Педагогическая мозаика Попченко Светлана Николаевна МБОУ СОШ №3 г. Клинцы, Брянской области Учитель математики Система линейных уравнений ПРАВИЛО КРАМЕРА Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя переменными a1 x b1 y c1 a2 x b2 y c2 Главным определителем системы называется число, которое равно a1 b1 a2 b2 a1 b2 a2 b1 . Пример Найти главный определитель системы 5x 3 y 1, 4 x 3 y 10, Решение 5 3 4 3 5 3 4 (3) 15 12 27, Первым вспомогательным определителем называется число, которое вычисляется по формуле: . x c1 c2 b1 c1 b2 c2 b1 , b2 причем, он получается из главного определителя, если столбец коэффициентов a1 при x a2 заменить столбцом свободных членов c1 c2 Вторым вспомогательным определителем называется число, которое вычисляется по формуле: . y a1 a2 c1 a1 c2 a2 c1 , c2 причем, он получается из главного определителя, если столбец коэффициентов при y b1 b2 заменить столбцом свободных членов c1 c2 . Пример. Найти вспомогательный определитель системы 2x 3y 1, x 2y 3, Решение x y 1 3 3 2 2 1 1 3 1 (2) 3 (3) 2 9 7, 2 3 1 1 6 1 5. Правило Крамера 1. Если главный определитель системы отличен от нуля 0 то система совместна и имеет единственное решение, причем x x , y y . 2. Если главный определитель системы равен нулю 0 а хотя бы один из вспомогательных отличен от нуля x 0 ( y 0), то система несовместна. 3. Если главный определитель системы и оба вспомогательных равны нулю, то система совместна и имеет бесконечное множество решений (является неопределенной), причем, если x t, тогда где c1 a1 t c2 a2 t y или y , b1 b2 t R. Решить системы уравнений x 2y 5, 2x 3y 8; Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: x 5 2 8 3 1 2 2 3 1 3 2 2 3 4 1, 5 3 8 2 15 16 1, y 1 5 2 8 1 8 2 5 8 10 2. Главный определитель системы отличен от нуля 1 0, значит система совместна и имеет единственное решение y 2 x 1 x 1, y 2. 1 1 Ответ: (1; 2). 2. 9x 6y 3, 3x 2y 2; Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: 9 6 3 2 9 (2) 3 (6) 18 18 0, 9 3 3 6 x 3 (2) 2 (6) 6 12 0,6 y 9 2 3 3 18 9 9. 3 2 2 2 Главный определитель системы равен нулю, вспомогательных не равен нулю ( y 9 0), Ответ: система несовместна. а один из 3. 3x 4 y 5, 6x 8 y 10. Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: x 5 4 10 8 3 4 6 8 3 8 6 4 24 24 0, 40 40 0, y 3 5 6 10 30 30 0. Главный и оба вспомогательных определителя равны нулю, значит система совместна и имеет бесконечное множество решений. Чтобы найти все пары решений системы, достаточно взять любое из уравнений системы и, придавая переменной x произвольные значения из множества действительных чисел x = t R, найти значения y: 5 3t y Ответ: система имеет б/м решений, x t, y 4 5 3t , где 4 . t R. 4. . 5 x y 16 2 x 3 y 3 Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: 5 1 15 2 17 0 2 3 16 1 5 16 x 48 3 51; y 15 32 17 3 3 2 3 значит, система имеет единственное решение. y 17 x 51 x 3, y 1 17 17 . Ответ: (3; -1). 5. 2 x 3 y 1, 5 x 3 y 8. Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: . 2 3 6 15 21 0 5 3 1 3 2 1 x 3 24 21; y 16 5 21 8 3 5 8 значит, система имеет единственное решение. y 21 x 21 x 1, y 1 21 21 . Ответ: (-1; 1) 6. . 2 x 3 y 3, 7 x 5 y 16. Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: 2 3 10 21 11 0 7 5 3 3 2 3 x 15 48 33; y 32 21 11 16 5 7 16 значит, система имеет единственное решение. y 11 x 33 x 3, y 1 11 11 . Ответ: (3; -1). С помощью правила Крамера легко проводить исследование систем уравнений с параметрами. Исследовать систему уравнений - это значит решить вопрос о ее совместности или несовместности, и если она совместна, то найти все ее решения. 7. Исследовать систему уравнений ax y 2, x y 2a. Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: x 2 1 a 1 1 1 2 2a 2(1 a), a 1, y a 2 2a 2 2 2(a 1)(a 1). 