Выпучивание продольно сжатых стержней переменной жесткости при ползучести Б.М Языев,В.И.Андреев Подавляющее большинство исследователей рассматривают ставший «классикой» вариант закрепления балки «шарнир-шарнир».В то же время возникает вопрос расчета стержней при других вариантах закрепления. В данной статье приводится задача, где рассматривается условия крепления стержней типа «защемление-свободный край». Пусть на стержень действует сила F, расчетная схема задачи представлена на рис.1. Стержень при этом может обладать некоторой начальной погибью v0 = f (x). Размеры стержня: d диаметр сечения, l – длина стержня. Для рассматриваемых задач в качестве уравнения состояния принималось обобщенное нелинейное уравнение Максвелла для высокоэластических деформаций котороепринимает вид: 𝜕𝜀𝑥,𝑠 1 𝜕𝜎𝑥 𝑓∗ (1) = + ∗, 𝜕𝑡 𝐸 𝜕𝑡 𝜂 где и ε – напряжения и деформации вдоль оси x 𝐸∞ 𝑓∗ = (1 + ) 𝜎 − 𝐸∞ 𝜀 𝐸 (2) и 1 | 𝑓∗ | = 𝑒 𝑚∗ . 𝜂∗ 𝜂∗0 1 (3) Напомним: здесь E – модуль упругости; 0* – коэффициент начальной релаксационной вязкости; E – модуль высокоэластичности; m* – модуль скорости. Одновременно с приложением силы в стержне возникают упругие деформации. Со временемдеформации увеличиваются, благодаря другим составляющим общей деформации, в частности деформации ползучести. В случае наличия возмущающих факторов (эксцентриситет в приложении силы, начальный прогиб), то наряду с деформацией сжатия имеют место и изгибные деформации, которые с течением времени приводят стержень к разрушению. Поскольку используемое уравнение связи для полимеров является нелинейным, то применение наиболее общего и строгого метода в настоящий момент наталкивается на непреодолимые математические трудности. Систему из пяти уравнений чл.-корр. РААСН, проф. В.И. Андреев свел к двум уравнениям относительно двух функций f* и v. Однако разрешающие уравнения, приведенные в [1] могут быть использованы только при применении уравнения связи Максвелла-Гуревича. Поэтому необходимо получить разрешающие уравнения, лишенные этого недостатка и подходящие под любое уравнение связи. Опуская выводы, приведем разрешающее уравнение: 𝜕4 𝑣 𝜕 𝐹 𝜕 𝑀0 𝜕 1 + 𝑣 = − + ∫ 𝜀∗ 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑑𝐴]. ( ) ( ) [ 𝜕𝑥4 𝜕𝑥2 𝐸𝐼(𝑥) 𝜕𝑥2 𝐸𝐼(𝑥) 𝜕𝑥2 𝐼(𝑥) (4) 𝐴 Решение данного уравнения аналитически не представляется возможным даже в случае значительных упрощений, вследствие его структуры решение удобно произвести методом конечных разностей, интегрирование проводится методом Симпсона. Рассмотрим подробно редко рассматриваемый исследователями вариант «заделка – свободный край» Рис. 2. ‒ Расчетная схема задачи при варианте закрепления «заделка-свободный край» Задача. Рассматривается устойчивость стержни постоянного и переменного сечения при постоянной массе. Закрепление «свободный край -заделка» Материал ПММА. Стержень имеет следующие расчётные параметры:l = 157мм, d0 = 15мм, F = 70кг, E = 294 кг/мм2, f0=0,15мм Граничные условия ля защемленного конца имеем: 𝑑𝑣 𝑣 = 0, = 0, при 𝑥 = 0. 𝑑𝑥 На свободном конце изгибающий момент должен обратиться в нуль: 𝑑2 𝑣 𝑀 = −𝐸𝐼 2 = 0; 𝑑𝑥 Поперечная сила на верхнем конце может быть выражена через силу F и угол поворота: 𝑑𝑣 𝑑𝑀 при 𝑥 = 𝑙; 𝑄= . 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Выражая поперечную силу через прогиб и связывая ее с моментом имеем: 𝑄=𝐹 d2 v 𝑀 = 𝑀0 + 𝐹𝑣 = −𝐸 2 𝐼(𝑥) + 𝐸 ∫ 𝜀 ∗ 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑑𝐴 dx 𝐴 Примем за начальный прогиб 𝜋𝑥 𝑑𝑣0 𝜋 𝜋𝑥 𝑣0 = 𝑓0 (1 − 𝑐𝑜𝑠 ) ; = 𝑓0 𝑠𝑖𝑛 ; 2𝑙 𝑑𝑥 2𝑙 2𝑙 Окончательно на границе при x = l: 𝑑𝑣0 𝜋 | = 𝑓0 ; 𝑑𝑥 (𝑥 = 𝑙) 2𝑙 𝑑𝑣 𝜋 𝑑3𝑣 𝑑2 𝑣 𝑑 𝑑 (𝐸𝐼) − 𝐹 + 𝐹𝑓0 + 𝐸𝐼 3 + 2 [𝐸 ∫ 𝜀 ∗ 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝑑𝐴] = 0. 𝑑𝑥 2𝑙 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝐴 Ответ: tкр = 2,72 часа. Для переменного по длине стержня исходные данные: 𝑑(𝑥) = 𝑑0 − 𝑘𝑥, 𝑑(𝑙) = 0,5𝑑0 = 𝑑0 − 𝑘𝑙; 𝑘 = 0,5𝑑0⁄𝑙; 𝑑(𝑥) = 𝑑0 − 0,5𝑑0 𝑥 ⁄𝑙; 𝑙 𝜋𝑑(𝑥)2 𝑉 = ∫0 4 = 𝑙𝜋𝑑0 2 4 𝑙 ∫0 (1 − 0,5𝑡)2 𝑑𝑡 = 0,583 𝑙𝜋𝑑0 2 4 ; (𝑑 ′ )2 = 0,583𝑑0 2 ; (𝑑′ ) = √0,583𝑑0 а. б Рис. 3 Результаты расчета задачи (материал – ПММА). Рост деформаций во времени по длине стержня (а) и рост нормальных напряжений во времени по высоте переменного сечения стержня (б) Для стержняпеременногосечения по длине можно сказать, что прогиб стремиться к конечному значению, и потеря устойчивости не происходит. Литература: 1. Андреев В.И. Устойчивость полимерных стержней при ползучести: [Текст]: дис. канд. техн. наук: 01.04.19 : защищена 22.01. / Андреев Владимир Игоревич – М., 1967. 2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. – М.: Наука, 1975. 3. Языев С.Б. Устойчивость стержней при ползучести с учетом начальных несовершенств[Текст]: дис. канд. техн. наук: 05.23.17 : защищена 27.10.10 : утв. 21.01.11 / Языев Сердар Батырович – Р/н/Д., 2010. – 115 с.