Экзаменационные вопросы

Экзаменационные вопросы
1. Элементы теории множеств, операции над множествами.
2. Множество 𝑅, его алгебраические свойства, упорядоченность,
плотность, полнота. Система окрестностей на R.
3. Ограниченное и неограниченное числовое множество. Понятие точных
верхней и нижней границ. Теорема Больцано.
4. Числовые последовательности: бесконечно малые, бесконечно
большие, сходящиеся.
5. Свойства сходящихся числовых последовательностей: единственность
предела, соотношение классов сходящихся и ограниченных
последовательностей, структура множества сходящихся
последовательностей, арифметические свойства.
6. Свойства бесконечно малых последовательностей: ограниченность;
сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей;
произведение бесконечно малой последовательности на
ограниченную; последовательность обратная бесконечно малой.
7. Свойства бесконечно больших последовательностей.
8. Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
9. Монотонные последовательности. Критерий сходимости монотонной
последовательности.
10.Неравенство Бернулли. Доказательство 2-го замечательного предела.
11.Понятие функции. Определения предела функции: геометрическое, по
Коши, по Гейне в конечной точке и на бесконечности.
12.Свойства функций, имеющих предел: единственность предела,
локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические
свойства, предельный переход в неравенствах. Доказать теорему о
пределе композиции.
13.Определение бесконечно больших функций в конечной точке и на
бесконечности. Свойства бесконечно больших функций.
14.Первый замечательный предел и его следствия.
15.Второй замечательный предел и его следствия.
16.Определения функции непрерывной в точке: геометрическое, по Коши,
по Гейне, на языке приращений.
17.Необходимые и достаточные условия непрерывности функции в точке.
18.Свойства функций непрерывных в точке. Непрерывность элементарных
функций.
19.Точки разрыва и их классификация.
20.Сравнение бесконечно малых величин. Таблица эквивалентных
бесконечно малых величин. Критерий эквивалентности. Теорема о
замене бесконечно малых величин эквивалентными им.
21.Сравнение бесконечно больших величин.
22.Свойства функций непрерывных на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и
Коши.
23.Понятие производной. Геометрический и физический смысл. Уравнения
касательной и нормали к кривой. Производные основных
элементарных функций.
24.Односторонние производные. Признак существования производной.
25.Понятие дифференцируемой функции. Критерий дифференцируемости.
26. Соотношение классов непрерывных и дифференцируемых в данной
точке функций.
27.Дифференциал функции, его геометрический и физический смысл,
применение к приближенным вычислениям.
28.Правила дифференцирования: табличное; дифференцирование суммы,
произведения, частного. Дифференцирование сложной функции.
Обратная функция и ее дифференцирование. Параметрически
заданная функция и ее дифференцирование. Неявно заданная функция
и ее дифференцирование. Логарифмическое дифференцирование.
29.Свойства дифференциала. Инвариантность формы.
30.Понятие производных высших порядков. Физический смысл
производной второго порядка. Формула Лейбница. Производные
высших порядков параметрически и неявно заданных функций.
31.Дифференциалы высших порядков. Отсутствие инвариантности формы.
32.Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля,
Лагранжа, Коши, Лопиталя (все с доказательством).
33.Теорема Тейлора, формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом
в формах Пеано и Коши. Основные разложения.
34.Критерий невозрастания (неубывания) функции на интервале.
Достаточный признак строгой монотонности функции на интервале.
35.Экстремумы функции. Достаточные признаки экстремума.
36.Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные признаки
выпуклости , вогнутости графика функции.
37.Точка перегиба графика функции. Необходимые и достаточные условия
точки перегиба.
38.Асимптоты графика функции. Критерий существования наклонной
асимптоты.
39.Некоторые топологические понятия в 𝑅𝑛 .
40.Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких
переменных. Свойства функций, имеющих пределы.
41.Непрерывность функции нескольких переменных. Непрерывность
элементарных функции. Непрерывность функций на замкнутом
ограниченном множестве.
42.Частные производные функции нескольких переменных,
геометрический смысл.
43.Дифференцируемость функции нескольких переменных. Свойства
дифференцируемых функций.
44.Геометрический смысл дифференцируемости функции двух
переменных. Уравнения нормали и касательной плоскости к
поверхности.
45.Достаточные условия дифференцируемости. Непрерывная
дифференцируемость.
46.Дифференцирование 1-ой и 2-ой композиций функции.
47.Дифференциал функции нескольких переменных. Геометрический
смысл. Правила дифференцирования. Формула приближенных
вычислений.
48.Скалярное поле. Поверхности и линии уровня. Производная по
направлению и ее вычисление. Градиент, его геометрические свойства.
49.Частные производные высших порядков. Независимость от порядка
дифференцирования. Понятие n-кратной дифференцируемости
функции нескольких переменных. Дифференцирование сложных
функций.
50.Дифференциалы высших порядков. Оператор дифференциала.
51.Формула Тейлора функции нескольких переменных.
52.Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимый
признак экстремума.
53.Достаточный признак экстремума.
54.Квадратичные формы. Классификация. Критерий Сильвестра.
Достаточный признак квазизнакоопределенности.
55.Достаточный признак экстремума функции нескольких переменных в
терминах квадратичных форм.