p x1; y1; z1 p а q q x2 ; y2 ; z2 b cos a, b -направляющие вектора прямых x1 x2 y1 y2 z1 z2 x y z 2 1 2 1 2 1 x2 y2 z2 2 2 2 № 1. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВF1 1 3 A ; ;0 z 2 2 1 3 B1 ; ;1 2 2 х у 1 3 B ; ;0 2 2 F1 (- 1; 0;1) AB1 1;0;1 3 3 BF1 ; ;1 -направляющие 2 2 вектора прямых 3 3 1 0 11 2 2 cos AB1 , BF1 1 0 1 2 Ответ: 2 8 2 2 2 3 3 2 1 2 2 2 2 8 № 2. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между прямыми PQ и EF, P – середина АА1, Q – середина С1D1 , Е – серединаz ВВ1, F – середина DC. Q Р (4; 0; 2) PQ 4; 2; 2 Q (0; 2; 4) P F E (4; 4; 2) E у х cos PQ, EF 1 Ответ: 3 F (0; 2; 0) EF 4; 2; 2 4 4 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 4 2 2 № 3. Ребро куба равно 3. Найдите угол между 1 1 прямыми AE и BF, если BE BC , C1 F C1 B1. z 3 3 A (3; 0; 0) Е (2; 3; 0) F AE 1;3;0 В (3; 3; 0) E cos AE, BF х AE , BF arccos 130 65 у BF 2;0;3 F (1; 3; 3) 1 2 0 3 0 3 2 2 1 3 0 2 2 0 3 130 arccos Ответ: 65 2 2 2 130 65 № 4. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AС1 и z С1 СB1. 1 В1 А1 х AC1 1;0;1 1 C1 ;0;1 2 1 C ;0;0 2 С А A ;0;0 2 1 3 CB1 ; ;1 2 2 3 B1 0; ;1 В у 2 1 3 CB1 ; ;1 2 2 AC1 1;0;1 3 1 1 0 1 1 2 2 cos AC1 , CB1 1 AC1 , CB1 arccos 1 Ответ: arccos 4 1 4 2 0 1 2 2 2 1 3 2 1 2 2 2 1 4 Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. α - угол между прямой и плоскостью β p α sin sin( 90 ) cos n β – угол между прямой и перпендикуляром к плоскости Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью можно найти косинус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости ax by cz d 0 n a; b; c уравнение плоскости - вектор нормали к плоскости p x1; y1; z1 - направляющий вектор прямой n, p sin ax1 by1 cz1 a b c 2 2 2 x y z 2 1 2 1 2 1 № 1 В единичном кубе найдите угол между прямой AВ1 и плоскостью (А1EF), где Е – 1 середина В1С1, BF BB1 3 A1 (1; 0; 1) A (1; 0; 0) z E 1 F 1 х у 1 Е (0,5; 1; 1) B1 (1; 1; 1) 1 F 1;1; 3 p AB1 p 0;1;1 Запишем уравнение плоскости (А1EF): A1 (1; 0; 1) Е (0,5; 1; 1) 1 F 1;1; 3 4 2 7 cx cy cz c 0 3 3 3 4 2 7 x yz 0 3 3 3 4 x 2 y 3z 7 0 ax by cz d 0 a c d 0 1 abcd 0 2 1 ab cd 0 3 - уравнение плоскости (А1EF). 4 a c 3 2 b c 3 7 d c 3 4 x 2 y 3z 7 0 n 4; 2;3 p 0;1;1 - вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой n, p sin 4 0 2 1 3 1 42 22 32 02 12 12 5 arcsin 58 5 58 Ответ: arcsin 5 58 № 2. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите синус угла между прямой AВ1 и плоскостью (АСF1). 1 3 p AB 1 A ; ;0 z 2 2 1 3 B1 ; ;1 2 2 х у p 1;0;1 Запишем уравнение плоскости (АСF1): 1 3 A ; ;0 2 2 C (1; 0;0) ax by cz d 0 F1 (- 1; 0;1) dx 3dy 2dz d 0 x 3 y 2z 1 0 - уравнение плоскости (АСF1). 