Obuchajush`aya i controlirujush`aya programma

Белякова Елена Николаевна,
преподаватель математики ГБПОУ КО
«Калужский колледж современных технологий»
Аннотация
Программа предназначена для обучающихся при самостоятельном изучении темы « Производная функции» для
практического освоения техники дифференцирования.
В ней приводятся правила дифференцирования, таблица производных основных элементарных функций, правила
дифференцирования сложной функции с подробно разобранными примерами.
Производную функции , состоящую из нескольких звеньев, предлагается находить по так называемому
« цепному правилу» , которое, являясь следствием правила дифференцирования сложной функции, экономит
время операции дифференцирования: позволяет явно не вводить обозначения промежуточных аргументов и
обходиться без промежуточных записей при дифференцировании.
После усвоения основного материала обучающимся предлагается найти производные заданных функций и выбрать
правильный ответ из трех вариантов по каждой задаче, записав его номер в последней графе. Два ответа из трех
составлены с учетом типичных ошибок, допускаемых в процессе обучения технике дифференцирования.
Для контроля и самоконтроля даны номера правильных ответов.
Программа может быть использована и преподавателем на практических занятиях, в период экзаменационной
сессии с целью интенсификации учебного процесса.
Определение производной
Производной функции у = f(x) в точке х называется конечный предел отношения приращения функции ∆ y к
приращению аргумента ∆x при условии, что ∆ х стремится к нулю:
(1)
=
=
;
:
Другие обозначения производной функции
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Пример.
Продифференцируем функцию y = x2 +2x
По определению производной функции (1), сначала найдём ∆ y= f(x + ∆ х) – f(x), т.е.
∆ y= (х + ∆ х)2 +2 (x + ∆ х) –( x2 +2x) = x2 +2x ∆ х +( ∆ х) 2 + 2х +2 ∆ х - x2 -2x = 2x ∆ х +( ∆ х) 2 +2 ∆ х
Затем составим отношение
Имеем
=
и вычислим предел этого отношения.
=
Итак, производная функция y = x2 +2x равна 2x+2
или
Этот способ нахождения производной по определению (1) называется непосредственным дифференцированием.
По приведённым ниже правилам дифференцирования и таблице производных (понятно, что формулы и правила
дифференцирования выводятся исходя из определения производной) можно найти производную любой
элементарной функции, не прибегая каждый раз к непосредственному нахождению производной по формуле (1).
Следует отметить, что в общем случае производная является тоже элементарной функцией от независимой
переменной.
Основные правила дифференцирования
–
=
=
+
–
V+U
=C
4
=
В приведенных правилах
С
-
постоянный множитель;
U, V, W
-
функции независимой переменной х ;
производные этих функций по переменной х.
Таблица производных основных элементарных
функций.
№
Функция
Производная
№
Функция
1
2
С
0
10
11
Sin x
Cos x
3
x
1
12
tg x
-
13
ctg x
5
14
arcsin x
6
15
arccos x
7
16
arctg x
8
17
arcctg x
4
9
n
Производная
Cos x
- sin x
-
-
-
Примеры вычисления производных элементарных
функций
Пример 1. У = 7
+4
+ –6
-
Введем дробные и отрицательные показатели, используя правила действий над
, p q- натуральные числа,
степенями с дробными показателями: если х
Tо
У=7
. Кроме того, если х
=
+4
=
-6
+3
- 2
, то
, имеем
Применяя 1 и 3 правила дифференцирования
=
-
+
-
+
Согласно формулам 1, 2, 4, 7, таблицы производных,
+4
=7
+3
-2
-0=2
-
+
+
=
получим ,
+4
+6
-3
Запишем окончательный результат без дробных и отрицательных показателей
=
+4
+
-
Примеры вычисления производных элементарных
функций
Пример 2.
y=
tgx
Функция задана произведением двух функций.
Согласно 2-му правилу дифференцирования
=
tgx +
=
и таблице производных
tgx +
=
имеем
Примеры вычисления производных
элементарных функций
Пример 3. y =
Функция задана частным двух функций. Согласно
4-ому правилу дифференцирования
запишем
=
Применяя формулы 6 и 9 таблицы производных,
имеем
=
=
Производная сложной функции
Если y является функцией от переменной и, а переменная и является в свою очередь,
функцией от независимой переменной х ( у = f (x), а u = g (х) ), то функция
называется сложной функцией.
