Элементы аналитической геометрии на плоскости

Начало
Оглавление
Составитель
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
(учебная дисциплина)
Составители
доценты кафедры математики
и моделирования ВГУЭС
Шуман Галина Ивановна
Волгина Ольга Алексеевна
ВГУЭС
1
Начало
Оглавление
Составитель
Элементы
аналитической
геометрии на
плоскости
ВГУЭС
2
Начало
Содержание
Оглавление
Составитель
§ 1. Прямая на плоскости.
§ 2. Угол между двумя прямыми.
§ 3. Взаимное расположение двух
прямых.
§ 4. Расстояние от точки до прямой.
§ 5. Кривые второго порядка
§ 6. Полярная система координат
ВГУЭС
3
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
Линия на плоскости рассматривается
(задается) как множество точек, обладающих
некоторым, только им присущим геометрическим
свойством.
Введение на плоскости системы координат
позволяет определять положение точки плоскости
заданием двух чисел - ее координат, а положение
линии на плоскости определять с помощью
уравнения (то есть равенства, связывающего
координаты точек линии).
ВГУЭС
4
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Прямая на плоскости
Уравнением линии (или кривой) на
плоскости Oxy называется такое уравнение
𝐹(𝑥; 𝑦) = 0 с двумя переменными, которому
удовлетворяют координаты x и y каждой точки
линии и не удовлетворяют координаты любой
точки, не лежащей на этой линии.
Переменные x и у в уравнении линии
называются текущими координатами точек
линии.
ВГУЭС
5
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
Простейшей из линий является прямая.
Разным способам задания прямой соответствуют
в прямоугольной системе координат разные
виды уравнений прямой.
Пусть 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) – заданная точка прямой 𝑙.
Вектор 𝑛(𝐴; 𝐵), перпендикулярный прямой 𝑙,
называется нормальным вектором ( или
нормалью) этой прямой.
ВГУЭС
6
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Прямая на плоскости
Уравнение вида 𝐴(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) = 0
Называется уравнением прямой, проходящей
через данную точку 𝑴𝟎 перпендикулярно
данному вектору 𝒏.
l
𝑀0
𝑛
M
ВГУЭС
7
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые в
последнем уравнении, получим
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + (−𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 ) = 0. Обозначим
− 𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 = 𝐶, тогда уравнение примет вид
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎,
которое называется общим уравнением прямой
на плоскости.
ВГУЭС
8
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
Некоторые частные случаи общего
уравнения прямой:
1) если 𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, то уравнение
𝑪
приводится к виду 𝒚 = − . Это есть уравнение
𝑩
прямой, параллельной оси Ох
у
𝑪
−
𝑩
l
0
х
ВГУЭС
9
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Прямая на плоскости
2) если 𝐴 ≠ 0, 𝐵 = 0, 𝐶 ≠ 0, то уравнение
𝑪
приводится к виду 𝒙 = − , прямая параллельна
𝑨
оси Оу
l
−
y
𝑪
𝑨
x
0
ВГУЭС
10
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Прямая на плоскости
