Теплоемкость идеального газа. Метод Клемана

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра физики
ТЕПЛОЕМКОСТЬ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА.
МЕТОД КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА ДЛЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОТНОШЕНИЯ CP/CV
Учебно-методическое пособие к лабораторным работам
по молекулярной физике
2-1
УФА 2010
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм
обучения и содержит краткие сведения по теории и описание порядка
выполнения лабораторной работы по разделу “Молекулярная физика”.
Составители:
Гусманова Г.М., доц., канд. хим. наук
Сафиуллина А.Г., доц., канд. хим. наук
Рецензент
Лейберт Б.М., доц., канд. техн. наук
 Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2010
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2-1
"Теплоемкость идеального газа.
Метод
Клемана-Дезорма
для
определения отношения Cp/Cv"
Цель работы: изучить молекулярно-кинетическую теорию теплоемкости,
определить отношение теплоемкости воздуха при постоянном давлении к
теплоемкости при постоянном объеме.
Приборы и принадлежности: стеклянный баллон, U-образный манометр,
вакуумный насос.
ТЕОРИЯ МЕТОДА
Внутренняя
энергия
представляет
собой
энергию
всех
видов
внутренних движений в теле (системе) и энергию взаимодействия всех
частиц (атомов, молекул, ионов и т. д.), входящих в тело (систему). При
вычислении изменения внутренней энергии учитывают ту ее часть, которая
не остается постоянной в исследуемых процессах. Под внутренней энергией
газа
понимают
кинетическую
энергию
движения
молекул
газа
и
потенциальную взаимодействия молекул между собой.
Идеальным
газом
называется
газ,
взаимодействиями
между
молекулами которого можно пренебречь. Таким образом, потенциальная
энергия взаимодействия молекул идеального газа не учитывается.
Числом степеней свободы i называется число независимых координат
(уравнений), с помощью которых можно однозначно определить положение
молекулы (тела) в пространстве. Для одноатомной молекулы i = 3, для
двухатомной - i = 5, для трехатомной (и далее многоатомной) - i = 6.
Внутренней энергией идеального газа называется сумма кинетических
энергий беспорядочного движения всех его молекул, которая равна:
m
Ui
RT
2M
где i - число степеней свободы, т — масса газа, М - молярная масса,
R
=
8,31
Дж/(моль-К)
универсальная
-
газовая
постоянная,
Т
-
термодинамическая температура.
Внутренняя энергия является функцией состояния, т.е. не зависит от
вида перехода из одного состояния в другое (процесса), а зависит лишь от
параметров начального и конечного состояний системы.
Работа газа равна
A
V2

pdV
V1
где р - давление, dV- бесконечно малое изменение объема.
Теплота и работа не являются функциями состояния, т.е. зависят от вида
перехода из одного состояния в другое (процесса).
Первое начало термодинамики является законом сохранения энергии
для
тепловых процессов: количество теплоты,
переданное
системе,
расходуется на приращение внутренней энергии системы и совершение
системой работы:
dQ = dU+dA
Иногда имеются отличия в записи малых величин теплоты, работы и
приращения внутренней энергии, которые отражают зависимость теплоты
δQ и работы δА от вида перехода из одного состояния в другое (процесса), а
изменения внутренней энергии dU - только от начального и конечного
состояний системы.
Теплоемкостью называется величина, равная количеству теплоты,
которое требуется передать телу, чтобы изменить его температуру на
единицу (на 1К - в СИ). Единицей измерения теплоемкости является 1 Дж/К.
C
dQ
dT
Удельной теплоемкостью называется величина, равная количеству
теплоты, которое требуется передать единице массы m (1кг - в СИ) газа,
чтобы изменить его температуру на единицу (на 1К - в СИ), т. е.
теплоемкость единицы массы вещества. Единицей измерения удельной
теплоемкости является 1 Дж/(кгК).
c
C
dQ

m mdT
Молярной теплоемкостью называется величина, равная количеству
теплоты, которое требуется передать единице количества вещества v (l молю
в СИ), чтобы изменить его температуру на единицу (на 1К - в СИ), т. е.
теплоемкость 1 моля вещества. Единицей измерения молярной теплоемкости
является 1 Дж/(моль-К).
N 
m
C dQ

 dT
Процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой,
называется адиабатическим. В этом случае dQ=0, следовательно, первое
начало термодинамики для него принимает вид
dU = - dA.
При этом работа совершается газом за счет убыли его внутренней энергии.
В адиабатическом процессе все термодинамические параметры р, V и Т
меняются. Их можно связать уравнением Пуассона:
pVγ=const
γ-1
(1-γ)/ γ
или соотношениями TV =const, Tp
где γ- показатель адиабаты, равный

