Дельтоид Выполнила работу ученица 9 Б класса МБОУ г.Астрахани «Лицей № 3» Тухтаева Лейла Руководитель: Левина Елена Геннадьевна Актуальность. Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция выпуклые четырехугольники, которые изучаются в школьной программе. Но четырехугольник дельтоид не рассматривается. Хотя в экзаменационных заданиях ОГЭ и ЕГЭ задачи, которые решаются через дельтоид присутствуют. Уточнение: При изучении темы: «Четырёхугольник» дельтоид, как геометрическая фигура, не рассматривается. Привычные школьные учебники таких авторов как: Л.С. Атанасян, И.М. Смирнов, А.Г.Мерзляк, Бутузов В.Ф, Александров А.Д, Шарыгин И.Ф, Погорелов А.В. И др. не содержат никаких сведений о дельтоиде . Однако в учебнике Муравина Г.К «Математика 5 класс» упоминается о дельтоиде: Цель: Изучить дельтоид , его свойства и признаки, рассмотреть применение их к решению задач. Для выполнение этой цели были поставлены следующие задачи: 1.Определение дельтоида. 2.Исследовать дельтоид в окружающем мире и историю его изучения. 3.Изучить свойства и признаки дельтоида 4.Рассмотреть задачи которые решаются через дельтоид , задачи экзаменационных заданий ОГЭ и ЕГЭ . 5.Вывод. Гипотеза: можно предположить, что решение задач школьной программы, а также задач из открытого банка заданий ОГЭ и ЕГЭ возможно, используя геометрию дельтоида и зачастую гораздо быстрее приводит к получению необходимого результата т.е. является более рациональным. Объект исследования: Дельтоид. Предмет исследования: Свойства и признаки (геометрия) дельтоида. Метод исследования включает в себя изучение свойств, признаков и задач на дельтоид. Работа носит теоретический характер. Теоретическая значимость расширить кругозор и использовать этот материал для подготовки к экзаменам. Практическая значимость применение изученного материала в решение задач и подготовке к экзаменам, а так же использование исследовательской работы в школьном материале. Определение: Дельтоид - выпуклый четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон. Я́коб Ште́йнер ( 1796 — 1863) — швейцарский математик, основатель синтетической геометрии кривых линий и поверхностей 2-го и высших порядков. Название кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX. Дельтоид в окружающем мире. Дельтоидом также называют мышцы плеча. 1)Передние волокна дельтоида начинаются на внешней части ключичной кости,3) задние - на верхней и задней частях лопаточной кости, а 2)средние - между двумя вышеупомянутыми на акромиальном отростке лопатки. Все волокна, сходясь вместе, крепятся в районе верхней/передней части плечевой кости. Соединённые человеческие руки Крона дерева туя Лист дерева Тело рыбы. Человеческий мозжечок имеет рисунок, который ученые называют(деревом жизни),составной частью которого являются дельтоиды. Свойства и признаки дельтоида Неглавная диагональ делит дельтоид на два равнобедренных треугольника Дано: ABCD- дельтоид, AC- неглавная диагональ Доказать: ∆ABC и ∆ ADC - равнобедренные Доказательство: 1) По определению, дельтоид - это четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон, следует AB=BC, AD=DC. 2) Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны, AB=BC, значит ABC- равнобедренный; AD=DC, значит ADCравнобедренный. Ч.