Lekciya23

Лекция 23
Правило квантования Бора-Зоммерфельда. Примеры. Квазиклассический коэффициент
прохождения через барьер. Вероятность альфа распада в квазиклассическом приближении
Квазиклассические решения и условия их «сшивки» в точках поворота позволяют получить «в квадратурах» (то есть через интегралы, а не решение дифференциального уравнения)
условие на уровни энергии. Такие условия называются правилами квантования. Рассмотрим решение уравнения Шредингера при некоторой энергии E , при которой могут существовать стационарные состояния дискретного спектра ( E  U () ).
 ( x)  k 2 ( x) ( x)  0
(1)
где
k 2 ( x) 
2m  E  U ( x ) 
2
(2)
Обозначим классические точки остановки для классической частицы с этой энергией как
a ( E ) и b ( E ) (для определенности a( E )  b( E ) ). Тогда при x  b( E ) и x  a ( E ) величина k 2 ( x)
отрицательна, при a( E )  x  b( E ) - положительна. Поэтому квазиклассические решения уравнения Шредингера в этих областях имеют вид
x

C1
exp   | k (t ) | dt 
| k ( x) |
a

x  a( E )
 ( x) 
a ( E )  x  b( E )
x

x

C3
C2
 ( x) 
sin   k (t )dt  
cos   k (t )dt 
k ( x)
k ( x)
a

a

(4)
x  b( E )
 x

C4
 ( x) 
exp    | k (t ) | dt 
| k ( x) |
 b

(5)
(3)
В качестве нижних пределов интегрирования в этих формулах выбраны левая и правая точки
остановки соответственно. В формулах (3), (5) оставлены только затухающие на обеих бесконечностях функции. Функции (3)-(5) являются хорошими приближениями для ограниченных
решений уравнения Шредингера вдали от точек остановки a ( E ) и b ( E ) . Согласно условиям
сшивки функция (4) вне ямы и функция
x
C1

 ( x) 
cos   k (t )dt  
4
2 k ( x)
a
1
(6)
внутри ямы вдали от точки поворота a ( E ) являются приближениями одного и того же решения.
Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область x   ,
будет неограничено возрастать. Аналогично функция (5) и функция
 ( x) 
b
C4

cos   k (t )dt  
4
2 k ( x)
x
(7)
внутри ямы вдали от точки поворота b ( E ) являются приближениями одного и того же решения.
Любое другое квазиклассическое решение внутри ямы, будучи продолжено в область x   ,
будет неограничено возрастать. Поэтому ограниченное при всех значениях x решение существует только тогда, когда функции (6) и (7) совпадают или отличаются только знаком, то есть
аргументы косинусов в (6) и (7) отличаются на  n . Отсюда находим

b
1
 k (t )dt    n  2  ,
n  0,1, 2,...
(8)
a
Соотношение (8) выполняется только при определенных значениях энергии E , входящей
в функцию k (t ) в подынтегральной функции и в пределы интегрирования – классические точки
остановки при данной энергии a ( E ) и b ( E ) , которые определяется из уравнения
E  U ( x)
(9)
Поэтому уравнение (8) является условием для энергий стационарных состояний дискретного
спектра и называется правилом квантования Бора-Зоммерфельда.
Из правила квантования Бора-Зоммерфельда можно получить условие на количество состояний дискретного спектра в тех или иных потенциалах. Имеем
 p( x)dx = 2
1

n 
2

(10)
(мы записали правило квантования через классический импульс p( x)  2m  E  U ( x)  и проинтегрировали в «двух направлениях» – от a ( E ) до b ( E ) и от b ( E ) до a ( E ) ). Если интегрирование в (10) производится по доступной для «связанного» движения области (ограниченной
«классическими» барьерами), то n в (10) - максимальный номер уровня системы, или количество связанных состояний в системе. Поэтому
 p( x)dx = числу
2
Поскольку интеграл
 p( x)dx
связанных состояний
(11)
определяет доступный системе фазовый объем, из формулы
(11) следует, что существует прямая пропорциональная связь объема фазового пространства,
2
занимаемого частицей при некоторой энергии E , и количества связанных состояний с энергией,
меньшей E . Можно сказать, что одно связанное состояние «занимает ячейку фазового пространства» объемом 2 . В трехмерном случае - объемом  2

