Задача 3. Расчеты на прочность и жесткость прямолинейной стальной балки при плоском изгибе Вариант 61. Серия 2 Дано: M=36 кНм, P=18 кН, q=40 кН/м, α=5, =2, =3, l=1.6 м, m=0.5 м, k=1.2 м, p=0.8 м, 1) Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов Балка 1 M P q m k l Заменяем заделку реакциями M0 и Px, Py. Из схемы нагружения видно, что Px=0, для M0 и Py составляем уравнения равновесия. Для консольной балки реакции опоры определяются однозначно: Н (58.8 кН) Нм (-110.2 кНм) Для определения Q и M применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии x от правого конца балки, совпадающего с началом распределенной нагрузки qk. Отбросим одну из частей балки, например левую, и рассмотрим равновесие правой части: M P q Mi m k l x Для 0<x<(m+k)-l=(1.1+0.5)-1.5=0.1 м Q=qx; При x=0, Q=0 Н; При x=0.1 м, Q=14000*0.1=1400 Н. Для 0.1<x<0.5 м; Q=qx+P; При x=0.1 м, Q=14000*0.1+43000=44400 Н; При x=0.5 м, Q=14000*0.5+43000=50000 Н; Для 0.5<x<1.6 м, Q=qk+P; При x0.5 м, Q=14000*0.5+43000=50000 Н. Для M M=-qx*x/2, 0<x<(m+k)-l=(1.1+0.5)-1.5=0.1 м; При x=0, M=0 Нм; При x=0.1 м, M=-14000*0.1*0.1/2=-70 Нм. Для 0.1<x<0.5 м; M=-qx*x/2-P*(x-0.1) При x=0.1 м, M=-70 Нм При x=0.5 м, M=-14000*0.5*0.5/2-43000*(0.5-0.1)=-18950 Нм. Для 0.5<x<1.6 м, M=-qk*(x-k/2)-P*(x-0.1)-M, При x=0.5 м, M=-14000*0.5*(0.5-0.5/2)-43000*(0.5-0.1)-23000=-41950 Нм. При x=1.6 м, M=-14000*0.5*(1.6-0.5/2)-43000*(1.6-0.1)=-30950 Нм. Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки: 26 кНм M0 48 кН 19 кН/м Py Px 1.1 0.5 1.5 49.9 кН 57.5 кН 1.9 кН 0 кН Q M -95 Нм -21.6 кНм -47.6 кНм -110.8 кНм 0 Нм Балка 2 M q q P p m l l Заменяем шарниры реакциями Pa и Pb. Из схемы нагружения видно, что Px=0, для M0 и Py составляем уравнения равновесия. Для нахождения реакций опор составляем два уравнения Н Знак «-« означает, что направление реакции опоры противоположно принятому. В принципе это не соответствует приведенной на рисунке опоре (опора с шарниром и катками может иметь реакцию, направленную вертикально вверх). Н Для определения Q и M применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии x от левого конца балки.. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части: Для поперечной силы Q: Для 0<x<1.5 м, Q=Pa+qx; При x=0, Q=-20 Н; При x=1.1 м, Q=-20+14000*1.1=15380 Н; При x=1.5 м, Q=-20+14000*1.5=20980 Н; Для 1.5<x<2.7 м, Q=Pa+ql-q(x-l); При x=1.5, Q=15400 Н; При x=2.7 м, Q=-20+14000*1.6-14000*(2.7-1.6)=6980 Н; Для 2.7<x<3.0 м, Q=Pa+ql-q(x-l)+P; При x=2.7, Q=-10383+19000*1.5-19000*1.2+48000=43317 Н; При x=3.0 м, Q=-10383+19000*1.5-19000*1.5+48000=37617 Н; 26 êÍ ì 19 êÍ /ì A B C Pa Pb 19 êÍ /ì 48 êÍ 1.1 1.5 0.3 1.5 43.3 êÍ 37.6 êÍ 18.1 êÍ Q -4.7 êÍ -10.4 êÍ 0.5465 ì 73 Í ì 2,45 ì M -2.832 êÍ ì -11.5 êÍ -25.9 êÍ ì Для изгибающего момента M: Для 0<x<1.1 м, M=-Pa*x+qx2/2; При x=0, M=0 Нм; -20.2 