Элементы аналитической геометрии в пр-ве

реклама
Начало
Оглавление
Составитель
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
(учебная дисциплина)
Составители
доценты кафедры математики
и моделирования ВГУЭС
Шуман Галина Ивановна
Волгина Ольга Алексеевна
ВГУЭС
1
Начало
Оглавление
Составитель
Элементы
аналитической
геометрии в
пространстве
ВГУЭС
2
Начало
Содержание
Оглавление
Составитель
§ 1. Плоскость в пространстве
§ 2. Взаимное расположение плоскостей
§ 3. Расстояние от точки до плоскости
§ 4. Прямая в пространстве
§ 5. Взаимное расположение прямых в
пространстве
§ 6. Прямая и плоскость в пространстве
ВГУЭС
3
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Плоскость в
пространстве
Уравнение 𝑭(𝒙; 𝒚; 𝒛) = 𝟎 определяет
некоторую поверхность в пространстве 𝑂𝑥𝑦𝑧.
Поверхностью в некоторой системе
координат называется геометрическое место
точек пространства, удовлетворяющих
некоторому уравнению, называемому
уравнением поверхности.
ВГУЭС
4
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Плоскость в
пространстве
Любой вектор, перпендикулярный
плоскости (𝜶) , называется нормальным
вектором или нормалью плоскости
𝒏(𝑨; 𝑩; 𝑪)
𝒏
α
ВГУЭС
5
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Плоскость в
пространстве
Пусть дана точка 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) ∈ 𝛼 и
нормаль 𝑛(𝐴; 𝐵; 𝐶), 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) – текущая точка
плоскости 𝛼.
Уравнение вида
𝑨(𝒙 − 𝒙𝟎 ) + 𝑩(𝒚 − 𝒚𝟎 ) + 𝑪(𝒛 − 𝒛𝟎 ) = 𝟎
Называется уравнением плоскости, проходящей
через данную точку перпендикулярно данному
вектору.
ВГУЭС
6
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Плоскость в
пространстве
Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в
последнем уравнении, получим
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + (−𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0 ) = 0.
Обозначим −𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0 = 𝐷, тогда
уравнение примет вид
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎, которое называется
общим уравнением плоскости.
ВГУЭС
7
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1) если 𝐷 = 0, 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, уравнение
плоскости примет вид 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0, которая
проходит через начало координат
z
𝜶
y
0
x
ВГУЭС
8
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Плоскость в
пространстве
2) 𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, 𝐷 ≠ 0, то есть 𝑛(0; 𝐵; 𝐶),
тогда получим уравнение плоскости
𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, параллельной оси 𝑂𝑥
z
𝜶
y
0
x
ВГУЭС
9
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
3) 𝐵 = 0; 𝐴 ≠ 0; 𝐶 ≠ 0; 𝐷 ≠ 0, то есть 𝑛(𝐴; 0; 𝐶),
получим уравнение плоскости
𝐴𝑥 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, параллельной оси 𝑂𝑦
z
𝜶
0
у
х
ВГУЭС
10
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
4) 𝐶 = 0; 𝐴 ≠ 0; 𝐵 ≠ 0; 𝐷 ≠ 0, то есть 𝑛 𝐴; 𝐵; 0 ,
получим уравнение плоскости
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐷 = 0, параллельной оси 𝑂𝑧
z
𝜶
у
0
х
ВГУЭС
11
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
5) 𝐴 = 0, 𝐷 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, получим
𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0 – уравнение плоскости, проходящей
