neravenstva52732fa216853

НЕРАВЕНСТВА
Краснощёкова
Светлана Викторовна
ст. методист ХК ИРО
Что больше?
 Сравните, какое
31 11 или 1714 .
число больше
Что больше?
 Сравните, какое
31 11 или 1714 .
число больше
Что больше?
Докажите, что
479 < 2100 + 3100 < 480
Что больше?
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Задача. Произведение двух положительных чисел
больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше
четырех.
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Задача. Произведение двух положительных чисел
больше их суммы. Докажите, что эта сумма больше
четырех.
Решение
Условие x + y < xy можно переписать в виде (x – 1)(y – 1)>1,
откуда очевидно, что x>1, y>1.
Согласно неравенству Коши
откуда x + y > 4.
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Докажите, что при любых x, y, z
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Докажите, что при любых x, y, z
Решение
Запишем три неравенства Коши:
Сложив их, мы и получим требуемое неравенство.
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Неравенство Коши замечательно двумя
свойствами:
1. Позволяет оценивать сумму положительных
чисел через их произведение;
2. Оно распространяется на произвольное
количество чисел:
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Найдите наибольшее значение выражения
ab + bc + ac + abc, если a + b + c = 12
(a, b и с – неотрицательные числа).
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Найдите наибольшее значение выражения
ab + bc + ac + abc, если a + b + c = 12
(a, b и с – неотрицательные числа).
Решение:
1.
2. ab+bc+ac ≤ a 2+b2+c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ac),
то есть 3(ab + bc + ac) ≤ (a + b + c)2 = 144.
3. a=b=c=4, 64 + 144/3 = 112
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
а,b,c,d – положительные числа. Докажите, что
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
а,b,c,d – положительные числа. Докажите, что
Решение.
1.
2.
3. Осталось перемножить неравенства.
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Докажите, что
при любых x и y.
Решение
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Для некоторых положительных чисел x и y выполняется
неравенство x2+y3 ≥x3+y4 . Докажите, что x3+y3 ≤2.
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Для некоторых положительных чисел x и y выполняется
неравенство x2+y3 ≥x3+y4 . Докажите, что x3+y3 ≤2.
Решение.
1. Сначала докажем, что x+y2 ≥x2+y3
От противного:
НЕРАВЕНСТВО КОШИ
Для некоторых положительных чисел x и y выполняется
неравенство x2+y3 ≥x3+y4 . Докажите, что x3+y3 ≤2.
Решение.
2. Из 1. следует