3) если 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 = 0, то получим уравнение
прямой 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 0, проходящей через начало
координат
у
l
х
0
ВГУЭС
11
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
4) если 𝐴 = 0, 𝐵 ≠ 0, 𝐶 = 0, уравнение прямой
принимает вид 𝐵𝑦 = 0 или 𝑦 = 0, которая
проходит через ось Ох
у
l
х
0
ВГУЭС
12
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
5) если 𝐴 ≠ 0, 𝐵 = 0, 𝐶 = 0, уравнение прямой
принимает вид 𝐴𝑥 = 0 или 𝑥 = 0, которая
проходит через ось Оу
у
l
0
х
ВГУЭС
13
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Прямая на плоскости
Если в общем уравнении прямой 𝐴 ≠ 0,
𝐵 ≠ 0, 𝐶 ≠ 0, его можно преобразовать к виду
𝑥
𝑦
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = −𝐶 или −𝐶 + −𝐶 = 1. Обозначив
−𝐶
𝐴
= 𝑎,
−𝐶
𝐵
𝐴
𝐵
𝒙
𝒂
𝒚
𝒃
= 𝑏, получим уравнение + = 1,
которое называется уравнением прямой в
отрезках
у
l
b
a
0
х
ВГУЭС
14
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
Вектор 𝑺(𝒎; 𝒏), параллельный прямой,
называется направляющим вектором прямой.
S
l
Пусть 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) – заданная точка на прямой,
𝑆(𝑚; 𝑛) – направляющий вектор этой прямой,
𝑀(𝑥; 𝑦) – произвольная точка прямой l .
ВГУЭС
15
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Прямая на плоскости
Уравнение вида
𝒙−𝒙𝟎
𝒎
=
𝒚−𝒚𝟎
𝒏
называется каноническим уравнением прямой
или уравнением прямой, проходящей через
данную точку, параллельно данному вектору.
l
𝑺
𝑴
𝑴𝟎
ВГУЭС
16
Начало
Оглавление
Составитель
§ 1. Прямая на плоскости
В частности, если прямая l параллельна оси
Ох, то ее направляющий вектор 𝑆(𝑚; 0) и
уравнение прямой примет вид
𝒙−𝒙𝟎
𝒎
=
𝒚−𝒚𝟎
𝟎
или 𝒚 = 𝒚𝟎 .
Если прямая l параллельна оси Оу, то ее
направляющий вектор 𝑆(0; 𝑛), уравнение прямой
𝒙−𝒙𝟎
𝒚−𝒚𝟎
примет вид
=
или 𝒙 = 𝒙𝟎 .
𝟎
𝒏
ВГУЭС
17
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
Если в каноническом уравнении положить
𝒙−𝒙𝟎
𝒚−𝒚𝟎
= 𝒕,
= 𝒕, где 𝒕 – параметр, переменная
𝒎
𝒏
величина, 𝑡 ∈ 𝑅 и выразить х и у, получим
𝑥 = 𝑚𝑡 + 𝑥0 ,
уравнения 𝑦 = 𝑛𝑡 + 𝑦0 ,
𝑡∈𝑅
которые называются параметрическими
уравнениями прямой.
ВГУЭС
18
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
Пусть на прямой l заданы две точки
𝑀1 𝑥1 ; 𝑦1 и 𝑀2 𝑥2 ; 𝑦2 , 𝑀(𝑥; 𝑦) – текущая точка
этой прямой. Тогда уравнение вида
𝒙−𝒙𝟏
𝒙𝟐 −𝒙𝟏
=
𝒚−𝒚𝟏
называется уравнением
𝒚𝟐 −𝒚𝟏
прямой, проходящей через две данные точки.
ВГУЭС
19
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
Пусть 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ) – заданная точка на прямой
𝜋
𝑙, 𝛼 – угол наклона прямой 𝑙 к оси Ох, 𝛼 ≠ .
2
Обозначим 𝑡𝑔𝛼 = 𝑘 (𝑘 – угловой коэффициент
прямой). Тогда уравнение вида
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒌(𝒙 − 𝒙𝟎 )
называется уравнением прямой, проходящей
через данную точку в заданном направлении.
ВГУЭС
20
Начало
§ 1. Прямая на плоскости
Оглавление
Составитель
Выразим 𝑦 из последнего уравнения:
𝑦 = 𝑘𝑥 + (𝑦0 − 𝑘𝑥0 ), обозначим 𝑦0 − 𝑘𝑥0 = 𝑏,
тогда получим уравнение
𝒚𝟎 − 𝒌𝒙𝟎 = 𝒃,
которое называется уравнением прямой с
угловым коэффициентом.
ВГУЭС
21
§ 1. Прямая на плоскости
Начало
Оглавление
Составитель
y
l

