Министерство образования и науки Российской Федерации Балаковский инженерно-технологический институт – филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Кафедра «Промышленное и гражданское строительство» Дисциплина: Сопротивление материалов Расчетно-графическая работа №5 «Расчет статически неопределимых систем» Выполнил: студент группы СЗС-31 Кутанов М.И. Проверил: доц., к.т.н. Паницкова Г.В. Балаково 2017 Задача 5.1. Брус закрепить с обоих концов жесткими заделками, превратив его в статически неопределимую систему. Сосредоточенные силы, приложенные в опорных сечениях, во внимание не принимать. Считая жесткость бруса EA постоянной, построить эпюру нормальных сил. Решение. Степень статической неопределимости: n н у 2 1 1. Следовательно, количество «лишних» связей л 1. Заданная система один раз статически неопределима, для превращения ее в статически определимую систему необходимо отбросить одну лишнюю связь. Отбрасываем правую опору и, прикладывая к основной системе реакцию в этой связи и нагрузку, получим эквивалентную систему. Запишем каноническое уравнение метода сил: 11 X 1 1 p 0. Приложим к основной системе единичную силу и нагрузку, построим эпюры N1 и N p . Путем перемножения соответствующих эпюр по формуле Верещагина найдем коэффициенты канонического уравнения: l 11 0 N1 N1 1 1 3a 1 3a , dx EA EA EA 2 N p N1 1 1 3qa 1 p dx 2qa qa a 1 . EA EA 2 2 EA 0 l Решая каноническое уравнение, найдем: 1 p 3qa2 EA qa X1 . 11 2 EA 3a 2 Приложим найденное значения реакции в отброшенной связи и нагрузку к основной системе и построим окончательную эпюру нормальных сил. Выполняем деформационную проверку, умножая эпюры N на N1 : l B 0 N N1 1 1 3 qa qa dx 2a 1 0 a 1 qa EA EA 2 2 2 2 Следовательно, точка B в эквивалентной системе не перемещается т.е. задача решена верно. Задача 5.1 Лист 2 Задача 5.1 Лист 3 Задача 5.2. К стержневой системе добавить стержень, превратив ее в статически неопределимую систему. Площадь поперечного сечения добавленного стержня принять 2A, а остальных стержней A. Определить нормальные напряжения в стержнях, выразив их через силу P. Далее, приняв A 5см2 из условия прочности max R определить допускаемое значение силы P. Решение. Степень статической неопределимости: Дано: n н у 4 3 1. A 5 см2 Следовательно, количество «лишних» связей л 1. R 210 МПа Заданная система один раз статически неопределима, для Pдоп ? превращения ее в статически определимую систему необходимо отбросить одну лишнюю связь. Отбрасываем второй стержень и, прикладывая к основной системе реакцию в этой связи и нагрузку, получим эквивалентную систему. Запишем каноническое уравнение метода сил: 11 X 1 1 p 0. Продольные силы в стержнях определены в РГР №1. Найдём продольные силы в стержнях во вспомогательном состоянии с помощью уравнений статического равновесия: F x M F y 0; C 0; 0; N 3 0; a a 1 1 N 2 a 0 N 2 ; 4 4 a 4 1 3 N1 1 N 2 0 N1 1 N 2 1 . 