϕ(x, y, z) = 0 и ψ(x, y, z) = 0
( 0
ϕx dx + ϕ0y dy + ϕ0z dz = 0 (x ,y ,z ) ,
0 0 0
следует:
Разрешая относительно dy и dz, получим выражения вида:
ψx0 dx + ψy0 dy + ψz0 dz = 0 (x ,y ,z ) .
0
0
0
dy = A(x0 , y0 , z0 )dx, dz = B(x0 , y0 , z0 )dx. Подставив их в ∆f = ∆Φ получим: ∆f = 21 K̃dx2 + α. Поскольку
α - бесконечно малая величина, знак приращения функции определяется знаком величины K̃. Следовательно,
достаточные условия и в этом случае состоят в следующем: если K̃ > 0 - достигается условный минимум, если
K̃ < 0 - максимум, а если K̃ = 0 - необходимо дополнительное исследование.
— 56 —
 0
Φ = fx0 + λϕ0x ,


 x0
Φy = fy0 + λϕ0y ,
(3). Φ(x, y, z) + λϕ(x, y, z).
Как и в предыдущих двух случаях, решая эту систему,
Φ0z = fz0 + λϕ0z ,



ϕ(x, y, z) = 0.
найдем значения λ и точки, подозрительные на экстремум: (λ0 , (x0 , y0 , z0 )), (λ1 , (x1 , y1 , z1 )), ... и так далее. Считая выполненными необходимые условия, имеем: ∆f = ∆Φ = 12 (a11 dx2 + 2a12 dxdy + 2a13 dxdz +
a22 dy 2 + 2a23 dydz + a33 dz 2 ) + α, где α - величины, бесконечно малые по сравнению с приведёнными, a11 =
Φ00xx (x0 , y0 , z0 ), a12 = Φ00xy (x0 , y0 , z0 ), a22 = Φ00yy (x0 , y0 , z0 ), ... и так далее. Из условия связи имеем: ϕ0x dx +
0
ϕ0 (x0 ,y0 ,z0 )
ϕ (x ,y ,z )
ϕ0y dy + ϕ0z dz = 0|(x0 ,y0 ,z0 ) , откуда dz = − ϕx0 (x00 ,y00 ,z00 ) dx + ϕy0 (x0 ,y0 ,z0 ) dy . Подставив, получим выражение
z
z
вида: ∆f = 12 (ã11 dx2 + 2ã12 dxdy + ã22 dy 2 ) + α. По теореме, доказанной нами для безусловного экстремума,
мы знаем, что если I = (ã11 · ã22 − ã212 ) > 0, экстремум есть, если I <0, экстремума нет.
Φ0x = 2x + λ = 0,
u = x2 + y 2 ,
2
2
Φ0 = 2y + λ = 0, Решая эту систему,
Пример.
Φ(x, y) = x + y + λ(x + y − 1).
x + y − 1 = 0.
 y
x + y − 1 = 0.
найдем: λ = −1, и подозрительную на экстремум точку x = 21 , y = 12 . d2 Φ = 12 (2dx2 + 2dy 2 ). Но dy = −dx,
поэтому d2 Φ = 21 (2dx2 + 2dx2 ) = 2dx2 . В этом примере K = 2 > 0 - минимум.
ЛЕКЦИЯ 30.
8.4. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства кривых на плоскости.
Рассмотрим кривую на плоскости F (x, y) = 0. Точка M0 (x0 , y0 ) называется обыкновенной точкой, если
2
2
2
2
(Fx0 (x0 , y0 )) + Fy0 (x0 , y0 ) 6= 0, и особой точкой, если (Fx0 (x0 , y0 )) + Fy0 (x0 , y0 ) = 0.
x = x(t)
Аналогично, если кривая задана параметрически
, то точка M0 (x0 , y0 ) = M0 (t0 ) называется
y = y(t)
обыкновенной точкой, если [ẋ(t0 )]2 + [ẏ(t0 )]2 6= 0, и особой точкой, если [ẋ(t0 )]2 + [ẏ(t0 )]2 = 0.
Если M0 - обыкновенная точка, то, как следует из теоремы существования неявной функции, в окрестности
точки M0 , при условии, что Fx0 (x, y) и Fy0 (x, y) - непрерывные функции, определяется однозначная кривая
y = y(x) (при Fy0 (x, y) 6= 0 ), или x = x(y) (при Fx0 (x, y) 6= 0 ).
Определение 1. Говорят, что соотношения вида F (x, y, C) = 0, где C - параметр, меняющийся в некотором интервале (может быть от −∞ до +∞ ), определяют однопараметрическое семейство кривых.
Пример. Соотношение (x − C)2 + y 2 = 1 определяет однопараметрическое семейство окружностей единичного радиуса, центры которых лежат на оси x.
F (x0 , y0 , C) = 0,
называется
Определение 2. Точка M0 (x0 , y0 ), удовлетворяющая системе уравнений ∂F (x0 ,y0 ,C)
= 0,
∂C
характеристической точкой семейства кривых.
Определение 3. Геометрическое место характеристических точек семейства F (x, y, C) = 0 называется
дискриминантной кривой этого семейства.
Пример. В предыдущем примере
точками семейства
(x − C)2 + y 2 = 1 являются
характеристическими
2
2
(x − C) + y = 1,
x = C,
точки, удовлетворяющие системе
или точки
Дискриминантными кривыми
2(x − C) · (−1) = 0,
y = ±1.
являются в данном примере прямые y = ±1. Это прямые, параллельные оси O − X.
Чтобы узнать,какие кривые включаются в класс дискриминантных кривых данного семейства плоских кривых, введём понятие огибающей семейства кривых на плоскости.
Определение 4. Огибающей семейства F (x, y, C) = 0 называется кривая, которая в каждой точке касается только одной кривой семейства и в разных точках касается разных кривых указанного семейства.
Чтобы прояснить смысл определения, вспомним, что если две кривые касаются друг друга в обыкновенной
точке M0 и если в этой точке у каждой кривой существуют касательные, совпадающие одна с другой, то существует и общая касательная.
Аналитически, это означает следующее.
Пусть первая кривая имеет уравнение F (x, y) = 0, а вторая кривая
x = x(t),
задана в параметрической форме
Пусть точка M0 определена координатами (x0 , y0 ) для первой
y = y(t).
кривой и значением параметра (t0 ) для второй. Для первой кривой имеем:
dy
dx
=
или
dy
dx
F 0 (x ,y )
= − Fx0 (x00 ,y00 ) ; для второй кривой:
y
Fx0 (x0 ,y0 )
ẏ(t0 )
ẏ(t0 )
ẋ(t0 ) . Поскольку касательная общая, значения этих производных должны совпадать: ẋ(t0 ) = − Fy0 (x0 ,y0 ) ,
Fx0 · ẋ|M0 + Fy0 · ẏ M = 0 - это условие касания двух наших кривых. На это же соотношение можно
0
~ = ~i · Fx0 +~j · Fy0 и ~τ = ~i · ẋ +~j · ẏ : (N
~ · ~τ )
посмотреть как на скалярное произведение двух векторов: N
= 0.
M0
~ ⊥~τ , то есть вектор N
~ ортогонален вектору ~τ . Но так
Поскольку скалярное произведение равно нулю, то N
— 57 —
~ - суть нормальный вектор, который
как вектор ~τ - это касательный вектор к нашим кривым, то вектор N
можно построить в каждой точке исследуемой нами кривой F (x, y) = 0.
Обратимся
к дискриминантной кривой, определяемой как геометрическое место точек, удовлетворяющее
F (x, y, C) = 0,
системе
Согласно теореме существования неявных функций, если F (x, y, C) и FC0 (x, y, C)
FC0 (x, y, C) = 0.
00
00
00
дифференцируемы в точке (x0 , y0 , C0 ), причём Fx0 , Fy0 , FC0 , FCx
, FCy
, FCC
непрерывны в окрестности точки
0
C)
(x0 , y0 , C0 ), а якобиан J ≡ D(F,F
D(x,y) 6= 0, то в окрестности точки C0 , существуют однозначные функции
x = x(C),
Это и есть искомая дискриминантная кривая (или, по крайней мере, её часть, когда параметр C
y = y(C).
принадлежит окрестности C0 .
Пусть выполнены два условия:
(а) (Fx0 (x0 , y0 , C0 ))2 + (Fy0 (x0 , y0 , C0 ))2 6= 0 - условие того, что точка (x0 , y0 , C0 ) - обыкновенная точка, и,
в силу непрерывности частных производных, в некоторой окрестности этой точки выполнено (Fx0 (x, y, C))2 +
(Fy0 (x, y, C))2 6= 0,
00
(б) FCC
(x0 , y0 , C0 ) 6= 0.
x = x(C),
F (x, y, C) = 0,
Подставим параметрическое уравнение дискриминантной кривой
в систему
y = y(C).
FC0 (x, y, C) = 0,
0 dx
0 dy
0
Fx · dC + Fy · dC + FC = 0,
и продифференцируем получившееся тождество по C :
dy
dx
00
00
00
FCx
· dC
+ FCy
· dC
+ FCC
= 0.
0 dx
0 dy
Fx · dC + Fy · dC = 0,
Поскольку FC0 (x, y, C) = 0, получим:
dy
dx
00
00
00
FCC
= −(FCx
· dC
+ FCy
· dC
).
dy
dx
00
6= 0 одновременно, сумма их
Из второго уравнения следует, что поскольку FCC 6= 0, то и dC 6= 0 и dC
квадратов также отлична от нуля, а значит и все точки дискриминантной кривой - обыкновенные точки.
x = x(C),
Первое же соотношение полученной системы - есть условие касания кривой
и кривых нашего
y = y(C).
семейства и, следовательно, представляет огибающую этого семейства. Таким образом, нами доказана следующая теорема.
Теорема. Если все кривые семейства и дискриминантная кривая не имеют особых точек, то дискриминантная кривая - суть огибающая семейства кривых.
00
Как мы видели раньше, аналитически это означает, что (Fx0 )2 + (Fy0 )2 6= 0, FCC
6= 0, при непрерывно0
0
0
00
00
00
сти Fx , Fy , FC , FCx , FCy , FCC . Если эти условия нарушаются, то дискриминантная кривая не является
огибающей и представляет собой, например, геометрическое место особых
точек семейства F (x, y, C) = 0.
x = C,
2
0
Пример. F (x, y) = −(x − C) + y = 0. FC = 2(x − C) = 0.
- дискриминантная кривая - ось
y = 0,
0x.
00
Fx0 = −2(x − C), Fy0 = 1. (Fx0 )2 + (Fy0 )2 = 02 + 12 = 1 6= 0, FCC
= −2 6= 0. Следовательно, ось y = 0 2
огибающая семейства парабол y = (x − C) .
8.5. Касательная плоскость к поверхности F (x, y, z) = 0. Вектор нормали к поверхности.
Всякое соотношение вида F (x, y, z) = 0 определяет поверхность в <3 . Точку M0 (x0 , y0 , z0 ) называют
обыкновенной точкой поверхности, если (Fx0 (M0 ))2 + (Fy0 (M0 ))2 + (Fz0 (M0 ))2 6= 0 и особой точкой, если
(Fx0 (M0 ))2 + (Fy0 (M0 ))2 + (Fz0 (M0 ))2 = 0.
Пусть M0 - обыкновенная точка поверхности F (x, y, z) = 0. Зададим на этой поверхности кривую ~r =
x = x(t),
~r(t) или y = y(t), так, что F (x(t), y(t), z(t)) = 0. Пусть точке M0 отвечает значение параметра t0 .