Т.Д. Свойства и признаки дельтоида Углы, лежащие по разные стороны от главной диагонали равны. Дано: ABCD- дельтоид, BD-главная диагональ Доказать: ∠ A= ∠ C Доказательство: 1) По определению дельтоида - выпуклый четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон. Значит AB=BC, AD=DC. 2)∠А является углом ∆BAD, ∠C является углом ∆ BCD. 3) Рассмотрим ∆ BAD и ∆ BCD: 1) AB=BC, по доказанному 2) AD=DC, по доказанному 3) BD - общая, значит ∆ BAD= ∆ BCD, по трём сторонам (III приз.). Значит ∠ А= ∠ С. Ч.Т.Д. Свойства и признаки дельтоида Главная диагональ является биссектрисой углов дельтоида. Дано: ABCD - дельтоид, BD – главная диагональ. Доказать: BD- биссектриса. ∠∠∠∠∠ Доказательство: 1) ∠ 1 и ∠ 3 входят в 2) Рассмотрим ∆ BAD, ∠ 2 и ∠ 4 входят в ∆ BAD и 1) АВ=ВС ∆ BCD. ∆ BCD: по определению дельтоида 2) AD=CD 3) BD- общая, ∆ BAD= ∆ BCD, по трём сторонам(III приз.), значит ∠ 1= ∠ 2, ∠ 3= ∠ 4, BD- делит углы пополам т.е. является биссектрисой. Ч.Т.Д. Свойства и признаки дельтоида Неглавная диагональ дельтоида точкой пересечения с главной диагональю, делится пополам. Дано: ABCD- дельтоид, AC-неглавная диагональ, BD- главная диагональ. Доказать: АО=ОС Доказательство: 1) По свойству, неглавная диагональ дельтоида, делит его на два равнобедренных треугольника АВС и АDC: АВ=ВС, AD=DC 2) По свойству, главная диагональ дельтоида является биссектрисой: ∠ 1= ∠ 2, ∠ 3= ∠ 4. 3) Биссектриса ВО проведенная из вершины равнобедренного треугольника является медианой , то АО=ОС. Ч.Т.Д. Свойства и признаки дельтоида Диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны. Дано: ABCD- дельтоид, АС- неглавная диагональ, BD- главная диагональ. Доказать: АС ┴ BD Доказательство: 1) По свойству, неглавная диагональ дельтоида, делит его на два равнобедренных треугольника АВС и АDC: АВ=ВС, AD=DC 2) По свойству, главная диагональ дельтоида является биссектрисой: ∠ 1= ∠ 2, ∠ 3= ∠ 4. 3) Биссектриса ВО проведенная из вершины равнобедренного треугольник является медианой и высотой. 4) т.е. ВО ┴ АС следовательно АС ┴ BD. Ч.Т.Д. Свойства и признаки дельтоида Средние линии дельтоида образуют прямоугольник, периметр которого равен сумме диагоналей данного дельтоида. Дано: ABCD- дельтоид, L,E,F,M- середины сторон ( BL=LC, CE=ED, DF=FA,BM=MA) Доказать: MLEF- прямоугольник. РMLEF = СА + ВD Доказательство: 1) MF//BD и LE//DB т.е. MF//LE 2) ML//CA и EF//CA т.е. ML//EF 3) СА┴ВD, значит и ML и ЕF ┴ MFи LЕ, отсюда следует, что ∠ M =∠ L ,∠ E =∠ F , и ML+ ЕF= СА и MF+ LЕ= ВD. 4) Следует, что РMLEF = ML+ ЕF+ MF+ LЕ= СА + ВD. Ч.T.