через ось 𝑂𝑥
z
𝜶
0
у
х
ВГУЭС
12
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
6) 𝐵 = 0, 𝐷 = 0, 𝐴 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, уравнение
плоскости 𝐴𝑥 + 𝐶𝑧 = 0, проходящей через ось
𝑂𝑦
z
𝜶
у
0
х
ВГУЭС
13
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
7) 𝐶 = 0, 𝐷 = 0, 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, уравнение
плоскости 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 0, проходящей через ось
𝑂𝑧
z
𝜶
0
у
х
ВГУЭС
14
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
8) 𝐴 = 𝐵 = 0, 𝐶 ≠ 0, 𝐷 ≠ 0, уравнение плоскости
𝐷
𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 или 𝑧 = − , параллельной плоскости
𝐶
z
𝑂𝑥𝑦
𝑫
𝒛=−
𝑪
𝜶
0
у
х
ВГУЭС
15
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
9) 𝐴 = 𝐶 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐷 ≠ 0, уравнение плоскости
𝐷
𝐵𝑦 + 𝐷 = 0 или 𝑦 = − , параллельной плоскости
𝐵
𝑂𝑥𝑧
z
𝜶
𝒚=−
0
𝑫
𝑩
у
х
ВГУЭС
16
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
10) 𝐵 = 𝐶 = 0, 𝐴 ≠ 0, 𝐷 ≠ 0, уравнение плоскости
𝐷
𝐴𝑥 + 𝐷 = 0 или 𝑥 = − , параллельной плоскости
𝐴
𝑂𝑦𝑧
z
𝒙=−
𝑫
𝑨
0
у
х
ВГУЭС
17
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
11) 𝐴 = 𝐵 = 𝐷 = 0, 𝐶 ≠ 0, уравнение плоскости
𝐶𝑧 = 0 или 𝑧 = 0 задает плоскость 𝑂𝑥𝑦
z
0
у
х
ВГУЭС
18
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Плоскость в
пространстве
12) 𝐴 = 𝐶 = 𝐷 = 0, 𝐵 ≠ 0, уравнение плоскости
𝐵𝑦 = 0 или 𝑦 = 0 задает плоскость 𝑂𝑥𝑧
z
0
у
х
ВГУЭС
19
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Плоскость в
пространстве
13) 𝐵 = 𝐶 = 𝐷 = 0, 𝐴 ≠ 0 уравнение плоскости
𝐴𝑥 = 0 или 𝑥 = 0 задает плоскость 𝑂𝑦𝑧
z
0
у
х
ВГУЭС
20
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
Составитель
Преобразуем общее уравнение плоскости при
условии, что 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, 𝐷 ≠ 0: 𝐴𝑥 +
𝒙
𝒚
𝒛
𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = −𝐷, −𝑫 + −𝑫 + −𝑫 = 1. Обозначим
−
𝐷
𝐴
𝐷
𝐵
𝑨
𝐷
𝐶
𝑩
𝑪
= 𝑎, − = 𝑏, − = 𝑐, тогда уравнение
𝒙
𝒂
𝒚
+
𝒃
𝒛
𝒄
плоскости примет вид
+ = 1, которое
называется уравнением плоскости в отрезках.
ВГУЭС
21
§ 1. Плоскость в
пространстве
Начало
Оглавление
z
Составитель
с
в
0
у
а
х
ВГУЭС
22
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Плоскость в
пространстве
Пусть даны три точки
𝑀1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑀2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 , 𝑀3 (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ). Тогда
уравнение плоскости, проходящей через эти
точки, имеет вид
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 𝑧2 − 𝑧1 = 0
𝑥3 − 𝑥1 𝑦3 − 𝑦1 𝑧3 − 𝑧1
ВГУЭС
23
Начало
Оглавление
Составитель
§ 2. Взаимное расположение
плоскостей
Пусть даны две непараллельные плоскости
𝛼1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0, 𝑛1 (𝐴1 , 𝐵1 , 𝐶1 )
𝛼2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0, 𝑛2 (𝐴2 , 𝐵2 , 𝐶2 )
𝒏𝟐
𝜶𝟏
𝝋
𝝋
𝜶𝟐
𝒏𝟏
ВГУЭС
24
Начало
Оглавление
Составитель
§ 2. Взаимное расположение
плоскостей
cos( 𝛼1 ^𝛼2 ) = cos 𝜑 = cos( 𝑛1 , 𝑛2 ), тогда
𝑛1 ∙ 𝑛2
cos 𝜑 =
=
𝑛1 ∙ 𝑛2
𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 + 𝐶1 𝐶2
𝐴12 + 𝐵12 + 𝐶12 ∙ 𝐴22 + 𝐵22 + 𝐶22
ВГУЭС
25
Начало
Оглавление
Составитель
§ 2. Взаимное расположение
плоскостей
Если 𝛼1 ‖𝛼2 , тогда 𝑛1 ‖ 𝑛2 , то есть
𝑨𝟏
𝑨𝟐
=
𝑩𝟏
𝑩𝟐
=
𝑪𝟏
𝑪𝟐
условие параллельности двух плоскостей.