z = z(t),
0 dy
0 dz
Видим: Fx0 · dx
dt + Fy · dt + Fz · dt = 0 для любой кривой, проходящей через точку M0 . Рассмотрим векторы
0
0
~ = ~i · Fx (M0 ) + ~j · Fy (M0 ) + ~k · Fz0 (M0 ) и ~τ ≡ d~r = ~i · ẋ(t0 ) + ~j · ẏ(t0 ) + ~k · ż(t0 ). В терминах этих векторов для
N
dt
~ · ~τ ) = 0. Вектор d~r - вектор,
любой кривой, проходящей через точку M0 , предыдущее равенство имеет вид (N
dt
~ - вектор, ортогональный к касательной к любой кривой, проведённой на
касательный к кривой ~r(t), тогда N
~ - вектор, нормальный к поверхности
поверхности F (x, y, z) = 0 через точку M0 . Следовательно, вектор N
F (x, y, z) = 0 в точке M0 .
~ · (~r − ~r0 )) = 0, или, в других терминах,
Плоскость (N
Fx0 (M0 ) · (x − x0 ) + Fy0 (M0 ) · (y − y0 ) + Fz0 (M0 ) · (z − z0 ) = 0
— 58 —
называют касательной плоскостью к поверхности F (x, y, z) = 0 в точке M0 . Тогда вектор нормали к
поверхности в точке M0 , вспоминая курс аналитической геометрии, можно записать в виде:
x − x0
y − y0
z − z0
= 0
= 0
.
Fx0 (M0 )
Fy (M0 )
Fz (M0 )
ЛЕКЦИЯ 31.
8.6. Поверхность уровня. Градиент. Производная по направлению.
Пусть Ω - некоторая область в <3 (может быть, совпадающая с <3 ), и пусть задана функция u =
f (x, y, z), где точка (x, y, z) ∈ Ω. Рассмотрим геометрическое место точек (x, y, z), где функция постоянна, то есть f (x, y, z) = C. Такое соотношение определяет поверхность в Ω. Если C меняется в некотором
интервале, то говорят, что заданы поверхности уровня функции f (x, y, z) в области Ω.
Пример. u = x2 + y 2 + z 2 . Поверхностями уровня этой функции являются сферы x2 + y 2 + z 2 = 2 с
центрами в начале координат.
Через каждую точку M0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ Ω проходит только одна поверхность уровня, так как f (x0 , y0 , z0 ) =
C и, следовательно, f (x, y, z) = f (x0 , y0 , z0 ) - единственная поверхность.
~ ,
Запишем поверхность уровня в виде F (x, y, z) ≡ f (x, y, z) − f (x0 , y0 , z0 ) = 0 и построим вектор N
нормальный к этой поверхности уровня. Как мы только что показали в предыдущем пункте, искомый вектор
~ = ~i · ∂f + ~j · ∂f + ~k · ∂f .
нормали имеет вид: N
∂x
∂y
∂z
Определение 1. Вектор, нормальный в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) к поверхности уровня f (x, y, z) = f (x0 , y0 , z0 )
функции u = f (x, y, z), называется градиентом функции u = f (x, y, z), и обозначается символом
~ = ~i · ∂u + ~j · ∂u + ~k · ∂u или grad~ u = ( ∂u , ∂u , ∂u ).
grad~ u ≡ ∇u
∂x
∂y
∂z
∂x ∂y ∂z
Пусть, далее, в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) задан единичный вектор ~e, указывающий направление оси, проходящей
через точку M0 . Выберем на этой оси произвольную точку M ∈ Ω, где задана функция u = f (x, y, z).
)−u(M0 )
Определение 2. Предел отношения u(M|M
, где |M M0 | - длина направленного от M к M0 отрезка,
M0 |
когда M → M0 двигаясь по оси ~e, называется производной по направлению от функции u = f (x, y, z) и
обозначается символом ∂u
∂e .
Согласно этому определению
f (x0 +tex ,y0 +tey ,z0 +tez )−f (x0 ,y0 ,z0 )
(M0 )
(M0 )
(M0 )
∂u
= ∂f ∂x
· ex + ∂f ∂y
· ey + ∂f ∂z
· ez = (grad~ u · ~e).
∂e = lim
t
t→0
Покажем,что градиент функции u = f (x, y, z) в точке M0 характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке M0 .
~ e) = grad~ u · |~e| · cos ϕ = grad~ u · cos ϕ. Здесь ϕ - угол между градиентом
Действительно, ∂u
∂e = (grad u · ~
и единичным вектором ~e. Очевидно, что максимальное значение производной по направлению достигается при
ϕ = 0, то есть когда направление оси ~e совпадает с направлением градиента функции u = f (x, y, z).
8.7. Соприкосновение кривых.
Определение. Пусть кривые y = f1 (x) и y = f2 (x) касаются в точке M0 (x0 , y0 = f1 (x0 ) = f2 (x0 )). Будем говорить, что данные кривые в точке M0 имеют соприкосновение n-го порядка, если существует конечный
2 (x+∆x)|
6= 0.
предел lim |f1 (x+∆x)−f
|∆x|n+1
∆x→0
Пример. y = x2 . y = 2x2 .
lim
∆x→0
|(0+∆x)2 −2(0+∆x)2 |
|∆x|n+1
|∆x|2
n+1 .
|∆x|
∆x→0
= lim
Очевидно, что мы получим конеч-
ный, отличный от нуля предел только при n = 1. Следовательно, эти кривые имеют соприкосновение первого
порядка.
Теорема (о достаточных условиях соприкосновения). Пусть функции y = f1 (x) и y = f2 (x) n+1 раз
дифференцируемы в некоторой окрестности точки x0 , причём производная n+1-го порядка непрерывна в точке
(n)
(n)
(n+1)
(n+1)
x0 . Тогда если f1 (x0 ) = f2 (x0 ), f10 (x0 ) = f20 (x0 ), ... , f1 (x0 ) = f2 (x0 ), f1
(x0 ) 6= f2
(x0 ), то кривые
y = f1 (x) и y = f2 (x) имеют в точке M0 (x0 , y0 = f1 (x0 ) = f2 (x0 )) соприкосновение n-го порядка.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) = f1 (x) − f2 (x). Поскольку F (x0 ) =
1
0, F 0 (x0 ) = 0, ... , F (n) (x0 ) = 0, то по формуле Тейлора F (x) ≡ F (x0 +∆x) = (n+1)!
F (n+1) (x0 +θ·∆x)∆xn+1 .
(n+1)
(n+1)
(x0 +θ·∆x)∆xn+1 |
|F
(x0 +∆x)|
(x0 )
1
2 (x0 +∆x)|
Рассмотрим lim |f1 (x0 +∆x)−f
= lim |F|∆x|
= (n+1)!
lim
= F (n+1)!
=
n+1
|∆x|n+1
|∆x|n+1
1
(n+1)!
∆x→0
(n+1)
(x0 ) −
f1
∆x→0
(n+1)
f2
∆x→0
(x0 ) 6= 0, что и требовалось доказать.
8.8. Соприкасающаяся окружность.
— 59 —
Рассмотрим кривую, описываемую функцией y = f (x) и проходящую через точку M0 (x0 , y0 ). Найдём
окружность, проходящую через точку M0 и имеющую в этой точке соприкосновение с данной кривой не ниже
второго порядка. Пусть уравнение окружности, которую мы ищем, есть (X − ξ)2 + (Y − η)2 = ρ2 . Продифференцируем это уравнение дважды (нам нужны вторые производные этой кривой в точке M0 ) :
00
2(X − ξ) + 2(Y − η)Yx0 = 0; 2 + 2(Yx0 )2 + 2(Y − η)Yxx
= 0.
Вточке M0 имеем:
y(x0 ) = Y (x0 ) ⇒ (x0 − ξ)2 + (y0 − η)2 = ρ2 .
y 0 (x0 ) = Yx0 (x0 ) ⇒ (x0 − ξ) + (y0 − η)yx0 (x0 ) = 0.
 x00
00
00
yxx (x0 ) = Yxx
(x0 ) ⇒ 1 + (yx0 (x0 ))2 + (y0 − η)yxx
(x0 ) = 0.
Найти окружность - это значит указать координаты центра (ξ, η) окружности и её радиус ρ.
Решая относительно указанных величин предложенную систему, получим:
3
[1+(yx0 )2 ] 2
1+(y 0 )2
1+(y 0 )2
.
y0 − η = − y00 x ; x0 − ξ = yx0 · y00 x ; ρ =
00
|yxx |
xx
xx
В итоге получим:
3
[1+(yx0 )2 ] 2
1+(y 0 )2
1+(y 0 )2
ξ = x0 − yx0 · y00 x
; η = y0 + y00 x
; ρ=
.
00
|y |
xx
xx
M0
M0
xx
M0
Определение. Радиус соприкасающейся окружности ρ, вычисленный в точке M0 (x0 , y0 ) кривой y = f (x)
называется радиусом кривизны кривой y = f (x) в точке M0 , а обратная ему величина K = 1/ρ - кривизной
кривой y = f (x) в точке M0 .
00
|yxx
|
Таким образом, K|M0 =
.
3
0
[1+(yx )2 ] 2 M
0
x = x(t),
ẏ
00
Если кривая задана в параметрическом виде
то
yx0 = ẋẏ , yxx
= ÿẋ−ẍ
ẋ3 .
y = y(t),
Поэтому K|M0 =
ÿ ẋ−ẍẏ
3
(ẋ2 +ẏ 2 ) 2 M
0
.
Глава 9
Теория числовых и функциональных
рядов.
ЛЕКЦИЯ 32.
9.1. Основные определения теории числовых рядов. Критерий Коши сходимости числового ряда.
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность a1 , a2 , a3 , ..., an , ... и из членов этой последова∞
P
тельности составим бесконечную сумму
ak =a1 + a2 + a3 + ... + an + ... , которую назовём числовым рядом.
k=1
Обозначим, далее S1 = a1 , S2 = a1 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , ... , Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an , ..., которые
далее будем называть первой, второй, третьей, ... , n - ой частичной суммой ряда.
Определение 1. Если существует конечный предел n - ой частичной суммы ряда при n → ∞, то есть
существует lim Sn = S ∈ <, то говорят, что ряд сходится; если же предел не существует, или он равен
n→∞
∞
P
бесконечности, говорят, что ряд расходится. Предел S называют суммой ряда и пишут
ak =S.
Пример 1.
k=1
∞
P
k
(−1) =1 − 1 + 1 − 1 + .... S1 = 1, S2 = 0, S3 = 1, ... , S2n−1 = 1, S2n = 0, то есть
k=0
предел частичных сумм не существует. Данный ряд расходится.
∞
P
Пример 2.
q k−1 =1 + q + q 2 + q 3 + ... + q n + .... Sn = 1 + q + q 2 + q 3 + ... + q n =
k=1
что если |q| < 1, то
lim Sn =
n→∞
1
1−q ,
ряд сходится. Если же q = 1, Sn = n + 1,
1−q n−1
1−q .
Видим,
lim Sn = ∞, и если
n→∞
n−1
lim 1−q
n→∞ 1−q
|q| > 1, то конечного предела частичных сумм lim Sn =
не существует, в обоих этих случаях ряд
n→∞
расходится.
Поскольку вопрос о сходимости ряда сводится к сходимости последовательности частичных сумм {Sn } , то
к этой последовательности применим критерий Коши.
∞
P
Критерий Коши (сходимости ряда). Для того, чтобы ряд
ak сходился, необходимо и достаточно
k=1
чтобы для ∀ε > 0 ∃N (ε) : n > N (ε) и для всех натуральных p, было выполнено |Sn+p − Sn | < ε, или
n+p
P
|an+1 + an+2 + an+3 + ... + an+p | < ε, или
ak < ε.
k=n+1
Необходимый признак сходимости ряда. Для того, чтобы ряд
∞
P
ak
сходился, необходимо чтобы
k=1
lim an = 0.
n→∞
Доказательство. Действительно, критерий Коши при p = 1 даёт: для для ∀ε > 0 ∃N (ε) : n > N (ε)
выполняется |an+1 | < ε, а значит и |an | < ε, и, следовательно, lim an = 0, что и утверждается.
n→∞
Из этой теоремы следует, что если lim an 6= 0, или же этот предел не существует, то ряд расходится.
n→∞
Но если lim an = 0, то можно ли утверждать, что ряд сходится? Достаточно ли этого условия для сходиn→∞
∞
P
1
1
1
1
мости ряда? Ответ: нет, не достаточно. В этом нас убеждает простой пример:
k =1 + 2 + 3 + ... + n + ....
k=1
1
= 0.
n→∞ n
1
n 2n
= 12 . Видим:
Этот ряд называется гармоническим рядом. Ясно, что lim
1
n+1
+
1
n+2
+ ... +
1
n+n
>
1
2n
+
1
2n
+ ... +
1
2n
=
60
Но, по критерию Коши, при p = n имеем
|Sn+p − Sn | >
1
2
и никогда не может быть
— 61 —
выполнено |Sn+p − Sn | < ε для ∀ε > 0. Таким образом, гармонический ряд - расходящийся ряд, несмотря на
то, что необходимое условие выполнено.
9.2. Ряды с положительными членами.
Ряды с положительными членами - это ряды вида
∞
P
ak , где все ak ≥ 0.
k=1
Теорема 1. Для того, чтобы ряд с положительными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.
Доказательство. Действительно, последовательность {S1 , S2 , ..., Sn , ...} - неубывающая, и если она ограниченна, то она имеет предел.
Обратно, если ряд с положительными членами сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена сверху суммой этого ряда.
∞
P
Теорема 2. Если начиная с некоторого номера k0 члены рядов с положительными членами
ak и
∞
P
k=1
bk связаны неравенствами ak ≤ c · bk , (где c > 0; const ), то из сходимости большего (второго) ряда
k=1
следует сходимость меньшего (первого) ряда. Из расходимости меньшего (первого) ряда следует расходимость
большего (второго) ряда.
(a)
(b)
(a)
(b)
Доказательство. Видим, что Sn ≤ c · Sn , где Sn и Sn составлены из рядов, у которых отброшены
(b)
первые k0 членов. Если второй ряд сходится, то {Sn } - ограниченная последовательность, следовательно,
(b)
ограниченной является последовательность {c · Sn }, тем более, является ограниченной последовательность
∞
∞
P
P
(a)
{Sn }. Тогда, на основании теоремы 1, ряд
ak - сходится. Если же первый ряд
ak - расходится, то
k=1
k=1
(a)
{Sn } - неограниченная последовательность, вследствие этого неограниченной является последовательность
∞
P
(b)
bk расходится.
{Sn }, и поэтому второй ряд
∞
P
Пример 1.
k=1
исследуемый ряд.
Пример 2.
∞
P
k=1
∞
P
k=1
1 k−1
2
k=1
√1 .
k
1
k!
Очевидно, что
= 1+
1
1·2
+
1
1·2·3
√1
k
+
>
1
k;
1
1·2·3·4
но ряд
+ .... Но
∞
P
k=1
1
k
расходится. Следовательно, расходится и
1
1·2·3·4·...·k
<
1
1·2·2·2·...·2
=
1
.
2k−1
Поскольку ряд
сходится, (это сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем
q = 12 < 1 ), то и исходный ряд сходится.
Теорема 3. (Признак сходимости Даламбера). Если lim aak+1
= L, то ряд с положительными членами
k
k→∞
∞
P
ak сходится, если L < 1 и расходится, если L > 1.
k=1
Доказательство. Разберём случай, когда L < 1. Нам дано, что
lim
k→∞
ak+1
ak
= L. Это означает, что для
∀ε > 0 ∃N (ε) такое, что как только n > N (ε), так сразу выполнится неравенство
an+1
an
− L < ε, или, что то
же, L − ε < aan+1
< L + ε.
kn
Зададимся ε > 0 так, что бы L + ε < 1. Поскольку величина ε выбирается произвольно, этого всегда
можно добиться, (положим, например, 1−L
2 = ε ). Обозначим L + ε = q. Для заданного ε > 0 найдём такой
номер N0 , что для всех n > N0 выполнится неравенство aan+1
< L + ε = q. Иначе говоря, для всех n > N0
n
aN0 +1
aN0 +2
a 0 +3
одновременно выполнятся неравенства aN < q, aN +1 < q, aN
< q, ... , aan+1
< q. Перемножим эти
n
N0 +2
0
0
неравенства. Получим, что начиная с номера N0 и для всех номеров превосходящих этот номер, выполнится
∞
P
n+1−N0
n+1 aN0
неравенство aan+1
<
q
,
или
a
<
q
·
q n при |q| < 1 сходится, то, по
n+1
N0 . Поскольку ряд
q
N
0
n=0
теореме 2, сходится и исследуемый ряд.
Разберём теперь случай, когда L > 1. Зададимся ε > 0 так, что бы L − ε > 1. Для заданного ε > 0
найдём такой номер N0 , что для всех n > N0 выполнится неравенство aan+1
> L − ε = q, то есть для всех
n
a
a 0 +2
aN0 +3
n > N0 одновременно выполнятся неравенства aNN0 +1 > q, aN
>
q,
>
q, ... , aan+1
> q. Перемножим
aN0 +2
n
N0 +1
0
эти неравенства. Получим, что начиная с номера N0 и для всех номеров превосходящих этот номер, выполнится
∞
P
aN0
неравенство aan+1
> q n+1−N0 , или an+1 > q n+1 · qN
. Но так как ряд
q n при |q| > 1 расходится, то, по
0
N
0
теореме 2, расходится и исследуемый ряд. Теорема доказана.
n=0
— 62 —
√
Теорема 4. (Радикальный признак сходимости Коши). Если lim k ak = L, то то ряд с положительk→∞
∞
P
ak сходится, если L < 1 и расходится, если L > 1.
ными членами
k=1
√
Доказательство. Пусть L < 1. Нам дано, что lim k ak = L. Это означает, что для ∀ε > 0 ∃N (ε)
k→∞
√
такое, что как только n > N (ε), так сразу выполнится неравенство k ak − L < ε, или, что то же, L − ε <
√
k a
k < L + ε.
Зададимся ε > 0 так, что бы L + ε < 1. Для заданного ε > 0 найдём такой номер N0 , что для всех
∞
P
√
n > N0 выполнится неравенство k ak < L + ε = q, или ak < q k . Поскольку ряд
q k при |q| < 1
k=1
сходится, то, на основании теоремы 2, ряд, исследуемый нами, сходится.
Пусть теперь L > 1. Зададимся ε > 0 так, что бы L − ε > 1. Для заданного ε > 0 найдём такой номер
∞
P
√
N0 , что для всех n > N0 выполнится неравенство k ak > L − ε = q, или ak > q k . Но так как ряд
q k при
k=1
|q| > 1 расходится, то, на основании теоремы 2, исследуемый нами ряд так же расходится. Теорема доказана.
Теорема 5. (Интегральный признак сходимости Коши). Пусть f (x) > 0 - невозрастающая функция
∞
R∞
P
при x > 0. Тогда ряд
f (n) сходится, если сходится несобственный интеграл первого рода f (x)dx.
n=1
Доказательство. Пусть интеграл
R∞
f (x)dx сходится. Видим, что f (2) ≤
0
Rn
f (n) ≤
f (x)dx, ... . Тогда Sn = f (2) + f (3) + ... + f (n) ≤
n−1
R2
R∞
f (x)dx, f (3) ≤
0
R3
1
R3
Rn
2
n−1
f (x)dx, ... ,
2
f (x)dx+ f (x)dx + ...+
1
где K = const, так как интеграл
R2
f (x)dx < K,
f (x)dx сходится. Частичные суммы исследуемого ряда с положительными
0
членами ограничены и, следовательно, по теореме 1, ряд сходится.
∞
P
1
- обобщённый гармонический ряд. f (k) = k1λ , f (x) =
Пример.
kλ
k=1
R∞
1
,
xλ
1
1
dx
xλ
=
x1−λ
1−λ
∞
1
. Очевид-
но, что интеграл, а вместе с ним и ряд, сходится, если λ > 1 и расходится, если λ ≤ 1.
ЛЕКЦИЯ 33.
9.3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Пусть нам дан числовой ряд
Определение 1. Ряд
щимся, если сходится ряд
∞
P
∞
P
ak .
k=1
ak , (где ak - вещественные числа любого знака) называется абсолютно сходя-
k=1
∞
P
|ak | , составленный из абсолютных значений членов этого ряда.
k=1
Теорема 1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство. Действительно, для заданного числового ряда
∞
P
ak признак Коши сходимости ряда
k=1
даёт: |Sn+p − Sn | = |an+1 + an+2 + ... + an+p | ≤ |an+1 | + |an+2 | + ... + |an+p | < ε при n > N (ε) и для любого
∞
P
натурального p, так как ряд
|ak | сходится. Таким образом, |Sn+p − Sn | < ε, критерий Коши выполнен,
k=1
ряд сходится.
Определение 2. Ряд
∞
P
ak называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд
k=1
ся.
Пример.
∞
P
k=1
(−1)k−1
k
∞
P
|ak | расходит-
k=1
=1−
1
2
+
1
3
−
1
4
+ ... . ak =
(−1)k−1
,
k
|ak | = k1 ,
∞
P
k=1
1
k
- это гармонический ряд, он
расходится.
Покажем, что исследуемый знакопеременный ряд сходится. Для этого рассмотрим частичные суммы Sn
1
1
− 2m
). Ясно,
этого ряда. Если n - чётное, то есть n = 2m, то S2m = (1 − 21 ) + ( 13 − 14 ) + ... + ( 2m−1
1
1
1
1
что последовательность частичных сумма растёт. С другой стороны S2m = 1 − ( 2 − 3 ) − ( 4 − 5 ) − ... −
1
1
1
( 2m−2
− 2m−1
)− 2m
< 1, то есть данная последовательность частичных сумм ограничена сверху. Следовательно
1
;
lim S2m−1 =
существует конечный предел lim S2m = S. Если n = 2m − 1, то S2m−1 = S2m + 2m
m→∞
m→∞
1
= S +0 = S. Следовательно, lim Sn = S. Тем самым мы доказали, что знакопеременный
lim S2m + lim 2m
m→∞
m→∞
n→∞
∞
P (−1)k−1
ряд
сходится, и сходится условно.
k
k=1
— 63 —
Какие арифметические операции можно проводить с условно сходящимися рядами? Одним из важнейшим
свойств суммы конечного числа слагаемых является переместительное свойство: от перестановки мест слагаемых сумм не меняется. Сохраняется ли это свойство для бесконечных рядов?
Ответ: для абсолютно сходящихся рядов - да, для условно сходящихся рядов - нет. Чтобы доказать, что для
условно сходящихся рядов, если переставить местами члены ряда, переместительное свойство не выполняется,
достаточно привести хотя бы один пример.
∞
P
(−1)k
1
1
= 1 − 12 + 13 − 14 + ... + 2k−1
− 2k
+ .... Мы знаем, что этот ряд сходится, его
Рассмотрим ряд
k
k=1
сумму мы выше обозначили через S. Переставим сейчас члены ряда так, чтобы после положительного члена
1
1
1
стояли два отрицательных: 1− 21 − 14 + 13 − 16 − 18 +...+( 2k−1
− 4k−2
− 4k
)+... . Покажем, что этот ряд сходится, но
m
m
m
P
P
P
1
1
1
1
1
1
1
1
∗
имеет сумму S ∗ = 12 S. Действительно, S3m
=
( 2k−1
− 4k−2
− 4k
)=
( 4k−2
− 4k
)=
2 ( 2k−1 − 2k ) =
k=1
k=1
k=1
1
1
1
1
1
∗
∗
∗
∗
S3m−1
= S3m
+ 4m
= 12 S2m + 4m
; S3m−2
= S3m−1
+ 4m−2
= 12 S2m + 4m−2
+ 4m
. Таким образом,
1
1
1
1
∗
∗
∗
∗
lim S3m = 2 S; lim S3m−1 = 2 S; lim S3m−2 = 2 S; то есть lim Sn = 2 S. Тем самым мы показали, что
m→∞
m→∞
m→∞
n→∞
в результате указанной выше перестановки членов ряда сумма условно сходящегося ряда изменилась.
Теорема Римана. (Принимаем без доказательства). Если ряд сходится условно, то каково бы ни было
число R ∈ <, можно так переставить члены ряда, что сумма преобразованного ряда будет равна R.
Теорема Коши. (Принимаем без доказательства). Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из данного перестановкой членов, сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и данный ряд.
Таким образом, переместительное свойство сохраняется лишь для абсолютно сходящихся рядов.
∞
∞
∞
P
P
P
bk сходятся и имеют суммы S(a) и S(b), то ряд
(ak ± bk ) тоже
Теорема 2. Если ряды
ak и
1
2 S2m .
k=1
k=1
k=1
сходится и его сумма S = S(a) ± S(b).
Доказательство. Составим частичные суммы Sn (a), Sn (b), и Sn = Sn (a) ± Sn (b). Переходя к пределу
при n → ∞, получим: lim Sn = lim Sn (a) ± lim Sn (b) = S(a) ± S(b) = S, что и требовалось доказать.
n→∞
n→∞
n→∞
∞
∞
P
P
Теорема 3. Если ряды
ak и
bk сходятся абсолютно, то ряд составленный из всех произведений
k=1
k=1
вида ap · bq (p = 1, 2, 3, ... , q = 1, 2, 3, ... ), называется произведением указанных выше рядов. Он так же
сходится абсолютно и его
сумма
∞
равна
∞S=
S(a) · S(b).
P
P
Доказательство.
ak ·
bk = (a1 + a2 + ... + ak + ...)(b1 + b2 + ... + bk + ...) = a1 b1 + a2 b1 +
k=1
k=1
... + ak b1 + ... + a1 b2 + a2 b2 + ... + ak b2 + ... + ap bq + ... . Обозначим через ck произведения вида ap bq и
∞
P
рассмотрим ряд
|ck |. Пусть S̃N - частичная сумма этого ряда и пусть наибольший номер членов, входящих
k=1
в S̃N , равен m. Тогда S̃N ≤ (|a1 | + |a2 | + ... + |am |) · (|b1 | + |b2 | + ... + |bm |) = S̃m (|a|) · S̃m (|b|) <
∞
P
S(|a|) · S(|b|), то есть частичная сумма S̃N - ограничена, и, следовательно, ряд
|ck | сходится.Первая
часть теоремы доказана. Поскольку ряд
∞
P
k=1
ck , как мы только что доказали, сходится абсолютно, его сумма
k=1
не зависит от порядка суммирования его членов. Поэтому какую бы последовательность его частичных сумм не
брать, она сходится к числу S. Рассмотрим Sn2 = Sn (a) · Sn (b). Переходя к пределу при n → ∞, получим:
lim Sn2 = lim Sn (a) · lim Sn (b) = S(a) · S(b) = S. Теорема доказана.
n→∞
n→∞
n→∞
9.4. Признаки сходимости рядов, члены которых имеют произвольные знаки.
Пусть
∞
P
ak - ряд, члены которого имеют какие угодно знаки. Для установления абсолютной сходимости
k=1
этого ряда, строим ряд с положительными членами
∞
P
|ak | и применим любой из признаков сходимости (Да-
k=1
ламбера, радикальный или интегральный признаки Коши и так далее.) Если же ряд сходится условно, то эти
признаки бессильны. Здесь нужны более тонкие признаки сходимости. Такими признаками являются, в частности, признак Абеля и признак Дирихле.
Для их рассмотрения проведём полезную для дальнейшего исследования оценку, указанную Абелем. Рас(a)
(a)
(a)
(a)
смотрим частичные суммы S1 = a1 , S2 = a1 +a2 , S3 = a1 +a2 +a3 , ... , Sn = a1 +a2 +a3 +...+an . Вы(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
ражая через множители ak эти суммы, a1 = S1 , a2 = S2 − S1 , a3 = S3 − S2 , ... , an = Sn − Sn−1 ,
n
P
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
сумму Sn можно записать в виде Sn =
ak · bk =S1 · b1 + (S2 − S1 ) · b2 + (S3 − S2 ) · b3 + ... +
k=1
(a)
(a)
(Sn − Sn−1 ) · bn . Если раскрыть скобки и иначе сгруппировать члены, то и получим окончательную формулу
— 64 —
Sn =
n
P
(a)
ak · bk =S1
(a)
· (b1 − b2 ) + S2
(a)
· (b2 − b3 ) + S3
(a)
(a)
· (b3 − b4 ) + ... + Sn−1 · (bn−1 − bn ) + Sn · bn =
k=1
n−1
P
k=1
(a)
(a)
Sk · (bk − bn+1 ) + Sn · bn .
Основываясь на полученной формуле, выведем теперь следующую оценку для сумм указанного вида.
(a)
Лемма Абеля. Если множители bk не возрастают (или не убывают), а все суммы Sk все ограничены по
n
P
(a)
абсолютной величине числом M : Sk ≤ M, (k = 1, 2, ..., n), то |Sn | =
ak · bk ≤ M · (|b1 | + 2 |bn |).
k=1
Действительно, поскольку все разности в полученной выше формуле одного знака, имеем:
n−1
n−1
n−1
P (a)
P (a)
P
(a)
(a)
|Sn | ≤
Sk · (bk − bn+1 ) + Sn · bn ≤
Sk · |bk − bn+1 | + Sn · |bn | ≤
M · |bk − bn+1 | + M · |bn | ≤
k=1
k=1
k=1
M (|b1 − bn | + |bn |) ≤ M (|b1 | + 2 |bn |).
Нетрудно видеть, что если множители bk не возрастают и положительны, то оценку можно упростить:
|Sn | ≤ M · b1 .
∞
∞
P
P
Признак Абеля. Пусть дан ряд
ak · bk . Этот ряд сходится, если: ряд
ak сходится, а числа bk k=1
k=1
образуют монотонную и ограниченную последовательность (то есть, для любых k выполнено |bk | ≤ K).
∞
P
Доказательство. Покажем, что для ряда
ak · bk , при указанных в теореме условиях, выполнен критеk=1
рий Коши |Sn+p − Sn | = |an+1 · bn+1 + an+2 · bn+2 + ... + an+p · bn+p | < ε.
∞
P
Поскольку ряд
ak сходится, для него выполнен критерий сходимости Коши: по заданному εa > 0 найk=1
дётся такой номер N, что при всех n > N неравенство |an+1 + an+2 + ... + an+p | < εa будет выполняться,
каково бы ни было p. Следовательно, за число M, фигурирующее в лемме, можно принять εa . Имеем тогда
n+p
P
def
при n > N :
ak · bk ≤ εa · (|bn+1 | + 2 |bn+p |) ≤ 3K · εa = ε, что и доказывает сходимость исследуемого
k=n+1
ряда.
Признак Дирихле. Пусть дан ряд
∞
P
k=1
(a)
ak · bk . Этот ряд сходится, если частичные суммы Sk
ограничены
(a)
по абсолютной величине Sk ≤ K, (k = 1, 2, ..., n), а числа bk - образуют монотонную последовательность,
стремящуюся к нулю: lim bn = 0.
n→∞
Доказательство. Поскольку числа bk - образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю,
то по заданному εb > 0 найдётся такой номер N, что при всех n > N будет выполнено неравенство |bn | <
(a)
(a)
εb . Кроме того, очевидно, что |an+1 + an+2 + ... + an+p | = Sn+p − Sn ≤ 2K, и можно в лемме положить
M = 2K. Тогда при всех n > N и при любых p :
n+p
P
def
ak · bk ≤ 2K · (|bn+1 | + 2 |bn+p |) ≤ 6K · εb = ε.
k=n+1
Сходимость ряда доказана.
Замечание. Признак Абеля вытекает из признака Дирихле. Ведь из предложений Абеля следует, что последовательность чисел bk имеет конечный предел b. Если переписать исследуемый ряд в виде суммы рядов
∞
∞
P
P
ak , то второй из них сходится по предположению, а к первому уже применим признак
ak · (bk − b) + b ·
k=1
k=1
Дирихле.
Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряду
∞
P
(−1)k−1 · bk числа bk - образуют монотонную
k=1
последовательность, стремящуюся к нулю, то ряд сходится, а его сумма S < b1 .
Доказательство. Очевидно, что для данного ряда условия признака Дирихле выполнены. Следовательно,
этот ряд сходится. Вторая часть утверждения следует из того, что S = b1 − (b2 − b3 ) − (b3 − b4 ) − ... < b1 .
ЛЕКЦИЯ 34.
9.5. Функциональная последовательность и равномерная сходимость.
Рассмотрим последовательность функций {fn (x)} = f1 (x), f2 (x), f3 (x), ..., fn (x), ... определённых на множестве X. Если зафиксировать точку x0 ∈ X, функциональная последовательность превратится в числовую:
{fn (x0 )} = f1 (x0 ), f2 (x0 ), f3 (x0 ), ..., fn (x0 ), ... .
Определение 1. Функциональная последовательность {fn (x)} называется сходящейся в точке x0 ,
если сходится последовательность {fn (x0 )}. Точка x0 называется точкой сходимости последовательности
{fn (x)}.
— 65 —
Определение 2. Если последовательность {fn (x)} сходится в каждой точке множества X, то говорят,
что последовательность {fn (x)} сходится на множестве X и пишут lim fn (x) = f (x).
n→∞
На языке ε ÷ N это определение читается так: функциональная последовательность {fn (x)} называется
сходящейся к функции f (x) на множестве X, если при каждом фиксированном x ∈ X для любого сколь
угодно малого ε > 0 существует такой номер N (ε, x), что неравенство |fn (x) − f (x)| < ε выполнится сразу,
как только выполнится n > N (ε, x).
Отметим, что номер N зависит и от ε, и от x : значения функций fn (x) и f (x) меняются от точки
к точке, поэтому, при заданном ε, неравенство |fn (x) − f (x)| < ε начинает выполняться, в зависимости от
выбора точки, при разных значениях N.
Однако, среди всех сходящихся функциональных последовательностей особое значение имеют функциональные последовательности, сходящиеся равномерно на сегменте [a, b].
Определение 3. Последовательность {fn (x)} называется равномерно сходящейся к функции f (x) на
сегменте [a, b], если для любого сколь угодно малого ε > 0 существует такой номер N (ε), что неравенство
|fn (x) − f (x)| < ε выполнится сразу для всех x ∈ [a, b], как только выполнится n > N (ε).
Пример 1. fn (x) = n1 sin nx. Видим, что fn (x) → 0 при n → ∞. Эта сходимость равномерная, так как
1
1
1
n sin nx − 0 < n < ε для n > ε и для всех x ∈ (−∞, +∞) сразу.
2nx
2nx
Пример 2. fn (x) = 1+n2 x2 , x ∈ [0, +∞).
lim 1+n
то есть последовательность сходится к
2 x2 = 0,
n→∞
функции f (x) = 0. Но эта сходимость неравномерная, поскольку при фиксированном x за счёт увеличения
2nx
2nx
n мы можем добиться выполнения неравенства 1+n
2 x2 − 0 = 1+n2 x2 < ε для любого сколь угодно малого
1
n,
ε > 0. Однако, положив после этого x =
получим |fn (x)| = 1 < ε. Это противоречие показывает, что
2nx
независимо от x ∈ [0, +∞) добиться выполнения неравенства 1+n
2 x2 − 0 < ε невозможно.
Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Для равномерной
сходимости функциональной последовательности {fn (x)} к функции f (x) на сегменте [a, b] необходимо
и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого ε > 0 существовал такой номер N (ε), что при всех
n > N (ε) и для любого натурального p неравенство |fn+p (x) − fn (x)| < ε выполнялось бы сразу для всех
x ∈ [a, b].
Доказательство. Необходимость. В этом случае нам дано, что функциональная последовательность {fn (x)} равномерно сходится
к функции f (x). Таким образом, для любого ε > 0 существует число N = N (ε), такое, что для всех n > N (ε) и для всех x ∈ [a, b],
имеем |fn (x) − f (x)| < ε/2. Но тогда при n > N (ε) и n+p > N (ε) имеем |fn+p (x) − fn (x)| ≤ |fn+p (x) − f (x)|+|fn (x) − f (x)| <
ε/2 + ε/2 = ε, что и требовалось доказать.
Достаточность. При каждом фиксированном x ∈ [a, b] функциональная последовательность {fn (x)} превращается в числовую
и для неё выполняется критерий Коши. Это значит, что она имеет предел f (x), то есть предельная функция существует на всём сегменте
[a, b]. Далее, каково бы ни было число ε > 0, по условию найдётся номер N1 = N1 (ε/2) такой, что при всех n > N1 и n + p > N1
имеем |fn+p (x) − fn (x)| < ε/2.
Снова произвольно зафиксируем x ∈ [a, b], и устремим p к бесконечности. Получим неравенство |fn (x) − f (x)| ≤ ε/2 < ε. Но
тогда, полагая N = N (ε) = N1 (ε/2), при всех n > N и всех x ∈ [a, b] будем иметь |fn (x) − f (x)| < ε, то есть функциональная
последовательность {fn (x)} равномерно сходится к функции f (x). Теорема доказана.
9.6. Функциональные ряды и равномерная сходимость функциональных рядов.
Если на множестве X задана функциональная последовательность {un (x)} , то из элементов этой после∞
P
довательности мы можем образовать функциональный ряд
uk (x) = u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... .
∞
P
Определение 1. Функциональный ряд
ность его частичных сумм Sn (x) =
n
P
k=1
называют суммой ряда и пишут S(x) =
k=1
uk (x) называется сходящимся, если сходится последователь-
k=1
uk (x) = u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x). Предел
∞
P
k=1
Определение 2. Функциональный ряд
lim Sn (x) = S(x)
n→∞
uk (x).
∞
P
uk (x) называется равномерно сходящимся к своей сумме
k=1
S(x), если к функции S(x) равномерно сходится последовательность его частичных сумм Sn (x), то есть если
для любого сколь угодно малого ε > 0 существовал такой номер N (ε), что при всех n > N (ε) неравенство
|S(x) − Sn (x)| < ε выполнялось бы сразу для всех x ∈ X.
∞
P
def
Так как S(x) = Sn (x) +
uk (x) = Sn (x) + rn (x), то это определение эквивалентно следующему:
k=n+1
∀ ε > 0 ∃ N (ε) : n < N (ε), |rn (x)| < ε сразу для всех x ∈ X.
∞ P
sin(k+1)x
kx
− sin
= sin32x − sin2 x + sin43x −
Пример.
k+2
k+1
k=1
sin 2x
3
+
sin 4x
5
−
sin 3x
4
+ ... .
— 66 —
sin 2x
3
sin x
.
2
Sn (x) =
sin(n+1)x
n+2
−
−
sin x
2
+
sin 3x
4
−
sin 2x
3
+
sin 4x
5
S(x) = lim Sn (x) = − sin2 x . |Sn (x) − S(x)| =
n→∞
−
sin 3x
4
+...+
sin(n+1)x
n+2
<
sin nx
n+1
1
n+2
−
sin(n−1)x
n
+ sin(n+1)x
−
n+2
sin nx
n+1
=
< ε - ряд сходится равномерно для всех
x ∈ (−∞, +∞).
Поскольку равномерная сходимость ряда сводится к равномерной сходимости последовательности частичных сумм, то критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда формулируется так:
Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Для равномерной сходимости ря∞
P
да
uk (x) на множестве X необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого ε > 0
k=1
существовал такой номер N (ε), что при всех n > N (ε) и для любого натурального
n+p
P
uk (x) < ε выполнялось бы сразу для всех x ∈ X.
|Sn+p (x) − Sn (x)| =
p
неравенство
k=n+1
∞
P
Определение. Если для всех x ∈ X выполнено неравенство |uk (x)| < ak = const, то ряд
называется мажорирующим рядом или мажорантой для функционального ряда
∞
P
uk (x) сходится, то функциональный ряд
k=1
uk (x).
k=1
∞
P
Признак равномерной сходимости Вейерштрасса. Если мажорантный ряд
ряда
∞
P
ak
k=1
ak для функционального
k=1
∞
P
uk (x) сходится равномерно.
k=1
Доказательство. Для доказательства воспользуемся критерием Коши. Поскольку мажорантный ряд
∞
P
ak
k=1
сходится, критерий сходимости Коши для него выполнен. Следовательно,
n+p
P
k=n+1
n+p
P
uk (x) ≤
n+p
P
|uk (x)| ≤
k=n+1
ak < ε сразу для всех x ∈ X, а это означает, что критерий Коши равномерной сходимости функцио-
k=n+1
нального ряда выполнен. Функциональный ряд сходится равномерно, что и требовалось доказать.
∞
P
Если к исследуемому ряду
uk (x) признак Вейерштрасса оказался применим, то этот ряд необходимо
k=1
абсолютно сходящийся. Более того, одновременно с этим рядом будет равномерно сходящимся и ряд, состав∞
P
ленный из абсолютных величин его членов:
|uk (x)|.
k=1
Между тем возможны случаи, когда функциональный ряд сходится равномерно, будучи неабсолютно сходящимся. Подобные случаи заведомо не охватываются признаком Вейерштрасса. Для их исследования нужны
более тонкие признаки.
Сейчас мы установим признаки, относящиеся к функциональным рядам вида:
∞
P
ak (x) · bk (x) = a1 (x) · b1 (x) + a2 (x) · b2 (x) + .. + an (x) · bn (x) + ... , где ak (x) и bk (x), (k = 1, 2, 3, ...) k=1
суть функции от x ∈ X.
Признак Абеля. Пусть ряд
∞
P
ak (x) = a1 (x)+a2 (x) + ... + an (x) + ... сходится равномерно на множестве
k=1
X, а функции bk (x) при каждом x ∈ X образуют монотонную последовательность и в совокупности - при
∞
P
любых x и n - ограничены: |bn (x)| ≤ M. Тогда ряд
ak (x) · bk (x) сходится равномерно X.
k=1
Доказательство. Доказательство аналогично прежнему (см. предыдущую лекцию.) Покажем, что для исследуемого ряда, при указанных в теореме условиях, выполнен критерий Коши. Ввиду равномерной сходимости
∞
P
ak (x), номер N (ε) находится независимо от x, а затем с помощью леммы Абеля получаем, как и
ряда
k=1
выше, при n > N (ε) оценку:
n+p
P
ak (x) · bk (x) < ε (|bn+1 (x)| + 2 |bn+p (x)|) ≤ 3M ε сразу для всех x ∈ X.
k=n+1
Утверждение доказано.
(a)
Признак Дирихле. Пусть частичные суммы Sn (x) ряда
∞
P
ak (x) = a1 (x)+a2 (x) + ... + an (x) + ... в
k=1
(a)
совокупности - при любых x и n - ограничены: Sn (x) ≤ K, а функции bk (x) при каждом x ∈ X
образуют монотонную последовательность, которая сходится к нулю равномерно на множестве X. Тогда ряд
— 67 —
∞
P
ak (x) · bk (x) сходится равномерно на множестве X.
k=1
Доказательство. Доказательство проводится полностью аналогично тому, как это было сделано при доказательстве признака Дирихле в прошлой лекции. Отметим только, что номер N (ε) можно выбрать независимо
от x именно ввиду равномерного стремления bk (x) к нулю.
∞
∞
P
P
Пример. Рассмотрим ряды
ak · sin kx и
ak · cos kx, где числа ak (x), монотонно убывая, стремятk=1
k=1
ся к нулю при k → ∞. Покажем, что оба ряда сходятся при любом значении x 6= 2kπ, (k = 0, ±1, ±2, ...)
n
n
n
P
P
P
sin kx·sin x
1
3
1
1
2
[cos(k − 12 )x − cos(k + 12 )x] = 2 sin
=
Действительно,
sin kx =
x [cos
x
x
2 x−cos 2 x+
2 sin
sin
2
2
2
k=1
k=1
k=1
(n+ 1 )
(n− 32 )
(n− 12 )
(n− 12 )
(n+ 12 )
x
3
5
1
cos 2 x − cos 2 x + ... + cos 2 x − cos 2 x + cos 2 x − cos 2 x] = 2 sin x [cos 2 − cos 2 2 x] ≤ sin1 x ,
2
2
(n+ 1 )
так как и cos x2 ≤ 1, и cos 2 2 x ≤ 1.
n
P
1
1
1
1
.
Совершенно аналогично покажем, что
cos kx = 2 sin
x [sin(n +
2 )x − sin 2 x] ≤ sin x
2
2
k=1
Если, по условию задачи, 2πk + ε < x < 2π(k + 1) − ε, (k = 0, ±1, ±2, ...), то sin1 x < sin1 ε . Тем
2
2
n
n
P
P
самым мы показали, что частичные суммы
sin kx и
k=1
cos kx по абсолютной величине ограничены числом
k=1
1
sin 2ε
≡ K. А поскольку числа ak (x), монотонно убывая, стремятся к нулю при k → ∞, оба условия
признака Дирихле выполнены. Ряды сходится равномерно.
ЛЕКЦИЯ 35.
9.7. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
∞
P
Теорема 1. Если члены ряда uk (x) определены на сегменте [a, b] и непрерывны в точке x0 ∈ [a, b], а ряд
∞
P
uk (x) сходится равномерно на сегменте [a, b], то сумма ряда S(x) =
uk (x) - непрерывная функция в
k=1
k=1
точке x0 .
Доказательство. Очевидно, что сумму ряда S(x) для любого x0 ∈ [a, b] всегда можно представить в виде
∞
P
def
S(x) = Sn (x) +
uk (x) = Sn (x) + rn (x).
k=n+1
Зададимся любым, сколь угодно малым ε > 0. |S(x) − S(x0 )| = |Sn (x) + rn (x) − Sn (x0 ) − rn (x)| ≤
|Sn (x) − Sn (x0 )| + |rn (x)| + |rn (x0 )| ≤ ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε, так как в силу непрерывности функций uk (x)
конечная сумма Sn (x) так же непрерывна в точке x0 ∈ [a, b], а это значит, что любого заданного ε > 0
найдётся δ > 0 такое, что как только выполнится неравенство |x − x0 | < δ, так сразу выполнится неравенство
|Sn (x) − Sn (x0 )| < ε/3. А в силу равномерной сходимости ряда, |rn (x)| < ε/3 и |rn (x0 )| < ε/3 при всех
n > N (ε). Тем самым мы показали, что бесконечно малому приращению аргумента |x − x0 | = ∆x в точке
x0 соответствует бесконечно малое приращение функции в этой же точке: |S(x) − S(x0 )| = ∆S. Определение
непрерывности функции в точке выполнено. Теорема доказана.
∞
P
Следствие. Если члены ряда uk (x) - непрерывные функции на сегменте [a, b], а ряд
uk (x) сходится
k=1
равномерно на сегменте [a, b], то сумма ряда S(x) - непрерывная функция для всех x0 ∈ [a, b].
∞
P
Замечание. Если ряд
uk (x) сходится неравномерно на множестве X, то не означает, что его сумk=1
∞ P
(k−1)x
kx
−
.
ма обязательно будет разрывной функцией. Действительно, рассмотрим пример:
2
2
2
2
1+k x
1+(k−1) x
k=1
nx
nx
Sn (x) = 1+n
2 x2 . S(x) = 0. Ряд на сегменте [0, 1], сходится неравномерно, так как |Sn (x) − S(x)| = 1+n2 x2 =
1
1
2 при x = n . То есть независимо от x только за счёт увеличения n эту разность сделать меньше любого наперёд заданного числа невозможно. Тем не менее, функция S(x) = 0 - то есть прямая - ось x - есть
непрерывная функция.
∞
P
Теорема 2. Пусть функции uk (x) определены в некоторой окрестности точки x0 и ряд
uk (x) сходится
равномерно в данной окрестности. Пусть также
lim
∞
P
x→x0 k=1
uk (x) =
∞
P
lim uk (x) =
k=1 x→x0
∞
P
lim uk (x) = ak . Тогда A : ряд
x→x0
∞
P
k=1
ak сходится, и B :
k=1
ak .
k=1
Доказательство. Зададимся любым, сколь угодно малым ε > 0. Поскольку ряд
∞
P
uk (x) сходится
k=1
равномерно в окрестности точки x0 , то для всех x сразу из этой окрестности выполнится критерий Коши:
— 68 —
|un+1 (x) + un+2 (x) + ... + un+p (x)| < ε для любого натурального p. Перейдём в этом неравенстве к пределу
∞
P
при x → x0 . Получим: |an+1 + an+2 + ... + an+p | < ε. В силу выполнения критерия Коши, ряд
ak сходится. Первое утверждение теоремы доказано. Обозначим числом A сумму этого ряда: A =
An - частичную сумму этого ряда: An =
n
P
ak .
A = An +
k=1
∞
P
∞
P
k=1
ak , а числом
k=1
def
ak = An + qn , здесь qn - остаток ряда.
k=n+1
Оценим |S(x) − A| = |Sn (x) + rn (x) − An − qn | ≤ |Sn (x) − An | + |rn (x)| + |qn | . Так как n - конечно, то для
конечной суммы выполнено lim Sn (x) = An , то есть для заданного ε > 0 найдётся δ > 0 такое, что как
x→x0
только выполнится неравенство |x − x0 | < δ, так сразу выполнится неравенство |Sn (x) − An | < ε/3. В силу
равномерной сходимости ряда |rn (x)| < ε/3 при n > N1 (ε) для всех x сразу, а в силу сходимости ряда
∞
P
ak , |qn | < ε/3 при n > N2 (ε). Тогда при n > max(N1 (ε), N2 (ε)) и при x → x0 имеем окончательно:
k=1
∞
P
uk (x) −
k=1
∞
P
lim uk (x) < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε. Тем самым доказано второе утверждение теоремы.
k=1 x→x0
∞
P
Теорема 3. Если функции uk (x) непрерывны на сегменте [a, b], а ряд
uk (x) сходится равномерно на
k=1
!
∞
∞
Rx
Rx P
P
этом сегменте, то
uk (x) dx =
uk (x)dx , где x ∈ [a, b] и x0 ∈ [a, b] - две произвольные точки
k=1
x0
k=1
x0
сегмента [a, b]. Последний ряд сходится раномерно на указанном сегменте.
(Смысл этой теоремы очевиден: возможно почленное интегрирование равномерно сходящегося ряда.)
∞
P
Доказательство. Поскольку uk (x) - непрерывные функции, а ряд
uk (x) сходится равномерно, то
k=1
∞
Rx
Rx P
сумма ряда S(x) по теореме 1 - непрерывная функция и, следовательно,
S(x)dx =
uk (x) dx x0
x0 k=1
n
Rx P
Rx
Rx
Rx
существует. Но S(x) = Sn (x) + rn (x). Поэтому
S(x)dx = Sn (x)dx + rn (x)dx =
un (x) dx +
x0
x0
x0
x0 k=1
!
n
Rx
Rx
Rx
P
rn (x)dx =
uk (x)dx + rn (x)dx. Вследствие равномерной сходимости ряда, для любого сколь
k=1
x0
x0
x0
угодно малого ε > 0 найдётся такой номер N (ε), что при всех n > N (ε) выполнится неравенство |rn (x)| < ε
Rx
Rx
def
для всех x ∈ [a, b]. Тогда
rn (x)dx ≤
|rn (x)| dx ≤ ε · (x − x0 ) < ε · (b − a) = ε1 . Следовательно,
x0
!x0
n
Rx