4 4 1 Путем перемножения соответствующих эпюр по формуле Верещагина найдем коэффициенты канонического уравнения: 1 l 1 3 3 1 1 11 N N dx a a 1 1 EA 0 EA 4 4 4 4 1 1 a 1 1 9a a 1 a 5a a 9a , 2 EA EA 16 16 2 EA 8EA 2 EA 8 EA 1 l 1 P 3 P 1 N p N 1dx a a EA 0 EA 2 4 2 4 1 3Pa Pa Pa . EA 8 8 2 EA 1 p Задача 5.2 Лист 4 Задача 5.2 Лист 5 Решая каноническое уравнение, найдем: X1 1 p Pa 8EA 4 P . 11 9 2 EA 9a Для построения эпюры N используем принцип независимости действия сил и для этого вычислим ординаты эпюр на каждом участке, используя формулу: N N P N 1 1; P 3 4P P ; 2 4 9 6 P 1 4P 7 P 2 N 2 N P 2 N 1 1 ; 2 4 9 18 4P 3 N 3 N P3 N 1 1 0 0 0; 9 4P 4P 4 N 4 N P 4 N 1 1 0 1 ; 9 9 1 N1 N P1 N 1 1 Выполняем деформационную проверку, умножая эпюры N на N1 : N N1 1 P 3 7 P 1 dx a a EA EA 6 4 18 4 0 1 4P 1 Pa 7 Pa 1 4 Pa a 1 2 EA 9 EA 8 72 2 EA 9 2 Pa 2 Pa 0. 9 EA 9 EA l 1 p Следовательно, продольные силы в стержнях найдены верно. Определим напряжения в стержнях конструкции по формуле 1 P 1 P ; 6 A 6A 2 7P 1 7P ; 18 A 18 A N : A 3 0; 4 4P 1 2P ; 9 2A 9A Максимальное напряжение возникает во втором стержне. Из условия прочности, определим допускаемое значение силы P: max R. max 7P 7P R; 18 A 18 A 18 AR 18 0,0005 210 106 P 270000 Н 270 кН . 7 7 Задача 5.2 Лист 6 Задача 5.4. На балке (схема 5) установить дополнительную шарнирно-подвижную опору, превратив ее в статически неопределимую. Выбрав рациональную основную систему, раскрыть статическую неопределимость системы и построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Принять жесткость балки EJ постоянной по всей длине. Решение. Степень статической неопределимости: n н у 4 3 1. Следовательно, количество «лишних» связей л 1. Заданная система один раз статически неопределима, так как для превращения ее в статически определимую систему необходимо отбросить одну лишнюю связь. Отбрасываем шарнирно-подвижную опору и, прикладывая к основной системе реакцию в этой связи и нагрузку, получим эквивалентную систему. Запишем каноническое уравнение метода сил: 11 X 1 1 p 0. Приложим к основной системе единичную силу и нагрузку, построим эпюры M P и M 1 . Перемножая соответствующие эпюры, вычислим коэффициенты канонического уравнения. При умножении эпюры M 1 саму на себя и при умножении эпюры M 1 на M P применяем формулу Симпсона. 1 l 1 4a 11 M 1 M 1dx 4a 4a 4 2a 2a 0 0 EJ 0 EJ 6 3 1 4a 1 4a 64a 2 2 2 16 a 16 a 32 a , EJ 6 EJ 6 3EJ 1 l 1 a 3 2 15 2 7 a 1 p M P M 1dx 2qa2 3a qa 4a 4 qa EJ 0 EJ 6 2 8 2 3a 3a 105 3 1 a 3 2qa2 3a 4 2qa2 2qa2 0 qa 6qa3 6qa 6 2 4 EJ 6 3a 1 51 4 123qa4 1 a 153 3 3a 3 4 6qa3 12qa3 qa 18 qa qa 9 qa EJ 8 6 6 8 EJ EJ 6 4 Решая каноническое уравнение, найдем: 1 p 123qa4 3EJ 369 X1 qa. 3 11 8EJ 64a 512 Задача 5.4 Лист 7 Задача 5.4 Лист 8 Приложим найденное значения реакции в отброшенной связи и нагрузку к основной системе и построим окончательную эпюру изгибающих моментов. Сечение 1 – 1 0 x 3a M 1 x 2 M 1 x M 1 x 0 2qa2 M 1 x a 2qa2 369 2 655 2 qa qa 512 512 