Если 𝛼1 ⊥ 𝛼2 , тогда 𝑛1 ⊥ 𝑛2 , то есть 𝑛1 ∙ 𝑛2 =
0,
𝑨𝟏 𝑨𝟐 + 𝑩𝟏 𝑩𝟐 + 𝑪𝟏 𝑪𝟐 = 𝟎 условие перпендикулярности двух плоскости.
ВГУЭС
26
Начало
Оглавление
Составитель
§ 3. Расстояние от точки до
плоскости
𝛼: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0, точка
𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ) ∉ 𝛼, 𝑑 – расстояние от точки 𝑀0
до плоскости 𝛼. Тогда
𝑨𝒙𝟎 + 𝑩𝒚𝟎 + 𝑪𝒛𝟎 + 𝑫
𝒅=
𝑨𝟐 + 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐
расстояние от точки до прямой
ВГУЭС
27
Начало
§ 4. Прямая в пространстве
Оглавление
Составитель
𝛼1 : 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0
- данная система
𝛼2 : 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0
определяет прямую как линию пересечения двух
плоскостей, которая называется общими
уравнениями прямой в пространстве.
ВГУЭС
28
Начало
§ 4. Прямая в пространстве
Оглавление
Составитель
Пусть точка 𝑀0 𝑥0 ; 𝑦0 ; 𝑧0 ∈ 𝒍, 𝑠(𝑚; 𝑛; 𝑝) –
направляющий вектор прямой 𝒍, тогда уравнения
вида
𝒙−𝒙𝟎
𝒎
=
𝒚−𝒚𝟎
𝒏
=
𝒛−𝒛𝟎
𝒑
называются каноническими уравнениями
прямой.
ВГУЭС
29
Начало
§ 4. Прямая в пространстве
Оглавление
Составитель
Пусть
𝒙−𝒙𝟎
𝒎
= 𝑡,
𝒚−𝒚𝟎
𝒏
= 𝑡,
𝒛−𝒛𝟎
𝒑
= 𝑡, где 𝑡 ∈ 𝑅.
Выразив 𝑥, 𝑦 и 𝑧, получим
𝑥 = 𝑚𝑡 + 𝑥0
𝑦 = 𝑛𝑡 + 𝑦0
𝑧 = 𝑝𝑡 + 𝑧0
𝑡∈𝑅
параметрические уравнения прямой.
ВГУЭС
30
Начало
Оглавление
Составитель
§ 4. Прямая в пространстве
Пусть 𝑀1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ∈ 𝒍, 𝑀2 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ∈ 𝒍,
тогда
𝒙 − 𝒙𝟏
𝒚 − 𝒚𝟏
𝒛 − 𝒛𝟏
=
=
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏
уравнение прямой , проходящей через две
данные точки.
ВГУЭС
31
Начало
Оглавление
Составитель
§ 5. Взаимное расположение
прямых в пространстве
Пусть даны две прямые
𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 𝑧 − 𝑧1
𝑙1 :
=
=
и
𝑚1
𝑛1
𝑝1
𝑥 − 𝑥2 𝑦 − 𝑦2 𝑧 − 𝑧2
𝑙2 :
=
=
𝑚2
𝑛2
𝑝2
𝑠1 𝑚1 ; 𝑛1 ; 𝑝1 и 𝑠2 (𝑚2 ; 𝑛2 ; 𝑝2 ) – направляющие
векторы этих прямых соответственно.