Rx
Rx
P
def
S(x)dx −
uk (x)dx
=
rn (x)dx < ε · (b − a) = ε1 при n > N (ε) и для всех x ∈ [a, b]. Это
k=1 x0
x0
x0
!
n
Rx
Rx
P
означает, что
S(x)dx - есть сумма ряда
uk (x)dx и этот ряд сходится равномерно.
k=1
x0
x0
Замечание. Как и раньше, эта теорема не утверждает, что если ряд сходится неравномерно, то почленное
интегрирование невозможно.
Теорема 4. Пусть функции uk (x) непрерывны на сегменте [a, b] и имеют на этом сегменте производные
∞
P
0
uk (x) сходится
uk (x), включая правосторонние и левосторонние производные в точках a и b. Пусть ряд
k=1
∞
P
uk (x)
u0k (x) сходится равномерно на этом сегменте. Тогда сумма ряда S(x) =
k=1
k=1
0
∞
∞
P
P
u0k (x). (Иначе говоря,
uk (x) =
дифференцируема на сегменте [a, b] и выполнено равенство S 0 (x) =
на сегменте [a, b], а ряд
∞
P
k=1
k=1
возможно почленное дифференцирование ряда).
∞
∞
Rx P
P
u0k (x) dx =
Доказательство. Рассмотрим ряд
u0k (x) = S ∗ (x). В силу теоремы 3, имеем:
k=1
k=1
a
x
∞
∞
∞
∞
R 0
P
P
P
P
uk (x)dx =
(uk (x) − uk (a)) =
uk (x) −
uk (a) = S(x) − S(a). Таким образом, S(x) −
k=1
a
S(a) =
Rx
k=1
k=1
k=1
∗
S (x)dx. Дифференцируя последнее равенство по x, получим Sx0 (x) = S ∗ (x) =
k=1
a
требовалось доказать.
Пример 1. Найти сумму ряда I =
∞
P
∞
P
k=0
(−1)k
2k+1 .
Рассмотрим вспомогательный ряд II =
∞
P
k=0
u0k (x), что и
(−1)k 2k+1
.
2k+1 ·x
— 69 —
Этот ряд сходится равномерно в силу признака Абеля-Дирихле для любого x ∈ [0, α], где α < 1 - веществен∞
∞
P
P
(−1)k
(−1)k 2k+1
ное число. Видим, что в силу теоремы 2, I =
lim x2k+1 = lim
= lim II.
2k+1 x→1−0
2k+1 ·x
x→1−0
x→1−0
k=0
k=0
x
x
∞
∞
∞
R
R
k
P
P
P
(−1)
2k+1
Но, в силу теоремы 3, II =
(−1)k x2k dx =
(−1)k x2k dx =
=
2k+1 ·x
k=0
=
Rx
2
4
6
(1 − x + x − x + ...)dx =
0
Ответ: I =
k=0
Rx
0
∞
P
(−1)k
2k+1
k=0
1
1+x2 dx
0
0
k=0
= arctg x. В таком случае, I =
lim II =
x→1−0
= π/4.
Пример 2. Найти сумму ряда
∞
P
k=1
(−1)k−1
k
= 1 − 12 + 13 − 14 + 15 − ... . Рассмотрим ряд II =
Он сходится равномерно на сегменте x ∈ [0, α], где α < 1 - вещественное число. I =
III = (II)0x =
ряд III из производных ряда II :
II =
Rx
0
lim arctg x = π/4.
x→1−0
∞
P
∞
P
k=1
∞
P
Ответ:
k=1
· xk .
lim II. Составим
x→1−0
(−1)k−1 xk−1 = 1 − x + x2 − x3 + ... =
k=1
dx
1+x
(−1)k−1
k
1
1+x .
= ln |1 + x| . I = lim ln |1 + x| = ln 2.
x→1−0
k−1
(−1)
k
= ln 2.
ЛЕКЦИЯ 36.
9.8. Степенные ряды и их абсолютная сходимость.
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
∞
P
ck (x − a)k = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 +
k=0
... + cn (x − a)n + ... , где ck - постоянные числа, a = const. Если положить x − a = x̃, то наш ряд будет
∞
P
выглядеть так:
ck x̃k = c0 + cx̃1 + c2 x̃2 + ... + cn x̃n + ... . В дальнейшем мы тильду над x̃ опускаем и
k=0
∞
P
будем рассматривать только ряды вида
ck xk . Областью сходимости степенного ряда может быть сегмент,
k=0
полусегмент, интервал, он может выродиться в одну точку или совпасть со всей числовой прямой. Например, ряд
∞
∞
P
P
xk
xk сходится
k! по признаку Даламбера сходится на всей числовой оси, при любом значении x, а ряд
k=0
k=0
только при |x| < 1.
Как же определить область сходимости? Ответим сначала на вопрос об абсолютной сходимости степенного
ряда.
∞
P
Теорема. Если степенной ряд
ck xk сходится при x = α, то он сходится абсолютно для любого
k=0
x ∈ (− |α| , |α|).
Доказательство. Нам дано, что числовой ряд
вие сходимости ряда:
lim cn αn = 0,
n→∞
∞
P
ck αk . Это означает, что выполнено необходимое усло-
k=0
то есть последовательность
{cn αn } - это бесконечно малая по-
следовательность, а любая бесконечно малая последовательность - ограничена: |cn αn | ≤ M = const при
|x|
= q. Очевидно, что 0 ≤ q < 1. Тогда
всех n = 0, 1, 2, 3, ... . Пусть |x| < |α| . Положим |α|
∞
P
k
M · q k сходится, так как q < 1. Следовательно, степенной
|cn xn | = |cn αn | · αx ≤ M · q k . Но ряд
ряд
∞
P
k=0
ck xk сходится по признаку сравнения рядов. Что и требовалось доказать.
k=0
9.9. Интервал и радиус сходимости степенного ряда.
Теорема 1. Если область сходимости степенного ряда не вырождается в точку x = 0 и не совпадает со всей
числовой осью, то существует конечный интервал (−R, +R), называемый интервалом сходимости, в каждой
внутренней точке которого ряд сходится абсолютно, а в каждой точке вне сегмента [−R, +R] расходится.
Доказательство. Рассмотрим множество {|x0 |}, где x0 пробегает множество всех точек сходимости
степенного ряда.Обозначим через R = sup{|x0 |}. Очевидно, что R < ∞, так как иначе, в силу теоремы из
предыдущего пункта, наш ряд сходился бы абсолютно на всей числовой оси. В силу определения числа R как
точной верхней грани, при |x| > R наш ряд расходится. Легко видеть, что при |x| < R ряд сходится абсолютно.
Действительно, по определению точной верхней грани найдётся x0 такое, что |x| < |x0 | < R. Но тогда, в силу
— 70 —
предыдущего пункта, в точке x ряд сходится абсолютно, что и утверждалось. Число R называется радиусом
сходимости.
Замечание. На концах интервала сходимости степенные ряды могут вести себя по разному. Например ряды
∞
∞
∞
∞
P
P
P
P
xk
xk
xk
I=
xk , II =
(−1)k k+1
, III =
k+1 , IV =
(k+1)2 имеют интервал сходимости −1 < x < +1,
k=0
k=0
k=0
k=0
но для ряда IV область сходимости - [−1, +1], для ряда III - [−1, +1), для ряда II - (−1, +1], а для
ряда I - область сходимости x ∈ (−1, +1).
Укажем сейчас некоторые способы вычисления радиуса сходимости произвольного степенного ряда.
Теорема 2. (Способ Даламбера). Если существует предел lim cn+1
= l, (0 ≤ l < ∞), то радиус
cn
n→∞
сходимости R = 1l , причём при l = ∞ полагают R = 0, при l = 0 полагают R = +∞.
∞
P
Доказательство. Применим к исследованию сходимости степенного ряда
ck xk признак Даламбера:
k=0
cn+1 xn+1
cn xn
n→∞
lim
= |x| · l. Если l = 0, то |x| · 0 = 0 и ряд сходится абсолютно при любом вещественном x, то
есть R = +∞. Если l = ∞ и |x| 6= 0, то |x| · l = ∞ и ряд расходится при любом x 6= 0, то есть R = 0.
Если 0 ≤ l < ∞, то при |x| · l < 1 ряд сходится абсолютно при |x| < 1l = R, а при |x| · l > 1 ряд расходится.
p
Теорема 3. (Способ Коши). Если существует предел lim n |cn | = l, (0 ≤ l < ∞), то R = 1l . При
n→∞
этом R = 0, когда l = ∞, и R = ∞, если l = 0.
∞
P
Доказательство. Применим к исследованию сходимости степенного ряда
ck xk признак Коши:
k=0
p
lim n |cn · xn | = |x| · l. Если |x| · l < 1, ряд сходится, если |x| · l > 1, ряд расходится. Если l = 0, то
n→∞
|x| · 0 = 0 и ряд сходится абсолютно при любом вещественном x, то есть R = +∞. Если l = ∞ и |x| =
6 0,
то |x| · l = ∞ и ряд расходится при любом x 6= 0, то есть R = 0. Если 0 ≤ l < ∞, то при |x| · l < 1 ряд
сходится абсолютно при |x| < 1l = R, а при |x| · l > 1 ряд расходится.
9.10. Равномерная сходимость степенного ряда.
∞
P
Теорема. (О равномерной сходимости степенного ряда). Степенной ряд
ck xk сходится равномер-
k=0
но на каждом замкнутом интервале, лежащем строго внутри интервала сходимости степенного ряда.
Доказательство. Пусть −R < −α ≤ x ≤ β < R. Покажем, что на сегменте [α, β] степенной ряд
сходится равномерно. Возьмём x0 = max{|α| , |β|}, x0 ∈ (−R, +R). Тогда для всех x ∈ [α, β] выполнено
∞
∞
P
P
неравенство |x| < |x0 | , |cn xn | < |cn xn0 | . Но числовой ряд
ck xk0 сходится и сходится ряд
ck xk0 ,
k=0
который является мажорантой. По признаку Вейерштрасса ряды
∞
P
k=0
ck xk и
∞
P
k=0
ck xk0
сходятся на сегменте
k=0
[α, β] равномерно.
Замечание 1. Часто в теореме рассматривают случай,когда α = −r, β = r, где 0 < r < R. Сегмент
равномерной сходимости в таком случае есть [−r, r].
Замечание 2. Если степенной ряд сходится на конце интервала сходимости x = R, а при x = −R
расходится, то сегментом равномерной сходимости является сегмент [−r, R]. Если степенной ряд сходится при
x = −R, а при x = R расходится, то сегментом равномерной сходимости является сегмент [−R, r]. Наконец,
если степенной ряд сходится на концах сегмента при x = ±R, то сегмент равномерной сходимости - суть
сегмент [−R, R].
Теорема. (О непрерывности суммы степенного ряда). Сумма степенного ряда непрерывна в каждой
точке внутри интервала сходимости.
Доказательство. Если точка x лежит внутри интервала сходимости (−R, R), (естественно, предполагается, что интервал сходимости не вырождается в точку), то её всегда можно включить в замкнутый интервал
[−r, r], где 0 < r < R. Но так как степенной ряд сходится равномерно в данном сегменте, то сумма ряда S(x)
- непрерывная функция в точке x. Аналогично дело обстоит и в случаях, когда интервал сходимости - суть
[−r, R], [−R, r] или [−R, R].
9.11. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
∞
P
Теорема. (О почленном дифференцировании степенного ряда). Пусть степенной ряд сходится S(x) =
ck xk в интервале сходимости (−R, R). Тогда его можно почленно дифференцировать во внутренних точ-
k=0
ках интервала сходимости: S 0 (x) =
∞
P
k=1
(−R, R).
k · ck xk−1 . Интервал сходимости ряда производных остаётся тем же -
— 71 —
Доказательство. Действительно, какое бы ни взять
x,
что |x| < r < R и на сегменте [−r, r] степенной ряд
где |x| < R, существует такое r < R,
∞
P
k · ck xk−1 сходится равномерно. Тогда, по
k=1
свойству о почленном дифференцировании равномерно сходящихся функциональных рядов, имеем S 0 (x) =
∞
0
∞
∞
P
P
P
k
ck x
k · ck xk−1 равен: R∗ =
=
kck xk−1 . Радиус сходимости продифференцированного ряда
k=0
k=1
k=1
n·cn
lim
n→∞ (n+1)·cn+1
=
lim n
n→∞ (n+1)
· lim
cn
n→∞ cn+1
cn
= lim
n→∞ cn+1
= R - радиус сходимости исходного степенного ряда.
Таким образом, R∗ = R. Теорема доказана.
Замечание. Процесс дифференцирования, очевидно, можно продолжать сколько угодно раз. Следовательно, степенной ряд имеет производные любого порядка.
∞
P
Теорема. (О почленном интегрировании степенного ряда). Степенной ряд S(x) =
ck xk можно
почленно интегрировать в интервале сходимости:
Rx
S(x)dx =
k=0
∞
P
ck ·
k=0
0
xk+1
k+1 .
Интервал сходимости почленно
проинтегрированного степенного ряда совпадает с интервалом сходимости исходного степенного ряда.
Доказательство. Действительно, для любого x, где |x| < R, существует такое r < R, что |x| < r < R
∞
P
и на сегменте [−r, r] степенной ряд S(x) =
ck xk сходится равномерно. Тогда его можно почленно инk=0
∞
∞
∞
Rx
R∞ P
Rx
P
P
k+1
тегрировать:
S(x)dx =
ck xk dx =
ck xk dx =
ck · xk+1 . Радиус сходимости получившегося
0
k=0
0
cn ·(n+2)
n→∞ cn+1 ·(n+1)
ряда равен R∗ = lim
= lim
∗
k=0
cn
n→∞ cn+1
k=0
0
n+2
n→∞ n+1
· lim
cn
n→∞ cn+1
= lim
= R - радиус сходимости исходного
степенного ряда. Таким образом, R = R. Теорема доказана.
ЛЕКЦИЯ 37.
9.12. Основные теоремы о разложении функций в степенные ряды.
Определение. Говорят, что функция f (x) разлагается в степенной ряд
если на этом интервале ряд
∞
P
∞
P
ck xk на интервале (−R, R),
k=0
ck xk сходится и его сумма равна f (x), то есть f (x) =
k=0
∞
P
ck xk .
k=0
Докажем, прежде всего, что одна и та же функция f (x) не может иметь два различных разложения вида
∞
P
f (x) =
ck xk .
k=0
Теорема 1. Степенной ряд
∞
P
ck xk = f (x), сходящийся на интервале (−R, R), является рядом Тейлора
k=0
- Маклорена своей суммы, то есть коэффициенты ck разложения функции f (x) в степенной ряд однозначно
1 (k)
определяются по формуле ck = k!
f (0), k = 0, 1, 2, 3, ... .
Доказательство. Имеем: f (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn + cn+1 xn+1 + ... . Как мы знаем, этот ряд
можно дифференцировать сколько угодно раз, то есть справедливо:
f 0 (x) = c1 + 2 · c2 · x + 3 · c3 · x2 + ... + n · cn · xn−1 + (n + 1) · cn+1 · xn + ... ,
f 00 (x) = 1 · 2 · c2 + 2 · 3 · c3 x + 3 · 4 · c4 · x2 + ... + n · (n − 1) · cn · xn−2 + (n + 1) · n · cn+1 · xn−1 + ... ,
......................................................................................................
f (k) (x) = k! · ck + (k + 1) · k · (k − 1) · ... · 2 · 1 · ck · x + ... .
Положим в этих равенствах x = 0, получим: f (0) = c0 , f 0 (0) = c1 , f 00 (0) = 1 · 2 · c2 , ... , f (k) (0) =
00
(k)
k! · ck , ... , откуда c0 = f (0), c1 = f 0 (0), c2 = f 2!(0) , ... , ck = f k!(0) , ..., а это и есть коэффициенты
разложения функции f (x) в ряд Тейлора - Маклорена.
Вопрос: если функция f (x) бесконечное число раз дифференцируема на интервале (−R, R) и для неё
формально построен ряд f (0) +
Ответ: вообще говоря, нет!
f 0 (0)
1! x
+
f 00 (0) 2
2! x
+ ... +
f (k) (0) k
k! x
+ ... , то будет ли его сумма равна f (x) ?
−1
e x2 , x 6= 0,
Поучительный пример. Рассмотрим функцию f (x) =
Эта функция бесконечно диффе0,
x = 0.
ренцируема на всей числовой оси, причем f (0) = 0, f 0 (0) = 0, f 00 (0) = 0, ... , f (n) (0) = 0, ... .
Следовательно, все коэффициенты формального ряда Тейлора - Маклорена для этой функции раны нулю, а сам
ряд сходится на всей числовой оси и его сумма равна нулю, в то время, как сама данная функция равна нулю
только при x = 0. Иначе говоря, S(x) 6= f (x).
Спрашивается, когда же функцию f (x) можно разложить в ряд Тейлора - Маклорена, сходящийся к самой
этой функции?
— 72 —
Теорема 2. Для того, чтобы функцию f (x) на интервале (−R, R) можно было представить степен∞
P
ным рядом S(x) =
ck xk необходимо и достаточно, чтобы функция f (x) на интервале (−R, R) имеk=0
ла производные всех порядков, и чтобы остаточный член Rn (x) в формуле Тейлора - Маклорена f (x) =
f (0) +
f 0 (0)
1! x
+
f 00 (0) 2
2! x
f (n) (0) n
n! x +
∞
P
+ ... +
Rn (x) стремился к нулю при n → ∞ для всех x ∈ (−R, R).
0
00
ck xk . Но тогда, по теореме 1, f (x) = f (0) + f 1!(0) x + f 2!(0) x2 +
k=0
(n)
0
00
(n)
... + f n!(0) xn + ... . Отсюда ясно, что |f (x) − Sn (x)| = f (x) − f (0) + f 1!(0) x + f 2!(0) x2 + ... + f n!(0) xn =
|Rn (x)| → 0 при n → ∞.
Необходимость. Дано: f (x) =
0
00
f (0)
f (0) 2
f
Достаточность. Дано: f (x) = f (0)
+ 1! 0 x + 2! 00 x + ... +
n → ∞. Это означает, что f (x) − f (0) + f 1!(0) x + f 2!(0) x2 + ... +
f 0 (0)
1! x
(n)
(0) n
n! x + Rn (x), где
f (n) (0) n
= |f (x) −
n! x
f 00 (0) 2
2! x
Rn (x) → 0 при
Sn (x)| → 0 при
f (n) (0) n
n! x
n → ∞ для всех x ∈ (−R, R). Следовательно, ряд f (0) +
+
+ ... +
+ ... сходится и
его сумма S(x) равна f (x). Теорема доказана.
Эта теорема при практических решениях задач не особенно эффективна. Следующая теорема, дающая достаточные условия разложения функции в степенной ряд, гораздо удобнее.
Теорема 3. Для того, чтобы функцию f (x) на интервале (−R, R) можно было представить степенным
∞
P
рядом S(x) =
ck xk достаточно, чтобы функция f (x) на интервале (−R, R) имела производные любого
k=0
порядка, равномерно ограниченные на интервале (−R, R), то есть достаточно, чтобы f (n) (x) ≤ M для всех
n > N и всех x ∈ (−R, R).
Достаточность. Пусть функция f (x) на интервале (−R, R) имеет производные любого порядка, равномерно ограниченные на интервале (−R, R). Оценим остаточный член разложения этой функции в ряд Тейлора
∞
(n+1)
P
(θx) n+1
Rn+1
M Rn+1
- Маклорена: |Rn (x)| = f (n+1)!
x
< M
.
Поскольку
числовой
ряд
(n+1)!
(n+1)! сходится (по приn=0
знаку Даламбера, например), то необходимое условие сходимости этого ряда выполнено - его (n + 1) - й член
M Rn+1
(n+1)! → 0 при n → ∞. Тем самым мы показали, что остаточный член в формуле Тейлора - Маклорена
стремится к нулю при n → ∞. Следовательно, по тереме 2, функция f (x) на интервале (−R, R) может быть
∞
P
представлена степенным рядом S(x) =
ck xk . Терема доказана.
k=0
9.13. Разложение простейших элементарных функций в степенные ряды.
1. y = ex .
(ex )(k)
2. y = sin x.
(k)
sin
3. y = cos x. cos
(k)
x
1!
= sin(x +
x=0
πk
2 ) x=0
x=0
= cos(x +
πk
2 ) x=0
x
x
ex = 1 +
= 1.
x=0
0
1
1+x
+
x2
2!
+ ... +
. sin x =
xn
n!
3
∞
P
k=0
xk
k! .
3
5
x2k+1
x− x3! + x5! +...+(−1)k (2k+1)!
. cos x = 1 −
2
+ ... =
x2
2!
+
x4
4!
4
x2k
− ... + (−1)k (2k)!
k k
4. y = ln(1 + x). y =
= 1 − x + x − x + x − ... + (−1) x + ... =
∞
∞
∞
Rx P
Rx
P
P
k+1
=
(−1)k xk dx =
(−1)k xk dx =
(−1)k xk+1 .
0
k=0
k=0
Таким образом, ln(1 + x) =
∞
P
k+1
(−1)k xk+1 .
k=0
k=0
Таким образом, arctg x =
∞
P
k=0
2k+1
x
(−1)k (2k+1)!
.
k=1
∞
P
+ ... =
k=0
2k
x
(−1)k (2k)!
.
k k
(−1) x . ln(1 + x) =
k=0
Область сходимости - (−1, 1].
1
2
4
6
5. y = arctg x. y 0 = 1+x
... + (−1)k x2k + ...
2 = 1 − x + x − x +
∞
∞
∞
Rx P
Rx
P
P
2k+1
=
(−1)k x2k dx =
(−1)k x2k dx =
(−1)k x2k+1 .
0
∞
P
k=0
0
k=0
∞
P
=
=
∞
P
(−1)k x2k .
arctg x =
k=0
k=0
0
2k+1
(−1)k x2k+1 .
Область сходимости - (−1, 1].
6. y = (1 + x)α , где α - любое вещественное число.
x2 + α(α−1)(α−2)
x3 +...+ α(α−1)(α−2)...(α−n+1)
xn +... = S(x). Легко
Докажем, что (1+x)α = 1+αx+ α(α−1)
2!
3!
n!
показать, пользуясь, например, признаком Даламбера, что радиус сходимости этого ряда R = 1, интервал
сходимости - (−1, 1).
Подсчитаем: (1 + x)S 0 (x) = (1 + x)(α + α(α−1)
x + α(α−1)(α−2)
x2 + ... + α(α−1)(α−2)...(α−n+1)
xn−1 + ...) =
1!
2!
(n−1)!
=α+
α(α−1)
x
1!
+
α(α−1)(α−2) 2
x
2!
+ ... +
α(α−1)(α−2)...(α−n+1) n−1
x
(n−1)!
+ ...
— 73 —
...
α(α−1) 2
x + α(α−1)(α−2)
x3 + ... + α(α−1)(α−2)...(α−n+1)
xn + ... =
1!
2!
(n−1)!
α(α−1) 2
α(α−1)(α−2) 3
α(α−1)(α−2)...(α−n+1) n
α
= αS(x).
x
+
x
+
x
+
...
+
x
+
...
1!
2!
3!
n!
dS(x)
S(x)
dS(x)
dx
0
уравнение (1 + x)S (x) = αS(x). Решаем: dx = α (1+x) ,
S(x) = α (1+x) ,
α
+ αx +
=α 1+
Получили дифферен-
циальное
d ln |S(x)| =
= αd ln |1 + x| , ln |S(x)| = α ln |1 + x| + ln C, S(x) = C(1 + x) . Но из исходного выражения видно, что
S(0) = 1. 1 = C(1 + 0)α = C. C = 1. Следовательно, S(x) = (1 + x)α .
Таким образом (1 + x)α = 1 + αx + α(α−1)
x2 + α(α−1)(α−2)
x3 + ... + α(α−1)(α−2)...(α−n+1)
xn + ... .
2!
3!
n!
Прямым вычислением легко доказать следующие две формулы:
∞
P
x2k+1
7. sh x =
(2k+1)!
8. ch x =
k=0
∞
P
k=0
x2k
(2k)! .
9.14. Некоторые приложения степенных рядов.
1. Приближённые вычисления. С помощью приведенных выше разложений можно, например, с любой точностью вычислить числа e, π, приближённые значения функций, таких,например, как y = sin x, y = cos x,
y = sh x, y = ch x, y = ln(1 + x) и других.
∞
P
1
1
1
1
1
К примеру: e = e1 =
k! = 1 + 1! + 2! + 3! + ... + n! + ... .
k=0
arctg 1 =
π
4.
Следовательно, π = 4 · arctg 1 = 4 ·
∞
P
k=0
(−1)k
2k+1
= 4 · (1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ ...).
2. Использование в интегралах, не берущихся в элементарных функциях.
Интегральный синус, к примеру, мы можем
в виде ряда:
представить
∞
∞
Rx 1 P
P
2k+1
def Rx sin t
t
x2k+1
Si x =
(−1)k (2k+1)!
dt =
(−1)k (2k+1)
2 ·k! .
t dt =
t
0
k=0
0
Таким образом, Si x =
∞
P
k=0
iα
k=0
k
(−1)
x2k+1
(2k+1)2 ·k! .
2
(iα)3
(iα)4
α2
α4
α3
α5
3. Формула Эйлера. e = 1+(iα)+ (iα)
2! + 3! + 4! +... = 1 − 2! + 4! − ... +i α − 3! + 5! − ... =
cos α + i sin α.
Таким образом, eiα = cos α + i sin α.
4. Использование степенных рядов при интегрировании дифференциальных уравнений. Посмотрим, для примера, как с помощью степенных рядов ищется решение уравнения Бесселя x2 y 00 +xy 0 +(x2 −ν 2 )y = 0. Решение
ищем в виде y = xσ (a0 +a1 x+a2 x2 +...an xn +...) = a0 xσ +a1 xσ+1 +a2 xσ+2 +...+an xσ+n +... , где a0 6= 0, σ любое вещественное число, пока неизвестное.
y 0 = σa0 xσ−1 + (σ + 1)a1 xσ + (σ + 2)a2 xσ+1 + ... + (σ + n)an xσ+n−1 + ... ,
y 00 = σ(σ − 1)a0 xσ−2 + (σ + 1)σa1 xσ−1 + (σ + 2)(σ + 1)a2 xσ + ... + (σ + n)(σ + n − 1)an xσ+n−2 + ... .
Подставим y, y 0 , y 00 в уравнение Бесселя: σ(σ − 1)a0 xσ + (σ + 1)σa1 xσ+1 + (σ + 2)(σ + 1)a2 xσ+2 +
... + (σ + n)(σ + n − 1)an xσ+n + ... + σa0 xσ + (σ + 1)a1 xσ+1 + (σ + 2)a2 xσ+2 + ... + (σ + n)an xσ+n + ...(x2 −
ν 2 )(a0 xσ + a1 xσ+1 + a2 xσ+2 + ... + an xσ+n + ...) = 0. Поскольку любой многочлен равен нулю при любых
значениях переменной x тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю, соберём члены при
одинаковых степенях x и коэффициенты при них приравняем нулю:
xσ (σ 2 − ν 2 )a0 = 0 , → σ = ±ν. Из этого равенства видно, что величина σ, ранее неизвестная, оказалась
связанной с параметром ν, фигурирующим в уравнении Бесселя.
xσ+1 [(σ + 1)2 − ν 2 ]a1 = 0 , → a1 = 0.
−a0
.
xσ+2 [(σ + 2)2 − ν 2 ]a2 + a0 = 0 , → a2 = (σ+2−ν)(σ+2+ν)
.......................................................................................................
−an−2
xσ+n [(σ + n)2 − ν 2 ]an + an−2 = 0 , → an = (σ+n−ν)(σ+n+ν)
. Получили рекуррентную формулу, связывающую коэффициенты ak и ak−2 . Из этой формулы видно, что поскольку a1 = 0, то и a3 = 0, a5 = 0, a7 =
0, ... , то есть все нечётные коэффициенты равны нулю: a2m+1 = 0. Положим, далее, σ = ν, альтернативный
случай рассматривается аналогично. Тогда чётные коэффициенты a2m можно выразить в виде:
a2m−4
a0
2m−2
a2m = (−1) · 22 am(m+ν)
= (−1)2 · 22 ·22 m(m−1)(m+ν)(m−1+ν)
= ... = (−1)m · 22m m!(m+ν)(m−1+ν)...(1+ν)
.
∞
P
Таким образом, решение уравнения Бесселя имеет вид y =
a2m x2m+ν , где
a2m = (−1)m ·
a0
22m m!(m+ν)(m−1+ν)...(1+ν) ,
m=0
a0 - свободный параметр.
ЛЕКЦИЯ 38.
9.15. Некоторые сведения о периодических функциях.
— 74 —
Определение. Функция F (x) называется периодической, если существует такое число T 6= 0, называемое периодом функции, что F (x + T ) = F (x) для всех x ∈ (−∞, +∞).
В физике простейшим примером является "гармоника": f (x) = A sin(ωx + ϕ), где A - амплитуда, ωx 2π
частота, ϕ - начальная фаза гармоники. Видно, что f (x + 2π
ω ) = f (x) и, следовательно, T = ω - период
гармоники.
Для любой периодической функции F (x+kT ) = F (x+(k−1)T +T ) = F (x+(k−1)T ) = F (x+(k−2)T +T ) =
F (x + (k − 2)T ) = ... = F (x), так что kT, где k > 1 - целое число, также период нашей функции. Аналогично,
F (x − T ) = F ((x − T ) + T ) = F (x) и, следовательно, −kT, где k > 1 - целое число, тоже период той же
функции. Пусть теперь T1 и T2 являются периодами для функции F (x). Но тогда T1 ± T2 - так же период
функции F (x).
Можно доказать (мы этого делать не будем), что если F (x) - непрерывная периодическая функция, отличная от тождественной константы, то она имеет наименьший положительный период, который и называется
периодом данной периодической функции F (x).
Пусть на сегменте [a, a + T ] задана непериодическая функция f (x). Построим из неё периодическую
функцию с периодом T, совпадающую с функцией f (x) на отрезке [a, a + T ]. С этой целью достаточно
сделать перенос графика функции f (x) вправо и влево на расстояние T, 2T, 3T, ..., и так далее. Этот
процесс называется периодическим продолжением функции f (x) за пределы сегмента [a, a + T ] с периодом
T. При этом, функция F (x) не получает, вообще говоря, однозначного определения в точках a ± kT.
a+T
R
RT
Вычислим, наконец, интеграл от периодической с периодом T функции F (x) :
F (x)dx = F (x)dx +
a
+
a+T
R
F (x)dx = (во втором интеграле сделаем замену переменных: x − T = ξ ) =
F (x)dx +
a
T
RT
a
RT
F (ξ)dξ +
a
Ra
F (ξ)dξ =
0
RT
Ra
F (ξ)dξ ≡
0
F (ξ)dξ.
0
Таким образом, интеграл от периодической с периодом T функции по любому отрезку длины T имеет одно
a+T
R
RT
и тоже значение:
F (x)dx = F (x)dx.
a
0
9.16. Ряд Фурье и коэффициенты Эйлера-Фурье.
Перейдём к формулировкенашей основной цели. Для этого рассмотрим счётное множество простейших гар2πk
моник вида Ak sin( 2πk
T x+ϕk ), k = 1, 2, 3, ..., с частотами ωk = T - то есть набор гармоник с кратными часто∞
P
тами. Составим следующий функциональный ряд: A0 +
Ak sin( 2πk
T x + ϕk ). Если этот ряд сходится, к функk=1
ции S(x), то очевидно, что эта функция является периодической функцией с периодом T. Целесообразно пре2πk
2πk
образовать ряд к следующему виду: Ak sin( 2πk
T x + ϕk ) = Ak sin ϕk cos T x + Ak cos ϕk sin T x. Введём обо∞
P
πk
значения: A0 = a2 ; ak = Ak sin ϕk ; bk = Ak cos ϕk ; T = 2l, тогда S(x) = a20 +
ak cos πk
l x + bk sin l x k=1
разложение функции S(x) в тригонометрический ряд.
Необходимо ответить на следующие два вопроса: 1◦ . Какую периодическую функцию с периодом 2l можно
разложить в тригонометрический ряд? 2◦ . Как по заданной функции S(x) найти коэффициенты разложения
a0 , ak , bk , если это разложение возможно?
Ответим сначала на второй вопрос. С этой целью рассмотрим следующую систему функций 12 , cos πl x, sin πl ,
2π
3π
3π
cos 2π
l x, sin l , cos l x, sin l , ... которая называется основной тригонометрической системой. Докажем, что основная тригонометрическая система ортогональна на отрезке [−l, l], то есть интеграл от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл от квадрата функции отличен от
нуля.
Rl 1
Rl 1
πk
1
l
πk l
πk
1
l
πk l
В самом деле:
2 · cos l xdx = 2 · πk · sin l x −l = 0,
2 · sin l xdx = − 2 · πk · cos l x −l = 0.
−l
Rl
cos
−l
πk
l x
· sin
−l
πn
l xdx
=
1
2
Аналогично покажем, что
Rl
−l
Rl
−l
Если n = k, то
Rl
−l
Rl
−l
1 2
2
dx = 2l .
[sin
π(n+k)
x
l
+ sin
π(n−k)
x]dx
l
πn
cos πk
l x · cos l xdx = 0 и
cos2 πk
l xdx
=
1
2
Rl
−l
(1 +
cos2 2πk
l )dx
Rl
−l
= 0, n 6= k.
πn
sin πk
l x · sin l xdx = 0, n 6= k.
= l,
Rl
−l
sin2
πk
l xdx
=
1
2
Rl
−l
(1 − cos2
2πk
l )dx
= l,
— 75 —
После этого решим вопрос о коэффициентах a0 , ak , bk . Если данный тригонометрический ряд сходится
равномерно, его можно почленно интегрировать. Его можно почленно интегрировать и тогда, когда он умножается на любую интегрируемую функцию. "
#
∞
Rl
Rl
Rl
Rl
P
a0
πk
πk
Имеем:
dx +
ak cos l xdx + bk sin l xdx = a0 · l.
S(x)dx = 2
Отсюда a0 =
Rl
S(x) · cos
−l
k=1
−l
−l
1
l
Rl
−l
−l
S(x)dx.
−l
πk
l xdx
=
a0
2
Zl
Zl
∞
∞
P
P
πn
kπ
πk
kπ
πk
ak cos
x · cos
xdx +
x · cos
xdx .
· cos
xdx +
bk · sin
l
l
l
l
l
k=1
k=1
−l
−l
−l
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
Zl
=0
Отсюда ak =
1
l
Rl
−l
=0, if n6=k;
S(x) · cos πk
l dx.
Аналогично:
Rl
S(x) · sin πk
l xdx =
−l
a0
2
Zl
Zl
Zl
∞
∞
P
P
πk
πk
πn
πk
πn
· sin
xdx +
ak · cos
x · sin
xdx +
bk sin
x · cos
xdx .
l
l
l
l
l
k=1
k=1
−l
−l
−l
|
{z
}
|
{z
}
|
{z
}
=0
Отсюда bk =
1
l
Rl
−l
=0
=l, if n=k
=0
=0, if n6=k;
=l, if n=k
S(x) · sin πk
l dx.
Найденные числа a0 , ak , bk называются коэффициентами Эйлера-Фурье.
Рассмотрим сейчас любую интегрируемую на сегменте [−l, l] функцию f (x). Тогда по приведённым выше
формулам мы можем вычислить интегралы и найти коэффициенты Эйлера-Фурье для любой интегрируемой
функции f (x). После того как мы вычислим a0 , ak , bk , мы можем составить тригонометрический ряд a2 +
∞
P
πk
a
ak cos πk
l x + bk sin l x . Этот ряд назовём рядом Фурье и символически мы запишем это так: f (x) ∼ 2 +
k=1
∞
P
k=1
πk
ak cos πk
l x + bk sin l x . Знак соответствия " ∼ "мы пока не можем заменить на знак равенства, так как мы
ещё не знаем, любую ли интегрируемую функцию (а кроме требования интегрируемости мы никаких требований
не выдвигали) можно разложить в ряд Фурье.
9.17. Основная теорема о сходимости тригонометрического ряда.
Определение 1. Функция f (x) называется кусочно-непрерывной на сегменте [a, b], если она непрерывна на этом сегменте всюду за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. Такая функция в каждой
точке x ∈ [a, b] имеет конечные правые и левые предельные значения: f (x + 0) = lim f (x + ε); f (x − 0) =
ε→0
ε>0
lim f (x − ε). В каждой точке непрерывности f (x + 0) = f (x − 0) = f (x). На концах отрезка существуют
ε→0
ε>0
конечные f (a + 0) и f (b − 0).
Определение 2. Кусочно-непрерывную на сегменте [a, b] функцию f (x) называют кусочно-гладкой
на сегменте [a, b], если производная f 0 (x) существует и непрерывна всюду, за исключением может мыть
конечного числа точек, в которых, однако, существуют конечные правые и левые предельные значения f 0 (x +
0) = lim f 0 (x + ε); f 0 (x − 0) = lim f 0 (x − ε), а также конечные f 0 (a + 0) и f 0 (b − 0). Это означает, что в
ε→0
ε>0
ε→0
ε>0
каждой точке x ∈ [a, b] существуют конечные правосторонние и левосторонние производные:
(x−0)
(x+0)
f 0 (x + 0) = lim f (x+t)−f
; f 0 (x − 0) = lim f (x−t)−f
.
t
t
t→0
t>0
t→0
t>0
Сформулируем основную теорему о сходимости тригонометрических рядов Фурье (без доказательства).
Теорема. Если функция f (x) является кусочно-гладкой на сегменте [−l, l], то её тригонометрический ряд
∞
P
πk
ak cos πk
Фурье сходится в каждой точке x ∈ [−l, l], причём для суммы ряда S(x) = a2 +
l x + bk sin l x
k=1
выполняются следующие условия:
1◦ . S(x) = f (x), если x ∈ (−l, l) и точка x является точкой непрерывности функции f (x).
(x−0)
, если x ∈ (−l, l) и точка x является точкой разрыва функции f (x).
2◦ . S(x) = f (x+0)−f
2
f (−l+0)−f (l−0)
◦
3 . S(−l) = S(l) =
.
2
Пример 1. Разложить функцию y = x в ряд Фурье на сегменте [−π, π].
— 76 —
Функция f (x) = x - это нечетная функция, легко показать прямым вычислением, что a0 = an = 0, где
Rπ
Rπ
Rπ
π
2
n = 1, 2, 3, ... , bn = π1
x sin nxdx = π2 x sin nxdx = π2 − nx cos nx 0 + πn
cos nxdx = π2 − nπ cos nπ =
−π
− n2 (−1)n =
0
0
2
n+1
.
n (−1)
∞
P
f (x) = x, x ∈ (−l, l)
Таким образом, S(x) =
sin kx = f (−l+0)+f (l−0)
= −l+l
= 0, x = −l; +l.
k=1
2
2
S(x) - периодическая с периодом 2π, функция, причём S(x) = x только при x ∈ (−l, l). В точках
(2k + 1)π, k = 0, ±1, ±2, ... сумма ряда S(x) терпит разрыв первого рода.
Пример 2. Разложить на сегменте [−π, π] в ряд Фурье функцию y = x2 .
Прямым вычислением легко показать, что a0 = 23 π 2 , an = n42 (−1)n , bn = 0.
∞
P
2
(−1)k
2
S(x) = π3 + 4
k2 cos kx = x , x ∈ [−π, π]. S(x) - непрерывная в точках (2k + 1)π, k = 0, ±1, ±2, ...
2
k+1
k (−1)
k=1
функция.
ЛЕКЦИЯ 39.
9.18. Ряд Фурье для чётных и нечётных функций.
Легко показать, что
Rl
Rl
Rl
f (x)dx = 2 f (x)dx для чётных функций и
f (x)dx = 0 для функций нечёт-
−l
ных. В самом деле,
Rl
f (x)dx =
−l
=
R0
−l
0
R0
f (x)dx +
−l
Rl
f (x)dx = (в первом интеграле сделаем замену x = − ξ)
0
Rl
Rl
Rl
Rl
Rl
f (−ξ)d(−ξ)+ f (x)dx = f (−ξ)dξ+ f (x)dx ≡ f (−x)dx+ f (x)dx. Если функция чётная, то есть
0
l
0
0
0
0
выполнено f (−x) = f (x), то интегралы складываются, а если функция нечётная, f (−x) = −f (x), то интегралы уничтожаются.
kπ
Ясно, что { 21 , cos kπ
l x} - множество чётных, а {sin l x} - множество нечётных функций.
Rl
2
Пусть f (x) - чётная функция, тогда и f (x) · cos kπ
f (x) · cos kπ
l x - чётная функция, ak = l
l xdx, а
0
поскольку f (x) · sin kπ
l x - нечётная функция, bk = 0.
Таким образом, для чётной функции тригонометрический ряд Фурье имеет вид f (x) =
где ak =
2
l
Rl
0
a0
2
∞
P
+
k=1
ak · cos kπ
l x,
f (x) · cos kπ
l xdx, k = 0, 1, 2, 3, ... .
Пусть f (x) - нечётная функция, тогда и f (x) · cos kπ
l x - нечётная функция и a0 = 0, ak = 0. Тогда
l
R
2
f (x) · sin kπ
f (x) · sin kπ
l x - чётная функция, bk = l
l xdx.
0
Следовательно, для нечётной функции тригонометрический ряд Фурье имеет вид f (x) =
∞
P
k=1
bk =
2
l
Rl
0
bk · sin kπ
l x, где
f (x) · sin kπ
l xdx, k = 0, 1, 2, 3, ... .
9.19. Разложение функций, заданных на сегменте [0, l] в ряд Фурье только по косинусам или только по
синусам .
Пусть кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая функция задана на сегменте [0, l]. На сегмент [−l, l] её
можно продолжить либо чётным, либо нечётным образом.
Rl
При первой ситуации на сегменте [−l, l] нам будет задана чётная функция, для неё a0 = 2l f (ξ)dξ,
0
an =
Rl
2
l
0
f (ξ) · cos kπ
l ξdξ, bn = 0 и ряд Фурье на сегменте [−l, l] принимает вид f (x) =
a0
2
+
∞
P
k=1
ak · cos kπ
l x.
Во второй ситуации на сегменте [−l, l] при продолжении получается нечётная функция. Для неё a0 = 0,
∞
Rl
P
bk · sin kπ
ak = 0, bk = 2l f (ξ) · sin kπ
l ξdξ, а ряд Фурье имеет вид: f (x) =
l x.
0
k=1
Согласно основной теореме о сходимости тригонометрических рядов, на отрезке (0, l) каждый из этих рядов
сходится к функции f (x) в точках непрерывности этой функции.
Пример. Рассмотрим функцию f (x) = x, заданную на сегменте [0, π].
— 77 —
При нечётном продолжении получим функцию f (x) = x, определённую на сегменте [−π, π]. Разложение
такой функции мы уже рассматривали выше, (см. пример 1 прошлой лекции).
При чётном продолжении получим функцию f (x) = |x| , определённую на сегменте [−π, π]. Разлагая
функцию f (x) = x в ряд по косинусам на сегменте [0, π] имеем, согласно приведённым
выше форму
π
π
π
R
R
R
π
π
2
− n1 cos nx 0 =
лам:
a0 = π2 xdx = π, an = π2 x · cos nxdx = π2 nx sin nx 0 − n1 sin nxdx = − πn
0 0
0
0,
n = 2m,
2
n
πn2 [(−1) − 1] = − 4 , n = 2m − 1 .
πn2
∞ P
4
Таким образом, x = π2 +
− π(2m−1)
cos(2m
−
1)x
= π2 − π4 (cos x + 312 cos 3x + 512 cos 5x + ...) при
2
m=1
x ∈ [0, π].
9.20. Комплексная форма записи ряда Фурье.
a0
2
Пусть f (x) =
+
∞
P
k=1
kπ
ak cos kπ
l x + bk sin l x .
kπ
kπ
kπ
kπ
−i l x
По формуле Эйлера ei l x = cos kπ
+ i sin kπ
i sin
l x
l x, e
=kπcos l x −
l x.
kπ
kπ
kπ
1
i
i l x
i l x
Отсюда cos kπ
+ e−i l x , sin kπ
+ e−i l x .
l x= 2 e
l x = 2 −e
Подставим эти выражения в тригонометрический ряд Фурье. Получим:
∞
∞
P
P
kπ
i kπ
k
k
l x) +
( ak +ib
· e−i l x ).
f (x) = a20 +
( ak −ib
·
e
2
2
k=1
k=1
k
k
Обозначим коэффициенты следующим образом: c0 = a20 , ck = ak −ib
, c−k = ak +ib
. Тогда имеем:
2
2
∞
∞
∞
P
P
P
kπ
kπ
i kπ
x
−i
x
i
x
f (x) = c0 +
ck · e l +
c−k · e l =
ck · e l - это и есть ряд Фурье, записанный в комплексной
k=1
k=1
k=−∞
форме.
Как вычислить коэффициенты ck ? Имеем
Rl
1
kπ
k
=
f (ξ) cos kπ
ck = ak −ib
2
2l
l ξ − i sin l ξ dξ =
−l
c−k =
ak +ibk
2
=
1
2l
Rl
−l
1
2l
kπ
f (ξ) cos kπ
l ξ + i sin l ξ dξ =
Rl
f (ξ)·e−i
kπ
l ξ
dξ,
kπ
l ξ
dξ.
−l
1
2l
Rl
f (ξ)·ei
−l
Следовательно, при любом целом k = 0, ±1, ±2, ±3, ... имеем: ck =
1
2l
Rl
f (ξ)·e−i
kπ
l ξ
dξ.
−l
Таким образом, комплексная форма записи ряда Фурье имеет вид:
∞
Rl
P
kπ
kπ
1
f (x) =
ck · ei l x , где ck = 2l
f (ξ)·e−i l ξ dξ.
k=−∞
−l
В ряде случаев полученные формулы разложения функции f (x) в ряд очень удобны, так как позволяют
сразу найти все коэффициенты разложения.
Rπ aξ −i kπ ξ
1
Пример. Рассмотрим функцию f (x) = eax , заданную на отрезке [−π, π]. ck = 2π
e ·e π dξ =
−π
1
2π
Rπ
−π
e(a−ik)ξ dξ =
1
2π
·
1
(a−ik)
Таким образом, eax =
π
e(a−ik)ξ −π
shaπ
π
∞
P
k=−∞
=
1
2π
·
1
(a−ik)
eaπ · e−ikπ − e−aπ · eikπ =
1
π
·
1
(a−ik)
sh aπ.
(−1)k eikx
a−ik .
ЛЕКЦИЯ 40.
9.21. Интеграл Фурье.
3π
Частоты гармоник ряда Фурье на сегменте [−l, l] представлены последовательностью {0, πl , 2π
l , l , ...}.
π
Это - арифметическая прогрессия со знаменателем α = l . При увеличении числа l разность между частотами
соседних гармоник уменьшается, то есть гармоники начинают идти всё более густо. Положение дел качественно
изменяется, если сегмент разложения функции, неограниченно расширяясь в обе стороны, охватывает всю вещественную прямую, превращаясь в интервал (−∞, +∞). В этом случае разность между частотами соседних
гармоник будет убывать до нуля и последовательность частот из дискретной превратится в непрерывное множество всех вещественных неотрицательных чисел и мы вправе ожидать превращения ряда Фурье в некоторый
интеграл, к выводу которого мы сейчас приступаем.
Пусть f (x) определена на всей вещественной оси (−∞, +∞) и удовлетворяет следующим условиям:
— 78 —
R∞
1◦ . Существует несобственный интеграл
|f (x)dx| = Q, (иначе говоря, f (x) - абсолютно интегрируе-
−∞
ма).
2◦ . На любом конечном сегменте функция f (x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье, то есть
соблюдено так называемое "условие Дирихле".
Зафиксируем некоторое произвольное значение l и запишем на сегменте [−l, l] разложение функции f (x)
∞
P
kπ
ak cos kπ
в ряд Фурье: f (x) = a20 +
l x + bk sin l x . Коэффициенты Эйлера - Фурье разложения функции
k=1
f (x) в ряд Фурье имеют вид: a0 =
1
l
Rl
−l
f (ξ)dξ, ak = 1l
Rl
−l
1
f (ξ) · cos kπ
l ξdξ, bk = l
Подставляя эти коэффициенты
в разложение, получим:
!
"
l
l
∞
R
R
P
1
1
kπ
f (x) = 2l f (ξ)dξ+
f (ξ) · cos l ξdξ cos kπ
l
l x+
k=1
−l
=
1
2l
Rl
f (ξ)dξ+ ππ 1l
1
l
−l
∞ Rl
P
f (ξ) · cos
kπ
l
Rl
−l
f (ξ) · sin kπ
l ξdξ.
!
f (ξ) · sin
−l
kπ
l ξdξ
#
sin
kπ
l x
=
(ξ − x) dξ.
k=1 −l
def
π def
= ∆αk .
Введём переменную αk = kπ
l и положим αk+1 − αk = l
!
l
l
∞
R
R
P
1
1
В итоге: f (x) = 2l f (ξ)dξ+ π
(f (ξ) · cos [αk (ξ − x)]) dξ ·
k=1 −l
−l
+l
R
−l
Rl
∆αk .
(f (ξ) · cos [αk (ξ − x)]) dξ всё меньше отличается от несобственного
!
+∞
∞
R
Rl
P
def
интеграла
(f (ξ) · cos [αk (ξ − x)]) dξ = F (αk ), а сумма
(f (ξ) · cos [αk (ξ − x)]) dξ · ∆αk напомиПо мере возрастания l , интеграл
−l
−∞
k=1
−l
∞
P
F (αk )∆αk , и в пределе при l → ∞ стремится к интегралу по переменной α :
!
+∞
Rl
Rl
R
Q
1
1
f (ξ) · cos α(ξ − x)dξ dα, а первое слагаемое 2l
f (ξ)dξ ≤ 2l
|f (x)| dx ≤ 2l
→ 0
нает интегральную сумму
k=1
R∞
F (α)dα =
0
R∞
0
−∞
−l
−l
при l → ∞.
Таким образом, f (x) =
1
π
R∞
+∞
R
0
−∞
!
f (ξ) · cos α(ξ − x)dξ dα - интегральная формула Фурье.
Поскольку в интеграле Фурье подинтегральная функция
по переменной α чётная, то эту формулу удобно
!
∞
+∞
R
R
1
f (ξ) · cos α(ξ − x)dξ dα.
переписать так: f (x) = 2π
∞
−∞
Эту же формулу иногда удобно представлять в виде f (x) =
+∞
R
[a(α) cos αx + b(α) sin αx]dα, где
0
a(α) =
1
π
+∞
R
f (ξ) cos αξdξ,
b(α) =
−∞
1
π
+∞
R
f (ξ) sin αξdξ.
−∞
Указанное равенство имеет место в точках непрерывности функции !
f (x). В точках же разрыва функции
∞ +∞
R
R
(x−0)
1
f (ξ) · cos α(ξ − x)dξ dα.
f (x) необходимо писать f (x+0)+f
= 2π
2
∞
−∞
Все приведённые выше рассуждения проведены нами на уровне "физической строгости." Строгое изложение
материала приведено, например, в учебнике "Кратные интегралы и ряды", авторы: Будак Б.М., Фомин С.В.
9.22. Интеграл Фурье в комплексной форме. Интегральное преобразование Фурье.
−iα(x−ξ)
Воспользуемся формулой Эйлера: cos α(ξ − x) = 21 eiα(ξ−x)
+
e
. Подставляя в интегральную
!
!
+∞
+∞
+∞
+∞
R
R
R
R
1
1
iα(ξ−x)
−iα(ξ−x)
f (ξ) · e
dξ dα + 4π
f (ξ) · e
dξ dα. Во
формулу Фурье, получим: f (x) = 4π
−∞ −∞
−∞ −∞
!
+∞
+∞
R
R
1
втором интеграле сделаем замену z = −α, dz = −dα. Тогда f (x) = 4π
f (ξ) · eiα(ξ−x) dξ dα +
−∞ −∞
!
!
+∞
+∞
+∞
+∞
R
R
R
R
1
1
f (ξ) · eiz(ξ−x) dξ dz = 2π
f (ξ) · eiα(ξ−x) dξ dα.
4π
−∞
−∞
−∞
−∞
— 79 —
1
2π
+∞
R
+∞
R
−∞
−∞
!
iα(ξ−x)
f (ξ) · e
dξ dα - интеграл Фурье в комплексной форме.
!
+∞
+∞
R
R
1
1
iαξ
√
Существует ещё одна форма этого интеграла: f (x) = √2π
f (ξ) · e dξ · e−iαx dα.
2π
Таким образом, f (x) =
−∞
Положим F (α) =
√1
2π
+∞
R
−∞
f (ξ) · eiαξ dξ. Функция F (α) называется образом Фурье функции f (x), а
−∞
сама формула - преобразованием Фурье функции f (x).
+∞
R
F (α) · e−iαx dα - обратное преобразование Фурье.
Тогда f (x) = √12π
−∞
Глава 10
Несобственные интегралы и интегралы,
зависящие от параметра.
ЛЕКЦИЯ 41.
10.1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
Как нам хорошо известно, понятие определённого интеграла как предела интегральной суммы предполагает
сегмент [ a, b ] конечным. А как быть, когда функция определена на полуинтервалах [ a, +∞), или (−∞, b ],
или, даже, (−∞, +∞)?
R∞
Определение. Несобственным интегралом первого рода f (x)dx называется предел вида
a
lim
RA
A→∞ a
f (x)dx, при условии, что при любом A > a существует собственный интеграл
RA
f (x)dx.
a
Если обозначить F (A) =
RA
f (x)dx, то
a
R∞
f (x)dx = lim F (A) = lim
A→∞
a
RA
A→∞ a
f (x)dx. Если указанный предел
существует и он конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если же этот предел не существует
или равен ±∞, то говорят, что несобственный интеграл расходится.
+∞
Ra
Ra
R
Ra
R∞
Аналогично имеем
f (x)dx,. Также очевидно, что
f (x)dx = lim
f (x)dx =
f (x)dx+ f (x)dx.
B→−∞ B
−∞
Ra
Легко заметить, что интеграл вида
−∞
−∞
f (x)dx заменой x на −x сводится к интегралу вида
−∞
R∞
достаточно изучать лишь интегралы
a
R∞
f (x)dx Поэтому
a
f (x)dx и исследовать их на сходимость.
a
Геометрически интерпретация несобственного интеграла первого рода очень проста: это площадь криволинейной трапеции, у которой одна из границ, или обе вместе отодвинуты бесконечно далеко.
R∞
Пример 1.
cos xdx = lim (sin A − sin 0) = lim sin A. Этот предел не существует, интеграл расходится.
A→∞
0
Пример 2.
R∞
0
Пример 3.
dx
1+x2
R∞ dx
a
xλ
A→∞
= lim (arctg A − arctg 0) = π2 .
A→∞