êÍ ì -12.1 êÍ При x=1.1 м, M=-10383*1.1+19000*1.1*1.1/2=73 Нм; Для 1.1<x<1.5 м, M=-Pa*x+qx2/2-M; При x=1.1 м, M=-10383*1.1+19000*1.1*1.1/2-26000=-25927 Нм; При x=1.5 м, M=-10383*1.5+19000*1.5*1.5/2-26000=-20200 Нм; Для 1.5<x<2.7 м M=-Pa*x+ql(x-l/2)-M-q(x-l)*(x-l)/2; При x=1.5, M=-20200 Нм; При x=2.7 м, M=-10383*2.7+19000*1.5*(2.7-0.75)-M-19000*(2.7-1.5)*(2.7-1.5)/2=12140 Нм; Для 2.7<x<3.0 м M=-Pa*x+ql(x-l/2)-M-q(x-l)*(x-l)/2+P*(x-2.7); При x=2.7, M=-12140 Нм; При x=3.0 м, M=-10383*3+19000*1.5*(3-0.75)-M-19000*(3-1.5)*(3-1.5)/2=0 Нм; Балка 3 M P q q p k l/4 l Заменяем шарниры реакциями Pa и Pb. Из схемы нагружения видно, что Px=0, для M0 и Py составляем уравнения равновесия. Для нахождения реакций опор составляем два уравнения: 26000 Нм 48000 Н 19000 Н/м Pb B A Pa 0.3 0.375 0.5 1.5 19000 Н/м Н Н Для определения Q и M применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, например, на расстоянии x от левого конца балки.. Отбросим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части: Для поперечнй силы Q: Для 0<x<0.375 м, Q=-(2/l)*qx2, При x=0, Q=0 Н; При x=0.375 м, Q=-(2/1.5)*19000*0.3752=-3562.5 Н; Для 0.375<x<0.675 м Q=Pa-ql/8; При x=0.375 м, Q=24342.5-3562.5=19780 Н; При x=0.675 м, Q=24342.5-3562.5=19780 Н; Для 0.675<x<1.375 м Q=Pa-ql/8-P; При x=0.675, Q=19780-48000=-28220 Н; При x=1.375 м, Q=19780-48000=-28220 Н; Для 1.375<x<1.875 м Q=Pa-ql/8-P+q(x-1.375); При x=1.375, Q=19780-48000=-28220 Н; При x=1.875 м, Q=-28220+19000*0.5=-28220+9500=-18720 Н; Для изгибающего момента M: Для 0<x<0.375 м, M=M-(4/6l)*qx3 При x=0, M=26000 Нм; При x=0.375 м, M=26000-19000*0.3753*4/(6*1.5)=26000-445.3=25554.7 Нм; Для 0.375<x<0.675 м, M=M-l/8*q(x-l/6)+Pa*(x-l/4) При x=0.375, M=25554.7 Нм; При x=0.675 м, M=26000-1.5/8*19000*(0.675-1.5/6)+ 24342.5*(0.675-1.5/4)=31788.7 Нм; Для 0.675<x<1.375 м M=M-0.1875*q(x-0.25)+Pa*(x-0.375)-P(x-0.675) При x=0.675 м, M=26000-0.1875*19000*(0.675-0.25)+24342.5*(0.675-0.375)- 0=31788.7 Нм; При x=1.375, M=26000-3562.5*1.125+24342.5*1-48000*0.7=-13265.3 Нм; Для 1.375 <x<1.875 м M=M-0.1875*q(x-0.25)+Pa*(x-0.375)-P(x-0.675)+q(x-1.375)*(x-1.375)/2 При x=1.375, M=26000-3562.5*1.125+24342.5*1-48000*0.7+0=-13734.9 Нм При x=1.875, M=26000-3562.5*1.625+24342.5*1.5-48000*1.2+19000(0.5)(0.25)=0 Нм 26000 Нм 48000 Н 19000 Н/м Pb B A Pa 0.3 0.5 0.375 19000 Н/м 1.5 19780 кН Q -18720 кН -3562.5 кН 26000 кНм 31789 кНм 25554 кНм -28220 кН 11735 кНм 0 кНм M Балка 4 q k l l l Заменяем опоры (заделки) реакциями Pa и Pb и моментами Ma и Mb . Из схемы нагружения считаем, что вертикальные перемещения малы, и Px=0, для M и Py составляем уравнения равновесия. Для нахождения реакций опор составляем два уравнения статики: Ma Mb Pc A Pd C Pa B D 19000 Н/м Pb 0.5 1.5 1.5 1.5 Pa+Pb+q*k=0 Ma-Mb+Pa*3l+qk*(2l-k/2)=0 Система статически неопределима (4 неизвестных реакции