МОУ «Лицей №1» 11 Б Работу выполнили Жадаев Василий и Коршунов Максим «Метод координат в пространстве». Применение метода при решении задач повышенного уровня сложности Актуальность проблемы Решение задач геометрического содержания традиционно вызывает у учащихся непреодолимые трудности. Из справки 2010 года: К заданию С2 приступили 3,7 % всех учащихся Одним из методов решения стереометрических задач является координатно-векторный метод. Он не требует знания большого количества теорем, достаточно нагляден и позволяет решить часть заданий С2 учащимся со средним уровнем подготовки. Координаты точки, координаты вектора. Связь между координатами точки и вектора. Х Если через точку проведены три попарноперпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и единичный отрезок, то говорят, что задана прямоугольная система координат. В прямоугольной системе координат каждой точке поставлена в соответствие тройка чисел – её координаты А (х;у;z) Коэффициенты х, у, z в разложении вектора по координатным векторам Называются координатами вектора в данной0,0,0 системе координат. а = хi + ej +zk a {x;e;z} А(х;у;z) В(х1;у1;z1) i z y Формулы для решения задач: Координаты середины отрезка равны полу сумме соответствующих координат его концов. ОС=0,5(ОА + ОВ) или Х= 0,5(х1 +х2), У= 0,5(у1+у2), Z =0,5(z1 +z2) Вычисление длины вектора по его координатам IаI = √х2+у2 +z2 Расстояние между точками М1(х1;у1;z1) и М2(х2;у2;z2) вычисляется по формуле: d = √(х1-х2)2 + (у1 – у2)2 + (z1 – z2)2 Угол между векторами. Скалярное произведение векторов Угол между векторами а и в равен а. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. а в = IаI IвI соs а или соs а = а в / IаI IвI (х1х2 + у1у2 + z1z2 ) cоs a = √х12 +у12 + z12 √х22 + у22 + z22 Для вычисления углов между двумя прямыми, а также между прямой и плоскостью во многих случаях удобно использовать скалярное произведение векторов. Примеры решения задач ЕГЭ С2(53) АВСDА1В1С1D1–правильный параллепипед. АВ=4, АА1=6 Найдите угол между DВ1 и плоскостью АВС Решение: Введем систему координат с началом А тогда D(4;0;0), В(0;4;0), В1(0;4;6) и DВ1{-4;4:6} DВ{-4;4;0}. Соs a= 16+16 √16+16+36√16+16 = 32 √8 = √68√32 √17 Решение геометрическим способом можно провести для самопроверки. Рассмотрим ∆ ВВ1D - прямоугольный. ВD - диагональ квадрата со стороной 4, DВ1-диагональ параллелепипеда с измерениями 4,4,6, следовательно соs а равен DВ = 4√2 разделить на DВ1= √68 или √8 разделить на √17. Выбор способа решения остается за учащимся. Примеры решения задач ЕГЭ С2 Дан АВСDА1В1С1D1 –прямоугольный параллелепипед АА1=3, АD=8, АВ=6, точка Е- середина ребра АВ, точка F-середина ребраВ1С1 . Найдите угол между прямой ЕF и плоскостью АDD1. Решение: ( векторно-координатный способ ) Введем прямоугольную систему координат С началом в точке А, тогда угол между векторами АN {0;4;3} и АF1 {3;4;3} // ЕF и будет искомым . 16+9 5 Соs a = = √25√34 √34 Косинус угла найден с помощью формулы скалярного произведения двух векторов. Преимущество метода в этом случае очевидно. Примеры решения задач ЕГЭ Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, в которой АА1=√2АВ. Найдите угол между АС1 и А1В. Решение Пусть АВ = х, тогда АА1=√2х. Введем прям. с-му коор-т с началом в С. х А( х 2 3 ; 2 ; 0), В(0; х; 0), А1( х 3 ; 2 С1(0; 0; х√2). х 2 ; х√2), Выразим координаты векторов АС1 и ВА1 АС1{- х 3 2 ;- х ;х√2),} 2 BA1{ х 3 ;2 х ; 2 х√2} Угол между векторами и будет углом между прямыми. Его соs равен I-0,75Х2+0,25Х2+2Х2I √-0,75Х2+0,25Х2+2Х2 √-0,75Х2+0,25Х2+2Х2 х соs равен , откуда угол равен 600 2 Список используемой литературы: Геометрия. Учебник для общеобразовательных учреждений; Москва; «Просвещение», 2007год Методические рекомендации к учебнику; Москва, «Просвещение» «Векторы на экзаменах. Векторный метод в стереометрии», Шестаков С.А.; Москва, МЦНМО,2008 год «Теоретические и практические вопросы подготовки к ЕГЭ по математике»; НИРО, 2009 год ЕГЭ; «Интенсивная подготовка»; 2011 год,, тематические тренировочные задания Сборник задач по математике. «Геометрия», под редакцией М.И. Сканави Интернет-ресурсы: http://www.ed.gov.ru Законы, указы, которые касаются вопросов образования http://www.niro.nnov.ru Нижегородский институт развития образования http://www.it-n.ru Сеть творческих учителей http://www.openclass.ru Открытый класс. http://www.fipi.ru Материалы для подготовки к ЕГЭ. http://www.mahtege.ru Открытый банк заданий по математике http://www.rus.edu.ru Архив презентаций по всем предметам