 lim ln A
RA dx
a , λ = 1,
A→∞
= lim
=
1−λ
λ
−a1−λ
A→∞ a x
 lim A 1−λ
, λ 6= 1.
Видим, что при λ ≤ 1 пределы равны
A→∞
1−λ
бесконечности и, следовательно, интеграл расходится. При λ > 1 предел равен a1−λ - это конечное число, и,
следовательно, в этом случае интеграл сходится.
R∞
RA
Поскольку
f (x)dx = lim f (x)dx = lim F (A), а предел функции сводится к пределу числовой
a
A→∞ a
A→∞
последовательности {F (An )} при ∀An → ∞, (см. теорему 1 лекции 4), то
A
Rn
f (x)dx =
A
R1
a
A
R2
A1
f (x)dx +
A
R3
A2
f (x)dx + ... +
A
Rn
f (x)dx, и, следовательно, исследование сходимости интеграла
R∞
f (x)dx
a
An−1
сводится к исследованию сходимости числового ряда
f (x)dx +
a
∞
P
A
Rn
n=1 An−1
80
f (x)dx, где A0 ≡ a. Поэтому многие кри-
— 81 —
терии сходимости числовых рядов переносятся на несобственные интегралы первого рода. В частности, для
n+p
Rk
P A
приведённого выше числового ряда критерий Коши сходимости будет выглядеть так:
f (x)dx =
k=n+1 Ak−1
AR
n+1
f (x)dx +
An
AR
n+2
AR
n+p
f (x)dx + ... +
An+1
f (x)dx =
AR
n+p
f (x)dx < ε для любого выбора последовательности
An
An+p−1
An → ∞, при n → ∞ и для любого натурального числа p. Следовательно, критерий Коши сходимости
несобственного интеграла первого рода можно сформулировать так:
R∞
Критерий Коши. Для сходимости интеграла f (x)dx необходимо и достаточно чтобы для любого ε > 0
a
существовало такое A(ε), что при всех A0 и A00 > A(ε) выполнялось неравенство
00
A
R
f (x)dx < ε, (или
A0
lim
0
00
A
R
f (x)dx = 0.)
A →∞ A0
A00 →∞
10.2. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов первого рода.
R∞
Определение 1. Несобственный интеграл первого рода
если сходится интеграл
R∞
f (x)dx называется абсолютно сходящимся,
a
|f (x)| dx.
a
Теорема 1. Если несобственный интеграл первого рода
R∞
f (x)dx сходится абсолютно, то он сходится.
a
R∞
Доказательство. Для доказательства воспользуемся критерием Коши. Так как интеграл
|f (x)| dx схо-
a
дится абсолютно, то критерий Коши для него выполнен. Поэтому
00
A
R
f (x)dx <
A0
00
A
R
|f (x)| dx < ε при всех
A0
A0 и A00 > A(ε). Тем самым мы показали, что критерий Коши выполнен и для исходного интеграла. Терема
доказана.
R∞
Теорема 2. Если для всех достаточно больших x |f (x)| ≤ g(x), то из сходимости интеграла
g(x)dx
вытекает абсолютная сходимость интеграла
R∞
a
f (x)dx.
a
Доказательство. Для доказательства воспользуемся критерием Коши. Так как интеграл
R∞
g(x)dx сходит-
a
ся, то критерий Коши для него выполнен. Поэтому
00
A
R
|f (x)|dx ≤
A0
00
A
R
g(x)dx < ε. Тем самым мы доказали,
A0
абсолютную сходимость исходного интеграла. Теорема доказана.
Аналогично можно показать, что если |f (x)| ≥ g(x) и f (x) сохраняет знак, а интеграл
дится, то расходится и интеграл
R∞
R∞
g(x)dx расхо-
a
f (x)dx.
a
Теорема 3. Пусть существует предел lim |f (x)| · xλ = k. Тогда, если 0 ≤ k < ∞ и λ > 1, интеграл
R∞
x→∞
f (x)dx сходится абсолютно, если 0 ≤ k < ∞ и λ ≤ 1, а f (x) сохраняет знак при достаточно больших x,
a
то интеграл
R∞
f (x)dx расходится.
a
Доказательство. Если 0 ≤ k < ∞, то при достаточно больших x имеем |f (x)| · xλ < 2k, то есть
|f (x)| < x2kλ при k > 0, и |f (x)| · xλ < 1, то есть |f (x)| < x1λ при k = 0. Согласно теореме 2, при λ > 1
R∞
интеграл f (x)dx сходится абсолютно.
a
Если же 0 ≤ k < ∞, то при достаточно больших x и при k < ∞, |f (x)| · xλ > k2 , или |f (x)| > 2xkλ .
Поэтому при λ ≤ 1 наш интеграл расходится. При k = ∞, |f (x)| · xλ > 1, или |f (x)| > x1λ . И здесь, при
R∞
λ ≤ 1 интеграл f (x)dx расходится.
a
— 82 —
R∞
Определение 2. Интеграл
R∞
интеграл
|f (x)| dx.
a
R∞ sin x
Пример. Интеграл
x
0
∞
P
π(n+1)
R
n=0
πn
1
π(n+1) ,
f (x)dx называется условно сходящимся, если он сходится, в то время, как
a
|sin x|
x dx,
0
поскольку
а числовой ряд
π(n+1)
R
πn
∞
P
n=0
R∞
dx, но интеграл
1
n+1
|sin x|
x dx
≥
sin x
x
1
π(n+1)
dx расходится, так как расходится числовой ряд
π(n+1)
R
sin xdx =
πn
1
π(n+1)
|cos πn − cos π(n + 1)| ∼
расходится.
Теорема Абеля - Дирихле. Пусть функция ϕ(x) - непрерывна, а функция ψ(x) - непрерывно дифR∞
ференцируема на интервале a ≤ x < ∞. Тогда интеграл
ϕ(x)·ψ(x)dx сходится, если первообразная
a
F (a) =
RA
ϕ(x)dx ограничена для любого A ∈ [a, ∞), а ψ(x) монотонно стремится к нулю при x → ∞.
a
Доказательство. Для доказательства воспользуемся критерием Коши. Для этого рассмотрим интеграл
00
A
R
ϕ(x)·ψ(x)dx и подсчитаем его по частям. Положим u = ψ(x), dv = ϕ(x)dx, тогда du = ψ 0 (x)dx, v =
A0
F (x).
00
A
R
ϕ(x)·ψ(x)dx = F (A00 )ψ(A00 ) − F (A0 )ψ(A0 ) −
A0
RA
F (x)ψ 0 (x)dx. Поскольку первообразная F (a) =
A0
ϕ(x)dx ограничена, то
a
00
A
R
00
A
R
00
A
R
F (x)ψ 0 (x)dx = F (ξ) ·
A0
00
A
R
ψ 0 (x)dx = F (ξ) · (ψ(A00 ) − ψ(A0 )) . Таким образом,
A0
ϕ(x)·ψ(x)dx = F (A00 )ψ(A00 )−F (A0 )ψ(A0 )−F (ξ)·(ψ(A00 ) − ψ(A0 )) . По условию теоремы, функция ψ(x) мо-
A0
нотонно стремится к нулю при x → ∞. Следовательно, ψ(A00 ) → 0, ψ(A0 ) → 0 при A00 → ∞, A0 → ∞. Тогда
00
A
R
и сам интеграл стремится к нулю, когда пределы интегрирования стремятся к нулю: 0lim
F (x)ψ 0 (x)dx = 0.
A →∞ A0
A00 →∞
Критерий Коши выполнен, и, следовательно, интеграл сходится. Теорема доказана.
R∞
R∞ t
√ dt, здесь сделана замена x2 = t. В полученном
Пример. Интеграл Френеля.
sin(x2 )dx = sin
2 t
0
0
интеграле sin t = ϕ(t) - функция с ограниченной первообразной, ψ(t) =
теоремы Абеля - Дирихле выполнены, интеграл Френеля сходится.
1
√
2 t
→ 0 при t → ∞. Условия
ЛЕКЦИЯ 42.
10.3. Интегралы от неограниченных функций конечными пределами интегрирования.
Пусть функция f (x) определена на сегменте [a, b] всюду, за исключением, может быть конечного числа
точек, называемых "особыми
1 точками", в которых функция f (x) неограничена.
, x ∈ [0, 1),
Пример 1. f (x) = 1−x
Ясно,что точка x = 1 является особой точкой этой функции.
1, x = 1.
1
sin x1 , 0 < x ≤ 1,
Пример 2. f (x) = x
Точка x = 0 является особой точкой В окрестности этой
0,
x = 0.
точки функция f (x) является неограниченной, но заметим, что при x → 0 функция f (x) не стремится к
бесконечности, так как функция бесчисленное число раз пересекает ось − x.
b−λ
R
Определение. Если точка x = b является особой точкой и если интеграл
f (x)dx существует при
a
любом λ,
(0 < λ < b − a), то предел lim
b−λ
R
λ→0 a
f (x)dx =
Rb
f (x)dx называется несобственным инте-
a
гралом второго рода. Если пределсуществует и он конечен, то говорят, что несобственный интеграл второго
рода сходится. Если же предела не существует, или он равен ±∞, то несобственный интеграл второго рода
расходится.
Rb
Rb
Аналогично, lim
f (x)dx = f (x)dx - несобственный интеграл второго рода, когда особой точкой явµ→0 a+µ
ляется левый конец сегмента.
a
— 83 —
lim
b−λ
R
λ→0 a+µ
µ→0
f (x)dx =
Rb
f (x)dx - несобственный интеграл второго рода, когда особыми точками являются оба
a
конца сегмента.
c−λ
R
Наконец, lim
λ→0
µ→0
f (x)dx +
a
!
Rb
f (x)dx
=
c+µ
Rb
f (x)dx - несобственный интеграл второго рода, когда осо-
a
бой точкой является внутренняя точка сегмента [a, b].
Нас интересует сходимость таких интегралов. При этом мы ограничимся лишь интегралами вида
Rb
f (x)dx =
a
lim
b−λ
R
λ→0 a
f (x)dx = lim F (λ) так как все остальные случаи рассматриваются совершенно аналогично.
λ→0
Аналогично тому, как исследование сходимости несобственных интегралов первого рода было сведено к исследованию сходимости числового ряда, так и исследование сходимости несобственных интегралов второго роb−λ
b−λ
b−λ
R 1
R 2
R 3
да может быть сведено к исследованию числовых рядов вида
f (x)dx +
f (x)dx +
f (x)dx + ... +
a
b−λ
R n
b−λ1
b−λ2
f (x)dx + ... при любом выборе последовательности λn → 0, при n → ∞. Критерий Коши сходимости
b−λn−1
этого числового ряда:
n+p
P
b−λ
R k+1
k=n+1 b−λk
f (x)dx =
b−λ
Rn+p
f (x)dx < ε для любого выбора последовательности
b−λn+1
λn → 0, при n → ∞ и для любого натурального числа p. Следовательно, критерий Коши сходимости
несобственных интегралов второго рода можно сформулировать так:
b−λ
R
Rb
Критерий Коши. Для сходимости несобственного интеграла второго рода lim
f (x)dx = f (x)dx
λ→0 a
a
необходимо и достаточно чтобы для любого ε > 0 существовало δ(ε) > 0 такое, что для всех λ0 и λ00 < δ(ε
00
b−λ
R
f (x)dx < ε.
выполнялось
b−λ0
Абсолютная и условная сходимость для несобственных интегралов второго рода определяется точно также,
как и в случае несобственных интегралов первого рода. Точно так же, как в несобственных интегралах первого
рода, из абсолютной сходимости несобственных интегралов второго рода следует сходимость этих интегралов.
Используя критерий Коши легко доказать следующую теорему сравнения:
Rb
Теорема 1. Если верхний предел b интеграла
f (x)dx - единственная особая точка подинтегральной
a
функции f (x) на сегменте [a, b] и |f (x)| < g(x) для всех x, достаточно близких к b, то из сходимости
Rb
Rb
интеграла g(x)dx следует сходимость интеграла |f (x)| dx.
a
a
Доказательство. Воспользуемся критерием сходимости Коши:
00
b−λ
R
|f (x)| dx ≤
Rb
g(x)dx < ε. По-
b−λ0
b−λ0
скольку интеграл
00
b−λ
R
g(x)dx сходится, критерий Коши для него выполнен, но тогда он выполнен и для интеграла
a
Rb
|f (x)| dx. Следовательно, этот интеграл сходится. Теорема доказана.
a
Теорема 2. Пусть x = b - особая точка функции f (x) на сегменте [a, b] и интеграл
b−λ
R
f (x)dx
a
существует при каждом λ ∈ (0, b − a). Тогда, если при всех x достаточно близких к точке b функция f (x)
k
удовлетворяет неравенству |f (x)| ≤ (b−x)
α , где 0 < k < ∞ и α < 1, то несобственный интеграл второго
Rb
k
рода f (x)dx сходится абсолютно. Если же для всех x, достаточно близких к точке b, |f (x)| ≥ (b−x)
α , где
a
0 < k < ∞ и α ≥ 1, а функция f (x) сохраняет знак при указанных x, то интеграл
Rb
f (x)dx расходится.
a
Доказательство. Для доказательства воспользуемся критерием Коши:
00
b−λ
R
b−λ0
k
00
b−λ
R
b−λ0
1
(b−x)α dx
=k
(λ0 )1−α −(λ00 )1−α
1−α
→ 0 при λ0 и λ00 → 0, если α < 1.
f (x)dx ≤
00
b−λ
R
b−λ0
|f (x)| dx ≤
— 84 —
Таким образом, при α < 1 критерий Коши выполнен, следовательно, интеграл
Rb
f (x)dx сходится абсо-
a
лютно.
k
Рассмотрим случай, когда |f (x)| ≥ (b−x)
α . То что функция f (x) для всех x, достаточно близких к точке
b сохраняет знак, означает, что в окрестности этой точкиf (x) = |f (x)| или f (x) = − |f (x)| . В обоих случаях
0 1−α
00 1−α
00
00
00
k (λ ) −(λ )
b−λ
b−λ
b−λ
, α > 1,
R
R
R
1−α
1
Ясно, что при λ0 → 0 и
f (x)dx =
|f (x)| dx ≥ k
00
(b−x)α dx = 
λ
k ln λ0 , α = 1.
b−λ0
b−λ0
b−λ0
00
0
00
b−λ
R
00
λ → 0 произвольным образом так, что λ 6= λ , и при α ≥ 1 интеграл
f (x)dx меньше любого наперёд
b−λ0
заданного числа сделать невозможно, критерий Коши не выполнен, интеграл расходится.
Теорему 2 можно модифицировать следующим образом.
g(x)
Теорема 3. Пусть f (x) = (b−x)
α . Тогда если функция g(x) ограничена по модулю и α < 1, то интеграл
b
R
f (x)dx сходится абсолютно. Если функция g(x) сохраняет знак в окрестности точки b, |g(x)| ≥ const > 0,
a
и α ≥ 1, то несобственный интеграл второго рода
Rb
f (x)dx расходится.
a
Доказательство этой теоремы полностью повторяет доказательство теоремы 2, поэтому приводить его мы не
будем.
R1 dx
√
Пример 1.
. Этот интеграл сходится абсолютно. Подинтегральную функцию всегда можно пред1−x3
0
ставить в виде √
1
(1−x)·(1+x+x2 )
=
1
(1−x)1/2
1
(1+x+x2 )1/2
α = 21 < 1 -
·
ограниченная на сегменте [0, 1] функция и
R1 sin x
1
Пример 2.
f (x) = xp−1
· sinx x ≡
xp dx.
0
1
xp−1
≡
1
(1−x)1/2
1
(1+x+x2 )1/2
· g(x). Очевидно, что g(x) =
-
условия теоремы 3 выполнены.
· g(x). Интеграл сходится абсолютно, если p − 1 < 1,
или p < 2.
Комбинированные несобственные интегралы возникают, когда и пределы интегрирования бесконечны, и подинтегральная функция неограничена в окрестности особой точки. Чтобы справиться с ними необходимо разбить
интеграл на сумму несобственного интеграла первого рода и несобственного интеграла второго рода.
R∞ −x p−1
R1
R∞
Пример.
e x dx = e−x xp−1 dx + e−x xp−1 dx.
0
0
1
10.4. Главное значение расходящегося интеграла.
Определение 1. Если не существует конечного предела
A→+∞ B
B→−∞
грал первого рода расходится, но существует конечный предел
ется главным значением расходящегося интеграла
+∞
R
RA
lim
lim
f (x)dx, то есть несобственный интеRA
A→+∞ −A
то этот предел называ-
f (x)dx,
f (x)dx. В этом случае пишут v.p.
−∞
lim
RA
A→+∞ −A
f (x)dx.
c−λ
R
λ→0
µ→0
Rb
f (x)dx +
a
!
f (x)dx , то есть несоб-
c+µ
ственный интеграл второго рода расходится, но существует конечный предел вида lim
λ→0
то его называют главным значением расходящегося интеграла
!
c−λ
R
Rb
lim
f (x)dx +
f (x)dx .
a
f (x)dx =
−∞
Определение 2. Если не существует конечного предела lim
λ→0
+∞
R
Rb
c−λ
R
f (x)dx +
a
f (x)dx. В этом случае пишут v.p.
a
!
Rb
f (x)dx ,
c+λ
Rb
f (x)dx =
a
c+λ
Пример 1. Если функция f (x) - нечетная, то есть f (−x) = −f (x), то v.p.
+∞
R
f (x)dx = lim
A→+∞ −A
−∞
0. Если функция f (x) - четная, то есть f (−x) = f (x), то v.p.
+∞
R
−∞
f (x)dx = lim
RA
RA
A→+∞ −A
f (x)dx = 2 lim
f (x)dx =
RA
A→+∞ 0
f (x)dx,
— 85 —
RA
а поскольку интеграл
f (x)dx расходится, то главного значения не существует.
!
c−λ
R dx
Rb dx
c−λ
b
= lim
+
=
lim
ln
|c
−
x||
+
ln
|c
−
x||
a
c+µ =
x−c
x−c
0
Пример 2.
Rb
a
dx
x−c
λ→0
µ→0
a
λ→0
µ→0
c+µ
= lim (ln |λ| − ln |a − c| + ln |b − c| − ln |µ|) = lim
λ→0
µ→0
λ→0
µ→0
Таким образом, v.p.
Rb
a
dx
x−c
b−c
a−c
= ln
ln
b−c
a−c
+ ln
λ
µ
.
.
ЛЕКЦИЯ 43.
10.5. Собственные интегралы, зависящие от параметра и их свойства.
a≤x≤b
Пусть функция f (x, α) задана в прямоугольнике Π :
и интегрируема по x при каждом
c≤α≤d
Rb
α ∈ [c, d]. Тогда интеграл J(α) = f (x, α)dx называется собственным интегралом, зависящим от параa
метра α на сегменте [c, d].
Теорема 1. (О непрерывности по параметру). Если f (x, α) непрерывна в прямоугольнике Π, то J(α)
является непрерывной функцией параметра α на сегменте [c, d].
Доказательство. По теореме Кантора непрерывная на компактном множестве функция f (x, α) является
на этом множестве равномерно непрерывной функцией. Это означает, что для любого ε > 0 существует
δ(ε) > 0 такое, что для любой пары точек (x0 , α0 ) и (x00 , α00 ) из прямоугольника Π выполнится неравенство
|f (x0 , α0 ) − f (x00 , α00 )| < ε, как только выполнятся неравенства |x0 − x00 | < δ(ε) и |α0 − α00 | < δ(ε). В
частности, когда x0 = x00 = x, а |α0 − α00 | < δ(ε), пусть выполнится неравенство |f (x, α0 ) − f (x, α00 )| <
ε/(b − a). Задавшись ε, оценим разность:
Rb
Rb
Rb
Rb
ε
|J(α0 ) − J(α00 )| =
dx = ε - бесконечно
f (x, α0 )dx − f (x, α00 )dx ≤
|f (x, α0 ) − f (x, α00 )| dx < b−a
a
a
a
a
малому изменению аргумента α ∈ [c, d] соответствует бесконечно малое изменение функции J(α) при любых
α0 ∈ [c, d] и α00 ∈ [c, d]. Это означает равномерную (и уж тем более простую) непрерывность функции J(α) на
сегменте [c, d], что и утверждалось.
(x,α)
- непрерывные функции
Теорема 2. (О дифференцируемости по параметру).
Если f (x, α) и ∂f ∂α
!
b
b
R
R
(x,α)
d
dJ
в прямоугольнике Π, то dα
≡ Jα0 = dα
f (x, α)dx = ∂f ∂α
dx - знак производной можно занести под
a
a
интеграл.
J(α+∆α)−J(α)
∆α
Доказательство.
=
Rb
a
f (x,α+∆α)−f (x,α)
dx.
∆α
Подинтегральная функция в правой части равен-
ства непрерывна по x, и поэтому она интегрируема по Риману. Применяя к ней формулу конечных приращений
Rb 0
Лагранжа, получим J(α+∆α)−J(α)
=
fα (x, α + θ∆α)dx. Составим и оценим разность следующего вида:
∆α
J(α+∆α)−J(α)
∆α
−
Rb
a
∂f (x,α)
∂α dx
=
a
Rb
(fα0 (x, α + θ∆α) − fα0 (x, α)) dx ≤
a
Rb
|fα0 (x, α + θ∆α) − fα0 (x, α)| dx .
a
Поскольку fα0 (x, α) равномерно непрерывна на сегменте [c, d], то для любого наперёд заданного ε > 0
найдётся δ(ε) > 0 такое, что при |∆α| < δ(ε) выполнится |fα0 (x, α + θ∆α) − fα0 (x, α)| < ε/(b − a). Поэтому
Rb 0
Rb
ε
ε
|fα (x, α + θ∆α) − fα0 (x, α)| dx < (b−a)
· dx = (b−a)
· (b − a) = ε.
a
a
Таким образом,
J(α+∆α)−J(α)
∆α
−
Rb
a
∂f (x,α)
∂α dx
< ε. Это означает, что
J(α+∆α)−J(α)
∆α
∆α→0
lim
=
Rb
fα0 (x, α)dx,
a
что и требовалось доказать.
Теорема 3. (О дифференцируемости по параметру в случае, когда пределы интегрирования зави(x,α)
- непрерывные функции в прямоугольнике Π, а x1 (α)
сят от параметра). Если f (x, α) и ∂f ∂α
и x2 (α) - дифференцируемые функции при x1 (α) ∈ [a, b] и x2 (α) ∈ [a, b], когда α ∈ [c, d], то проx2R(α)
изводная интеграла J(α) =
f (x, α)dx по параметру α существует и равна следующему выражению:
x1 (α)
— 86 —
Jα0 (α) =
x2R(α)
fα0 (x, α)dx + f (x2 (α), α) ·
∂x2 (α)
∂α
∂x1 (α)
∂α .
− f (x1 (α), α) ·
x1 (α)
Доказательство. Видим, что J(α) = F (x1 (α), x2 (α), α). Функция трёх переменных F (u, v, α) =
имеет непрерывные частные производные, равные Fv0 = f (v, α),
Fu0 = −f (u, α),
Fα0 =
Rv
Rv
f (x, α)dx
u
fα0 (x, α)dx. ,
u
(см. лекцию 21, раздел "формула Ньютона-Лейбница"). Следовательно, учитывая правила дифференцирования
dx2
dx1
0
0
1
сложной функции F (x1 (α), x2 (α), α), получим: Jα0 (α) = Fx0 1 · dx
dα + Fx2 · dα + Fα = −f (x1 (α), α) · dα +
x2R(α)
2
f (x2 (α), α) · dx
fα0 (x, α)dx. Теорема доказана.
dα +
x1 (α)
Теорема 4. (Об интегрировании по параметру). !
Если f (x, α) - непрерывная
в прямоугольнике
!
d
d
b
b
d
R
R R
R R
a≤x≤b
Π:
функция, то J(α)dα =
f (x, α)dx dα =
f (x, α)dα dx.
c≤α≤d
c
c
a
a
c
Эта теорема - есть следствие теоремы о сведении двойного интеграла к повторному, которую мы докажем
позже, когда будем изучать кратные интегралы.
10.6. Класс несобственных интегралов, зависящих от параметра и содержащих ограниченную
подинтегральную функцию.
Мы рассмотрим несобственные интегралы специального вида
R∞
f (x, α) · g(x)dx, когда f (x, α) - непре-
a
рывная для любого x ∈ [a, ∞) функция, являющаяся ограниченной функцией при α ∈ [c, d].
Теорема 1∗ . Если f (x, α) - непрерывная и ограниченная функция при a ≤ x < ∞ и c ≤ α ≤ d, а
R∞
R∞
интеграл |g(x)|dx сходится, то J(α) = f (x, α) · g(x)dx - непрерывная функция при α ∈ [c, d].
a
a
Доказательство. Поскольку функция f (x, α) ограничена, а интеграл интеграл
справедливы следующие оценки: |f (x, α)| < C − const,
интеграла можно выбрать A > a таким, чтобы
R∞
R∞
RA
f (x, α0 )g(x)dx +
a
RA
a
|g(x)|dx <
R∞
|g(x)|dx < k < ∞. Из-за сходимости этого
ε
4C ,
где ε - сколь угодно малое число. Оценим
f (x, α0 )g(x)dx −
RA
f (x, α00 )g(x)dx −
a
A
R∞
|f (x, α0 ) − f (x, α00 )| |g(x)| dx + |f (x, α0 ) − f (x, α00 )| <
{z
}
{z
}
|
A |
ε
< 2k
, |α0 −α00 |<δ(ε)
|g(x)|dx сходится, то
a
a
A
разность: |J(α0 ) − J(α00 )| =
R∞
ε
2k
RA
a
|g(x)| dx + 2C
R∞
f (x, α00 )g(x)dx ≤
A
R∞
|g(x)| dx <
A
ε
2k
ε
· k + 2C · 4C
= ε.
<2C, |f (x,α)|<C
Из этой оценки видно, что бесконечно малому изменению аргумента α : |α0 − α00 | < δ(ε), соответствует
бесконечно малое изменение функции J(α) : |J(α0 ) − J(α00 )| < ε, а это означает равномерную непрерывность
функции J(α).
Теорема 2∗ . Если f (x, α) и fα0 (x, α) - непрерывные и ограниченные функции при a ≤ x < ∞ и c ≤
R∞
R∞
α ≤ d, а интеграл
|g(x)|dx сходится, то J(α) = f (x, α) · g(x)dx - дифференцируемая по параметру α
функция и
Jα0 (α)
=
a
R∞
a
fα0 (x, α)
· g(x)dx.
a
Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 2 предыдущего пункта,
повторять это доказательство мы здесь не будем.
Теорема 4∗ . Если f (x, α) - непрерывная и ограниченная функция при a ≤ x < ∞ и c ≤ α!≤ d,
R∞
Rd
Rd R∞
R∞ Rd
а интеграл
|g(x)|dx сходится, то
J(α)dα =
f (x, α) · g(x)dx dα =
f (x, α) · g(x)dα dx =
a
c
c
a
a
c
!
R∞ Rd
f (x, α)dα · g(x)dx. (Без доказательства.)
a
c
Пример.
J(α) =
R∞
0
e−βx sinxαx dx, (β > 0, α ∈ [−A, +A]). Положим f (x, α) =
sin αx
x ,
g(x) = e−βx .
Видим, что fα0 (x, α) = cos αx - непрерывная и ограниченная функция для любого x и α ∈ [−A, +A],
R∞ −βx
R∞ −βx
а интеграл
e
dx - сходится. Поэтому, на основании теоремы 2∗ , Jα0 (α) =
e
· cos αxdx. Этот
0
0
— 87 —
β
интеграл легко вычисляется по интегрированием частям. Вычисляя его получим: Jα0 (α) = α2 +β
J(α) =
2.
R 0
R β
α
Jα (α)dα = α2 +β 2 dα = arctg β + C, C = const. Постоянную интегрирования определим из очевидного
начального условия J(0) = 0, откуда сразу следует, что C = 0. Таким образом, J(α) = arctg α
β.
ЛЕКЦИЯ 44.
10.7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра и их равномерная сходимость.
Пусть f (x, α) - функция, определённая для x ∈ [x, ∞) и α ∈ [c, d], а интеграл H(α) =
R∞
f (x, α)dx
a
сходится при любом α ∈ [c, d], то есть существует конечный предел lim
RA
A→∞ a
f (x, α)dx. Тогда H(α) - является
функцией аргумента α.
Аналогично обстоит дело и с несобственным интегралом второго рода, зависящим от параметра.
Пусть f (x, α) - функция, определённая для x ∈ [x, b) и α ∈ [c, d], неограничена при x → b − 0
Rb
и при любом α ∈ [c, d] существует интеграл K(α) = f (x, α)dx, то есть существует конечный предел
a
K(α) = lim
b−λ
R
λ→+0 a
f (x, α)dx. Тогда K(α) является функцией аргумента α.
Весьма важным для последующего является понятие равномерной сходимости несобственных интегралов,
зависящих от параметра.
Определение 1. Интеграл H(α) называется равномерно сходящимся по параметру α ∈ [c, d], если для люRA
бого ε > 0 существует ∆(ε) > 0 такое, что при A > ∆(ε) выполняется неравенство H(α) − f (x, α)dx =
a
R∞
f (x, α)dx < ε сразу для всех α ∈ [c, d].
A
Определение 2. Интеграл K(α) называется равномерно сходящимся по параметру α ∈ [c, d], если любоb−λ
R
го ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что при λ < δ(ε) выполняется неравенство K(α) −
f (x, α)dx =
a
Rb
f (x, α)dx −
b−λ
R
a
Пример.
R∞
A
f (x, α)dx =
a
−αx
e
f (x, α)dx < ε сразу для всех α ∈ [c, d].
b−λ
H(α) =
d(αx) =
Rb
R∞
R∞
αe−αx dx.
Пусть
α ∈ [0, 1].
R∞
Этот интеграл сходится, так как
0
−t
e dt = −
αe−αx dx =
A
∞
e−t |αA
−αA
= e
. При α = 0
H(0) = 0 , а для α > 0
−αA
e
→ 0 при
αA
A → ∞.
Но H(α) не является равномерно сходящимся интегралом, поскольку при любых, сколь угодно больших
значениях A , можно положить α = A1 , тогда H(α) = e−1 и ясно, что H(α) не может быть сделано меньше
любого наперёд заданного числа для всех α сразу. Но если положить α ∈ [p, 1], где p > 0 - фиксированное
число, то H(α) будет сходиться равномерно, так как e−αA ≤ e−pA < ε при A > [ p1 ln 1ε ] ≡ ∆(ε).
Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов первого рода, зависящих от
параметра.
Для равномерной сходимости интеграла H(α) на сегменте [c, d] необходимо и достаточно чтобы для любого
00
A
R
ε > 0 существовало ∆(ε) > 0 такое, что при всех A0 > ∆(ε) и A00 > ∆(ε) неравенство
f (x, α)dx < ε
A0
выполнялось сразу для всех α ∈ [c, d].
Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра.
Для равномерной сходимости интеграла K(α) на сегменте [c, d] необходимо и достаточно чтобы для
00
b−λ
R
любого ε > 0 существовало δ(ε) > 0 такое, что при λ0 < δ(ε) и λ00 < δ(ε) неравенство
f (x, α)dx < ε
b−λ0
выполнялось сразу для всех α ∈ [c, d].
Мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Если для всех x ∈ [x, ∞) и α ∈
R∞
R∞
[c, d] выполняется неравенство |f (x, α)| ≤ g(x), а интеграл
g(x)dx сходится, то интегралы
f (x, α)dx и
R∞
a
a
|f (x, α)| dx сходятся равномерно на сегменте [c, d].
a
— 88 —
Для доказательства проверим выполнение критерия Коши:
Доказательство.
00
A
R
f (x, α) dx
≤
A0
00
A
R
|f (x, α)| dx ≤
A0
00
A
R
R∞
g(x)dx < ε, так как интеграл
A0
g(x)dx сходится и, следовательно, критерий Коши
a
для этого интеграла выполнен. Следовательно, критерий Коши выполнен и для интеграла
R∞
интеграла
R∞
f (x, α)dx, и для
a
|f (x, α)| dx. Теорема доказана.
a
Пример. Интеграл
R∞
2
e−αx dx сходится равномерно при всех 0 < α0 < α < ∞, как бы мало α0 не
0
2
2
2
2
отличалось от нуля. В самом деле, f (x, α) = e−αx , g(x) = e−α0 x , e−αx ≤ e−α0 x , когда α ∈ [α0 , ∞), а
R∞
2
интеграл e−α0 x dx сходится.
0
10.8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра.
R∞
Теорема 1∗∗ . Если f (x, α) - непрерывная функция для x ∈ [x, ∞) и α ∈ [c, d], а интеграл H(α) =
f (x, α)dx сходится равномерно на сегменте [c, d], то H(α) - непрерывная функция.
a
Доказательство. Рассмотрим разность ∆H = |H(α + ∆α) − H(α)| =
R∞
f (x, α + ∆α)dx −
a
RA
|f (x, α + ∆α) − f (x, α)|dx +
a
R∞
R∞
|f (x, α + ∆α)|dx +
A
R∞
f (x, α)dx ≤
a
|f (x, α)|dx. По условиям теоремы, функция f (x, α)
A
непрерывна при x ∈ [x, A < ∞] и α ∈ [c, d], и, следовательно, согласно тереме Кантора, равномерно непрерывна на этом множестве. Это значит, что бесконечно малому изменению аргумента α этой функции соответствует бесконечно малое изменение самой функции при любом значении α ∈ [c, d]. Иначе говоря, для любого α ∈ [c, d], при ∆α → 0 разность |f (x, α + ∆α) − f (x, α)| → 0, то есть эту разность можно сделать меньше любого наперед заданного числа: |f (x, α + ∆α) − f (x, α)| < ε/3(A − a). Тогда
RA
RA
ε
|f (x, α + ∆α) − f (x, α)|dx < ε/3(A − a) · dx = 3(A−a)
· (A − a) = ε/3.
a
a
Вследствие равномерной сходимости интеграла
неравенства
R∞
|f (x, α + ∆α)|dx < ε/3 и
A
R∞
R∞
f (x, α)dx, при A > ∆(ε) одновременно выполнятся оба
a
|f (x, α)|dx < ε/3 сразу для всех α ∈ [c, d].
A
В итоге: ∆H < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε - бесконечно малому изменению аргумента α функции H(α) соответствует бесконечно малое изменение самой функции H(α) - то есть функция непрерывна. Теорема доказана.
Прежде чем переходить к другим свойствам, связанным с дифференцированием и интегрированием по паR∞
раметру, отметим следующий факт. Если интеграл
f (x, α)dx = H(α) сходится при каждом α ∈ [c, d], то
a
какова бы ни была последовательность {A1 , A2 , A3 , ..., Ak , ...}, где Ak → ∞ при k → ∞, соответствующая
A
Rk
последовательность функций Hk (α) = f (x, α)dx сходится к H(α) на сегменте [c, d]. А что, если интеграл
R∞
a
f (x, α)dx = H(α) сходится равномерно? Что происходит с последовательностью {Hk (α)}?
a
Теорема. Для равномерной сходимости интеграла
R∞
f (x, α)dx = H(α) на сегменте [c, d] необходимо и
a
достаточно чтобы при любом выборе последовательности {A1 , A2 , A3 , ..., Ak , ...}, где Ak → ∞ при k → ∞,
A
Rk
соответствующая последовательность функций Hk (α) =
f (x, α)dx сходилась равномерно к H(α) на
a
сегменте [c, d].
Аналогичная теорема, очевидно, имеет место и для несобственных интегралов второго рода:
Rb
Теорема. Для равномерной сходимости интеграла K(α) = f (x, α)dx на сегменте [c, d] необходимо и
a
достаточно чтобы при любом выборе последовательности {λ1 , λ2 , λ3 , ..., λn , ...}, где λn → 0 при n → ∞,
b−λ
R n
соответствующая последовательность функций Kn (α) =
f (x, α)dx равномерно сходилась к K(α) на
a
сегменте [c, d].
— 89 —
Эти теоремы примем без доказательства ввиду их очевидности, а сейчас будем просто на них опираться.
Теорема 2∗∗ (о дифференцируемости по параметру). Пусть f (x, α) и fα0 (x, α) - непрерывные функции
R∞
R∞ 0
a ≤ x < ∞,
на полуполосе
, интеграл H(α) = f (x, α)dx сходится, а интеграл
fα (x, α)dx сходится
c≤α≤d
a
a
равномерно на сегменте [c, d]. Тогда H(α) является дифференцируемой функцией на [c, d], и Hα0 (α) =
R∞ 0
fα (x, α)dx.
a
Доказательство. Возьмём произвольную последовательность {A1 , A2 , A3 , ..., Ak , ...}, где Ak → ∞ при
A
Rk
k → ∞, и рассмотрим последовательность функций Hk (α) =
f (x, α)dx, равномерно сходящуюся на
a
R∞
сегменте [c, d] к функции H(α) =
f (x, α)dx. Так как
a
A
Rk
от параметра, то Hk0 (α) =
A
Rk
f (x, α)dx - собственные интегралы, зависящие
a
fα0 (x, α)dx, причём все Hk0 (α) - непрерывные функции. В силу равномерной
a
сходимости интеграла
R∞
a
равномерно к интегралу
fα0 (x, α)dx, последовательность Hk0 (α) =
R∞
fα0 (x, α)dx. В итоге: Hα0 (α) =
a
R∞
A
Rk
fα0 (x, α)dx, при k → ∞, сходится
a
fα0 (x, α)dx. Теорема доказана.
a
∗∗
Теорема 4 (об интегрируемости∞по параметру). Если f (x, α) - функция, непрерывная на полуполосе
R
a ≤ x < ∞,
, а интеграл H(α) = f (x, α)dx сходится равномерно на сегменте [c, d], то выполняется
c≤α≤d
a
!
Rd
Rd R∞
R∞ Rd
равенство: H(α)dα =
f (x, α)dx dα =
f (x, α)dα dx.
c
c
a
a
c
Доказательство. Как и выше, рассмотрим последовательность Hk (α) =
дящуюся на сегменте
к функции
[c, d]
H(α) =
R∞
a
A
Rk
f (x, α)dx, равномерно схо-
a
По теореме об интегрировании собствен!
!
Rd
Rd A
Rk
f (x, α)dα dx = lim
f (x, α)dx dα =
f (x, α)dx.
A
Rk
ных интегралов, зависящих от параметра, имеем: lim
k→∞ a
k→∞ c
c
!
A
Rd
Rk
Rd R∞
Rd
lim
f (x, α)dx dα =
f (x, α)dx dα = H(α)dα.
k→∞ a
c
c
a
! c
Rd
R∞ Rd
Таким образом, H(α)dα =
f (x, α)dα dx, что и требовалось доказать.
c
a
a
c
ЛЕКЦИЯ 45.
10.9. Классы несобственных интегралов, зависящих от параметра, вычисляемых с помощью
дифференцирования и интегрирования по параметру.
∞
R∞ −βx sin αx
R
◦
sin αx
e
1 . D(α) =
x dx. Рассмотрим вспомогательный интеграл D(α, β) =
x dx, (β > 0),
0
0
который мы уже вычислили раньше, см. лекцию 43. Можно показать, что рассматриваемый нами вспомогательный интеграл сходится равномерно при 0 < β < ∞, и тогда он является
∞ непрерывнойфункцией параметра
R −βx sin αx
R∞ sin αx
β. Значит, мы можем перейти к пределу: D(α) =
lim
e
= lim arctg α
x dx = β→0+0
x dx
β =
β→0+0
0
0

