Геометрия «Метод координат в пространстве » Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат), Прямоугольная система координат Оси координат обозначаются так: OX- ось абсцисс OY- ось ординат OZ- ось аппликат точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями. в пространстве В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. М(x; y; z). Действия над векторами: Сложение векторов 𝑎⃗{𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 } + 𝑏⃗⃗{𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 } = 𝑚 ⃗⃗⃗{𝑥1 + 𝑥2 ; 𝑦1 + 𝑦2 ; 𝑧1 + 𝑧2 } Вычитание векторов 𝑎⃗{𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 } − 𝑏⃗⃗{𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 } = 𝑚 ⃗⃗⃗{𝑥1 − 𝑥2 ; 𝑦1 − 𝑦2 ; 𝑧1 − 𝑧2 } Примеры: 𝑎⃗{1; −4; −1} + 𝑏⃗⃗{3; 0; −2} = 𝑚 ⃗⃗⃗{1 + 3; −4 + 0; −1 + (−2)} = 𝑚 ⃗⃗⃗{4; −4; −3} 𝑎⃗(1; −4; −1) − 𝑏⃗⃗(3; 0; −2) = 𝑛⃗⃗(1 − 3; −4 − 0; −1 − (−2)) = 𝑛⃗⃗( ) 𝑎⃗{1; −4; −1} − 𝑏⃗⃗{3; 0; −2} = 𝑚 ⃗⃗⃗{1 − 3; −4 − 0; −1 − (−2)} = 𝑚 ⃗⃗⃗{−2; −4; 1} Умножение вектора на число k. 3𝑎⃗{−1; 2; 0} = 𝑐⃗{3 ∙ (−1); 3 ∙ 2; 3 ∙ 0} = 𝑘𝑎⃗{𝑥; 𝑦; 𝑧} = 𝑐⃗{𝑘𝑥; 𝑘𝑦; 𝑘𝑧} = 𝑐⃗{−3; 6; 0} 2𝑎⃗{1; −4; −1} + 4 𝑏⃗⃗{3; 0; −2} = 𝑝⃗{2 ∙ 1 + 4 ∙ 3; 2 ∙ (−4) + 4 ∙ 0; 2 ∙ (−1) + 4 ∙ (−2)} = 𝑝⃗{14; −8; −10} Простейшие задачи в координатах: Координаты середины отрезка AB: А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2). Точка М середина отрезка AB. 𝑥1 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑦2 𝑧1 + 𝑧2 М( ; ; ) 2 2 2 Вычисление длины вектора 𝑎⃗(𝑥; 𝑦; 𝑧) по его координатам: |𝑎⃗| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 Расстояние между двумя точками. А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2). |𝐴𝐵| = √(𝑥2 − 𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 )2 Задачи: А(1;-1;0), B(6;-3;-4). Точка N Середина отрезка AB. Найти координаты точки N. М( 1 + 6 −1 + (−3) 0 + (−4) ; ; ) = М(3,5; −4; −4 ) 2 2 2 Ответ: М(3,5; −4; −4 ) Вычисление длины вектора 𝑛⃗⃗(3; −4; 0). |𝑛⃗⃗| = √32 + (−4)2 + 02 = √9 + 16 + 0 = √25 = 5 Ответ: 5 Вычислить расстояние между двумя точками С(2;-3;7) и В(-2;3;7). 2 |С𝐷| = √(−2 − 2)2 + (3 − (−3)) + (7 − 7)2 = √16 + 36 + 0 = √52 = 2√13 Ответ:2√13 Вычисление координат вектора ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 𝐴𝐵 Если А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2). ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 {𝑥2 − 𝑥1 ; 𝑦2 − 𝑦1 ; 𝑧2 − 𝑧1 } В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A(1; 6; 3), B (3; − 1; 7) и C(− 4; 3; − 2). Найти координаты ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ векторов ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵{3 − 1; −1 − 6; 7 − 3} = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 {2; −7; 4} ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−4 − 3; 3 − (−1); −2 − 7 } = 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−7; 4; −9} 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−4 − 1; 3 − 6; −2 − 3} = 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−5; −3; −5} 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−5; −3; −5}; 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {−7; 4; −9} Ответ: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 {2; − 7; 4}; 𝐴𝐶 Скалярное произведение векторов 𝑎⃗{𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 } и 𝑏⃗⃗{𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 } выражается формулой: 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2 Вычислить скалярное произведение векторов 𝑎⃗{2; 1; 6} и 𝑏⃗⃗{3; 0; −1} 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 2 ∙ 3 + 1 ∙ 0 + (−6) ∙ (−1) = 6 + 0 + 6 = 12 Ответ:12 Перпендикулярность векторов: 𝑎⃗(𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 )и 𝑏⃗⃗(𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 ); 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 0; 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2 = 0 Коллинеарность векторов: 𝑎⃗(𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 )и 𝑏⃗⃗(𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 ); 𝑥1 𝑥2 𝑦 𝑧 = 𝑦1 = 𝑧1 , если координаты векторов не равны нулю. 2 2 ⃗⃗{3; 0; −1} Перпендикулярны ли векторы 𝑎⃗{2; 1; 6} и 𝑏 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ = 2 ∙ 3 + 1 ∙ 0 + 6 ∙ (−1) = 6 + 0 − 6 = 0 Ответ: да Задача. Коллинеарны ли векторы: a) 𝑎⃗{-5;3;-1} и 𝑏⃗⃗{-10; 6;-2}; b) 𝑐⃗{-6;3;-1} и 𝑑⃗{2; -9;3}; Решение. a) −5 3 −1 = 0,5; = 0,5; = 0,5 −10 6 −2 Да, векторы коллинеарны b) −6 3 1 −1 1 = −3; =− ; =− 2 −9 3 3 3 Нет, векторы не коллинеарны Ответ: a) да b) нет Косинус угла между ненулевыми векторами векторов 𝑎⃗{𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 } и 𝑏⃗⃗{𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 } вычисляется по формуле: 𝑥1 ∙ 𝑥2 + 𝑦1 ∙ 𝑦2 + 𝑧1 ∙ 𝑧2 𝑐𝑜𝑠𝜑 = √𝑥12 + 𝑦12 + 𝑧12 ∙ √𝑥22 + 𝑦22 + 𝑧22 Найти косинус угла между векторами 𝑎⃗ = {4; 3; 0} и 𝑏⃗⃗ = {0; 12; 5}. Ответ:36/65