Шабанов Никита p x1; y1; z1 p а q q x2 ; y2 ; z2 b cos a, b -направляющие вектора прямых x1 x2 y1 y2 z1 z2 x y z 2 1 2 1 2 1 x2 y2 z2 2 2 2 № 1. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между прямыми PQ и EF, P – середина АА1, Q – середина С1D1 , Е – серединаz ВВ1, F – середина DC. Q Р (4; 0; 2) PQ 4; 2; 2 Q (0; 2; 4) P F E (4; 4; 2) E у х cos PQ, EF 1 Ответ: 3 F (0; 2; 0) EF 4; 2; 2 4 4 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 4 2 2 Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. α - угол между прямой и плоскостью sin sin( 90 ) cos β p α n β – угол между прямой и перпендикуляром к плоскости Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью можно найти косинус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости ax by cz d 0 n a; b; c уравнение плоскости - вектор нормали к плоскости p x1; y1; z1 - направляющий вектор прямой n, p sin ax1 by1 cz1 a b c 2 2 2 x y z 2 1 2 1 2 1 № 1 В единичном кубе найдите угол между прямой AВ1 и плоскостью (А1EF), где Е – 1 середина В1С1, BF BB1 3 A1 (1; 0; 1) A (1; 0; 0) z E 1 F 1 х у 1 Е (0,5; 1; 1) B1 (1; 1; 1) 1 F 1;1; 3 p AB1 p 0;1;1 Запишем уравнение плоскости (А1EF): A1 (1; 0; 1) Е (0,5; 1; 1) 1 F 1;1; 3 4 2 7 cx cy cz c 0 3 3 3 4 2 7 x yz 0 3 3 3 4 x 2 y 3z 7 0 ax by cz d 0 a c d 0 1 abcd 0 2 1 ab cd 0 3 - уравнение плоскости (А1EF). 4 a c 3 2 b c 3 7 d c 3 4 x 2 y 3z 7 0 n 4; 2;3 p 0;1;1 - вектор нормали к плоскости - направляющий вектор прямой n, p sin 4 0 2 1 3 1 42 22 32 02 12 12 5 arcsin 58 5 58 Ответ: arcsin 5 58 Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям. a1 x b1 y c1 z d1 0 уравнение плоскости a2 x b2 y c2 z d 2 0 уравнение плоскости ma1 ; b1 ; c1 n na2 ; b2 ; c2 cos m;n m a1a2 b1b2 c1c2 a b c 2 1 2 1 2 1 a b c 2 2 2 2 2 2 Например: 2 x 3 y 6 z 5 0 уравнение плоскости 4 x 4 y 2 z 7 0 уравнение плоскости m 2;3;6 n 4; 4; 2 cos m;n 4 2 3 4 6 2 22 32 62 42 42 22 16 21 № 1. В единичном кубе найдите угол между плоскостями (АСD1) и (ВDC1). A (1; 0; 0) D1 (0; 0; 1) C (0; 1; 0) z D (0; 0; 0) C1 (0; 1; 1) B (1; 1; 0) у х Запишем уравнения плоскостей (АСD1) и (BDC1): ax by cz d 0 a d 0 b d 0 c d 0 a d b d c d dx dy dz d 0 d 0 a b d 0 b c d 0 d 0 a b c b bx by bz 0 A (1; 0; 0) C (0; 1; 0) D1 (0; 0; 1) D (0; 0; 0) B (1; 1; 0) C1 (0; 1; 1) cos m;n x y z 1 0 m 1;1;1 ACD1 x yz 0 n 1; 1;1 DBC1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m; n arccos 2 1 3 2 2 2 2 1 Ответ: arccos 3 2 1 3 Обычный метод решения №3 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 рёбро основания АВ = 8 3 , а боковое ребро АА1 = 7. Найдите тангенс угла между плоскостями ВСА1 и ВВ1С1. Решение. С1 ∆А1В1С1 – р/с, А1Н1 – его высота, Н1 значит А1Н1⊥В1С1 В р/б ∆ВСС1, А1Н – высота, тогда В1 А1 НН1 – проекция наклонной А1Н на плоскость ВВ1С1 и по теореме, обратной теореме о 3-х ⊥ НН1⊥ВС,, т.е. искомый угол – A1НН1. 7 Найдем его тангенс из п/у ∆ A1НН1 С Н В 8 3 8 3 3 12; НН1 7 2 AH 12 tgA1HH1 1 1 HH1 7 A1H 1 А Ответ: 12 . 7 Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 – прямоугольник ABCD, в котором АВ = 5, AD = 33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми А1С1 и BD равно 3. В1 С1 33 А1 5 D1 φ 3 A1D В С №1 М А D Решение (продолжение) Поскольку мы имеем дело с п/у параллелепипедом, то этот угол легко найти из п/у ∆B1DA1. Угол φ − и есть угол между гранью и диагональю. N 33 3 2 2 36 6 (по теореме Пифагора из п/у ∆AA1D) Значит, ctg φ = 6/5. tg (90º − φ) = ctg φ = 6/5. Ответ: 6/5. Угол между двумя прямыми