 π
 2 , α > 0
0, α = 0
= π2 sgnα. Этот интеграл называется интегралом Дирихле, или разрывным множителем

 π
−2, α < 0
Дирихле.
R∞
◦
2
2 . Интеграл Пуассона - Эйлера. P = e−x dx. Сделаем подстановку x = ut, где u, - параR∞
0
−u2 t2
2
udt. Умножим этот интеграл на e−u и проинтегрируем резуль0
R∞
R∞ R∞ −u2 t2
R∞ R∞ −(1+t2 )u2
2
2
тат по параметру u : P e−u du =
e
udt e−u du. Отсюда: P2 =
e
udu dt =
0
0
0
0
0
√
√
2 2 ∞
R∞
R∞ dt
R∞ −x2
π
π
1 e−(1+t )u
1
π
π
2
−2
dt
=
=
.
Таким
образом,
P
=
,
P
=
,
e
dx
=
2
2
1+t
2
1+t
4
4
2
2
метр, dx = udt. Тогда P =
0
0
0
e
0
— 90 —
R∞
Следствие 1. P(α) =
Следствие 2. J(β) =
0
R∞
R∞
показать, что интеграл
2
e−αx dx, α > 0. Сделаем замену:
√
αx = t. Тогда P(α) =
√1
α
R∞
2
e−t dt =
0
1
2
pπ
α.
2
e−αx cos βxdx, α > 0. Используя мажорантный признак Вейерштрасса, легко
0
R∞
2
e−αx cos βxdx сходится, а интеграл
0
2
(−x)e−αx sin βxdx сходится равномер-
0
при 0 ≤ β < ∞. Следовательно, мы имеем право заносить знак производной под
R∞
2
интеграл. Продифференцируем исходный интеграл по параметру β : Jβ0 (α, β) = (−x)e−αx cos βxdx =
но по параметру β
R∞
1
− 2α
0
−αx2
e
2
cos βxd(αx ). Вычисляя этот интеграл по частям, получим очень простое дифференциальное урав-
0
β
β
нение Jβ0 (α, β) = − 2α
J(β). Решая его, получим J(β) = Ce− 4α . Постоянную интегрирования C найдём из
R∞ −αx2
pπ
pπ − β
условия J(0) = e
dx = 21 α
= C. Следовательно, J(β) = 12 α
e 4α .
0
R∞
R∞
sin x2 dx.
√
√ q
R∞
R∞
p
2
π −π
1
4 =
J1 − iJ2 = (cos x2 − i sin x2 )dx = e−ix dx = 12 πi = 2π
iπ =
2 e
e 2
0
0
√ √ √
p
p
p
π
2
2
= 12 π2 − i 12 π2 . Следовательно, J1 = J2 = 12 π2 .
2 −i 2
2
R∞
R∞
p
Таким образом, cos x2 dx = sin x2 dx = 12 π2 .
Следствие 3. Интегралы Френеля. J1 =
cos x2 dx, J2 =
0
0
f (bx)−f (ax)
dx,
x
0
◦
1 . Пусть
f 0 (x)
∞
R
f 0 (x)dx = f (∞) − f (0). Тогда:
∞
R
0
f (bx)−f (ax)
dx
x
Доказательство. Легко видеть, что наш интеграл может быть представлен в виде
∞
R
0
a
− i sin π4 ) =
0 < a < b.
0
f 0 (αx)dα =
π
π
2 (cos 4
непрерывна и интегрируема на полупрямой [a, ∞), а предел функции f (x) при x → ∞ конечен:
f (∞), что эквивалентно равенству
Rb
√
0
∞
R
Интегралы Фрулани.
0
f (αx) b
x
a
=
f (bx)−f (ax)
.
x
∞
R
Докажем, что интеграл
lim f (x) =
x→+∞
= (f (∞) − f (0)) ln ab .
f (bx)−f (ax)
dx
x
=
∞
R
Rb
0
a
!
f 0 (αx)dα
dx, так как
f 0 (αx)dx сходится равномерно относительно параметра α ∈ [a, b].
0
В самом деле, так как существует конечный предел
lim f (x) = f (∞), то по критерию Коши существования предела функции имеем:
x→+∞
для ∀ ε > 0 ∃ ∆(ε) > 0 такое, что при всех x0 > ∆(ε) и x00 > ∆(ε) выполнится неравенство |f (x00 ) − f (x0 )| < ε. Но
00
00
A
αA
R 0
R
f (αA00 )−f (αA0 )
f (x00 )−f (x0 )
1
1
1
тогда
f (αx)dx = α
f 0 (t)dt =
≡
< ε при всех A0 > α
∆(ε) и A00 > α
∆(ε)
α
α
A0
αA0
при ∀ α ∈ [a,!
b]. Равномерная сходимость доказана. Это означает, что мы имеем право менять порядок интегрирования в интеграле
∞
R Rb 0
Rb ∞
R 0
Rb f (∞)−f (0)
f (αx)dα dx =
f (αx)dx dα =
dα = (f (∞) − f (0)) ln ab .
α
0
a
a
Таким образом,
∞
R
0
a
0
f (bx)−f (ax)
dx
x
= (f (∞) − f (0)) ln ab .
◦
2 . Предположим теперь, что конечного предела функции f (x) при при x → ∞ не существует, но интеграл
при ∀ A > 0 и ∃ f (0). Тогда
∞
R
0
A
f (bx)−f (ax)
dx
x
Доказательство. Рассмотрим интеграл
as
R
0
получим:
as
R
0
Rbs f (t)−f (0)
0
t
f (t)−f (0)
dt
t
dt −
as
R
0
=
Rs
0
f (t)−f (0)
dt
t
f (ax)−f (0)
dx.
x
=
Rbs f (t)−f (0)
as
t
∞
R
0
f (bx)−f (ax)
dx
x
f (x)
dx
x
сходится
= −f (0) ln ab .
f (t)−f (0)
dt.
t
Аналогично:
Сделаем в этом интеграле замену переменной t = ax,
Rbs
0
dt =
Rs
0
f (t)−f (0)
dt
t
f (bx)−f (ax)
dx,
x
этом равенстве к пределу при s → ∞, получим: 0 − f (0) ln
Таким образом,
∞
R
b
a
=
∞
R
0
или
=
Rs
0
f (bx)−f (0)
dx.
x
Rbs f (t)
as
t
dt − f (0)
Вычтем из второго равенства первое:
Rbs dt
as
dt = adx,
t
=
Rs
0
f (bx)−f (ax)
dx.
x
Перейдём в
f (bx)−f (ax)
dx.
x
= −f (0) ln ab , что и утверждалось.
10.10. Гамма - функция Эйлера и её свойства.
Сейчас мы приступаем к изучению специальных функций, а именно к изучению Гамма и Бета функций Эйлера, которые ещё называются интегралами Эйлера второго и первого рода. Эти функции не относятся к классу
элементарных функций, рассмотрением которых мы до сих пор ограничивались.
— 91 —
R∞
Гамма - функция - это комбинированный несобственный интеграл, зависящий от параметра p :
Γ(p) =
xp−1 e−x dx. Особые точки - 0 и ∞. Для исследования поведения интеграла в окрестности этих особых
0
точек представим интеграл в виде
R∞
xp−1 e−x dx =
0
R1
xp−1 e−x dx +
0
R∞
xp−1 e−x dx. Первый интеграл сходится при
1
p > 0, так как в окрестности нуля xp−1 e−x ∼ xp−1 , а второй интеграл сходится при любых p, поскольку
p−1
p−1
xp−1
. Отсюда видно, что при x → ∞ экспонента "сильxp−1 e−x = xex = 1+x+ 1 x2 + 1xx3 +...+ 1 xn +... = P
∞
2!
3!
n!
n=0
1 n
n! x
нее" любой степенной функции и интеграл сходится при любом значении параметра p. Коротко, это можно
сформулировать так: в первом случае подинтегральная функция мажорируется функцией xp−1 , во втором функцией e−x .
R∞
Таким образом, интеграл Γ(p) = xp−1 e−x dx сходится при любом 0 < p < ∞.
Свойство 1. Интеграл Γ(p) =
xp−1 e−x dx сходится равномерно на любом отрезке [p0 , P0 ], где p0 >
0
0, P0 < ∞.
Доказательство.
0
R∞
Γ(p) =
R∞
xp−1 e−x dx =
0
R1
xp−1 e−x dx +
0
R∞
xp−1 e−x dx. Но интеграл
1
R1
xp−1 e−x dx
0
сходится равномерно при p0 ≤ p ≤ ∞ по мажорантному признаку, поскольку e−x xp−1 ≤ xp0 −1 когда
R1 p −1
p0 1
x ∈ (0, 1), а p ≥ p0 > 0, а мажоранта
x 0 dx = xp0
сходится при p0 > 0. Второй же интеграл
R∞
0
0
xp−1 e−x dx сходится равномерно при −∞ < p ≤ P0 < ∞, поскольку e−x xp−1 ≤ e−x xp0 −1 для x ∈
1
[1, +∞) и при −∞ < p ≤ P0 < ∞, а мажоранта
R∞
e−x xP0 −1 dx - сходится.
1
Подводя итоги, мы можем сказать, что оба интеграла сходятся равномерно для p ∈ [p0 , P0 ].
R∞
Свойство 2. Γ(p) = xp−1 e−x dx является непрерывной функцией для p ∈ (0, ∞).
0
Доказательство. В самом деле, для любого p̄ ∈ (0, ∞) всегда найдутся p0 и P0 такие, что p̄ ∈ [p0 , P0 ],
R∞ p−1 −x
но так как несобственный интеграл
x e dx сходится равномерно на каждом таком отрезке, то Γ(p)
0
является непрерывной функцией своего аргумента.
Свойство 3. Γ(p) - дифференцируемая функция, имеющая производные любого порядка.
Доказательство. Продифференцируем Γ(p) по p под знаком интеграла. Получим
R∞
0
Γ (p) = xp−1 ln x e−x dx. Такое равенство справедливо, так как интеграл в правой части сходится равномерно
0
для любого p ∈ [p0 , P0 ], поскольку интегралы
R1
xp−1 ln x e−x dx и
R∞
xp−1 ln x e−x dx по мажорантному при-
1
0
знаку Вейерштрасса сходятся равномерно. В данном случае мажоранты - суть xp0 −1 |ln x| и xP0 −1 |ln x| e−x .
R∞
Аналогично доказывается существование Γ(k) (p) = xp−1 lnk xe−x dx, k = 2, 3, ... .
0
Свойство 4. Рекуррентная формула для Гамма-функции: Γ(p + 1) = p Γ(p).
R∞
Доказательство. p Γ(p) = p xp−1 e−x dx. Возьмём этот интеграл по частям. Положим u = e−x , dv =
0
xp−1 dx, тогда du = −e−x dx, v = p1 xp . В результате p
R∞
0
∞
xp−1 e−x dx = xp e−x |0 +
R∞
xp e−x dx = Γ(p + 1).
0
Таким образом, p Γ(p) = Γ(p + 1), что и требовалось доказать.
Следствие 1.
Γ(n + 1) = n · Γ(n) = n · (n − 1) · Γ(n − 1) = n · (n − 1) · (n − 2) · Γ(n − 2) = ... =
R∞
n · (n − 1) · (n − 2) · ... · 2 · Γ(1) = n · (n − 1) · (n − 2) · ... · 2 · 1 = n!, поскольку Γ(1) = e−x dx = 1.
0
Таким образом, Γ(n + 1) = n!
Следствие 2. Γ(a + n) = (a + n − 1) · Γ(a + n − 1) = ... = (a + n − 1) · (a + n − 2) · ... · (a + 1) · Γ(a), ∀a > 0.
При a = 12 , Γ(n + 12 ) = (n − 12 ) · (n − 32 ) · ... · 32 · 12 · Γ( 12 ) = (2n−1)·(2n−3)·...·3·1
· Γ( 12 ) = (2n−1)!!
· Γ( 12 ). Но
2n
2n
∞
∞
√
R
R
√
2
1
Γ( 12 ) = x− 2 e−x dx = (x = t2 , dx = 2tdt) = 2 e−t dx = 2 2π = π.
0
0
√
· π.
Таким образом, Γ(n + 21 ) = (2n−1)!!
2n
— 92 —
Свойство 5. Заметим, что Γ(p) → +∞, Γ(p) → +∞, Γ(2) = 1, Γ(1) = 1. так что, по теореме Ролля,
p→∞
p→0+0
между p = 1 и p = 2 должен лежать корень производной Γ0 (p) = 0. Ясно, что это - минимум. Вычисление,
которое мы здесь не приводим, даёт min Γ(p0 ) = 0, 8856... при p0 = 1, 4616...
ЛЕКЦИЯ 46.
10.11. Бета-функция и её свойства.
Бета - функция - это несобственный интеграл второго рода, зависящий от двух параметров p и q :
1
def R p−1
x (1 − x)q−1 dx. Он сходится при p > 0, q > 0. Приведённая выше формула - основная для
B(p, q) =
0
определения бета - функции. Часто для бета - функции используют другое выражение через комбинированный
z
1
1
несобственный интеграл. Для этого сделаем замену переменной x = 1+z
. Тогда 1 − x = 1+z
, dx = (1+z)
2 dz.
∞
∞
R zp−1
R
p−1
1
dz
z
В итоге имеем: B(p, q) = (1+z)p−1 · (1+z)
q−1 · (1+z)2 =
(1+z)p+q dz.
0
0
Таким образом, имеем два равноценных представления для бета - функции B(p, q) :
R1
R∞ xp−1
B(p, q) = xp−1 (1 − x)q−1 dx и B(p, q) = (1+x)
p+q dx.
0
0
Свойство 1. Симметричность.
B(p, q) =B(q, p)
R1 p−1
Доказательство. В интеграле
x (1 − x)q−1 dx сделаем замену 1 − x = t, x = 1 − t, dx = −dt.
0
R0
p−1 q−1
Тогда B(p, q) = − (1 − t)
t
dt =
1
R1
p−1
tq−1 (1 − t)
dt = B(q, p), что и требовалось доказать.
0
q−1
Свойство 2. Формула понижения. Если q > 1, то B(p, q) = p+q−1
B(p, q − 1), если же p > 1, то
p−1
B(p, q) = p+q−1 B(p − 1, q).
R1
Доказательство. Возьмём интеграл xp−1 (1 − x)q−1 dx по частям. Для этого положим u = (1 − x)q−1 ,
0
du = (q − 1)(1 − x)q−2 d(−x), dv = xp−1 dx, v = p1 xp .
1
R1
Получим: xp−1 (1 − x)q−1 dx = p1 xp (1 − x)(q−1) +
0
0
=
R1
xp (1 − x)q−2 dx =
0
R1 p−1
xp−1 (1 − x)(q−1)−1 dx − q−1
x (1 − x)(q−1) dx.
p
0
0
0
q−1
q−1
q−1
B(p, q) = q−1
B(p,
q
−
1)
−
B(p,
q).
B(p,
q)
1
+
=
B(p,
q
−
1).
p
p
p
p
q−1
p
R1
q−1
p
xp−1 [1 − (1 − x)](1 − x)q−2 dx =
q−1
p
R1
p−1
B(p − 1, q), что и утверждалось.
Окончательно, B(p, q) = p+q−1
Вследствие симметрии аргументов, аналогичная формула имеет место и в случае если p > 1. Для этого в
последней формуле надо поменять местами p и q.
Свойство 3. Связь между бета и гамма функциями Эйлера. B(p, q) = Γ(p)Γ(q)
Γ(p+q) .
R∞ p−1 −x
Доказательство. В формуле Γ(p) = x e dx сделаем замену x = αz, (α > 0), dx = αdx, по-
лучим Γ(p) =
R∞
α
p−1 p−1 −αz
z
e
αdz =
0
R∞
0
Γ(p+q)
(1+t)p+q
0
p p−1 −αz
α z
R∞
e
dz.
Γ(p)
αp
=
R∞
z p−1 e−αz dz. Заменим в последней формуле
0
z p+q−1 e−(1+t)z dz. Умножим полученное выражение на tp−1 и про
R∞ tp−1
R∞ R∞ p+q−1 −(1+t)z
интегрируем результат по t от 0 до ∞ : Γ(p + q) · (1+t)
dt
=
z
e
dz
tp−1 dt.
p+q
0
0 0
R∞ R∞ p−1 −z −tz p+q−1
Поменяем порядок интегрирования в правой части: Γ(p + q) · B(p, q) =
t e e z
dt dz =
0
0
R∞ R∞ q−1 −z
z
e dz (zt)p−1 e−(zt) d(zt) = Γ(q) · Γ(p).
α на 1 + t, p на p + q :
0
=
0
0
Таким образом, B(p, q) = Γ(p)Γ(q)
Γ(p+q) , что и утверждалось.
Свойство 4. Формула дополнения. B(p, 1 − p) = sinπpπ , 0 < p < 1. С учетом предыдущего свойства, эта
формула примет вид Γ(p) · Γ(1 − p) = sinπpπ . Эта формула называется формулой дополнения.
Доказательство. Для доказательства этой формулы воспользуемся вторым представлением бета - функции. Нам необходимо вычис∞
R xp−1
лить интеграл B(p, 1 − p) =
dx.
1+x
0
— 93 —
Рассмотрим интеграл J =
∞
R
0
x2m
dx,
1+x2n
0 < m < n, m и n - натуральные числа. Так как
√
2n
Корни знаменателя подинтегральной функции равны xk =
∞
R
Поскольку подинтегральная функция чётная, то J =
0
+A
R
x2m
dx
1+x2n
−A
2n−1
P
=
ck
k=0
2n−1
R
P +A
=
k=0 −A
1
2
ln
ck
dx
x−(ak +ibk )
(A−ak )2 +b2
k
(A+ak )2 +b2
k
+ i arctg
2n−1
R
P +A
=
k=0 −A
A−ak
bk
− arctg
∞
R
Переходим к пределу при A → ∞, тогда
−∞
iπ 2k+1
2n
i π+2πk
2n
−1 = e
x2m
dx
1+x2n
ck (x−(ak −ibk ))
dx
(x−ak )2 +b2
k
−A−ak
bk
x2m
dx
1+x2n
−∞
k
,
x2
то интеграл сходится.
.
x2m
dx.
1+x2n
2n−1
P
=
<
(
ck
k=0
Вычислим вспомогательный интеграл
)
+A
+A
R
R
(x−ak )
bk
dx
+
i
dx
=
(x−a )2 +b2
(x−a )2 +b2
−A
k
k
k
−A
k
.
2n−1
P
=
=e
∞
R
1
2
=
x2m
1+x2n
k=0
ck 0 + i( π2 +
π
)
2
= iπ
2n−1
P
ck .
k=0
x2n
Как найти ck ? Заметим, что 1 +
= (x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )...(x − x2n−1 ).
Продифференцируем это выражение, получим: 2nx2n−1 = (x − x1 )(x − x2 )...(x − x2n−1 ) + (x − x0 ) · (x − x2 )...(x − x2n−1 ) +
2m
x
(x−x0 )(x−x1 )·(x−x3 )...(x−x2n−1 )+...+(x−x0 )(x−x1 )(x−x2 )...(x−x2n−2 ). При разложении дроби 1+x
2n на простейшие, имеем
2n−1
P
2m
c0 (x−x1 )(x−x2 )...(x−x2n−1 )
c1 (x−x0 )·(x−x2 )...(x−x2n−1 )
c2n−1 (x−x0 )(x−x1 )...(x−x2n−2 )
x
1
=
ck x−x
= (x−x
+ (x−x
+...+ (x−x
=
)(x−x )(x−x )...(x−x
)
)(x−x )(x−x )...(x−x
)
)(x−x )(x−x )...(x−x
)
1+x2n
=
k
k=0
c0 (x−x1 )(x−x2 )...(x−x2n−1 )
1+x2n
0
+
1
2
0
2n−1
c1 (x−x0 )·(x−x2 )...(x−x2n−1 )
1+x2n
1
2
0
2n−1
1
2
2n−1
c2n−1 (x−x0 )(x−x1 )...(x−x2n−2 )
.
1+x2n
+ ... +
Положим здесь x = xk , тогда все слагаемые, кроме слагаемого, содержащего ck , обратятся в нуль. Получим:
x2m
k
1+x2n
k
ck · (xk − x0 )(xk − x1 )...(xk − xk−1 )(xk − xk+1 )...(xk − x2n−1 ). Сравним это выражение с выражением для производной от
Из этого сравнения видно, что 2n · x2n−1
= (xk − x0 )(xk − x1 )...(xk − xk−1 )(xk − xk+1 )...(xk − x2n−1 ). Следовательно,
k
1
1+x2n
k
· ck · 2n · x2n−1
, или x2m
= ck · 2n · x2n−1
. ck =
k
k
k
x2m+1
x2m+1
k
2n·x2n
k
iπ 2k+1
2n
x2m
k
2n·x2n−1
k
=
1
1+x2n
k
1 + x2n .
=
x2m
k
1+x2n
k
·
=
. Поскольку xk - корень уравнения 1 + x2n = 0, то
(2k+1)(2m+1)
1
k
2n
x2n
и, следовательно, ck = − 2n
· eiπ
. В итоге
k = −1. Поэтому ck = − 2n . Выше мы показали, что xk = e
+∞
2n−1
(2k+1)(2m+1)
R x2m
P
iπ
1
2n
dx = iπ
− 2n
·e
. Просуммировав получившуюся в правой части геометрическую прогрессию, получим:
1+x2n
−∞
+∞
R
−∞
k=0
x2m
dx
1+x2n
dx =
=
π
n
1
1
z 2n −1 dz.
2n
∞
R zp−1
dz
1+z
0
=
1
.
sin 2m+1
π
2n
·
Тогда J =
Тогда J =
∞
R
0
1
2n
∞
R
0
z
x2m
dx
1+x2n
2m+1 −1
2n
1+z
dz =
π
2n
=
·
π
2n
·
1
.
sin 2m+1
π
2n
1
,
sin 2m+1
π
2n
или
1
Сделаем замену переменной в интеграле, положив x = z 2n ,
∞
R
0
z
2m+1 −1
2n
1+z
π
.
sin pπ
Таким образом, B(p, 1 − p) =
∞
R xp−1
dx
1+x
0
=
π
,
sin pπ
что и требовалось доказать.
dz =
π
.
sin 2m+1
π
2n
Полагая
2m+1
2n
= p, получим
Глава 11
Кратные, криволинейные,
поверхностные интегралы.
ЛЕКЦИЯ 47.
11.1. Квадрируемые и кубируемые фигуры. Свойства площадей и объёмов.
Определение 1. Всякое ограниченное множество точек плоскости D называется фигурой.
Будем рассматривать многоугольники P, целиком лежащие внутри D, и многоугольники Q, целиком
содержащие фигуру D. Площади этих многоугольников будем обозначать символами S(P ) и S(Q). Так как
множество P ограничено сверху, а множество S(P ) монотонно растёт и ограничено сверху, то существует
точная верхняя грань s = sup{S(P )}. Аналогично, множество S(Q) - монотонно убывает и ограничено снизу,
поэтому существует точная нижняя грань S = inf{S(Q)}. Очевидно, что s ≤ S.
def
Определение 2. Фигура D называется квадрируемой, если s = S = SD . SD называется площадью
фигуры D .
Определение 3. Говорят, что множество точек K имеет площадь равную нулю, если это множество может
быть погружено в многоугольник Q сколь угодно малой площади, то есть для любого сколь угодно малого
ε > 0 существует многоугольник Q, такой, что S(Q) < ε, где Q ⊃ K.
Теорема 1. Всякая непрерывная кривая конечной длины l имеет площадь, равную нулю (имеет меру нуль
на плоскости).
Доказательство. Разобъём кривую (n + 1) точками на части длины nl и построим квадраты с центрами в этих точках с длиной стороны 2l
n . Объединение этих квадратов и есть многоугольник, содержащий
2
кривую.Площадь этого многоугольника S ≤ 2l
· (n + 1) = 4l2 n+1
n
n2 . Но для любого сколь угодно малого
ε
2 n+1
ε > 0 неравенство 4l n2 < ε выполнится, когда выполнится неравенство n+1
n2 < 4l2 . Ясно, что всегда
найдётся такое натуральное число N (ε), что при всех n > N (ε) выполнится S < ε.
Тем самым мы показали, что кривая может быть погружена в многоугольник сколь угодно малой площади.
Теорема доказана.
Теорема 2. Всякая плоская фигура D , граница которой состоит из одной или нескольких непрерывных
кривых конечной длины, квадрируема.
Доказательство. Каждую из кривых, ограничивающих фигуру, согласно теореме 1, можно погрузить в многоугольник сколь угодно малой площади, а значит и всю границу фигуры можно погрузить в многоугольник сколь
угодно малой площади. Тогда очевидно неравенство S(Q) − S(P ) < ε, где P и Q многоугольники, целиком
лежащие внутри фигуры D и целиком содержащие фигуру D. Но S(P ) ≤ s ≤ S ≤ S(Q), Следовательно,
S − s < ε. В силу произвольности ε, S = s - фигура квадрируема.
Свойства площадей квадрируемых фигур.
◦
1 . Если D1 и D2 - квадрируемые фигуры без общих внутренних точек (границы могут быть общими), и
D = D1 ∪ D2 , то SD = SD1 + SD2 .
◦
2 . Пусть D = D1 ∩D2 . Общая часть D двух квадрируемых фигур D1 и D2 - есть квадрируемая фигура.
Действительно, каждая точка, граничная для D, является граничной либо для D1 , либо для D2 . В таком
случае применима теорема 2, поскольку очевидно, что граница D состоит по крайней мере из двух, а может
быть и большего числа, непрерывных кривых конечной длины. А всякая плоская фигура D , граница которой
состоит из одной или нескольких непрерывных кривых конечной длины, квадрируема.
Определение 1∗ . Всякое ограниченное множество Ω точек пространства называется фигурой.
Будем рассматривать многогранники P, целиком лежащие внутри D, и многогранники Q, целиком
содержащие фигуру Ω. Объёмы этих многогранников будем обозначать символами V (P ) и V (Q). Так как
94
— 95 —
множество P ограничено сверху, а множество V (P ) монотонно растёт и ограничено сверху, то существует
точная верхняя грань v = sup{V (P )}. Аналогично, множество V (Q) - монотонно убывает и ограничено снизу,
поэтому существует точная нижняя грань V = inf{V (Q)}. Очевидно, что v ≤ V.
Определение 2∗ . Пространственная фигура Ω называется кубируемой (имеет пространственную меру),
если v = V = VΩ . VΩ называется объёмом фигуры.
Определение 3∗ . Говорят, что некоторое множество точек в пространстве имеет меру нуль (объём равный
нулю), если это множество можно заключить в многогранную фигуру сколь угодно малого объёма, то есть, если
для любого сколь угодно малого ε > 0 существует многогранник Q такой, что V (Q) < ε.
Теорема 1∗ . Всякая гладкая ограниченная поверхность имеет объём равный нулю (имеет меру нуль).
Теорема 2∗ . Всякая пространственная фигура, ограниченная конечным числом гладких ограниченных поверхностей кубируема.
Доказательство этих теорем полностью аналогично доказательству теорем 1 и 2 для квадрируемых фигур,
поэтому приводить здесь эти доказательства мы не будем.
Свойства объёмов кубируемых фигур.
1∗ . Если Ω1 и Ω2 - кубируемые фигуры без общих внутренних точек (границы могут быть общими), и
Ω = Ω1 ∪ Ω2 , то VΩ = V (Ω1 ) + V (Ω2 ).
2∗ . Общая часть Ω двух кубируемых фигур Ω1 и Ω2 - есть кубируемая фигура.
11.2. Двойные и тройные интегралы. Определения.
Двойной интеграл. Пусть D - квадрируемая фигура. Разобъём её произвольным образом непрерывными
кривыми на n квадрируемых частей Di . Площадь каждой части обозначим символом ∆Si . Внутри каждой
части Di произвольным образом выберем точку Mi (ξi , ηi ). Пусть в каждой точке D определена ограниченная
n
n
P
P
функция двух переменных f (x, y). Составим интегральную сумму σ =
f (Mi )∆Si ≡
f (ξi , ηi )∆Si .
i=1
i=1
Пусть λ = max{d(Di )}, где {d(Di )} - множество диаметров части Di , d = max{ρ(A, B)} - максимальный
диаметр разбиения, а ρ(A, B) - расстояние между двумя произвольными точками A ∈ Di и B ∈ Di .
существует двойной интеграл для функции f (x, y) по области D и пишут
R R Определение. RГоворят,что
R
f (x, y)dxdy (≡
f (M )dS), если существует конечный предел J интегральных сумм при λ → 0, то есть
D
D
для любого сколь угодно малого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что как
R Rтолько выполнится неравенство
λ < δ(ε), так сразу выполнится неравенство |σ − J| < ε (пишут lim σ =
f (x, y)dxdy ), при условии, что
λ→0
D
этот предел не зависит ни от способа разбиения D на части, ни от выбора точек Mi (ξi , ηi ).
Тройной интеграл. Пусть Ω - кубируемая фигура и пусть f (x, y, z) - ограниченная функция в Ω. Разобъём область Ω произвольным образом на n кубируемых частей Ωi с объёмом Vi = V (Ωi ), в каждой такой
n
P
области произвольно выбираем точку Mi (ξi , ηi , ζi ). Составим интегральную сумму σ =
f (Mi )∆Vi ≡
n
P
i=1
f (ξi , ηi , ζi )∆Vi . Пусть λ = max{d(Ω1 ), d(Ω2 ), ..., d(Ωn )}, где d(Ωi ) = max{ρ(A, B)} - максимальный
i=1
диаметр разбиения, а ρ(A, B) - расстояние между двумя произвольными точками A ∈ Ωi и B ∈ Ωi .
Определение. Говорят, что существует тройной интеграл для функции f (x, y, z, ) если существует конечный предел J интегральных сумм при λ → 0, то есть существует lim σ = J, не зависящий ни от способа
λ→0
разбиения Ω на части, ни от выбора точек Mi (ξi , ηi , ζi ).
n
RRR
RRR
P
Пишут J = lim σ = lim
f (ξi , ηi , ζi )∆Vi =
f (x, y, z)dV =
f (x, y, z)dxdydz.
λ→0
λ→0 i=1
Ω
Ω
Условия существования двойного интеграла. Построим суммы Дарбу. Пусть Mi = sup f (x, y), где
n
n
P
P
(x, y) ∈ Di , и mi = inf f (x, y), (x, y) ∈ Di . Тогда S =
Mi ∆Si - верхняя сумма Дарбу, s =
mi ∆Si i=1
i=1
нижняя сумма Дарбу. Ясно, что s ≤ σ ≤ S.
Как и в случае однократных интегралов, имеет место теорема существования двойного интеграла (теорема
об интегрируемости функции f (x, y) ).
Теорема. Ограниченная на D функция f (x, y) интегрируема тогда и только тогда, когда для любого сколь
угодно малого ε > 0 существует такое разбиение D на части, что |S − s| < ε.
n
P
Условия существования тройного интеграла. Составим суммы Дарбу: S =
Mi ∆Si - верхняя сумма
Дарбу, s =
n
P
i=1
mi ∆Si - нижняя сумма Дарбу. Ясно, что s ≤ σ ≤ S.
i=1
Теорема. Ограниченная на множестве Ω функция f (x, y, z) интегрируема на этом множестве тогда и
только тогда, когда для любого сколь угодно малого ε > 0 существует такое разбиение Ω на части, что
|S − s| < ε.
— 96 —
11.3. Классы интегрируемых функций и свойства двойного и тройного интеграла.
Теорема 1. Всякая непрерывная в области D функция f (x, y) интегрируема в этой области.
Доказательство. Поскольку D, вследствие квадрируемости, компактное (то есть ограниченное и замкнутое) множество, то непрерывная на этом множестве функция f (x, y) является на этом множестве равномерно
непрерывной функцией. Это значит, что для любого сколь угодно малого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое,
ε
что как только выполнится неравенство λ < δ(ε), так сразу выполнится неравенство |Mi − mi | < S(D)
, где
n
n
P
P
ε
ε
S(D) - площадь области D. тогда |S − s| =
(Mi − mi ) ∆Si < S(D)
∆Si = S(D)
S(D) = ε. Тем самым
i=1
i=1
мы показали, что всегда существует такое разбиение области D (иначе говоря, такое измельчение разбиения
области D ), что разность между верхней и нижней суммами Дарбу можно сделать меньше любого сколь угодно
малого числа - условие интегрируемости функции.
Теорема 2. Если ограниченная в области D функция f (x, y) непрерывна в этой области всюду, за
исключением некоторого множества меры нуль, то она интегрируема в D.
Доказательство. Проведём разбиение области D следующим образом. Пусть D1 - та часть D, которая содержит множество меры нуль, остальные части разбиения - D2 , D3 , ..., Dn - назначим произвольным
n
n
P
P
(Mi − mi ) ∆Si = (M1 − m1 )∆S1 +
(Mk − mk ) ∆Sk ≤ |M1 − m1 | ∆S1 +
образом. Тогда |S − s| =
i=1
n
P
k=2
|Mk − mk |∆Sk . Множество меры нуль всегда можно заключить в многоугольник сколь угодно малой пло-
k=2
щади, поэтому всегда можно считать, что ∆S1 < 2(M1ε−m1 ) . Здесь, поскольку функция f (x, y) ограничена в
D, разность (M1 −m1 ) - конечное число. В остальных частях разбиения функция f (x, y) непрерывна, поэтому
ε
всегда, за счёт измельчения разбиения, можно сделать так, чтобы |Mk − mk | < 2S(D\D
, (k = 2, 3, ...n). В
1)
итоге, |S − s| < ε - условие интегрируемости функции выполнено. Теорема доказана.
Теорема 1∗ . Всякая непрерывная в области Ω функция f (x, y, z) интегрируема в этой области.
Теорема 2∗ . Если ограниченная в области Ω функция f (x, y, z) непрерывна в этой области всюду, за
исключением некоторого множества меры нуль, то она интегрируема в Ω.
Доказательство этих теорем слово в слово повторяет доказательство теорем 1 и 2 для двойных интегралов,
поэтому повторять их мы здесь не будем.
Свойства
R R двойного интеграла. R R
RR
◦
1 .
(f (x, y) ± g(x, y))dxdy =
f (x, y)dxdy ±
g(x, y)dxdy
D
D
D
R
R
R
R
◦
2 .
C · f (x, y)dxdy = C ·
f (x, y)dxdy.
◦
D
D
3 . Если D R=RD1 ∪ D2 , D1 ∩RDR2 = ∅, D1 и D
R 2 R- квадрируемые фигуры, а f (x, y) интегрируема и в
D1 , и в D2 , то
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy +
f (x, y)dxdy.
D
◦
4 .
◦
RR
f (x, y)dxdy ≤
D
D1
RR
D2
|f (x, y)|dxdy.
D
5 . Теорема
R Rо среднем. Если f (x, y) - непрерывная в области D функция, то существует точка (ξ, η) ∈
D такая, что
f (x, y)dxdy = f (ξ, η) · S(D).
D
RR
◦
6 . Если m ≤ f (x, y) ≤ M, то m · S(D) ≤
f (x, y)dxdy ≤ M · S(D).
D
Свойства
RRR
RRR
R R R тройного интеграла.
g(x, y, z)dxdydz.
f (x, y, z)dxdydz ±
1∗ .
(f (x, y, z) ± g(x, y, z)) dxdydz =
Ω
Ω
Ω
R
R
R
R
R
R
2∗ .
C · f (x, y, z)dxdydz = C ·
f (x, y, z)dxdydz.
Ω
Ω
3∗ . Если
RRΩ
R = Ω1 ∪ Ω2 , Ω1 ∩ ΩR2 =
R ∅,
R Ω1 и Ω2 - кубируемые
R R R фигуры, а f (x, y, z) интегрируема и в Ω1 , и
в Ω2 , то
f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dxdydz +
f (x, y, z)dxdydz.
Ω
∗
4 .
RRR
Ω
Ω1
f (x, y, z)dxdydz ≤
RRR
Ω2
|f (x, y, z)| dxdydz.
Ω
5∗ . Теорема
R Rо Rсреднем. Если f (x, y, z) - непрерывная в области Ω функция, то существует точка (ξ, η, ζ) ∈
Ω такая, что
f (x, y, z)dxdydz = f (ξ, η, ζ) · V (Ω).
Ω
RRR
6∗ . Если m ≤ f (x, y, z) ≤ M, то m · V (D) ≤
f (x, y, z)dxdydz ≤ M · V (D).
Ω
Все перечисленные выше свойства вытекают непосредственно из определения двойных и тройных интегралов
и свойств их интегральных сумм.
— 97 —
ЛЕКЦИЯ 48.
11.4. Вычисление двойных и тройных интегралов в случае прямоугольных областей.
RR
Теорема о вычислении двойных интегралов. Если существует двойной интеграл
f (x, y)dxdy в пряD
Rd
a≤x≤b
моугольнике D :
, и для любого x ∈ [a, b] существует интеграл u(x) = f (x, y)dy, то существуc≤y≤d
c
!
!
Rb Rd
RR
Rb Rd
ет и повторный интеграл
f (x, y)dy dx и выполняется равенство
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dy dx.
a
c
a
D
c
Доказательство. Разобъём
Dik прямыми,
параллель прямоугольник D на частичные
прямоугольники
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b
xi−1 ≤ x ≤ xi
ными координатным осям:
, Dik =
. Пусть Mik =
c = y0 < y1 < y2 < ... < yn = d
yk−1 ≤ y ≤ yk
sup f (x, y), где (x, y) ∈ Dik , mik = inf(x, y), (x, y) ∈ Dik , Ясно, что mik ≤ f (x, y) ≤ Mik . Тогда
Ryk
Ryk
Ryk
Ryk
f (ξi , y)dy ≤ Mik · ∆yk . Суммируем:
dy, или mik · ∆yk ≤
f (ξi , y)dy ≤ Mik ·
dy ≤
mik ·
mik ∆yk ≤
Rd
yk−1
yk−1
yk−1
yk−1
m
P
Mik ∆yk . Умножим это выражение на ∆xi = xi − xi−1 и просуммируем по i
!
n P
m
m
n
n P
Rd
P
P
P
от i = 1 до i = n :
mik ∆yk ∆xi ≤
f (ξi , y)dy ∆xi ≤
Mik ∆yk ∆xi . Видим, что посредине
k=1
f (ξi , y)dy ≤
m
P
k=1
c
i=1 k=1
i=1
i=1 k=1
c
здесь стоит интегральная сумма, отвечающая функции u(x) =
Rd
f (x, y)dy, а слева и справа - нижняя и верх-
c
няя суммы Дарбу, отвечающие двойному интегралу
RR
f (x, y)dxdy. Следовательно, s ≤
n
P
u(ξi )∆xi ≤ S.
i=1
D
Увеличивая число элементов разбиения m и n до бесконечности,
то есть при R m
R → ∞ и n → ∞, так,
RR
f (x, y)dxdy. Это значит
f (x, y)dxdy, S =
что при этом ∆xi → 0, ∆yi , → 0, мы получим s =
D
D
!
Rb
Rb Rd
RR
u(x)dx =
f (x, y)dy dx =
f (x, y)dxdy, что и утверждалось. Теорема доказана.
a
a
c
D
Rb
Меняя роли x и y, то есть требуя существования интеграла v(y) = f (x, y)dx для любого y ∈ [c, d], мы
a
!
!
RR
Rd Rb
RR
Rd Rb
получим, что
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dx dy. Это значит, что
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dx dy =
c
a
c
a
D
!D
Rb Rd
f (x, y)dy dx.
a
c
Замечание. Последнее равенство полностью применимо к теореме о перестановке интегралов в теме "собственные интегралы, зависящие от параметра, (см. теорему 4 лекции 43)."
RRR
Теорема о вычислении тройных интегралов. Если существует тройной интеграл
f (x, y, z)dxdydz
Ω