=const
C i2

, - уравнениями
i
C
p
v
адиабатического процесса.
В адиабатном процессе работу можно рассчитать по формуле:

pV
pV
V
A   pdV   1 dV  1 1 [1  ( 1 )  1 ]
V1
V1
V
 1
V2
V2
V2
По первому началу термодинамики при постоянном объеме dA = О, и
вся подводимая системе теплота идет на увеличение его внутренней энергии,
т.е. dQ= dU. Поэтому молярная теплоемкость при постоянном объеме равна
Nv  (
dQ
i
)v  dU  R
dT 2
dT
По первому началу термодинамики при постоянном давлении вся
подводимая системе теплота идет на увеличение его внутренней энергии и
совершение работы, т.е. dQ = dU + dA. Поэтому молярная теплоемкость
при постоянном давлении равна
Np  (
Или
dQ
i2
dU  pdV
)p 
 Cv  R 
R
dT
dT
2
Cp=Cv+R. Это уравнение называется уравнением Майера.
Молярная теплоемкость при постоянной температуре Ст равна:
NT 
dQ

dT
Молярная теплоемкость в адиабатном процессе Сад равна:
Naa 
dQ
0
dT
Таким образом, в молекулярно-кинетической теории теплоемкость
принимает различные значения в зависимости от типа процесса.
ОПИСАНИЕ МЕТОДА
Метод Клемана-Дезорма по определению отношения теплоемкостей
базируется на измерении давления газа в одном и том же сосуде,
последовательно проходящего через три состояния: из первого во второе газ
переходит адиабатически, из второго в третье - изохорически (рис. 1).
p
1
p1
3'
3
3''
h2'
h2"
p2
2'
0
V1
2
2''
V2
V
Рис. 1. Зависимость давления газа Р от объема V для изучаемой массы газа
Рассмотрим это более подробно.
В стеклянный баллон нагнетается воздух до давления Р1 которое
превышает атмосферное давление Р0 на величину Р', то есть
Р1=Р0+Р' и Р'«Р0.
После установления термодинамического равновесия с окружающей
средой температура газа в баллоне будет Т1. Таким образом, начальное
состояние газа определяется параметрами Р1, V1, T1. Затем баллон на
короткое время соединяют с атмосферой, при этом давление в баллоне
падает до значения Р2, равного атмосферному: Р2 = Ро .
Этот процесс расширения газа происходит достаточно быстро, поэтому
теплообменом с окружающей средой через стенки баллона можно
пренебречь и считать процесс адиабатическим. Воздух в баллоне перейдет в
состояние 2 с параметрами P2, V2, Т2 , причем V2 > V1 и Т2 < Т1. При
адиабатическом расширении часть воздуха выходит в атмосферу, поэтому
необходимо иметь в виду, что V1 - это объем воздуха в состоянии 1,
несколько меньший объема баллона.
Связь между состояниями 1 и 2 определяется уравнением Пуассона:

p1V1  p2V2

,
(1)
с другой стороны, по уравнению состояния идеального газа
p1V1 p2V2

T1
T2
.
(2)
Подставив отношение V1/V2 из (2) в (1), получим зависимость между
давлением и температурой газа в этих состояниях:
(
p1  1
T
)  ( 1 )
p2
T2
(3)
.
В дальнейшем, после закрытия клапана, воздух в баллоне изохорически
нагревается до температуры окружающей среды Т1 а давление повысится до
значения Р3, которое превысит атмосферное Р0 на небольшую величину Р",
то есть воздух переходит в состояние 3 с параметрами P3,V2,T1, при этом
Р3= Р0 + Р" и Р" « Р0.
Связь.между состояниями 2 и 3 находим из уравнения изохорического
p2
p
 3
T2
T1
процесса:
(4)
Из формул (3) и (4) с учетом того, что Р1 = Р0 + Р', а Р3 = Р0 + Р", получаем
(
p 0  p '  1
p  p" 
) ( 0
)
p0
p0
(1 
p '  1
p" 
)  (1 
)
p0
p0
,
.
Так как Р"«Р0 и Р'« Р0, то, разлагая оба двучлена в ряд и ограничиваясь
членами первого порядка, получаем
1  (  1)
откуда
p'
p"
 1 
p0
p0 ,
 
p'
p ' p "
(5)
Измеряя давление водяным манометром и учитывая, что давление р столба
жидкости пропорционально плотности жидкости ρ и высоте столба жидкости
в манометре h, давление в сосуде перед открытием клапана Р' и давление,
установившееся при тепловом равновесии, после закрытия клапана Р" можно
выразить следующим образом:
p'=pgh1
p"=pgh2 ,
(6)
где g - ускорение свободного падения.
Подставляя уравнение (6) в уравнение (5), получим расчетную формулу для
определения:

.
Однако
открывания
практически
клапана
τ
h1
h1  h2
невозможно
в
точности
.
добиться,
совпала
бы
(7)
чтобы
со
длительность
временем
его
адиабатического расширения, которое рассматривается в работе. Этот
процесс
всегда
быстропротекающий
в
реальных
условиях,
поэтому
длительность открывания клапана необходимо выбрать предельно
малой (τ = 0). Если перекрыть баллон раньше, чем давление упадет до
атмосферного,
то
получим
завышенное
значение
Р"
(или
h2),
соответствующее отрезку 2'-3' (см.рис.1). Наоборот, при запаздывании
получается заниженное значение h2", соответствующее отрезку 2"- 3".
Поэтому найдем h2 графически, как в момент сразу после открытия
клапана, продолжив прямую до пересечения с осью ординат. Давление р
со
временем
t
в
откачиваемом
сосуде
падает,
поэтому
p-(p+dp)=Apdt, где А - константа. Так как давление р столба жидкости
пропорционально плотности жидкости ρ и высоте столба жидкости в
манометре h p= ρ gh , то, сократив нa ρg и интегрируя h от h2 до h2", a t от 0 до
τ, получим: ln h2"= ln h2-Аτ. Поэтому чтобы рассчитать точное значение
длительности открывания клапана τ строят график зависимости ln h2" от τ. На
рис. 2 представлен график зависимости ln h2" от τ. Графическое
определение величины h2 показано на рис. 2 (см. п.5 главы "Порядок
выполнения работы").
ln h2"
Δln h2
ln h2
0
τ, с
Рис. 2. Графическое определение величины h2
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Одно колено жидкостного (водяного) манометра открыто, а другое
соединено с сосудом, поэтому, когда сосуд соединен с атмосферой, уровни
К
Н
Б
М
Рис. 3. Схема экспериментальной установки
жидкости в обоих коленах одинаковы. Вакуумный насос служит для
нагнетания воздуха в сосуд.
Установка (рис. 3) состоит из стеклянного баллона Б, U-образного
манометра М, вакуумного насоса Н и крана К, который позволяет соединить
сосуд с атмосферой.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Перед работой необходимо проверить, нет ли утечки воздуха из баллона.
Затем, вращая ручку вакуумного насоса Комовского не более 3-х раз,
нагнетают в сосуд воздух до давления 100...150 мм вод.ст. Необходимо
следить за тем, чтобы начальное давление h1 в каждом опыте было
примерно одинаковым. Давление измеряют по разности уровней в
коленах манометра. Так как при этом воздух в баллоне несколько
нагреется, то следует подождать 2-3 минуты, пока установится тепловое
равновесие.
После
этого
записывают
значение
h1
соответствующее
состоянию 1 (рис. 1).
2. С помощью крана К соединить сосуд с атмосферой на 3 секунды, после
чего кран закрыть. Время определяется по секундомеру. Выждать, пока
давление в сосуде перестанет меняться (2-3 мин.), и сделать отсчет разности
уровней манометра h2.
3. Пункт 2 повторить с различным временем τ соединения сосуда с
атмосферой: 7, 11, 15, 19 секунд. При этом максимальное время τ должно
быть выбрано так, чтобы соответствующая ему разность уровней h2 была
значительно больше погрешности манометра.
4. Полученные опытные данные занести в таблицу.
№ п/п h1, мм вод. ст. τ, с
1
2
3
4
h2", мм вод. ст. lnh2"
5
5.
На
миллиметровой бумаге
в координатах ln
h2" - τ
нанести
экспериментальные точки (рис. 2). Провести через них прямую так, чтобы
кратчайшие расстояния от крайних точек, лежащих выше и ниже прямой,
до нее было одинаковым. Величину h2 найти графическим способом,
экстраполируя прямую до пересечения с осью ординат. Погрешность Дп2
определения
величины
h2
найти
по
графику
проведением
двух
дополнительных прямых, параллельных данной, через крайние точки выше
и ниже прямой.
6. Рассчитать показатель адиабаты по формуле (7), используя h1 как среднее
арифметическое из измеренных h1. Вывести формулу погрешности и
рассчитать по ней погрешность косвенного измерения γ. Окончательный
результат записать в виде
γ = [‹γ ›±‹Δ γ ›],  
  
,%

7. Рассчитать значение γтеор по молекулярно-кинетической теории через
число степеней свободы. Отклонение
  oai?
 100% сравнить с погрешностью
oai?
опыта ε.
ТЕХНИКА БЕЗОПАСНОСТИ
1. Соблюдать правила техники безопасности для работы в учебных
лабораториях.
2. К выполнению работы приступать после изучения учебно-методического
пособия.
3. Соблюдать осторожность при работе с вакуумным насосом.
4. Соблюдать осторожность при работе с жидкостью в стеклянных сосудах.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА К РАБОТЕ
1.Что называют адиабатическим процессом?
2.Как осуществляется адиабатический процесс в данной работе?
3.Каков принцип определения показателя адиабаты методом КлеманаДезорма?
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЩИТЫ РАБОТЫ
1.
Что называют удельной теплоемкостью вещества? Молярной
теплоемкостью? Какова связь между ними?
2.
Теплоемкость - это функция состояния или функция процесса?
3.
Почему теплоемкость газа зависит от типа процесса?
4.
Чему равны молярные теплоемкости идеальных газов в
изопроцессах?
5.
От каких параметров зависит внутренняя энергия идеального
газа?
6.
Записать первое начало термодинамики для адиабатического
процесса.
7.
Чему равна работа в адиабатическом процессе?
8.
Записать газовый закон для адиабатического процесса.
9.
Какое практическое значение имеет определение величины γ?