Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми. Решение задач №1-8(условия на слайдах). Для самостоятельного решения №9-15 В каждой задаче нужно найти расстояние и угол между выделенными синим и красным цветами скрещивающимися прямыми. Задача № 1 (Слайд 8). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и стороны параллельной грани. Решение. Прямые (AB) (ABB1) и (C1D) (DCC1) лежат в параллельных гранях куба. Тогда расстояние между ними – это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [AD], и т. к. (AB) || (CD), то по определению величины угла между скрещивающимися прямыми . Задача № 2 (слайд 9). Постройте расстояние и угол между скрещивающимися диагоналями параллельных граней куба. Решение. Прямые (A1B) (ABB1) и (C1D) (DCC1) лежат в параллельных гранях куба. Тогда расстояние между ними – это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [A1D1], и т. к. (A1B) || (D1C), то по определению величины угла между скрещивающимися прямыми . Задача № 3 (слайд 10).Постройте расстояние и угол между скрещивающимися диагональю грани куба и высотой куба в параллельной грани. Решение. Прямые (AA1) (ADD1) и (B1C) (BCC1) лежат в параллельных гранях куба. Тогда расстояние между ними – это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [A1B1], и т. к. (AA1) || (BB1), то по определению величины угла между скрещивающимися прямыми . Задача № 4 (слайд № 11).Найдите расстояние и угол между скрещивающимися диагональю куба и диагональю грани куба, если ребро куба равно 1. Решение. Прямая (CD1) (ADC1) по свойству диагонали грани куба и (CD1) (ADC1) = O, а (B1D) (ADC1). Тогда расстояние между ними (отрезок [OK]) – это расстояние от проекции прямой (CD1) на плоскость (ADC1), т. е. от точки O, до прямой (B1D). Рассмотрим плоскость (ADC1) Прямоугольные треугольники DOK ~ DB1C1 (по общему острому углу D): Теперь вычислим угол между скрещивающимися прямыми (CD1) и (B1D). Поскольку прямая (CD1) (ADC1), то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в данной плоскости, в том числе и прямой (B1D) (ADC1). Тогда . Задача № 5 (слайд 12. Постройте расстояние и угол между высотой четырехугольной пирамиды и ребром ее основания. Решение. Высота пирамиды (PO) (ABC), а значит (PO) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (ABC), в том числе ребру (AD). Тогда по определению расстояния между скрещивающимися прямыми отрезок [OK] (AD) и является искомым расстоянием, а угол между высотой (PO) пирамиды и ребром основания (AD) является прямым. Задача № 6 (слайд 13).Постройте расстояние и угол между скрещивающимися боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и диагональю ее основания. Решение. Рассмотрим боковое ребро (PC), плоскость основания (ABC) и диагональ основания (AC). Т. к. высота пирамиды (PO) (ABC), а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой (AC). Тогда по определению (AC) = pr(ABC)(PC). (после того, как учащиеся озвучат данный факт, с помощью анимации объектов на слайде 15 добавляем надписи «наклонная», «проекция»). По условию PABC – правильная пирамида, т. е. ABCD – квадрат. Тогда по свойству диагоналей квадрата (BD) (AC) = pr(ABC))(PC). А значит по теореме о трех перпендикулярах (BD) (PC). Расстояние между скрещивающимися прямыми (BD) и (PC) определяется из следующих соображений. Построим из вершины прямого угла POC высоту [OK] на гипотенузу [PC]. Очевидно, что прямые (OK) и (PC), содержащие эти отрезки, также перпендикулярны. Рассмотрим плоскость (APC) сечения пирамиды и прямую (BD): по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Значит прямая (BD) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (APC), в том числе и прямой (OK). Тогда отрезок [OK] есть общий перпендикуляр прямых (BD) и (PC). Задача № 7 (слайд № 14). Найдите расстояние и угол между скрещивающимися боковым ребром куба и его диагональю, если известно, что ребро куба равно a. Решение. В силу параллельности ребер (AA1) и (BB1) проще сначала найти угол между скрещивающимися прямыми (AA1) и (DB1): . Нахождение расстояния между данными прямыми базируется на следующей идее: рассмотрим сечение куба плоскостью (BDD1), содержащей прямую (DB1). (AA1) || (BB1) (BDD1) => (AA1) || (BDD1) по признаку параллельности прямой и плоскости. Тогда расстояние . Замечание: на предыдущих уроках было отработано нахождение длины диагонали грани куба ( ) и диагонали куба ( ) в зависимости от длины ребра куба a, поэтому при решении задач время на обоснование этих фактов не тратится. Задача № 8 (слайд 15). Найдите расстояние и угол между скрещивающимися ребром основания куба и отрезком, соединяющим вершину ребра верхнего основания с серединой противоположного ребра в нижнем основании, если известно, что ребро куба равно a. Решение. Найдем сначала угол между скрещивающимися прямыми: , т.е. искомый угол равен . Теперь определим расстоянием между прямыми в соответствии с методом «расстояние от проекции до проекции»: . Из DD1P по теореме Пифагора гипотенузу, получаем, что DD1P ~ , а по свойству высоты, опущенной на HDP: .