Список-М2

Вопросы к экзамену по математике
2 семестр
ФДО, Строители, бакалавры
Тема «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
1. Понятие производной, обоснование ее геометрического и механического смыслов. Уравнения
касательной и нормали. Таблица основных производных.
2. Теорема о дифференцировании константы, алгебраической суммы, произведения и частного функций (с
доказательством).
3. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и
непрерывностью (доказать, привести примеры).
4. Теорема о дифференцировании сложной функции (с доказательством). Функции, заданные
параметрически, их дифференцирование.
5. Производная обратной функции. Обратные тригонометрические функции, вывести формулы для их
дифференцирования.
6. Дифференциал функции: определение, вывести формулу для его вычисления. Геометрический смысл
дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
7. Вывести формулы для нахождения дифференциалов алгебраической суммы, произведения, частного
функций. Инвариантность формы первого дифференциала.
8. Теоремы Роля , Коши, Лагранжа.
0
 . Раскрытие неопределенностей
0
9. Правило Лопиталя. Доказать для случая неопределенности вида 
вида
(

0
), ( ), ( 0   ), (    ), ( 1 ), (  0 ), ( 0 0 ) при помощи правила Лопиталя.

0
11. Определение возрастающей и убывающей функции. Необходимое и достаточное условия
монотонности функции одной переменной (с доказательством).
12. Определение максимума и минимума функции одного переменного. Экстремумы функции одной
переменной. Необходимое условие существования экстремума (с доказательством).
13. Первое достаточное условия существования экстремума. Второе достаточное условие существования
экстремума. Примеры.
14. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба.
15. Асимптоты графика функции.
16. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на множестве.
Тема «Функции многих переменных»
1. Определение функции нескольких переменных. Геометрическое истолкование областей определению
функций двух и трех переменных. Предел и непрерывность функций двух переменных.
2. Частные и смешанные производные различных порядков. Геометрический смысл частной производной
1-го порядка. Теорема о смешанных производных.
3. Понятие дифференцируемости функции 2-х переменных. Необходимое (с доказательством) и достаточное
условия дифференцируемости. Связь дифференцируемости и непрерывности.
4. Полный дифференциал: определение и вычисление. Применение полного дифференциала в
приближенных вычислениях.
5. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование функции, заданных неявно (с
доказательством).
6. Производная по направлению: определение и вычисление. Градиент. Связь производной по направлению
и градиента.
7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала.
8. Экстремумы функции двух переменных. Необходимое условие экстремума (с доказательством).
Достаточное условие экстремума для функций двух переменных.
9. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных на множестве.