и три уравнения статики –одно сил и два для моментов). Но есть звено CD, для которого в шарнирах моменты равны нулю Mc=Md=0; Из условия статического равновесия для звена CD можно найти силы в шарнирах, составляем уравнения для звена CD (две неизвестных и два уравнения – система статически определима): Pс+Pd+q*k=0 Mc=0 Mc=q*k*k/2+Pd*l=0 Н Реакция направлена вниз принятому на рисунке направлению. Pс=-(Pd+q*k)=-(-1583.3+19000*0.5)=-7916.7 Н Реакция направлена вниз принятому на рисунке направлению. Для звена AC: Ma=Pc*l=7916.7*1.5=11875 Нм; Pc Pa=Pc=-7916.7 Н; Для звена DB: Mb=Pd*l=1583.3*1.5=2375 Нм; Mx C Q z Pb=Pd=-1583.3 Н; Строим эпюры Q и M. Для звена AC поперечная сила постоянна Q=-7916.7 Н; Ma Mb Pc A Pd C Pa 19000 Í /ì B D Pb 0.5 1.5 1.5 1.5 1583.3 êÍ Q -7916.7 êÍ 11875 êÍ ì 2375 êÍ ì -1583.3 êÍ ì M 0 êÍ ì 0 êÍ ì -1649.3 êÍ ì Для 0≤x≤1.5 м, Q=Pa=-7916.7 Н; Для звена CD: Для 1.5≤x≤2 м, Q=-Pc+q*(x-1.5); При x=1.5 м, Q=-7916.7 Н; При x=2.0 м, Q=1583.3 Н; Q=0 при x=1.5+7916.7/19000=1.917 м; Для 2.0≤x≤3 м, Q=1583.3 Н; Для 3.0≤x≤4.5 м, Q=1583.3 Н; Для 0≤x≤1.5 м, M=Ma-Pa*x; X=0, M=Ma=11875 Нм, X=1.5 м, M=11875-7916*1.5=0 Для звена CD: Для 1.5≤x≤2 м, M=-Pc *(x-1.5)+q*(x-1.5)2/2 ; При x=1.5 м, M=0 Нм; При x=2.0 м, M=-1583.3 Нм; при x=1.5+7916.7/19000=1.917 м, M=-1649.3 Нм Для 2.0≤x≤3 м, M=-Pc *(x-1.5)+q*0.5*(x-1.5-0.25) ; При x=2.0 м, M=-1583.3 Нм; При x=3.0 м, M=0 Нм; Для звена DB; M=Pd*x3; При x=3 м, M=0 Н; При x=4.5 м, M=2375 Нм. Проведем проверку полученного решения для всей системы Pa+Pb+q*k=-7916.7-1583.3+19000*0.5=-9500+9500=0, Ma-Mb+Pa*3l+qk*(2l-k/2)=11875-2375-7916.7*4.5+9500*2.75=-0.15 Нм. Значение -0.15 Нм – результат округления получаемых значений реакций заделок. Т.е. решение правильное. Балка 5 На рисунке приведена заданная эпюра изгибающих моментов 2 2ql K A B ql 2 1 l 2 3 l l Используем дифференциальную зависимость поперечной силы от изгибающего момента: ; Разбиваем балку на три участка. Для первого участка изгибающий момент равен 0 на левом конце балки и отрицательный на всем участке – верхняя часть сечения балки работает на растяжение, а нижняя – на сжатие. Зависимость изгибающего момента от длины – квадратичная. Значит, для поперечной силы будет линейная зависимость от расстояния x. Резкое изменение угла наклона в шарнире A означает, что в шарнире приложена сила. Для второго участка изгибающий момент постоянный – отсюда следует, что поперечная сила равна нулю. Из этого можно сделать вывод, что сила (реакция шарнирной опоры A) равна и противоположна по знаку распределенной силе, приложенной на первом участке. Для третьего участка - скачок и резкое изменение угла наклона для изгибающего момента – в данной точке приложен внешний изгибающий момент и внешняя сосредоточенная сила, начинается линейное снижение изгибающего момента – поперечная сила постоянная до конца – до шарнира B. В шарнире приложена сила – реакция шарнирной опоры B. Для третьего участка можно найти значение Pb(или Q) из уравнения Н; 2ql K A M B ql 1 2 3 Q -57000 Н -57000 Н М=128250 Нм q1=38000 Н/м Pa=57000 Н 1.5 1.5 P=57000 Н Pb=57000 Н 1.5 Т.