DecayLaw

МГУ им. М. В. Ломоносова
Геологический факультет
Закон радиоактивного
распада
Юрий Александрович Костицын
yuri.kostitsyn@gmail.com
Задачи (*.xlsx) и лекции (*.pptx) – на сайте
http://wiki.web.ru/wiki/Геологический_Факультет_МГУ:
Геохимия_Изотопов_и_Геохронология
Виды радиоактивного распада




- – распад.
40
40
Нейтрон распадается 19 K 20 Ca 
на протон и электрон.
+ – распад.
40
40
K

Протон распадается 19
18 Ar 
на нейтрон и
позитрон.
К – захват.
Нейтрон образуется
из протона и
электрона оболочки.
a – распад.
     1.33 Мэв (89.52%)
     0.49 Мэв ( 0.0001%)
40
19
40
K    18
Ar    1.51 Мэв (0.16%)
40
19
40
K    18
Ar    0.05 Мэв (10.32%)
147
62
Sm143
60 Nd  a  2.23 Мэв
Уравнение радиоактивного распада
Ф.Содди и Э.Резерфорд (1902) установили экспериментально:

dN
 N
dt
dN
 N    dt
ln N   t  C
C  ln N0
(при
t  0)
т.е.
ln N   t  ln N0
ln N0  ln N   t

N0  N exp( t )
N0  N exp( t )
Drad  N0  N

N  N0 exp( t )
Тогда
Drad  N exp( t )  N
или
Drad  N exp( t )  1
Прошлое (возраст)
t=0
Если t  T 1
2
 N 0

Drad  N 0
Тогда
Drad  N0  N0 exp( t )
Drad  N0 1  exp( t )
или
Будущее (время)
t=0
Drad  N exp( t )  1
Возраст :
t 
D

ln rad  1
  N

1
Если имеется некоторое исходное количество изотопа D0 ,
D  D0  N exp(t )  1;
 D  D0

t  ln
 1
  N

Количество Drad от t1 до t2
1
Drad  N exp( t1 )  exp( t2 )
(t1  t2  0) :
Период полураспада
N
T1 2
1
N0  Drad при
2
ln(2) 0.693




(T1 2 )
t  T1 2
среднее время жизни радионуклида
 
1

(t )2 (t )3
exp(t )  1  t 

 ...
2!
3!
если t  1,
Drad  Nt
1
0.9
Количество атомов
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
T1 2  1
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
Время
4
5
6
Цепочки радиоактивных превращений
1
2
N1 
 N2 
 N3
dN1
 1N1
dt
dN2
 1N1  2N2
dt
N1  N10 exp(1t ),
где
N10  N1
при t  0
dN2
 1N10 exp(1t )  2N2
dt
1
N2 
N10[exp(1t )  exp(2t )]  N20 exp(2t )

2  1
0
если N2  0
Частный случай 1. 1 > 2
N3 : T1 2  
N1 : T1 2  1
N2 : T1 2  3
Частный случай 1. 1 > 2
N3 : T1 2  
N2 : T1 2  3
N1 : T1 2  1
Частный случай 2. 2 > 1
N3 : T1 2  
Вековое равновесие:
𝐍𝟐
𝛌𝟏
=
𝑵𝟏 𝛌𝟐 − 𝛌𝟏
N1 : T1 2  1
N2 : T1 2  0.3
𝛌𝟏
𝛌𝟐 − 𝛌𝟏
При вековом равновесии:
𝑵𝟐
𝝀𝟏
=
𝑵𝟏 𝝀𝟐 − 𝝀𝟏
𝑻𝟐
=
𝑻𝟏 − 𝑻𝟐
Если 𝝀𝟏 ≪ 𝝀𝟐 , то
𝑵𝟐
𝑵𝟏
≈
𝝀𝟏
𝝀𝟐
Периоды
полураспада
=
𝑻𝟐
𝑻𝟏
Для цепочки распада в состоянии
векового равновесия
𝛌𝟏 𝐍𝟏 = 𝛌𝟐 𝐍𝟐 = 𝛌𝟑 𝐍𝟑 =…= 𝛌𝐧 𝐍𝐧
Тогда
Drad = N1 exp 𝛌𝟏 t − 1
Вековое равновесие (стационарное
состояние) наступает по прошествии
некоторого времени.
Какого?
Нуклид:
T1/2
242Pu
3.73×105
238U
4.468×109
234Th
24.1 дн.
234Pa
6.7 ч
234U
245000
230Th
75380
226Ra
1602
222Rn
3.8235 дн.
218Po
3.05 м
214Pb
26.8 м
214Bi
19.9 м
214Po
1.64×10–4 с
210Pb
22.3
210Bi
5.02 дн.
210Po
138 дн.
206Pb
∞
1
3
2
n 1
N1  N2  N3  ...  
 Nn
при N20 ,...Nn0  0
Nn 
n
C
i
exp(i  t )
i 1
0
1
N
где
Ci 
n 1