O
S0

M0

𝒚 = 𝒌𝒙 + 𝒃


b
x
ВГУЭС
22
Начало
§ 2. Угол между двумя
прямыми
Оглавление
Составитель
Пусть прямые 𝑙1 и 𝑙2 заданы уравнениями с
угловыми коэффициентами
𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 и
𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 ,
где 𝑘1 = 𝑡𝑔𝛼1 , 𝑘2 = 𝛼2 , 𝛼1 и 𝛼2 - углы наклона к
оси Ох 𝑙1 и 𝑙2 соответственно.
ВГУЭС
23
§ 2. Угол между двумя
прямыми
Начало
Оглавление
Составитель
y
O
x
ВГУЭС
24
Начало
Оглавление
Составитель
§ 2. Угол между двумя
прямыми
Если 𝜑 ≠
𝜋
2
, то
𝑡𝑔𝛼2 − 𝑡𝑔𝛼1
𝑘2 − 𝑘1
𝑡𝑔𝜑 = 𝑡𝑔(𝛼2 − 𝛼1 ) =
=
1 + 𝑡𝑔𝛼1 ∙ 𝑡𝑔𝛼2 1 + 𝑘1 𝑘2
Таким образом
𝑘2 − 𝑘1
𝑡𝑔𝜑 =
1 + 𝑘1 𝑘2
ВГУЭС
25
Начало
§ 2. Угол между двумя
прямыми
Оглавление
Составитель
Если требуется вычислить острый угол между
прямыми, не учитывая, какая прямая является
первой, какая - второй, то правая часть формулы
берется по модулю, то есть
𝑘2 − 𝑘1
𝑡𝑔𝜑 =
1 + 𝑘1 𝑘2
ВГУЭС
26
Начало
§ 2. Угол между двумя
прямыми
Оглавление
Составитель
Пусть прямые 𝑙1 и 𝑙2 заданы общими
уравнениями 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0 и
𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0, где 𝑛1 𝐴1 ; 𝐵1 и 𝑛2 (𝐴2 ; 𝐵2 )
– нормальные векторы прямых. Тогда
𝒄𝒐𝒔 𝝋 =
𝒏𝟏 ∙𝒏𝟐
𝒏𝟏 ∙ 𝒏𝟐
или 𝒄𝒐𝒔 𝝋 =
𝑨𝟏 ∙𝑨𝟐 +𝑩𝟏 ∙𝑩𝟐
𝑨𝟐𝟏 +𝑩𝟐𝟏 ∙ 𝑨𝟐𝟐 +𝑩𝟐𝟐
.
ВГУЭС
27
Начало
§ 3. Взаимное расположение
двух прямых
Оглавление
Составитель
Если 𝑙1 ‖𝑙2 , то 𝜑 = 0 и 𝑡𝑔𝜑 = 0. Это означает,
что 𝑘2 − 𝑘1 = 0 или
𝒌𝟐 = 𝒌𝟏 .
Таким образом, условие параллельности
двух прямых, заданных с угловыми
коэффициентами, заключается в равенстве
угловых коэффициентов этих прямых.
ВГУЭС
28
Начало
§ 3. Взаимное расположение
двух прямых
Оглавление
Составитель
Если 𝑙1 ⊥ 𝑙2 , тогда 1 + 𝑘1 𝑘2 = 0 или
𝒌𝟏 = −
𝟏
𝒌𝟐
(𝒌𝟐 = −
𝟏
)
𝒌𝟏
- условие
перпендикулярности двух прямых, заданных с
угловыми коэффициентами (угловые
коэффициенты двух перпендикулярных прямых
обратно пропорциональны и противоположны по
знаку).
ВГУЭС
29
Начало
§ 3. Взаимное расположение
двух прямых
Оглавление
Составитель
Пусть прямые 𝑙1 и 𝑙2 заданы общими
уравнениями 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0 и
𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0, где 𝑛1 𝐴1 ; 𝐵1 и 𝑛2 (𝐴2 ; 𝐵2 )
– нормальные векторы прямых.
Если 𝑙1 ‖𝑙2 , тогда
𝑨𝟏
𝑨𝟐
=
𝑩𝟏
𝑩𝟐
- условие
параллельности двух прямых, заданных
общими уравнениями.
ВГУЭС
30
Начало
§ 3. Взаимное расположение
двух прямых
Оглавление
Составитель
Если прямые заданы уравнениями
𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 = 0 и 𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 = 0, 𝑙1 ⊥
𝑙2 , тогда
𝑨𝟏 𝑨𝟐 + 𝑩𝟏 𝑩𝟐 = 𝟎 условие перпендикулярности двух прямых,
заданных общими уравнениями.
ВГУЭС
31
Начало
§ 4. Расстояние от точки до
прямой
Оглавление
Составитель
Пусть прямая 𝑙 задана уравнением
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 и дана точка 𝑀0 (𝑥0 ; 𝑦0 ), не
принадлежащая этой прямой. Обозначим через 𝑑
расстояние от точки 𝑀0 до прямой 𝑙. Тогда 𝒅 =
𝑨𝒙𝟎 +𝑩𝒚𝟎 +𝑪
𝑨𝟐 +𝑩𝟐
.
ВГУЭС
32
Начало
§ 4. Расстояние от точки до
прямой
Оглавление
Составитель
y
l
d
O
x
ВГУЭС
33