Д. Свойства и признаки дельтоида В дельтоид всегда можно вписать единственную окружность. Дано: ABCD- дельтоид. Вписать: окружность(о; r) Доказательство: 1) Известно, что если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. (т.к.AB=CB и AD=DC , то AB+DC=CB+AD) 2) По определению дельтоида, это выпуклый четырёхугольник, у которого есть только две пары равных смежных сторон, следует. Значит АВ+ DC= AD+ ВС. 3) Точка О пересечение биссектрис СО и АО углов С и А. Следует: в дельтоид можно вписать окружность. Единственную. Ч.Т.Д. Свойства и признаки дельтоида Площадь дельтоида определяется по формуле: S = 0,5 ·d1 · d2, где d1 и d2 - диагонали. Дано: ABCD- дельтоид, d1- главная диагональ, d2- неглавная диагональ Доказать: SABCD=0,5d1d2 Доказательство: 1) Рассмотрим DAС-равнобедренный, DО –высота. Площадь равна высота умноженная на половину основания. SBAD= DO*0,5d2. 2) Рассмотрим BCА- равнобедренный, BО- высота. Площадь треугольника равна произведению высоты на половину основания SВСD= BO *0,5 d 2. 3) S ABCD= SBAD+SBCD = DO*0,5 d 2 + AO*0,5d 2 =0,5d 2(AO+CO)= 0,5 d 2d1. Ч.T.Д. Свойства и признаки дельтоида Периметр дельтоида определяется по формуле: Р= 2(а+в), где а и в смежные неравные стороны дельтоида. Дано:ABCD- дельтоид, АВ=AD =а , ВС=DC=в Доказать:РABCD =2(а+в) Доказательство: 1) Действительно, по определению дельтоид - это выпуклый четырёхугольник, у которого две пары неравных смежных сторон равны.(AB=CB и AD=DC) 2) Значит AB=AD=a; BC=DC=в. Периметр- это сумма всех сторон данной фигуры. Значит РABCD =2(а+в). Ч.Т.Д. Свойства и признаки дельтоида Если в четырехугольнике одна из двух, взаимно перпендикулярных диагоналей является биссектрисой, не равных противоположных углов, а другая не является биссектрисой другой пары углов, то этот четырехугольник- дельтоид. Дано: Четырехугольник ABDC, d 1-биссектриса (∠ 1= ∠ 2), d 2- не является биссектрисой, d 1 ┴ d 2, В= D Доказать: ABDC- дельтоид Доказательство: 1. АD входит в АОD, АВ входит в 2. Рассмотрим АОD и АОВ: АОВ и AO ┴DB. 1) АО - общая 2) ∠ 1= ∠ 2, т.к. d 1-биссектриса по условию, АОD= АОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда АD=АВ. 3. DС входит в СОD, ВС входит в СОВ и CO ┴BD. 4. Рассмотрим СОD и СОВ: 1) ОС - общая 2) ∠ 3= ∠ 4, т.к. d 1-биссектриса по условию, СОD= СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда DС=ВС. 5. АDС не равнобедренный, т.к. АD=DС. ABDC- дельтоид по определению. Ч.Т.Д. Свойства и признаки дельтоида Если в четырехугольнике только одна из диагоналей точкой пересечения с другой диагональю делится пополам и перпендикулярна ей, то этот четырехугольник-дельтоид. Дано: Четырехугольник ABDC, d 1 ┴ d 2 , АО=ОС Доказать: ABDC- дельтоид Доказательство: 1. АD входит в АОD, АВ входит в АОВ и AO ┴DB. 2. Рассмотрим АОD и АОВ: 1) АО - общая 2) ∠ 1= ∠ 2, т.к. d 1 -по первому признаку, АОD= АОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда АD=АВ. 3. DС входит в СОD, ВС входит в СОВ и CO ┴DB. 4. Рассмотрим СОD и СОВ: 1) ОС - общая 2) ∠ 3= ∠ 4 , т.