ВГУЭС
32
Начало
§ 5. Взаимное расположение
прямых в пространстве
Оглавление
Составитель
𝒍𝟐
𝒍𝟏
𝝋
𝒔𝟐
𝝋
𝒔𝟏
ВГУЭС
33
Начало
Оглавление
Составитель
§ 5. Взаимное расположение
прямых в пространстве
cos 𝜑 = cos( 𝑠1 ; 𝑠2 ) =
или
cos 𝜑 =
𝑠1 ∙ 𝑠2
𝑠1 ∙ 𝑠2
𝑚1 𝑚2 + 𝑛1 𝑛2 + 𝑝1 𝑝2
𝑚12 + 𝑛12 + 𝑝12 ∙ 𝑚22 + 𝑛22 + 𝑝22
косинус угла между двумя пересекающимися
прямыми в пространстве.
ВГУЭС
34
Начало
Оглавление
Составитель
§ 5. Взаимное расположение
прямых в пространстве
Если 𝑙1 ‖𝑙2 , тогда 𝑠1 ‖𝑠2 :
𝒎𝟏
𝒎𝟐
=
параллельности двух прямых
𝒏𝟏
𝒏𝟐
=
𝒑𝟏
𝒑𝟐
- условие
𝒍𝟏
𝒔𝟏
𝒍𝟐
𝒔𝟐
ВГУЭС
35
Начало
Оглавление
Составитель
§ 5. Взаимное расположение
прямых в пространстве
Если 𝑙1 ⊥ 𝑙2 , тогда 𝑠1 ⊥ 𝑠2 :
𝒎𝟏 𝒎𝟐 + 𝒏𝟏 𝒏𝟐 + 𝒑𝟏 𝒑𝟐 = 𝟎 – условие
перпендикулярности двух прямых.
𝒍𝟏
𝒔𝟏
𝒔𝟐
𝒍𝟐
ВГУЭС
36
Начало
Оглавление
Составитель
§ 6. Прямая и плоскость в
пространстве
Даны прямая 𝒍:
𝒙−𝒙𝟎
𝒎
=
𝒚−𝒚𝟎
𝒏
=
𝒛−𝒛𝟎
𝒑
с
направляющим вектором 𝑠(𝑚; 𝑛; 𝑝) и плоскость
𝛼: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 с нормалью 𝑛(𝐴; 𝐵; 𝐶)
𝒏
𝜸
𝒍
𝒔
𝝋
𝜶
ВГУЭС
37
Начало
Оглавление
Составитель
§ 6. Прямая и плоскость в
пространстве
𝜋
𝜋
𝜑 = (𝑙^𝛼), 𝛾 = (𝑠^𝑛), 𝜑 + 𝛾 = , тогда 𝜑 = ±
2
2
𝛾, sin 𝜑 = cos 𝛾 , следовательно
𝐴𝑚 + 𝐵𝑛 + 𝐶𝑝
sin 𝜑 =
𝐴2 + 𝐵 2 + 𝐶 2 ∙ 𝑚 2 + 𝑛 2 + 𝑝 2
- синус угла между прямой и плоскостью
ВГУЭС
38
Начало
Оглавление
Составитель
§ 6. Прямая и плоскость в
пространстве
Если 𝑙‖𝛼, 𝑠 ⊥ 𝑛, тогда 𝑨𝒎 + 𝑩𝒏 + 𝑪𝒑 = 𝟎
условие параллельности прямой и плоскости
𝒍
𝒔
𝒏
𝜶
ВГУЭС
39
Начало
Оглавление
Составитель
§ 6. Прямая и плоскость в
пространстве
Если 𝑙 ⊥ 𝛼, 𝑠‖𝑛, тогда
𝑨
𝒎
=
𝑩
𝒏
𝑪
𝒑
= - условие
перпендикулярности прямой и плоскости.
𝒍
𝒔
𝒏
𝜶
ВГУЭС
40
Скачать