01_Вопросы (мат. анализ, ИМОЯК, 07

ВОПРОСЫ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
для подготовки к экзамену
(I семестр, 2007–2008 учебный год)
лектор: Пахомова Е.Г.
1. Функция: определение, способы задания, классификация, основные характеристики поведения функции.
2. Определение последовательности, основные характеристики поведения
последовательности.
3. Предел последовательности, его геометрическая интерпретация. Свойства сходящихся последовательностей (с доказательствами).
4. Определение бесконечно большой последовательности, геометрическая
интерпретация. Свойства бесконечно больших (доказательства – самостоятельно).
 1  n 
5. Теорема Вейерштрасса. Доказать, что последовательность 1   
 n  
сходится.
6. Два определения предела функции. Доказательство эквивалентности
этих определений. Свойства пределов. Доказать локальную ограниченность функции, имеющей предел, и справедливость формулы замены
переменной в пределе.
7. Бесконечно малые функции: определение, свойства. Теорему о роли
бесконечно малых в теории пределов – доказать самостоятельно. Бесконечно большие функции: определение, свойства.
8. Односторонние пределы: определение, условие существование предела
функции в конечной точке.
9. Замечательные пределы и их следствия (первый замечательный предел – с доказательством, все следствия – с доказательством).
10. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теорема
о замене бесконечно малых на эквивалентные в пределе и теорема о
главной части бесконечно малой.
11. Непрерывность функции в точке (на языке пределов, на языке    ,
геометрическое). Односторонняя непрерывность. Непрерывность на
интервале, на отрезке. Свойства непрерывных функций.
12. Точки разрыва, их классификация.
13. Свойства функций, непрерывных на отрезке [a, b] (теоремы Вейерштрасса (без доказательства) и Коши, их следствия).
14. Производная: определение, геометрический и физический смысл.
Условие существования производной. Связь между существованием
f ( x0 ) и непрерывностью функции f (x) в точке x 0 . Уметь по опре1
делению находит производные функций sin x , cos x , e x , a x , ln x ,
log a x .
15. Основные правила дифференцирования. Производная обратной функции. С помощью теоремы о производной обратной функции уметь
находить производные функций arcsin x , arctgx , arccos x , arcctgx .
Зная производные функций sin x , cos x , e x , уметь находить производные функций tgx , ctgx , shx , chx , thx , cthx .
16. Определение дифференцируемой функции. Связь дифференцируемости
функции с существованием производной.
17. Дифференциал функции: определение, геометрический смысл. Свойства дифференциала. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
18. Производные высших порядков: определение, производные высших
порядков для суммы, произведения (формула Лейбница). Физический
смысл второй производной.
19. Дифференциалы высших порядков: определение, связь с производными высших порядков, не инвариантность формы записи.
20. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ролля,
Лагранжа, Коши; все с доказательством).
21. Правило Лопиталя раскрытие неопределенностей вида
0
0
и

(с до
казательством).
22. Возрастание и убывание функции. Необходимое и достаточное условия
возрастания (убывания) дифференцируемой функции (с доказательством).
23. Экстремумы функции: определение, необходимое условие экстремума
(доказательство). Достаточные условия экстремума (первое достаточное условие – с доказательством, второе – без доказательства).
24. Выпуклость и вогнутость кривой, точки перегиба: определения, необходимое и достаточное условия выпуклости (вогнутости) кривой
y  f (x) (достаточное условие – с доказательством), необходимые и
достаточные условия перегиба кривой y  f (x) .
25. Асимптоты кривой: определение, виды, нахождение (вывод формул).
26. Функция нескольких переменных: определение, способы заданий, предел и непрерывность.
27. Определение частной производной. Геометрический смысл частных
производных функции двух переменных. Частные производные высших порядков.
28. Дифференцируемость функции нескольких переменных: определение,
необходимое (доказать) и достаточное (без доказательства) условия
дифференцируемости функции нескольких переменных.
2
29. Дифференциал функции нескольких переменных: определение, геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Дифференциалы высших порядков и их связь с частными производными
высших порядков.
30. Частные производные и дифференциал сложной функции. Инвариантность формы записи первого дифференциала. Неинвариантность формы записи дифференциалов высших порядков.
31. Неявные функции: теорема существования, дифференцирование неявно
заданных функций одной и нескольких переменных.
32. Производная по направлению: определение, физический смысл, вычислительная формула (вывод).
33. Градиент: определение, свойства.
34. Экстремум функции нескольких переменных: определение экстремума
и точки экстремума, необходимое (с доказательством) и достаточное
условия экстремума для функции двух переменных (без доказательства).
Расписание консультаций Пахомовой Е.Г.
(номер аудитории может быть изменен; в этом случае информация
будет помещена на доске объявлений кафедры)
08.01.08
09.01.08
12.01.08
15.01.08
18.01.08
22.01.08
25.01.08
с 12.20 по 15.50
с 14.15 по 15.50
с 14.15 по 15.50
с 14.15 по 15.50
с 14.15 по 15.50
с 14.15 по 15.50
с 14.15 по 15.50
в ауд. 529(19)
в ауд. 529(19)
в ауд. 529(19)
в ауд. 529(19)
в ауд. 529(19)
в ауд. 529(19)
в ауд. 530(19)
26.01.08
с 10.25 по 13.55
в ауд. 529(19) – Экзамен (пересдача)
3