Конспект учебного занятия по теме: «Система линейных уравнений с параметром»

Конспект учебного занятия по теме: «Система линейных
уравнений с параметром»
Попченко Светлана Николаевна, учитель математики
Параметр ( от греческого слова parametron – отмеривающий) – величина, значения которой
служат для различения элементов некоторого множества между собой.
Исследование многих систем, процессов в жизни осуществляется с использованием
параметров. Если для движущегося тела указан закон движения, то его положение в пространстве
полностью определяется параметром времени. В качестве параметра для оценки состояния
спортсмена тренером используется частота сердечных сокращений. Состояние больного врачтерапевт определяет с помощью параметров температуры, давления. Для функции Y=K/X в
качестве параметра выступает коэффициент K обратной пропорциональности. Общим для всех
примеров является выделение некоторых характеристик систем, по изменениям которых
оценивается состояние всей системы.
В учебном пособии Г.А. Ястребинецкого « Уравнения и неравенства, содержащие
параметры» параметр рассматривается как переменная, которая при решении уравнений и
неравенств считается постоянной величиной. В сборнике «514 задач с параметрами»под редакцией
С.А.Тынянкина параметры- величины, численные значения которых не заданы конкретно, но
должны считаться известными, причем параметры могут принимать произвольные значения.
Аналогичный взгляд на параметры изложен в книге П.И. Горнштейна и др. «Задачи с
параметрами»: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы
двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет общаться с параметром
как с числом, а во-вторых, степень свободы ограничивается его неизвестностью. В учебном
пособии «Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами» В.И.
Горбачева уравнения и неравенства с параметрами рассматриваются как уравнения и неравенства с
несколькими переменными, при этом в качестве параметра может быть выбрана любая из
переменных.
Главная особенность задач с параметрами - ветвление решения в зависимости от значения
параметров. Другими словами, процесс решения осуществляется классификацией частных
уравнений (неравенств) по типам с последующим поиском общих решений каждого типа.
Построение «картины» граничных значений параметров и выделяемых ими областей
однотипности – составная часть выделения и исследования каждого типа частных уравнений и
неравенств.
Поставим задачу:
Решение и исследование систем линейных уравнений. Правило
Крамера.
1.
Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких
уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений.
2.
Решить систему уравнений – значит найти все её решения
3.
Систему называют определенной, если она имеет конечное число решений
неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений
совместной, если она имеет хотя бы одно решение
несовместной, если она не имеет ни одного решения
Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя переменными
 a1 x  b1 y  c1

a2 x  b2 y  c2
Главным определителем системы называется число, которое равно
a1 b1

 a1  b2  a2  b1 .
a2 b2
Первым вспомогательным определителем называется число, которое вычисляется по
формуле:
c b1
x  1
 c1  b2  c2  b1 ,
c2 b2
причем, он получается из главного определителя, если столбец коэффициентов при x
a1
c1
заменить столбцом свободных членов .
a2
c2
Вторым вспомогательным определителем называется число, которое вычисляется по
формуле:
a c1
y  1
 a1  c2  a2  c1 ,
a2 c2
причем, он получается из главного определителя, если столбец коэффициентов при y
b1
c1
заменить столбцом свободных членов .
b2
c2
Правило Крамера
1. Если главный определитель системы отличен от нуля   0 , то система совместна и имеет
y
x
.
единственное решение, причем x 
, y


2. Если главный определитель системы равен нулю   0 , а хотя бы один из вспомогательных
отличен от нуля  x  0 (  y  0), то система несовместна.
3. Если главный определитель системы и оба вспомогательных равны нулю, то система
совместна и имеет бесконечное множество решений (является неопределенной), причем, если
c1  a1  t
c2  a2  t
x  t, тогда y 
или y 
, где t  R .
b1
b2
С помощью правила Крамера легко проводить исследование систем уравнений с
параметрами.
Исследовать систему уравнений - это значит решить вопрос о ее совместности или
несовместности, и если она совместна, то найти все ее решения.
ax  y  2,
1. Исследовать систему уравнений 
 x  y  2a.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
a 1
2 1
a 2

 a  1,  x 
 2  2a  2(1  a),  y 
 2a 2  2  2(a  1)(a  1).
1 1
2a 1
1 2a
1. Главный определитель системы не равен нулю, если a  1  0, a  1, тогда система
совместна и имеет единственное решение:
 y 2(a  1)(a  1)
 x 2(1  a)
2(a  1)

 2(a  1).
x


 2, y 

a 1

a 1
a 1
2. Если a - 1= 0, a = 1, тогда    x   y  0, значит система совместна и имеет бесконечное
множество решений, т. е. является неопределенной.
Пусть x  t, тогда из первого или второго уравнения y  2  t, где t  R .
Ответ: 1. Если a  1, тогда система совместна и имеет единственное решение
x  2, y  2(a  1).
2. Если a = 1, тогда система совместна и имеет бесконечное множество решений, x  t,
y  2  t, где t  R .
2. Исследовать систему уравнений:
 (a  5) x  (2a  3) y  (3a  2)  0,

(3a  10) x  (5a  6) y  (2a  4)  0.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
a  5 2a  3

 (a  5)(5a  6)  (3a  10)(2a  3) 
3a  10 5a  6
 5a 2  31a  30  6a 2  29a  30  a 2  2a  a(2  a).
x 
3a  2 2a  3
 (3a  2)(5a  6)  (2a  4)(2a  3) 
2a  4 5a  6
 15a 2  28a  12  4a 2  14a  12  11a 2  14a  a(11a  14).
y 
a  5 3a  2
 (a  5)(2a  4)  (3a  10)(3a  2) 
3a  10 2a  4
 2a 2  14a  20  9a 2  36a  20  7a 2  22a  a(7a  22).
1. Если   0, a(2  a)  0, a  0, a  2, тогда система совместна и имеет единственное
 y  a(7a  22) 7a  22
 x a(11a  14) 11a  14


.


