Интеграл Стилтьеса Томас Стилтьес Бернхард Риман Можно принять в качестве аксиом свойство приращений моментов: Приращение момента пропорционально приращению массы, и потому приращение на интервале, составленном из конечного числа меньших интервалов, складывается из приращений на этих последних. Таким образом, если подразделить интервал 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏 точками деления a=x_0<x_1<x_2<⋯<xN=b, 𝜑=𝑁 𝐹 𝑎, 𝑏 = 𝐹(𝑥𝜑−1 , 𝑥𝜑 ) 𝜑=1 общее значение 𝐼 называется интегралом Стилтьеса функции 𝑓(𝑥) с интегрирующей функцией Ф(𝒙), взятым в пределах от a до b, что обозначается так: 𝑏 𝐼= 𝑓 𝑥 𝑑Ф(𝑥) 𝑎 𝑏 𝑏 𝑓 𝑥 𝑢′ (𝑥)𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑢(𝑥) = 1 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 = 2 𝑎 𝑏 𝑏 𝑓1 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 + 𝑎 𝑓2 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 , 𝑎 𝑏 𝛼𝑓 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 = 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 , ∀𝑎 ∈ ℝ 𝑎 𝑏 𝑓 𝑎 𝑐 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓 𝑐 3 При 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 имеем 4 Если 𝑓 ′ 𝑥 и 𝑢(𝑥) интегрируемы по Риману, то имеет место следующее правило интегрирования по частям: 𝑥 𝑑𝑢(𝑥) = 𝑏 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑢(𝑥) = 𝑓 𝑥 𝑢 𝑥 |𝑏𝑎 − 𝑎 𝑥 𝑑𝑢 𝑥 + 𝑓 ′ 𝑥 𝑢 𝑥 𝑑𝑥, 𝑎 Основные свойства 𝑥 𝑑𝑢(𝑥) I. Для существования интеграла Стилтьеса необходимо, чтобы 𝑓(𝑥) была непрерывна во всех точках разрыва 𝑔 (х). II. Для интегрируемости 𝑓(𝑥) по 𝑔𝑐 (𝑥) необходимо и достаточно выполнение следующего условия: при любом заданном положительном 𝜀 можно покрыть точки разрыва непрерывности 𝑓(𝑥) конечным или счетным множеством промежутков [𝑎𝑘 , 𝑏𝑘 ] (которые могут и перекрываться) так, что имеет место неравенство [𝑔𝑐 𝑏𝑘 − 𝑔𝑐 (𝑎𝑘 )] ≤ 𝜀, 𝑘 Существование интеграла Геометрический смысл 𝑏 𝑆 𝑓 𝑡 𝑑𝑔 𝑡 𝑎 𝑥 = 𝑔 𝑡 ,𝑦 = 𝑓 𝑡 𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 <. . . < 𝑡𝑖 < 𝑡𝑖+1 <. . . < 𝑡𝑛 = 𝑏 𝑠= 𝑚𝑖 Δ𝑔 𝑡𝑖 , 𝑆 = 𝑖 𝑀𝑖 Δ𝑔 𝑡𝑖 . 𝑖 Применение в квантовой механике Вычислим интегралы: π 2 𝑥 2 𝑑ln 1 + 𝑥 , 𝑆 𝑆 𝑥𝑑sin𝑥 , 0 2 2 𝑥 2 𝑑ln 1 + 𝑥 = 𝑅 𝑆 0 π 𝑆 0 π 2 = 𝑥sin𝑥 − 𝑥𝑑𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝑅 −1 π 𝑥𝑑𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 . −1 2 𝑥 1 2 𝑑𝑥 = 𝑥 − 𝑥 + ln 1 + 𝑥 1+𝑥 2 2 𝑥𝑑sin𝑥 = 𝑅 0 𝑆 𝑆 0 Решение: 1 1 2 𝑥 ⋅ cos𝑥𝑑𝑥 = 0 2 𝑢=𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2 = ln3 0 𝑑𝑣 = cos𝑥𝑑𝑥 𝑣 = sin𝑥 π π π π ⋅ sin + cos − cos0 = − 1 1 21 2 2 2 2 0 𝑥𝑑𝑥 1 1 𝑑 1+𝑥 1 1 2 = = ln 1 + 𝑥 = (ln2 − ln2) = 0 1 + 𝑥2 2 1 + 𝑥2 2 2 −1 −1 sin𝑥𝑑𝑥 = Примеры −1 Вычислить по формуле: 𝑏 𝑏 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑎 𝑔 𝑎 + 0 − 𝑓 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑔 𝑥 = = 𝑎 +𝑓 𝑏 𝑔 𝑏 𝑎 ∗ =𝑏 𝑥0∗ = 𝑎, 𝑥1∗ , … , 𝑥𝑚 𝑥+2 2 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 3 2 𝑆 𝑥𝑑𝑔 𝑥 −2 Решение: 2 1 𝑔′ 𝑥 = 0 2𝑥 −1 𝑥𝑑𝑔 𝑥 = −2 - точки разрыва функции 𝑔 и её производной 𝑔′ −2 ≤ 𝑥 ≤ −1, −1 < 𝑥 < 0, 0 ≤ 𝑥 ≤ 2. −2 ≤ 𝑥 ≤ −1, −1 < 𝑥 < 0, 0 < 𝑥 ≤ 2. 2 𝑥 2 𝑑𝑥 + −1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 = 𝑥𝑑𝑥 + 2 −2 при при при при при при 0 𝑥2 2 −1 −2 2 + x3 3 2 5 −1=2 . 6 0 Применения интеграла Стилтьеса в настоящее время уже настолько проникли в некоторые области математики, физики и квантовой механики, что достаточно серьезное изучение этих областей без интеграла Стилтьеса немыслимо и активно применяется в теории вероятностей, теории функций, а так же в функциональном анализе.