1 3 bd 0 a 2 2 a d 0 a c d 0 a d b 3d c 2 d x 3 y 2z 1 0 n 1; 3; 2 p 1;0;1 - вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой n, p 1 1 3 0 2 1 sin 2 1 3 22 12 02 12 2 Ответ: 3 4 3 4 № 3. В правильной четырехугольной пирамиде ребро основания равно 4, а высота – 6. Найдите угол между прямой ВЕ, где Е- середина SC и плоскостью (АDS). B 2;2;0 z p BE E 1;1;3 E p 3; 1;3 y х Запишем уравнение плоскости (АSD): A 2; 2;0 D 2; 2;0 ax by cz d 0 S 0;0;6 1 1 0dx dy dz d 0 2 6 0x 3y z 6 0 - уравнение плоскости (АSD). 2a 2b d 0 2a 2b d 0 6c d 0 a 0 1 b d 2 1 c d 6 0x 3y z 6 0 n 0;3; 1 - вектор нормали к плоскости p 3; 1;3 - направляющий вектор прямой n, p sin 3 0 3 1 3 1 0 3 1 2 6 arcsin 190 2 2 3 1 Ответ: 2 2 3 6 arcsin 190 2 6 190 Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям. a1 x b1 y c1 z d1 0 уравнение плоскости a2 x b2 y c2 z d 2 0 уравнение плоскости ma1 ; b1 ; c1 n na2 ; b2 ; c2 cos m;n m a1a2 b1b2 c1c2 a b c 2 1 2 1 2 1 a b c 2 2 2 2 2 2 Например: 2 x 3 y 6 z 5 0 уравнение плоскости 4 x 4 y 2 z 7 0 уравнение плоскости m 2;3;6 n 4; 4; 2 cos m;n 4 2 3 4 6 2 22 32 62 42 42 22 16 21 A (1; 0; 0) D1 (0; 0; 1) C (0; 1; 0) z D (0; 0; 0) C1 (0; 1; 1) B (1; 1; 0) у х Запишем уравнения плоскостей (АСD1) и (BDC1): ax by cz d 0 a d 0 b d 0 c d 0 a d b d c d dx dy dz d 0 d 0 a b d 0 b c d 0 d 0 a b c b bx by bz 0 A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D1 (0; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C1 (0; 1; 1) cos m;n x y z 1 0 m 1;1;1 ACD1 x yz 0 n 1; 1;1 DBC1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m; n arccos 2 1 3 2 2 2 2 1 Ответ: arccos 3 2 1 3 z С1 В1 А1 С А х В 3 1 A ;0;0 B 0; ;0 2 2 1 C1 ;0;1 2 3 1 A1 ;0;1 B1 0; ;1 2 2 1 C ;0;0 2 Запишем уравнения плоскостей (АBС1) и у (A1B1C): 1 A ;0;0 2 ax by cz d 0 1 2 a d 0 3 B 0; ;0 3 b d 0 2 2 1 1 a c d 0 C1 ;0;1 2 2 1 A1 ;0;1 2 3 B1 0; ;1 2 1 C ;0;0 2 1 2 a c d 0 3 bcd 0 2 1 2 a d 0 a 2d 2 b d 3 c 2d a 2d 2 d b 3 c 2d 2 dy 2dz d 0 3 2 2x y 2z 1 0 3 2dx 2 m 2; ; 2 ABC1 3 2 2dx dy 2dz d 0 3 2 2x y 2z 1 0 3 2 n 2; ; 2 A1 B1C 3 2 n 2; ; 2 3 2 m 2; ; 2 3 cos m;n 2 2 22 22 3 3 2 1 2 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 1 m; n arccos 7 1 Ответ: arccos 7 z 1 3 B ; ;0 2 2 1 3 A1 ; ; 2 2 2 1 3 A ; ;0 2 2 1 3 E ; ; 0 2 2 C (1; 0;0) х у Запишем уравнения плоскостей (А1BC) и (AA1E): ax by cz d 0 1 3 B ; ;0 2 2 1 3 A1 ; ; 2 2 2 C (1; 0;0) 1 3 bd 0 a 2 2 1 3 a b 2c d 0 2 2 a d 0 1 1 dx dy dz d 0 2 3 1 1 x y z 1 0 2 3 a d 1 b d 3 1 c d 2 1 1 m 1; ; A1 BC 3 2 1 A ; 2 1 A1 ; 2 3 ;0 2 3 ; 2 2 1 3 E ; ;0 2 2 ax by cz d 0 1 a 2 1 a 2 1 a 2 3 bd 0 2 3 b 2c d 0 2 3 bd 0 2 2dx 0 y 0 z d 0 2x 0 y 0 z 1 0 n 2; 0; 0 A1 AE a 2d b 0 c 0 1 1 m 1; ; 3 2 cos m;n n 2; 0; 0 1 1 1 2 0 0 2 3 2 2 1 1 2 2 2 12 2 0 0 2 3 12 19 12 m; n arccos 19 12 Ответ: arccos 19