, y
решение x 

a(2  a)
2 a

a(2  a)
a2
2. Если a = 2, тогда   0,  x  16  0,  y  72  0, значит система несовместна.
3. Если a = 0, тогда    x   y  0, значит система имеет бесконечное множество решений,
т. е. является неопределенной. Положим x = t, тогда из первого или второго уравнения находим
2  5t
y
, где t  R .
3
Ответ:
1. Если a  0, a  2, тогда система совместна и имеет единственное решение
11a  14
7a  22
x
, y
.
2a
a2
2. Если a = 2, тогда система несовместна.
3. Если a = 0, тогда система совместна и имеет бесконечное множество решений:
 x  t,

2  5t , где t  R .

 y  3
 ax  y  b,
3. Исследовать систему уравнений 
bx  y  a.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:

a 1
b
1
 a  b,  x 
b 1
a
1
 b  a,  y 
a b
b a
 a 2  b2  (a  b)(a  b).
1. Если   a  b  0, a  b, тогда система совместна и имеет единственное решение
 y (a  b)(a  b)
x a  b

 a  b.
x

 1, y 

a b
 b a
2. Если a = -b, тогда    x   y  0, система имеет бесконечное множество решений, т. е.
является неопределенной. Положим x  t, тогда y  b(t  1), где t  R .
Ответ:
1. Если a  b, тогда система совместна и имеет единственное решение
x  1, y  a  b.
2. Если a   b, тогда система совместна и имеет бесконечное множество решений
x  t, y  b(t  1), где t  R .
 3x  ay  5,
4. Найти все значения а, при которых система уравнений 
имеет единственное
6 x  8 y  1.
решение.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:

3 a
5 a
3 5
 24  6a  6   4  a  ,  x 
 40  a,  y 
 3  30  33
6 8
1 8
6 1
Если   0, 4  a  0, a  4 , то система имеет единственное решение.
Ответ: a  4
5. Найти все значения m , при которых система уравнений
 (m  2) x  7 y  9,
имеет бесконечное множество решений.

 m  1 x  2  m  2  y  18.
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:

m2
7
 2m2  8  7m  7  2m2  7m  15  2  m  1,5 m  5  ,
m  1 2  m  2
x 
9
7
 18m  36  126  18m  90  18  m  5 ,
18 2  m  2 
y 
m2 9
 18m  36  9m  9  9m  45  9  m  5  .
m  1 18
Если m = 5, тогда все три определителя равны нулю    x   y  0 , а значит система
совместна и имеет бесконечное множество решений.
Ответ: m = 5.
 x  ay  3
6. Найти все значения а, при которых система уравнений 
не имеет решений.
ax  4 y  a  4
Решение
Найдем главный и оба вспомогательных определителя системы:
1 a

 4  a 2  a 2  4   a  2  a  2  .
a 4
3
a
 12  a 2  4a  a 2  4a  12   a  6  a  2 
a  4 4
1
3
y 
 a  4  3a  2  a  2  .
a a4
При a = -2 главный определитель равен нулю   0 , а оба вспомогательных не равны нулю
 x  0,  y  0 .
x 
Ответ: a = -2.
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать системы уравнений:
3x  ay  5a 2 ,
1. 
2
3x  ay  a .
Ответ:
1. Если a  0 , то система совместна и имеет единственное решение  a 2 ; 2a  .
2. Если a = 0, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
(a  1) x  2ay  2  0,
2. 
2ax  (a  1) y  (a  1)  0.
Ответ:
1
1. Если a  1 è a  , то система совместна и имеет единственное решение:
3
2a  2
a 1
x
; y
.
3a  1
1  3a
2. Если a = -1, то система совместна и имеет бесконечное множество решений.
1
3. Если a  , то система несовместна.
3
a(a  1) x  a(a  1) y  a 3  2,
3.  2
3
4
(a  1) x  (a  1) y  a  1.
Ответ:
1. Если a  0, a  1, a  1, a  2 , то система совместна и имеет единственное решение:
a3  a2  1
a3  a  1
,
y

.
a3  a2
a2
2. Если a = -1 или a = 2, то система имеет бесконечное множество решений.
3. Если a = 1 или a = 0, то система несовместна.
x
 ay  bx  0,
4. 
 y  x  b  a.
Ответ:
1. Если a  b , то система совместна и имеет единственное решение (a; b).
2. Если a = b, то система совместна и имеет б/м решений.
5 x  ay  2,
5. Найти все значения a, при которых система уравнений 
имеет единственное
10 x  3 y  3.
решение.
Ответ: a  1,5 .
 m  2  x  27 y  4,5,
6. Найти все значения m, при которых система уравнений 
имеет
2 x  ( m  1) y  1,
бесконечное множество решений.
Ответ: m = -7.
7ax  4 y  8,
7. Найти все значения a, при которых система уравнений 
не имеет решений.
2
 x  7ay  49a ,
2
Ответ: a  .
7
Литература
1.
Сборник задач по математике для поступающих во втузы: учебное пособие / Под
редакцией МИ. Сканави. - М.: Высшая школа, 1992.
2.
Задачи с параметрами и методы их решения В.С.Крамор.-М. Мир и образование, 2007.
3.
Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами
В.И. Горбачев. – Брянск, 1998.
4. Материалы для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию для
выпускников школ и абитуриентов В.И.Тишин. – Комаричи, 2008 г.