ГЕОМЕТРИЯ 11 Тема: « Угол между скрещивающимися прямыми" План работы 1. Прочитай и законспектируй в рабочую тетрадь по геометрии теоретическую часть. Дополнительно повтори п 46- 48 стр 105 учебника «Геометрия 10-11» 2. Выполни практическую часть темы на листках. Теоретическая часть Определение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися, параллельными им прямыми, не превосходящий остальных трёх. b ∙ 𝛼 a ∙ 𝑎_𝑏 (𝑎;̂ 𝑏) = AOB В О А Алгоритм векторно-координатного метода: 1. Введём прямоугольную систему координат и единицу измерения 2. Найдём координаты нужных точек 3. Найдём координаты направляющих векторов скрещивающихся прямых 4. Найдём угол между векторами по формуле |𝑥1 𝑥2 +𝑦1 𝑦2 +𝑧1 𝑧2 | cos 𝜑 = |cos 𝜑| = . √𝑥12 +𝑦12 +𝑧12 .√𝑥22 +𝑦22 +𝑧22 Рассмотрим решение одной задачи типа С2 координатно-векторным способом Задача. В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точки E и F середины рёбер соответственно A1 B1 и B1 C1 . Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВF z K Дано: 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 – куб Е – середина A1 B1 F – середина B1 C1 Найти: cos(𝐴𝐸;̂ 𝐵𝐹) F 𝐴1 E 𝐵1 D A y B x Решение: 1. Введём прямоугольную систему координат, как показано на рисунке 2) Общность задачи не нарушится, если ребро куба обозначить за 2 (можно взять любое число) 3) Найдём координаты нужных точек А(2;0;0) Е(2;1;2) F(1;2;2) B(2;2;0) 4) Введём направляющие векторы прямых АЕ и BF, и найдём их координаты: ⃗⃗⃗⃗⃗ {0;1;2} 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐹 {-1;0;2} 5) Для нахождения косинуса угла между прямыми, воспользуемся формулой: ⃗⃗⃗⃗⃗ ;̂ ⃗⃗⃗⃗⃗ cos(𝐴𝐸;̂ 𝐵𝐹) = |cos(𝐴𝐸 𝐵𝐹 )| = => cos(𝐴𝐸;̂ 𝐵𝐹1 ) = ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐹 | |𝐴𝐸 => ⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ |𝐵𝐹 ⃗⃗⃗⃗⃗ | |𝐴𝐸 |0 + 0 + 4| √0 + 1 + 4 ∙ √1 + 0 + 4 Ответ: cos(AE;̂ BF) = 0,8 = 4 = 0,8 5 Практическая часть Задача 1 В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точка М делит ребро куба в отношении 3:1. Точка N делит ребро куба ВС пополам. Найти косинус угла между прямыми MN и ВС. Задача 2 В правильной шестиугольной призме 𝐴 … 𝐹1 , ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми 𝐴𝐵1и 𝐵𝐹1 . Задача 3 В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между прямыми ВС и АЕ. ______________________________________________________________________ Задача 1 В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точка М делит ребро куба в отношении 3:1. Точка N делит ребро куба ВС пополам. Найти косинус угла между прямыми MN и ВС. Задача 2 В правильной шестиугольной призме 𝐴 … 𝐹1 , ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми 𝐴𝐵1и 𝐵𝐹1 . Задача 3 В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между прямыми ВС и АЕ. ______________________________________________________________________ Задача 1 В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точка М делит ребро куба в отношении 3:1. Точка N делит ребро куба ВС пополам. Найти косинус угла между прямыми MN и ВС. Задача 2 В правильной шестиугольной призме 𝐴 … 𝐹1 , ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми 𝐴𝐵1и 𝐵𝐹1 . Задача 3 В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между прямыми ВС и АЕ. ______________________________________________________________________ Задача 1 В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точка М делит ребро куба в отношении 3:1. Точка N делит ребро куба ВС пополам. Найти косинус угла между прямыми MN и ВС. Задача 2 В правильной шестиугольной призме 𝐴 … 𝐹1 , ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми 𝐴𝐵1и 𝐵𝐹1 . Задача 3 В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между прямыми ВС и АЕ. ______________________________________________________________________ Задача 1 В кубе АВСDA1 B1 C1 D1 точка М делит ребро куба в отношении 3:1. Точка N делит ребро куба ВС пополам. Найти косинус угла между прямыми MN и ВС. Задача 2 В правильной шестиугольной призме 𝐴 … 𝐹1 , ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми 𝐴𝐵1и 𝐵𝐹1 . Задача 3 В правильном тетраэдре АВСD точка Е – середина ребра СD. Найдите косинус угла между прямыми ВС и АЕ. ______________________________________________________________________