В этом определение переменная и = g (х ) называется промежуточной переменной, часто –
промежуточным аргументом у.
Приведём примеры.
1. у =
.
Здесь u =3 x2 +2 x -1 назовём промежуточным аргументом у.
Сама функция
у=
=
является сложной степенного вида.
2) у =
Здесь u=sin x -промежуточный аргумент. Функция у=
сложная, показательного вида.
3) у = lntg x.
В этом примере промежуточный аргумент u = tg x , сама функция у = ln u является
сложной , логарифмического вида.
Производная сложной функции у = f(u) и u = g (х)) находится по формуле
=
(2)
Формула (2) показывает, что производная сложной функции по независимой переменой
x выражается произведением производной данной функции по промежуточному
аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой
переменной x .
Примеры вычисления производной сложной
функции
Пример 1. у =
=
Так как =3x2+2x – 1 и у =
, применим формулу 2 таблицы производных
и правило дифференцирования сложной функции (2)
. Получим:
или
=
=
Для завершения операции дифференцирования надо найти производную второго
множителя (промежуточного аргумента) по переменной . Применяя 1 и 2 правила
дифференцирования
и формулы 1, 2 таблицы производных
, получим
=
(6 +2) =
–
Пример 2.
У=
.
Полагая u = sin x и y =
применяя правило дифференцирования сложной
функции (2)
, 2 и 4 формулы таблицы производных
, имеем
Найдя производную второго множителя, получим
y'=
cos x.
Таблица производных сложных функций
Согласно формуле (2)
и таблице производных основных элементарных функций
самостоятельно заполнить таблицу производных сложных функций.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Функция
arcsin u
arcos u
tg u
tg u
Производная
Примеры вычисления производных сложных
функций
Пример 1. У =
Заданная функция степенного вида u =
применив
формулу
, имеем
=n
=3
; У=
=3
Пример 2. У =
=
Эта функция тоже степенного вида, u =
(
иу=
применив
, имеем
=
=
= tg x sec x
формулу
Примеры вычисления производных сложных
функций
Пример 3.
Здесь u =
y=
Применим формулу
=
=-
y=
Заданная функция показательного вида, u =
=
=
.
=
Дифференцируя, получим
Пример 4.
У=
=
3 =
,у=
Применим формулу
Примеры вычисления производных сложных
функций
Пример 5. У =
Заданная функция тригонометрического вида , u= 12 x, у =
=
,
имеем
Пример 6.
Полагая u =
имеем
Применив формулу
=
у= tg
, у = tg u ; применяя формулу
=
=
=
=
,
Задачи для самостоятельного решения.
Найти производные следующих функций, сравнить результат с тремя ответами по каждой
задаче из 2-й колонки, выбрать правильный и записать его номер в 3-й колонке.
Функция
1. y = 3
Альтернативы ответов
1. =3
2. = -12
3. = 12
=2. y =
3. y =
4.у= tg + ctg
2.
=
3.
=-
1.
=-
2.
=
3.
=-х
1.
=
2.
=
-
)
-
)
№ ответа
Задачи для самостоятельного решения.
Функция
Аьтернативы ответов
5. у =
6.у=
+
№ ответа
1. = -(
)
= -2(
)
+
= +3
2. =3(
3. =3(
7. У=
arcsin 2x
+
= 2х (arcsin 2x +
2.
= х (2 arcsin 2x +
= х (2 arcsin 2x +
8. У =
)
1. =
2. =
3. =
)
)
Задачи для самостоятельного решения.
Функция
Альтернативы ответов
=
=
9. у =
==
10. у =
2.
=
3.
=
=
11. y = arсcos 2х
2. = 3.
= -
№ ответа
Самоконтроль
Ответы к задачам для самостоятельного решения.
Номер
задачи
Номер
ответа
Номер
задачи
Номер
ответа
1
2
7
1
2
1
8
1
3
3
9
3
4
1
10
1
5
3
11
3
6
3