1 2a 2a 1 1. Главный определитель системы не равен нулю, если a 1 0, a 1, тогда система совместна и имеет единственное решение: y 2(a 1)(a 1) x 2(1 a) 2(a 1) x 2, y 2(a 1). a 1 a 1 a 1 2. Если a - 1= 0, a = 1, тогда x y 0, значит система совместна и имеет бесконечное множество решений, т. е. является неопределенной. Пусть x t, тогда из первого или второго уравнения y 2 t, где t R . 8. Исследовать систему уравнений: (a 5) x (2a 3) y (3a 2) 0, (3a 10) x (5a 6) y (2a 4) 0. Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: a 5 2a 3 (a 5)(5a 6) (3a 10)(2a 3) 3a 10 5a 6 5a2 31a 30 6a2 29a 30 a2 2a a(2 a). 3a 2 2a 3 x (3a 2)(5a 6) (2a 4)(2a 3) 2a 4 5a 6 15a2 28a 12 4a2 14a 12 11a2 14a a(11a 14). a 5 3a 2 y (a 5)(2a 4) (3a 10)(3a 2) 3a 10 2a 4 2a2 14a 20 9a2 36a 20 7a2 22a a(7a 22). 1. Если 0, a(2 a) 0, a 0, a 2, тогда система совместна и имеет единственное решение y a(7a 22) 7a 22 x a(11a 14) 11a 14 . x , y a(2 a) a2 a(2 a) 2 a 2. Если a = 2, тогда 0, x 16 0, y 72 0, значит система несовместна. 0, 3. Если a = 0, тогда x y значит система имеет бесконечное множество решений, т. е. является неопределенной. Положим x = t, тогда из первого или 2 5t второго уравнения находим y 3 , где t R. 9. Исследовать систему уравнений ax y b, bx y a. Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: y a b b a 1. Если a 1 b a b (a b)(a b). 2 2 1 a b, x b 1 a 1 b a, a b 0, a b, тогда система совместна и имеет единственное решение x a b y (a b)(a b) x 1, y a b. b a a b 2. Если a = -b, тогда x y 0, система имеет бесконечное множество решений, т. е. является неопределенной. Положим x t, тогда y b(t 1), где t R . 10. Найти все значения а, при которых система уравнений 3x ay 5, 6 x 8 y 1. имеет единственное решение. Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: 3 a 24 6a 6 4 a , 6 8 5 x 1 a 40 a, 8 3 5 y 3 30 33 6 1 Если 0, 4 a 0, a 4 то система имеет единственное решение. 11. Найти все значения m , при которых система уравнений (m 2) x 7 y 9, m 1 x 2 m 2 y 18. , имеет бесконечное множество решений. Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: m2 7 2m2 8 7m 7 2m2 7m 15 2 m 1,5 m 5 m 1 2 m 2 9 7 x 18m 36 126 18m 90 18 m 5 , 18 2 m 2 m2 9 y 18m 36 9m 9 9m 45 9 m 5 m 1 18 . Если m = 5, тогда все три определителя равны нулю x y 0 а значит система совместна и имеет бесконечное множество решений. Ответ: m = 5. 12. Найти все значения а, при которых система уравнений . x ay 3 ax 4 y a 4 не имеет решений. Решение Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы: 1 a 4 a 2 a 2 4 a 2 a 2 a 4 3 a x 12 a 2 4a a 2 4a 12 a 6 a 2 a 4 4 . 1 y a 3 a 4 3a 2 a 2 a4 0 x 0, y 0 При a = -2 главный определитель равен нулю а оба вспомогательных не равны нулю . Ответ: a = -2. Дополнительные задачи Решить систему уравнений: 1. 6 x 5 y 19, 3x y 34. 2. 7 x 4 y 15, 2 x 3 y 4. Ответ: (9; 7). Ответ (1;2) Исследовать системы уравнений: 3. 3x ay 5a 2 , 2 3x ay a . Ответ: 1. Если a 0 ,то система совместна и имеет единственное решение a 2 ; 2a . 2. Если a = 0, то система совместна и имеет бесконечное множество решений. 4. (a 1) x 2ay 2 0, 2ax (a 1) y (a 1) 0. Ответ: 1 1. Если a 1 è a 3 то система совместна и имеет единственное решение: 2a 2 a 1 x ; y 3a 1 1 3a 2. Если a = -1, то система совместна и имеет бесконечное множество решений. 1 3. Если a , то система несовместна. 3. 5. . ay bx 0, y x b a. Ответ: ab Если , то система совместна и имеет единственное решение (a; b). 2. Если a = b, то система совместна и имеет б/м решений. 6. Найти все значения a, при которых система уравнений 5 x ay 2, 10 x 3 y 3. имеет единственное решение. Ответ: a 1,5 7. Найти все значения m, при которых система уравнений . m 2 x 27 y 4,5, 2 x (m 1) y 1, имеет бесконечное множество решений. Ответ: m = -7. 8. Найти все значения a, при которых система уравнений 7ax 4 y 8, 2 x 7 ay 49 a , не имеет решений. Ответ: a 2 7