a ≤ x ≤ b
для прямоугольного параллелепипеда Ω : c ≤ y ≤ d
и для ∀x ∈ [a, b], ∀y ∈ [c, d] существует инте

p≤z≤q
!
Rq
R R Rq
грал u(x, y) = f (x, y, z)dz, то существует и повторный интеграл
f (x, y, z)dz dxdy и имеет место
p
p
D
!
RRR
R R Rq
равенство
f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dz dxdy.
Ω
D
p
Доказательство. Плоскостями, параллельными
параллелепипед Ω
 координатным плоскостям, разобъём 
a = x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn−1 ≤ xn = b 
c = y0 ≤ y1 ≤ y2 ≤ ... ≤ ym−1 ≤ ym = d . Пусть Mikl =
на n · m · s малых параллелепипедов Ωikl :


p = z0 ≤ z1 ≤ z2 ≤ ... ≤ zs−1 ≤ zs = q
sup f (x, y, z), (x, y, z) ∈ Ωikl и mikl = inf f (x, y, z), (x, y, z) ∈ Ωikl . Пусть (ξi , ηk ) - произвольная
Rzl
Rzl
точка в Ωik , - проекции параллелепипеда Ωikl на плоскость xOy, тогда
mikl dz ≤
f (ξi , ηk , z)dz ≤
Rzl
zl−1
Mikl dz, то есть mikl ·∆zl ≤
Rzl
zl−1
zl−1
s
P
f (ξi , ηk , z)dz ≤ Mikl ·∆zl . Просуммируем:
l=1
zl−1
Rq
mikl · ∆zl ≤ f (ξi , ηk , z)dz ≤
p
— 98 —
s
P
s
m P
n P
P
Mikl · ∆zl .
mikl · ∆xi ∆yk ∆zl ≤
u(ξi , ηk )∆xi ∆yk ≤
s
m P
n P
P
Mikl · ∆xi ∆yk ∆zl . Посе-
i=1 k=1 l=1
i=1 k=1
i=1 k=1 l=1
l=1
m
n P
P
Rq
редине стоит интегральная сумма, отвечающая функции u(x, y) = f (x, y, z)dz, а слева и справа - нижняя
p
RRR
и верхняя суммы Дарбу, отвечающая тройному интегралу
f (x, y, z)dxdydz Увеличивая число элементов
Ω
n и s до бесконечности, то есть при m → ∞, n → ∞, и s → ∞, так, что при
! этом
RRR
R R Rq
f (x, y, z)dz dxdy.
∆xi → 0, ∆yi , → 0, и ∆zi → 0, мы получим s = S =
f (x, y, z)dxdydz =
p
Ω
D
a≤x≤b
Поскольку проекция параллелепипеда Ω на плоскость xOy - это прямоугольник D :
, то, расc≤y≤d
!
RRR
R R Rq
ставляя пределы интегрирования по этой области, имеем:
f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dz dxdy =
p
Ω
D
" "
# #
Rb Rd Rq
f (x, y, z)dz dy dx.
разбиения m,
a
c
p
11.5. Вычисление двойных и тройных интегралов в случае криволинейных областей.
Двойные интегралы. Пусть D - простейшая криволинейная область: она ограничена двумя непрерывными кривыми y = Y1 (x) и y = Y2 (x) и вертикальными
R R прямыми x = a и x = b.
Теорема. Если существует двойной интеграл
f (x, y)dxdy и для любого x ∈ [a, b] существует интеграл
D
!
Y2R(x)
Rb Y2R(x)
u(x) =
f (x, y)dy, то существует повторный интеграл
f (x, y)dy dx и имеет место равенство
a
Y1 (x)
Y1 (x)
!
Y2R(x)
Rb Y2R(x)
RR
Rb
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dy dx ≡ dx
f (x, y)dy.
a
D
a
Y1 (x)
Y1 (x)
Доказательство. Пусть
c = min
область D
Y1 (x), d = max Y2 (x), x ∈ [a, b]. Заключим криволинейную
a≤x≤b
f (x, y), (x, y) ∈ D
∗
∗
в прямоугольник D =
и рассмотрим ограниченную функцию f (x, y) =
.
c≤y≤d
0, (x, y) ∈ D∗ /D
!
R R ∗
Rb Rd ∗
В прямоугольнике D∗ рассмотрим интеграл от функции f ∗ (x, y) :
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dy dx =
a
c
D∗












Y
(x)
Y
(x)
b
2
1
Z
Zb
Zd
Z
Z


b
R
Rb





f ∗ (x, y)dy dx + 
f ∗ (x, y)dy dx =
= 
f ∗ (x, y)dy dx + 

a 
a
Y1 (x)

a
a
c
Y2 (x)


{z
}
{z
}
{z
}
|
|
|
 Y2R(x)

=0
=0


Y2R(x)
!
f (x, y)dy dx.
Y1 (x)
f (x,y)dy
Y1 (x)
В итоге:
RR
f (x, y)dxdy =
D
Rb
Y2R(x)
a
Y1 (x)
!
f (x, y)dy dx, что и утверждалось.
Аналогично, если область D ограничена кривыми x
! = X1 (y) и x = X2 (y) и горизонтальными прямыми
X
(y)
d
2
R
RR
R
y = c и y = d, то
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dx dy.
D
c
X1 (y)
Тройные интегралы. Пусть Ω - z-цилиндрическая область, ограниченная снизу и сверху поверхностями
z = Z1 (x, y) и z = Z2 (x, y). Пусть D - проекция этой
R R Rобласти на плоскость xOy.
Теорема. Если существует тройной интеграл
f (x, y, z)dxdydz и для ∀(x, y) ∈ D существует интеΩ
!
Z2 R
(x,y)
R R Z2R(x,y)
грал u(x, y) =
f (x, y, z)dz, то существует и повторный интеграл
f (x, y, z)dz dxdy и имеет
D Z1 (x,y)
Z1 (x,y)
!
RRR
R R Z2R(x,y)
место равенство
f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dz dxdy.
Ω
D Z1 (x,y)


a ≤ x ≤ b
Доказательство. Заключим область Ω в параллелепипед Ω∗ : c ≤ y ≤ d
и рассмотрим в этом


p≤z≤q
— 99 —
f (x, y, z), (x, y, z) ∈ Ω
. В пря0, (x,Ry,Rz)R∈ Ω∗ /Ω
моугольном параллелепипеде Ω∗ рассмотрим интеграл от функции f ∗ (x, y, z) :
f ∗ (x, y, z)dxdydz.
∗
Ω
R R R ∗
Аналогично тому, как это мы сделали для двойного интеграла, покажем, что
f (x, y, z)dxdydz =
Ω∗
!
R R R ∗
R R Rq
RRR
f (x, y, z)dz dxdy =
f (x, y, z)dxdydz, а так же, что
f (x, y, z)dxdydz =
=
p
Ω
Ω∗
D∗
!
R R Z2R(x,y)
=
f (x, y, z)dz dxdy.
D Z1 (x,y)
!
RRR
R R Z2R(x,y)
В итоге:
f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dz dxdy, что и утверждалось.
прямоугольном параллелепипеде Ω∗ ограниченную функцию f ∗ (x, y, z) =
Ω
D
Z1 (x,y)
Продолжая рассуждения для двойного интеграла,!фигурирующего в формуле, покажем, что
Y2R(y)
Z2 R
(x,y)
RRR
R R Z2R(x,y)
Rb
f (x, y, z)dxdydz =
f (x, y, z)dz dxdy = dx
dy
f (x, y, z)dz.
Ω
D
Z1 (x,y)
a
Y1 (y)
Z1 (x,y)
11.6. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве.
Криволинейные координаты на плоскости. Пусть заданы две квадрируемые области D и ∆.
Будем считать, что в D задана декартова система координат (xOy). Каждой точке в этой системе координат соответствует радиус-вектор ~r = ~i · x + ~j · y.
Так же будем считать, что и в ∆ задана декартова система координат (uOv), и каждой точке в этой системе
координат соответствует радиус-вектор ρ
~ = ~i · u + ~j · v.
Определение. Говорят, что в области D заданы криволинейные координаты (u, v) со значениями в ∆,
если задано биективное,
непрерывное
и непрерывно-дифференцируемое отображение F : ∆ → D, то есть
x = x(u, v)
заданы функции
, где (u, v) ∈ ∆, такие, что существуют непрерывные частные производные
y = y(u, v)
0 0
xu xv
∂x ∂x ∂y ∂x
в ∆ имеет полный ранг. Это означает, что определитель
∂u , ∂v , ∂u , ∂v , причём матрица Якоби J = y 0 y 0
u
v
матрицы Якоби (якобиан) отличен от нуля: det J 6= 0.
В силу биективности,
однозначности, существует обратное отображение F −1 : D → ∆, за то есть взаимной
u = u(x, y)
∂u ∂v ∂v
даваемое функциями
, такие, что существуют непрерывные частные производные ∂u
∂x , ∂y , ∂x , ∂y
v = v(x, y)
0 0
u u
и ранг матрицы J −1 = 0x 0y полон.
vx vy
x = x(u, v)
Заметим здесь, что задание функций
, означает, что в D задан радиус-вектор ~r(u, v) =
y = y(u, v)
~i · x(u, v) + ~j · y(u, v).
Рассмотрим в области ∆ прямую u = u0 . В области D ей отвечает гладкая линия, определяемая
параметрическими уравнениями x = x(u0 , v), y = y(u0 , v), (или, что то же, ~r = ~r(u0 , v)). Параметром здесь
служит v.
Аналогично, каждой прямой из ∆ v = v0 в области D отвечает линия, определяемая уравнениями
x = x(u, v0 ), y = y(u, v0 ), или ~r = ~r(u, v0 ). Здесь параметр - u.
Эти линии в области D, в которые отображение F : ∆ → D, переводит прямые, параллельные координатным осям, из ∆, называются координатными
линиями u и v в области D.
x = x(u, v)
Из взаимной однозначности отображения
следует, что через каждую точку (x, y) области
y = y(u, v)
D проходит единственная линия ~r = ~r(u, v0 ) отвечающая постоянному значению u, и единственная линия ~r =
~r(u, v0 ), отвечающая постоянному значению v. Следовательно, величины u и v можно рассматривать как
координаты (отличные, конечно, от декартовых) точек области D. Так как эти координатные линии, отвечающие
этим координатам, будут вообще говоря, кривыми (а не прямыми, как в случае декартовой координатной сетки),
то величины u и v называются криволинейными координатами точек в области D.
Таким образом, переменные u и v имеют двоякий геометрический смысл: во-первых, - это декартовы
координаты точек области ∆, во-вторых, это - криволинейные координаты точек области D. В соответствии
с этим каждое соотношение вида Φ(u, v) = 0 можно рассматривать как уравнение (в декартовых координатах)
некоторой кривой λ, лежащей в области ∆, и как уравнение (в криволинейных координатах) кривой l,
лежащей в D и являющейся образом кривой λ при отображении F : ∆ → D.
— 100 —
r
Пусть в области D задана гладкая кривая ~r = ~r(t). Покажем, что d~
dt - это вектор, касательный к данной
кривой.
Рассмотрим две точки M0 и M этой кривой, отвечающие значениям парамера t0 и t0 + ∆t. Вектор
−−−−−→
r
∆~r = ~r(t0 + ∆t) − ~r(t0 ) - это вектор (M0 M ), соединяющий точки M и M0 . Тогда отношение ∆~
∆t - вектор,
−−−−−→
совпадающий по направлению с вектором (M0 M ).
r
d~
r
Устремим точку M вдоль нашей кривой к точке M0 , так, что ∆t → 0. Получим: lim ∆~
∆t = dt .
∆t→0
Очевидно, что в результате мы получили вектор, касательный к данной кривой, что и утверждалось.
→
−
→
−
Соответственно этому, производные ru0 и rv0 - векторы, касательные к координатным линиям ~r = ~r(u, v0 ),
и ~r = ~r(u0 , v), которые мы можем рассматривать как базисные векторы - некоторые аналоги векторов ~i и ~j
декартовой системы координат на плоскости.
→
−
Пусть в области ∆ задана некоторая гладкая кривая ρ
~=ρ
~(t). Касательный вектор к этой кривой ρ0t =
~i · u0t + ~j · vt0 является линейной комбинацией двух базисных векторов ~i и ~j.
Отображение F : ∆ → D, переводит заданную кривую ρ
~ = ρ
~(t) в опять-таки гладкую кривую ~r =
~r(u(t), v(t)), являющуюся образом этой кривой. Поскольку существуют непрерывные производные u0t и vt0 ,
→
−
→0
−
r
0
0
0
существует и непрерывная производная d~
dt = ru · ut + rv · vt и мы видим, что вектор, касательный к образу
→
−
→
−
заданной кривой, представляется как линейная комбинация базисных векторов ru0 и rv0 .
Как найти расстояние dS между двумя бесконечно близкими в области D точками M1 и M2 в криволинейной системе координат?
Пусть координаты этих точек отличаются на du и dv : M1 (u, v), M2 (u + du, v + dv). Тогда dS 2 =
−
−
→
→
−
→
→
−
→ −
−
→
→ −
−
→
→
−
−−−−−→ 2
2
(M1 M2 ) = |d~r| = (d~r · d~r) = ru0 · du + rv0 · dv · ru0 · du + rv0 · dv = (ru0 · ru0 )du2 + 2(ru0 · rv0 )dudv + ( rv0 ·
→ −
→
→ −
→
→0
−
→ −
→
def
def −
def −
def −
rv )dv 2 = g11 du2 + 2g12 dudv + g22 dv 2 , где g11 = (ru0 · ru0 ), g12 = (ru0 · rv0 ), g22 = ( rv0 · rv0 ).
Таким образом, квадрат расстояния dS 2 между двумя бесконечно близкими точками, криволинейные координаты которых отличаются на du и dv, описывается квадратичной формой
dS 2 = g11 (u, v)du2 + 2g12 (u, v)dudv + g22 (u, v)dv 2 , называемой метрикой, а коэффициенты этой квадратичной формы, равные
→ −
−
→
→ −
−
→
→ −
−
→
g11 (u, v) = (ru0 · ru0 ), g12 (u, v) = (ru0 · rv0 ), g22 (u, v) = ( rv0 · rv0 ) называются метрическими коэффициентами.
Пример. Найдём в полярной системе координат расстояние dS между двумя точками, полярные координаты которых отличаются
на dr и dϕ. Как хорошо известно, полярные координаты точки связана с декартоx = r cos ϕ
выми соотношениями
. ~r(r, ϕ) = ~i · r cos ϕ + ~j · r sin ϕ.
y = r sin ϕ
(~r)0r = ~i · cos ϕ + ~j · sin ϕ, (~r)0ϕ = −~i · r sin ϕ + ~j · r cos ϕ,
g11 = (~i · cos ϕ + ~j · sin ϕ) · (~i · cos ϕ + ~j · sin ϕ) = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1.
g12 = (~i · cos ϕ + ~j · sin ϕ)(−~i · r sin ϕ + ~j · r cos ϕ) = −r cos ϕ sin ϕ + r sin ϕ cos ϕ = 0.
g22 = (−~i · r sin ϕ + ~j · r cos ϕ)(−~i · r sin ϕ + ~j · r cos ϕ) = r2 sin2 ϕ + r2 cos2 ϕ = r2 .
Следовательно, метрика в полярной системе координат имеет вид dS 2 = dr2 + r2 dϕ2 .
Криволинейные координаты в пространстве. Пусть заданы кубируемые области Ω и T. Будем считать, что в области Ω задана декартова система координат и каждой точке этой области соответствует радиусвектор ~r = ~i · x + ~j · y + ~k · z
Будем так же считать, что и в T задана декартова система координат и каждой точке этой области соответствует радиус-вектор ρ
~ = ~i · u + ~j · v + ~k · w.
Определение. Говорят, что в Ω заданы криволинейные координаты (u, v, w) со значениями в T,
если задано биективное, непрерывное и непрерывное-дифференцируемое
отображение F : T → Ω, то есть


x
=
x(u,
v,
w)


заданы непрерывно-дифференцируемые функции y = y(u, v, w) , где (u, v, w) ∈ T так, что матрица Якоби


z = z(u, v, w)
 0 0 0 
xu xv xw
0 
имеет полный ранг.
J = yu0 yv0 yw
0 0 0
zu zv zw
То, что ранг матрицы Якоби полон, означает, что определитель матрицы Якоби - якобиан - отличен от нуля:
det J 6= 0.


x = x(u, v, w)
Отметим так же, что задание функций y = y(u, v, w) , означает, что в области Ω задан радиус-вектор


z = z(u, v, w)
~r(u, v, w) = ~i · x(u, v, w) + ~j · y(u, v, w) + ~k · z(u, v, w).
— 101 —
Рассмотрим в области T плоскость, определённая условием u = u0 . Ясно, что это плоскость, параллельная координатной плоскости (v0w). Отображение F : T 
→ Ω, переведёт 
её в некоторую поверхность области
x = x(u0 , v, w)
Ω. Декартовы координаты точек этой поверхности - суть y = y(u0 , v, w) . Придавая u0 различные значе

z = z(u0 , v, w)
ния, получим некоторое семейство поверхностей, зависящее от u как от параметра.
Плоскости области T v = v0 и w = w0 переходят при отображении F : T → Ω, в два аналогичных
семейства поверхностей области Ω.
Это три семейства поверхностей называются координатными поверхностями. Вследствие биективности
отображения, через каждую точку области Ω проходит только по одной поверхности каждого из трёх семейств.
Полностью аналогично тому, как это было сделано при введении криволинейных координат на плоскости,
вводятся вводятся координатные линии и криволинейные координаты u, v и w точки в пространстве.
→ −
−
→
−
→
0
Соответственно, легко показать, что производные ru0 , rv0 , и rw
- векторы, касательные к координатным
линиям ~r = ~r(u, v0 , w0 ), ~r = ~r(u0 , v, w0 ), и ~r = ~r(u0 , v0 , w), и которые мы, как и в предыдущем случае,
можем рассматривать как базисные.
Так же, аналогично двумерному случаю, можно найти расстояние dS между двумя бесконечно близкими в
области Ω точками в криволинейной системе координат.
Квадрат расстояния dS 2 между двумя бесконечно близкими точками, криволинейные координаты которых
отличаются на du, dv, и dw описывается квадратичной формой
dS 2 = g11 du2 + g22 dv 2 + g33 dw2 + 2g12 dudv + 2g13 dudw + 2g23 dvdw, где
−
→
−
→
→
→ −
−
→
→ −
−
0
0
),
· rw
g11 (u, v, w) = (ru0 · ru0 ), g22 (u, v, w) = ( rv0 · rv0 ), g33 (u, v, w) = (rw
→
−
→
−
→
−
−
→
→
−
−
→
0
0
0
0
0
0
g12 (u, v, w) = (ru · rv ), g13 (u, v, w) = (ru · rw ), g23 (u, v, w) = ( rv · rw ).
Пример. В сферической системе координат найдём расстояние между двумя близкими точками, сферические координаты которых отличаются на dr и dϕ и dθ. Как
 хорошо известно,
 сферические координаx = ρ cos ϕ sin θ
y = ρ sin ϕ sin θ , а значит ~r(ρ, θ, ϕ) =
ты точки связаны с декартовыми координатами соотношениями


z = ρ cos θ
~i · ρ cos ϕ sin θ + ~j · ρ sin ϕ sin θ + ~k · ρ cos θ.
Проводя вычисления согласно приведённым выше формулам, получим, что квадрат расстояния между двумя
близкими точками описывается формулой
dS 2 = dρ2 + ρ2 (dθ2 + sin2 θ · dϕ2 ).
ЛЕКЦИЯ 49.
11.7. Площадь и объём в криволинейных координатах.
Площадь в криволинейных координатах. При выводе формулы замены переменных в двойном интеграле
основной шаг состоит в том, чтобы выразить через криволинейные координаты площадь области. Здесь имеет
место следующая теорема:
x = x(u, v)
Теорема. Пусть ~r = ~r(u, v) или, что то же,
- биективное, непрерывное и непрерывноy = y(u, v)
RR
дифференцируемое отображение F : ∆ → D, якобиан J которого отличен от нуля. Тогда S =
dxdy =
D
RR
|det J| dudv.
∆
Доказательство. Проведём наши рассуждения на "физическом уровне строгости".
Рассмотрим в области D две пары бесконечно близких координатных линий. Пусть первая из этих пар
отвечает значениям u0 и u0 + ∆u координаты u, а вторая пара - значениям v0 и v0 + ∆v координаты
v. Эти координатные линии вырезают в области D бесконечно малый элемент площади ∆S, который с
точностью до малых выше первого порядка можно считать параллелограммом.
Площадь этого параллелограмма равна ∆S = |[(~r(u + ∆u, v) − ~r(u, v)) × (~r(u, v + ∆v) − ~r(u, v))]| . Но
→
−
→
−
~ · ∆v, где α
~
~r(u + ∆u, v) − ~r(u, v) = ru0 · ∆u + α
~ · ∆u, ~r(u, v + ∆v) − ~r(u, v) = rv0 · ∆v + β
~ → 0, и
β → 0, когда
i
h−
0
0
→ −
→
x x
∆u → 0 и ∆v → 0. Тогда ∆S = ru0 × rv0 ∆u∆v+ (б/м высшего порядка) = det 0u 0v ∆u∆v+ (б/м
yu yv
высшего порядка) = |det J| ∆u∆v+ (б/м высшего порядка).
Разобъём область D с помощью криволинейных координат на n таких параллелограммов. Площадь
каждого из них приближенно, с точностью до бесконечно малых выше первого, равна ∆S ≈ |det J| ∆u∆v.
n
P
Площадь S области D получится суммированием площадей всех этих параллелограммов: S ≈
∆Si .
i=1
Устремляя максимальный диаметр разбиения к нулю, а число элементов разбиения к бесконечности, получим в
пределе:
— 102 —
S=
RR
dxdy = lim
n
P
λ→0 i=1
D
∆Si = lim
n
P
λ→0 i=1
|det J| ∆ui ∆vi =
RR
|det J| dudv.
∆
Объём в криволинейных координатах. Найдём теперь выражение объёма в криволинейных координатах.
Рассмотрим некоторую пространственную область Ω, в которойвведены криволинейные
координаты (u, v, w),

x = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)
так, что матрица Якоби
связанные с декартовыми координатами (x, y, z) формулами


z
=
z(u,
v,
w)
 0 0 0 
xu xv xw
0 
J = yu0 yv0 yw
имеет полный ранг, а определитель матрицы Якоби отличен от нуля: det J 6= 0.
0 0 0
zu zv zw
Задание этих функций означает, что в области Ω задан радиус-вектор ~r(u, v, w) = ~i · x(u, v, w) + ~j ·
y(u, v, w) + ~k · z(u, v, w).
Рассмотрим три пары бесконечно близких между собой координатных поверхностей. Пусть первая из этих
пар задаётся фиксированными значениями первой координаты, равными соответственно u и u + ∆u, вторая
- значениями v и v + ∆v второй координаты и третья - значениями w и w + ∆w третьей координаты. Эти
три пары поверхностей вырезают в пространстве бесконечно малый параллелепипед. Найдём объём ∆V этого
параллелепипеда:
∆V = |([~r(u + ∆u, v, w) − ~r(u, v, w)] · [~r(u, v + ∆v, w) − ~r(u, v, w)] · [~r(u, v, w + ∆w) − ~r(u, v, w)])| .
Но
−
→
~r(u + ∆u, v, w) − ~r(u, v, w) = ru0 ·∆u + α
~ · ∆u,
−
→
~ · ∆v,
~r(u, v + ∆v, w) − ~r(u, v, w) = rv0 ·∆v + β
−→
0
~ → 0, и ~γ → 0, когда ∆u → 0, ∆v → 0 и
·∆w + ~γ · ∆w, где α
~ → 0, β
~r(u, v, w + ∆w) − ~r(u, v, w) = rw
∆w → 0.
Поэтому
 0 0 0 
xu xv xw
→
→0 −
−→0 −
0 
0
) ∆u∆v∆w+ (б/м высшего порядка) = det yu0 yv0 yw
· ∆u∆v∆w+ (б/м высшего
∆V = (ru · rv · rw
0 0 0
zu zv z w
порядка) = |det J| · ∆u∆v∆w+ (б/м высшего порядка).
Разобъём область Ω с помощью близких координатных поверхностей на n таких параллелепипедов.
Объём каждого из них, с точностью до бесконечно малых выше первого, равен ∆V ≈ |det J| · ∆u∆v∆w.
n
P
Объём V области Ω получится суммированием объёмов всех этих параллелепипедов: V ≈
∆Vi .
i=1
Устремляя максимальный
диаметр
RRR
R R Rразбиения к нулю, а число элементов разбиения к бесконечности, получим в
пределе: V =
dxdydz =
|det J| dudvdw.
Ω
T
11.8. Замена переменных в двойных и тройных интегралах.
RR
f (x, y)dxdy, где
Замена переменных в двойных интегралах. Пусть существует двойной интеграл
D
x = x(u, v)
D - область, ограниченная кусочно-гладкими дугами кривых. Пусть
- переход к криволинейy = y(u, v)
ным координатам, где x(u, v) и y(u, v) - непрерывно-дифференцируемые функции своих аргументов такие, что якобиан преобразования det J 6= 0. Сетка криволинейных координат разбивает область D на
части площади ∆Si . Выбрав в каждой из этих частей произвольную точку (xi , yi ), составим интегральn
P
ную сумму
f (xi , yi )∆Si . Площадь ∆Si каждой из частей, как мы знаем из предыдущего пункта, моi=1
R R
жет быть вычислена по формуле ∆Si =
|det J| dudv. Воспользовавшись теоремой о среднем, будем
∆i
иметь: ∆Si = |J(u∗i , vi∗ )| ∆σi , где ∆σi - площадь области ∆i . Заменив в интегральной сумме каждую
n
P
из величин ∆Si найденным выражением, получим:
f (xi , yi ) |J(u∗i , vi∗ )| ∆σi . Точка (u∗i , vi∗ ) получаi=1
ется в результате применения теоремы о среднем, и её выбор в каждой из частичных областей ∆Si от нас
не зависит. Напротив, точка (xi , yi ) выбирается в каждой из частичных областей ∆i совершенно произвольно. Поэтому мы можем положить xi = x(u∗i , vi∗ ), yi = y(u∗i , vi∗ ), то есть выбрать ту точку области Di , которая соответствует точке (u∗i , vi∗ ) области ∆i . Тогда рассматриваемая интегральная сумма
n
P
примет вид
f (x(u∗i , vi∗ ), y(u∗i , vi∗ )) |J(u∗i , vi∗ )| ∆σi , а это не что иное, как интегральная сумма для интеi=1
RR
грала
f (x(u, v), y(u, v)) |J(u, v)|dudv. Если теперь неограниченно измельчать разбиение области ∆ на
∆
части ∆i , то в силу непрерывности соответствия, максимальные диаметры областей Di , тоже будут стремиться к нулю. При этом рассматриваемая сумма должна стремиться с одной стороны к двойному интегралу
— 103 —
RR
f (x, y)dxdy, с другой стороны, к интегралу
f (x(u, v), y(u, v)) |J(u, v)|dudv. Следовательно, эти интеD
∆
RR
RR
гралы равны:
f (x, y)dxdy =
f (x(u, v), y(u, v)) |J(u, v)|dudv. Это и есть формула замены переменных в
RR
D
∆
двойном интеграле.
2
2
Пример.
площадь, ограниченную эллипсом xa2 + yb2 = 1. Для этого перейдём в новую систему
Вычислим x = ar cos ϕ
координат
, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ < 2π. При этой замене |det J| = abr.
y = br sin ϕ
2π
RR
R
R1
S=
dxdy =ab dϕ rdr = πab.
0
0
D
RRR
Замена переменных в тройных интегралах. Пусть существует тройной интеграл
f (x, y, z)dxdydz,
Ω


x = x(u, v, w)
где Ω - область, ограниченная кусочно-гладкими поверхностями. Пусть y = y(u, v, w) - переход к криво

z = z(u, v, w)
линейным координатам, где x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w) - непрерывно-дифференцируемые функции своих
аргументов такие, что якобиан преобразования det J 6= 0. Координатными поверхностями разобъём область
Ω на множество малых параллелепипедов Ωi . Выбрав в каждом из этих параллелепипедов произвольную
n
P
точку (xi , yi , zi ), составим интегральную сумму
f (xi , yi , zi )∆Vi . Объём ∆Vi каждого из этих паралi=1
R R R
лелепипедов, как мы знаем, может быть вычислен по формуле ∆Vi =
|J(u, v, w)|dudvdw. Применим
Ti
к этому интегралу теорему о среднем. Получим: ∆Vi = |J(u∗i , vi∗ , wi∗ )| ∆ωi , где ∆ωi - объём частичной области Ti , а (u∗i , vi∗ , wi∗ ) - некоторая точка, принадлежащая частичной области Ti . Заменив в интегральn
P
ной сумме каждую из величин ∆Vi найденным выражением, получим:
f (xi , yi , zi ) |J(u∗i , vi∗ , wi∗ )| ∆ωi .
i=1
В этой сумме каждая из точек (xi , yi , zi ), выбирается внутри соответствующей области Ωi произвольно. В частности, мы можем положить xi = x(u∗i , vi∗ , wi∗ ), yi = y(u∗i , vi∗ , wi∗ ), zi = z(u∗i , vi∗ , wi∗ ), то есть
выбрать ту точку области Ωi , которая соответствует точке (u∗i , vi∗ , wi∗ ) области Ti . Тогда интегральn
P
ная сумма примет вид
f (x(u∗i , vi∗ , wi∗ ), y(u∗i , vi∗ , wi∗ ), z(u∗i , vi∗ , wi∗ ) |J(u∗i , vi∗ , wi∗ )| ∆ωi , а это не что иное, как
i=1
RRR
интегральная сумма для интеграла
f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) |J(u, v, w)| dudvdw. Если теперь
T
неограниченно измельчать разбиение области T на части Ti , то в силу непрерывности соответствия, максимальные диаметры областей Ωi , тоже будут стремиться
R R R к нулю. При этом рассматриваемая сумма должна стремиться с одной стороны к тройному интегралу
f (x, y, z)dxdydz, с другой стороны, к интегралу
Ω
RRR
f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) |J(u, v, w)| dudvdw. Таким образом, эти интегралы представляют собой
T
пределы
суммы. Следовательно, они равны, то есть
R R Rодной и той же интегральной
RRR
f (x, y, z)dxdydz =
f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) |J(u, v, w)| dudvdw.
Ω
T
Это и есть формула замены переменных в тройном интеграле.
2
2
2
Пример . Вычислим объём,
эллипсоидом xa2 + yb2 + zc2 = 1. Для этого перейдём
 ограниченный трёхосным

x = aρ cos ϕ sin θ
y = bρ sin ϕ sin θ , где 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ < 2π. В этом случае
в новую систему координат:


