Инальева С.В. 11 класс. Цели урока: Показать, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Повторяем теорию: • Как находят координаты вектора, если известны координаты его начала и конца? АВхВ х А ; у В у А ; z B z A • Как находят координаты середины отрезка? х А хВ ; 2 • Как находят длину вектора? у А уВ ; 2 z A zB 2 а х2 у2 z 2 • Как находят расстояние между точками? АВ х х А у В у А z B z A 2 В 2 • Как вы понимаете выражение «угол между векторами»? 2 Повторяем теорию: • Какие векторы называются перпендикулярными? • Что называется скалярным произведением векторов? а b a b cos • Чему равно скалярное произведение перпендикулярных векторов? • Чему равен скалярный квадрат вектора? 0 Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. • Свойства скалярного произведения? а 0 2 ab ba a b c ac bc k ab k a b Направляющий вектор прямой. а В А • Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой, если он лежит на самой прямой, либо на прямой, параллельной ей. Визуальный разбор задач из учебника (п.48). №1. Найти угол между двумя прямыми (пересекающимися или скрещивающимися), если известны координаты направляющих векторов этих прямых. qx ; y ; z p x ; y ;z а) р 1 1 1 б) 2 2 2 р q р р θ q q q θ φ=θ φ = 1800 - θ Визуальный разбор задач из учебника (п.48). №2. Найти угол между прямой и плоскостью, если известны координаты направляющего вектора прямой и координаты ненулевого вектора, перпендикулярного к плоскости.. px1; y1; z1 а) б) пx2 ; y2 ; z2 п θ п а θ р φ р φ α α а φ № 464 (а) Дано: А3;2;4 В4;1;2 С 6;3;2 D7;3;1 Найти: угол между прямыми АВ и CD. Ваши предложения… 1. Найдем координаты векторов АВ 1;1;2 и CD 1;0;1 2. Воспользуемся формулой: cos x1 x2 y1 y 2 z1 z 2 x y z x y z 2 1 2 1 2 1 2 2 φ = 300 2 2 2 2 № 466 (а) Дано: куб АВСDA1B1C1D1 точка М принадлежит АА1 АМ : МА1 = 3 : 1; N – середина ВС Вычислить косинус угла между прям. MN и DD1 z 1. Введем систему координат. D1 2. Рассмотрим DD1 и МN. A1 3. Пусть АА1= 4, тогда М 0;4;3 N 4;2;0 4. Найдем координаты векторов DD1 и MN. 5. По формуле найдем cosφ. 3 Ответ: 29 C 1 B1 М D A у C B N х Задача. Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1; DA = 2; DC = 2; DD1 = 3. Найти угол между прямыми СВ1 и D1B. Ваши предложения… 1. Введем систему координат Dxyz 2. Рассмотрим направляющие A1 прямых D1B и CB1. CВ1 1;0;3 D1 B1;2;3 z D1 C 1 B1 3 3. По формуле найдем cosφ. 4 cos 35 47 0 28 ' 1 х A D 2 C B у № 467 (а) Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1 Найти угол между прямыми ВD и CD1. 1 способ: D1 1. Введем систему координат Bxyz 2. Пусть АА1= 2, тогда A1 АВ = ВС = 1. z C1 B1 В0;0;0 С 1;0;0 D1;1;0 D1 1;1;2 3. Координаты векторов: ВD1;1;0 CD1 0;1;2 4. Находим косинус угла между прямыми: 1 cos 10 у A х D C B № 467 (а) Дано: прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1; АВ = ВС = ½ АА1 Найти угол между прямыми ВD и CD1. 2 способ: D1 1. Т.к. СD1|| ВА1, то углы между ВD и ВА1; ВD и СD1 – A1 равны. 2. В ΔВDА1: ВА1 = √5, А1D = √5 z C1 B1 3. ΔВDА: по теореме Пифагора BD AD 2 AB 2 BD 2 4. По теореме косинусов: A1 D 2 A1 B 2 BD2 2 A1 B BD cos 1 cos у A 10 х D C B П. 48, №466 (б, в) №467 (б) – двумя способами.