Аксио́ма паралле́льности Евкли́да, или пя́тый постула́т

реклама
Подготовил
Кормилец Станислав Евгеньевич.
8В класс.
 Основное положение, исходная
гипотеза, принимаемая за
основу.
 Из каждой точки ко всякой другой точке можно




провести прямую;
Каждую ограниченную прямую можно продолжить
неопределённо;
Из любого центра можно описать окружность любого
радиуса;
Все прямые углы равны;
И если прямая, падающая на две прямые, образует
внутренние и по одну сторону углы, меньше двух
прямых, то продолженные эти прямые неограниченно
встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых
 Если две прямые а и в образуют
при пересечении с третьей прямой
внутренние односторонние углы a
и в, сумма величин которых
меньше двух прямых углов (т.е.
меньше 180°; рис. 1), то эти две
прямые обязательно
пересекаются, причем именно с
той стороны от третьей прямой,
по которую расположены углы а и
в (составляющие вместе менее
180°).
 Угол в 1 угловую секунду достаточно
ощутим (например, при
астрономических расчетах). Но
проверить, что указанные выше
прямые а и в пересекаются на
расстоянии 206 км от прямой АВ,
совсем не просто. Ведь изготовить
плоский лист бумаги и линейку более
200 км не представляется возможным.
Использовать оптические приборы?
Но тогда надо добавить еще один
постулат: свет распространяется по
прямой (а это уже не геометрия, а
физика). А если сумма углов а и в
отличается от 180° еще менее чем на 1
угловую секунду?!
 Сложность формулировки пятого постулата и его
неубедительность привели к тому, что очень многие
математики, жившие после Евклида, стремились
заменить аксиому о параллельных прямых более
простой, интуитивно ясной, либо доказать ее как
теорему, опираясь на другие аксиомы "Начал". Шла
подлинная затяжная "война" математиков с пятым
постулатом. Многие ученые, жившие в разные века в
различных странах, приняли в ней участие, но
особенно далеко продвинулись "в сражениях" Саккери,
Лежандр, Гаусс, Больяй, и Лобачевский.
В конце 18 века у некоторых геометров возникла
мысль о невозможности доказать пятый постулат.
Допустив, что пятый постулат неверен, математики
пытались прийти к логическому противоречию. Они
приходили к утверждениям, противоречащим нашей
геометрической интуиции, но логического
противоречия не получалось. Многие учёные
пытались доказать постулат с помощью других. Но
всё в пустую.
 Доказать непротиворечивость новой геометрии ни
Лобачевский, ни Бойяи не сумели — тогда
математика ещё не располагала необходимыми для
этого средствами. Только спустя 40 лет появились
модель Клейна (1871) и модель Пуанкаре (1882),
реализующие аксиоматику геометрии
Лобачевского на базе евклидовой геометрии. Эти
модели убедительно доказывают, что отрицание V
постулата не противоречит остальным аксиомам
геометрии; отсюда вытекает, что V постулат
независим от остальных постулатов.
Через точку P
проходит бесконечно
много прямых, не
пересекающих
прямую a
Замощение
плоскости
Лобачевского
правильными
треугольниками.
КОНЕЦ.
Скачать