z = cρ cos θ
2
|det J| = abcρ sin θ.
Объём тела, очевидно, может быть вычислен по формуле
2π
RRR
RRR
R
Rπ
R1
V =
dxdydz =
|det J(u, v, w)|dudvdw = dϕ sin θdθ ρ2 dρ = 43 πabc.
Ω
T
0
0
0
Если a = b = c = R, то объём трёхосного эллипсоида превратится в объём шара: V = 34 πR3 .
11.9. Приложения двойных и тройных интегралов.
Вычисление объёмов . Найдём объём V тела T с боковой цилиндрической поверхностью, параллельной
оси 0z, ограниченного снизу замкнутой областью D, лежащей в плоскости x0y, а сверху - поверхностью
z = f (x, y), где f (x, y) - неотрицательная непрерывная функция.
Разобъём основание D произвольным образом непрерывными кривыми на n частей Di , площадь каждой
части обозначим символом ∆Si . Тогда весь наш цилиндр T разобьётся на цилиндрические столбики Ti ,
основаниями которых служат ячейки Di . Ясно, что весь объём тела T следует считать равным сумме объёмов
составляющих его столбиков Ti .
— 104 —
Чтобы вычислить объём столбика Ti , внутри каждой части Di произвольным образом выберем точку
(ξi , ηi ) и заменим цилиндрический столбик Ti с "кривым" верхним основанием "настоящим" цилиндром с
постоянной высотой, равной f (ξi , ηi ) и с тем же основанием Di . Иначе говоря, объём столбика Ti примем (приближённо) равным f (ξi , ηi )∆Si . Тогда приближённое значение объёма всего цилиндра T равно
n
P
f (ξi , ηi )∆Si . Очевидно, что построенная нами сумма - не что иное как интегральная сумма для двойного
i=1
RR
интеграла
f (x, y)dxdy, а сам двойной интеграл - это тот предел, к которому стремится построенная нами
D
интегральная сумма при неограниченном измельчении основания D.
Таким образом, объём V тела с боковой цилиндрической поверхностью, параллельной оси 0z, ограниченного снизу замкнутой областью D, лежащей
в плоскости x0y, а сверху - поверхностью z = f (x, y),
RR
представляется двойным интегралом V =
f (x, y)dxdy.
D
Вычисление площадей. Положим
R R в приведённом выше двойном интеграле функцию f (x, y) тождественно равной 1, мы получим интеграл
dxdy, равный, очевидно, площади области D, поскольку этой площади
будет равна интегральная сумма
n
P
D
∆Si отвечающая интегралу
i=1
Формула S =
RR
RR
dxdy.
D
dxdy для вычисления площади часто бывает удобнее, чем формула S =
Rb
f (x)dx, вы-
a
D
ражающая площадь криволинейной трапеции, поскольку формула с двойным интегралом применима не только
к криволинейным трапециям, но и к любым квадрируемым фигурам, расположенным произвольным образом к
координатным осям.
Масса пластинки переменной плотности. Рассмотрим на плоскости x0y материальную пластинку, то
есть некоторую область D, по которой распределена масса с плотностью ρ(x, y). Вычислим по заданной
плотности ρ(x, y) массу этой пластинки, считая, что ρ(x, y) - непрерывная функция своих аргументов.
Разобъём D произвольным образом на части Di и в каждой из этих частей выберем некоторую точку
(ξi , ηi ). Массу каждого элемента Di можно считать приближённо равной ρ(ξi , ηi )∆Si , где ∆Si - площадь
n
P
Di . Масса всей пластинки приближённо равна сумме
ρ(ξi , ηi )∆Si , взятой по всем элементам разбиения.
i=1
Для получения точного значения массы пластинкинужно перейти в этой сумме к пределу, неограниченно
n
P
измельчая разбиение Di области D. При этом сумма
ρ(ξi , ηi )∆Si переходит в двойной интеграл
i=1
RR
ρ(x, y)dxdy, который и представляет собой массу пластинки переменной плотности.
D
Притяжение материальной точки телом. Пусть дано тело, заполняющее область Ω и имеющее плотность ρ(x, y, z), и материальная точка M0 , лежащая вне тела, с координатами (x0 , y0 , z0 ) и массой m.
Найдём силу, с которой материальная точка притягивается телом.
Разобъём область Ω произвольным образом на n частей Ωi и в каждой такой части произвольно
выбираем точку Mi (ξi , ηi , ζi ).
Рассмотрим элемент Ωi объёма тела ∆Vi . Считая приближённо, что вся его масса сосредоточена в точке
Mi (ξi , ηi , ζi ) найдём массу этого элемента: ρ(ξi , ηi , ζi )∆Vi .
−−→
→
Пусть −
r0 = ~i · x0 + ~j · y0 + ~k · z0 - радиус-вектор точки M0 , OMi = ~i · ξi + ~j · ηi + ~k · ζi - радиус-вектор
−
−
→
→
→
точки Mi , −
ri = OMi − −
r0 = [~i · (ξi − x0 ) + ~j · (η0 − y0 ) + ~k · (ζ0 − z0 )] - вектор, соединяющий точки Mi и M0 .
→
i ,ζi )∆Vi
Сила, с которой элемент Ωi притягивает материальную точку, равна ∆F~i = G · m·ρ(ξi ,η
·−
ri , где G 3
−
ri |
|→
гравитационная постоянная.
Просуммировав по всем элементам разбиения, найдем приближённо всю силу, с которой тело притягивает
n
n
P
P
→
i ,ζi )∆Vi
материальную точку массы m : F~ ≈
∆F~i =
G · m·ρ(ξi ,η
·−
ri .
3
→
−
r
|
|
i
i=1
i=1
Устремляя максимальный диаметр разбиения к нулю, а число элементов разбиения к бесконечности, получим
в пределе:
R R R G·m·ρ(x,y,z)·(y−y0 )dxdydz
R R R G·m·ρ(x,y,z)·(z−z0 )dxdydz
R R R G·m·ρ(x,y,z)·(x−x0 )dxdydz
~
~
~
F~ =
3 i +
3 j +
3 k.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ω
[(x−x0 ) +(y−y0 ) +(z−z0 ) ] 2
Ω
[(x−x0 ) +(y−y0 ) +(z−z0 ) ] 2
Ω
[(x−x0 ) +(y−y0 ) +(z−z0 ) ] 2
ЛЕКЦИЯ 50.
11.10. Криволинейные интегралы 1-го рода и их свойства.
Сначала мы определим криволинейные интегралы 1-го рода для кривых, заданных на плоскости, а затем, уже
по аналогии, для кривых, заданных в пространстве.
Предварительно вспомним определение гладкой и кусочно-гладкой кривой.
— 105 —
x = x(t)
, заданная на сегменте t ∈ [α, β] называется гладкой, если существуy = y(t)
ют непрерывные производные ẋ(t) и ẏ(t), не обращающиеся одновременно в нуль для всех t ∈ [α, β]. Кривая
называется кусочно-гладкой, если она непрерывна и состоит из конечного числа гладких кусков кривой.
Криволинейные интегралы 1-го рода на плоскости. Пусть AB - гладкая дуга кривой. Пусть f (M )
(или f (x, y) при выборе декартовых координат на плоскости)- функция, заданная в точках этой дуги. Произвольным образом разобъём нашу дугу на части точками A = A0 , A1 , A2 , ... , Ai−1 , Ai , Ai+1 , ... , An = B.
На каждой частичной дуге (Ai−1 Ai ) произвольным образом выберем точку Mi и составим сумму σ =
n
P
f (Mi )∆li , где ∆li - длина дуги (Ai−1 Ai ). Сумму σ назовём интегральной суммой, соответствуюОпределение. Кривая
i=1
щей данному разбиению и выбору точек Mi .
Определение. Если существует не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек Mi конечный
предел интегральных сумм при λ → 0 (где λ = max ∆li ), то этот предел
называется криволинейным
интеграR
R
лом 1-го рода от функции f (M ) по кривой AB и обозначается
f (M )dl, (или
f (x, y)dl при выборе
AB
AB
декартовой системы координат).
При этом следует иметь в виду, что переменные x и y не являются независимыми, а связаны условием, что
точка (x, y) лежит на кривой AB.
Нетрудно убедиться в том, что понятие криволинейного интеграла 1-го рода на самом деле почти не отличается от обычного понятия определённого интеграла функции одной переменной и легко к нему сводится.
Действительно, если дуга AB задана в натуральной
параметризации, то есть когда роль параметра играет
x = x(l)
длина дуги, а уравнение кривой имеет вид
, t ∈ [0, L], то интегральная сумма будет иметь вид
y = y(l)
n
P
σ=
f (x(li ), y(li ))∆li , где li - значение параметра, отвечающее точке Mi . Легко видеть, что это - обычная
i=1
интегральная сумма, отвечающая определённому интегралу
RL
f (x(l), y(l))dl.
0
p
Если же кривая AB задана в общей параметризации, то вспомнив, что dl = ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt, получим
p
R
Rβ
f (x, y)dl = f (x(t), y(t)) ẋ2 (t) + ẏ 2 (t)dt. В частности, если кривая задана в явном виде y = y(x), то
α
AB
R
f (x, y)dl =
Rb
p
f (x, y(x)) 1 + (yx0 )2 dx.
a
AB
Если дуга AB задана
координат уравнением r = r(ϕ), то переходя к параметрической
в полярной системе
x = r(ϕ) cos ϕ
форме задания кривой
, ϕ ∈ [ϕ0 , ϕ1 ], получим
y = r(ϕ) sin ϕ
q
ϕ
R
R1
f (x, y)dl = f (r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ) (rϕ0 )2 + r2 dϕ.
ϕ0
AB
Геометрическая интерпретация криволинейного интеграла 1-го рода (для f (x, y) > 0 ) проста: это площадь
цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси 0z и высотой равной f (x, y).
Свойства криволинейных интегралов 1-го рода. Свойства криволинейных интегралов вполне аналогичны свойствам определённых интегралов и сразу вытекают из формулы, сводящей криволинейный интеграл к
определённому. Перечислим основные из них.
◦
на дуге AB, C1 = const и C2 = const то
R 1 . Линейность. Если f (MR ) и g(M ) интегрируемы
R
[C1 f (M ) ± C2 g(M )]dl = C1
f (M )dl ± C2
g(M )dl.
AB
AB
AB
R
◦
2 . Монотонность. Если f (M ) - неотрицательная интегрируемая функция, то всегда
f (M )dl ≥ 0.
AB
R
R
◦
3 . Аддитивность. Если дуга AB составлена из двух дуг AC и CB, то
f (M )dl =
f (M )dl +
AB
AC
R
f (M )dl, причём интеграл слева существует тогда и только тогда, когда существуют оба интеграла справа.
CB
◦
4 . Оценка по модулю. Если f (M ) интегрируема на AB, то |f (M )| тоже интегрируема и
R
f (M )dl ≤
AB
R
AB
|f (M )| dl.
◦
Если f (M ) непрерывна на AB, то на этой дуге найдётся такая точка M ∗ что
R 5 . Теорема о среднем.
∗
f (M )dl = f (M ) · L, где L - длина дуги AB.
AB
R
R
◦
6 .
f (M )dl =
f (M )dl, то есть выбор направления на дуге AB не влияет на величину интеграла.
AB
BA
— 106 —
Криволинейные интегралы 1-го рода в пространстве. Определение криволинейного интеграла 1-го рода, сформулированное выше для плоской кривой, дословно переносится на случай функции f (M ), заданной
некоторой пространственной кривой. Если эта кривая AB задана параметрическими уравнениями
 вдоль 
x = x(t)
y = y(t) , t ∈ [α, β], то криволинейный интеграл 1-го рода, взятый вдоль этой кривой, сводится к опре

z = z(t)
p
Rβ
R
делённому интегралу по формуле
f (M )dl = f (x(t), y(t), z(t)) ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt. Условия существования и
α
AB
основные свойства пространственных криволинейных интегралов вполне аналогичны тем, которые были сформулированы для плоского случая.
11.11. Криволинейные интегралы 2-го рода и их свойства.
Пусть AB - дуга гладкой плоской кривой и пусть F~ (x, y) = ~i · P (x, y) +~j · Q(x, y) - непрерывная векторная
функция, определённая в точках дуги AB. Разобъём произвольным образом дугу AB на части и внутри
каждой части произвольно выберем точку Mi (ξi , ηi ). Обозначим ~ri = ~i · xi + ~j · yi , ~ri−1 = ~i · xi−1 + ~j · yi−1 ,
∆~ri = ~ri − ~ri−1 = ~i · (xi − xi−1 ) + ~j · (yi − yi−1 ) = ~i · ∆xi + ~j · ∆yi . Составим интегральную сумму для данной
P
n n
P
F~ (ξi , ηi ) · ∆~ri =
векторной функции: σ =
(P (ξi , ηi ) · ∆xi + Q(ξi , ηi ) · ∆yi ).
i=1
i=1
Определение. Если существует не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек Mi конечный предел интегральных сумм σ
λ → 0 (где λ = max ∆li ), то этот предел называется криволинейным
интегралом
2-го
рода
от
векторной
функции F~ (x, y) вдоль дуги AB и обозначается символом
R R
F~ (M )d~r ≡
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
AB
AB
Как вычислять этот интеграл? Пусть ~r = ~r(t), где t ∈ [α, β] - векторное уравнение нашей дуги. Тогда
˙ ∗
∆~
r
R i = ~r(ti ) − ~r(ti−1 ) = ~r(ti )∆ti - по формуле конечных приращение Лагранжа. Если существует интеграл
P (x, y)dx + Q(x, y)dy, то в качестве точки Mi можно выбрать любую точку, в том числе и ту точку, в
AB
которой выполняется формула Лагранжа, то есть точку с радиус-вектором ~r(t∗i ). В итоге
n n
P
˙ ∗ ) ∆ti = P [P (x(t∗ ), y(t∗ )) · ẋ(t∗ ) + Q (x(t∗ ), y(t∗ )) · ẏ(t∗ )]∆ti . Если теперь
σ=
F~ (x(t∗i ), y(t∗i )) ·~r(t
i
i
i
i
i
i
i
i=1
i=1
неограниченно измельчать разбиение нашей дуги на части, то есть в пределе при при λ → 0 (где λ = max ∆li ),
R
Rβ
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = [P (x(t), y(t)) · ẋ(t) + Q(x(t), y(t)) · ẏ(t)]dt. В частности, когда
получим: lim σ =
λ→0
α
AB
y = y(x), где x ∈ [a, b], то
R
AB
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
Rb
[P (x, y(x)) + Q(x, y(x)) · yx0 (x)]dx.
a
Если кривая задана с помощью натурального параметра l, то есть в виде ~r = ~r(l), где l - длина дуr
~
~
ги, то удобно ввести единичный вектор τ, касательный к нашей кривой: ~τ = d~
dl = i · cos α + j · sin α.
Тогда d~r = ~τ · dl и криволинейный
интеграл
2-го
рода
можно
представить
в
виде
криволинейного
инте
R
R
R ~
~
грала 1-го рода:
F · d~r =
F · ~τ dl, или, в координатной форме,
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
AB
AB
AB
R
[P (x, y) · cos α + Q(x, y) · sin α]dl. Эти формулы устанавливают связь между криволинейными интегралаAB
ми 1-го и 2-го рода.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода. Ввиду тесной связи между криволинейными интеграла◦
◦
ми 1-го и 2-го рода, которую мы только что установили, очевидно, что свойства 1 - 5 криволинейных интегралов 1-го рода сохранятся и для криволинейных интегралов 2-го рода. Изменится только последнее свой◦
ство - свойство
6 . Криволинейный
интеграл 2-го рода зависит от направления движение по дуге, а именно:
R
R
~
~
F · d~r = −
F · d~r , так как при движении в обратном направлении, то есть от точки B к точке A
AB
BA
имеем: ∆(BA)~ri = (~ri−1 −~ri ) = −(~ri −~ri−1 ) = −∆(AB)~ri , поэтому интегральная сумма, а значит и сам интеграл,
меняют свой знак на обратный.
Часто приходится рассматривать криволинейные интегралы,
взятые
по замкнутому контуру. Под замкнуx = x(t)
тым контуром на плоскости мы понимаем такую кривую
, где (a ≤ t ≤ b), что x(a) = x(b) и
y = y(t)
y(a) = y(b). Для замкнутого контура существует только два направления обхода (ориентации): против часовой
стрелки (положительная ориентация) и по часовой стрелке (отрицательная ориентация). Мы будем, как правило,
рассматривая замкнутый контур, считать его ориентированным положительно, а криволинейный интеграл 2-го
рода по отрицательно ориентированному контуру заменять интегралом, взятом в положительном направлении,
но со знаком минус перед интегралом.
— 107 —
В некоторых задачах целесообразно рассматривать такие
путиинтегрирования, которые имеют самопересе
x = x(t)
чения. Иначе говоря, если кривая задана уравнениями
, где (a ≤ t ≤ b), то мы не исключаем того,
y = y(t)
что существуют два различных значения t1 и t2 параметра t, для которых x(t1 ) = x(t2 ) и y(t1 ) = y(t2 ).
При этом, однако, нужно учитывать, что задать путь интегрирования - это значит не просто задать множество точек, но и направление обхода. Для кривых с самопересечениями направление обхода не определяется
только заданием начальной и конечной точек. Например, кривые, изображённые на рисунках (а) и (б), нужно
рассматривать как две различные кривые. Сказанное относится не только к плоским, но и к пространственным
кривым.
Пусть теперь AB - дуга гладкой пространственной кривой, и пусть F~ (x, y) = ~i · P (x, y, z) + ~j · Q(x, y, z) +
~k · R(x, y, z) - непрерывная векторная функция, определённая в точках дуги AB. Разобъём произвольным
образом дугу AB на части и внутри каждой части произвольно выберем точку Mi (ξi , ηi , ζi ). Аналогично тому,
как это было сделано для плоской кривой, составим сумму
P
n n
P
F~ (Mi ) · ∆~ri =
(P (Mi )∆xi + Q(Mi )∆yi + R(Mi )∆zi ), где
i=1
i=1
∆~ri = ~ri − ~ri−1 = ~i · (xi − xi−1 ) + ~j · (yi − yi−1 ) + ~k · (zi − zi−1 ) = ~i · ∆xi + ~j · ∆yi + ~k · ∆zi .
Предел этих сумм назовём криволинейным
интегралом
рода от вектор-функции F~ (x, y) вдоль про 2-го
R
R странственной кривой AB и обозначим
F~ (M ) · d~r =
P (M )dx + Q(M )dy + R(M )dz.
AB
AB
С помощью рассуждений, дословно повторяющих те, которые были проведены для плоского случая, устанавR
ливается формула, сводящая криволинейный интеграл 2-го рода к криволинейному интегралу 1-го рода
P dx+
AB
R
Qdy + Rdz =
(P cos α + Q cos β + R cos γ) dl, где α, β, γ - углы между касательной к кривой AB и осями
координат.
AB


x = x(t)
Если гладкая кривая AB задана уравнениями y = y(t) , причём точке A отвечает t = α, а точке B


z = z(t)
отвечает t = β, то имеет место равенство
R
Rβ
P dx + Qdy + Rdz = [P (x(t), y(t), z(t)) · ẋ + Q (x(t), y(t), z(t)) · ẏ + R (x(t), y(t), z(t)) · ż]dt, сводящее
α
AB
криволинейный интеграл 2-го рода к определённому интегралу.
ЛЕКЦИЯ 51.
11.12. Формула Грина.
Формула Грина устанавливает связь между криволинейными интегралами 2-го рода и двойными интегралами.
Определение 1. Пусть D - некоторая область плоскости. Область D называется односвязной, если она
удовлетворяет условию: каков бы ни был замкнутый контур γ, лежащий внутри этой области, ограниченная
этим контуром (конечная) часть плоскости целиком принадлежит D.
Иначе говоря, односвязность области означает отсутствие в ней "дырок". Любой замкнутый контур, лежащий
в такой области можно стянуть в точку , не выходя за пределы этой области.
Определение 2. Если область не односвязна, она называется многосвязной.
Определение 3. Множество M связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой,
все точки которой принадлежат M.
Определение 4. Область D называется m-связной, если граница этой области состоит из m связных
компонент.
Пусть D - односвязная или m-связная область и Γ - её граница, состоящая из m ≥ 1 замкнутых контуров.
Определение 5. Говорят, что Γ - положительно ориентированная граница области D, если на Γ выбрано
направление движения по контурам γi , при котором область D остаётся слева.
m
S
γi - граница области D. Пусть
Теорема Грина. Пусть D - m-связная ( m ≥ 1 ) область, а Γ =
i=1
∂Q
так же P (x, y) и Q(x, y) - непрерывные функции вместе со своими частными производными ∂P
∂y и ∂x
H
R R ∂Q ∂P H
в замкнутой области D̄ = D ∪ Γ. Тогда
(P dx + Qdy) =
(P dx + Qdy) =
∂x − ∂y dxdy, где
D
Γ
H
H
H Γ
(P dx + Qdy) + (P dx + Qdy) + ... + (P dx + Qdy).
γ1
γ2
γm
Доказательство. Доказательство проведём в 4 этапа. Первый этап доказательства состоит в том, чтобы
_
для области D, ограниченной слева и справа вертикальными отрезками x = a и x = b (отрезки прямых
(A4 , A1 ) и (A2 , A3 )), а снизу и сверху - кусочно-гладкими кривыми y = Y1 (x) и y = Y2 (x) (дугами (A1 A2 ) и
— 108 —
H
(A3 A4 )), доказать следующее равенство:
P (x, y)dx = −
RR
A 1 A 2 A3 A4 A 1
RR
∂P
∂y
dxdy =
_
D
R
=
Rb
Y2R(x)
a
Y1 (x)
∂P
∂y
R
P (x, y)dx−
∪A4 A3
!
dy dx =
Rb
a
Y (x)
P (x, y)|Y21 (x) dx
P (x, y)dx = −
∪A1 A2
R
∂P
∂y
D
=
Rb
P (x, Y2 (x))dx −
a
P (x, Y1 (x))dx =
a
P (x, y)dx−
∪A1 A2
Rb
Z
R
∪A3 A4
H
Z
P (x, y)dx −
P (x, y)dx−
∪A2 A3
|
=−
В самом деле, имеем:
dxdy.
_
P (x, y)dx
∪A4 A1
{z
=0, (x=a, dx=0)
}
|
{z
=0 (x=a, dx=0)
}
P (x, y)dx. Первый этап доказательства завершён.
A1 A2 A 3 A4 A1
Второй этап доказательства состоит в том, чтобы этот результат распространить на любую область, которую
можно разбить на конечное число областей, рассмотренного выше вида.
Действительно, пусть область
R RD∂Pс границей H Γ разбита на части Di , (i = 1, 2, ..., n), для каждой из
которых имеет место равенство
P (x, y)dx, где γi - граница области Di . Просуммировав
∂y dxdy = −
_
Di
γi
эти равенства по i от 1 до n, мы слева получим двойной интеграл, взятый по всей области D, а справаполучится сумма криволинейных интегралов, взятых по контурам γi . Каждый из этих контуров состоит из
линий, ограничивающих область D, и вспомогательных линий, с помощью которых область D разбивается
на части. Но каждая их этих вспомогательных линий входит в состав ровно двух контуров γi , следовательно,
по по каждой из них криволинейный интеграл будет взят
дважды, причём в двух противоположных направлеH
ниях. Поэтому при суммировании интегралов вида
P (x, y)dx интегралы по всем вспомогательным линиγi
ям
уничтожаются
и останется лишь интеграл по границе области D, то есть мы получим равенство
R R взаимно
H
∂P
dxdy
=
−
P
(x,
y)dx.
Второй этап доказательства завершён.
∂y
D
Γ
Третий этап. Поменяем теперь x и y местами и рассмотрим область, ограниченную горизонтальными
отрезками y = c и y = d и кривыми x = X1 (y) и x = X2 (y). Пусть функция Q(x, y) и её производная ∂Q
∂x
R R ∂Q
определены и непрерывны в области D, включая её границу. Записав двойной интеграл
в
∂x dxdy
_
D
виде
Rd
XR
2 (y)
c
X1 (y)
!
∂Q
∂x dx
dy и повторяя почти дословно рассуждения, проведённые на первом этапе доказательH
R R ∂Q
ства, получим равенство
Q(x, y)dy.
∂x dxdy =
A1 A 2 A3 A4 A 1
_
D
Четвёртый этап состоит в доказательстве равенства
RR
D
∂Q
∂x dxdy
H
= Q(x, y)dy для любой многосвязной
Γ
области. Доказательство этой формулы слово в слово повторяют рассуждения проведённые для доказательства
аналогичной формулы на втором этапе.
Объединяя формулы, полученные
на втором и четвёртом этапах, получим окончательно:
H
R R ∂Q ∂P P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
∂x − ∂y dxdy.
Γ
D
Это и есть формула Грина, которую мы хотели установить.
11.13. Условие независимости криволинейного интеграла от пути.
Пусть D - односвязная область, P (x, y) и Q(x, y) - непрерывные функции вместе со своими частными
∂Q
производными ∂P
∂y и ∂x в замкнутой области D̄ = D ∪ Γ. Тогда следующие четыре условия равносильны
между собой
(то есть выполнение одного из них автоматически влечёт выполнение всех остальных):
H
◦
1 .
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 по любому замкнутому в области D пути.
Γ
R
◦
2 . Интеграл
P (x, y)dx + Q(x, y)dy не зависит от пути, соединяющего любые две точки A и B из
AB
области D.
◦
3 . P (x, y)dx + Q(x, y)dy = dU (x, y), то есть выражение P (x, y)dx + Q(x, y)dy представляет собой
полный дифференциал некоторой однозначной функции U (x, y), определённой в области D.
◦
∂Q
4 . В области D всюду выполнено ∂P
∂y = ∂x .
Доказательство. Доказательство проведём по следующей логической схеме: 4 → 1 → 2 → 3 → 4, то
есть покажем, что из четвёртого условия следует первое, из первого - второе, из второго - третье, а из него опять
четвёртое. Тем самым будет доказана равносильность всех четырёх условий.
◦
∂Q
Пусть выполнено условие 4 : ∂P
∂y = ∂x . Тогда по формуле Грина имеем
— 109 —
H
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
R R ∂Q
C
D
∂x
−
∂P
∂y
◦
dxdy = 0 для любого замкнутого контура C ∈ D - условие 1
выполнено для любого замкунутого контура C, целиком лежащего внутри области D.
Рассмотрим далее любые две точки A ∈ D и B ∈ D и соединим их двумя различными непрерывными
◦
кривыми C1 и C2 , целиком лежащими
внутри области D. По условию 1 R интеграл, взятый по любоH
му замкнутому пути, равен нулю:
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, или
P (x, y)dx + Q(x, y)dy +
−
+
R
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
BC2− A
AC1 B
Следовательно,
AC1 B
RAC1 BC2 A
R
P (x, y)dx + Q(x, y)dy −
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.
AC2 B
R
◦
R
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
P (x, y)dx + Q(x, y)dy. Условие 2 доказано.
AC1 B
AC2 B
R
Пусть теперь интеграл
P (x, y)dx + Q(x, y)dy не зависит от пути интегрирования, а зависит только от
AB
положения точек A и B. Тогда
если точку A зафиксировать, то интеграл будет однозначной функцией
R
координат x и y точки B :
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = U (x, y).
AB
∂U
Покажем, что эта функция U (x, y) дифференцируема и что ∂U
∂x = P (x, y),
∂y = Q(x, y). Достаточно
показать первое равенство, второе доказывается аналогично.
Дадим аргументу x приращение ∆x и рассмотрим горизонтальный отрезок, соединяющий точки B1 (x, y)
и B1 (x + ∆x, y). Интеграл, взятый по пути, соединяющему эти две точки равен U (x + ∆x, y) − U (x, y) =
x+∆x
R
R
R
R
(P (x, y)dx + Q(x, y)dy)− (P (x, y)dx + Q(x, y)dy) =
(P (x, y)dx + Q(x, y) dy ) =
P (x, y)dx =
|{z}
x
ABB1
AB
BB1
=0
= P (x + θ∆x, y) · ∆x. (В последнем равенстве мы использовали теорему о среднем для интегралов). Отсюда
U (x+∆x,y)−U (x,y)
U (x+∆x,y)−U (x,y)
= P (x + θ∆x, y). Тогда ∂U
= lim P (x + θ∆x, y) = P (x, y).
∆x
∂x = lim
∆x
∆x→0
Таким образом, ∂U
∂x = P (x, y). Аналогично доказывается, что
На этом доказательство практически закончено, так как если
∂2U
∂x∂y
∂2U
∂y∂x
∂P
∂y
∆x→0
◦
∂U
=
Q(x,
y). Условие 3 доказано.
∂y
∂U
∂U
∂x = P (x, y) и ∂y = Q(x, y), то
из-за
◦
∂Q
∂x .
=
имеем
=
Условие 4 доказано. Доказательство теоремы закончено.
Как найти функцию, полный дифференциал которой есть заданное выражение P (x, y)dx + Q(x, y)dy ?
С этой целью интегрируем равенство ∂U
∂x = P (x, y), рассматривая y как параметр. Получим: U (x, y) =
Rx
P (x, y)dx + ϕ(y), где ϕ(y) - произвольная функция аргумента y. Равенство ∂U
∂y = Q(x, y) в силу
x0
!
Rx
Rx
Rx ∂Q
∂Q
∂U
∂
0
0
условия ∂P
P (x, y)dx + ϕ(y) = ∂P
∂y = ∂x даёт: ∂y = ∂y
∂y dx + ϕy (y) =
∂x dx + ϕy (y) = Q(x, y) −
x0
x0
x0
Q(x0 , y) + ϕ0y (y) = Q(x, y), откуда ϕ0y (y) = Q(x0 , y). Интегрируя это выражение по y, получим ϕ(y) =
Ry
Q(x0 , y)dy + C, где C - произвольная постоянная.
y0
Окончательно, U (x, y) =
Rx
x0
P (x, y)dx +
Ry
Q(x0 , y)dy + C.
y0
11.14. Некоторые приложения криволинейных интегралов.
1. Вычисление площади с помощью формулы Грина. Пусть R D - некоторая область с границей Γ и
S - площадь этой области. Рассмотрим криволинейный интеграл
xdy. Применим к нему формулу Грина,
Γ
R
RR
R
получим xdy =
dxdy = S. Аналогично получается формула S = − ydx, а так же следующая, более
Γ
D
Γ
R
симметричная формула для площади: S = 12 xdy − ydx.
Γ
2. Вычисление массы нити переменной плотности. Пусть дуга AB - материальная кривая и пусть
ρ(x, y, z) - плотность этой материальной кривой, заданная в точках этой дуги. Произвольным образом разобъём нашу дугу на части точками A = A0 , A1 , A2 , ... , Ai−1 , Ai , Ai+1 , ... , An = B. На каждой частичной
дуге (Ai−1 Ai ) произвольным образом выберем точку Mi (ξi , ηi , ζi ). Если считать, что вся масса частичной дуги
сосредоточена в выбранной точке, то масса этой частичной дуги приближённо равна ∆Mi = ρ(ξi , ηi , ζi ) · ∆li .
n
P
Тогда масса всей материальной кривой приближённо равна M ≈
ρ(ξi , ηi , ζi ) · ∆li . Переходя к пределу при
i=1 R
λ → 0 (где λ = max ∆li ), получим точную массу данной нити: M =
ρ(x, y, z)dl.
AB
3. Притяжение точечной массы материальной кривой. Пусть снова дуга AB - материальная кривая и
пусть ρ(x, y, z) - плотность этой материальной кривой, заданная в точках этой дуги. Рассуждения, аналогичные
— 110 —
приведённым выше, показывают, что кривая AB притягивает массу m0 с силой F~ = G · m0 ·
R
AB
ρ(x,y,z)dl
r3
· ~r,
где ~r = ~i · (x − x0 ) + ~j · (y − y0 ) + ~k · (z − z0 ).
ЛЕКЦИЯ 52.
11.15. Сведения из дифференциальной геометрии поверхностей.
Определение 1. Простым куском поверхности называется множество точек S в E3 , которое можно
биективно отобразить на односвязную область ∆ ∈ E2 .
Определение 2. Поверхностью называется множество точек в E3 , получаемых соединением конечного
числа или счетного числа простых кусков поверхности.
В дальнейшем мы будем иметь дело в основном с простыми кусками поверхности. В этом случае отнесём
E2 к прямоугольным координатам {u, v} а E3 - к прямоугольным координатам {x, y, z}. Поскольку задано
биективное, то есть взаимно-однозначное отображение из ∆ ∈ E2 в S ∈ E3 , то каждой точке поверхности
S с координатами (x, y, z) ставится в соответствие одна и только одна точка области ∆ с координатами
(u, v). Следовательно, декартовы координаты
(x, y,
z) точек поверхности S представляют собой функции

x = x(u, v)
y = y(u, v) . Это и есть параметрическое уравнение поверхности.
координат (u, v) области ∆ ∈ E2 :