к. для третьего участка изгибающий момент положителен, то верхняя часть сечения балки сжата, а нижняя растянута – сила реакции шарнира B направлена вверх, а для поперечной силы (поворот против часовой стрелки)- отрицательное значение. Q=-57000 Н; На границе второго и третьего участков приложены внешние момент M и сила P. Т.к. после этого (если идти справа налево) поперечная сила равна нулю, то сила P равна Q и противоположна по направлению реакции опоры Pb. Вычисляем величину момента M: Нм; Момент направлен по часовой стрелке Для первого участка допустим, что приложена распределенная нагрузка q1. Тогда поперечная сила: , а изгибающий момент , для точки A: , Теперь можно определить значение q1: , q1=38000 Н/м, Qa=q1*l=38000*1.5=57000 Н, т.к. для первого участка изгибающий момент отрицательный (нижние слои балки сжаты), то распределенная нагрузка q1 направлена вниз, а поперечная сила вверх против часовой стрелки для левого конца первого участка балки – значение Q – отрицательное. Для опоры A справа нет поперечной силы (dM/dz=0), а слева Qa=-57000 Н. отсюда следует, что Pa=57000 Н и сила реакции опоры направлена вверх. На рисунке приведены эпюры изгибающих моментов, полученных поперечных сил и расчетная схема нагружения балки: 2 Подбор двутаврового сечения для балки 2 Дано: []=160 МПа; []=0.5 []=80 МПа; 2.1 По эпюрам выбираем наиболее нагруженные участки балки. В данном случае это точки D и E. В точке D максимальный изгибающий момент, а в точке E наибольшее сочетание изгибающего момента и поперечной силы. Вначале рассмотрим точку D. Изгибающий момент МD=-25.9 кНм, поперечная сила QD=18.1*(1.1-0.5465)/(1.5- 0.5465)=10.51 кН. Используем условие прочности по нормальным напряжениям: Отсюда находим выражение для момента сопротивления и вычисляем его значение: ; Ближайшее значение момента сопротивления Wx , превышающее полученное, у двутавра стального горячекатанного №20 ГОСТ8239-89: Wx=184 см3, высота h=20 см, ширина полок b=10 см, толщина стенки d=0.52 см, средняя толщина полки t=0.84 см, F=26.8 см2, Jx=1840 см4, m=21 кг/м. < []=160 МПа. 26 кНм 19 кН/м A B C Pa 19 кН/м Pb 48 кН 1.1 1.5 0.3 1.5 43.3 кН 37.6 кН 18.1 кН Q -4.7 кН -10.4 кН 0.5465 м 73 Нм 2.45 м M -2.832 кНм -11.5 кНм -25.9 кНм E -12.1 кНм -20.2 кНм D Запас по напряжению составляет Можно взять профиль двутавр №18а с W=159 см3, тогда получится превышение напряжений в балке, но всего лишь на , что меньше допускаемых 5%. ≈ []=160 МПа. Запас по напряжению составляет Определяем нормальные напряжения: ; ; Па =163 МПа; 25 Q 163 МПа x 0 0 y 180 78.08 8 y 11.92 При y=0 =0, распределение по высоте – линейное. 