Задачи на экзамен по геометрии 8 класс 1. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ=6, АС=10. 2. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=12, СК=16. 3. На стороне AD параллелограмма ABCD отметили точку М. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника МВС равна 7. 4. Около трапеции АВСD, один из углов которой равен 36°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. 5. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=8 и CH=2. Найдите высоту ромба. 6. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если 7. Отрезки АВ и СD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ=40, а расстояние от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 21 и 20. 8. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и N так, что угол BMN равен угла BCA. Найдите MN, если АС=28, АВ=21, ВN=15 9. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна 84°? Ответ дайте в градусах 10. В треугольнике АВС угол С равен 90°, Найдите 11. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках M, N, Р. Найдите углы треугольника АВС, если углы треугольника MNP равны 52°, 56° и 72°. 12. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла В прямоугольного треугольника АВС. Окружность с диаметром BH пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно. Найдите ВН, если РК=15. 13. Отрезки АВ и CD лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ=15, DC=30, АС=39. 14. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=21, BF=20 15. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=25. 16. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба. 17. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 36. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе 18. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см. Найдите основание треугольника 19. Диагональ трапеции перпендикулярна её основаниям, тупой угол, прилежащий к большему основанию, равен 120°, боковая сторона, прилежащая к этому углу,-12 см, а большее основание -16 см. Найдите среднюю линию трапеции. 20. Найдите углы параллелограмма, если угол между его высотами, проведенными из одной вершины, равен 130° 21. Один из углов прямоугольной трапеции равен 135°, средняя линия -21 см, а основания относятся как 5 : 2. Найдите меньшую боковую сторону трапеции. 22. В трапеции ABCD известно, что угол В равен 90°, угол С равен 150°, ВС=5 см. Найдите сторону CD, если высота трапеции, проведённая из вершины С, разбивает данную трапецию на треугольник и квадрат. 23. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, АВ=6см. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки А, В, М 24. Периметр параллелограмма равен 48 см. Биссектриса тупого угла делит его сторону в отношении 2 : 1, считая от вершины острого угла. Может ли меньшая сторона параллелограмма быть равной 7 см? 25. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите периметр трапеции 26. Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые к гипотенузе, равны соответственно 13 см и 12 см. Найдите периметр данного треугольника 27. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС медианы АМ и СК пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОС – равнобедренный, и найдите его боковые стороны, если АМ=21 см. 28. В равнобокой трапеции основания равны 18 см и 12 см. Боковая сторона образует с основанием угол 30°. Найдите диагональ трапеции. 29. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ=6, АС=10. 30. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=12, СК=16. 31. На стороне AD параллелограмма ABCD отметили точку М. Найдите площадь параллелограмма, если площадь треугольника МВС равна 7. 32. Около трапеции АВСD, один из углов которой равен 36°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции. 33. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=8 и CH=2. Найдите высоту ромба. 34. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если
