• Пусть – функция, и - два значения независимой переменной из ; тогда разность называется (или ) в точке х0 и обозначается х. Таким образом, Откуда следует, что • Вследствие этого приращения значение функции изменится на величину: х Эта разность называется в точке , соответствующим приращению х, и обозначается , т. е. , Откуда Пример • Найдите приращение х и f в точке x0 , если f(x) = х2, x0 = 2 и а) х=1,9; б) х=2,1 • а) х= х- x0=1,9 - 2= - 0,1 f = f(х) – f (x0) = f(1,9) – f (2) = 1,92 -22 = -0,39 • б) х= х- x0=2,1 - 2= 0,1 f = f(х) – f (x0) = f(2,1) – f (2) = 2,12 -22 = 0,41 Задание №1 • Найдите приращение функции f в точке х0, если: • а) f(х) = 2х2 – 3 , х0 = 3, х = - 0,2; • б) f(х) = 3х + 1 , х0 = 5, х = 0,01; • в) f(х) = х2/2, х0 = 2, х = 0,1. Непрерывность функции • Функция f(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при х х0 равен значению функции в этой точке. • Функция , непрерывная в каждой точке заданного промежутка, называется непрерывной на всём промежутке. • Являются ли непрерывными в каждой из точек х1,х2,х3 функции, графики которых изображены на рисунках? Рассмотрим график функции y=f(x) и геометрический смысл приращений х и f Прямую l , проходящую через любые две точки графика функции f , называют секущей к графику f. Угловой коэффициент k секущей выражается через приращения х и f : • Выразим через приращения среднюю скорость движения за промежуток времени [t0;t0+t]: Выражение: называется средней скоростью изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+х Производная • Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение при х, стремящемся к нулю. • Функцию, имеющую производную в точке х0, называют дифференцируемой в этой точке. • Нахождение производной функции f называют дифференцированием. Примеры: 1. х’=1; 2. С’=0; 3. (х2)’=2х; (хn)’=nхn-1 4. (х3)’=3х2; 5. 6. Производная Правила вычисления производных 1. Производная суммы равна сумме производных: (f+g)'=f'+g' 2. Производная произведения: (f·g)'=f'g+fg' Правила вычисления производных 3. Производная частного: 4. Производная степенной функции: Задание №2 Найдите производную функции f в точке х0, если: а) f(х)=х3, при х0 = 2; -1,5; б) f(х)=4-2х, при х0 = 0,5; -3; в) f(х)=3х-2, при х0 = 5; -2; г) f(х)=х2, при х0 = 2,5; -1. Вар.48(5) Найдите значение производной функции •Вар.8(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S= 5t-0,5t2(м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 с после начала движения. Вар.79(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону S= 12t-3t2(м), где t время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения тело остановится? •Вар.86(5) Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S= 0,5t2+3t +2 (м), где t - время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15 м/с? •Вар.4(4) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(х)=3х3+2х-5 в его точке с абсциссой х=2. •Вар.31(5) Дана функция f(х)=5+4х-3х2 . Найдите координаты точки её графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен -5. Вар.23(5) f(х)=1/3х3+5х2-1. Найдите координаты точек её графика, в которых касательные к нему параллельны оси абсцисс. • Найдите производную функции : 1. 2. 3. 4. Вар. 4.162 Найдите значение производной функции в точке х0=-2. Задание Найдите значение производной функции в точке х0 = -3 1) 7 2) -5 3) 1 4) 13 Задание Найдите значение производной функции в точке х0 = -1 1) -9 2) -8 3) 0 4) 10 Задание Найдите значение производной функции в точке х0 = -2 1) 1 2) -4 3) 7 4) -7 Производные тригонометрических функций •Вар.54(5) Найдите производную функции f(х)=2х2+sin x. •Вар.5 (4) Найдите производную функции f(х)=2х2 + tg x. •Вар.39(5) Найдите значение производной функции f(х)= tg х-2sin x при х=-∏/4. •Вар.52(5) Найдите значение производной функции f(х)= 4sin x – сos x при х=-∏/4. •Вар.23(5) Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f(х)= 4 cos x +3 в его точке с абсциссой х=-∏/3. •Вар.62 (5) К функции y=2sin x + 3cos x проведены касательные в точках с абсциссами х1=∏/2 и х2=3∏/2. Являются ли эти касательные параллельными прямыми? •Вар.4.157 Найдите значение производной функции y= sin (4x- ∏/6) в точке х0=-∏/12. Задание Решите уравнение f’(x)=0, если : Формула производной сложной функции • Если h(x) = g(f(x)), то h’(x0) = g’(f(x0))·f’(x0) Вычислите: 1. y= (3-5х+х2)50 2. h( x)= cos 3x 3. h(x) = sin(2x- ∏/4) 4. Задание Найдите производную функции f: Задание Найдите значение производной функции y=sin(3x+7)-cos(3π+7) в точке х0 =0 1) 3cos 7 3) 3cos 1+3sin 7 2) 3cos 7-3sin 7 4) 3sin 7 Найдите значение производной функции y=sin(5x+2)+cos(5x+2) в точке х0 =-1 1) cos 3-sin 3 3) cos 3+sin 3 2) 5cos 3-5sin 3 4) 5cos 3+5sin 3 Задание Найдите значение производной функции y=x·sin(2x+1) в точке х0 =-1 1) -2 cos 1-sin 1 3) -2cos 1+sin 1 2) 2cos 1-sin 1 4) -2cos 1 Вар. 4.160 Найдите значение производной функции в точке х0=0. Задание Найдите производную каждой из функций: Задание Решите неравенства f’(x)>0, если :