к. d 1 -биссектриса по свойству 3.1, СОD= СОВ, по катету и прилежащему острому углу, отсюда DС=ВС. 5. Биссектриса равнобедренного треугольника проведенная из вершины равнобедренного треугольника является и медианой, следует, АО и СО - медианы, значит DО=ОB. 6. DО- перпендикуляр, не является медианой т.к. АDС не равнобедренный. ABDC- дельтоид по определению. Задача №1 Дано:ABCD-параллелограмм; АС=2АВ; т. К принадлежит ВС; ADB= KDB ВК Найти:КС=? Решение: 1) О – точка пересечения диагоналей АС и BD .Так как KBD = ADB = KDB, то BK = DK, то есть KO – высота равнобедренного треугольника BKD. 2)AO = AB. Проведем высоту AN равнобедренного ВАО и продолжим ее до пересечения с прямой ВС в точке М. Так как N – середина ВО и MN || KO, то BM = MK (по теореме Фалеса). Аналогично, так как О – середина АС и OK || AM, то MK = KC. Следовательно, Задача №2 Дано:ABCD-параллелограмм; АС=2АВ; т. К принадлежит ВС; ADB= KDB ВК Найти:КС=? Решение: 1) О – точка пересечения диагоналей АС и BD .Так как KBD = ADB = KDB, то BK = DK, то есть KO – высота равнобедренного треугольника BKD. 2) AO = AB. Проведем высоту AN равнобедренного ВАО и продолжим ее до пересечения с прямой ВС в точке М. 3) AN перпендикулярен BO ;ВА=АО; следует четырехугольника АВМО дельтоид. По свойству дельтоида АМ ┴ ВО (медианы AN и MN равнобедренных треугольников ВАО и ВМО являются и их высотами). Так как KO ┴ BD и MN ┴ BD, то MN || KO, то есть KO – средняя линия треугольника АМС, поэтому BM = MK = KC. Задача №3 Задача №3 F Дано: четырехугольная правильная пирамида MABCD; М-вершина; AB=BC=CD=DA=6; DM=AM=CM=BM=12-боковые ребра; Найти: построить сечение; Sсечения =? 1)Строим сечение по условию задачи; получается фигура NFKC; докажем , что это дельтоид; Треугольники NDC и KBC равны (по двум сторонам ND=KB;QC=CB и по равным углам KBC=NDC;=>NC=KC; аналогично доказывается , что FN=FK 1 𝑆дельтоида = ∗ 𝑁𝐾 ∗ 𝐹𝐶 2 Находим диагонали дельтоида; 2)ABCD-квадрат ; СА=6 2=DB; AMCравнобедренный(АМ=МС=12); МО-медиана; 2 МО= 122 − (3 2) = 144 − 18=3 14; Задача №3 3) АМО;cos 3 2 А= 12 = 2 4 2 AFC;по т. Косинусов:а = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 ∗ 𝑐𝑜𝑠α ; 𝐹𝐶 2 = 72 + 36 − 2 ∗ 6 ∗ 6 2 ∗ 2 4 ; 𝐹𝐶 2 =72=72=144; FC=12; 4)MO,CF-медианы=>Q-т.пересечения медиан; 2 1 МО=3 14;MQ= *3 14=2 14;QО= MO= 14; 3 М Sдельтоида = = 𝟐𝟒 𝟐 F Q А О 3 MNK ᷉ MDB(по 2 углам) 𝑁𝐾 MQ 6 2∗2 14 = ⇒ 𝑁𝐾 = =4 2; MCB6 2 MO 3 14 равнобедренный(МС=МВ=12) С 𝟏 𝟏 ∗ 𝑭𝑪 ∗ 𝑵𝑲 = ∗ 𝟒 𝟐 ∗ 𝟏𝟐 𝟐 𝟐 Задача №4 1 2 3 Задача №4 Дано: окружность с центром О, вписанная в равнобедренную трапецию АВСD;AB=CD;точки M,H,N,K-точки касания окружности с трапецией; четырехугольник КLMN вписанный в окружность;R=3;S 𝐾𝐿𝑀𝑁 =12. Найти:𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 =? Решение:1) МСО= NСО-как углы заключенные между отрезками касательных и прямой проходящей через т.