02 теплоёмкость газов

1.9 ТЕПЛОЕМКОСТЬ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Теплоемкостью тела в каком-либо процессе изменения его
состояния называется количество подведённой (или отведённой)
теплоты, необходимое для повышения (или понижения) его
температуры на один градус.
В термодинамике газов различают
массовую теплоемкость с, кДж/(кг·град),
объемную теплоемкость с/ , кДж/(м3град),
мольную теплоемкость  c , кДж/(кмольград).
с
с
c
/
/
c
; c 
; c 

22, 4
0 ,
где
0 – удельный объем при нормальных условиях.
Теплота является функцией процесса:
для элементарного термодинамического процесса dq  du  dl . Как
было сказано выше, внутренняя энергия обладает полным
дифференциалом, а работа изменения объёма – нет. Значит, сумма
dq  du  dl не обладает свойствами полного дифференциала.
Поэтому понятие теплоемкости имеет смысл лишь в том случае,
когда задан характер процесса, в котором газу сообщается теплота.
Связь между теплотой процесса и температурой газа
q  f (T ) ,
Очевидно, что на различных участках такой
кривой одному и тому же изменению температуры
соответствуют различные количества
подведенной теплоты, поэтому и значения
теплоемкости на этих участках будут различными.
Вводят понятие о теплоемкости, средней в заданном интервале
температур от Т1 до Т2 (т.е. на участке 1–2).
T2
q
Cm 
T
T1
Значение истинной теплоемкости при заданной температуре:
 q  dq
cист  lim 

T 0 T  dT
Истинная теплоемкость математически выражается как первая
производная теплоты по температуре (при условии, что задан
характер процесса).
В термодинамике особо важную роль играют теплоемкость при
постоянном объеме
 q 
c   
 T 
и теплоемкость при постоянном давлении
 q 
cp  

 T  p
Связь между ними легко устанавливается из первого закона
термодинамики
dq  du  pd
p2
q  i2  i1   dp
или
p1
Если теплота подводится при постоянном объеме, то d  0 , а
следовательно,
 q 
 u 
c      
 T   T 
Если теплота подводится при постоянном давлении, то
 u 
  
 i 
cp  
  p
 

 T  p
 T  p  T  p
В идеальном газе силы взаимодействия между молекулами
отсутствуют, а объём, который они занимают, также равен нулю, т.е.
внутренняя энергия u состоит только из кинетической энергии
движения молекул u  f (T ) и, значит, не зависит ни от объема, ни от
давления:
du
 u 
 u 

 
 
 T   T  p dT ,
RT

p

R
  

 
 T  p p
Окончательно c p  c  R
 c p   c   R
Молекулярно-кинетическая теория теплоемкости
Численные значения теплоемкости идеальных газов могут быть
получены из основного уравнения кинетической теории газов:
Умножая обе части этого уравнения на объем одного киломоля
получаем
2
m 2
p   n 
3
2
где N  n – число молекул в одном киломоле газа (число
Авогадро, 6,0231026).
 ,
Если молекулы газа представить себе в виде материальных точек,
могущих совершать только поступательное движение, то внутренняя
энергия одного киломоля будет равна

3
3
u  p   RT
2
2
Материальная точка имеет 3 степени свободы, следовательно, на
каждую из них в одном киломоле газа приходится внутренняя энергия,
1
 RT
равная 2
.
При постоянном объеме подвод теплоты не вызывает совершения
работы газом, поэтому dq  u , и мольная изохорная теплоёмкость:

u 3  вр
 c  
R
T
2
Мольная изобарная теплоёмкость:
cp 
3  вр
2
R  R 
5  вр
2
R
Зависимость теплоемкости от температуры
В точных расчетах, особенно при высоких температурах, кроме
энергии поступательного и вращательного движения молекул,
необходимо учитывать энергию колебательного движения атомов.
Характер процесса устанавливает
необходимую функциональную связь между
теплотой и температурой, а потому истинную
теплоемкость можно считать производной
теплоты по температуре
t2
q   cист dt
t1
Из графика видно, что теплота, затраченная на нагревание газа от
t1 до t2
q  пл0  5  2  3  0  пл0  5  1  4  0 ,
или учитывая, что на оси ординат t=0
t2
t1
q  cmt 2  cmt1
0
0
t
cm
Средние теплоемкости
сведены в таблицы теплоемкостей,
0
которые и используются для теплотехнических расчетов.
t2
t1
cm t 2  cm t1
t2
0
cm  0
.
t 2  t1
t1
Теплоемкость газовых смесей
Чтобы вычислить теплоемкость газовой смеси по теплоемкостям ее
компонентов, необходимо знать массовый, объемный или мольный
состав этой смеси.
Если смесь задана массовым составом
cсм  m1c1  m2 c2  ..., кДж/(кгград)
Если смесь задана объемным составом
/
сcм
 r1c1/  r2c2/  ... , кДж/(кгград)
Если смесь задана мольным составом, то принимаются те же
формулы, что и при задании ее объемным составом.