z = z(u, v)
Три скалярных уравнения можно заменить одним векторным уравнением: ~r = ~r(u, v), или, более подробно,
~r = ~i · x(u, v) + ~j · y(u, v) + ~k · z(u, v).
В частности, если простой кусок поверхности задаётся уравнением z = z(x, y), то векторное уравнение
поверхности имеет вид: ~r = ~i · x + ~j · y + ~k · z(x, y).
Если в области ∆ задать кривую {u = u(t), v = v(t)}, то на поверхности S возникнет кривая ~r =
∂~
r
∂~
r
r
~r(u(t), v(t)). Касательный вектор к этой кривой имеет вид d~
dt = ∂u u̇ + ∂v v̇. Очевидно, что этот касательный
∂~
r
∂~
r
вектор является линейной комбинацией векторов ∂u и ∂v .
Каков геометрический смысл этих векторов? Если взять координатную линию v = const, то вдоль
def ∂~
r
∂u
этой линии u является параметром и вектор ~ru =
будет вектором, касательным к координатной линии
def ∂~
r
~rv = ∂v
v = const. Аналогично, вектор
- это вектор, касательный к координатной линии u = const. Векторы
~ru и ~rv называются координатными векторами.
Рассмотрим всевозможные кривые, проходящие через данную точку M, и касательные векторы к ним в этой
точке. каждый из этих векторов представляет собой линейную комбинацию векторов ~ru и ~rv , то есть лежит
в определяемой этими векторами плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью к данной
поверхности в точке M.
~ = [~ru ×~rv ] нормален к касательной
Поскольку векторы ~ru и ~rv лежат в касательной плоскости, вектор N
плоскости, и, стало быть, нормален к поверхности S.
~ и направляющие косинусы вектора N
~ , нормального к поверхности ~r = ~r(u, v).
Вычислим вектор N
~i ~j ~k
0 0
0 0
0 0
~ = [~ru × ~rv ] = x0 y 0 z 0 = ~i · yu0 z0u + ~j · zu0 x0u + ~k · xu0 y0u ≡ ~i · A + ~j · B + ~k · C.
N
u u u
y v zv
zv xv
xv yv
x0v yv0 zv0
0 0
0 0
0 0
~ имеет компоненты A = yu0 z0u , B = zu0 x0u , C = xu0 y0u .
Таким образом, вектор N
y v zv
zv xv
xv yv
√
~
N
2
2
2
~
Соответствующий единичный вектор: ~n = N
, |~n| = 1.
Длина этого вектора: N = A + B + C .
|~|
A
B
C
Тогда ~n = ~i · √A2 +B
+ ~j · √A2 +B
+ ~k · √A2 +B
= ~i · cos α + ~j · cos β + ~k · cos γ.
2 +C 2
2 +C 2
2 +C 2
Направляющие косинусы, следовательно:
A
~ , x) = √
~ , y) = √ B
~ , z) = √ C
cos α ≡ cos(N
, cos β ≡ cos(N
, cos γ ≡ cos(N
.
A2 +B 2 +C 2
A2 +B 2 +C 2
A2 +B 2 +C 2
0
~
~
~
~
В частности, когда поверхность задаётся уравнением z = z(x, y), имеем ~rx = i + k · zx , ~ry = j + k · zy0 ,
~i ~j ~k
q
~
~ = 1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 , то есть в этом случае
N = 0 0 zx0 = −~i · zx0 − ~j · zy0 + ~k. N
0 0 zy0
cos α = √
0
−zx
,
0 )2 +(z 0 )2
1+(zx
y
cos β = √
−zy0
0 )2 +(z 0 )2
1+(zx
y
, cos γ = √
1
.
0 )2 +(z 0 )2
1+(zx
y
~ = 0, где
Уравнение касательной плоскости к данной поверхности S в точке M имеет вид (~
ρ − ~r) · N
~r - радиус-вектор точки касания, ρ
~ - радиус-вектор текущей точки касательной плоскости.
Если поверхность S задаётся уравнением z = z(x, y), то подставив в уравнение касательной плоскости
~ его выражение
вместо (~
ρ − ~r) вектор ~i · (x − x0 ) + ~j · (y − y0 ) + ~k · (z − z0 ), а вместо нормального вектора N
— 111 —
~ = −~i·zx0 −~j ·zy0 +~k, получим уравнение плоскости, касающейся поверхности z = z(x, y) в точке (x0 , y0 , z0 ) :
N
z − z0 = zx0 (x0 , y0 , z0 ) · (x − x0 ) + zy0 (x0 , y0 , z0 ) · (y − y0 ).
Если поверхность задана неявным уравнением F (x, y, z) = 0, которое определяет z как дифференцируемую функцию от x и y, то
∂z
∂x
∂F
∂z
∂y
∂x
,
= − ∂F
∂z
∂F
∂y
= − ∂F
. Подставим эти выражения вместо zx0 и zy0 в уравнение
∂z
∂F
∂F
касательной плоскости, получим (x − x0 ) · ∂F
∂x + (y − y0 ) · ∂y + (z − z0 ) · ∂z = 0. В результате получили
∂F
∂F
уравнение плоскости, касательной к поверхности F (x, y, z) = 0 Здесь значения производных ∂F
∂x , ∂y и ∂z
берутся в точке касания (x0 , y0 , z0 ).
Вычислим длину дуги кривой, расположенной на поверхности ~r = ~r(u, v). Выбрав за параметр длину
r
дуги, её уравнение можно записать в виде ~r = ~r(u(l), v(l)). Так как вектор d~
dl имеет длину, равную единице, то
2
2
2
(d~r) = (dl) . Но d~r = ~ru · du + ~rv · dv, следовательно, (dl) = (~ru · ~ru )du2 + 2(~ru · ~rv )dudv + (~rv · ~rv )dv 2 .
Воспользуемся обозначениями g11 = (~ru · ~ru ), g12 = (~ru · ~rv ), g22 = (~rv · ~rv ), тогда (dl)2 = g11 du2 +
2g12 dudv + g22 dv 2 .
Это выражение представляет собой квадратичную форму относительно переменных du и dv, и, при
этом, очевидно, положительно определённую. Она называется первой квадратичной формой поверхности
~r = ~r(u, v). Коэффициенты g11 , g12 и g22 квадратичной формы - это, очевидно, те самые коэффициенты
g11 , g12 , g22 , которые отвечают реперу ~ru , ~rv в плоскости, касательной к поверхности в рассматриваемой
точке. Эти коэффициенты зависят от точки поверхности. Кроме того, они зависят, конечно, от выбора параметризации поверхности.
11.16. Площадь поверхности.
Пусть поверхность S задаётся уравнением ~r = ~r(u, v), где (u, v) ∈ ∆. Прежде всего, нам необходимо
дать определение площади поверхности. Для этого поверхность S, ограниченную кусочно-гладким контуром,
разобъём кусочно-гладкими кривыми на n частей Si и в каждой части произвольным образом выберем точку
Mi . Проведём через точку Mi касательную к S плоскость и спроектируем Si на эту полкость.
Определение. Площадью поверхности S мы назовём предел (если он существует) сумм площадей проекций, взятых по всем элементам разбиения при условии, что максимум диаметров этих элементов стремится к
нулю.
Поверхность, для которой существует конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора
точек Mi , называется квадрируемой.
Заметим, что данное определение не зависит от выбора системы координат.
Теорема. Пусть ~r = ~r(u, v), где (u, v) ∈ ∆, определяет гладкую поверхность S (то есть ~ru
и
~
r
v непрерывны в ∆ ). Тогда поверхность S - квадрируема и площадь этой поверхности равна S =
RRp
g11 g22 − (g12 )2 dudv, где gij - коэффициенты 1-ой квадратичной формы поверхности.
∆
Доказательство. Разобъём поверхность S на части Si . В каждой части выберем точку Mi и проведём
в ней касательную плоскость. Введём местную систему декартовых координат, выбрав за начало точку Mi ,
нормаль в этой точке - за направление оси Mi z, а касательную плоскость - за плоскость (xy). Координаты x,
y и z произвольной точки поверхности Si можно записать как функции u и v : x = x(u, v), y = y(u, v), z =
z(u, v). (Правильнее было бы писать x = xi (u, v), y = yi (u, v), z = zi (u, v), потому что эти уравнения
соответствуют i -ой системе координат, связанной с касательной плоскостью и нормалью в точке Mi , но
мы не будем загромождать формулы излишними на данный момент индексами.) Проекция поверхности Si на
касательную плоскость в точке Mi определяется уравнениями x = x(u, v), y = y(u, v), z = 0. Пользуясь
выражением для площади плоской фигурыhв криволинейных
координатах, (см. лекцию 49), мы можем записать
→ −
−
→i
площадь этой проекции в виде S∆i = ru0 × rv0
∆ui ∆vi + (б/м высшего порядка), где ∆i - та область,
i
которую пробегают переменные u и v когда точка (x, y, z) пробегает элемент Si .
Сумма площадей проекций в всех частичных поверхностей Si на соответствующие касательные плоскоn
n h−
→
→i
−
P
P
сти равна S =
S∆ i =
ru0 × rv0
∆ui ∆vi + (сумма б/м высшего порядка). Предел этого выражения
i=1
i
i=1
при неограниченном измельчении
R R разбиения поверхности мы и назвали площадью поверхности. Этот предел существует и равен интегралу
|[~ru × ~rv ]|dudv, поскольку первое слагаемое выражения - есть интегральная
∆
сумма этого интеграла, а предел второго слагаемого равен нулю.
p
Для завершения доказательства остается установить, что |[~ru × ~rv ]| = g11 g22 − (g12 )2 . Пусть ω угол
между векторами ~ru и ~rv . q
Тогда |[~ru × ~rv ]| = |~ru | · |~rv | · sin ω =
p
p
√
2
2
2
= |~ru | · |~rv | · 1 − cos ω = (~ru )2 (~rv )2 − |~ru | |~rv | cos2 ω = (~ru )2 (~rv )2 − (~ru · ~rv )2 = g11 g22 − (g12 )2 .
RRp
Таким образом S =
g11 g22 − (g12 )2 dudv. Теорема доказана.
∆
— 112 —
def
2
Подкоренное выражение в последней формуле принято обозначать
R R p так: (g11 g22 − (g12 ) ) = g(u, v). Тогда
g(u, v) dudv.
формула для вычисления площади поверхности примет вид S =
∆
~ = [~ru × ~rv ] мы уже встречались выше, (см лекцию 52). Там мы установили , что
Замечание. С вектором N
~i ~j ~k
0 0
0 0
0 0
~ = [~ru × ~rv ] = x0 y 0 z 0 = ~i · yu0 z0u + ~j · zu0 x0u + ~k · xu0 y0u ≡ ~i · A + ~j · B + ~k · C.
этот вектор имеет компоненты N
u u u
y v zv
zv xv
xv yv
x0v yv0 zv0
√
~ = |[~ru × ~rv ]| = A2 + B 2 + C 2 . Следовательно, формулу площади поверхности можно
Его длина равна N
RR√
переписать так: S =
A2 + B 2 + C 2 dudv.
∆
Если поверхность задана явным
q выражением z = z(x, y), то, как мы видели выше, (см. лекцию 52),
0
0
~ = −~i · zx − ~j · zy + ~k. N
~ = 1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 , и формула площади поверхности в этом случае имеет вид:
N
q
RR
S=
1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 dxdy.
∆
q
Так как
1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 = cos(1N~ ,z) , то формулу площади поверхности можно представить в виде:
R R dxdy
S=
~ ,z) .
cos(N
∆
Если поверхность задана неявным уравнением F (x, y, z) = 0, которое определяет z как дифференцируе∂F
∂F
∂y
= − ∂F
. Подставим эти выражения вместо zx0 и zy0 в формулу
∂z
R R √(Fx0 )2 +(Fy0 )2 +(Fz0 )2
для вычисления площади поверхности, получим: S =
dxdy.
|F 0 |
мую функцию от x и y, то
∂z
∂x
∂x
= − ∂F
,
∂z
∂z
∂y
∆
z
ЛЕКЦИЯ 53.
11.17. Поверхностные интегралы 1-го рода и их свойства.
Пусть S - гладкая поверхность с кусочно-гладкой границей Γ и пусть в точках M ∈ S задана ограниченная функция f (M ). Разобъём поверхность S произвольным образом на n частей Si , в них произвольно
n
P
выберем точки Mi и составим сумму, которую мы будем называть интегральной суммой: σ =
f (Mi )∆Si ,
i=1
где ∆Si - площадь элемента Si . Пусть λ = max{di }, где di = max{ρ(A, B)}, а ρ(A, B) - расстояние между
точками A ∈ Si и B ∈ Si , и пусть точки A и B пробегают всё множество точек Si .
Определение. Если при λ → 0 существует конечный предел интегральной суммы σ, не зависящий ни
от способа разбиения поверхности S на части Si , ни от выбора точек RMRi ∈ Si , то этот предел называется
поверхностным интегралом 1-го рода и обозначается символом lim σ =
f (M )dS.
λ→∞
S
Точку M ∈ S можно задать декартовыми координатами (x, y, z). Поэтому функцию f (M ), определённую
в точках поверхности
S мы будем обозначать также f (x, y, z), а соответствующий поверхностный интеграл RR
символом
f (x, y, z)dS. Вопрос: когда этот интеграл существует и как его вычислять?
S
Теорема. Пусть S - гладкая поверхность , описываемая
уравнением ~r = ~r(u, v), где (u, v) ∈ ∆
RR
и пусть существует поверхностный интеграл 1-го рода
f (M )dS. Тогда существует и двойной интеграл
S
p
RR
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · g11 g22 − (g12 )2 dudv и имеет место равенство
∆ R R
p
RR
f (M )dS =
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · g11 g22 − (g12 )2 dudv
S
∆
Доказательство. Рассмотрим интегральную сумму, соответствующую поверхностному интегралу 1-го рода
n
RR
P
f (M )dS : σ =
f (Mi )∆Si . Здесь ∆Si - площадь элемента поверхности Si . Площадь элемента
i=1
S
R R p
поверхности Si , как мы знаем, может быть вычислена по формуле ∆Si =
g(u, v) dudv. Применим к
∆i
R R p
этой формуле теорему о среднем для двойного интеграла от непрерывной функции: ∆Si =
g(u, v)dudv =
∆i
g(u∗i , vi∗ )·S(∆i ), где (u∗i , vi∗ ) - некоторая точка, принадлежащая области ∆i , а S(∆i ) - площадь этой области.
Поскольку в интегральной сумме в качестве точки Mi можно выбрать любую точку, принадлежащую элементу Si , интегральную сумму, отвечающую поверхностному интегралу 1-го рода, запишем в виде
n
P
σ = f (x(u∗i , vi∗ ), y(u∗i , vi∗ ), z(u∗i , vi∗ ))g(u∗i , vi∗ )·S(∆i ), а это - не что иное, как интегральная сумма, отвечающая
i
p
RR
двойному интегралу
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · g(u, v)dudv.
∆
— 113 —
Согласно условию теоремы, конечный предел приR Rλ → 0 интегральных сумм поверхностного интеграла
существует, не зависит от выбора точек Mi и равен
f (M )dS. Следовательно, существует и не зависит от
S
p
RR
выбора точек Mi предел интегральных сумм двойного интеграла
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · g(u, v)dudv
∆
p
RR
RR
и эти интегралы равны между собой:
f (M )dS =
f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · g(u, v)dudv Теорема
S
∆
доказана.
В частном случае, когда поверхность S задана в явном виде z = z(x, y), где (x, y) ∈ D, имеем, (см.
√
лекцию 52 ) : ~rx = ~i + ~k · zx0 , ~ry = ~i + ~k · zy0 , g11 = 1 + (zx0 )2 , g22 = 1 + (zy0 )2 , g12 = zx0 · zy0 ,
g =
q
p
2
0
2
0
g11 g22 − (g12 ) = 1 + (zx ) + (zy ). Поэтому
q
RR
RR
R R f (x,y,z(x,y))
f (M )dS =
f (x, y, z(x, y)) · 1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 dxdy =
|cos γ(x,y)| dxdy.
S
D
D
Аналогично, если поверхность S задана
уравнением x = x(y, z), то
q
R R f (x(y,z),y,z)
RR
RR
f (M )dS =
f (x(y, z), y, z) · 1 + (x0y )2 + (x0z )2 dydz =
|cos α(y,z)| dydz.
S
D
D
Если поверхность S задана как y = y(x, z), то
p
RR
RR
RR
f (M )dS =
f (x, y(x, z), z) · 1 + (yx0 )2 + (yz0 )2 dxdz =
S
D
D
f (x,y(x,z),z)
|cos β(x,z)| dxdz.
Часто, в физических приложениях поверхностных интегралов 1-го рода, вместо скалярной функции f (M )
выступают векторные функции
F~ (M ) = ~i · P (M ) + ~j · Q(M ) + ~k · R(M ) ≡ ~i · P (x, y, z) + ~j · Q(x, y, z) + ~k · R(x, y, z).
Тогда, по определению:
RR
RR
RR
RR
RR
def R R
F~ (M )dS = ~i·
P (M )dS +~j ·
Q(M )dS +~k·
R(M )dS ≡ ~i·
P (x, y, z)dS +~j ·
Q(x, y, z)dS +
~k ·
R RS
R(x, y, z)dS.
S
S
S
S
S
S
Такие интегралы называются поверхностными интегралами 1-го рода от векторной функции F~ (M ).
Свойства
R R поверхностных интегралов 1-гоRрода.
R
RR
◦
1 .
(k1 · f (M ) ± k2 · g(M ))dS = k1 ·
f (M )dS ± k2 ·
g(M )dS, где k1 = const, k2 = const.
S
S
S
RR
RR
RR
◦
2 . Если S = S ∪ S, то
f (M )dS.
f (M )dS =
f (M )dS +
S
◦
3 .
◦
RR
S
f (M )dS ≤
RR
S
S
|f (M )| dS.
S
4 . Если функция f (x, y, z, ) непрерывна на гладкой поверхностиR RS, то на этой поверхности существует
точка M ∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ), такая, что в этой точке выполняется равенство
f (M )dS =f (M ∗ ) · S, или, что то же,
S
RR
f (x, y, z)dS =f (x∗ , y ∗ , z ∗ ) · S, где S - площадь поверхности, на которой определена функция f (x, y, z).
S
RR
◦
5 . Если f (x, y, z, ) > 0 во всех точках поверхности S, то
f (x, y, z, )dS > 0.
S
11.18. Ориентация поверхности и поверхностные интегралы 1-го рода.
Прежде чем переходить к определению поверхностного интеграла 2-го рода, необходимо ввести понятие
ориентированной поверхности. Для этого необходимо ввести понятие стороны поверхности.
Пусть S - гладкая поверхность. Возьмём на S некоторую внутреннюю точку M0 , проведём через неё
нормаль к S и выберем на этой нормали одно из двух возможных направлений. Это можно сделать, если фиксировать определённый единичный вектор ~n, нормальный к S в точке M0 . Проведём теперь на поверхности
S через точку M0 какой-либо замкнутый контур C, не имеющий общих точек с границей поверхности, и будем
передвигать единичный вектор ~n из точки M0 вдоль C так, чтобы этот вектор всё время оставался нормальным к S и его направление менялось при этом движении непрерывно. Поскольку вектор ~n всё время остаётся
нормальным к S, то имеются две возможности: либо при возвращении в точку M0 вектор ~n возвращается
в первоначальное положение, либо в результате обхода по контуру C вектор ~n меняет своё направление на
противоположное.
Определение. Гладкая поверхность S называется двусторонней, если обход по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S и не имеющему общих точек с её границей, не меняет направления нормали
к поверхности. Если же на поверхности существует замкнутый контур, при обходе по которому направление
нормали меняется на противоположное, то поверхность называется односторонней.
Односторонние поверхности называют неориентируемыми.
— 114 —
Примеров двусторонних поверхностей много. Любая гладкая поверхность, определяемая уравнением z =
f (x, y) - двустороняя. Всякая замкнутая поверхность , не имеющая самопересечений - например сфера, эллипсоид и т. п. - двусторонняя.
Простейшим примером односторонней поверхности может служить так называемый лист Мёбиуса.
Замечание. Двустороннюю поверхность называют также ориентируемой, а выбор определённой её стороны - ориентацией.
С понятием стороны поверхности тесно связано понятие ориентации её границы. При рассмотрении этого
понятия не будем ограничиваться только односвязными областями, а будем рассматривать также и m - связные
области, ограниченные контурами C1 , C2 , ... , Cm , то есть, вообще говоря, мы будем иметь дело с составными
m
S
границами C =
Ci .
i=1
Определение. Направление обхода граничного контура Ci считаем положительным, то есть согласованным с ориентацией поверхности S, если наблюдатель, расположенный на поверхности так, что направление
вектора нормали совпадает с направлением от ног к голове, обходит контур Ci , оставляя все точки поверхности
S слева от себя. Противоположное направление обхода мы считаем отрицательным.
Определение. Пусть γ - произвольный замкнутый контур, целиком принадлежащий ориентированной поверхности S и ограничивающий какую либо часть этой поверхности. Положительным считается тот обход
контура γ , при котором ограниченная этим контуром поверхность остаётся слева.
Перейдём к определению поверхностного интеграла 2-го рода. Пусть S - двустороняя поверхность, в точках которой определена векторная функция F~ (x, y, z) = ~i · P (x, y, z) + ~j · Q(x, y, z) + ~k · R(x, y, z). Выберем ориентацию поверхности S (то есть сторону поверхности), зафиксировав единичный вектор нормали
~n(x, y, z) = ~i · cos α(x, y, z) + ~j · cos β(x, y, z) + ~k · cos γ(x, y, z) в каждой точке M (x, y, z) поверхности S, (то
есть зафиксировав поле нормалей на поверхности).
RR
RR
[P · cos α + Q · cos β + R · cos γ] dS, называется
Определение. Интеграл вида
F~ · ~n dS =
S
S
поверхностным интегралом 2-го рода от векторной функции F~ (x, y, z) по выбранной стороне поверхности S.
Поскольку dS - бесконечно-малый элемент площади, то cos α · dS - есть проекция элемента dS на
плоскость y0z, и поэтому cos α · dS обозначим символом
dydz,
аналогично, обозначим cos β · dS RR
RR
~
P (x, y, z)dydz+Q(x, y, z)dzdx +
символом dzdx, а cos γ · dS - символом dxdy. Поэтому
F · ~n dS =
S
S
R(x, y, z)dxdy.
К понятию поверхностного интеграла 2-го рода, очевидно, можно прийти обычным путём: например интеграл
n
RR
P
R(x, y, z)dxdy определить через предел интегральных сумм вида σ =
R(ξi , ηi , ζi )∆Di , где ∆Di i=1
S
площадь проекции Si на плоскость x0y, взятая со знаком (+), если угол γ - острый и взятая со знаком (-),
если угол γ - тупой.
RR
RR
Q(x, y, z)dzdx.
P (x, y, z)dydz и
Аналогично определяются поверхностные интегралы 2-го рода
S
S
ЛЕКЦИЯ 54.
11.19. Вычисление поверхностных интегралов 2-го рода.
Способы вычисления поверхностных интегралов 2-го рода даются следующими двумя теоремами.
Теорема 1. Пусть кусочно-гладкая поверхность S задаётся уравнением z = z(x, y), где (x, y) ∈ D и
рассматриваетсяR верхняя
сторона поверхности,
когда угол γ, то есть угол между вектором нормали и осью z R
RR
острый. Тогда:
R(x, y, z)dxdy =
R(x, y, z(x, y))dxdy. Если поверхность z = z(x, y) такова, что угол
RR S
R RD
γ тупой, то
R(x, y, z)dxdy = −
R(x, y, z(x, y))dxdy.
S
D
RR
RR
RR
dxdy
Доказательство.
R(x, y, z)dxdy =
R(x, y, z) cos γ dS =
R(x, y, z(x, y)) cos γ |cos
γ| =
S
S
D
RR
dxdy
=
R(x, y, z(x, y))dxdy, так как (см. лекцию 53, п. 11.17) dS = |cos
γ| , и |cos γ| = cos γ, поскольку угол
D
γ острый и cos γ > 0.
Если же поверхность
R R z = z(x, y) такова, что
R R угол γ тупой, то |cos γ| = − cos γ, и формула для вычисления
интеграла примет вид
R(x, y, z)dxdy = −
R(x, y, z(x, y))dxdy.
RR S
RR D
Таким образом,
R(x, y, z)dxdy = ±
R(x, y, z(x, y))dxdy.
RR S
R RD
Аналогично,
P (x, y, z)dydz = ±
P (x(y, z), y, z)dydz, если поверхность задана уравнением x =
S
D∗
x(y, z). Здесь D∗ - проекция поверхности поверхности x = x(y, z) на координатную плоскость (y0z), а плюс
— 115 —
или минус перед интегралом выбирается в зависимости от того, острый или тупой угол между вектором нормали
к поверхности и положительным направлением оси x.
RR
R R
Если поверхность задана уравнением y = y(x, z), то
Q(x, y, z)dxdz = ±
Q(x, y(x, z), z)dxdz.
D ∗∗
S
Здесь D∗∗ - проекция поверхности поверхности y = y(x, z), на координатную плоскость (x0z), а плюс или
минус перед интегралом выбирается в зависимости от того, острый или тупой угол между вектором нормали к
поверхности и положительным
R Rнаправлением оси y.
Пример. Интеграл J =
R(x, y, z)dxdy, взятый по внешней стороне сферы x2 +y 2 +z 2 = a2 , используя
S
доказанныеR выше
формулы,
следующих
p легко представить вR виде
p двойных интегралов:
R
R
J =
R(x, y, + a2 − x2 − y 2 )dxdy −
R(x, y, − a2 − x2 − y 2 )dxdy, где D :
D
x2 + y 2 ≤ a2 .
D
Первое слагаемое равно интегралу, взятому по верхней стороне верхней полусферы, а второе вместе со знаком
минус, равно интегралу, взятому по нижней стороне нижней полусферы. Две таким образом ориентированные
полусферы составляют вместе внешнюю сторону полной сферы.
Теорема 2. RЕсли
кусочно-гладкая поверхность S задана параметрическим
уравнением ~r = ~r(u, v), где
R
RR
(u, v) ∈ ∆, то
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =
[P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · A(u, v) +
S
∆
Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v))R ·RB(u, v) + R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · C(u, v)]dudv.
RR
Доказательство.
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =
[P (x, y, z) cos α+
S
S
RR
+ Q(x, y, z) cos β +R(x, y, z) cos γ] dS =
[P (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) cos α+Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) cos β +
∆
√
+ R(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) cos γ] A2 + B 2 + C 2 dudv.
(N~ ·~i)
(N~ ·~j )
(N~ ·~k)
A
B
C
Мы знаем, что cos α = N~ = √A2 +B
, cos β = N~ = √A2 +B
, cos γ = N~ = √A2 +B
.
2 +C 2
2 +C 2
2 +C 2
| |
|R |R
| |
Подставив эти формулы в предыдущее выражение, получим
P (x, y, z)dydz+Q(x, y, z)dxdz+R(x, y, z)dxdy =
S
RR
[P (x(u, v), y(u, v), z(u, v))·A(u, v)+Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v))·B(u, v)+R(x(u, v), y(u, v), z(u, v))·C(u, v)]dudv,
∆
а это и есть требуемый результат. Теорема доказана.
11.20. Формула Остроградского - Гаусса.
Формула Остроградского - Гаусса устанавливает связь между тройным интегралом по пространственной
области Ω и поверхностным интегралом 2-го рода, взятым по внешней стороне поверхности S,
ограничиваюRR
R R R ∂P
∂Q
∂R
щей эту область:
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy =
∂x + ∂y + ∂z dxdydz.
S
Ω
Доказательство. При выводе этой формулы мы будем предполагать, что Ω - пространственная область,
которая допускает разбиение на конечное число как "z - цилиндрических"областей, так и на конечное число "x цилиндрических"и "y - цилиндрических"пространственных областей.
Пусть Ω∗ - "z - цилиндрическая"область, с верхней "шапочкой" z = Z2 (x, y) и нижней "шапочкой" z =
Z1 (x, y), которые мы обозначим символами S2 и S1 соответственно, и боковой поверхностью S3 с образующими, параллельными оси z.
∗
Рассмотрим функцию R(x, y, z) - непрерывную вместе со своей производной ∂R
∂z в области Ω , включая
её границу.
!
R R R ∂R(x,y,z)
R R Z2R(x,y) ∂R(x,y,z)
dxdydz =
dz dxdy =
Рассмотрим тройной интеграл
∂z
∂z
Ω∗
D Z1 (x,y)
RR
RR
R R
R R
=
R(x, y, Z2 (x, y))dxdy −
R(x, y, Z1 (x, y))dxdy =
R(x, y, z)dxdy +
R(x, y, z)dxdy +
D
S2
S1
RD
R
RR
+
R(x, y, z)dxdy =
R(x, y, z)dxdy.
S3
S
R R
Здесь интеграл
R(x, y, z)dxdy - это поверхностный интеграл по верхней "шапочке" z = Z2 (x, y), инS2
R R
теграл
R(x, y, z)dxdy - поверхностный интеграл по нижней "шапочке" z = Z1 (x, y), знак перед этим
S1
интегралом сменился из-за того,R что
R вектор нормали к этой поверхности образует тупой угол с положительным
направлением оси z, интеграл
R(x, y, z)dxdy по боковой поверхности S3 очевидно равен нулю, поскольS3
ку площадь проекции этой поверхности на плоскость x0y равна нулю. В результате в правой части равенства
мы получили поверхностный интеграл 2-го рода по внешней стороне всей поверхности S, ограничивающей
область Ω∗ .
R R R ∂R(x,y,z)
RR
RR
Окончательно:
dxdydz =
R(x, y, z)dxdy =
R(x, y, z) · cos α dS.
∂z
Ω∗
S
S
— 116 —
Это равенство справедливо и для любой области Ω, которую можно разбить на конечное число "z - цилиндрических"областей. В самом деле, разобъём Ω на такие части Ωi , и напишем для каждой из них доказанное только что равенство и просуммируем эти равенства. Справа мы получим тройной интеграл, взятый
по всей области Ω, а слева - сумму поверхностных интегралов, взятых по частям поверхности S, ограничивающей Ω, и по тем поверхностям, с помощью которых Ω разбивается на части Ωi , причём по каждой
из них интеграл берётся дважды, один раз по одной стороне, а второй раз - по другой. Поэтому в результате
суммирования все интегралы, взятые по разделяющим поверхностям, взаимно уничтожаются, и мы получаем
R R R ∂R(x,y,z)
RR
RR
dxdydz =
R(x, y, z)dxdy =
R(x, y, z) · cos α dS.
∂z
Ω
S
S
Пусть сейчас Ω∗∗ - "x - цилиндрическая"пространственная область, а P (x, y, z) и ∂P (x,y,z)
- суть непре∂x
рывные функции в области Ω∗∗ , включая её границу. Рассуждая аналогично тому, как это было сделано выше,
R R R ∂P (x,y,z)
RR
RR
получим:
dxdydz =
P (x, y, z)dydz =
P (x, y, z) · cos β dS.
∂x
Ω∗∗
S
S
Это равенство остаётся в силе и тогда, когда область Ω состоит из конечного числа "x - цилиндрических"
R R R ∂P (x,y,z)
RR
RR
частей:
dxdydz =
P (x, y, z)dydz =
P (x, y, z) · cos β dS.
∂x
Ω
S
S
R R R ∂Q(x,y,z)
RR
RR
Аналогично получим:
dxdydz =
Q(x, y, z)dzdx =
Q(x, y, z) · cos γ dS.
∂y
Ω
S
S
Пусть теперь Ω - некоторая область, которую можно представить как конечное число "z - цилиндрических" областей, так и как конечное число областей двух других видов и пусть функции P (x, y, z), Q(x, y, z),
, ∂Q(x,y,z)
, ∂R(x,y,z)
непрерывны в этой области всюду,
R(x, y, z) вместе со своими производными ∂P (x,y,z)
∂x
∂y
∂z
включая её
границу.
Тогда
справедливы
все
три
полученных
равенства.
Сложив
их получим
RR
R R R ∂P (x,y,z) ∂Q(x,y,z) ∂R(x,y,z) +
+
dxdydz
=
P
(x,
y,
z)dydz
+
Q(x,
y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy, или
∂x
∂y
∂z
Ω
S
в других обозначениях:
R R R ∂P (x,y,z) ∂Q(x,y,z)
+
+
∂x
∂y
Ω
∂R(x,y,z)
∂z
dxdydz =
RR
[P (x, y, z) · cos α+Q(x, y, z) cos β+R(x, y, z) cos γ]dS.
S
Это и есть формула Остроградского - Гаусса.
Формулу Остроградского - Гаусса иногда удобно записывать в векторной форме. Для этого целесообразно
∂
∂
∂
~ def
= ~i ∂x
ввести следующий векторный дифференциальный оператор ∇
+ ~j ∂y
+ ~k ∂z
, называемый оператором
Гамильтона или набла - оператором. Здесь вместо пустого места под знаком частной производной можно
поставить любую функцию трёх переменных (x, y, z), у которой существуют частные производные по соответствующему аргументу.
Пусть в области Ω задана векторная функция F~ (x, y, z) = ~i · P (x, y, z) + ~j · Q(x, y, z) + ~k · R(x, y, z).
~ · F~ ) = (~i ∂ + ~j ∂ + ~k ∂ ) · (~i · P (x, y, z) + ~j · Q(x, y, z) +
Применим к ней оператор Гамильтона. Получим (∇
∂x
∂y
∂z
~k · R(x, y, z)) = ∂P (x,y,z) + ∂Q(x,y,z) + ∂R(x,y,z) . Это означает, что формула Остроградского - Гаусса может
∂x
∂y
∂z
RRR
RR
~ · F~ )dV =
быть записана в векторном виде:
(∇
(F~ · ~n)dS.
Ω
S
Из формулы Остроградского - Гаусса легко получить выражение для объёма области Ω в виде поверхностного интеграла по замкнутой поверхности S, - границе этой области.
Подберём функции P (x, y, z), Q(x, y, z), и R(x, y, z) так, чтобы ∂P (x,y,z)
+ ∂Q(x,y,z)
+ ∂R(x,y,z)
= 1. Тогда
∂y
∂z
RR
R R R ∂x
получим
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy =
dV = V, где V - объём, ограниченный
S
Ω
поверхностью S.
В частности,
положив P = 13 x, Q = 13 y, R = 13 z, мы получим для вычисления объёма удобную формулу
RR
1
V =3
xdydz + ydzdx + zdxdy.
S
ЛЕКЦИЯ 55.
11.21. Формула Стокса.
Формула Стокса связывает криволинейные интегралы с поверхностными. Пусть в некоторой области пространства определена векторная функция F~ (x, y, z) = ~i · P (x, y, z) + ~j · Q(x, y, z) + ~k · R(x, y, z), то есть
задано векторное поле. Пусть также эта пространственная область содержит гладкую поверхность S, ограниченную ориентируемым контуром C. Пусть компоненты векторного поля P (x, y, z), Q(x, y, z), и R(x, y, z) непрерывные функции вместе со своими частными производными в рассматриваемой области (а следовательно,
автоматически, и на поверхности S, и на контуре C. )
Введём в рассмотрение следующее векторное поле:
— 117 —
−
→
→−
→−
i
j
k
→ ∂R
~ def
~ × F~ ] = det  ∂ ∂ ∂  = −
= [∇
W
i ∂y −
∂x ∂y ∂z
P Q R
∂Q
∂z
→
−
+ j
∂P
∂z
−
∂R
∂x
→
−
+ k ∂Q
∂x −
При всех высказанных выше предположениях имеет место формула Стокса:
∂P
∂y
H
.
RR
~ · ~n dS,
F~ · d~r =
W
C
или, в подробной (координатной) форме записи:
H
R R ∂R ∂Q P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =
∂y − ∂z dydz +
C
S
h
i
RR
∂Q
∂Q
∂R
∂P
∂R
∂P
−
·
cos
α
+
−
·
cos
β
+
−
·
cos
γ
dS.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂P
∂z
−
∂R
∂x
S
dzdx +
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dxdy =
S
Доказательство. Рассмотрим сначала случай задания поверхности
H
H в виде
R R z R=R Z(x, y), где (x, y) ∈ D.
Преобразование криволинейного интеграла проведём по схеме:
→ →
→
, то есть криволинейный
C
Γ
D
S
интеграл по пространственному контуру C преобразуем в криволинейный интеграл по плоскому контуру Γ,
затем с помощью формулы Грина переведём его в двойной интеграл по области D и, наконец, этот последний
интеграл преобразуем в поверхностный интеграл по S.
Для
H удобства вывода формулы Стокса рассмотрим сначала только "одну треть" криволинейного интеграла
J1 = P (x, y, z)dx.
C
H
H
Заметим прежде всего, что J1 = P (x, y, z)dx = P (x, y, Z(x, y))dx, поскольку контур C лежит
C
Γ
на поверхности S, заданной
уравнением z = Z(x, y). Далее, применив формулу Грина, получим J1 =
H
R R ∂P
∂P
∂z
P (x, y, Z(x, y))dx = −
∂y + ∂z · ∂y dxdy (здесь P - сложная функция от x и y, и мы учли это
Γ
D
при вычислении производной от P по y. )
Воспользовавшись теперь выражениями для направляющих
косинусов
нормали (см. лекцию 52, п 11.15),
R R ∂P
cos β
cos β
∂P
∂z
получим, что ∂y = − cos γ . Поэтому J1 = −
∂y − ∂z · cos γ dxdy. Преобразуем теперь этот двойной
D
интеграл в поверхностный (см. лекцию 54, п.11.19.).
R R ∂P
R R ∂P
dxdy
∂P
Получаем J1 = −
·
cos
γ
−
·
cos
β
=
−
∂y
∂z
cos γ
∂y · cos γ −
S S
H
R R ∂P
∂P
Таким образом, P (x, y, z)dx =
∂z · cos β − ∂y · cos γ dS.
C
∂P
∂z
· cos β dS.
S
Мы предполагали, что поверхность S задана уравнением z = Z(x, y). Зададим теперь ту же поверхность
S уравнением y = Y (x, z). Рассуждения, аналогичные
проведённым выше, дают
H
R R ∂Q
∂Q
·
cos
γ
−
·
cos
α
dS.
Q(x, y, z)dy =
∂x
∂z
C
S
H
R R ∂R
∂R
Аналогично, R(x, y, z)dz =
·
cos
α
−
·
cos
β
dS.
∂y
∂x
C
S
H
Складывая все эти три равенства, получаем P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz =
C
i
R R h ∂R ∂Q ∂Q
∂P
∂R
∂P
=
−
·
cos
α
+
−
·
cos
β
+
−
·
cos
γ
dS. Формула Стокса доказана.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
S
Замечание. При выводе формулы Стокса мы пользовались декартовой системой координат. Но ни криволинейный, ни поверхностный
интегралы
не зависят
от способа задания поверхности S и её границы C.
H
RR
~
~
Поэтому формула Стокса
F · d~r =
W · ~n dS остаётся в силе и при любом другом способе задания
C
S
поверхности, например с помощью параметрического уравнения ~r = ~r(u, v).
11.22. Условие независимости криволинейного интеграла от пути.
Теорема. Пусть P (x, y, z), Q(x, y, z), и R(x, y, z) - функции, непрерывные вместе со своими частными
производными в некоторой поверхностно-односвязной (т.е. без "дырок"на границе) пространственной области
Ω и на её
H границе. Тогда следующие четыре утверждения равносильны между собой:
◦
1 .
P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz = 0 по любому замкнутому пути C ∈ Ω.
CR
◦
2 .
P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz не зависит от пути, соединяющего точки A ∈ Ω и B ∈ Ω.
◦
AB
3 . В Ω существует функция U (x, y, z) такая, что P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = dU (x, y, z).
−
→ ∂Q ∂P ◦
→ ∂R ∂Q −
→
∂R
~ def
~ × F~ ] = −
= [∇
4 .W
i ∂y − ∂z + j ∂P
−
+
k ∂x − ∂y = 0, то есть выполняются равенства:
∂z
∂x
∂Q
∂P
∂R
∂P
= ∂Q
∂z , ∂z = ∂x , ∂x = ∂y .
Доказательство. Доказательство этой теоремы проведём по замкнутой схеме: 4 → 1 → 2 → 3 → 4.
∂R
∂y
— 118 —
◦
~ = 0. Рассмотрим любой замкнутый контур C ∈ Ω и натянем на этот
Пусть выполнено условие 4 : W
RR
H
~ · ~n dS = 0, так
контур любую гладкую поверхность S ∈ Ω. Тогда по формуле Стокса,
F~ · d~r =
W
C
S
H
H
◦
~
~
как W = 0. Отсюда
F · d~r = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz = 0. Условие 1 выполнено.
C
C
Две произвольно выбранные точки A ∈ Ω и B ∈ Ω соединим произвольным образом двумя
различными
H
непрерывными кривыми AnB и AmB. Получим замкнутый контур AnBmA, по нему
F~ · d~r = 0,
AnBmA
R R R R R R ~
~
~
~
~
F · d~r +
F · d~r = 0,
F · d~r = −
F · d~r ,
F · d~r =
F~ · d~r .
или
AnB
BmA
AnB
BmA
AnB
AmB
◦
Значение криволинейного интеграла не зависит от пути, соединяющего точки A и B. Условие 2 выполнено.
RB RB
R Рассмотрим интеграл
F~ · d~r =
F~ · d~r = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz. Зафиксируем
AB
A
A
координаты точки A(x0 , y0 , z0 ), а точку B(x, y, z) будем считать переменной. Тогда наш интеграл, очевид(x,y,z)
R
но, будет являться функцией только верхнего предела интегрирования:
P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy +
(x0 ,y0 ,z0 )
R(x, y, z)dz = U (x, y, z).
U (x+∆x,y,z)−U (x,y,z)
∆x
Рассмотрим:
=
1
∆x ·
(x+∆x,y,z)
R
P dx + Qdy + Rdz −
(x0 ,y0 ,z0 )
=
1
∆x
·
(x+∆x,y,z)
R
1
∆x
P dx + Qdy + Rdz =
(x,y,z)
·
(x+∆x,y,z)
R
(x,y,z)
R
!
P dx + Qdy + Rdz
=
(x0 ,y0 ,z0 )
P (x, y, z)dx. Применим к последнему интегралу тео-
(x,y,z)
1
∆x
(x+∆x,y,z)
R
1
P (x, y, z)dx = ∆x
· P (x + θ · ∆x, y, z) · ∆x = P (x + θ · ∆x, y, z).
(x,y,z)
(x,y,z)
Таким образом, U (x+∆x,y,z)−U
= P (x+θ·∆x, y, z). Переходя в этом равенстве к пределу при ∆x → 0
∆x
(x,y,z)
=
lim
P (x + θ · ∆x, y, z) → ∂U (x,y,z)
= P (x, y, z).
получим lim U (x+∆x,y,z)−U
∆x
∂x
∆x→0
∆x→0
◦
Рассуждая аналогично, покажем, что ∂U (x,y,z)
= Q(x, y, z), ∂U (x,y,z)
= R(x, y, z). Условие 3 выпол∂y
∂z
рему о среднем. Получим
·
нено.
◦
∂2U
∂2U
= ∂y∂x
→
Поскольку условие 3 выполнено, то в силу теоремы о смешанных производных, имеем: ∂x∂y
∂Q
∂Q
∂U
∂
∂U
∂P
∂2U
∂2U
∂R
∂P
∂2U
∂2U
∂R
∂
= ∂y ∂x → ∂x = ∂y . Аналогично, ∂x∂z = ∂z∂x → ∂x = ∂z ,
∂x
∂y
∂y∂z = ∂z∂y → ∂y = ∂z .
◦
Условие 4 выполнено, круг замкнулся.
Теорема доказана.
В заключение найдём функцию U (x, y, z) такую, что P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz = dU (x, y, z).
Rx
Для этого проинтегрируем по x выражение ∂U (x,y,z)
=
P
(x,
y,
z).
Получим
U
(x,
y,
z)
=
P (x, y, z)dx +
∂x
x0
A(y, z), где A(y, z) - произвольная пока функция указанных в скобках аргументов.
Rx ∂P (x,y,z)
Rx ∂Q(x,y,z)
∂A(y,z)
Далее: Q(x, y, z) = ∂U (x,y,z)
=
dx
+
=
dx + ∂A(y,z)
= Q(x, y, z) − Q(x0 , y, z) +
∂y
∂y
∂y
∂x
∂y
x0
∂A(y,z)
.
∂y
Ry
Следовательно,
x0
∂A(y,z)
∂y
= Q(x0 , y, z). Проинтегрировав это выражение по y, получим A(y, z) =
Rx
Ry
Q(x0 , y, z)dy + B(z), тогда U (x, y, z) = P (x, y, z)dx + Q(x0 , y, z)dy + B(z).
y0
x0
y0
Найдём теперь функцию B(z).
Имеем: R(x, y, z) =
∂B(z)
∂z
Rz
∂U (x,y,z)
∂z
=
Rx
x0
∂P (x,y,z)
dx
∂z
+
Ry
y0
∂Q(x0 ,y,z)
dy
∂z
= R(x, y, z) − R(x0 , y, z) + R(x0 , y, z) − R(x0 , y0 , z) +
∂B(z)
∂z ,
+
∂B(z)
∂z
откуда
=
Rx
∂R(x,y,z)
dx
∂x
xo
∂B(z)
∂z
+
Ry
y0
∂R(x0 ,y,z)
∂x
+
= R(x0 , y0 , z) → B(z) =
R(x0 , y0 , z)dz.
z0
В итоге
U (x, y, z) =
Rx
x0
P (x, y, z)dx +
Ry
y0
Q(x0 , y, z)dy +
Rz
R(x0 , y0 , z)dz.
z0
ЛИТЕРАТУРА.
1. Г. М. Фихтенгольц. "Курс дифференциального и интегрального исчисления."Издательство "Наука", Москва 1970г.
2. В. А. Ильин, Э. Г. Поздняк. "Основы математического анализа."Издательство "Наука", Москва,1965г.
— 119 —
3. Б. М. Будак, С. В. Фомин. "Кратные интегралы и ряды". Издательство "Наука", Москва 1967г.
4. Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В.Н. Чубариков. "Лекции по математическому анализу". Издательство
"Высшая школа". Москва 1999г.