С и центр окружности; Аналогично МВО= LВО LBM= NCM (углы при основании равнобедренной трапеции ) и LBM = 1 + 2 , где 1= 2; NCM= 3+ 4 , где 3= 4; Значит 1= 2= 3= 4; 4 О 2) LBM= NCM(по двум сторонам и углу между ними: МС=ВМ и ВН=СN- отрезки касательных; В= С так, как трапеция равнобедренная)=>LM=MN; аналогично доказывается , что НК=NK=>HMNK- дельтоид. 1 S= 2 LN*MK LN=x 6) KFN;FN=2;FK=3+ 𝟓 KN= 𝟒 + (𝟑 + 𝟐 𝟓) = 1 𝟒+𝟓+𝟗+𝟔 𝟓= 𝟏𝟖 + 𝟔 𝟓 = 𝟏𝟓 + 𝟑 7) ONP ; ON=3; PN=0,5( 𝟏𝟓 + 𝟑) OP= 9 − ( 15+ 3 2 ) = 4 36−15−2 45−3 = 4 18− 180 4 0,5( 𝟏𝟓 − 𝟑) 8) ONP;ON=3;OP=0,5 ( 𝟏𝟓 − 𝟑) ON 𝟐 = 𝑶𝑷 ∗ 𝑶𝑫 𝟗∗𝟐 𝟏𝟖 9=0,5 ( 𝟏𝟓 − 𝟑)*OD;OD= = 𝟏𝟐 ( 𝟏𝟓 + 𝟏𝟓− 𝟑 𝟑 𝟑)= 𝟐 ( 𝟏𝟓 + 𝟑) 1 𝑺 𝑶𝑲𝑫𝑵 = 2 ( 𝟏𝟓 + 𝟑)( 𝟏𝟓 + 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑) 𝟐 = 𝟒 (18+6 𝟓)= 𝟐 (9+3 𝟓) 𝑺 𝑨𝑩𝑪𝑫 𝑺 𝑨𝑳𝑶𝑵𝑫 =3 (9+3 𝟓) =3 (9+3 𝟓)+3 (9-3 𝟓)=27+27=54 12= 2 x*6=>x=4=>LF=FN=2. 3)MF*FK=LF*FN; MF=x ; FK=(6-x); x(x-6)=4 𝑥 2 -6x-4=0 𝑥1 =3+ 5Х 𝟐 3- 5=>MF=3- 5(FO= 5) = 4) MFN; F=90°(диагонали дельтоида) ;По теореме Пифагора: MN= (3 − 5) 2 +2 2 = 9 − 5 + 5 + 4= 18 − 6 5= 18 − 180= 15 − 3 5) MOC-прямоугольный; МО=3; MH(высота проведенная из прямого угла) MH=0,5( 15 − 3) OH= 𝑶𝑴 𝟐 + 𝑴𝑯 𝟐 = 9−( 15− 3 2 ) = 2 0,5 18 + 180=0,5( 𝟏𝟓 + 𝟑) 𝑴𝑶 𝟐 =OH*OC 𝟏𝟖( 𝟏𝟓− 𝟗 𝟏𝟖 OC= = = 𝟏𝟐 𝟔,( 𝟏𝟓+ 𝟑) 1 𝟑 S= 2 ∗ 𝟐 ( 𝟏𝟓 − 𝟏𝟓+ 𝟑 𝟑)( 𝟏𝟓 − 𝟑) 𝟑 𝟑 36−15+2 45−3 4 = 𝟐 ( 𝟏𝟓 − = 18+6 5 4 = 𝟑) 𝟑 𝟑 𝟑)= 𝟒 𝟏𝟓 − 𝟐 𝟒𝟓 + 𝟑 = 𝟒 (18-6 𝟓) = 𝟐 (9-3 𝟓) ⇒ Задача №5 α a Ɣ β b 9)Докажем , что LNR= HCD;где RN CD( как r проведённый в точку касания) LN CH(CH AD и MK AD =>CH || MK и LN MK=>LN CH) Вне трапеции выбираем т. Q и через нее проводим прямые Q𝑫𝟏 𝑪𝑫; 𝑸𝑯𝟏 𝑪𝑯; 𝑳𝟏 𝑸| 𝑳𝑵; 𝑹𝟏 𝑸 |𝑹𝑵 Пусть 𝑳𝟏 𝑸𝑹𝟏 =α; 𝑫𝟏 Q𝑯𝟏 =β; 𝑹𝟏 Q𝑯𝟏 =Ɣ;тогда 𝑳𝟏 𝑸𝑯𝟏 =90°= α+ Ɣ| 𝑹𝟏 Q𝑫𝟏 =90°= β+ Ɣ|=> α= β, значит LNR= HCD 10) RNH ᷉ DCH( N= C; H= L) СН – диаметр ;пусть CN=a, ND=b 𝑪𝑯 𝑵𝑳 𝑪𝑫 𝟐𝒓 𝟒𝒓𝟐 𝒂+𝒃 = 𝑵𝑹 ; 𝑵𝑳 = 𝟐𝒓 Значит а+b= 𝑵𝑳 Но мы доказали , что МК NL Значит S KLMN= 12=NL *r=> NL= 𝟒∗𝟑𝟐 𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝒓 𝟏 NL * MK = 𝟐 NL* 2r = 𝟏𝟐 𝟑 =4 Значит a+b= 𝟒 = 9 Тогда BM= MC=a Значит BC=2a, аналогично AD=2b SABCD= 𝑩𝑪+𝑨𝑫 𝟐 ∗ CH = 𝟐𝒂+𝟐𝒃 𝟐 ∗ 𝟐𝒓 = (a+b) * 2r= 9 * 2 * 3= 54 Вывод: Мною был изучен дельтоид, а так же доказаны его свойства и признаки. Я решала задачи из открытого бланка заданий ОГЭ и ЕГЭ , а так же задачи из школьного курса геометрии , и выявила , что более рационально задачи решаются при помощи геометрии дельтоида. Список литературы. • 1. http://gazpromschool.by.ru/projects/geometry/tr/tr312.. 2. http://geometricheskie.narod.ru/3D/Vparallelepiped.html 3. http://dic.academic.ru/dic.nsf/business/8852 4. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. Геометрия 7-9 классы.б Учебник. 15-е изд. М.:"Просвещение", 2005. 5. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев «Геометрия 10-11 класс»; издательство «Просвещение», 1996. 6. О.В.Георгиевский. Начертательная геометрия ( сборник задач с решением типовых примеров). АСТ; Астрель, 2002. 7. Я.И. Пелерман. Занимательная алгебра, геометрия. Изд-во: Книга, 2005.