j
j 1
n, j  i
 (
j
 i )
j
Bateman, H. Solution of a System of Differential Equations
Occurring in The Theory of Radio-Active Transformation.
Proc. Cambridge Phil. Soc. 1910. 15:423-427.
1.E+00
D=1%
(T=42млн.лет)
238
Относительное количество
1.E-03
U (0)
206
Pb (14)
1.E-06
234
U (3)
230
Th (4)
1.E-09
226
Ra (5)
210
Pb (11)
1.E-12
210
Po (13)
Th (1)
210
Bi (12)
222
Rn (6)
234
Pa (2)
214
Pb (8)
214
Bi (9)
218
Po (7)
234
1.E-15
1.E-18
1.E-21
214
Po (10)
1.E-24
1.E-03
1.E+00
1.E+03
1.E+06
Время, годы
1.E+09
1.E+12
1.E+00
D=1%
207
Pb
(T=5 млн.лет)
1.E-03
207
Относительное количество
Pb
235
U
1.E-06
231
Pa
1.E-09
227
Ac
1.E-12
227
Th
Ra
231
Th
223
1.E-15
211
Pb
207
1.E-18
Tl
Bi
211
219
Rn
1.E-21
215
1.E-24
1.E-03
Po
1.E+00
1.E+03
1.E+06
Время, годы
1.E+09
1.E+12
Ядра отдачи (recoil nuclei)
𝑃𝑅2
2
𝑃𝛼,𝛽,𝛾
𝑣𝛼,𝛽,𝛾
𝑃𝑅 = 𝑃𝛼,𝛽,𝛾 или
=
R
a,,g
Для частиц с конечной массой:
𝑣𝑅
𝑚 ∙ 𝑣2
𝑃 = m ∙ 𝑣;
𝐸=
𝑣 − скорость;
2
2
𝑃
2𝐸
𝑚 − масса;
2
2
𝑣 = 2=
→ 𝑃 = 2𝐸 ∙ 𝑚
𝑃 − импульс;
𝑚
𝑚
𝑚𝛼,𝛽
2𝐸𝑅 ∙ 𝑚𝑅 = 2𝐸𝛼,𝛽 ∙ 𝑚𝛼,𝛽 → 𝐸𝑅 =
𝐸𝛼,𝛽 𝐸 − энергия.
𝑚𝑅
При a-распаде ядра отдачи смещаются в решётке минералов на 20 – 40 нм
Для фотона:
2
𝐸𝛾
𝐸
𝛾
𝑃𝛾 =
→ 𝑃𝛾2 = 2
𝑐
𝑐
𝐸𝛾2
𝐸𝛾2
= 2𝐸𝑅 ∙ 𝑚𝑅 → 𝐸𝑅 =
2
𝑐
2𝑚𝑅 ∙ с2
Энергия выбивания ионов из решётки силикатов
(Park B., Weber W.J., Coralles L.R. Phys. Rev. B64: 174108-1 – 174108-16.)



В цирконе:
Zr – 89 eV;
Si – 48 eV;
O – 28 eV.
В керамике Al2O3:
Al – 20 eV;
O – 50 eV.
Типичный диапазон энергий – от 10 до 70 эВ.
Задача 2. Рассчитать энергию ядер отдачи
Материнский Дочерний
Тип распада
нуклид
нуклид
40
K
40
K
40
K
87
Rb
87
Rb
147
Sm
176
Lu
232
Th
235
U
238
U
40
Ca
40
Ar
40
Ar
87
Sr
87
Sr
143
Nd
176
Hf
228
Ra
231
Th
234
Th




g


g
a


a
a
a
Энергия
частиц,
МэВ
1.311
1.505
1.480
0.283
0.283
2.310
1.193
4.083
4.678
4.270
Масса покоя электрона равна 0.00054858 аем
1 аем = (931.4 МэВ)/с2.
Какой из видов распада разрушает решётку минералов?