5.1 -163 МПа y 100 2.2 Подобранное сечение проверить на прочность по касательным напряжениям, если []=(0.50.6)[]=80 МПа. Построить эпюру распределения касательных напряжений по высоте сечения, рассчитав во всех характерных точках. Зависимость касательных напряжений от координаты y ; где S’x –статический момент сопротивления сечения выше искомого уровня y’, d’x –ширина поперечного сечения в искомом уровне y’. Ширина двутавра меняется от d=5.1 мм (стенка) до d=100 мм (полка). Статический момент для полусечения S0x=89.8 см3; Н/м4; При у=0, d=5.1*10-3м , S0x=89.8*10-6 м3, =735*106*89.8*10-6/5.1*10-3=12.94*106 Па, max=12.94 МПа []=(0.50.6)[]=80 МПа. Проверим для сечения E: QE=43.3 кН, Па =53.32 МПа[]=(0.50.6)[]=80 МПа. Прочность балки по касательным напряжениям обеспечивается. Для построения параболической кривой эпюры для сечения D необходимо иметь еще не менее двух значений по y: Выбираем y1=78.08 мм и y2=86.6 мм, d1=5.1 мм, d2=100 мм S1x= S0x-d1*y1*y1/2=89.8-0.51*7.8*7.8/2=74.3 см3; Па =10.71 МПа; S2x= S0x-d1*y1*y1/2-(d1+d2)/2*(y2-y1)*(y2+y1)/2=74.3-5.25*0.86*8.23=37.13 см3; 3.36 50 10.71 МПа 0 12.94 МПа y 180 x 0 0.27 МПа 86.64 0 78.08 y 11.92 Па =0.27 МПа; 5.1 y 0 0.27 МПа 10.71 МПа 100 2.3 Пользуясь соотношением изогнутой оси балки. и учитывая расположение опор изобразить вид 26 кНм 19 кН/м A B C 10.4 кН 19 кН/м 48 кН 1.1 1.5 1.5 73 Нм 0.5465 м 0.3 37.6 кН 2.45 м M -2.832 кНм -11.5 кНм -25.9 кНм E -12.1 кНм -20.2 кНм D 3 Для балки 1, изготовленной из хрупкого материала, имеющего различное сопротивление растяжению и сжатию, расположить наиболее целесообразно сечение, и определить допускаемое значение интенсивности распределенной нагрузки q, считая, что материал блки имеет [раст]=90 МПа и [сж]=350 МПа. Принять P=ql/2, M=ql2/10. Дано: h=5 см, α=0.75, =0.5, Для треугольника: Fтр=bh/2=5*3.75/2=9.375 см2, Sтр=bh2/6=15.625 см3. Для полукруга: Fпкр=(h)2/8=*(2.5)2/8=2.45 см2, Sпкр=(h)3/12=1.302 см3. Для балки: Fб= Fтр+ Fпкр=9.375+2.45=11.825 см2; Sб= Sтр- Sпкр=15.625-1.302=14.323 см3; yöò=12.11 50 x0 O 18 .75 37.5 Координата ц.т. : Yцт= Sб/ Fб=14.323/11.825=1.211 см; Осевой момент инерции: Jx1=26.273 см4. Для данной балки с меньшими допускаемыми напряжениями на растяжение необходимо расположить сечение так, чтобы на краю балки растягивающие напряжения были меньше сжимающих, т.е. растягивающие напряжения д.б. в области с меньшим 37.89 50 yöò=12.11 21.49 расстоянием от нейтральной линии. M0 ql2/10 ql/2 q Py Px 1.1 0.5 1.5 0.85q кН 1.25q кН 0.1q кН 0 кН Q M -0.005q Нм 0 Нм -0.425q кНм -0.65q кНм -2.025q кНм Максимальный изгибающий момент Mx=-2.025q [кНм]=-2025q [Нм]; Максимальное напряжение на растяжение: Отсюда можно найти q Н/м Максимальное напряжение на сжатие: Отсюда можно найти q Н/м; Ответ: q543 Н/м