369 369 2 143 2 M 1 x 2a 2qa2 qa 2a 2qa2 qa qa 512 256 256 369 1107 2 83 M 1 x 3a 2qa2 qa 3a 2qa2 qa qa2 512 512 512 Сечение 2 – 2 0 x a x2 уравнение параболы 2 369 1107 2 83 M 2 x 0 2qa2 qa 3a 2qa2 qa qa2 512 512 512 2 369 a 369 2 qa2 177 2 2 2 M 2 x a 2qa qa 3a a q 2qa qa qa 512 2 128 2 128 M 2 x 2 M 1 3a x q 2 a a 369 a 2583 2 qa2 663 2 2 2 2 M 2 x 2qa qa 3a q 2qa qa qa 2 512 2 2 1024 8 1024 Выполняем деформационную проверку, умножая эпюры M P на M 1 . Определим вертикально перемещение точки A, которое должно быть равно нулю, т.к. перемещение точки по оси ординат ограничено шарнирно-подвижной опорой: 1 l A M M 1 dx EJ 0 1 a 7a 663 2 177 2 83 2 qa 4 qa 3a qa 4a EJ 6 5 1024 128 512 3a 83 2 83 2 2 3a qa 2 0 2qa2 3a 2qa2 0 qa 6 512 512 1 a 177 3 4641 3 249 3 qa qa qa EJ 6 32 512 512 3a 249 3 3 qa 0 6 qa 0 6 256 Задача 5.4 Лист 9 1 EJ a 3861 3 3a 1287 3 1 1287 4 1287 4 qa qa qa qa 0. 6 256 EJ 512 512 6 256 Следовательно, точка A в эквивалентной системе не перемещается т.е. задача решена верно. Построим эпюру поперечных сил. Сечение 1 – 1 0 x 3a Q1 x 1 369 qa 512 Сечение 2 – 2 0 x a Q2 x 1 q x Q2 x 0 Q1 x 1 369 qa 512 369 881 Q2 x a qa qa qa 512 512 Задача 5.4 Лист 10 Задача 5.5. Вал постоянного поперечного сечения (схема 3) закрепить с обоих концов жесткими заделками, превратив его в статически неопределимую систему. Сосредоточенные моменты, приложенные в торцевых сечениях, во внимание не принимать. Построить эпюру крутящих моментов. Решение. Степень статической неопределимости: n н у 2 1 1. Следовательно, количество «лишних» связей л 1. Заданная система один раз статически неопределима, так как для превращения ее в статически определимую систему необходимо отбросить одну лишнюю связь. Отбрасываем правую опору и, прикладывая к основной системе реакцию в этой связи и нагрузку, получим эквивалентную систему. Запишем каноническое уравнение метода сил: 11 X 1 1 p 0. Приложим к основной системе единичную силу и нагрузку, построим эпюры M KP и M K 1 . Путем перемножения соответствующих эпюр по формуле Верещагина найдем коэффициенты канонического уравнения: 1 l 1 1 5a 1 5a , 11 M K 1 M K 1dx GJ K 0 GJ K GJ K 1 p 1 l 1 1 4qa3 2 M M dx 4 qa 2 a 1 . K 1 KP GJ K 0 GJ K 2 GJ K Решая каноническое уравнение, найдем: X1 1 p 4qa3 GJ K 4qa2 . 11 GJ 5 a 5 K Приложим найденное значения реакции в отброшенной связи и нагрузку к основной системе и построим окончательную эпюру крутящих моментов. Выполняем деформационную проверку, умножая эпюры M K на M K 1 . Определим угол закручивания сечения A, который должен быть равен нулю, т.к. сечение находится в жесткой заделке: Задача 5.5 Лист 11 Задача 5.5 Лист 12 1 l 1 2a 16qa2 6qa 2 4qa2 M M dx 1 4 1 K 1 1 K GJ K 0 GJ K 6 5 5 5 4qa2 1 2a 16qa2 24qa 2 4qa2 12qa3 3a 1 5 5 5 5 5 GJ K 6 A 1 2a 36qa2 12qa3 1 GJ K 6 5 5 GJ K 12qa3 12qa3 5 5 0. Следовательно, сечение A в эквивалентной системе не закручивается т.е. задача решена верно. Задача 5.5 Лист 13