ключевые задачи C2 - Образовательном центре ОАО &quot

НОУ СОШ «Образовательный центр ОАО «Газпром»
ЕГЭ 2011
МАТЕМАТИКА
Задачи С2
Учитель математики
Моисеева Е.В.
Москва, 2011 г.
КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ
для С2
1. Найти угол между диагоналями смежных граней куба.
2. Найти угол между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю
грани.
3. Найти угол между диагональю куба и плоскостью, проведенной через концы
трех ребер куба, выходящих из той же вершины, что и диагональ.
4. В кубе
диагональ
перпендикулярна плоскостям A
и делится ими на три равные части.
5. Отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер
пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
6. В
правильной
перпендикулярны.
треугольной
пирамиде
Cи
тетраэдра,
скрещивающиеся
ребра
7. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер правильного
тетраэдра, является их общим перпендикуляром и имеет длину
, где
а – длина ребра.
8. Любое сечение треугольной пирамиды плоскостью, параллельной ее
скрещивающимся ребрам, является параллелограммом.
9. Любое сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью,
параллельной ее скрещивающимся ребрам, есть прямоугольник.
10. Координаты точки M(x; y; z), делящей отрезок
и
определяются формулами
;
между точками
= ,
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего
перпендикуляра.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
1) равно расстоянию от любой точки одной из этих прямых до плоскости, проходящей через
вторую прямую параллельно первой прямой;
2) равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые;
3) равно
A; ) , где A = ,
если ортогональная проекция на плоскость αпереводит прямую а в точку А, а прямую b в
прямую , то расстояние между скрещивающимися прямыми а и b равно расстоянию от
точки А до прямой ;
4) вычисляется по формуле
где А и В – точки на одной прямой, С и D – точки на другой прямой, ϕ - угол между данными
прямыми;
5) определяется с помощью векторного метода;
6) определяется с помощью координатно-векторного метода
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Пример 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны
Найдите расстояние между прямыми BD и SA
Решение.
Пусть Е – основание перпендикуляра (рис. 1), опущенного из точки О на ребро SA.
Так как прямая BD перпендикулярна плоскости AOS, то BD ⊥ OE .
Таким образом, ОЕ – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым BD и SA.
Найдем его длину, вычислив двумя способами площадь треугольника AOS.
Из равенства AO⋅ SO = AS ⋅OE, где
AO =
,
AS = 1,
SO =
,
следует, что OE =
Рис. 1
Ответ: 0,5.
КООРДИНАТНО-ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД
ПРИМЕР 2. В единичном кубе
найдите расстояние между диагональю куба
и диагональю грани
.
Решение.
Введем прямоугольную систему координат (рис.2)
тогда А(0;0;0) , В(0;1;0) , (0;1;1) , (1;0;1)
Пусть EF – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых
EF ⊥ B
, причем E ∈ A
и F∈ B
и
, то есть EF ⊥ A
. Обозначим
и воспользуемся формулами для координат точки, которая делит данный отрезок в заданном
отношении.
Получим E
.
Пусть
Так как вектор
и
тогда E(0; p; p) , F(q;1− q;q) .
= (q; 1− q − p; q − p) должен быть перпендикулярным векторам
меем систему уравнений
или
Отсюда
,
EF=
=
Ответ:
ПРИМЕР3. В единичном кубе АВСДА1
и BD.
Решение: использование ключевой задачи.
Ответ:
Сайт: www.Alexlarin.narod.ru
и найдите расстояние между прямыми