3
.
Получим еще одно важное следствие правила квантования. Рассмотрим два уровня - с номером n и соседний, с номером n  1. Тогда
 p( E
n 1
)dx   ( En )dx = 2
(12)
Здесь
En1 = En  E;
E
(13)
En
Разложим (12) по малому параметру E :
E 
p
dx
2
dx = E 
= E
= 2
E
v( x)

(14)
где v ( x ) - «классическая» скорость частицы, а интеграл
T
2


dx
 v( x)
(15)
имеет смысл «классического» периода колебаний при данной энергии, а  - осцилляторной частоты. Таким образом, для каждой энергии есть своя классическая частота колебаний. Расстояние между соседними уровнями
 (как это следует из (14)) и в малых участках 
const ).
Это значит, что квазиклассических спектр эквидистантен.
Рассмотрим теперь в рамках квазиклассического приближения прохождение через потенциальные барьеры. Пусть частицы с энергией E падают на барьер слева и пусть классическими
точками поворота при данной энергии являются точки
a ( E ) и b ( E ) ( a( E )  b( E ) ; см. рисунок). Если бы барьер
U ( x)
был абсолютно непроницаем, то под барьером было бы
E
только затухающее решение, поэтому перед барьером (в
области x  a нужно взять квазиклассическую функцию в
a
b
x
виде
x
2

 ( x) 
cos   k (t )dt  
4
v( x)
a
(16)
где введена «классическая» скорость p( x) / m  2  E  U ( x)  / m . В подбарьерной области имеем
3
 ( x) 
x
 x

 b

1
1
exp   | k (t ) | dt  
exp   | k (t ) | dt   | k (t ) | dt 
| v( x) |
| v( x) |
b
 a

 a

(17)
Далее, из условия сшивки квазиклассических функций можно доказать, что функция
 x
C
i 
 ( x) =
exp i k (t )dt  
4
k ( x)
b
(18)
при x  b и функция
 ( x) = 
 x

iC
exp   | k (t ) | dt 
| k ( x) |
 b

(19)
при x  b являются квазиклассическими выражениями одного и того же решения уравнения
Шредингера справа и под барьером. Поэтому из формул (17)-(19) заключаем, что решение (17) в
области x  b перейдет в функцию
 ( x) 
x
 b
1
i 
exp    | k (t ) | dt  i  k (t )dt  
4
| v( x) |
b
 a
(20)
Вычисляя по функции (20) плотность потока находим коэффициент прохождения барьера
 b

D = exp 2 | k ( x) | dx 
 a

(21)
Формально, при переходе к классике ( = 0 ), получим D = 0 , как и должно быть, поскольку в классике частицы не могут пересечь такой барьер. По порядку величины, показатель экспоненты есть величина, обратная параметру квазиклассичности
k2
kL
Отсюда D
L
k
k2
k
(22)
1.
Используя формулу (22) можно оценить вероятность  -распада в квазиклассическом приближении. Вероятность распада пропорционально коэффициенту прохождения кулоновского
барьера U (r ) 

r
:
w
/E

 2


 
D( E )  exp   2m   E dr 
r
 

r0


(23)
где
r0

E
4
(24)
- радиус действия ядерных сил. Вычисляя интеграл с помощью замены:
D

sin 2 
(25)


exp 2 
v

(26)
r
E
где введена скорость  -частицы. Видно, что показатель экспоненты большой и отрицательный
- вероятность распада мала, так как

2 Ze 2
100e 2
(27)
e2
1

с 137
а скорости  -частиц после распада составляют
(28)
101  102 от скорости света. Поэтому показа-
тель степени есть

2
v

6 100  e2 c

c
v
4  (101  102 )
(30)
Подтверждением квазиклассической теории  -распада является наблюдаемая в эксперименте очень резкая зависимость скоростей распада от энергии  -частиц. В теории эта зависимость
 1 
exp 

 E
5
(31)